Sztochasztikus csődjátékok avagy hogyan osszunk szét egy bizonytalan méretű tortát?

Átírás

1 Közgazdaág Szemle, LIX. évf., december ( o.) Hab Helga Sztochaztku cődjátékok avagy hogyan ozunk zét egy bzonytalan méretű tortát? A kooperatív játékelmélet egyk legjelentőebb eredménye, hogy zámo konflktuhelyzetben tabl megoldát nyújt. Ez azonban cak tatku é determnztku környezetben alkalmazható jól. Mot megmutatjuk a mag egy olyan kterjeztéét a gyenge zekvencál magot, amely képe való, dnamku, bzonytalan környezetben elgazítát nyújtan. A megoldát a cődjátékok példájára alkalmazzuk, é egítégével megvzgáljuk, hogy a pénzügy rodalom mert eloztá zabálya közül melyek vezetnek tabl, fenntartható eredményre.* Journal of Economc Lterature (JEL) kód: C71, C73. Hogyan ozunk fel egy tortát? Ez a kooperatív vagy koalícó játékelmélet egyk legfontoabb kérdée. A válaz pedg zámo közgazdaág é táradalm probléma megoldáához fonto lehet. Ilyen a legtöbb nemzetköz együttműködé (például a NATO), a termézet erőforráok eloztáa (víz), a zavazá, az kola felvétel eljáráok tb. Ezek a problémák matematka modellezée a játékelmélet abztraktabb, koalícó elméletével írható le. A játék cak azt írhatja le, hogy a játékook é azok különböző coportja, a koalícók mt érhetnek el, ha együttműködnek. A megoldá pedg ezen együttműködé haznanak valamlyen eloztáa. A kooperatív játékelmélet legmertebb é legelterjedtebb megoldáfogalma a mag, am olyan eloztáok halmaza, amelyektől emmlyen koalícónak nem érdeme eltérne, mert ezáltal nem érhetnének el magaabb haznoágot, lletve kfzetét. Ezért a mag a megállapodáok tabltáának záloga. Alkalmazhatóágát azonban zámo rendkívül erő feltevé korlátozza: a klazku, tatku kooperatív elmélet kötelező érvényű megállapodáokat feltételez. Egy változó é bzonytalan környezetben ez a feltevé meglehetően valóágdegen. Ebben a tanulmányban bemutatjuk a mag egy olyan kterjezté lehetőégét, amely feloldja ezt az erő feltevét, ezáltal okkal zéleebb problémakörben válk alkal- * A kutatát az OTKA pályázata (PD ), a Budapet Corvnu Egyetem Kutatá Kválóág Díja é a Magyar Tudományo Akadéma Lendület programja (LD-004/2010) támogatta. Hab Helga, Budapet Corvnu Egyetem, Lund Egyetem é MTA KRTK Közgazdaág- tudomány Intézete (e-mal: helga.hab@un-corvnu.hu).

