Jeges Zoltán. The mystery of mathematical modelling

Átírás

1 Jege Z.: A MATEMATIKAI MODELLEZÉS... ETO: 51 CONFERENCE PAPER Jege Zoltán Újvidéki Egyetem, Magyar Tannyelvű Tanítóképző Kar, Szabadka Óbudai Egyetem, Budapet zjege@live.com A matematikai modellezé rejtélyei The mytery of mathematical modelling A matematikai modellek a való rendzerek é folyamatok telje vagy rézlege vielkedéének leíráai a matematika ezközeivel. A modellalkotá fonto egédezközzé vált ahhoz, hogy a meglévő tudományo imeretek alapján új imereteket zerezzünk. A zámítátechnika rohamo fejlődéének közönhetően a modellalkotára é a modellezére alapozott kíérletezéek a műzaki tudományok mindennapi ezköztárává váltak. Minden kidolgozott modell zámo kompromizum eredménye a valóág, az elméleti imeretek é a gyakorlati alkalmazá között. A ma kutatója okzor vakon megbízik a zámítógépe eredményekben. Vajon mikor é milyen mértékben fogadhatók el a modellek alkalmazáával nyert eredmények? Hol vannak azok a rejtett tények é forráok, amelyek miatt kételkedhetünk, vagy bizalommal fogadhatjuk-e azokat az eredményeket, amelyeket a matematikai modellek zámítógépe megoldáaival nyerünk? Kulczavak: rendzerek, matematikai modellek, modellezé, zámítátechnika, numeriku matematika Bevezeté A tudomány kíérlet arra, hogy a kaotiku, okfajta érzéki tapaztalatot valamilyen egyége gondolatrendzerrel özefüggébe hozza. (Albert Eintein Ha egy villamomérnök tanár krétát vez a kezébe, é a villanymotorokról zeretne előadni, akkor így kezdi előadáát: Adott egy villanymotor. Ezután írni kezd a táblára, a táblán pedig egy ehhez haonló zimbólumokat tartalmazó zöveg jelenik meg: i ( t = 2 i co( ω t + 90 ψ Φ ( t = Φ co( ω t + 90 ψ 78

2 Jege Z.: A MATEMATIKAI MODELLEZÉS... E = n dφ ( t E ( t = n = n Φ ω in ( ω t + 90 ψ dt E ( t = n Φ ω in ( ω t 90 ψ Ezen a hallgatók termézeteen nem lepődnek meg, figyelik az egyenleteket, közben az agyukban egy kép é a képpel kapcolato folyamat jelenik meg. Φ 2 ω 1. ábra. A villanymotor rézekre bontva é a benne lejátzódó folyamat animációja Mindez nem azért történik, mert a tanár ellent akar mondani Shakepeare a Makranco hölgy I. felvonáának 1. zínében tett igen zelleme javalatnak: Matematikát, metafizikát cak annyit, hogy gyomrodnak meg ne árton. A termézet- é műzaki tudományok területén a matematika, a modellezé é a matematikai modellezé a mindennapi munka ezköztárává vált. Miért van zükégünk a modellezére, é mi a modell? A termézetben é a táradalomban található é vizgált folyamatok rendzerint mindig imeretlen truktúrájúak, é ha nem i a black-box, de a gray-box zemlélettel kezelendők. A róluk rendelkezére álló imeretek cak rézben adnak képet a rendzerekről é a bennük lezajló folyamatokról. A folyamatok rézlete megimeréére gyakran valamilyen, a folyamatokhoz haonló, de könnyen kezelhető máolatokat kézítünk. Ezek a máolatok a modellek, létrehozáuknak a folyamata a modellezé. 79

