A Bode-diagram felvétele

Átírás

1 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Méréi jegyzőkönyv egédlet Dr. Kuczmann Mikló Válogatott méréek Villamoágtan témakörből II. A Bode-diagram felvétele Győr, 2007 A méréi egédlet L A TEX zerkeztővel kézült,

2 . A méré célja A Bode-diagram felvétele zámítáal é méréel egy megvalóított hálózaton, a zámítáal é méréel kapott eredmények özevetée, kiértékelée. A kompenzált fezültégoztó kapcolá vizgálata. A méré előfeltétele a házi feladat elkézítée é a méréi jegyzőkönyv előkézítée. A méré előtt beugrót kell írni. Hozzon magával 2db üre milliméterpapírt i! A függvények ábrázoláát cak így fogadom el, ellenkező eetben elküldöm. 2. A méréhez tartozó házi feladat A méré tárgyát képező hálózat az. ábrán látható un. kompenzált fezültégoztó kapcolá. C R U R 2 C 2 U 2. ábra. A méré kapcolái vázlata Házi feladatok: Gyakorlá céljából egy-egy feladat letölthető a oldalról. Imételje át a Villamoágtan tárgyban tanultakat az ellenállá, a tekerc é a kondenzátor karakteriztikájáról, a zinuzo hálózatok zámítáa témakört, valamint tanulmányozza át a következő fejezetben található elméleti imereteket. Vezee le a oro RL, a oro RC, a párhuzamo RL, a párhuzamo RC, a oro RLC é a párhuzamo RLC kapcoláok átviteli karakteriztikáját polinom per polinom alakban, ha R, L é C paraméterek, azaz nem konkrét értékek. A gerjezté minden eetben a kapcolá kapocfezültége. A válazjel pedig oro kapcoláok eetén az egye komponenek fezültége, párhuzamo kapcoláok eetén pedig az egye komponenek árama. Özeen tehát =4 karakteriztika. Vázolja fel ezen alapkapcoláok Bode-féle amplitúdókarakteriztikáját é fázimenetét.

3 Vezee le az. ábrán felvázolt kapcolá átviteli karakteriztikáját polinom per polinom alakban. A végeredmény: W() = U 2() U () = R 2 R R 2 C (R R 2 ) (R R 2 [C C 2 ]) = Vezeük be az alábbi jelöléeket: azaz R 2 = R R 2 ω 0 = R C, ω x = R C R R 2 R R 2 (C C 2 ) R R 2 R R 2 (C C 2 ), W() = U 2() U () = R 2 ω 0 R R 2 Vázolja fel a Bode-féle amplitúdókarakteriztikát é fázikarakteriztikát az alábbi három eetben paramétereen: ω 0 = ω x, ω 0 < ω x, ω 0 > ω x. Ha van módja rá, ellenőrizze a zámítáokat valamely zoftverrel konkrét értékek mellett (pl. TINA ( Octave bode utaítáa ( 3. Rövid elméleti özefoglaló Jelen rövid áttekinté a Jelek é rendzerek című könyvből való. A lineári, invarián, kauzáli, pazív é reziztív illetve dinamiku elemekből (ellenállá, tekerc, kondenzátor) felépülő hálózat ugyani felfogható egy ugyanilyen folytono idejű rendzernek. 3.. Az átviteli karakteriztika é együttható Ha egy folytono idejű, lineári, invarián é kauzáli rendzer gerjezté-válaz tabili, akkor a telje válaz zabad özetevője nullához tart é a válaz egy idő után megegyezik a gerjeztett özetevővel. Egy villamo hálózat biztoan tabil, ha az cak pazív elemekből épül fel (itt cak ilyenekkel foglalkozunk, l. Villamoágtan c. tárgy Állapotváltozó leírá c. fejezete). A zinuzo jel egy vizgálójel: ha a gerjezté zinuzo lefutáú, akkor a válazjel i zinuzo lez ugyanazon körfrekvenciával. Legyen hát a gerjezté i é a válaz i zinuzo: Írjuk fel ezen jelek komplex cúcértékét: (t) = S co(ωt ρ), y(t) = Y co(ωt ϕ). () ω x. S = Se jρ, Y = Y e jϕ. (2) Szinuzo gerjezté é válaz eetén képezhetjük ezen két komplex mennyiég hányadoát, ami az un. átviteli karakteriztika:. W = W() = Y S. (3)