2 1300 Hab Helga mazhatóvá. A megoldá az úgynevezett gyenge zekvencál mag (Weak Sequental Core). Ennek lényege, hogy kötelező érvényű megállapodáok híján cak olyan koalícók alakuláát enged meg, amelyek tagjanak érdekében áll a koalícó jövőbel fenntartáa, abból nem fognak a jövőben em klépn. A gyenge zekvencál mag egítégével olyan cődhelyzeteket elemzünk, ahol a feloztandó vagyon értéke é a követeléek özege bzonytalan lehet. Megvzgáljuk, hogy a különböző feloztá zabályok: a Talmud-zabály, az arányo eloztá, a módoított arányo eloztá, a korláto egyenlő díjazá, a korláto egyenlő vezteég é a véletlen érkezé zabálya tabl eredményre vezetnek-e egy lyen környezetben. A tanulmány zerkezete a következő. Az alapvető játékelmélet fogalmak é jelöléek bevezeté után bemutatjuk a gyenge zekvencál magot. Ezután a cődproblémát elemezzük, defnáljuk az alapjátékot, mertetjük az eloztá zabályokat, majd a ztochaztku környezetre áttérve, megvzgáljuk a zabályok tabltáát a gyenge zekvencál mag egítégével. Fogalmak é jelöléek Tekntünk egy két dőzako, t T = {0, 1} játékot. Az 1. dőzakban a vége ok lehetége vlágállapotból S (tate of nature) pontoan egy következk be. 1 A 0. dőzak vlágállapota = 0, így az öze vlágállapot halmaza S = {0} S. Az 1. dőzakban a játékook egy átruházható haznoágú kooperatív játékot, rövden TU-játékot játzanak, ahol megengedjük, hogy maga a játék az adott vlágállapot függvénye legyen. Az S dőzakban játzott Γ TU-játék egy pár, (N, v ), ahol N = {1, 2,..., n} a játékook halmaza é v : 2 N R egy karakterztku függvény, amely a játékook mnden lehetége rézhalmazához C N hozzárendel azok értékét, v (C)-t. 2 Az -edk játéko preferencát egy haznoág függvénnyel írjuk le; u : R S R, amely S mnden kfzeté proflhoz x = ( x,, 1 xs) R egy haznoágértéket, u (x )-t rendel. A haznoág függvényről feltezük, hogy folytono é állapotzeparábl, azaz felírható u ( x ) = u( x S ) alakban, ahol u x ( ) monoton növekvő. Vegyük ézre, hogy a jól mert Neumann Morgentern-féle haznoág függvény például eleget tez ezen feltevéeknek. A fentek alapján már defnálhatjuk az átruházható haznoágú játékokat bzonytalanággal, amely játékoztályt eredetleg a Hab Herng [2011b] ckk vezetett be. 1. defnícó Az átruházható haznoágú kooperatív játék bzonytalanággal (TUU-játék, tranferable utlty game wth uncertanty) Γ négy özetevővel adható meg, (N, S, v, u), ahol v = (v 1,..., v ) é u = (u 1,..., u n ). 1 Mnket termézeteen az az eet érdekel előorban, amkor S > 1. 2 Itt feltezük, hogy v ( ) = 0.

3 Sztochaztku cődjátékok Vegyük ézre, hogy a 0. dőzakban nncenek kfzetéek: a játékook tt zembeülnek a bzonytalanággal é eldönthetk, hogy együttműködnek-e. A TUU-játék központ kérdée, hogy mként ozuk el a nagykoalícó értékét, v(n)-et a koalícó tagja között a különböző vlágállapotokban. Az eloztá (allocaton) egy mátrxzal adható meg: x = (x 1,..., x n ) R S N. Az vlágállapotbel eloztá x = ( x 1,, x ) R, egy koalícó rézeedéének az eloztáa pedg n N x C = (x ) C R S C. Egy adott C koalícó által elért kfzeté egy adott vlágállapotban xs( C)= x. C A gyenge zekvencál mag A Γ játékban tehát egy bzonytalan méretű torta feloztááról kell döntenünk. Termézeteen olyan feloztát kereünk, am tabl. Általánoágban egy x eloztát akkor nevezünk tablnak, ha nnc olyan vlágállapot S, ahol a C N koalícónak megér x-t blokkolna. A C koalícó akkor blokkolhat egy adott eloztát, ha tagja magaabb kfzetét érhetnek el egy mák, megvalóítható eloztá eetében. Az, hogy mt engedünk meg egy blokkoló koalícónak, befolyáolja, hogy mlyen eloztáok leznek tablak, azaz a különböző feltevéek különböző megoldáokhoz vezetnek: zegregált mag (Groman [1977], Beter [1984], Repullo [1988]), két dőzako mag (Koutougera [1998]), erő zekvencál mag (Predtetchnk Herng Peter [2002]) é gyenge zekvencál mag (Kranch Perea Peter [2005], Hab Herng [2010]). Hab Herng [2011a] egyége é jól özehaonlítható defnícóját adja a felorolt magmegoldáoknak, é özehaonlítja őket egy két dőzako, általáno egyenúlyelmélet keretben. Az 1. ábra özefoglalja a tanulmány eredményet. 1. ábra Magmegoldáok özehaonlítáa Erő zekvencál Gyenge zekvencál Két dőzako Klazku Szegregált

