1.1. A Laplace-transzformált és fontosabb tulajdonságai

Átírás

1 . A Laplace-tranzformált. A Laplace-tranzformált.. A Laplace-tranzformált é fontoabb tulajdonágai Jelölje R a való zámok é C a komplex zámok halmazát. Legyen g : [a,b] C adott komplex értékű függvény. Jelölje u = Reg, ill. v = Im g a g függvény való, ill. képzete rézét, azaz g(t) = u(t) + iv(t). Komplex értékű függvény deriváltját é integrálját az alábbiak zerint értelmezzük... Definíció. A g(t) = u(t) + iv(t) komplex értékű függvény differenciálható a t pontban, ha az u é v függvények differenciálhatók t-ben, é ekkor g (t) = u (t) + iv (t)... Definíció. A g(t) = u(t) + iv(t) komplex értékű függvény Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon, ha az u é v függvények Riemann-integrálhatók [a,b]-n, é ekkor b a g(t)dt = b a u(t)dt + i b a v(t) dt. Szükégünk van az alábbi fogalmakra..3. Definíció. Azt mondjuk, hogy a g : [a, b] C függvény zakazonként folytono [a, b]-n, ha legfeljebb vége zámú zakadái helye van [a,b]-n, é minden zakadái helyén a jobb é bal oldali határértékei léteznek é végeek..4. Megjegyzé. Világo, hogy egy komplex értékű függvény akkor é cak akkor zakazonként folytono [a, b]-n, ha a való réze é képzete réze által definiált függvények zakazonként folytonoak [a, b]-n. Való függvényekre imert tulajdonágból következik rögtön:.5. Tétel. Ha a g : [a, b] C függvény zakazonként folytono, akkor Riemann-integrálható [a,b]-n. A h : [, ) C függvénynek létezik az impropriu integrálja a [, ) intervallumon, ha a következő határérték létezik é vége: T h(t)dt def = lim h(t) dt. T A Laplace-tranzformáció bevezetééhez é annak tanulmányozáához zükégünk lez a következő két fogalomra:

2 MAM43A előadájegyzet, 8/9.6. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : [, ) C függvény zakazonként folytono [, )- n, ha bármely [,A] vége intervallumon zakazonként folytono..7. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : [, ) C függvény exponenciálian korláto a [, ) intervallumon, ha van olyan M > é α R, hogy f(t) Me αt, t..8. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : [, ) C függvény Laplace-tranzformáltja létezik az C helyen, ha az e t f(t)dt integrál létezik. Azt az F C C függényt pedig, amelyet az F() = e t f(t)dt (.) özefüggé definiált olyan C-re, amelyre az integrál létezik, az f függvény Laplace-tranzformáltjának nevezzük. Az f függvényt zoká az L{f} Laplace-tranzformált generátorfüggvényének hívni. Az f függvény Laplace-tranzformáltját a zakirodalomban az L{f}(), L[f](), L{f(t)}(), L[f(t)](), L{f( )}(), L[f( )]() vagy az általunk már haznált F() zimbólumokkal jelölik. Legyen Λ azoknak a [, )-n értelmezett való vagy komplex értékű függvényeknek a halmaza, amelyek zakazonként folytonoak é exponenciálian korlátoak [, )-en, továbbá folytonoak -ban. A következő alapvető tétel zerint minden Λ függvényoztályhoz tartozó függvénynek létezik a Laplace-tranzformáltja..9. Tétel (Egziztencia tétel). Ha f Λ, ahol f exponenciáli korlátja f(t) Me t, akkor f Laplace-tranzformáltja létezik az { C: Re > } komplex félíkon. A legkiebb olyan R zámot, amelyre az f függvény Laplace-tranzformáltja létezik az { C : Re > } komplex félíkon, a Laplace-tranzformált konvergencia abzcizájának nevezzük. A Laplace-tranzformációt úgy i felfoghatjuk, mint egy leképezét: bármely f Λ függvényhez hozzárendelhetjük az L{f} = F (C C) Laplace-tranzformált függvényt, amely értelmezve van minden olyan C-re, amelyre Re elegendően nagy. A következő tétel mutatja, hogy ez a leképezé lineári a következő értelemben:.. Tétel (linearitá). Ha f : [, ) C é g : [, ) C két olyan függvény, amelynek létezik a Laplace-tranzformáltja az C helyen, akkor tetzőlege a, b C kontanok eetén az af + bg függvény Laplace-tranzformáltja i létezik az helyen é L{af + bg}() = al{f}() + bl{g}().

