Portfólióelméleti modell szerinti optimális nyugdíjrendszer

Átírás

1 MŰHELY Közgazdaág Szemle, LVIII. évf., 011. zeptember ( o.) Szüle Borbála Portfólóelmélet modell zernt optmál nyugdíjrendzer Az optmál nyugdíjrendzer elmélete ránt az utóbb években folyamato érdeklődé mutatkozk, am a demográfa folyamatokkal é a gazdaág helyzet alakuláával magyarázható. Az özefüggéek okféleége következtében az optmál nyugdíjrendzer többfajta megközelítében elemezhető. Ez a tanulmány portfólóelmélet modellben foglalkozk a nyugdíjrendzer optmál zerkezetének meghatározáával. A tanulmányban alkalmazott megközelíté zernt lehetége a tőkefedezet nyugdíjrendzerekben előforduló (pénzügy) befekteté lehetőégek é a feloztó-krovó nyugdíjrendzerbel befekteté közö a kockázat é hozam özefüggéével foglalkozó elmélet modellben való elemzée. Az optmál nyugdíjrendzer özetétele, lletve a tőkefedezet é feloztó-krovó elven működő elemek nyugdíjrendzeren belül optmál megozláa ezen elmélet megközelíté alapján a nyugdíjrendzerben rézt vevő egyének optmál portfólóválaztáa alapján meghatározható. Journal of Economc Lterature (JEL) kód: G11, H55. A nyugdíjrendzer mnt az dőkor megélheté bztoítáának egyk lehetége forráa többfajta elven működhet, napjankban több orzágban a feloztó-krovó é a tőkefedezet elv együtte jelenléte jellemz a működéét. A feloztó-krovó elv zernt az adott dőzakban felmerülő nyugdíjkfzetéek forráát alapvetően az adott dőzakban befolyó nyugdíjjárulék-bevételek jelentk (OECD [005] 51. o.). Ahogyan e megfogalmazá utal rá, a feloztó-krovó elv eetében nnc tőkefedezet, míg a tőkefedezet nyugdíjrendzereknél lényegében az egyének (nyugdíjcélú) megtakarítáa alapján történk a nyugdíjak értékének meghatározáa (uo. 44. o.). A nyugdíjrendzerek termézeteen többféleképpen coportoíthatók, a tovább elemzéek orán a feloztó-krovó é a tőkefedezet elv között azon különbégnek van jelentőége, hogy a tőkefedezet elv alkalmazáakor jellemzően pénzügy jellegű befektetéekre kerül or, míg a feloztó-krovó elv alkalmazáakor a nyugdíjrendzerbe való befekteté nem pénzügy pacon kerekedett termék váárláát jelent. Ezzel együtt azonban (a befzetett nyugdíjjárulékok é a kapott nyugdíjak özevetéével) a feloztó-krovó nyugdíjrendzer eetében zámolható egyfajta mplct hozam, amely akár egye pénzügy ezközökbe való befektetéek hozamával özehaonlítható. Tanulmányunk közö elmélet keretben kezel az egyének zámára rendelkezére álló befekteté lehetőégeket, amelyeknek hozamalakuláát ugyan egye tényezők különböző mértékben befolyáolhatják, de a hozamok özefüggée alapján optmál portfóló-özetétel zámolható. Az tt bemutatott elmélet keretben pedg az egyének zámára optmál befekteté portfóló özetétele alapján következtetn lehet a nyugdíjrendzer eetében a feloztó-krovó é a Szüle Borbála a Budapet Corvnu Egyetem oktatója (e-mal: borbala.zule@un-corvnu.hu).

2 Portfólóelmélet modell zernt optmál nyugdíjrendzer 793 tőkefedezet elvű nyugdíjfnanzírozá módzer nyugdíjrendzeren belül, portfólóelmélet zernt optmál arányára. 1 A nyugdíjrendzer mnt pecál portfóló optmál özetételének kérdéét a portfólóelmélet ezköztárával közelítjük. E témában zámo nézet mert, a kérdé elemzéének elmélet háttere pedg ok eetben makroökonóma jellegű. Az egyk gyakran dézett elmélet eredmény zernt például a (táradalm optmumot jelentő) egyenúly pac kamatláb megegyezk a népeég növekedé ütemével, a táradalm optmum pedg az elmélet modell zernt elérhető, ha a fatalok generácója tartja el az dő generácót úgy, hogy őket majd dőkorukban a majdan fatalok támogatják (Samuelon [1958]). Ebben a gondolatmenetben a feloztó-krovó nyugdíjrendzer fnanzírozá mechanzmuának egyfajta egyzerűített leíráa rejlk. Egy mák ugyancak okzor dézett megállapítá zernt a feloztó-krovó nyugdíjrendzer akkor javítja az egyének jólét helyzetét, ha az éve reálbér-növekedé ütem é a népeégnövekedé ütem özege nagyobb a kamatlábnál (Aaron [1966]). Fordított eetben (ha ez az özeg kebb a kamatlábnál) a táradalombztoítá bevezetée cak bzonyo helyzetekben nem cökkentené a jólétet (például akkor fordulhatna elő ez, ha a táradalombztoítában méretgazdaágoág érvényeülhetne). A nyugdíjrendzer témájához kapcolódó, rendkívül zéle körű zakrodalomban a feloztó- krovó, lletve a tőkefedezet nyugdíjrendzerek közül az előnyöebb kválaztáával kapcolato elemzéek tehát gyakran bzonyo növekedé ráták (lletve ezek özege), valamnt kamatláb özehaonlítáára koncentrálnak (például Aaron [1966], Samuelon [1975]). Ezekben az elemzéekben azonban a ráták változékonyága, amt bzonyo hozamok volatltáának lehet teknten, gyakran egyáltalán nem kap zerepet. A portfólóelmélet (Markowtz [1991]) eredménye zernt ezzel zemben a befekteté lehetőégek optmál kombnácójának kválaztáa orán nemcak a hozamok (várható) értékének, hanem a kockázatnak (am a hozamvolatltát érnt) kemelt a jelentőége, lletve lényege az egye hozamok között özefüggé. Ez az özefüggé a nyugdíjrendzer eetében rendkívül özetett lehet: a feloztó-krovó nyugdíjrendzer mplct hozamát befolyáoló népeégváltozá hatáal lehet például a pénzügy befektetéek hozamára (e témához kapcolódóan például Moolygó [009] említ a vagyonzugorodá hpotézel kapcolato özefüggéeket). A nyugdíjrendzert pecál portfólóként modellezve a különböző portfólóelemek (a feloztó-krovó, lletve tőkefedezet nyugdíjrendzerelemek) optmál arányára vonatkozóan következtetéeket lehet levonn elmélet modell keretén belül. A zakrodalomban e témával kapcolatban ehhez haonló elmélet megközelítét alkalmaz Dutta Kapur Orzag [000] é Maten Thøgeren [004] (az előbb fgyelmen kívül hagyja, az utóbb fgyelembe vez az együtt élő nemzedékek modellezéét). Dutta Kapur Orzag [000] modelljében a nem kockázatkerülő befektetők zámára Aaron [1966] következtetéehez haonlóan a tőkefedezet nyugdíjrendzer akkor optmál, ha a kétféle hozam eetében a tőkefedezet nyugdíjrendzer hozamának várható értéke nagyobb, mnt a mák nyugdíjrendzer hozamának várható értéke, de kockázatkerülő befektetőknél előfordulhat, hogy a kétféle nyugdíjrendzer kombnácója az optmál. Maten Thøgeren [004] modelljében (hozamok eetében lognormál elozlát feltételezve) a vzonylag alaconyabb hozamú feloztó-krovó nyugdíjrendzerbe való befekteté akkor teknthető előnyöebbnek, ha kebb mértékben korrelál a rézvénypac befekteté hozamaval. A Maten Thøgeren [004] é Dutta Kapur Orzag [000]) eredményere építve, olyan portfólóelmélet modellkeretben elemezzük a (kockázatkerülő egyénekből álló) együtt élő nemzedékek nyugdíjrendzerének optmál özetételét, amelyben a ztochaz- 1 A nyugdíjrendzer optmaltáának témája nagyon okféle zempontból elemezhető kérdé (például Smonovt [004] az azmmetrku nformáltág zerepét állítja elemzée középpontjába), azonban jelen tanulmányban előorban a portfólóelmélet zempontokkal foglalkozunk.

