MÁTRAI MEGOLDÁSOK. 9. évfolyam

Átírás

1 MÁTRAI 016. MEGOLDÁSOK 9. évfolyam 1. Körpályán mozgó kiautó ebeége a körpálya egy pontján 1, m. A körpálya háromnegyed rézét befutva a ebeégvektor megváltozáának nagyága 1,3 m lez. a) Mekkora ebben a pontban a ebeége? Itt tökéleteen rugalmatlanul ütközik egy vele azono tömegű álló kiautóval. b) Együtt mozogva még hányadrézét tezik meg a kör kerületének? Megoldá: v 1 Δv = v v 1 (Δv) = v 1 + v v v 1 v = 0,5 m v A rugalmatlan ütközé utáni közö ebeég: v k = 0,5 m. v m 1, 0,5 t 1 t t() A mozgá v-t grafikonja alatti terület adja a megtett út mérőzámát. Ha nem lett volna ütközé, akkor a fenti diagram ábrázolná a mozgát. Az elő, t 1 időtartam alatt tezi meg a kerület háromnegyedét. Ennek felel meg a trapéz területe. 1,+0,5 t 1 = 3 4 k ebből: t 1 = k t = t t 1 A háromzögek haonlóágából: 0,7 t 1 = 0,5 t t = 5 t 7 1 = Ütközé nélkül a még megtett út: = 1 0,5 t = k = k 75 k = k lett volna. 476

2 Az ütközékor a ebeég feleződött. Az özekapcolódott két kikoci lauláa ugyanannyi, mint a magányo kocié volt, mert a mozgát akadályozó erő é a fékezett tömeg i kétzere lett. Így a megtett út a fent kizámítottnak a fele: 75 k lett.. Egy 9 V fezültéggel működő játékdaru áramfelvétele 0,1 A. A telje mechanikai munkavégzé 10%-a fordítódik a vezteégek legyőzéére. A villanymotor hatáfoka 75%. Mekkora állandó ebeéggel tud felemelni a daru egy 50 g tömegű tetet? 95 Megoldá: U=9 V, η m = 0,9; η el = 0,75; m = 750 g = 0,5 kg P el = UI = 0,9V P m = 0,75P el = 0,675W P h = 0,9P m = 0,6075W Kihaználva, hogy: P = Fv, továbbá : F = mg =,5N. Adódik: v = P = 0, 43 m. F 3. Egy téglatet legnagyobb területű lapjai egyikére egy 70 gramm lapo alumíniumhengert erőítettünk. A henger alapkörének középpontja egybeeik a téglalap zimmetria középpontjával. Úgy helyezzük a haábot vízbe, hogy az alumíniummal terhelt lap legyen alul. Így a fahaáb térfogatának 60 %-a merül a vízbe. Majd megfordítjuk a haábot úgy, hogy az alumínium kerüljön felülre. Ebben az eetben mekkora térfogatú réze merül a vízbe a fahaábnak? (Az alumínium űrűége,7 kg kg kg dm3, a fáé 0,5 dm3, a vízé 1 dm 3.) Megoldá: m al = 70g, ebből: V al = 100cm 3 Amikor az alumínium van alul: Ebből V fa = m al V al ρ fa 0,6ρ v ρ fa Megfordítá után: Numerikuan: m al g + m fa g = F f,al + F f,fa m al g + m fa g = V al ρ v g + 0,6V fa ρ v g = 70g 100cm3 g 1 cm 3 0,6 g g cm3 0,5 m al g + m fa g = V be ρ v g cm 3 = 1700cm 3 = 1,7dm 3 0,7kg + 0,85kg = V be 1 kg dm 3 V be = 1, 1dm 3

3 10. évfolyam 1. Egy zemélyautó üzemanyag fogyaztáa a jármű zámítógépének adata alapján 90 km h ebeégnél 5 liter 100 kilométerenként. Ugyanilyen ebeéggel haladva egy emelkedőn 10 liter 100 km. Az üzemanyag égéhője 4 MJ kg kg, űrűége 700 m3. Az autó tömege 100 kg. Hány zázaléko a lejtő? (A lejtő magaágának é alapjának a hányadoa, tgα.) Megoldá: A többletfogyaztá az autó emeléére fordítódik. út megtétele közben h az emelkedé. W + = mgh Q + = L é m üa A 100 km-en fogyaztott 5 liter benzin tö- 3,5 kg. Az úton fogyaztott üzemanyag tömege: m üa = 3,5kg Numerikuan: h = J 3,5kg mgh = L é m üa m 1000N = 0,15 l = 3,5kg 100 km m h = L ém üa mg h mege inα = h = 0,15 α = 7,04. A kereett meredekég: tgα = 0,13. Ami 1,3 %. Vagy: l = h = (0,15) = 0,985 A meredekég: h = 0,15 = 0,13. Ami 1,3 %. l 0,995 l = 0,995. Egy 4a hozúágú fémhuzalból négyzetet hajlítunk. Két zomzédo oldalának közelebbi harmadoló pontjához egy-egy elhanyagolható ellenálláú vezetéket forraztunk. Ezek máik végét egy 4,5 V fezültégű telephez kötjük. Ekkor az ábrán látható áramerőég-mérő 7 A erőégű áramot mér. Mekkora volt az eredeti, 4a hozúágú fémhuzal ellenálláa? A Megoldá: Egy a hozúágú oldal ellenálláa legyen R. Akkor egy R + R + R + 10 R = R é egy 1 R + 1 R = R ellenállá párhuzamo kapcolááról van zó. Ennek eredő ellenálláa: R e = A fezültég é áramadatokból: R e = U I = 1 6 Ω 10 3 R 3 R 5 = 1 3 R 9 R Ezek egyenlőégéből: R = 0,3 Ω adódik. A telje, 4a hozúágú vezető ellenálláa: 4R = 1, Ω