3 . A Laplace-tranzformált 3 Bizonyítá: Feltételünk zerint egyaránt létezik. Így L{f}() = e t f(t)dt é L{g}() = e t g(t)dt a e t f(t)dt + b a kívánt özefüggé teljeül. e t g(t)dt = e t (af(t) + bg(t)) dt,.. Példa. Számítuk ki az f(t), (t ). függvény Laplace-tranzformáltját! Ekkor f Λ, ugyani f(t) e t, t, é így L{f}() = L{}() = ha Re >. e t dt = lim A + A e t ( dt = lim e A ) = A +,.. Példa. Számítuk ki az f(t) = e zt, (t ), z C függvény Laplace-tranzformáltját! Ekkor f Λ, ugyani f(t) e (Re z)t, t, é így L{f}() = L { e zt} () = ha Re > Rez, azaz Re( z) >. e t e zt dt = e ( z)t dt = z,.3. Példa. Legyen β R rögzített, é zámítuk ki a t co βt é t in βt függvények Laplace-tranzformáltját! Az Euler-formula zerint e iβt = co βt + iin βt é e iβt = co βt iin βt, é ezek egítégével a co é in függvények co βt = eiβt + e iβt é in βt = eiβt e iβt i alakba írhatók át tetzőlege t-re. Így { L {co βt}() = L eiβt + } e iβt () = iβ + + iβ = ha Re >. Haonlóan megmutatható, hogy ( iβ) ( + iβ) = + β, L {inβt} = β + β, Re >. Az alkalmazáokban fontoak a Laplace-tranzformált alábbi tulajdonágai.

4 4 MAM43A előadájegyzet, 8/9.4. Tétel (Cillapítái tétel). Legyen f Λ, F = L{f}, z C. Ekkor minden olyan eetben, amikor Re elég nagy. L{e zt f(t)}() = F( + z), Bizonyítá: L{e zt f(t)}() = e t e zt f(t)dt = e (+z)t f(t)dt = L{f}( + z)..5. Példa. A cillapítái tételt alkalmazva kapjuk az azonoágokat. L{e αt in βt}() = β ( α) + β, L{eαt co βt}() = α ( α) + β A következő tétel egy adott függvény é differenciálhányadoának Laplace-tranzformáltja között mutat meg özefüggét..6. Tétel. Legyen f : [, ) C olyan függvény, amely differenciálható, é deriváltjával együtt a Λ függvényoztályba tartozik. Ekkor L{f }() = L{f}() f(), minden C -re, amely való réze elegendően nagy. Bizonyítá: Mivel f,f Λ ezért ezeknek a függvényeknek létezik a Laplace-tranzformáltjuk minden olyan C-re, amelyre Re elegendően nagy. Márézt f Λ -ból következik, hogy valamely M > é α R állandókkal, é így f(t) Me αt, t, e A f(a) Me (Re α)a, ha A + é Re > α. Legyen C tetzőlegeen rögzített úgy, hogy Re > α é e t f (t)dt létezik. Tetzőlege A > eetén a parciáli integrálá zabálya zerint A e t f (t)dt = e A f(a) f() + amiből a A + határátmenettel kapjuk a özefüggét. Ezzel a tételt bizonyítottuk. e t f (t)dt = f() + A e t f(t)dt, e t f(t)dt Az.6. Tétel következményeként könnyen beláthatók a következő állítáok.

5 . A Laplace-tranzformált 5.7. Következmény. Ha f : [, ) C, é f,f,f,...,f (n) Λ, akkor L{f }() = L{f}() f() f (), ha Re elég nagy, illetve tetzőlege pozitív egéz n-re L{f (n) }() = n L{f}() n f() n f () f (n ) (), ha Re elég nagy. Bizonyítá: Az előző tétel alapján L { f } () = L {f}() f(). Márézt L { f } () = L { (f ) } () = L { f } () f () = (L {f}() f()) f () = L {f}() f() f (). A máodik állítá telje indukcióval igazolható. Eddig mindig arról az eetről bezéltünk, amikor egy időtartományban imert (azon kívül - nak definiált) függvény Laplace-tranzformáltját keretük. Az alkalmazáokban azonban okzor van zükégünk a fordított feladat megoldáára: Adott egy F C C komplex függvény, amely minden olyan C -re definiálva van amelyre Re elegendően nagy. Kereünk egy olyan f : [, ) C függvényt, amelyre L{f}() = F() teljeül minden olyan -re, amelyre Re elegendően nagy. Ha találunk egy ilyen f függvényt, akkor azt az F függvény inverz Laplace-tranzformáltjának nevezzük, é L {F }- fel jelöljük. Kérdé perze, hogy az inverz Laplace-tranzformáció egyértelműen definiált-e, azaz lehet-e az f-től különböző g függvényt találni úgy, hogy L{f}() = L{g}() = F() teljeüljön minden olyan -re, amely való réze elegendően nagy. Ha például f é g definíciója cak vége ok pontban különbözik, akkor a Riemann-integráljuk azono lez, é ezért L{f} = L{g}, azaz ekkor az inverz művelet nem egyértelműen definiált. A következő tétel értelmében (amelyet nem bizonyítunk) ha az L{f} = F egyenletnek adott F-re van folytono f megoldáa, akkor az egyértelmű. Ekkor az L {F } jelöléen ennek az egyenletnek a folytono megoldáát értjük..8. Tétel (Unicitá tétel). Ha f : [, ) C é g : [, ) C két olyan folytono függvény amelyek elemei a Λ függvényoztálynak, é Laplace-tranzformáltjaikra teljeül L{f}() = L{g}() minden C-re, amelyre Re elegendően nagy, akkor f(t) = g(t), t. A Laplace-tranzformált linearitáából rögtön következik:.9. Tétel. Az inverz Laplace-tranzformáció lineári, azaz ha F = L{f}, G = L{g}, a,b C, akkor L {af + bg} = al {F } + bl {G}.

