Stabilitás. Input / output rendszerek

Átírás

1 Stabilitá Iput / output redzerek

2 Stabilitá - bevezeté egyzerűített zemlélet példa zavará utá a magára hagyott redzer vizatér a yugalmi állapotába kvázitacioáriu állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltá Stabilitá_IOr./

3 Stabilitá defiíciók BIBO tabilitá külő tabilitá a bemetek kimeetek vizoyára tez megkötét azimptotiku tabilitá a kimeetek határértékére tez megkötét Stabilitá_IOr./3

4 BIBO tabilitá Defiíció: BIBO tabilitá Egy redzert BIBO tabilak evezük, ha tetzőlege - < t 0 t < időitervallumo alkalmazott korláto bemeet hatáára, u(t) < M, a kimeete i korláto lez: y(t) < M, a t 0 t < időitervallumo (ahol M, M <, é t 0 a kezdőidőpot). Stabilitá_IOr./4

5 BIBO tabilitá Tétel: BIBO tabilitá teljeülée Egy redzer akkor é cak akkor BIBO tabil, ha 0 h ( t) dt < M < azaz a úlyfüggvéy abzolút itegrálja korláto. Stabilitá_IOr./5

6 Azimptotiku (ulla bemeeti) tabilitá Legye -ed redű lieári, időivariá redzer bemeete zéru, a kimeete pedig a kezdeti értékek miatt y(t). Ekkor y(t) a következő módo fejezhető ki: y k 0 ( ) ( ) ( k t g t y ) ( t ) k ahol g k (t) jelöli az y (k) (t 0 ) kezdeti értékek miatti, a ulla bemeetre adott válaz (k)-dik kompoeét 0 é y ( k ) ( t ) 0 k d y dt ( t) k t 0 Stabilitá_IOr./6

7 Azimptotiku (ulla bemeeti) tabilitá Defiíció: Azimptotiku tabilitá Egy lieári időivariá redzert tetzőlege, em mide eetbe zéru kezdeti feltételek eeté ullabemeeti tabilitáúak evezzük, ha megválaztható egy M korlát M(y(t 0 ), y () (t 0 ),, y (-) (t 0 )) > 0, úgy, hogy é y(t) M <, t t 0 lim y t ( t) 0 Stabilitá_IOr./7

8 Azimptotiku (ulla bemeeti) tabilitá Ha egy redzerbe kota ulla bemeet é adott, legalább egy eetbe emzéru kezdeti feltételek eeté a kimeet ullához tart tetzőlegee agy idő eltelte utá, akkor ezt a redzert ulla bemeeti tabilitáúak (vagy azimptotikua tabilak) evezzük. Egyébkét a redzer itabil. Stabilitá_IOr./8

9 Stabilitá_IOr./9 Azimptotiku (ulla bemeeti) tabilitá a tabilitá feltétele mivel a kezdeti feltételek végeek y(t 0 ), y () (t 0 ),, y (-) (t 0 ) < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < k k k k k k t y t g t y t g t y ( ) < 0 0 k k t t, t g

10 Stabilitá Általáo feltétel Iduljuk ki a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( m t a y t a y t b u ) ( t) b u( t) y 0 m 0 ihomogé differeciálegyelet megoldá: homogé általáo megoldáa ihomogé partikulári megoldáa Stabilitá_IOr./0

11 Stabilitá Általáo feltétel homogé egyelet: egyelet bal oldala ullával egyelővé téve a y ( ) ( ( t) a y ) ( t) a y( t) 0 0 bal oldalo kimeet é deriváltjai eek megoldáa a magára hagyott redzer válaza ulla bemeeti tabilitá ihomogé megoldá: új egyeúlyi állapot jellemzőiek meghatározáa Stabilitá_IOr./

12 Stabilitá Általáo feltétel A homogé egyelet általáo megoldáa: y ahol p, p,, p a homogé egyeletek megfelelő karakteriztiku egyelet gyökei, c i kotaok Stabilitá p t p t p t ( ) t ce ce ce lim y t ( t) 0 teljeül: ha ezek a gyökök egatív valóak, vagy egatív való rézű komplex gyökpárok: k Re{p i } < 0, p i, i,, c k e p k t Stabilitá_IOr./

13 Stabilitá Általáo feltétel a homogé egyelet y(t) megoldáa tulajdoképpe a redzer úlyfüggvéye hize így, ha akkor azaz a tabilitá Y() G() U() u(t) δ(t) Y() G() y(t) h(t) lim h t ( t) 0 Stabilitá_IOr./3

