Széchenyi István Egyetem MTK Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék Tartók statikája I. Dr. Papp Ferenc RÚDAK CSAVARÁSA

Átírás

1 Széchenyi Itván Egyetem MTK Szerkezetépítéi é Geotechnikai Tanzék Tartók tatikája I. 1. Prizmatiku rúdelem cavaráa r. Papp Ferenc RÚAK CSAVARÁSA Egyene tengelyű é állandó kereztmetzetű (prizmatiku) rúdelem cavarááról bezélünk, ha a rúd tengelye körül működő cavaró nyomaték hatáára a rúdelem kereztmetzetei a tengely körül elfordulnak. A cavarának két alapeetét különböztetjük meg: egyzerű (vagy St.Venant-féle) cavará; gátolt cavará. A cavará rézlete mechanikai leíráa a zakirodalomban megtalálható. Tetzőlege vékonyfalú kereztmetzetekre vonatkozó átfogó megoldát eredendően Urban é Vlazov publikált (УРВАН И. В. 1955; VLASZOV V.Z. 1961). Munkáik nyomán zámo irodalom foglalkozott a témával. Az angol nyelvű irodalomból a következőket emelnénk ki: (KOLLBRUNNER F.C. BASLER K. 1966); (CHEN, W. - ATSUTA, T. 1977b); (KOLLBRUNNER F.C. - HAJIN N. 199.). A magyar nyelvű irodalomból a következőket kell megemlítenünk: (CSELLÁR Ö. HALÁSZ O. RÉTI V ); (IVÁNYI M ). Az alábbiakban a cavará problémáját a gyakorlat oldaláról közelítjük meg. Mellőzzük a zakirodalomban zámo helyen megtalálható levezetéeket, é cak a legfontoabb fogalmakra é özefüggéekre koncentrálunk. 1.1 Az egyzerű cavará Egyzerű, vagy St.Venant-féle cavaráról bezélünk, amikor a cavaró igénybevételből a rúdelem valamennyi kereztmetzetében cak nyírófezültég keletkezik. Ez azt jelenti, hogy a cavará hatáára a kereztmetzet egyetlen alkotója em zenved relatív nyúlát (vagy rövidülét), é így nem keletkeznek normálfezültégek. Ennek az eetnek általában két alapfeltétele van: állandó cavaró igénybevétel a rúd hoza mentén; kereztmetzet zabad öblöödée. A cavará orán zemben a hajlítáal, ahol a kereztmetzetek íkok maradnak a kereztmetzeti pontok kilépnek a íkjukból: a kereztmetzet öblöödik. Amennyiben állandó cavarónyomaték mellett az öblöödé zabadon létrejöhet, akkor az alkotókban nem keletkeznek normálfezültégek. Az egyzerű cavarát a 1. ábra egítégével mutatjuk be. Vizgáljuk az I kereztmetzetű rúdelemet, amikor a végein ellentéte előjelű, de azono nagyágú cavarónyomaték hat. A 1b. ábra a numeriku módzerrel végrehajtott cavarái kíérlet eredményét mutatja. Az egyzerű cavarára vonatkozó kíérletből az alábbi általánoítá vonható le: a kereztmetzet minden alkotója egyene marad; a kereztmetzetek öblöödnek; a kereztmetzetekben cak nyírófezültég keletkezik.

2 Széchenyi Itván Egyetem MTK Szerkezetépítéi é Geotechnikai Tanzék Tartók tatikája I. a) M x M x b) c) 1. ábra. Az egyzerű (St.Venant-féle) cavarái modell: a) modell; b) cavarái deformáció; c) öblöödé. (övlemezek: 00-1; gerinclemez:88-10; rúdhoz: 6000mm; anyagminőég: S5; cavarónyomaték: M x =0 knm) A kereztmetzetek öblöödéét a 1c. ábra zemlélteti. I vagy H zelvények eetén az öblöödé az övlemezek pontjainak a kereztmetzetre merőlege irányú elmozduláában jelentkezik. Az elméleti rugalmaágtan özefüggéei alapján levezethető, hogy az egyzerű cavarának kitett, vizonylag vékony lemez kereztmetzetében a nyírófezültég a középvonalban zéru, é a lemezoldalak felé haladva lineárian változik (. ábra). b τ SV,max t. ábra. Az egyzerű cavarából zármazó nyírófezültég elozláa a vékony lemezekben.