6 6 MAM43A előadájegyzet, 8/9 Bizonyítá: L{aL {F } + bl {G}} = L{af + bg} = al{f} + bl{g} = af + bg... Példa. Számítuk ki az F() = függvény inverz Laplace-tranzformáltját! A nevező zorzattá alakítható, ezért kereük meg előzör F() parciáli törtekre bontott alakját: = 9 ( )( + 3) = A + B + 3. Ebből 9 = A( + 3) + B( ) adódik, ahova az = -t behelyetteíve kapjuk, hogy 5 = 5A, azaz A = 3, illetve az = 3-t behelyetteíve kapjuk, hogy 5 = 5B, azaz B = 5. Így F() = = , ezért az inverz Laplace-tranzformált linearitáát alkalmazva { } { } L {F }(t) = 3L (t) 5L (t) = 3e t 5e 3t Példa. Számítuk ki az F() = függvény inverz Laplace-tranzformáltját! A tört nevezője mot nem alakítható zorzattá, így telje négyzetté alakítáal kezdjük: F() = = 3 3( + ) 7 ( + ) = + 9 ( + ) + 9 = 3 + ( + ) ( + ) + 9 ezért az inverz Laplace-tranzformált linearitáát, a cillapítái tételt é a co é in függvényekre vonatkozó azonoágokat alkalmazva { L {F }(t) = 3L + }(t) ( + ) { L 3 ( + ) + 3 } (t) = 3e t co 3t 7 3 e t in 3t.

7 . A Laplace-tranzformált 7 A Laplace-tanzformált fonto alkalmazáát tezi lehetővé a következő tétel, amelyet itt nem bizonyítunk... Tétel. Legyen x: [, ) R olyan függvény, amely a [, )-en n-zer differenciálható (n N), é eleget tez az x (n) (t) + a n x (n ) (t) a x(t) = g (t), t, (.) differenciálegyenletnek, ahol a,...,a n adott kontanok é a g : [, ) R függvény a Λ függvényoztály eleme. Továbbá x kielégíti az x() = u, x () = u,..., x (n ) () = u n (.3) kezdeti feltételeket adott u,...,u n R értékekkel. Ekkor az x függvény folytono é exponenciálian korláto a [, )-en, é így eleme Λ-nak, továbbá x,x,...,x (n) Λ i teljeül. Az (.)-(.3) alakú, ú.n. kezdeti érték feladatok megoldhatók Laplace-tranzformált egítégével. A módzert a következő példán mutatjuk be..3. Példa. Tekintük az x 4x =, x() =, x () = kezdeti érték feladatot. Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját: L{x } 4L{x} =. Haználva az X() = L{x}() jelölét valamint a máodik derivált Laplace-tranzformáltjára vonatkozó azonoágot, kapjuk A kezdeti értékeket haználva azaz Bontuk parciáli törtekre X-et: X() x() x () 4X() =. 4 = amiből átzorozva kapjuk, hogy ( 4)X() =, X() = 4. ( + )( ) = A + + = A( ) + B( + ). B, Itt az = helyetteítéel rögtön kapjuk, hogy = 4A, azaz A =, é az = helyetteítét haználva pedig = 4B, azaz B =. Ezért 4 = + +. Inverz Laplace-tranzformáltat zámolva megkapjuk a kezdeti érték feladat megoldáát { } { x(t) = L {X()}(t) = L = L } = e t + et.