3 794 Szüle Borbála tku hozamok alakuláa a várható érték é zórá, a hozamok között kapcolat pedg a korrelácó alapján jellemezhető. A portfólóelmélet alapfogalmak alkalmazáa tekntetében meglévő haonlóágon túl Dutta Kapur Orzag [000] modelljéhez képet a fő eltéré, hogy a tanulmányban zereplő modell a feloztó-krovó nyugdíjrendzer mplct hozamának zámítáánál közvetlenül az együtt élő nemzedékek modellezééből ndul k, így lehetőég van például demográfa mutatózámok é az optmál portfóló kapcolatának áttekntéére. Maten Thøgeren [004] modelljéhez képet az egyk fő különbég a hozamok defnáláának módja: a tanulmányban zereplő modellben mndöze azt feltételezzük, hogy a portfóló- özeállítá orán válaztható befektetéek eetében a hozamnak van várható értéke é zóráa, az elozlára vonatkozóan egyéb feltevé nem zerepel a modellben. A tanulmány kemelten foglalkozk az optmál portfóló létrehozhatóágának feltételevel, az optmál portfólóbel arányok é a modellparaméterek között özefüggéek bemutatáával, valamnt a kockázatmente befekteté különböző optmál arányanak özehaonlítáával. A modell felépítée A portfólóelmélet modell az együtt élő nemzedékek (overlappng generaton) egyzerű modelljére épül. A feltevéek zernt a modellben egydejűleg két generácó él együtt: a fatalok, akk dolgoznak (é ezért bért kapnak), é jövedelmük egy rézét megtakarítják, valamnt az dőek, akk nem dolgoznak, hanem korább befekteté döntéüktől függő értékű megtakarítáukat fogyaztá kadáokra költk. A modellben az elő peródu vég halandóág kockázattal nem foglalkozunk (Maten Thøgeren [004]). Az egyének a feltevéek zernt egyforma kockázatkerülé jellemzőkkel rendelkeznek, é a modellben nem foglalkozunk a generácón belül eetlege jövedelemátcoportoítáok lehetőégével. Az egyforma tulajdonágokkal jellemezhető egyének feltevée alapján a portfólóválaztá döntéeket valamely reprezentatív egyén zempontjából elemezzük. A feltevéek zernt a t-edk generácóhoz tartozó egyének B t bért kapnak, ez az egyetlen forráa jövedelmüknek fatal korukban. E jövedelem egyk (1 a) rézét az elő peródubel fogyaztára fordítják, míg a maradékot (B t a) megtakarítják, hogy a máodk peróduban legyen lehetőégük fogyaztára. Jelölje a továbbakban r p az egyén által válaztott befekteté portfóló hozamát, C t, ( = 1, ) pedg a t-edk generácó -edk peródubel fogyaztáát, amely a feltevéek zernt tehát C t,1 = (1 a)b t,, lletve C t, =ab t (1 + r p ). A modell ezen paraméterenek özefüggéet az 1. ábra mutatja (a modell feltételez, hogy a feloztó-krovó nyugdíjrendzerben a bevételek é kadáok értéke megegyezk, é a nyugdíjrendzerrel kapcolato eetlege költégek fgyelmen kívül hagyhatók). 1. ábra Együtt élő generácók fogyaztáa é megtakarítáa a modellben ab t C t, (1 a)b t ab t + 1 (1 a)b t + 1 C t + 1 Ez például normál elozláú hozamok eetében teljeül. A pénzügy zakrodalom egye elmélete feltételezk a hozamok elozláa eetében a normál elozlát, bár a gyakorlatban a hozamok elozláa gyakran nem teknthető normál elozlának.