4 (t) = S co(ωt ρ) S = Se jρ W() y(t) = Y co(ωt ϕ) Y = Y e jϕ Az átviteli karakteriztika egy rendzerjellemző függvény, é az ω körfrekvencia függvénye, amely adott körfrekvencián (ami a gerjezté körfrekvenciája) megadja a válazjel komplex cúcértékét a gerjezté komplex cúcértékének függvényében: Y = W S, (4) amelyből a válaz y(t) időfüggvénye meghatározható a komplex cúcérték definíciójának megfelelően. Fonto megjegyezni, hogy az átviteli karakteriztika egy adott körfrekvencián egy komplex zám, amely megadja azt, hogy ezen körfrekvencián a rendzer hatáára mennyivel fog különbözni a válazjel amplitúdója é fázia a gerjezté amplitúdójától é fáziától. 2 Az átviteli karakteriztika egy adott körfrekvencián az un. átviteli együttható: W = Ke jφ, ahol K = W az átviteli együttható abzolút értéke, azaz nagyága, é φ = arc{w } az átviteli együttható zöge a vizgált körfrekvencián. A válazjel tehát az alábbiak zerint zámítható: é így a válazjel időfüggvénye a következő: Y = W S = Ke jφ Se jρ = KSe j(φρ), (5) y(t) = }{{} KS co(ωt (φ ρ) ) = Y co(ωt ϕ). (6) }{{} Y ϕ Megadtuk tehát az átviteli karakteriztika definícióját é azt, hogy hogyan lehet alkalmazni a zinuzoan gerjeztett válaz zámítáában. Az átviteli karakteriztika tehát a változó függvénye é azt adja meg, hogy a rendzer kimenetének amplitúdója é fázia hogy változik meg a bemeneti zinuzo jel ugyanezen adataihoz képet adott ω körfrekvencián: Y = W S. A W minden körfrekvencián má é má komplex értékű zám, tehát van amplitúdója é fázia. Ezek ábrázoláára terjedt el két módzer, két diagram: a Nyquit-diagram é a Bode-diagram. Mindkettő a W átviteli karakteriztika W = W() = K(ω)e jφ(ω) (7) alakjában található K(ω) un. amplitúdókarakteriztika, é φ(ω) un. fázikarakteriztika ábrázoláát realizálja eltérő módon A Nyquit diagram A Nyquit-diagram a K(ω)e jφ(ω) fazor végpontját ábrázolja a < ω < intervallumban a komplex zámíkon é ezen pontokat köti öze, ahogy az a 2. ábrán látható. Ez tehát egy olyan görbe, amelyről leolvaható az átviteli karakteriztika abzolút értéke é Két jelöléi mód i van: a W azt jelzi, hogy ez egy komplex zám, a W() pedig azt i, hogy ez a függvénye. Ezen két jelölé termézeteen ekvivalen. 2 Az átviteli karakteriztika méréel úgy vehető fel, hogy egy adott amplitúdójú é adott fáziú zinuzoan változó gerjeztőjelet kapcolunk a rendzer bemenetére, amelynek aztán változtatjuk a frekvenciáját é minden egye frekvencián mérjük a kimeneti jel amplitúdóját é fáziát. Ez megtehető pl. egy kétcatorná ozcillozkóp egítégével. A mért adatokat pedig rögzítjük.