8 8 MAM43A előadájegyzet, 8/9.. A Laplace-tranzformált további tulajdonágai Az alábbi eredmény azt mondja, hogy a Laplace-tranzformát -zerinti deriváltját kizámíthatjuk úgy, hogy a deriválá é az impropriu integrálá orrendjét felceréljük: azaz előzör -zerint deriváljuk az e t f(t) kifejezét, majd a kapott eredménynek vezük az impropriu integrálját. Megjegyezzük, hogy ennek a formáli zámolának az igazoláa nem könnyű, a bizonyítát itt nem rézletezzük..4. Tétel. Ha az f : [, ) C függvény a Λ oztályba tartozik, akkor van olyan R, hogy az F() = e t f(t)dt, (, ) függvény az változója zerint akárhányzor differenciálható (, )-en, é tetzőlege k pozitív egéz zámra F (k) () = ( ) k e t t k f(t)dt, (, )..5. Következmény. Legyen f Λ, a konvergencia abzcizája az F = L{f} Laplacetranzformáltnak. Ekkor F (k) () = ( ) k L{t k f(t)}(), Re >. Az előző eredmény alkalmazáaként kapjuk a következő fonto özefüggét:.6. Tétel. Tetzőlege k nemnegatív egézre { L t k} () = k! k+, Re >. (.4) Bizonyítá: Az (.4) özefüggé k = -ra igaz, ugyani korábban megmutattuk, hogy L{}() =, Re >, Legyen F = L{}, é alkalmazzuk az.5. Követketményt, amelynek értelmében ( ) k L{t k }() = F k () = dk d k ( ) = ( ) k k! k+, Re >. amiből következik (.4). Bizonyítá nélkül tekintük a Laplace-tranzformált néhány egyéb tulajdonágát..7. Tétel (Haonlóági tétel). Legyen f Λ, α. Ekkor L{f(αt)}() = α L{f} ( α minden C-re, amelyre Re elegendően nagy. ),

9 . A Laplace-tranzformált 9.8. Tétel. Legyen f Λ. Ekkor { t } L f(u)du () = L{f}(), minden C-re, amelyre Re elegendően nagy..9. Tétel. Legyen az f : [, ) R függvény zakazonként folytono é p-periodiku. Ekkor L{f}() = minden C-re, amelyre Re >. e p p e t f(t)dt..3. Tétel (Kezdeti- é végérték tétel). Legyen f,f Λ. (a) Legyen R. Ekkor lim L{f}() = f(). (b) Tegyük fel, hogy L{f}() értelmezve van Re > -ra. Ekkor feltéve, hogy a határértékek léteznek. lim L{f}() = lim f(t), t.3. Az egyégugrá függvény é a négyzögjel Laplace-tranzformáltja Az alkalmazáokban fonto zerepet játzik az úgynevezett Heaviide-függvény vagy egyégugrá függvény, amelyet c [, )-re a H c (t) = {, t < c,, c t képlettel definiálunk. Világo, hogy a H c függvény zakazonként folytono é exponenciálian korláto [, )-en. Így L {H c}() létezik ha Re > é c, továbbá L {H c }() = = lim A + e t H c (t)dt = A Tehát kapjuk a következő állítát..3. Tétel. Legyen c. Ekkor c c e t dt + c e t dt e t ( dt = lim e A e c) = ( e c ), Re >. A + L {H c } () = e c, Re >.

10 MAM43A előadájegyzet, 8/9 Megjegyezzük, hogy ha H c definíciójában a t = c pontban máképp definiáljuk a függvény értékét, pl. úgy, hogy balról folytono legyen, a Laplace-tranzformáltjának az értéke nem változik. Adott egy f : [, ) C függvény é c > kontan, akkor definiáljuk a g c (t) def = {, t < c, f(t c), t c függvényt. Ez nem má, mint az f függvény eltoltja jobbra c egyéggel, úgy, hogy negatív t-re kontan -val terjeztjük ki az f függvény definícióját. A Heaviide függvény egítégével a g c függvény a g c (t) = H c (t)f(t c), t alakban i felírható, feltéve, hogy f értelmezéét (tetzőlege módon) kiterjeztjük a [ c, ] intervallumra i..3. Tétel (Eltolái tétel). Ha f Λ, c, akkor L{H c (t)f(t c)}() = e c L{f}(), ha Re elegendően nagy. Bizonyítá: Az világo, hogy g c Λ, így L{g c } létezik, é e t g c (t)dt = ha Re elegendően nagy. c e t f(t c)dt = e (u+c) f(u)du = e c e u f(u)du, Legyen a, b. Az egyégnyi négyzögjel alatt olyan függvényt értünk, amely egy adott [a, b] intervallumon kívül nulla é az intervallumon az értéke. Képletben kifejezve: {, t < a f(t) =,, a t < b b t Itt jobbról folytono függvényként definiáltuk az egyégnyi négyzögjel függvényt, de bárhogy i definiáljuk a zakadái pontokban a függvény értékét, ugyanaz lez a Laplace-tranzformáltja. Világo, hogy f(t) = H a (t) H b (t), így L{f} = L{H a } L{H b } = e a e b = e a e b..33. Példa. Tekintük az kezdeti érték feladatot, ahol x 4x = f(t), x() =, x () = f(t) = {, t <,,, t < 3, 3 t. Számítuk ki előzör az f függvény Laplace-tranzformáltját. Mivel f(t) = (H (t) H 3 (t)), ezért L{f}() = L{H (t)} L{H 3 (t)} = e e 3.