14 Stabilitá Általáo feltétel Operátor tartomáyba Átviteli függvéy G ( ) Y U ( ) ( ) b a m m b a 0 0 ( z ) ( zm ) ( p ) ( p ) ahol a p, p,, p gyökök a evező poliomjáak gyökei, azaz a póluok, é megfelelek a homogé differeciál egyelethez tartozó karakteriztiku egyelet gyökeiek Így a redzer tabilitához ezekek a gyökökek az előjelét kell elleőrizi komplex ík baloldali félíkjára eek-e b a 0 0 Stabilitá_IOr./4

15 Stabilitá Általáo feltétel Ihomogé egyelet a ( ) ( ( t) a y ) ( t) a y( t) b u( t) y 0 0 legye u(t) (t) ugrájel ekkor a megoldá általáo alakja ( t) ( t) ( p t p t p t ) c e c e c e y ahol b 0 /a 0 a redzer erőítée így tabil redzer eeté lim y t ( t) Stabilitá_IOr./5

16 Stabilitá - özehaolítá BIBO tabilitá: korláto bemeetre korláto válaz Azimptotiku tabilitá: impulzu bemeetre ullához tartó kimeet ugrá jel bemeetre az erőíté által meghatározott végértékhez tartó válaz Azimptotikua tabil redzer BIBO tabil i BIBO tabil redzer em feltétleül azimptotikua tabil Stabilitá_IOr./6

17 Példák 0 G p, p, p 3 ( ) ( )( )( 3) 3 0 G( ) p, p ( )( ), 3 G 3 ( ) 0 ( ) ( )( 4) p, p, 3 ± j G 4 ( ) 0 p, 5, p 0, p 0 ( 0, 5)( 0, ) 0, Stabilitá_IOr./7

18 Stabilitávizgálati módzerek zükégeégük fajtáik algebrai: Routh-Hurwitz módzer frekvecia tartomáy: Nyquit-kritérium Bode-kritérium geometriai: gyökhelygörbe módzer Stabilitá_IOr./8

19 Routh-Hurwitz kritérium módzercalád cél: az eredő átviteli függvéy karakteriztiku egyelete alapjá a tabilitá meghatározáa legye az eredő átviteli függvéy: az ehhez tartozó karakteriztiku egyelet: illetve poliomiáli alakba: G G e ( ) G ( ) ( ) H ( ) ( ) G( ) H ( ) ( ) a a a a0 Stabilitá_IOr./9

20 Stabilitá_IOr./0 Routh-Hurwitz kritérium A tabilitá zükége é elégége feltétele: Mide együttható legye pozitív a i > 0, i,, A H Hurwitz-determiá valameyi főátlóra támazkodó aldetermiáa legye pozitív: a a a a a a a a a a a M O M M M

21 Nyquit-kritérium a hurokátviteli függvéye alapuló geometria kritérium elv: a felyitott kör helygörbéjéből következtetük a zárt redzer tabilitái vizoyaira kiidulá Stabilitá_IOr./

22 Nyquit-kritérium Az átviteli függvéy: G ( ) G G o( ) ( ) G ( ) A karakteriztiku egyelet: G e ()0 melyből a póluokat megkapjuk o m Go G ( ) ( ) e Áttérve frekveciatartomáyba G e (jω)0 Stabilitá_IOr./

23 Nyquit-kritérium Az G e (jω)0 özefüggé fizikai értelme: va-e a zárt redzerek cillapítatla ziuzo rezgéű álladóult megoldáa ω 0 : G e (jω 0 ) - ha ige: akkor ezzel az ω 0 frekveciával gerjeztve a zárt redzert cillapítatla rezgéeket kapuk Stabilitá_IOr./3

24 Nyquit-kritérium a kritérium: Ha a felyitott kör G e (jω 0 ) amplitúdófázi görbéje miközbe frekvecia 0 ω < tartomáyo változik éppe áthalad a komplex zámík - potjá, akkor a redzer a tabilitá határá va Stabilitá_IOr./4

25 Nyquit-kritérium Magyarázat: Iduljuk ki a vizacatolt körből: B legye w0 vágjuk fel a kört a B- potok között legye a felyitott kör Nyquit-diagramja olya, hogy átmegy a - poto Stabilitá_IOr./5