5 fázia (vagy való é képzete réze) egy-egy rögzített ω körfrekvencián. Az ábrán berajzoltuk az ω = 0, 2 rad, ω = 2 rad é ω = 20 rad körfrekvenciákhoz tartozó fazorokat. 3 Ábrázoláához ki kell zámolni az átviteli karakteriztika amplitúdóját é fáziát (vagy való é képzete rézét) néhány körfrekvencián, majd ezeket fel kell mérni a komplex zámíkon, é ezen pontokat öze kell kötni. A Nyquit-diagramot a negatív körfrekvenciákra i zoká ábrázolni, azonban a diagram zimmetriku a való tengelyre. Érezhető, hogy egy ponto Nyquit-diagram felvétele meglehetően hozadalma eljárá. Számítógéppel végezve a zámítáokat azonban ponto görbét kaphatunk, de ekkor i nehéz lehet a leolvaá. 4 ω>0 ω<0 Im W() ω=0,2 ω=20 ω= Re W() 2. ábra. Példa a Nyquit-diagramra A Bode-diagram A Bode-diagram külön koordináta-rendzerben ábrázolja az amplitúdó- é a fázikarakteriztikát, tehát két függvényt kell ábrázolni. Ezek vízzinte tengelyén az ω körfrekvencia zerepel (zokták úgy i, hogy az abzcizán az f frekvenciát mérik) logaritmiku léptékben, függőlege tengelyén pedig a K(ω) amplitúdókarakteriztika é a φ(ω) fázikarakteriztika (l. 3. ábra. A zaggatott vonallal berajzolt görbével pedig kéőbb foglalkozunk.). A logaritmiku lépték azért célzerű, hogy lehetőég zerint zéle intervallumot tudjunk ábrázolni: Látható, hogy a kálázá logaritmikuan történik, azaz két egymát követő oztá között az arány 0: ω i /ω i = 0. Egy ilyen távolág neve dekád. 5 Lineári kálán nem lehetne jól látható módon ilyen zéle tartományt ábrázolni (ebben a példában a legkiebb é a legnagyobb körfrekvencia között 4 nagyágrend van). Egy dekádon belül egy adott körfrekvenciának megfelelő pont zámítáa a következőképp történik. Legyen egy dekád a papíron 40 mm é határozzuk meg pl. az ω = 5 rad 40 mmlg ( ) 5 = 5, 9 mm, 2 körfrekvenciának megfelelő pontot: 3 Ezen pontok zámoláal ellenőrizhetők: ha ω = 0, 2 rad rad, akkor W = 0, 399 j0, 229, ha ω = 2, akkor W =, 25 j0, 277, ha ω = 20 rad, akkor W = 0, 046 j0, 243. Így látható a fazor helyzetének alakuláa é forgáa i. 4 Ezen tulajdonágok mellett azonban nem zabad azt gondolni, hogy ez az ábrázolái módzer nem hazno, zabályozátechnikában pl. a Nyquit-diagramot tabilitái kritériumok ellenőrzéére lehet haználni. 5 Szoká ezt úgy i felvenni, hogy két egymát követő oztá között az arány 2, ekkor egy ilyen távolág neve oktáv. Mi a dekádot fogjuk haználni.

6 K db (ω)[db] -0 φ( o ) ω[rad/] ω[rad/] 3. ábra. Példa az amplitúdó- é fázikarakteriztikára, a Bode-diagram két elemére 0, 02 0, ω[ rad] azaz az ω = 2 rad ponttól 5, 9 mm-re lez a kereett pont. Az ω = 50 rad ehhez haonlóan az ω = 20 rad ponttól lez 5, 9 mm-re é így tovább. A logaritmu argumentumában azért 2-vel oztottunk, mert az a kereett körfrekvencia intervallumának aló határa. 6 Elég tehát egy dekádon belül elvégezni a pontoabb feloztát. Ezen intervallum feloztáa tehát a következőképp néz ki: ω[rad] Fonto megjegyezni azonban azt, hogy a logaritmiku kálán ninc ω = 0 é ω = pont. Az amplitúdókarakteriztika függőlege tengelyét haonlóképp logaritmikuan célzerű felmérni azon egyzerű oknál fogva, hogy nagy értéktarományt tudjunk ábrázolni (ez az un. log-log diagram). Itt az amplitúdókarakteriztika decibel egyégben kifejezett értékét zoká felmérni: K db = K db (ω) = 20 lgk(ω) K(ω) = 0 0,05 K db, (8) aminek a mértékegyége tehát a db (decibel). 7 A fázikarakteriztika eetében a függőlege tengelyen rad egyégben, vagy fokban zoká felmérni a fázikarakteriztika értékét. A dekád egyéget D-vel fogjuk jelölni. A Bode-diagram egyzerű eetekben kényelmeen zerkezthető az un. normálalakok, vagy karakteriztikaelemek egítégével. A következőkben ezeket foglaljuk öze. Tudjuk, hogy az átviteli karakteriztika egy polinom per polinom alakú kifejezé. Határozzuk meg előzör a zámláló é a nevező gyöktényező alakját, azaz zámoljuk ki a polinomok zéruhelyeit. Két eet lehetége: a gyökök egy réze való, máik réze (ha van ilyen) konjugált komplex párokat alkotnak. Ezután az átviteli karakteriztika mindig átalakítható a következő formára: W = A ( ω0 ) r i 6 Pár pontra kapott eredmények: ω = 2 rad 27, 96 mm, ω = 5 rad, 35 mm tb. ( ω i ) k ( ) j ω j l ( 2ξ k ω k ( 2ξ l ( ) ) 2 ω k ( ) ) 2,, 0 mm, ami egyértelmű, ω = 3rad, 7, 04 mm, ω = 0rad, 7 Egy máik lehetőég a K Np = lnk(ω), amelynek mértékegyége az Np (neper). Mi az előbbit alkalmazzuk. A kettő között a következő kapcolat van: Np = 8, 686 db, db = 0, 5 Np.