4 1302 Hab Helga Az özehaonlítá eredménye, hogy a gyenge zekvencál mag a legalkalmaabb megoldáfogalom az adott modellben, mvel az öze több magnak van valamlyen hányoága. A klazku mag (Glle [1959]) eredendően egy tatku megoldá, így nem vez fgyelembe a dnamkából adódó kéőbb blokkolá lehetőégeket. Az erő zekvencál mag a klazku mag rézhalmazaként nem oldja fel ezt a problémát, továbbá tpkuan üre. A zegregált mag é a két dőzako mag vzont túlzottan megengedő, mndkettő tartalmazza a verenyegyenúlyt, am az adott keretek között (nem telje pacok) még cak a korláto hatékonyág krtérumát em teljeít. A zegregált mag ráadául egyénleg rraconál megoldáokat megenged. Mndezek matt ckkünkben a gyenge zekvencál maggal fogunk dolgozn. A gyenge zekvencál magot eredetleg Kranch Perea Peter [2005] defnálta egy több dőzako determnztku modellben. Kéőbb, ugyanebben a keretben Hab Herng [2010] módoította a defnícót az eredmények fenntartáa érdekében. A TUU-játékok eetére tt Hab Herng [2011b] 1. lemmáját haználjuk a játék megoldáára. Jelölje C(N, v) az (N, v) TU-játék klazku magját é WSC(Γ) a Γ TUU-játék gyenge zekvencál magját. 2. defnícó A következő két állítá ekvvalen: a) x WSC(Γ), b) x-re gaz, hogy x C(Γ ) fennáll mnden S-re, é nnc olyan C N é x C, C ahol x C( Γ, C) mnden S-re é u (x ) > u (x ) mnden C-re. Egy eloztá tehát akkor é cak akkor eleme a gyenge zekvencál magnak, ha annak mnden tagja eleme az aljátékok magjának mnden vlágállapotban, továbbá nnc olyan koalícó, amely magaabb haznoágot tudna elérn egy mák, olyan eloztáal, amelynek tagja zntén az aljátékok magjához tartoznak. Vegyük ézre, hogy az utóbb ktétel garantálja, hogy egy blokkoló koalícó által javaolt eloztától, x C -től, egyetlen alkoalícónak C C-nek em érdeme emmkor eltérne, hzen egy magbel eloztá nem blokkolható. Így a gyenge zekvencál maghoz cak olyan eloztáok tartoznak, amelyek kötelező érvényű megállapodá nélkül fenntarthatóak (elf-enforcng). A megoldá továbbá ex pot hatékony, hzen garantálja az elérhető érték telje zétoztáát mnden aljátékban. Jelen modell kereteben belátható a 1. tétel. 1. tétel Ha a Γ játék mnden Γ aljátéka konvex, 3 akkor WSC(Γ). Bzonyítá: lád Hab Herng [2011b]. 3 Egy játékot konvexnek nevezünk, ha mnden C N é mnden S T N\C koalícóra gaz, hogy v(s C) v(s) v(t C) v(t).

5 Sztochaztku cődjátékok A konvextá talán túl erő feltevének tűnhet, azonban belátható, hogy ennél enyhébb feltevéek mellett (permutácó konvextá vagy egzaktág) már találhatók olyan példák, amkor a gyenge zekvencál mag üre. Az eddg mertetett elmélet keretet a következő fejezetben a cődjátékokra alkalmazzuk. Számo má jól mert játék bellezthető lenne a modell keretebe; például a reptérjátékok (arport game) (Lttlechld Owen [1973]), orrendjátékok (equencng game) (Curel Pederzol Tj [1989]) tandardfa-játékok (tandard tree) (Granot é zerzőtára [1996] tb.) Cődjátékok Ebben a fejezetben bemutatjuk, hogy a gyenge zekvencál mag hogyan alkalmazható a cődjátékok megoldáára. A cődprobléma a Talmudból ered, játékelmélet jelentőégére előzör O Nell [1982] hívta fel a fgyelmet. A probléma egy talmud példán alapul, ahol egy ember halála után a hátrahagyott vagyona E (etate) keveebbet ér, mnt az öze tartozáa. Egy cődprobléma tehát egy pár (E, d), ahol d = (d 1,..., d n ) az egyed tartozáokat tartalmazó vektor, amelyre gaz, hogy d E 0. A cődproblémát átalakíthatjuk egy kooperatív játékká: v ( C)= max { E d, 0 N E, d N\ C } karakterztku függvényt alkalmazva (Aumann Machler [1985]). Egy koalícó értékét tehát úgy adhatjuk meg, hogy a telje vagyon értékéből kvonjuk a több játéko által követelt özeget, lletve ha ez a különbég negatív, akkor a koalícó értéke 0 lez; azaz mnden koalícó gényt tarthat a vagyon máok által nem követelt rézére. Az így megadott cődjáték konvex. Eloztá zabályok A cődprobléma megoldáára zámo zabály létezk. Előzör defnáljuk, hogy mt értünk eloztá zabályon, majd rövden bemutatjuk a legfontoabbakat defnícó Egy eloztá zabály egy olyan függvény, amely egy (E, d) cődproblémához hozzárendel egy x R N eloztát úgy, hogy x = E é d x 0. A legmertebb eloztá zabály az arányo zabály P (Proportonal rule), amely a követeléek arányában oztja fel a vagyont. A módoított arányo zabály AP (Adjuted Proportonal rule) előzör mnden játékonak kfzet v E, d ({})-t, a kfzetéeket levonja az egyén követeléekből é a vagyonból, majd a maradékvagyont a módoított követeléek arányában oztja zét. A korláto egyenlő díjazá zabály CEA (Contraned Equal Award rule) mndenknek ugyanakkora öze- N 4 A zabályok átfogó é formál bemutatááról lád Thomon [2003].