4 Portfólóelmélet modell zernt optmál nyugdíjrendzer 795 A modellben a értékét kontannak tekntjük, haonlóan például Maten Thøgeren [004] modelljéhez, amelyben a dolgozók telje jövedelmüket megtakarítára fordítják. Özetettebb elemzé keretben érdeke téma lehetne az, hogy az optmál befekteté portfóló jellemző (például kockázata) hogyan befolyáolják az optmál megtakarítá rátát, jelen modellben azonban az optmál portfóló-özetételre koncentrálunk, így ezzel a kérdéel nem foglalkozunk. A jelenbel é jövőbel fogyaztára vonatkozó bzonyo preferencák (lletve haznoágfüggvények) eetében egyébként lehet a értéke kontan. A feltevéek zernt a bér é a népeégnövekedé értéke mnden peróduban ztochaztkuan alakul, az egyén jövedelmét jelentő bér növekedé üteme valózínűég változó, amelyet g b jelöl, e valózínűég változó értéke a t-edk Bperóduban = t B + b + 1 t ( 1 gt,) vagy B = t B + b + 1 t ( 1 gt ), lletve N t létzámú t-edk generácó eetében, a népeég t-edk peróduban jellemző ténylege növekedé N = t ütemét N + n + 1 t ( 1 gt ) jelöl, amely a g n valózínűég változó egy realzácójának teknthető, tehát N = t N + n + 1 t ( 1 gt ). A bérnövekedé é népeégnövekedé ütem mnt valózínűég változók eetében feltételezzük, hogy létezk várható értékük é zóráuk, amelyek dőben kontan értékek. E feltevéek alapján a (t + 1)-edk generácó eetében [amelyk a (t + 1)-edk peróduban fatal ] a generácó zámára kfzetett öze bér értéke tehát B N = B N + b t t t t gt g n ( 1 )( 1 + t ). Az öze bér növekedé üteme valózínűég változó, ennek értéke a feloztó-krovó nyugdíjrendzer zempontjából pecálan értelmezhető, így az eredmények könnyebb átteknthetőége érdekében ezt a továbbakban jelölje t : t = ( 1+ g b t )( 1+ g n t ) 1. (1) A t-edk peróduban t értékű valózínűég változó eetében zntén feltételezzük, hogy létezk várható értéke é zóráa, é ezek a paraméterek dőben kontanok, tehát a különböző peróduokban ugyanolyan értékűek. Jelölje a továbbakban E() = μ az valózínűég változó várható értékét, Var( )= σ pedg a varancáját. Az valózínűég változó a feloztó-krovó nyugdíjrendzer mplct hozamaként értelmezhető. A feloztó-krovó nyugdíjrendzerbe való befekteté azt jelent a t-edk generácó eetében, hogy a t-edk peróduban a nyugdíjrendzerbe történő befzeté után a (t + 1)-edk peróduban nyugdíjat kapnak. A feloztó-krovó nyugdíjrendzer bevétele a (t + 1)-edk peróduban özeen B t+1 N t+1 aj (j érték a járulékkulcot jelöl, vagy a jövedelemből a nyugdíjrendzerbe befzetett réz arányára utal), a kadáok pedg P t+1 N t (ha a t-edk generácó egy tagja P t+1 értékű nyugdíjat kap, é mnden egyén a t-edk generácóban ugyanakkora nyugdíjban rézeül). A feloztó-krovó nyugdíjrendzerbe való befekteté hozama a t-edk generácó eetében tehát: Pt + 1 Nt+ 1 Bt + 1 1= 1 = t. () abt j Nt Bt Mvel az valózínűég változónak a feltevéek zernt van várható értéke é zóráa, így e két paraméter elemzéére épülő portfólóelmélet modellje alkalmazhatók. Mvel a feltevéek zernt az egye generácókhoz tartozó egyének jellemző, lletve jövedelme megegyeznek, ezért a modell nem feltételez generácón belül eltérő mplct hozamokat (amelyek a gyakorlatban eetenként előfordulhatnak, ahogyan erre például Feldten [1974] utal). Ennek a befektetének a portfólóelméletbe való belleztée orán azonban pecál megkötéekre van zükég, mvel például a portfólóbel aránya nem lehet negatív. Az érntett generácók eetében a járulékkulc azonoága feltételezéként zerepelt az előzőkben, ha a járulékkulc valamlyen fajta előíráon alapul, akkor ez nylvánvalóan értelme feltevé, az optmál portfólóválaztá tanulmányozáa orán azonban e feltételezé ndokolhatóágával érdeme foglalkozn. A járulékkulc ebben az eetben dőben akkor kontan lehet, ha az egyének hozamra é kockázatra vonatkozó preferencá, llet-

5 796 Szüle Borbála ve az optmál portfólóválaztát befolyáoló valózínűég változók paramétere dőben állandók. Ebben az eetben akkor feltételezhető a járulékkulc dőbel állandóága, ha mnden generácó külön dönt az adott generácó zámára optmál befekteté portfólóról, mvel ezen optmál dönté mnden generácó zámára ugyanaz lez a jelen modellben. A befekteté lehetőégek eetében az egyk fonto jellemző a gyakorlatban a kockázat mértéke, amelyet modellünkben a portfólóelmélet hagyományo modelljéhez (például Markowtz [1991]) haonlóan a hozam zóráával mérünk. A pénzügy befekteté lehetőégek között érdeme megkülönböztetn a kockázatmente é a kockázato befektetéeket. 3 A modellben a feltevéek zernt kockázatmentenek teknthető az a befekteté, amely hozamának zóráa nulla, vagy a hozam kontan: ezt a kockázatmente hozamot a következőkben r f jelöl. Ezzel zemben a modellben a kockázato pénzügy befekteté hozamát az r valózínűég változó jelöl, amelynek a t-edk peródubel értéke r, t. A kockázato befekteté lehetőég hozamáról mnt valózínűég változóról feltételezzük, hogy létezk várható értéke é zóráa, é ezek az értékek az dőben változatlanok: a várható értéket a továbbakban E(r ) = μ, a varancát pedg Var( r )= σ jelöl. A továbbakban a tanulmányban a befektetéek elnevezéének egyzerűítée érdekében a kockázato, de pénzügy pacon nem kerekedett (a feloztó-krovó nyugdíjrendzerben való rézvétellel özefüggő) befekteté megnevezéére a nyugdíjbefekteté kfejezét alkalmazzuk (azzal együtt, hogy a modellfeltevéek eetében termézeteen az egyéb befektetéek az dő korban való fogyaztá lehetővé tétele érdekében történhetnek). A modellben azt a feltevét alkalmazzuk, hogy a kockázatmente pénzügy befekteté lehetőég a nyugdíjrendzerben való rézvételtől függetlenül az egyének rendelkezére áll az dő kor jövedelemről való gondokodá eetében. Ilyen módon jobban átteknthetők a különböző özetételű nyugdíjrendzerekben a kockázatmente befektetéek portfólóbel arányat jellemző eltéréek. Bár a nyugdíjrendzerek zerkezet átalakítáanak állampapír-pac (lletve államadóágot érntő) hatáaval ebben a modellben nem foglalkozunk, a befektetéek kereletéhez, így a pac hozamokhoz kapcolódó érdeke eredmény lehet például az, hogy vegye nyugdíjrendzerben má nyugdíjrendzerekhez képet nagyobb-e a kockázatmente befekteté optmál aránya (például adott kínálat mellett nagyobb kerelet hatáára cökkenhetnek a pac hozamok). A generácókat alkotó, optmál befekteté döntéekre törekvő 4 egyénekről a modellben feltételezzük, hogy kockázatkerülők, é a befektetéek eetében a várható hozamon kívül a kockázat (a hozam zóráa) zerepel a hozammal kapcolato haznoágfüggvényükben. A feltevéek zernt az egyének merk a portfóló-özetétellel kapcolato döntéhez zükége paraméterek értéket. A feltevéek zernt az egyének ugyanolyan mértékben kockázatkerülők, tehát mnden befekteté döntét hozó egyén eetében a befekteté portfóló E(r p ) várható hozamának, lletve Var(r p ) varancájának fgyelembevételével a haznoágfüggvény: U =E(r p ) KVar(r p ), (3) ahol K a kockázatelutaítá mértékére utal, kockázatkerülő befektetők eetében poztív érték, am a várható hozam é a kockázat özemérééhez járul hozzá. A befektetők haznoágfüggvényének lyen módon történő defnáláa Bode Kane Marcu [005] (191. o.) defnícójához haonló. 3 Termézeteen a kockázat fogalma többféleképpen értelmezhető, például a gyakorlatban különbég lehet a nomnál é például az nflácót fgyelembe véve zámolt reálpénzáramláok kockázatoága között. 4 A modellben a feltevéek zernt az egyének raconál zempontok alapján haznoágfüggvény fgyelembevételével optmalzálják befekteté döntéeket, a gyakorlatban a nyugdíjcélú megtakarítáokra vonatkozó döntéek termézeteen ettől eltérő jellegzeteégekkel rendelkezhetnek (ezzel kapcolatban érdeke eredményeket tartalmaz Ágoton Kovác [007] íráa).