7 tehát vannak előfokú é máodfokú tényezők. A Bode-féle amplitúdókarakteriztikában a K(ω) logaritmuát kell venni, azaz lg W = lg A rlg ω 0 lg lg ω i i ω j j ( ) lg 2ξ 2 k ω k ω k ( ) lg 2ξ 2 l, k l ahol felhaználtuk azokat az azonoágokat, hogy zorzat logaritmua a tényezők logaritmuának özege é hányado logaritmua a tényezők logaritmuának különbége. A kapott eredményt ezután még 20-zal még be kell zorozni. A Bode-féle fázikarakteriztikában a φ(ω) értékét kell meghatározni: { } ω0 arcw = arc{a} r arc i { ( arc 2ξ k ω k ω k k } arc { ωi j ) } { 2 l arc { arc } ω j ( ) } 2 2ξ l azaz a zámlálóban zereplő elemek fáziainak özegéből ki kell vonni a nevezőben zereplő tényezők fáziainak özegét, ugyanúgy, ahogy azt két komplex zám oztáakor tezük. Ha ezután meghatározzuk az egye tényezők amplitúdókarakteriztikáját é fázikarakteriztikáját, akkor azokat cak előjelhelyeen öze kell adni, é így egy jó pontoágú közelítét kapunk. Az előfokú tényezőket a következő ábrákon foglaljuk öze. A görbék tehát a következők (a vízzinte tengelyen minden eetben dekádban mérjük a körfrekvenciát, erre utal a D index, ha ez nem derül ki az ábrából):, K db (ω) lgA φ(ω) A < K db (ω) 40 zámláló 20 ω 0 ω j ω i 20 nevező 40 ωd -20r/D 20dB/D 20dB/D ωd A > 0 ωd -90 r = -80 A < 0 φ(ω) 90 zámláló() /D ω j ω i 45 nevező zámláló(-) 45 /D 90 ωd