6 1304 Hab Helga get ad úgy, hogy enk em kaphat többet, mnt amennyt követel. Formálan: N-re CEA (E, d) = mn{d, α}, ahol α max N d -t úgy válaztjuk meg, hogy mn { d, α } = E. A korláto egyenlő vezteég zabály CEL (Contraned N Equal Loe rule) a vezteégeket tez egyenlővé úgy, hogy enk e kapjon negatív özeget. A Talmudban zereplő javalat, amelyet kéőbb Aumann Machler [1985] formalzált, a Talmud-zabály TR (Talmud rule), a CEA é a CEL kombnácója attól függően, hogy az öze követelé fele hogyan aránylk a telje vagyonhoz. A Pnle-zabály a CEA kétféle alkalmazáa attól függően, hogy az öze követelé fele hogyan aránylk a telje vagyonhoz (Pnle [1861]). A Pnle-zabály é a korláto egyenlőég zabály ebben a modellben egybeek a Talmud-zabállyal. A véletlen érkezé zabály RA (Random Arrval rule) vez a játékook érkezéének öze lehetége orrendjét, orban kfzet mndenkt teljeen, amíg el nem fogy a vagyon, majd ezek átlagát kzámolva határozza meg a végő eloztát. Az RA zabály tehát megegyezk a Shapley-értékkel. A talmud példa Az eredet, talmud vagyonfeloztá problémában egy férfnak három feleége van, akk a férjük halálakor a házaág zerződéük értelmében rendre 100, 200, lletve 300 özeget örökölnek. A Talmud három lehetőéget vzgál, amelyekben a férf vagyona halálakor 100, 200, lletve 300 lehet. Ezek alapján meghatározható a cődjáték karakterztku függvénye, melyet az 1. táblázat foglal öze. 1. táblázat A talmud példa karakterztku függvénye v E, d {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} v 100, d v 200, d v 300, d Az előző alfejezetben mertetett eloztá zabályok a 2. táblázatban zereplő eloztáokat eredményezk a talmud példában. Tehát a Talmud-zabály zernt például ha a feloztandó vagyon 300-at ér, akkor 50-et ad az elő feleégnek, 100-at a máodknak é 150-et a harmadknak. A fent zabályokról könnyen belátható, hogy tatku környezetben magbelek.