11 . A Laplace-tranzformált Így az egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját véve X() x() x () 4X() = e e 4, azaz ( 4)X() = e e 4, é így X() = e ( + )( ) e 4 ( + )( ). Előzör zámítuk ki a tört parciáli törtekre bontáát: amiből ( + )( ) = A + B + + C, = A( + )( ) + B( ) + C( + ). Az = helyetteítéből = 4A, azaz A =. Az = helyetteítéből = 8B, azaz B = 4. Az = helyetteítéel pedig = 8C, azaz C = 4 adódik. Ezért az inverz Laplace-tranzformált: { { L }(t) = L ( + )( ) } (t) = e t + 4 et. Az eltolái tétel zerint ezért a megoldá x(t) = H (t) ( + 4 e (t ) + 4 ) e(t ) = H 3 (t) ( + 4 e (t 3) + 4 ) e(t 3), t <, + 4 e (t ) + 4 e(t ), t < 3, 4 e (t ) + 4 e(t ) 4 e (t 3) 4 e(t 3), t 3. Az eltolái tétel egítégével tetzőlege zakazonként folytono függvény Laplace-tranzformáltját ki tudjuk zámítani..34. Példa. Számítuk ki az f(t) = {, t <, t 3,, t < 4, 4 t. függvény Laplace-tranzformáltját! Ehhez előzör fejezzük ki f-et Heaviide-függvényt haználva: f(t) = (H (t) H 4 (t))(t 3). Az eltolái tétel haználatához alakítuk át a függvény képletét a megfelelő módon: ( ) ( ) f(t) = H (t)(t 3) H 4 (t)(t 3) = H (t) (t ) H 4 (t) (t 4) + 5.

12 MAM43A előadájegyzet, 8/9 Ekkor az eltolái tétel zerint L{f}() = L { ( H (t) = e ( )} (t ) { L ) e 4 ( + 5 ( )} H 4 (t) (t 4) + 5 )..35. Példa. Tekintük az kezdeti érték feladatot, ahol x x 3x = f(t), x() =, x () = f(t) = {, t <, t 3,, t < 4, 4 t. Megjegyezzük, hogy az előző példában már kizámítottuk f Laplace-tranzformáltját. Az egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját véve ( X() x() x () X() + x() 3X() = e ) ( e ), azaz é így X() = ( 3)X() = + e e 45 +, ( + )( 3) + e ( + )( 3) e ( + )( 3). Már cak inverz Laplace-tranzformáltat kell zámolni! Jelölje x (t),x (t),x 3 (t) külön-külön a tagok inverze Laplace-tranzformáltjait. Számítuk ki előzör az elő tört parciáli törtekre bontáát: é így ( + )( 3) = A + + B 3, = A( 3) + B( + ). Ebből az = helyetteítéel kapjuk, hogy 3 = 4A, azaz A = 3 4. Haonlóan, az = 3 helyetteítéből kapjuk, hogy = 4B, azaz B = 4. Ezért { } { x (t) = L 3 (t) = L ( + )( 3) } (t) = e t + 4 e3t. A máodik taghoz előzör tekintük: azaz ( + )( 3) = A + B + C + + D 3, = A( + )( 3) + B( + )( 3) + C ( 3) + D ( + ). Ebből az = helyetteítéel kapjuk, hogy = 3B, azaz B = 3. Az = 3 helyetteítéből kapjuk, hogy = 36D, azaz D = 36. Az = helyetteítéel 3 = 4C, azaz C = 3 4.