6 Portfólóelmélet modell zernt optmál nyugdíjrendzer 797 Optmál portfóló egyetlen kockázato befekteté lehetőég eetén Amennyben a kockázatmente befektetéen kívül a befektetők rendelkezéére álló egyetlen kockázato befekteté lehetőég a kockázato pénzügy termék, akkor az eredmények a pénzügy elméletben mert özefüggéekhez haonlók. Ezeket az eredményeket a modell jelöléevel vezetjük le, a modell több eredményével való egyzerűbb özehaonlíthatóág érdekében. Kockázato, pénzügy (pacon kerekedett) befekteté lehetőég é kockázatmente befekteté lehetőég rendelkezére álláa eetén az előzőkben bevezetett jelöléeket alkalmazva a t-edk generácó egy tagjának fogyaztáa dő korában C t, = ab t [(1 w )(1 + r f ) + w (1 + r )], ahol w a kockázato pénzügy befekteté arányát jelöl. A befekteté portfóló hozama zntén valózínűég változó, amelynek értéke: Ct, rp = 1 = rf + w ( r rf ). (4) abt A portfóló hozamának várható értéke é varancája fgyelembevételével a befektető haznoágfüggvénye U ( w )= rf + w ( µ rf ) Kw σ, ennek derváltja alapján a (reprezentatív) befektető haznoágának maxmumát jelentő optmál portfólóúly a kockázato pénzügy befekteté eetében: r w * f = µ Kσ. (5) Mvel d U dw = Kσ < 0, ezért ez a zélőérték-maxmum. Haonlók az eredmények az optmál portfólóval kapcolatban akkor, ha azt feltételezzük, hogy a befektetők zámára a kockázatmente (pénzügy) befektetéen kívül cak a nyugdíjbefekteté áll rendelkezére. Mvel a t-edk generácó egy (reprezentatív) tagjának dő kor fogyaztáa (am valózínűég változó) C t, = P t+1 +ab t (1 j)(1 + r f ), így a befektető zámára optmál járulékkulc (a haznoágfüggvény derváltjaval kapcolato zámoláokat az előző eredményekkel való haonlóág matt nem rézletezzük): r j * f = µ Kσ. (6) Az eredmények zernt a kockázatkerülő egyének zámára tehát akkor előnyö a nyugdíjbefekteté válaztáa (vagy akkor poztív az optmál j értéke), ha az mplct hozam várható értéke a kockázatmente hozamnál magaabb. Ez az eredmény érdekenek teknthető, fgyelembe véve, hogy a demográfa folyamatok következtében az mplct hozam várható értéke meglehetően alacony lehet (például cökkenő népeég eetében). A kéőbbekben elemezzük majd azt az eetet, amkor a befektetők nem cak egyetlen kockázato befektetét válazthatnak, é az elemzében arra ktérünk, hogy a kockázatmente hozamnál alaconyabb várható hozam valamelyk kockázato befekteté eetében automatkuan az adott befekteté optmál portfólóból való kmaradáát jelent-e. E tanulmány nem elemz rézleteen a kockázatmente befekteté pacát érő hatáokat, azonban érdeme megemlíten azokat a különbégeket, amelyek optmál portfólóválaztá eetén a kétféle nyugdíjrendzerben a kockázatmente befektetéek optmál arányat érntk. Például a több paramétert adottnak tekntve az optmál portfólóválaztá eetén a befektető akkor fektet be többet a feloztó-krovó nyugdíjrendzer eetében kockázatmente befektetébe, mnt a tőkefedezet nyugdíjrendzerben, ha µ rf σ µ < rf +. (7) σ σ