26 Nyquit-kritérium gerjezük a redzert a B potba ω 0 frekveciájú ziuzo y b jellel e w-y b B y b y k G e ey b a külöbégképző utá e -y b a poto pedig imét y b jeleik meg: G e (jω 0 ) G e (jω 0 ) G e (jω 0 ) - Stabilitá_IOr./6

27 Nyquit-kritérium özeköté utá i fe marad ez a jel, a gerjezté megzűée eeté i való redzer egyégugrá gerjezté Stabilitá_IOr./7

28 Nyquit-kritérium tabilitá kritérium Ha a felyitott kör Nyquit göbéje a való tegelyt a - pottól jobbra metzi, akkor a zárt kör tabil; potoa a - potba metzi, akkor a zárt kör a tabilitá határá va; a - pottól balra metzi, akkor a zárt kör itabil. Stabilitá_IOr./8

29 Nyquit-kritérium itabil tabilitá határá tabil Stabilitá_IOr./9

30 Nyquit-kritérium fázi tartalék ϕ t π - ϕ ha ϕ < π, ϕ t > 0 a redzer tabil ha ϕ π, ϕ t 0 a redzer tabilitá határá ha ϕ > π, ϕ t < 0 a redzer itabil általába ϕ t > π/6 legye Stabilitá_IOr./30

31 Nyquit-kritérium erőítéi tartalék κ az origó é a metzépot közötti távolág ha κ < a redzer tabil ha κ a redzer tabilitá határá ha κ > a redzer itabil Stabilitá_IOr./3

32 Bode-kritérium Bode diagram: a frekvecia függvéyébe az amplitúdóvizoy é fázizög ábrázoláa Nyquit diagram egyég ugarú kör Bode diagram 0 db tegely Bode kritérium alapja: az amplitúdógörbe é a 0 db tegely metzé potjához milye fázizög érték tartozik Stabilitá_IOr./3

33 Bode-kritérium Stabilitá_IOr./33

34 Bode-kritérium Stabilitái kritérium: Ha az amplitúdógörbe é a 0 db-e tegely metzépotjához tartozó ϕ fázizög agyobb -80 o -ál, akkor a redzer tabil; egyelő -80 o -kal, akkor a redzer a tabilitá határá va; ha kiebb -80 o -ál, akkor itabil. Stabilitá_IOr./34

35 Bode-kritérium Fázitartalék ϕ t erőítéi tartalék κ [db] fizikai értelmezé Stabilitá_IOr./35

36 Gyökhelygörbe módzer célja: tabilitávizgálat miőégi jellemzők hozzávetőlege meghatározáa Eva, 948 alkalmazható SISO é MIMO redzerekre Defiíció: Gyökhelygörbe A gyökhelygörbe a zárt redzer póluaiak mértai helye a komplex íko, miközbe a redzer valamely paraméterét zéru é végtele között változtatjuk. Stabilitá_IOr./36

37 Gyökhelygörbe kiidulá legye G o ( ) k( z )( z ) ( zm ) ( p )( p ) ( p ) ahol k - erőíté, -z,, -z m zéruhelyek, -p,, -p - póluok Stabilitá_IOr./37

38 Stabilitá_IOr./38 Gyökhelygörbe a vizacatolt kör eredő átviteli függvéye: a karakteriztiku egyelet: azaz a gyökhelygörbe a karakteriztiku egyelet gyökeiek mértai helye a komplex íko, midő az erőítét 0 é között változtatjuk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m o o z z k p p z z k G G G ( ) ( ) ( ) ( ) 0 m z z k p p

39 Gyökhelygörbe a karakteriztiku egyeletet átalakítva: azaz G o () - ( z ) ( zm ) ( p ) ( p ) k miutá általáo eetbe a gyökök komplexek, é a komplex zámok felírhatók z A e jϕ alakba, így - e ±jlπ ahol l,3,5, vagy - ±l 80 o Stabilitá_IOr./39

40 Gyökhelygörbe Özefoglalva: A gyökhelygörbe bármely potjáak két feltételt kell kielégíteie: a való é a képzete rézekek a k( z ) ( ) zm p p egyelet midkét oldalá külö-külö meg kell egyeziük zögfeltétel ( ) ( ) abzolútérték feltétel Stabilitá_IOr./40