13 . A Laplace-tranzformált 3 Végül az = helyetteítét haználva, = 4A 4B C + D, amiből a már kizámított együtthatókat behelyetteítve kapjuk, hogy = 4A , azaz A = 7 9. Ezért { } { L 7 (t) = L ( + )( 3) 9 3 Az eltolái tétel zerint Haonlóan, azaz x (t) = H (t) ( (t ) 3 4 e (t ) ) 36 e3(t ). 5 + A ( + )( 3) + B + C + + D 3, } (t) = t 3 4 e t 36 e3t. 5 + = A( + )( 3) + B( + )( 3) + C ( 3) + D ( + ). Az = helyetteítéel kapjuk, hogy = 3B, azaz B = 3. Az = 3 helyetteítéből kapjuk, hogy 7 = 36D, azaz D = Az = helyetteítéel 3 = 4C, azaz C = 3 4. Végül az = helyetteítét haználva, 7 = 4A 4B C +D, é így 7 = 4A , azaz A = 9. Ezért { } { L 5 + (t) = L ( + )( 3) 9 ezért az eltolái tétel zerint x 3 (t) = H 4 (t) = 9 3 t e t e3t. ( 9 3 (t 4) e (t 4) + 7 ) 36 e3(t 4). } (t) A feladat megoldáa ezután x(t) = x (t) + x (t) x 3 (t)..4. A Dirac-delta függvény é Laplace-tranzformáltja Számo alkalmazában fellépnek impulzív jelenégek, például pillanatnyi erőhatá egy mechanikai modellben, vagy pillanatnyi fezültégváltozá egy elektromo áramkörben. Ilyen impulzív hatá modellezéére gyakran haználják az ú.n. Dirac-delta függvényt vagy má néven a Diracimpulzu függvényt, amelynek zokáo jele δ(t). Tegyük fel például, hogy egy mechanikai modellben egy ki ideig kontan erő hat, amelynek az impulzua, azaz az integrálja az adott időintervallumon egyégnyi nagyágú. Tegyük fel, hogy ez az időintervallum az origóra nézve zimmetriku, legyen ez [ h,h] (h > ), azaz az erő képlete δ h (t) = { h, h t h,, t > h, é így a telje impulzua δ h (t)dt = h h δ h (t)dt =.

14 4 MAM43A előadájegyzet, 8/9 Ahogy h cökken, az egyégnyi impulzual rendelkező erőhatá egyre inkább a ki környezetére korlátozódik, de egyre nagyobb lez. Nyilván teljeül, hogy h lim δ h (t)dt = lim δ h (t)dt =. h + h + h Termézete az idealizált impulzív erőhatát δ h határértékeként definiálni, hogy ha h +, azaz legyen δ a δ h függvény pontonkénti határértéke, ha h +. Ekkor {, t =, δ(t) =, t. (.5) Márézt elvárjuk azt i, hogy a Dirac-delta függvénynek i egyégnyi impulzua legyen az egéz zámegyeneen, azaz az δ(t)dt = (.6) azonoág teljeüljön. Termézeteen való függvény nem veheti fel a értéket, é ha egy pont kivételével azonoan nulla, akkor integrálja i kell legyen, azaz egy hagyományo függvény nem teljeítheti az (.5) é (.6) azonoágokat. Ha (.6) teljeül, akkor ez azt jelenti, hogy lim h + δ h (t)dt = lim δ h(t)dt h + i teljeülne, ami tudjuk, hogy pontonkénti konvergencia eetében általában nem teljeül. A Dirac-delta függvénytől vizont azt i megköveteljük, hogy lim h + f(t)δ h (t)dt = lim f(t)δ h(t)dt h + teljeüljön minden f folytono függvényre i. Ekkor az integrálokra vonatkozó középérték tétel zerint minden h-ra létezik olyan ξ h [ h,h], hogy h f(t)δ(t)dt = lim f(t)δ h (t)dt = lim f(t)dt = lim h + h + h f(ξ h). h h + De ξ h, így f folytonoága miatt f(t)δ(t)dt = f(). (.7) A Dirac-delta függvényen tehát egy olyan δ függvényt értünk, amely rendelkezik az (.5), (.6) é (.7) tulajdonágokkal. Megmutatható mélyebb matematikai ezközöket haználva, hogy van olyan, ú.n. általánoított függvény vagy má zóval diztribúció, amely rendelkezik ezekkel a tulajdonágokkal. Ennek precíz tárgyaláa azonban meze meghaladja ennek a jegyzetnek a kereteit. Az alkalmazáokban általában a Dirac-delta függvény eltoltjai zerepelnek. Legyen c >, é tekintük a δ(t c) függvényt. Ez a c pontra koncentrálódó Dirac-impulzu függvény, amelyre teljeül, hogy minden f folytono függvény eetén. az (.8) formulát alkalmazva: L{δ(t c)}() = f(t)δ(t c)dt = f(c) (.8) Ennek Laplace-tranzformáltja i rögtön megkapható e t δ(t c)dt = e t δ(t c)dt = e c.