4 3. Nemegáz térfogata úgy változik négyzereére, hogy a p-v íkon a folyamatot egy egyene zakaz ábrázolja. A folyamat végére a belő energia változáának máfélzeree a gáz által végzett munka nagyága. A végő nyomá 100 kpa. Mekkora volt a gáz kezdeti nyomáa? Hányzoroa a gáz által felvett hő a belő energia változáának? Megoldá: A végzett munka nagyága a grafikon alatti terület nagyágával egyezik meg: W = p 1+p 3V. A belő energia megváltozáa: E b = 3 Nk T. (f=3) Azaz: E b = 3 (p V -p 1 V 1 ) = 3 (p 4V-p 1 V) p p 1 p A zöveg alapján: 3 E b =W Azaz: 3 3 (p 4 p 1 )V = 3 (p 1 + p )V V 4V V Ebből: : 3 (p 4 p 1 ) = (p 1 + p ) 6p 3 p 1 = p 1 + p p 1 = p A kezdeti nyomá: p 1 = 10 5 Pa (Ezek zerint nem a valóágnak megfelelő az indító ábra, de ezzel i ki lehet zámolni.) Az I. főtétel zerint: E b = Q + W Azaz: Q = E b W = E b + 3 E b = 5 E b A kereett arány: Q = 5 E b megkapható.) (Ez az arány a megfelelő p, V értékek vizahelyetteítéével i

5 11. évfolyam 1. Egy 100 N rugóállandójú rugón két m tömegű tet függ az ábrán látható m módon. Az özekötő fonál 10 cm hozú. A tetek tömege 1,5 kg. Az özekötő fonal elégetée után 0,1 máodperccel milyen távol leznek egymától a tetek? (Milliméter pontoággal válazolj!) Mekkora lez ekkor a relatív ebeégük? (A végeredményt m/-ban, két tizedejegyre zámolva add meg!) (A nehézégi gyorulá értéke 9,81 m.) m m Megoldá: A rugó kezdeti megnyúláa 30 cm. A fonál elvágáa után az aló zabadon eik, a felő harmoniku rezgőmozgát fog végezni, aminek amplitúdója 15 cm, mivel egy tet a rugót 15 cm-rel nyújtja meg, ott van az egyenúlyi helyzet, az alól 15 cm-rel indul, felfelé. Ezt a helyzetet vezük kiindulának úgy, hogy amplitúdónyi a kitéré. (Lefelé pozitív.) Így a kitéré idő függvény kozinuzo lez. y = Acoωt T = π m D = 0,77 ω = π T = 8,16 1 Így 0,1 múlva a kitéré: y = 15cm co(8,16 0,1) = 10,8 cm 10,3 cm. Ebből következik, hogy a kiindulái helyzettől 4,7 cm-t távolodott felfelé. Az eő tet zabadon eik: h = g t = 4,9 cm lefelé. A két tet távolága: 10 cm + 4,7 cm + 4,9 cm = 19, 6 cm. A relatív ebeég meghatározáa: A felő tet ebeég-idő függvénye zinuzo lez: v = Aωinωt Adatainkkal: v = 0,15m 8,16 1 in(8,16 0,1) = 0,89 m felfelé. Az aló zabadon eik v = gt = 9,81 m 0,1 = 0,981 m 0,98 m lefelé. A relatív ebeég: v r = 0,89 m + 0,98 m = 1, 87 m. Egy vízzel töltött Mikola-cő a vízzinteel 30 -o zöget zár be. A buborék kereztmetzete 0,5 cm. A benne felfelé egyenleteen haladó buborék hozúága cm. A buborékban lévő levegő tömege elhanyagolható. Mekkora közegellenállái erő hat mozgá közben a buborékra? A buborék egyenleteen mozog, a rá ható erők eredője nulla. Három erő hat rá: közegellenállá, nyomóerő é felhajtóerő. F k = F f =ρ vahg = 0, 5 N F f F k F ny