8 Ezen karakteriztikaelemeket érdeme tehát megjegyezni, egítégükkel ugyani bonyolultabb átviteli karakteriztikák Bode-diagramja közelítőleg felvázolható. A karakteriztikaelemek tehát a következők..) Az állandó tényező logaritmiku alakja a következő: K db (ω) = 20lg A, φ(ω) = { 0, ha A > 0; ±80, ha A < 0. (9) Mindkét karakteriztika párhuzamo a vízzinte tengellyel é nem függenek a frekvenciától. Ha A >, akkor erőítéről bezélünk, é ekkor K db > 0, ha A <, akkor cillapítáról bezélünk, é ekkor K db < 0. Mint imerete, egy negatív zám Euler-alakja a következő: A = Ae jπ, ezért lez ebben az eetben a fázikarakteriztika ±80. 2.) Az (ω 0 /) r tényezőnek megfelelő amplitúdókarakteriztika-elem é fázikarakteriztika-elem a következőképp határozható meg. Ez az elem felírható az (ω 0 /ω) r (/j) r alakban i, amelynek máodik tagja egyégvektor, é cak a fáziforgatáért felelő, ugyani /j = j = e jπ/2, így (/j) r = ( j) r = e jrπ/2, azaz K db (ω) = 20 r lg ( ω0 ω ), φ(ω) = r 90, (0) azaz az r Z egéz zámtól függően 20dB/D meredekégű egyenet kapunk az amplitúdókarakteriztikában, amely az ω = ω 0 pontban metzi az abzcizát, mivel ekkor lg ω 0 ω 0 = lg = 0 (ha r > 0, akkor a meredekég negatív, ha r < 0, akkor a meredekég pozitív, hizen ez a karakteriztikaelem fordítottan arányo az ω körfrekvenciával). A 20dB/D meredekég abból fakad, hogy míg az ω = ω 0 helyen az amplitúdókarakteriztika értéke 0dB, addig az dekáddal nagyobb frekvencián (az ω = 0ω 0 helyen) 20lg0, = 20dB lez (r = ). A fázikarakteriztika pedig párhuzamo az ω tengellyel, értéke zintén r értékétől függ. Ez a tényező ok eetben nem zerepel. Ha ennek reciproka, azaz (/ω 0 ) r zerepel a zámlálóban, akkor az előzőek vízzinte tengelyre vett tükörképe lez mindkét karakteriztikaelem. Ezt úgy lehet egyzerűen belátni, hogy figyelembe vezük, hogy ( ) r = ω 0 ( ) r ω0, é az r mindkét karakteriztikaelemben zorzóként zerepel, ami vizont előjelet vált. 3.) Az előfokú tényező zerepelhet akár a zámlálóban, akár a nevezőben. Ha a nevezőben van, akkor mind az amplitúdókarakteriztika, mind a fázikarakteriztika,,lefelé törik. Ez az egyzerű közelíté onnan zármazik, hogy alacony frekvencián (ω 0) az előfokú tényező abzolút értéke egyhez tart, melynek logaritmua 0, maga frekvenciákon (ω ) pedig a tényező nevezője végtelenhez tart, így a tört nullához közelít, amelynek logaritmua : lim ω 0 (ω/ωj ) 2 =, lim ω (ω/ωj ) 2 = 0. A töréponti körfrekvencián, azaz az ω = ω j körfrekvencián az előfokú tényező /(j), amelynek abzolút értéke / 2, decibelben pedig 20 lg(/ 2) 3dB. Ezt az értéket azonban nullának vezük, így ezen a körfrekvencián lez a legnagyobb eltéré a közelítő karakteriztika é a valódi karakteriztika között. Ez a pont az un. törépont, ezért hívják

9 ezt az ábrázolái módot töréponto karakteriztikának. Ennél egy dekáddal nagyobb körfrekvencián az előfokú tényező /( 0j) /(0j), amelynek abzolút értéke 0,, decibelben kifejezve pedig pont 20dB. Ezért az ω > ω j körfrekvenciákon az egyene meredekége 20dB/D lez. Mégegy dekáddal magaabb körfrekvencián az előfokú tényező /( 00j) /(00j), amelynek abzolút értéke 0, 0, decibelben kifejezve pedig pont 40dB. A valódi értéktől való eltéré egyre kiebb lez é a húzott egyeneek azimptotikuan imulnak a valódi görbéhez. 8 A fázikarakteriztika értéke a töréponti körfrekvencián az /( j) komplex zámból kiindulva pontoan 45, egy dekáddal magaabb körfrekvencian az /(0j) /(0j) = j0, közelíté miatt 90, egy dekáddal kiebb körfrekvencián pedig az /(0, j) közelíté miatt 0 lez a közelítő fázikarakteriztika értéke. Ebből fakad a 45 /D meredekég. A legnagyobb eltéré a valódi görbéhez képet a 0 -o é a 90 -o törépontoknál van. 9 Ha az előfokú tag a zámlálóban zerepel, akkor az amplitúdókarakteriztika,,felfelé törik, zimmetrikuan az előbb elmondottakra. A fázikarakteriztikát illetően két eet lehetége. Ha negatív előjel zerepel a kifejezében ( ω i ), akkor a fentiekben elmondottak érvényeek, ellenkező eetben pedig a fázikarakteriztika i,,felfelé törik. Megjegyezzük, hogy a zámlálóban az előbb említett előjel lehet pozitív i, negatív i. A nevezőben a tabilitái kritérium teljeülée miatt azonban cak pozitív előjel zerepelhet. 4. Példa Vázoljuk fel az alábbi átviteli karakteriztika Bode-diagramját: W = Y S = 5() () 2 4() 3. Megoldá. Hozzuk az átviteli karakteriztikát a kívánt gyöktényező alakra. Számítuk ki a nevező gyökeit (ha a zámláló i legalább máodfokú, akkor termézeteen azt i ilyen alakra kell hozni): () = 0, ahonnan () =, é () 2 = 3. Ezen értékek mindig negatívak kell legyenek, különben a rendzer nem gerjezté-válaz tabili. Az átviteli karakteriztika így a következő alakban írható fel: W = 5 ( )( 3). Mivel cak előfokú tényezők zerepelnek, ezért minden egye elemnek ω i alakúnak kell lenni, hizen ezen alakokra léteznek egyzerű törtvonala közelítő görbék. A zámlálót át kell alakítani úgy, hogy 5 = /0, 2, a nevező elő tagja rendben van, máodik tagjából azonban ki kell emelni 3-at, tehát W = 3 0,2 ( )( 3 ). 8 Például az 0j tört abzolút értéke = 0, 0995, decibelben pedig 20, 043 db. Az j tört abzolút értéke 00 = 0, 0099, decibelben pedig 40, db. 2 9 Például a 0, ω j körfrekvencián a fázikarakteriztika értéke arc tg ( ) 0, ω ω 5, 706, mi ezt a közelíté orán nullának vezük. A legnagyobb eltéré tehát kb. 5, 7. A 90 -o törépontnál ez az érték termézeteen ugyanennyi. Érdeme ezt i gyakorláképp kizámolni.