15 . A Laplace-tranzformált Példa. Tekintük az x + x + 4x = δ(t ), x() =, x () = kezdeti érték feladatot. Laplace-tranzformálva az egyenletet kapjuk, hogy azaz a kezdeti feltételeket haználva é így X() x() x () + X() x() + 4X() = e, ( + + 4)X() = e, X() = e ( + ). Számítuk ki előzör a cillapítái tételt haználva { } L ( + ) (t) = te t. Ezért az eltolái tétel zerint x(t) = H (t)(t )e (t ) = {, t <, (t )e (t ), t..5. Konvolúció integrál é annak Laplace-tranzformáltja Lineári differenciálegyenletek megoldáakor gyakran kell t f(t u)g(u)du alakú integrálokat kizámítanunk, ezért ezek rövidítéére vezeük be a következő jelölét..37. Definíció. Az f, g : [, ) C függvények konvolúciójának (vagy konvolúció zorzatának) nevezzük az (f g)(t) = integrált. t f(t u)g(u)du, t A konvolúció definíciójából könnyen igazolhatók az alábbi tulajdonágok:.38. Állítá. Legyen f, g, h : [, ) C függvények lokálian integrálhatók. A definíció alapján az f é g konvolúciója értelmezve van [, )-en, é a következők teljeülnek: (i) a konvolúció kommutatív, azaz f g = g f, f, g-re, (ii) a konvolúció azociatív, azaz (f g) h = f (g h), f,g,h-ra, (iii) a konvolúció diztributív az özeadára nézve, azaz (f +g) h = f h+g h, f,g,h-ra, (iv) f O = O, f-re, ahol O(t) az azonoan függvény.

16 6 MAM43A előadájegyzet, 8/9 Megmutatható, hogy ha f,g Λ, akkor f g Λ, é teljeül az alábbi alapvető állítá..39. Tétel (Konvolúció tétel). Tetzőlege f, g Λ függvényekre L {f g} () = L {f}() L {g} (), ha Re elegendően nagy. A tétel zerint zorzat inverz Laplace-tranzformálját az egye tényezők inverz Laplacetranzformáltjainak konvolúciója adja. Ennek alkalmazáaira a következő zakazban láthatunk példákat..6. Alkalmazáok.4. Példa. Adott b,ω R. Kereük azt az x : [, ) R kétzer differenciálható függvényt, amelyre a következő teljeül: é x (t) + x(t) = bin ωt, t, x() =, x () =. Az.. Tétel alapján x,x,x Λ, ezért az egyenlet két oldalának Laplace-tranzformáltját véve (elegendő nagy Re -re), é a Laplace-tranzformált tulajdonágait alkalmazva kapjuk így L{x }() + L{x}() = L{bin ωt}(), X() x() x ω () + X() = b + ω, ahol megint X() = L{x}(). Haználva az x() = é x () = megadott értékeket kapjuk, hogy ω X() = b + + ω + +, é így az.39. Tétel zerint x(t) = b t in(t u)in ωudu + co t, t. Tegyük fel előzör, hogy ω ±. Ekkor az integrált a in(t u)in ωu = ( ) co(t u ωu) co(t u + ωu) azonoágot felhaználva zámítjuk ki a következőképpen: t x(t) = b ( ) co(t ( + ω)u) co(t ( ω)u) du + co t ( [in(t = b ] ( + ω)u) u=t [ ] ) in(t ( ω)u) u=t + + co t ω u= + ω u= = b ( ) inωt + in t in ωt in t + + co t + ω + ω b = ω(in t ω in ωt) + co t, t, ω ±.

17 . A Laplace-tranzformált 7 Ha ω =, akkor x(t) = b t ( ) co(t u) co t du + co t = b (in t + t co t) + co t, t. Ha ω =, akkor bin( t) = bin t, így ez vizavezethető az előző eetre..4. Példa. Soro RLC áramkör Ha egy váltakozóáramú áramforrához oroan egy R ohmo ellenállát, egy L induktivitáú tekercet é egy C kapacitáú kondenzátort kapcolunk, akkor az ú.n. oro RLC áramkört kapjuk: L R C E(t) Tegyük fel, hogy R, L, C kontan értékek. Jelölje a t időpontban E(t) az áramforrá által az áramkörbe juttatott külő fezültéget, I(t) az áramkörben folyó áramerőéget, Q(t) a kondenzátor töltéét. Ekkor a tekerc két vége között L di dt önindukció fezültég, a kondenzátoron pedig Q/C fezültég lép fel, ezért Kirchoff máodik törvénye alapján E(t) = L di dt + Q C + RI. Ebből az I = dq dt = Q özefüggét alkalmazva kapjuk, hogy Az egyenlethez rendelt kezdeti értékek: LQ + RQ + Q = E(t). (.9) C Q() = Q, Q () = I() = I. (.) Ha E(t) differenciálható, akkor az egyenlet mindkét oldalát deriválva kapjuk az áramerőégre vonatkozó egyenletet: LI + RI + C I = E (t). Ekkor I ()-t az (.9) egyenlet egítégével fejezhetjük ki: I() = I, I () = ( E(t ) RI ) L C Q. Oldjuk meg az (.9)-(.) kezdeti érték feladatot. Az (.9) egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját véve kapjuk L L{Q}() LQ() LQ () + RL{Q}() RQ() + L{Q}() = L{E}(). C Ebből kapjuk L{Q}() = Φ() + Ψ(),