7 798 Szüle Borbála Ha tehát az mplct hozam várható értéke kebb, mnt egy bzonyo érték, akkor a modellben a kockázatmente befekteté ránt kerelet értéke nagyobb a feloztó-krovó nyugdíjrendzer eetében, mnt a tőkefedezet nyugdíjrendzernél. Bár az alkalmazott feltevéek meglehetően egyzerűek, é a gyakorlatban megfgyelhető folyamatok komplextáának telje körű fgyelembevétele nem lehetége a modellben, ezzel együtt azonban érdeke lehet ez az eredmény, mvel az egyének megtakarítáanak alakuláa a gyakorlatban ok má gazdaág folyamattal özefügghet. Optmál portfóló két kockázato befekteté lehetőég eetén Amkor egy nyugdíjrendzerben egyzerre lehetnek jelen feloztó-krovó é a tőkefedezet elemek, foglalkozn kell azzal, hogy mlyen a kapcolat a két kockázato befekteté lehetőég hozama között. A klazku portfólóelmélethez haonlóan a hozamok között együttmozgát a korrelácó együtthatóval mérjük: cov ( r, ) ρ =, (8) σσ ahol a zámlálóban a kockázato pénzügy befekteté hozama é a feloztó-krovó nyugdíjrendzer mplct hozama között kovaranca található. A korrelácó értéke eetében nem feltételezünk függvénykapcolatot valamely má, például demográfa mutatózámmal. Az előzőkben bevezetett jelöléeket alkalmazva a t-edk generácó valamely tagjának dő kor fogyaztáa C t, = ab t (1 j)[(1 + r f + w (r r f )] + P t+1, am alapján a portfóló (valózínűég változónak teknthető) hozama: Ct, rp = 1= rf ( 1 j) ( 1 w )+ r ( 1 j) w + j. (9) abt Mvel a befekteté portfóló hozamának várható értéke az előzőkben bemutatott jelöléekkel r f (1 j)(1 w ) + μ (1 j)w + μ j, míg a befekteté portfóló kockázatát jellemző varanca ( 1 j) w σ + j σ + ( 1 j) jwσσρ, ezért a befektető egyének haznoágfüggvénye: U ( w, j)= rf ( 1 j) ( 1 w )+ µ ( 1 j) w + µ j Kσ ( 1 j) w Kj σ K ( 1 (10) j) ( 1 w )+ µ ( 1 j) w + µ j Kσ ( 1 j) w Kj σ K ( 1 j) jw σ σ ρ. A befektető optmál portfólójában ebben az eetben három befekteté lehetőég fordulhat elő: a kockázatmente befekteté, valamnt a kétféle kockázato befekteté lehetőég, amelyeket j é w tükröz. A befekteté portfóló várható hozamának r f (1 j)(1 w ) + μ (1 j) w + μ j képletéből megállapítható, hogy a modell jelölée alapján a kockázatmente befekteté aránya a portfólóban (1 j)(1 w ), a kockázato pénzügy befekteté aránya a portfólóban (1 j)w, míg a nyugdíjbefekteté aránya a portfólóban j. Bár a nyugdíjrendzerrel kapcolatban a gyakorlatban gyakran jellemzők bzonyo befekteté korlátozáok, a modellben mndöze olyan módon foglalkozunk a befekteté korlátozáokkal, hogy a portfólóban nem zerepelhet a feltevéek zernt negatív, lletve egynél nagyobb úllyal rendelkező portfólóelem. 5 E feltevéek alapján felmerül a kérdé, hogy adott eetben (meghatározott paraméterek alkalmazáa eetében) a portfólóelmélet zernt zámolható optmál portfóló megfelel-e ezeknek a feltételeknek, vagy elméle- 5 A befekteté korlátozáok a kockázato pénzügy befekteté lehetőég paraméterere vonatkozó korlátozáként fgyelembe vehetők lehetnének a modellben.

8 Portfólóelmélet modell zernt optmál nyugdíjrendzer 799 tleg lehetége-e (a vzonylag egyzerű befekteté korlátozáoknak) megfelelő vegye nyugdíjrendzer létrejötte. Ezzel a kérdéel a kéőbbekben a korrelácó együttható értékével özefüggében foglalkozunk. A haznoágfüggvény derváltja alapján, a U/ w = 0 é a U/ j = 0 egyenletek megoldáával lehet következtetn a befektetéek portfólón belül optmál arányára: U ( w, j) = ( µ rf )( 1 j) K ( 1 j) jσσρ Kσ ( 1 j) w = 0. (11) w U ( w, j) = w ( 1 j) Kσ + w ( 4Kσσρ j Kσσρ µ + rf )+( µ rf ) Kσ j = 0 j (1) j) Kσ + w ( 4Kσσρ j Kσσρ µ + rf )+( µ rf ) Kσ j = 0. A (11) egyenlet alapján a kockázato pénzügy befekteté optmál portfólóbel aránya a nyugdíjjárulékkulc adott j zntjét feltételezve: µ r ** f w ( 1 j)= σ j. Kσ σ ρ (13) A (13) képletben zereplő megoldá a kockázato pénzügy befekteté portfólón belül optmál arányára vonatkozóan maxmumnak teknthető, ha j értéke nem egyégny, mvel ebben az eetben U ( w ) = ( 1 ), j w Kσ j < 0. A (13) képlet alapján az megállapítható, hogy ha a kockázato befekteté lehetőégek között korrelácó értéke nulla, vagy pedg ha az optmál befekteté portfólóban nem zerepel a nyugdíjbefekteté, akkor a kockázato pénzügy ezközbe való befekteté optmál aránya megegyezk azzal az értékkel, am a tőkefedezet nyugdíjrendzerben az (5) képlet alapján zámolható. A kockázato pénzügy befekteté eetében zámolható optmál befekteté arány a vegye nyugdíjrendzerben ennél az értéknél pedg akkor nagyobb, ha az optmál befekteté portfólóban a nyugdíjbefekteté zerepel, é a két kockázato befekteté lehetőég között korrelácó együttható értéke negatív. A (13) özefüggét alkalmazva az optmálnak teknthető járulékkulc mértékét a (14) özefüggé alapján lehet zámoln: j ( 1 ρ ) K σ + j ( rf ) ( rf ) K ( 1 ρ σ ) σ µ µ σ ρ ρ σ ( rf rf σ µ )+( µ )= j ( rf ) ( rf ) K ( 1 ρ σ ) σ µ µ σ ρ ρ σ (14) ( rf rf σ µ )+( µ )= 0. Mvel a (14) özefüggé a járulékkulcra vonatkozóan máodfokú egyenlet, ezért elméletleg két megoldá zámolható, amelyek közül az egyk egyégny, mvel j ** 1 = 4Kσ ( 1 ρ ) 4Kσ ( 1 ρ ) = 1. A mák megoldá a járulékkulc eetében nem kontan, hanem a két kockázato befektetét jellemző paraméterek függvénye: j ( µ rf ) ρ σ ( rf ) σ µ. (15) ** = Kσ 1 ρ ( ) ** A j (a továbbakban j ** ) eetében zámolt megoldá egyébként a haznoágfüggvény maxmumára utal, mvel U ( w ) = ( +, j j K w σ σ wσ σρ )< 0, ugyan a korrelácó együttható legnagyobb lehetége értéke eetében U ( w, j) j ρ= 1 = K ( w σ σ ) < 0.