10 Ez a véglege alak, amelyben zerepel egy kontan tag é három előfokú alak. A Bodediagram így már felvázolható a fenti imeretek birtokában. Ez a következőképp néz ki (a ponto görbe é a törtvonala görbe özehaonlítáát l. a 3. ábrán, ahol a törtvonala görbét zaggatott vonallal ábrázoltuk): K db (ω) , 0 ω φ(ω) , ω Az amplitúdókarakteriztikában a vízzinte vonal a 20lg = 9, 542dB-nél van, 3 mindhárom egyene zakaz meredekége azono: 20dB/D (a megfelelő előjellel). A fázikarakteriztikában az egye egyene zakazok meredekége ±45 /D. Miután megrajzoltuk az egye alaptagoknak megfelelő karakteriztikákat, azokat öze kell adni. Ezt úgy célzerű megtenni, hogy az egye törépontoknál pl. függőlege vonalat húzunk é így látjuk azt, hogy mikor történik változá a karakteriztika menetében. Ezután adjuk öze két ilyen vonal között a meredekégeket é húzzunk egy ilyen meredekégű egyenet a következő bejelölt vonalig, azaz a következő törépontig. Ezen függőlege egyeneeket az ábrán be i jelöltük. Az ábrákon ki négyzettel bejelöltük az W ω=0,2 é W ω=20 körfrekvencián kizámolt átviteli együtthatók abzolút értékét é fáziát: azaz W ω=0,2 = W ω=0,2 = 5(j0, 2) (j0, 2) 2 4(j0, 2) 3, j 0, 04 j0, 8 3 = j 2, 96 j0, 8. Két komplex zám oztáát az Euler-alak egítégével célzerű elvégezni, mert így az eredmény zámunkra kedvező, hizen az egy Euler-alak, amivel a következő lépében úgyi zorzát kell elvégezni: 0 W ω=0,2 = 2e jπ/4 3, 066 e j0,264 = 0, 46ej0,52, ami azt adja meg, hogy a válazjel cúcértéke a gerjezté cúcértékének 0, 46-zeree, a válazjel fázia pedig a gerjezté fáziához képet 0, 52rad zöggel iet. Haonlóképp: W ω=20 = 0, 046 j0, 243. Ezek abzolút értéke decibel egyégben a következő: 20lg0, 46 = 6, 726dB valamint 20lg0, 247 = 2, 46dB. Olvauk le ezek értékét a diagramról i. Előbbi pont az elő 0 Ez termézeteen elvégezhető úgy i, hogy a törtet bezorozzuk egy olyan törttel, amely zámlálója i é nevezője i megegyezik ezen tört nevezőjének komplex konjugáltjával.