3 Széchenyi Itván Egyetem MTK Szerkezetépítéi é Geotechnikai Tanzék Tartók tatikája I. A. ábrán vázolt St.Venant-féle nyírófezültég legnagyobb értéke: M x τ SV,max = t (1) I SV A (1) kifejezében M x a külő cavarónyomaték, I SV a kereztmetzet St.Venant-féle cavarái inercianyomatéka, é t a falvatagág. Vékony lemezek eetén a cavarái inercianyomatékot közelítőleg az alábbi kifejezéel zámíthatjuk: I 1 SV = b t () Az egyzerű cavarának ninc kitüntetett tengelye, ezért a vékony lemezekből özetett kereztmetzetek cavarái vielkedée jól leírható az alkotó lemezek cavaráának özegeként (. ábra).. ábra. A vékonyfalú özetett kereztmetzetek egyzerű cavaráának modellje. Mivel a. ábra zerinti fezültégelozlá a lemezek végein (illetve a lemezek catlakozáánál) zavart, ezért az özetett kereztmetzet cavarái inerciája kézi zámítá eetén az alkotó lemezek () zerinti inerciája módoított özegével zámítható ki: 1 I SV = c b t () A () kifejezében a c módoító tényező a -4 ábra alapján vehető fel (pl. CSELLÁR Ö. HALÁSZ O. RÉTI V ). kereztmetzet c t 1 0,6 b 1,1 1,1 4. ábra. A c módoító tényező értékei.

4 Széchenyi Itván Egyetem MTK Szerkezetépítéi é Geotechnikai Tanzék Tartók tatikája I. A kereztmetzet öblöödée a lemezek középvonalában fekvő pontoknak az (y;z) kereztmetzeti íkra merőlege u(y,z) elmozduláával írható le. Az egyégnyi elcavarodából keletkező elmozduláokat öblöödéi mértéknek nevezzük: [ m ] u( y,z ) ( y,z ) = (4) ϑ A (4) kifejezében ϑ [1/m] az egyégnyi rúdhozra jutó fajlago elcavarodá. Az (y,z) öblöödéi mérték, egyégnyi fajlago elcavarodát feltételezve, megadja az (y,z) koordináták által meghatározott kereztmetzeti pont rúdtengely irányú elmozduláát. Az (y,z) öblöödéi mérték a kereztmetzeti pont harmadik koordinátája, amely haonló zerepet tölt be a cavarái fezültégek zámítáánál, mint a hajlítái tengelyektől mért y é z távolágok a hajlítái fezültégek zámítáánál. Legyen p az A kereztmetzeti pontot tartalmazó alkotólemez távolága a cavarái tengelytől (5. ábra). Az A pontól d távolágra lévő pontba áttérve az öblöödéi mérték megváltozik: d = p d (5) A (5) kifejezé zerint az alkotólemez A é B pontja között az öblöödéi mérték megváltozáa (5b. ábra): B B = B A = d = A A p d = F (6) BA a) d b) A B A F BA p +Mc 5. ábra. Az öblöödéi mérték megváltozáa két kereztmetzeti pont között. Amennyiben adott a cavará tengelye é a kereztmetzet középvonala egy pontjában az öblöödé mértéke, akkor a (6) alapján a telje kereztmetzetre kizámítható az öblöödéi mérték. Legyen adott a rúdelem cavarái tengelye, é legyen ϕ(x) a tengely elcavarodáát leíró függvény. Egyzerű cavará eetén a külő cavaró nyomatékkal a (1) zerinti nyírófezültégek T SV eredője (belő cavarónyomaték) tart egyenúlyt: dϕ( x ) TSV = G ISV (7) A (7) kifejezében G az anyag nyírái rugalmaági modulua, I SV a kereztmetzet () zerint meghatározott cavarái inercianyomatéka. A térbeli tabilitáveztéi módok vizgálatában a (7) kifejezének fonto zerepe lez.