9 800 Szüle Borbála A következőkben azokat a portfólóbel arányokat tekntjük megfelelő megoldának, amelyek eetében a j é w értékekre kapott optmál értékek egyaránt a haznoágfüggvény maxmumának eléréével járnak, é a nyugdíjbefekteté é a mák két befekteté portfólón belül aránya 0 é 1 között értékek. A modell eredménye olyan zempontból haonlítanak Dutta Kapur Orzag [000] eredményere, hogy a feloztó-krovó, lletve tőkefedezet réz optmál aránya több eetben (a gyakorlat zempontjából elfogadhatónak teknthető paraméterértékeknél) nem pontoan 0 vagy 1 értékek. Ez arra utal, hogy lyen elmélet modellben a vegye nyugdíjrendzer gyakran előnyöebb, mnt a nem vegye nyugdíjrendzer. Az optmum megvalóíthatóága, vagy például bzonyo befekteté korlátoknak való megfelelé azonban egy mák érdeke kérdé, amvel zntén foglalkozunk majd. A (15) képlet arra utal, hogy a vegye nyugdíjrendzerben a nyugdíjbefekteté aránya akkor lehet az optmál portfóló eetében poztív érték, ha az mplct hozam várható értéke kebb, mnt a kockázatmente hozam. Ez azért érdeke eredmény, mert a tzta (nem vegye) nyugdíjrendzerben lyen helyzet nem fordulhat elő a modellben. A. ábra mutatja, hogy adott paraméterértékek eetében (μ = 0,15, μ = 0,1, σ = 0,, σ = 0,, r f = 0,11, K = 5) az optmál járulékkulc értéke ebben a helyzetben alaconyabb értékű korrelácó eetében nagyobb.. ábra Optmál befekteté arányok a korrelácó függvényében 1, 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Korrelácó együttható Nyugdíjbefekteté Kockázato pénzügy befekteté Kockázatmente pénzügy befekteté Forrá: aját zámítáok. Szntén érdeke eredményünk, hogy abban az eetben, ha a két kockázato befekteté hozama között korrelácó értéke nulla, akkor a nyugdíjbefekteté é a kockázato pénzügy befekteté optmál aránya a vegye nyugdíjrendzerben megegyezk azzal az optmál aránnyal, amt abban az eetben kapunk, ha a portfólóról való dönté orán a befektetők zámára cak az egyk kockázato befekteté lehetőég é a kockázatmente befekteté válaztható. Ezt az eredményt a 3. ábra zemlélet (μ = 0,15, σ = 0,5, σ = 0,5, r f = 0,1, K = 1, ρ = 0). Meghatározható az a feltétel, amelynek teljeülée eetében a nyugdíjbefekteté optmál aránya a portfólóban nagyobb a vegye nyugdíjrendzer eetében (vagy j ** > j * ):

10 Portfólóelmélet modell zernt optmál nyugdíjrendzer 801 * * σ 1 j > w. (16) σ ρ A (16) özefüggében található feltétel teljeül például, ha a két kockázato befekteté várható hozama nagyobb, mnt a kockázatmente hozam (ez egye tapaztalatokkal özeegyeztethető feltétel), é a korrelácó együttható értéke negatív (ez az eredmény haonlít például Maten Thøgeren [004] eredményere). Haonló módon a kockázato pénzügy befekteté eetében a vegye nyugdíjrendzerbel optmál arány a nagyobb, ha w * > j * ( σ / )( / ) σ 1 ρ. Ez a feltétel μ > r f eetében teljeül például akkor, ha az mplct hozam várható értéke nagyobb, mnt a kockázatmente hozam, mközben a korrelácó együttható értéke negatív, vagy például akkor, ha az mplct hozam várható értéke kebb, mnt a kockázatmente hozam, mközben a korrelácó együttható értéke poztív. A kockázatmente befekteté optmál aránya a portfólón belül a j ** ** é w értékek alapján: σ σ * * ρ j ρ w ρ σ σ. (17) Bár az előző eredmények alapján negatív korrelácó együtthatónál a kockázatmente befekteté portfólóbel optmál aránya kebb lehet a vegye nyugdíjrendzerben, mnt egyébként, bzonyo paraméterértékek eetében a kockázatmente befekteté aránya nem kebb a nem vegye nyugdíjrendzerben zámolható optmál aránynál (például abban * * az eetben, ha < é r = /, lletve j < w, a kockázatmente befekteté optmál aránya a portfólóban 1 j * ). A kockázatmente befektetéek pacának jellemző é a nyugdíjrendzer zerkezetének változáa között özefüggé a gyakorlat zempontjából nagyon fonto kérdé. A feloztó-krovó nyugdíjrendzer rézben tőkefedezet elven működővé átalakítáához például a gyakorlatban általában az állampapír-pac befektetéek ránt kerelet emelkedée kapcolódk, am a pac hozamokra hatáal van. A nyugdíjrendzerek truktúrájának átalakítáakor lényege kérdét jelent az államadóág zerkezetének átalakuláa. Ezeknek 0, 3. ábra Optmál befekteté arányok az mplct hozam várható értékének függvényében 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,4 0,10 0,11 0,1 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,0 Forrá: aját zámítáok. Nyugdíjbefekteté Kockázato pénzügy befekteté Kockázatmente pénzügy befekteté Implct hozam várható értéke