3 Jege Z.: A MATEMATIKAI MODELLEZÉS... A tudomány nem próbál magyarázni, alig i próbál interpretálni, a tudomány főként modelleket állít fel. (Neumann Jáno Szó zerinti fordítában a latin modu, modulu zó mértéket, módot, módozatot jelent. A mindennapi életben azonban ennél jóval zéleebb körű az értelmezée. A modell zóval jelöljük például: azt a rendzert, amely egy máik rendzerben (a modellezettben végbemenő jelenéghez haonló jelenéget valóít meg; egye termékek mintáit (ruhamodell, gépmodell; közlekedéi ezközök kicinyített máát; épületek geometriailag hű kiebbítéét, amelyek rendzerint zemléltető célt zolgálnak, é inkább kell makettnak nevezni; az olyan zemléltetőezközöket, amelyek valamely nagyon nagy (vagy nagyon ki objektum oktatái bemutatáára zolgálnak (pl. a hidrogénatom modellje; irodalomban é képzőművézetben olyan zemély, (ritkán állat vagy tárgy, aki, amely minta (kép valamely művézi alkotá megteremtééhez; valaminek meghatározott méretarányban kicinyített máa; makett; műzaki öntvény gyártáához haznált, különféle anyagokból kézített forma; mintadarab (ruházat önálló tervezé alapján kézült ruhadarab tb. A modellezé zéle körű alkalmazáához Jame Clark Maxwell következő ézrevétele nyitott lehetőéget: Megfigyelhető, hogy két különböző tudományban a változók olyan rendzere létezik, amelyek között a matematikai kapcolat ugyanaz, tekintet nélkül arra, hogy a folyamatok fizikai lényege egézen különböző. Fonto zerepe van a tanulá folyamatában i a modellek közötti haonlóágnak. Erre utalnak Szent-Györgyi Albert zavai: A diák cak akkor tud megérteni egy új fogalmat, egy új jelenéget, ha haonlítani tudja valamilyen általa már imert fogalomhoz, jelenéghez, é azt i megérti, hogy az»új«miben különbözik a már imert»régi«-től. A műzaki területen munkálkodó zakember általában elvont feladattípuokat vizgál. Ezek a feladattípuok rézben a gyakorlatból zármaznak. A különböző vizgált folyamatok bizonyo egyzerűített matematikai leírát ugallnak, ezek az egyzerűítéek az áttekinthetőég, a zámítátechnikai kezelhetőég, régebben imert analógiák felhaználáa érdekében rendzerint jól oztályozható, vizonylag egyzerű matematikai truktúrát adnak. Ezek a leíráok a matematikai modellek. 80

4 Jege Z.: A MATEMATIKAI MODELLEZÉS... Egy matematikai modell a matematikai egyenletek tetzőlege telje é konzizten halmaza, amelyet arra terveztek, hogy má tulajdonágok özeégét, azok prototípuát írja le. A prototípu lehet fizikai, biológiai, táradalmi, pzichológiai vagy konceptuáli (vázlato tulajdonág, vagy eetleg éppen egy máik matematikai modell. Modellnek tekinthetjük azt az elképzelt, matematikailag leírható, idealizált, elvi máolatot i, amelyet egyenletek formájában adunk meg, ez a matematikai modell. A matematikai modell jelentőégét különöen az a körülmény emeli ki, hogy valóágo vizonyok között fizikailag meg em valóítható folyamatok, vagy cak igen költégeen leképezhető folyamatok vizgálatára alkalma. Néhány cél, amelynek érdekében matematikai modelleket zerkeztünk: arra kereünk válazt, hogy mi fog történni a fizikai (biológiai tb. világban, vagyi hogyan alakulnak az állapotok jellemzői bizonyo kezdeti é peremfeltételek előíráa eetén; befolyáolni zeretnénk a további kíérleteket vagy megfigyeléeket; elő akarjuk mozdítani fogalmaink további fejlődéét é megértéét; tervezéi célok elérhetőégét zeretnénk kivizgálni tb. A matematikai modellezé eetében rendzerint imeretlen özefüggéeket tartalmazó, elő látára áttekinthetetlen rendzerekben lejátzódó folyamatokkal találkozunk, amelyekre rengeteg zavaró é zabályozó hatá, továbbá korlátozó tényező figyelembevételéről vagy figyelembe nem vételéről kell határoznunk. A rendzeren bármilyen egyzerű vagy bonyolult fizikai, kémiai, biológiai vagy információ kapcolatot értünk, ahol ezen különböző anyag- é mozgáformák elemei egymát befolyáolják. A rendzerek vizgálata orán felmerülő feladatokat két alapvető oztályba orolhatjuk: 1. a rendzeranalízi azt vizgálja, hogy ha a rendzer truktúrája é paraméterei előre adottak, akkor ezekből kiindulva hogyan állapítható meg a rendzer vielkedée é tulajdonágai; 2. a rendzerzintézi azzal foglalkozik, hogy a rendzertől megkövetelt tulajdonágokból kiindulva, hogyan kell a rendzer truktúráját kialakítani é paramétereinek értékeit meghatározni. A modellalkotá folyamata A matematikai modellezé feladata egy, a matematikában imert zimboliku nyelven megírt relációk halmazának megalkotáa. P 81