41 Gyökhelygörbe legye a k-dik zéruhely: z k C k e jγ k C k γ k k, m, ahol m a zéruhelyek záma legye a i-dik pólu: p i D i e jδ i D i δ i i,, ahol a póluok záma Stabilitá_IOr./4

42 Gyökhelygörbe Szögfeltétel: γ γ γ m - δ - δ - - δ Σ m k γ k - Σ i δ i ±l 80 o (l, 3, 5, ) azaz egy pot akkor é cak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zéruhelyekből kiiduló é az be mutató vektorok zögéek özegéből levova a póluokból kiiduló é az be mutató vektorok zögeiek özegét, akkor ±l 80 o t kapuk. Stabilitá_IOr./4

43 Stabilitá_IOr./43 Gyökhelygörbe az abzolútérték feltétel: azaz egy pot akkor é cak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zéruhelyekből az be mutató vektorok abzolút értékeiek zorzatát eloztva a póluokból az be mutató vektorok abzolút értékeiek zorzatával az erőíté reciprokát kapjuk meg. k k D C p p p z z z i i k m k m Π Π

44 Gyökhelygörbe a gyökhelygörbe előállítáa karakteriztiku egyelet megoldáával grafiku úto próbálgatáal zerkeztéi módzerek zámítógépe programok tulajdoágok alapjá közelítve Stabilitá_IOr./44

45 Gyökhelygörbe tulajdoágai. A gyökhelygörbéekek ayi ága va, ameyi a zárt redzer póluaiak a záma.. A gyökhelygörbe midig zimmetriku a való tegelyre ézve. Stabilitá_IOr./45

46 Gyökhelygörbe tulajdoágai 3. Legye a póluok záma, m a zéruhelyek záma a felyitott körbe ha >m, akkor a gyökhelygörbe a felyitott kör póluaiból idul ki, é m zámú ág a felyitott kör zéruhelyeibe, -m zámú ág a végtelebe tart, ha m, akkor a gyökhelygörbe teljee a végebe va, ha <m, akkor m- zámú ág a végteleből idul ki (em reáli eet). Stabilitá_IOr./46

47 Gyökhelygörbe tulajdoágai 4. A való tegelye akkor é cak akkor lehetek gyökhelygörbe zakazok, ha a vizgált pottól jobbra a póluok é a zéruhelyek együtte záma páratla. 5. A gyökhelygörbe azimptótáiak iráyát az α ± l 80 m özefüggé adja meg. o Stabilitá_IOr./47

48 Gyökhelygörbe - példák példák coportoítáa evező fokzáma zámláló fokzáma m (ullad- vagy előredű pol.) vizgált kör az eredő átviteli függvéy: ( ) G G e G ( ) ( ) Stabilitá_IOr./48

49 Gyökhelygörbe - példák legye, m 0 ha G( ) G ( ) e Stabilitá_IOr./49

50 Gyökhelygörbe - példák ha G τ ( ) G ( ) e τ Stabilitá_IOr./50

51 Gyökhelygörbe - példák legye, m G ( ) ( T ) τ G e ( ) ( T ) ( τ T ) ha τ > T Stabilitá_IOr./5

52 Gyökhelygörbe - példák legye, m 0 é ξ > G ( ) Ge ( ) τ τ ( τ )( τ ) ( τ τ ) Stabilitá_IOr./5

53 Stabilitá_IOr./53 Gyökhelygörbe - példák legye, m 0 é 0 < ξ < ( ) ( ) T T G T T G e ξ ξ

54 Gyökhelygörbe - példák legye, m é ξ > G ( ) ( T ) ( τ )( τ ) G e ( ) τ τ ( T ) ( τ τ T ) ha τ > T > τ Stabilitá_IOr./54

55 Gyökhelygörbe - példák ha τ > τ > T Im Re Stabilitá_IOr./55

56 Stabilitá_IOr./56 Gyökhelygörbe - példák legye, m é 0 < ξ < ( ) ( ) T T G T T G e ξ ξ

57 Gyökhelygörbe - példák legye 3, m 0 G ( ) ( τ )( τ )( τ ) 3 ha τ > τ > τ 3 Stabilitá_IOr./57

58 Gyökhelygörbe - példák G ( ) ( T ξt )( τ ) Stabilitá_IOr./58

59 Gyökhelygörbe - példák legye 3, m G ( ) ( T ) ( τ )( τ )( τ ) 3 ha τ > τ > τ 3 > T Stabilitá_IOr./59