18 8 MAM43A előadájegyzet, 8/9 ahol é így Φ() = (L + R)Q + LI L + R +, Ψ() = C Q(t) = φ(t) + ψ(t), L{E}() L + R +, C ahol L{φ(t)}() = Φ() é L{ψ(t)}() = Ψ(). Vegyük ézre, hogy φ(t) az feladat megoldáa, é ψ(t) pedig az feladat megoldáa. Ly + Ry + C y =, y() = Q, y () = I Ly + Ry + C y = E(t), y() =, y () = Mot tekintük az (.9)-(.) feladat peciáli eeteit.. eet: Tegyük fel, hogy áramkörben levő elemek ellenálláa -nak tekinthető (ú.n. LC kör), azaz R =, é ninc külő fezültég a rendzeren (E(t) = ), azaz feltöltjük egy teleppel a kondenzátort, majd a telepet lekapcoljuk az áramkörből: L C Számítuk ki az (.9)-(.) kezdeti érték feladat megoldáát. Ahogy azt már láttuk, L{Q}() = Φ() = L(Q + I ) L +. C Vezeük be az ω = LC jelölét. Ezt a jelölét haználva kapjuk L{Q}() = Q + ω + I ω ω + ω, é ezért Q(t) = φ(t) = Q co ω t + I ω in ω t. Ekkor tehát a rendzer egy ω frekvenciájú zabadrezgét végez. (Az ω zámot a rendzer ajátfrekvenciájának nevezzük.). eet: Tegyük fel, hogy R =, Q =, I =, é E(t) = E co ωt külő fezültég hat a rendzerre, ahol ω ω, E R. Ekkor L{Q}() = Ψ() = E ω Lω + ω + ω,

19 . A Laplace-tranzformált 9 é ezért Q(t) = ψ(t) = E Lω = E Lω = E Lω = = t t in(ω (t u))co ωudu ( ) in(ω (t u) + ωu) + in(ω (t u) ωu) du ( co ωt co ω t + co ωt co ω ) t ω ω ω + ω E L(ω ω ) (co ωt co ω t) E L(ω ω ) in (ω ω)t in (ω + ω)t. Ha ω ω kici, akkor ω +ω > ω ω, é így a megoldá utóbbi képletét úgy i tekinthetjük, hogy az egy gyoran ozcilláló függvény, in (ω +ω)t, amelynek az amplitúdója, E L(ω ω ) in (ω ω)t laan ozcillál. Ezt a jelenéget lebegének hívják, amely tehát akkor figyelhető meg, ha a külő erő frekvenciája közel megegyezik a rendzer ajátfrekvenciájával. Egy ilyen megoldá grafikonja látható a következő ábrán t 4 L =, C = /8, E =, ω =, ω =.. 3. eet: Tegyük fel, hogy R =, Q =, I =, é E(t) = E co ω t, azaz a rendzer ajátfrekvenciájával megegyező frekvenciájú külő erő hat a rezgőkörre. Ekkor é ezért Q(t) = ψ(t) = E Lω L{Q}() = Ψ() = E Lω ω + ω t in(ω (t u))co ω udu + ω,

20 MAM43A előadájegyzet, 8/9 = E Lω t = E Lω t in ω t. ( ) in(ω (t u) + ω u) + in(ω (t u) ω u) du Ebben az eetben tehát egy olyan ozcilláló megoldát kaptunk, amelynek amplitúdója tart végtelenbe, ha t. Ezt a jelenéget rezonanciának hívják t L =, C = /5, E =, ω = eet: Tegyük fel, hogy R =, Q R, I R, é E(t) = E co ωt külő fezültég hat a rendzerre, ahol ω ω, E R. Ekkor a megoldá az. é. eetben kizámított két függvény özege lez: Q(t) = Q co ω t + I E inω t + ω L(ω ω ) (co ωt co ω t). A következő példa azt illuztrálja, hogy a Laplace-tranzformáció módzere alkalmazható kontan együttható lineári differenciálegyenlet-rendzerek megoldáára i..4. Példa. Oldjuk meg az x = 3x y + e t, x() =, y = x + 6y e t, y() = rendzert! Vegyük mindkét egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját, é haználjuk az X = L{x} é Y = L{y} jelöléeket: X() x() = 3X() Y () + Y () y() = X() + 6Y ().

21 . A Laplace-tranzformált A kezdeti feltételeket haználva Az egyenletrendzert megoldva kapjuk ( 3)X() + Y () = + X() + ( 6)Y () =. + 6 X() = ( 4)( 5)( ) 5 + Y () = ( 4)( 5)( ), é így parciáli törtekre bontva { x(t) = L } { + 6 = L ( 4)( 5)( ) 4 = 4 et + e 4t + 4 e5t { y(t) = L } 5 + ( 4)( 5)( ) = 4 et e 4t 4 e5t } 4 5 { = L 4 4 } 4 5