5 Jege Z.: A MATEMATIKAI MODELLEZÉS... amely a rendzerben lejátzódó vizgált folyamatot zámunkra a legkedvezőbb módon írja le. Mindeneetre a fizikai elméletek i kicerélődhetnek vagy megváltozhatnak (lád pl. newtoni mechanika einteini mechanika, de tipiku, hogy a rendelkezéünkre álló matematikai apparátu nem alkalma arra, hogy minden körülményt figyelembe vegyünk. Mindezek a felimeréek é tapaztalatok arra vezettek, hogy a modellt ne az örök igazág kifejeződéének, hanem egy időlege valaminek, a helyzet kényelme közelítéének tekintük. Ezek zerint a modellt inkább jónak vagy roznak, túlegyzerűítettnek, túlbonyolítottnak, zépnek vagy cúnyának, haznonak vagy hazontalannak, mintem igaz -nak vagy hami -nak tartjuk. Az általánoítá felé törekvő gondolkodá eredményei vizafelé i hatnak: bizonyo elméleti-matematikai oztályozából lezűrődött feladattípuok kezeléét az elméleti zakemberek kidolgozzák, a gyakorlati zakember bízva az elméleti zakemberek tudáában igyekzik ajáto feladatát e kéz típutárba beillezteni. A matematikai modellek tulajdonképpen változókat é együtthatókat özekapcoló abztrakt zerkezetek, azaz relációk. A való rendzereket leíró matematikai modellek változói é együtthatói mérhetőek. 2. ábra. A matematikai modell blokkvázlata Özetett jelenégek, folyamatok eetén igen gyakran nem lehet egzakt matematikai megoldára jutnunk. Szükég van arra, hogy méréel határozzuk meg a folyamat jellemzői közötti özefüggéeket. Ilyenkor válik nélkülözhetetlenné a haonlóági módzer. A folyamatjellemzők nagy záma miatt zinte végtelen ok változat mérée látzik zükégenek. Minden egye rendzer látzólag különbözik a többitől, é így mindegyiket külön kellene mérni. A gyakorlatban járta zakember feladata, hogy a gyakran költége méréek mennyiégét elfogadható zintre hozza. Itt talán zemélyi tapaztalatról i bezámolhatok, hiz egy való rendzeren történt mérékor amelynek rézkivitelezője voltam négyzáz tonna kerozint égettünk el. 82