7 Sztochaztku cődjátékok táblázat Eloztá zabályok a talmud példában Játéko d 1 = 100 d 2 = 200 d 3 = 300 Vagyon Talmud (TR) Arányo (P) Módoított arányo (AP) zabály Korláto egyenlő díjazá (CEA) Korláto egyenlő vezteég (CEL) Véletlen érkezé (RA) /3 16 2/3 33 1/3 33 1/ / / / / /3 33 1/3 33 1/3 33 1/ / / / / / /3 33 1/ / / / Sztochaztku cődjátékok Hogyan velkednek a különböző eloztá zabályok, ha a vagyon é/vagy a követeléek értéke bzonytalan? Kterjezthető a magkompatbltá a ztochaztku játékra? E kérdéek megválazoláához előzör k kell terjeztenünk a tatku modellt. A ztochaztku cődprobléma Hab Herng [2012] defnícóját követve négy özetevővel adható meg (S, E, d, u), ahol S a lehetége vlágállapotok vége halmaza, E = (E ) S a vagyon értéke a különböző állapotokban, d = (d ) S az állapotfüggő követelévektor é u = (u ) N a játékook haznoágfüggvénye. A tatku eethez haonlóan a ztochaztku probléma átalakítható egy kooperatív játékká. 4. defnícó (ztochaztku cődjáték) Legyen adott egy (S, E, d, u) ztochaztku cődprobléma. Ekkor a Γ = (N, S, v, u) ztochaztku cődjáték egy olyan TUU-játék, ahol v( C)= max { E d N C,0 \ }, mnden S vlágállapotra é C N koalícóra. A fent megállapítá mzernt a cődjáték konvex együtt az 1. tétellel azt eredményez, hogy a ztochaztku cődjáték gyenge zekvencál magja mndg nem üre. A tabltá zokáo tatku teztje, a magkompatbltá tehát problémamenteen kterjezthető a ztochaztku eetre ; a gyenge zekvencál mag alkalmazáával. Nézzük meg előzör egy egyzerű példán, hogy a gyenge zekvencál mag mlyen eloztáokat, lletve blokkolá lehetőégeket enged meg. Legyen N = 2 é S = 2 egyenlő bekövetkezé valózínűéggel: ρ 1 = ρ 2 = 1/2, é legyen a karakte-

8 1306 Hab Helga rztku függvény a következő: v 1 ({1, 2}) = v 2 ({1, 2}) = 1, v 1 ({1}) = v 2 ({2}) = 1 é v 1 ({2}) = v 2 ({1}) = 0. Azaz egy olyan cődjáték, ahol az elő vlágállapotban az elő feleég örököl mndent, a máodkban pedg a máodk feleég, é a két feleég nem mer férjük végrendeletének tartalmát. Legyen a következő (végrendelet zernt) eloztá adott: x = x x = (, ). 0 1 A játékot a 2. ábra zemléltet. 2. ábra A cődjátékot zemléltető példa t = 0 t = 1 Eloztá 1 x 1 = (, 10) = 0 2 x 2 = (, 01) Ekkor, ha a játékook kockázatkerülők, magaabb haznoágot érhetnek el, ha eltérnek az adott eloztától; hzen az adott x eloztá a lehető legkockázatoabb megvalóítható feloztáa a vagyonnak. A két feleég például dönthet úgy férjük halála előtt ( = 0), hogy a végrendelet tartalmától függetlenül egyenlően feloztja a vagyont; x= x x = 1/ 2 1/ (, ). 1/ 2 1/ 2 A kockázatkerülő feleégek az x eloztá mellett mndketten magaabb haznoágot érnek el, mnt x eetében tennék. Ez a megegyezé azonban nem hhető, hzen az 1. dőzakban blokkolható: a) = 1 eetén az elő feleégnek emmlyen érdeke nem fűződk ahhoz, hogy 1 1 megoza a vagyont a máodkkal, x 1 = 1/ 2, tehát blokkolható ˆx1 = v1({ 1 }) = 1 egítégével, é haonlóan b) = 2 etén a máodk feleégnek emmlyen érdeke nem fűződk ahhoz, 2 2 hogy megoza a vagyont az elővel, x 2 = 1/ 2, tehát blokkolható ˆx2 = v2({ 2 }) = 1 egítégével. Vegyük ézre, hogy az x eloztá tagja (x 1 é x 2 ) nem eleme a megfelelő aljáték klazku magjának: x C (Γ ) fennáll mnden S eetében. Az x eloztá tehát a 2. defnícó alapján valóban nem lehet tabl megoldá. Mvel az aljátékok magja egyelemű, hzen x = =1 gaz kell, hogy legyen, ezért a játék egyetlen megoldáa az x eloztá.