11 80 Szüle Borbála az özefüggéeknek az elemzéével tanulmányunkban nem foglalkozunk, mndöze az egyk lehetége a portfólókalakítáal özefüggő hatá kemelt bemutatáával kívánunk a zakrodalomhoz hozzájáruln. A modellből levezethető érdeke eredmény lehet ugyan az a zakrodalomban korábban nem kemelt özefüggé, hogy a vegye nyugdíjrendzer eetében előfordulhat, hogy kebb a kockázatmente befekteté aránya az optmál portfólóban, mnt a cak feloztó-krovó nyugdíjrendzer eetében. Ezt az eetet könnyen átteknthetően lluztrálja például az a helyzet, amkor μ = μ = μ é σ = σ = σ. Ekkor a két kockázato befekteté lehetőég optmál aránya a portfólóban egyaránt (μ r f )/[Kσ (1 + ρ)], é mvel a nem vegye nyugdíjrendzerben a nem kockázatmente befektetéek aránya (μ r f )/Kσ lenne, ezért belátható, hogy negatív korrelácó együtthatónál egyértelműen kebb a kockázatmente befekteté aránya a vegye nyugdíjrendzerben, mnt egyébként. Ilyen helyzetben a kockázatmente befektetéek pacát érntő telje hatá értékelée orán a nyugdíjrendzer átalakítáához egyébként kapcolódó több hatáon kívül az optmál portfóló módouláa következtében a kockázatmente befektetéek ránt cökkenő kereletet fgyelembe kellene venn (legalább elmélet modellkeretben, ahol az optmál portfóló változáa jól előre jelezhetők). 6 A portfólóelmélet modellkeretből adódk az a jelenég, am a. ábrán látzk, hogy elméletleg a korrelácó együttható bzonyo értéke eetében a járulékkulc optmál értéke negatív lehetne (a 3. ábrán az látzk, hogy az optmál portfólóbel arányok elméletleg a több befekteté lehetőégnél lehetnek negatív értékűek). A nyugdíjbefekteté értelmezée ebben a modellben termézeteen kzárja a negatív portfólóbel arányok lehetőégét. A modellben az eredmények nyugdíjrendzerrel özefüggő értelmezéével kapcolatban ezenkívül azt feltételezzük, hogy mndhárom befekteté lehetőég portfólóbel aránya 0 é 1 között érték lehet. Felmerül a kérdé, hogy mlyen paraméterértékek eetében felel meg ezeknek a korlátozáoknak az optmál portfólóarányokkal zámolt megoldá. Az optmál portfólóbel arányok befekteté korlátoknak való megfelelőégét a következőkben a korrelácó együttható eetében tanulmányozzuk, rézben mvel Maten Thøgeren [004] eredménye az optmál portfólóval kapcolatban a korrelácó együttható fontoágára felhívják a fgyelmet. A korrelácó együttható értéke a defnícójából adódóan abzolút értékben maxmum egyégny lehet, lletve tovább korlátok vonatkozhatnak rá az optmál portfólóbel arányok modellben feltételezett lehetége mnmál é maxmál értékével özefüggében. A 3. ábrán megfgyelhető például, hogy vegye nyugdíjrendzerben nulla értékű korrelácó eetén a nyugdíjbefekteté optmál aránya akkor poztív, amkor a nyugdíjbefekteté mplct hozama meghaladja a kockázatmente hozam értékét. Annak feltétele például, hogy a nyugdíjbefekteté aránya poztív az optmál portfólóban: µ r σ ρ µ r. (18) Meghatározhatók a korrelácó együttható modellbel lehetége értéke arra az eetre, ha a nyugdíjbefekteté optmál értéke nem haladja meg az egyégny értéket. Az eredmények zernt a korrelácó együttható maxmál értéke: σ f f 6 Ezeket az eredményeket termézeteen vzonylagoan kell értelmezn: a portfóló-özetételre vonatkoznak, é nem valamely adott év mennyégekre (tehát például nem a váároln zándékozott állampapír-mennyégre).

12 Portfólóelmélet modell zernt optmál nyugdíjrendzer 803 ρ µ r σ f σ + µ rf σ σ µ σ σ 8K rf K ( ). (19) 4Kσ A korrelácó együttható mnmál értéke pedg, ha a nyugdíjbefekteté optmál aránya a portfólón belül a modellben nem haladja meg az egyégny értéket: ρ µ r σ f σ µ rf σ σ µ σ σ 8K rf K 4Kσ ( ). (0) A 4. ábra (18), (19) é (0) özefüggéeknek megfelelő befekteté (aló é felő) korlátokat é a korrelácó együttható lehetége mnmál é maxmál (abzolút értékben egyégny) értéke által adott korlátokat, lletve az ezen korlátozáoknak megfelelő korrelácó együtthatók lehetége értéket zemléltet (annak függvényében, hogy az mplct hozam várható értéke mennyvel haladja meg a kockázatmente hozamot) a μ = 0,15, σ = 0,5, σ = 0,, r f = 0,1, K = 0,5 paraméterértékek eetében. 4. ábra A korrelácó együttható korlátoknak megfelelő értéke,5,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 0,05 0,04 0,03 0,0 0,01 0 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 μ r f Forrá: aját zámítáok. A 4. ábra mutatja, hogy bzonyo paraméterértékek eetében a korrelácó együtthatónak még abban az eetben található olyan értéke, amely eetében a nyugdíjbefekteté portfólón belül aránya poztív, amkor az mplct hozam várható értéke a kockázatmente hozamnál kebb. Ezzel együtt azonban a 4. ábra azt zemléltet, hogy bzonyo paraméterértékek eetében a korrelácó együtthatónak nnc olyan értéke, amely alapján zámolva a nyugdíjbefekteté optmál aránya megfelelne a befekteté korlátoknak. A modellben a kockázato é kockázatmente pénzügy befekteté lehetőég eeté ben haonló módon meghatározhatók olyan feltételek (a korrelácó együtthatón kívül má paraméterekre vonatkozóan ), amelyek teljeüléekor az optmál portfólóbel arányok megfelelnek a befekteté korlátozáoknak. Ezzel kapcolatban özefoglalóan megállapítható, hogy az eredmények zernt nem mndegyk eetben zámolhatók automatkuan olyan optmál portfólóbel arányok a modellben, amelyek a befekteté korlátoknak megfelelnek, lletve több eetben cak vzonylag zűk tartományban lehet a korrelácó együttható értéke akkor, amkor az optmál megoldá megfelel a befekteté korlátozáoknak.