6 Jege Z.: A MATEMATIKAI MODELLEZÉS... A matematikai modell a rendzer formáli működéi folyamatának cak az alapvetően jellemző törvényzerűégeit írja le, a lényegtelen tényezőket elhanyagolja. Az egyzerűített modell már nem a valóágot, hanem a valódi rendzernek többnyire cak a főbb tulajdonágait tükrözi, egyzerűített formában. A jól zerkeztett egyzerűített modell alkalma a jelenégek vizgálatára, következtetéek vonhatók le belőle a modellezett rendzer vielkedéét illetően. A valóágot híven tükröző P operátorhalmaz (amelyet gyakorlatilag ohaem imerünk mellett így megjelenik egy már imert, de leegyzerűített operátorhalmaz, a P 1. Az eltéré operátorát 1 -gyel jelöljük. Az ideáli é a rendelkezére álló modellek vizonya egy multiplikatív forma alkalmazáával a következő lez: P=P 1 Az energia é az anyagi folyamatok a termézetben folytonoak. A folytonoág leíráára a matematikai analízi módzerei alkalmazhatók. A modellek így valamilyen differenciálegyenleti formát veznek fel. A differenciálegyenletek megfejtée, megoldáa úgynevezett analitikuan zárt formában nem mindig lehetége. Itt hívja egítégül a matematika a zámítógépet. A zámítógépek mint ahogy arra a nevük i utal zámokkal zámolnak. A folytonoági jelleggel rendelkező differenciálegyenleteket kizámítható formába kell átalakítani. Ezt a feladatot a matematika numeriku módzereinek alkalmazáával végezhetjük el. Hogy érzékeljük a feladatot, figyeljük meg, hogyan lehet a legegyzerűbben a differenciálhányadot kizámítható alakra hozni: Ez az egyzerűíté egy újabb hibaforrát hoz a matematikai modellek alkalmazáának a területére. Ha az aprokzimáció hibaoperátorát 2 -vel jelöljük, a numeriku formát felvett modellt pedig P 2 -vel, akkor a további feldolgozára váró modell é az eredeti közötti vizony a következőképpen írható le: P=P 1 =P 2 (1+ 2 A továbbiakban már programozható a feladat egy, a zámítátechnikában imert kódrendzert (programozái nyelvet alkalmazva. A zámítógépek a vége automaták coportjába tartoznak. Egy zámot caki korláto binári zámrendzerben lehet leírni. Ha a matematikai modell együtthatói, kezdő értékei, valamint változói cak ok helyértékű zámokkal írhatók le, akkor úgynevezett alul- vagy felülkerekítéeket kell alkalmazni. Ez újabb 83

7 Jege Z.: A MATEMATIKAI MODELLEZÉS ábra. Korzerű zuperzámítógép hibaforrát jelent a modellkezelé é modellmegoldá folyamatában. Ha ennek a hibaforrának az operátorát 3 -mal, é a zámítái folyamatba elindított matematikai modellt P 3 -mal jelöljük, akkor a zimulációban rézt vevő modell é a való rendzer között a következő özefüggé állapítható meg: P=P 1 =P 2 (1+ 2 = P 3 (1+ 2 (1+ 3 Hibaelemzé Az előbbi elemzéek három inheren hibaforrára hívták fel a figyelmet a modellalkotá é modellalkalmazá folyamatában: 1 a termézet törvényzerűégeinek nem imeréét é az egyzerűítéeknek az alkalmazáát képvielő hibaoperátor, 2 a numeriku matematika alkalmazáával jelentkező hibaforráok operátora, 3 a zámítógép-zerkezet felépítéének járuléko hibaforráa. A termézetet folyamatoan tanulmányozza az ember, de valózínűleg ohaem fogja elérni a tökéleteéget. Így ez a hiba minden modellezé eetében fennáll. A numeriku matematika állandó kutatái terület. Napról napra újabb é újabb eljáráok cökkentik ennek a hibaforrának a kihatáát. 84

8 Jege Z.: A MATEMATIKAI MODELLEZÉS... A zámítátechnika korunk talán legintenzívebben fejleztett területe. Mindez mellett a hibaforráok mindig jelen leznek a modellezéi folyamatokban. Ezért a modellezé nem ad oha ponto eredményeket. Eredményei becléek, amelyeknek az alkalmazááról a témakör imerője dönthet cak. Illuzóriku lenne azt feltételezni, hogy a hibák majd emlegeítik egymát. The mytery of mathematical modelling Mathematical model are decription of complete or partial behaviour of real ytem and procee, uing mathematical concept. Model forming ha become an important device in gaining new knowledge baed on exiting cientific knowledge. By the fat development of computer cience, experiment baed on model forming and modelling have grown to be part of the everyday toolkit of technical cience. Each developed model i a reult of many compromie between reality, theoretical knowledge and practical application. The preent-day reearcher often blindly trut the reult gained by computer. The quetion i when and to what extent can the reult obtained by applying mathematical model be accepted. Where are the hidden fact and reource that could make u doubt, or can we acknowledge the reult obtained through mathematical model olved by computer? Keyword: ytem, mathematical model, modelling, information technology, numerical mathematic 85