11 törépontnál található, értéke a már imertetett 20lg = 9, 542dB, a két érték között 3 a maximáli eltéré tapaztalható, ami kb. 3dB, a máik leolvaható érték azonban elég pontoan meghatározható a diagramból. Nézzük a radián egyégben zámított fáziok értékét: 0, 52 é, 372, amelyek rendre 29, 85 -nak é 78, 609 -nak felelnek meg. Az adatok kellő pontoággal leolvahatók a görbékről, ha azokat pl. milliméterpapíron zerkeztjük meg. 4.) A következőkben röviden tárgyaljuk a máodfokú tényezők ábrázolái módját, azaz a W l () = ( ) 2 2ξ l jellegű karakteriztikaelem amplitúdókarakteriztikáját é fázikarakteriztikáját. ( ) Ezt az 2 alakot akkor alkalmazzuk, amikor a nevező (vagy W k () = 2ξ k ω k ω k eetben a zámláló) polinomjának gyökei konjugált komplex párt alkotnak, egyébként az előbbiekben elmondott előfokú karakteriztikaelemeket kell alkalmazni. Alacony frekvencián (ω 0) ennek értéke egy való zám, amely pontoan, decibel egyégben pedig 0dB, é fázia 0. Az ω = körfrekvencián a karakteriztika a következő alakot ölti: W l ( l ) = ( ) 2 = ω j2ξl l j2ξ l, amelynek abzolút értéke /(2ξ l ) é fázia az /j tényező miatt pontoan 90. Ezen körfrekvencia környezetében a diagram alakja függ a ξ l értékétől. Egy dekáddal magaabb frekvencián, azaz az ω = 0 körfrekvencián azt kapjuk, hogy W l (j0 ) = 99 j20ξ l 00, amelynek kb. 40dB-e cillapítá (az amplitúdókarakteriztika ω > eetén 40dB/D meredekégű egyeneel közelíthető), é 80 -o fázi felel meg. Növelve a körfrekvenciát, azimptotikuan ezen görbékhez imuló értékeket kapunk. A máodfokú karakteriztikaelem Bode-diagramja látható ξ l különböző értékei mellett a 4. ábrán. Az amplitúdókarakteriztikába még berajzoltuk a 0dB-e egyenet é a 40dB/D meredekégű azimptotát i, melyek az körfrekvencián metzik egymát. K db (ω)[db] ξ=0, ξ=0,2 ξ=0,3 ξ= φ( o ) ξ=0, ξ=0,2 ξ=0,3 ξ= ω[rad/] ω[rad/] 4. ábra. A máodfokú karakteriztikaelem Bode-diagramja különböző ξ l értékek mellett ( = 2 rad )

12 Ha ezen tényező a zámlálóban zerepel, akkor az amplitúdókarakteriztika az elmondottaknak pontoan a vízzinte tengelyre vett tükörképe, a fázikarakteriztika ξ k > 0 eetén az előbbiek tükörképe, ξ k < 0 eetén pedig az előbbiekkel megegyezően alakul. Utóbbi eettel a méréen nem foglalkozunk. 5. Méréi feladatok Állíta öze az. ábrán látható kapcolát, R 2 = 3, 3 kω, C 2 = 68 nf. R é C értékét a méré orán a mérévezető adja meg. Az értékeket dekád egítégével kell beállítani. A bemenet egy hangfrekvenciá generátor, a hálózat bemenete é kimenete ozcillozkópra catlakozik. Vegye fel az így kapott hálózat Bode-féle amplitúdókarakteriztikáját é fázimenetét megfelelő zámú frekvencián é vee öze a mért é a törtvonala zámított görbéket. Az eredményeket táblázatban foglalja öze é milliméterpapíron ábrázolja (úgy, a- hogy a 3. ábrán i látható)! Hol a legnagyobb a törtvonala közelíté hibája? Számíta ki a hiba nagyágát! A bemenetre kapcoljon mot négyzögjel generátort (f = khz), é legyen R 2 = 3, 3 kω, C 2 = 68 nf, R = 2, 2 kω, C pedig változtatható. Vizgálja meg é milliméterpapíron ábrázolja a bemenet é kimenet időfüggvényét az alábbi három eetben: ω 0 = ω x, ω 0 < ω x, ω 0 > ω x. Röviden elemezze a kapott eredményeket.