5 .1. A gátolt cavará Széchenyi Itván Egyetem MTK Szerkezetépítéi é Geotechnikai Tanzék Tartók tatikája I. Egyzerű cavará eetén a cavarónyomaték állandó é a rúdelem kereztmetzetei öblöödnek (a kereztmetzeti pontok kilépnek a íkjukból), de az alkotók hoza nem változik meg, é ezért az öblöödé minden kereztmetzetben egyforma: u = ϑ (8) Amennyiben a 1. ábrában vázolt rúdelem x=0 végénél az elcavarodá értékét ϕ(0)=0 értékre válaztjuk, akkor az x távolágra lévő kereztmetzet elcavarodáa: ϕ ( x ) = ϑ x (9) A (9) zerint az elcavarodái függvény lineári, ezért a cavarái tengelytől r távolágra lévő alkotó egyene marad, de α zöggel elfordul: α = r ϑ (10) Amennyiben a ϑ fajlago elcavarodá a tengely mentén változik, akkor a (10) zerint az alkotó α elfordulái zöge i változik, aminek következtében az alkotó meggörbül (kivéve a cavarái tengelyt, amelyik egyene marad). A cavarának ezt a módját gátolt cavarának nevezzük. A gátolt cavarára mutat példát a 6. ábra, ahol egy villá kéttámazú tartót középen M x külő cavarónyomaték terhel. A numerikuan végrehajtott cavarái kíérletből jól látzik, hogy az övlemezek alkotói meggörbülnek (6b. ábra). a) M x b) 6. ábra. Az egyzerű cavarának kitett gerenda: a) cavart rúdelem modellje; b) cavarái deformáció felülnézetben. (övlemezek: 00-1; gerinclemez:88-10; rúdhoz: 6000mm; anyagminőég: S5; cavarónyomaték: M x =0 knm) A fentiek alapján kimondhatjuk, hogy gátolt cavará eetén a fajlago elcavarodá változik a rúdelem mentén: dϕ( x ) ϑ ( x ) = (11) A kereztmetzeti pontok íkból való kilépée (öblöödé) a (11) alapján kifejezhető: dϕ( x ) u( x ) = ϑ( x ) = (1) Az öblöödé megváltozáa a kereztmetzettől távolágban: Az alkotó fajlago nyúláa kifejezhető a (1) kifejezéel: d ϕ du = (1)

6 Széchenyi Itván Egyetem MTK Szerkezetépítéi é Geotechnikai Tanzék Tartók tatikája I. du d ϕ ε = = (14) A (14) fajlago nyúlából öblöödéi normálfezültég keletkezik: σ d ϕ = E ε = E (15) Az öblöödéi normálfezültég az alkotó mentén változik. A növekményt a τ öblöödéi nyírófezültég ellenúlyozza (7. ábra): 1 dσ d ϕ 1 τ = t d = E S t (16) t ahol S = t d (17) σ τ τ τ d + σ σ x + 7. ábra. Az öblöödéi normálfezültég változáát ellenúlyozó nyírófezültég ábrázoláa. A (17) kereztmetzeti jellemzőt öblöödéi tatikai nyomatéknak nevezzük A (16) öblöödéi nyírófezültég a falvatagág mentén állandó, é párhuzamo a lemez középfelületévtel. Kimutatható, hogy az öblöödéi nyírófezültégek eredője a T öblöödéi cavarónyomaték: = T τ t p d (18) d A (18) kifejezében p a nyírófezültég karja a cavarái tengelyre vonatkoztatva (5.a ábra). A (5) é a (16) felhaználáával a (18) alábbi alakban írható: d ϕ( x ) T = E t d (19) Vezeük be az öblöödéi inercianyomatékot: I = t d (0) A (0) felhaználáával az öblöödéi cavarónyomaték: T d ϕ( x ) = E I (1)