6 3. Párhuzamo, egymától 0 cm távolágban lévő két ín 30 -o hajlázögű, elegendő hozú lejtőt alkot. A lejtőre merőlegeen T indukciójú mágnee tér hat. A ínek közé 10 Ω-o ellenállát é egy 1,5 V-o telepet kapcoltunk. A ínpárra vízzinte helyzetű 0 g tömegű fémrúdat fektettünk. A ínpár é a fémrúd ellenálláa elhanyagolható. Mekkora ebeégre gyorulhat fel a fémrúd? Megoldá: Ha a gyorulá nulla, akkor F m = mginα = 0,1N F m = BIl I = F m Bl =0,5A U 0 + U i IR = 0 U i = U 0 + IR U i = 4V U i = Blv v = U i BL v = 10 m

7 1. évfolyam 1. Egy 1 cm fókuztávolágú vékony gyűjtőlence optikai tengelyén egy kellően fényerő, pontzerűnek tekinthető zentjánobogár mozog egy zakaz mentén. A lencétől mért legkiebb távolága 16 cm. Ekkor a bogárnak éle képe jelenik meg a lence előtt elhelyezett ernyőn. A bogár további mozgáa orán, az ernyőn egy fénykört látunk. a) Mekkora a bogár legnagyobb távolága a lencétől, ha az ernyőn létrejövő legnagyobb fénykör ugara 5 -zoroa a kör alakú lence ugarának? 3 Egy máik eetben a bogár a lencétől mért legkiebb távolágról (16 cm) indulva cm állandó ebeéggel távolodik a lencétől. A mozgá két máodpercig tart. A lencét elhagyó fény- ugarak az optikai tengely egy pontjában metzik egymát. b) Add meg, milyen függvény zerint távolodik ez a pont az ernyőtől! (Hozzárendeléi zabály.) Megoldá: a) Ha éle kép keletkezik, akkor a leképezéi törvény zerint: 1 = f k t Ebből: k = ft. Ebből k=48 cm. t f Tehát a lence é az ernyő távolága 48 cm. x y R r Az ábra zerint: x + y = 48 Haonló háromzögek alapján: x y = r R = 3 5 Az egyenletrendzer megoldáa: x=18 cm y=30 cm. x a legtávolabbi pontban lévő bogár képtávolága. A leképezéi törvény alapján: 1 1 = t Ebből a legnagyobb távolágra t = 36 cm adódik. b) A tárgytávolág (centiméterben): 16+τ A leképezéi törvényből: : k = ft = 1 (16+τ) = 19+4τ t f 16+τ 1 4+τ Kicit átalakítva: k = 48+4τ+144 = τ 4+τ Az ernyőtől való távolodá függvénye: m = 48 k = m = τ 4+τ 0 τ. Távolágok cm-ben, ebeég cm/-ban mérve.. Az ábrán látható M tömegű, L=0,6 m hozú kikocin R=0,3 m ugarú, elhanyagolható tömegű, negyed körív alakú lejtő van. A koci vízzinte felülete h=0, m magaan van a talaj felett. A negyed körív tetejéről lecúzik egy m tömegű pontzerű tet (M=m). A úrlódá

8 elhanyagolható. Az m tömegű tet földet éréekor milyen meze lez a kocitól? Megoldá: 1) mgr = 1 mu Mu mgr = 1 mu mu ebből: gr = u 1 + u Behelyetteíté után: 6 = u 1 + u ) 0 = Mu + mu 1, kihaználva, hogy M = m kapjuk, hogy: u = u 1

9 1 ) 6 = (u ) + u, Ebből: u = 1 m, illetve u 1 = m 3) h = g t, ebből t = h g t = 0, 4) t = 1 +, azaz d = u 1 t + u t = m + 1 m 0, = 0, 6 m 3. Egy függőlege tengelyű, 15 cm hozúágú 600 menete tekerc kör kereztmetzetű cévetetének ugara 4 cm. A tekerc belejében, a cévetet kereztmetzetével koncentrikuan, a tekerc tengelyére merőlegeen egy 3 cm ugarú, vékony, alumíniumból kézült karika van. (Például zigetelő fonalakkal belógatva.) Mekkora erő hat a karika egye elektronjaira, ha a tekercben 0,0 alatt 0-ról 5 A-re nő az áram erőége? Megoldá: A mágnee indukció változáa a tekerc belejében: B = μ 0 N I = 0,051 T. A fluxuváltozá a karika belejében: Φ = A ΔB ahol A karika kereztmetzetének területe A = r π = 0,03 π m =, m. Így Φ =, m 0,051 T = 7, V. A közben indukálódott fezültég: U = Φ = 7, t 0,0 Márézt a tekerc kerületén U = rπe = F q rπ Innen F = Uq = 3, , = N rπ 0,03π V = 3, V. l