9 Sztochaztku cődjátékok Térjünk mot vza a talmud példához! Amnt azt már korábban megjegyeztük, mnden zabály magbel eloztához vezet a tatku játékban. A ztochaztku játék tekntetében ez azt jelent, hogy mnden zabály olyan eloztát eredményez, am benne van az aljátékok klazku magjában. Tehát egyket em lehet az 1. dőzakban blokkoln. Kérdé, hogy m a helyzet a 0. dőzakban: van-e olyan koalícó, amely a bzonytalanággal zembeülve magaabb haznoágú eloztát érhet el? Tekntük például azt a háromzereplő ztochaztku cődjátékot, ahol az 1. dőzakban három lehetége vlágállapot következhet be, mégpedg a talmud példánkban zereplő három cődjáték, é ahol a három játéko haznoág függvénye a következő alakú; u ( x ) = 1 x ( x S ) , ha 0 x 300, mnden S-re. Ekkor könnyen belátható, hogy a nagykoalícó a korláto egyenlő díjazá (CEA) zabály kvételével mndegyk eloztát blokkoln tudja. A 3. táblázat bemutat erre egy lehetőéget. 3. táblázat Blokkolá lehetőégek Játéko d 1 = 100 d 2 = 200 d 3 = 300 Vagyon Talmud (TR) Arányo (P) Módoított arányo (AP) zabály Korláto egyenlő vezteég (CEL) Véletlen érkezé (RA) , , , Könnyen ellenőrzhető, hogy a megadott haznoág függvény mellett a 3. táblázatban zereplő elozláok magaabb haznoágot eredményeznek, mnt a 2. táblázatban zereplők. Érdeke megfgyeln, hogy míg a margnál vektorok benne vannak a gyenge zekvencál magban, a Shapley-érték (RA zabály) blokkolható eloztához vezet. (A megoldáhalmaz tehát nem konvex.) A korláto egyenlő díjazá zabálya vzont vzonylag nagy általánoággal olyan eloztát eredményez, am eleme a gyenge zekvencál magnak.

10 1308 Hab Helga 2. tétel Mnden N haznoág függvénye legyen u ( x ) = ρ zx ( S ) alakban adott, ahol ρ az vlágállapot objektív valózínűége, z pedg egy dfferencálható, konkáv függvény. Ekkor a korláto egyenlő díjazá zabálya zernt eloztá eleme a ztochaztku cődjáték gyenge zekvencál magjának. Bzonyítá: lád Hab Herng [2012]. A 2. tétel bzonyítáának kemelendő tanulága, hogy a CEA zabályból következő eloztá megoldá a következő korláto optmalzálá feladatra: C u ( x ) max C x feltéve, hogy: x = v ( C), mnden S-re, é C D x = v ( D), mnden S-re, é D C-re. Azaz az adott eloztá maxmalzálja a játékook öze haznát azon eloztáok halmazán, melyek mnden aljátékban a klazku magban vannak. Záró megjegyzéek A kooperatív játékelméletben a különböző eloztá zabályok jóágát azok megfelelő axomatzáláával zoká alátámaztan. A cődjátékok eetében zámo zabály eetében léteznek különböző kívánato tulajdonágokat tartalmazó megadáok. A 2. tétel alapján azt mondhatjuk, hogy kötelező érvényű megállapodáok hányában egyedül a korláto egyenlő díjazá zabálya rendelkezk meggyőző tulajdonágokkal: 1. (gyenge zekvencál) magbel, 2. maxmalzálja a játékook öze haznát a tabl eloztáok halmazán, 3. egyenlően kezelő, 4. nvarán a követeléek conkítáára: ha egy adott vlágállapotban egy követelé meghaladja a vlágállapotbel vagyont, a követelé a vagyon nagyágában maxmálható az eredmény megváltozáa nélkül, 5. lehetége a dekompozícó: ha a vagyonnak cak egy rézét oztjuk fel előbb a CEA zabály zernt, majd (a követeléeket e zernt cökkentve) a maradék vagyont a CEA zabály zernt oztjuk fel, akkor az így kapott öze kfzeté megegyezk az eredetvel. A 3., 4. é 5. tulajdonág akkor é cak akkor gaz, ha az eloztá CEA zernt (Dagan [1996]). Ha feladjuk az egyenlően kezelő axómát vagy akár cak a 2. tulajdonágot, akkor má, kevébé kívánato eloztáok zóba jöhetnek; például a dktátor zabály. E zernt mnden vlágállapotban előzör az elő játéko vehet k a követeléének megfelelő rézt a vagyonból, utána a kette, végül a hárma,