7 Széchenyi Itván Egyetem MTK Szerkezetépítéi é Geotechnikai Tanzék Tartók tatikája I. Vezeük be a bimoment ( kettő nyomaték) fogalmát: d ϕ B( m ) = σ t d = E I () A (1 ) é () felhaználáával írjuk fel az öblöödéi fezültégek gyakorlatban alkalmazott alakjait: B T S σ = é τ = () I I t Emellett vegyük ézre az öblöödéi cavarónyomaték é a bimoment kapcolatát: db T = (4) A térbeli tabilitáveztéi módok vizgálatában a (1) kifejezének fonto zerepe lez. Láttuk, hogy az öblöödéi mérték függ a cavarái tengely helyétől, amit eddig adottnak feltételeztünk. Azt i láttuk, hogy a gátolt cavarából keletkező σ öblöödéi normálfezültég elozláa azono az öblöödéi mérték elozláával. Mivel a rúdelemre cak cavarónyomaték hat, ezért az öblöödéi normálfezültégeknek egyenúlyban lévő erőrendzert kell alkotniuk. Ebből következően zükége, hogy az öblöödéi normálfezültégek eredője é célzerűen az y é z tengelyekre vett nyomatéka zéru nagyágú legyen: σ t d = 0 σ y t d = 0 σ z t d = 0 A (5) kifejezéeket a kereztmetzeti állandók kiemeléével egyzerűíthetjük: t d = 0 y t d = 0 z t d = 0 (5) (-6) Kereük azt a kitüntetett kereztmetzeti pontot (cavarái tengelyt), amelyhez tartozó elozlá kielégíti a (6) feltételi egyenleteket. Ehhez vegyünk fel a tetzőlege (y 1 ;z 1 ) kereztmetzeti ponthoz tartozó 1 cavarái tengelyt, é határozzuk meg a hozzá tartozó 1 elozlát. Imert, hogy ha az (y 1 ;z 1 ) pont által meghatározott tengelyről áttérünk az (y ;z ) pont által meghatározott tengelyre, akkor az ahhoz tartozó öblöödéi mérték az alábbi kifejezéel határozható meg: ( y y1 ) z ( z z1) 0 ( y,z ) = (7) 1 + y + Mivel a (7) három imeretlent (y,z é 0 ) tartalmaz, ezért a (6) zerinti három független feltétel elegendő az imeretlenek meghatározáára.

8 Széchenyi Itván Egyetem MTK Szerkezetépítéi é Geotechnikai Tanzék Tartók tatikája I. A fentiek zerint meghatározott (y ;z ) pont a kereztmetzet cavarái (vagy máképpen nyírái) középpontja. A cavarái középpont által meghatározott tengely a rúdelem cavarái tengelye. A tengely az egyetlen olyan alkotó, amely a cavará folyamán egyene marad. A gátolt cavaráal özefüggő kereztmetzeti jellemzőket é fezültégeket a kereztmetzet cavarái középpontjához tartozó cavarái tengelyre meghatározott öblöödéi elozlá alapján kell kizámítani. A cavarái középpont helye a gyakorlatban előforduló kereztmetzetek többégénél előre imert, vagy rézben imert: kétzereen zimmetriku kereztmetzetek eetén a cavarái középpont egybeeik a C úlyponttal (8a. ábra); egyzereen zimmetriku kereztmetzetek eetén a cavarái középpont a zimmetriatengelyen helyezkedik el; a kereztmetzeti alaktól függően a pont a kereztmetzeten belül (8b. ábra), vagy azon kívül található (8c. ábra). a) C y b) c) C C C 8. ábra. A cavarái középpont helye a leggyakoribb kereztmetzetek eetében. A tetzőlege kialakítáú vékonyfalú zelvények cavarái kereztmetzeti jellemzőinek zámítáára a zakirodalomból imert eljáráok é képletek alapján történhet. Ezek közül kiemeljük Kolbrunner é Baler könyvét, ahol zámítógépe programozára i alkalma kézi agoritmut találunk (KOLBRUNNER F.C. BASLER K. 1966), illetve Cellár, Haláz é Réti magyar nyelvű könyvét, ahol táblázatokba gyűjtött képleteket közöltek a kereztmetzeti jellemzők zámítáára..1. A gátolt cavará differenciálegyenlete Gátolt cavará eetén az M x külő cavaró nyomatékot az egyzerű cavarához tartozó T SV belő cavaró nyomaték é a gátolt cavarához tartozó T öblöödéi belő cavaró nyomaték együtteen ellenúlyozza: M x TSV + T = (8) A (7) é a (1) figyelembe vételével a külő é a belő cavaró nyomatékok egyenúlyát kifejező differenciálegyenlet az alábbi alakban írható: M x = G I ϕ' E I ϕ''' (9) SV A (9) egyenletben φ= φ(x) a cavarái tengely elcavarodáát leíró elmozdulái függvény, é ( ) az x zerinti deriváltat jelzi. A (9) harmadrendű lineári differenciálegyenlet megoldáával zámo zakirodalom foglakozik. Ezek közül ki kell emelnünk Kollbrunner é Hajdin könyvét, ahol a megoldáokat megbízható formában találjuk meg (KOLLBRUNNER F.C. - HAJIN N. 199). A továbbiakban zámunkra a (9) egyenletnek lez kiemelt zerepe.