13 804 Szüle Borbála Özefoglalá A nyugdíjrendzer optmál özetételének témájával kterjedt zakrodalom foglalkozk. A téma elemzée orán gyakran bzonyo arányokat, lletve növekedé rátákat haonlítanak öze, ugyanakkor vzonylag zűkebb körű zakrodalom foglalkozk az elemzében előforduló növekedé ráták, lletve hozamok ztochaztku jellegzeteégevel, lletve bzonyo hozamok eetében a kockázat közvetlen modellezéével. Tanulmányunk a nyugdíjrendzer optmál özetételének témáját portfólóelmélet keretben elemz. A portfólóelméletben bzonyo hozamjellemzőkkel (várható hozam é kockázat) rendelkező befektetéek optmál kombnácót lehet meghatározn adott kockázatra é várható hozamra vonatkozó preferencák eetében. A tanulmányban bemutatott modellben a portfólóval kapcolato döntéeket olyan fatalok hozzák, akk az együtt élő nemzedékek (kétperóduo) modelljében dő kor fogyaztáukról gondokodnak a zámukra optmál portfóló válaztáával. A nyugdíjrendzer optmál özetételének elemzée orán a portfólóelmélet alkalmazáát az tez lehetővé, hogy az egyének fatal korban el nem fogyaztott jövedelme az elemzében zereplő mndkét nyugdíjfnanzírozá módzer eetében olyan befektetének teknthető, amelynek hozama é kockázata má befektetéek haonló jellemzővel özehaonlítható, lletve a feltevéek zernt értelmezhető a kockázato befekteté lehetőégek hozamanak özefüggéét mérő korrelácó. A gyakorlatban a nyugdíjrendzerekkel özefüggében gyakran említett két különböző lehetőég a feloztó-krovó, lletve a tőkefedezet rendzer. A tanulmányban bemutatott elmélet modellben e két nyugdíjfnanzírozá módzer alkalmazáához külön kockázato befekteté lehetőégek kapcolódnak. A modellben a tőkefedezet elv zernt működé a pénzügy pacon kerekedett, kockázato pénzügy befekteté lehetőég génybevételét jelent, míg a feloztó-krovó elv zernt működére a pénzügy pacon nem kerekedett nyugdíjbefekteté génybevétele utal. A pénzügy pacon való kerekedé hánya a nyugdíjbefekteté eetében azzal függ öze, hogy a kockázat forráa ekkor a demográfa folyamatok, lletve a bérnövekedé ütem alakuláa, ugyanakkor a nyugdíjbefekteté eetében zámolható egy mplct hozam, amelynek a feltevéek zernt létezk várható értéke é zóráa, ezért ez az mplct hozam bellezthető a portfólóelmélet elemzé keretébe. A kétféle kockázato befekteté lehetőégen kívül a modellben a valamely generácóhoz tartozó egyének kockázatmente befektetét válazthatnak optmál portfólójuk kalakítáa orán. Az optmál portfólóra vonatkozó dönté alapján az elmélet modell kerete között egyben a nyugdíjrendzer portfólóelmélet zempontból optmál özetételére lehet következtetn: a nyugdíjbefekteté optmál portfólón belül aránya a nyugdíjrendzer feloztó-krovó réze eetében optmál járulékkulcra utal, míg zámolható a kockázato pénzügy befekteté portfólón belül optmál aránya, amely a nyugdíjrendzer tőkefedezet rézével kapcolato eredményt jelent. Az eredmények (például az optmál járulékkulcok, a kockázato é kockázatmente pénzügy befekteté optmál aránya a portfólóban) özehaonlíthatók a vegye é a nem vegye nyugdíjrendzer eetében. A tanulmányban zereplő elemzé a portfólóelmélet zempontokra koncentrál, é nem foglalkozk a különböző nyugdíjrendzerek között átmenet költégenek vagy például a járulékkulcra vonatkozó zabályozá egye lehetége hatáanak témájával. Az eredmények zernt az egyének optmál döntéenek megfelelően zámolva a vegye nyugdíjrendzerben nem rtka, hogy egyk portfólóelem optmál aránya em nulla, am arra utal, hogy a vegye nyugdíjrendzer (amelyben a nem pénzügy pacon kerekedett kockázatokkal jellemezhető feloztó-krovó nyugdíjrendzerelemen kívül

14 Portfólóelmélet modell zernt optmál nyugdíjrendzer 805 kockázato pénzügy befektetéekkel jellemezhető tőkefedezet nyugdíjrendzer elem található az egyébként az egyének által megvalóítható kockázatmente befektetéen kívül) a modellben elméletleg gyakran jobbnak mnőül, mnt a nem vegye nyugdíjrendzerek. Előfordulhat azonban, hogy az optmál eredmények közgazdaág értelmezhetőége, a befekteté korlátozáoknak való megfelelé nem teljeül, tehát a modellben a portfólóelmélet alapján optmál megoldá több eetben em teknthető gyakorlatlag megvalóíthatónak. Az eredmények közül a korrelácó együttható értékének jelentőégére utal, hogy például negatív korrelácó együttható é a kockázatmente hozamnál nagyobb várható hozamú kockázato befekteté lehetőégek eetében az eredmények zernt a kétféle kockázato befekteté optmál aránya nagyobb a vegye nyugdíjrendzer modellezéekor (az egyetlen kockázato befekteté lehetőéget tartalmazó modellekhez képet). Az megállapítható, hogy vannak olyan helyzetek vegye nyugdíjrendzerben, amkor az optmál járulékkulc elméletleg akkor poztív lehet, amkor az mplct hozam alaconyabb, mnt a kockázatmente hozam. Szntén érdeke eredmény, hogy a vegye nyugdíjrendzerben a kockázatmente befekteté optmál portfólóbel aránya akár kebb lehet, mnt a nem vegye nyugdíjrendzerben. A már vzonylag egyzerű modellfeltevéek eetében a helyenként vzonylag bonyolultan zámolható eredmények arra utalnak, hogy a nyugdíjrendzerrel kapcolato ztochaztku özefüggéek modellezée meglehetően bonyolult. Ezzel együtt azonban eredményenkhez haonlóan a téma tovább elemzée (például a nem kontan befekteté jellemzők fgyelembevétele) hozzájárulhat a nyugdíjrendzerrel kapcolato egye özefüggéek alapoabb megmerééhez. Hvatkozáok Aaron, H. [1966]: The Socal Inurance Paradox. The Canadan Journal of Economc and Poltcal Scence, Vol. 3. No o. Ágoton Kolo Caba Kovác Erzébet [007]: A magyar öngondokodá ajátoága. Közgazdaág Szemle, 54. évf. 6. z o. Bode, Z. Kane, A. Marcu, A. J. [005]: Befektetéek. Aula Kadó, Budapet. Dutta, J. Kapur, S. Orzag, J. M. [000]: A Portfolo Approach to the Optmal Fundng of Penon. Economc Letter, o. Feldten, M. [1974]: Socal Securty, Induced Retrement, And Aggregate Captal Accumulaton. The Journal of Poltcal Economy, Vol o. Markowtz, H. M. [1991]: Portfolo Selecton. Effcent Dverfcaton of Invetment. Bal Blackwell, Oxford. Maten, E. Thøgeren, O. [004]: Degnng Socal Securty A Portfolo Choce Approach. European Economc Revew, Vol o. Moolygó Zuza [009]: A népeégöregedé, a vagyonzugorodá hpotéz é a vlággazdaág válág. Közgazdaág Szemle, 56. évf. 10. z o. OECD [005]: Prvate Penon: OECD Clafcaton and Gloary (Penon Gloary). Samuelon, P. A. [1958]: An Exact Conumpton-Loan Model of Interet Wth or Wthout the Socal Contrvance of Money. The Journal of Poltcal Economy, Vol o. Samuelon, P. A. [1975]: Optmum Socal Securty n a Lfe-Cycle Growth Model. Internatonal Economc Revew, Vol o.