11 Sztochaztku cődjátékok egézen addg, amíg a vagyon el nem fogy. Ezt a módzert alkalmazva a talmud példában a hárma játékonak oha nem jut emm. A dktátor zabályra gaz azonban az 1., 4. é 5. tulajdonág. A cődprobléma termézeteen nem cak elmélet zempontból érdeke, nylvánvalóan a fent elemzének rendkívül releván tanulága lehetnek a gyakorlatra nézve. A fejlett vlág mnden orzágában törvény zabályozza a cődeljárá gyakorlatát. E törvények okzor letezk a vokukat egy-egy eloztá zabály mellett. A legnépzerűbb eljárá a korábban mertetett zabályok közül az arányo zabály alkalmazáa; ezt írják elő például Auztrálában, Németorzágban é Indában, de az Európa Újjáépíté é Fejlezté Bank (EBRD) ezt a módzert tartja gazágonak (Averch [2000]). Az arányo zabályról azonban beláttuk, hogy bzonytalanág eetében blokkolható, azaz a felek megállapodhatnak egy mák eloztában, am mndenknek magaabb kfzetét bztoít é tabl. A gyakorlatban ez azt jelent, hogy ahol a törvény arányo eloztát ír elő, ott a feleknek megér megegyezére jutnuk a vagyon feloztááról még a hvatalo cődeljárá megkezdée előtt. A tanulmányban mertetett elmélet keret azonban nem cak a cődprobléma példájára alkalmazható. Számo olyan való probléma létezk, ahol a kooperácóból zármazó haznok (például kartell) vagy akár költégek (például közö beruházá, fejlezté) bzonytalanok lehetnek, hzen a gazdaág környezet nem mndg kzámítható. A gyenge zekvencál mag lyen eetekben jó támpontot nyújthat. Hvatkozáok Aumann, R. J. Machler, M. [1985]: Game Theoretc Analy of a Bankruptcy Problem from the Talmud. Journal of Economc Theory, Vol. 36. No o. Averch, C. H. [2000]: Bankruptcy law: what far? Law n tranton Focu on Inolvency Law, tavaz zám, o. Beter, H. [1984]: Core and equlbrum n ncomplete market. Journal of Economc, Vol. 44. No o. Curel, I. J. Pederzol, G. Tj, S. H. [1989]: Sequencng game. European Journal of Operatonal Reearch, Vol. 40. No o. Dagan, N. [1996]: New Characterzaton of Old Bankruptcy Rule. Socal Choce and Welfare, o. Glle, D. B. [1959]: Soluton to general non-zero-um game. Megjelent: Tucker, A. W. Luce, R. D. (zerk.): Contrbuton to the Theory of Game IV. Prnceton Unverty Pre, Annal of Mathematc Stude, 40. z o. Granot, D. Machler, M. Owen, G. Zhu, W. R. [1996]: The kernel/nucleolu of a tandard tree game. Internatonal Journal of Game Theory, Vol. 25. No o. Groman, S. J. [1977]: A characterzaton of the optmalty of equlbrum n ncomplete market. Journal of Economc Theory, Vol. 15. No o. Hab Helga Herng, P. J. J. [2010]: A Note on The Weak Sequental Core of Dynamc TU Game. Internatonal Game Theory Revew, Vol. 12 No o.

12 1310 Sztochaztku cődjátékok... Hab Helga Herng, P. J. J. [2011a]: Core concept for ncomplete market econome. Journal of Mathematcal Economc, Vol. 47. No o. Hab Helga Herng, P. J. J. [2011b]: Tranferable Utlty Game wth Uncertanty. Journal of Economc Theory, Vol No o. Hab Helga Herng, P. J. J. [2012]: Stochatc Bankruptcy Game. IEHAS Dcuon Paper 1205, MTA KTI, Koutougera, L. C. [1998]: A two-tage core wth applcaton to aet market and dfferental nformaton econome. Economc Theory, Vol. 11. No o. Kranch, L. Perea, A. Peter, H. [2005]: Core concept for dynamc TU game. Internatonal Game Theory Revew, Vol. 7. No o. Lttlechld, S. C. Owen, G. [1973]: A Smple Expreon for the Shapley Value n a Specal Cae. Management Scence, Vol. 20. No o. O Nell, B. [1982]: A Problem of Rght Arbtraton from the Talmud. Mathematcal Socal Scence, Vol. 2. No o. Pnle, H. [1861]: Darkah hel Torah. Foreter, Béc. Predtetchnk, A. Herng, P. Peter, H. [2002]: The trong equental core for twoperod econome. Journal of Mathematcal Economc, Vol. 38. No o. Repullo, R. [1988]: The core of an economy wth tranacton cot. Revew of Economc Stude, Vol. 55. No o. Thomon, W. [2003]: Axomatc and Game-theoretc Analy of Bankruptcy and Taxaton Problem: A Survey. Mathematcal Socal Scence, Vol. 45. No o.