Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f) (5 x + sin x cos x) g) ( ex sin x) h) ( x ) i) ( 5 ) j) x5 +x x + x k) x 5x +6x 7 x l) (x ) m) (x + ) ( x) n) o) x p) x q) x+ r) x s) x+ t) x x + 5 u) x e x xe x v) 5 cos x sin x+cos x w) cos x 5 +cos x. Az f (x)f n (x) típusú függvények integrálása (kiegészítő anyag) F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x + ) 5 b) (x ) c) 5(x ) d) x(6x + 5) e) f) x + g) x h) (7x 6) i) 5x (x +) j) x k) sin x
. Az f (x) f(x) típusú függvények integrálása (kiegészítő anyag) F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) x x + b) 5x+ c) x+ x +x d) x x x+ e) x x 6x+ f) x 5x + g) x ln x+ h) tg x. Parciális integrálás (kiegészítő anyag) F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) xe x b) ln x c) x ln x d) x n ln x e) x cos x f) x sin x g) e x sin x h) e x cos x.5 Racionális függvények integrálása (kiegészítő anyag) F.5 Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) 5x x+ b) c) x x+ x +x d) 7x+ x 5x+6 e) x x x+ f) x x +5x. Határozott integrál. Newton-Leibniz formula használata F.6 Számítsa ki az alábbi határozott integrálokat! a) (x x + ) b) (5x x ) c) ( + x + x ) d) ( + ) e) ( x x)
f) ( + x x ) g) x+ h) ( + e x ) π i) sin x 5π j) π cos x π k) (sin x + cos x) b l) x a. Területszámítási feladatok F.7 Határozza meg az alábbi függvények grafikonja és az x tengely közötti síkrész területét az adott intervallumon! a) f(x) =, x [; 6]. (M: 9,8) b) f(x) = x +, x [ ; ]. (M: 5 ) c) f(x) = x +, x [ ; ]. (M: ) d) f(x) = x +, x [; ]. (M:,5) e) f(x) = x x +, x [; ]. (M: 8 ) f) f(x) = 5 sin x, x [; π]. (M: ) g) f(x) = cos x, x [ π ; π ]. (M: ) h) f(x) = tg x, x [ π ; π ]. (M: ln,69) i) f(x) = +, x [ ; 5]. (M:,5) F.8 Az y = x egyenletű görbe és az x tengely közötti terület a [; b] határok között. Határozza meg a b értékét! (M: ) F.9 Határozza meg azt a -nél kisebb p számot, amelyre az f(x) = x + x + 6 és a g(x) = x + x + 7x függvény grafikonja, valamint az x = p egyenes,5 egység területű síkidomot határol! (M: ) F. Írja fel az f(x) = x + x + függvénynek azt a primitív függvényét, amelynek grafikonja illeszkedik a ( ; ) pontra! (M: F(x) = x + x + x + 8) p F. Számítsa ki a p valós számot, ha (x p x) = (x ) (M: ± ) F. Határozza meg az alábbi függvények által meghatározott síkidom területét. a) f(x) = x és g(x) = x. (M:,5) b) f(x) = x és g(x) = x +. (M:,5) c) f(x) = x és g(x) = x. (M: )
d) f(x) = x + 7 és g(x) = x. (M: 6 ) e) f(x) = x 9 és g(x) = x + x +. (M: ) f) f(x) = x x 5 és g(x) = x x + 7. (M: 5 ) g) f(x) = x és g(x) =. (M: ) h) f(x) = x és g(x) =. (M: ) i) f(x) = x x és g(x) = az x [; ] intervallumon. (M: 6,) x j) f(x) = e x és g(x) = x x + az x [ ; ] intervallumon. (M:,9) F. Határozza meg az f(x) = sin x és g(x) = cos x függvények, valamint az x tengely által határolt síkidom területét az x [ π ; π] intervallumon. (M: ) F. Mekkora területet vág le az f(x) = x + x parabolából a ( ; ) ponton átmenő iránytangensű egyenes? (M: 88 ) F.5 Mekkora a területe annak a síkidomnak, amelyet az f(x) = x x + és g(x) = x függvények grafikonjai, valamint az y tengely határolnak? (M: ) F.6 Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet az y = x egyenletű parabola külső pontjai, az y = x és az y = egyenletű egyenesek határolnak! (M: 7 6 ) F.7 Számolja ki annak a véges síkrésznek a területét, amelyet az f(x) = x +, a g(x) = x x + és a k(x) = x függvények határolnak! (M: 5 6 ) F.8 Számolja ki annak a véges síkrésznek a területét, amelyet az f(x) = x, a g(x) = x + és a k(x) = 6x függvények határolnak! (M: 7 ). Térfogatszámítási feladatok F.9 Határozza meg az f(x) = x + függvénynek a [; ] intervallumon az x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M: 6 π) F. Határozza meg az f(x) = x függvénynek a [-; ] intervallumon az x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M:,5) F. Határozza meg az f(x) = + x függvénynek a [; ] intervallumon az x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M: 6π) F. Határozza meg az f(x) = függvénynek a [; ] intervallumon az x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M: 7,)
F. Az y = x és az y = 9 x egyenletű görbék által határolt első síknegyedbeli tartományt forgassa meg az x tengely körül! Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? (M: 59,87) F. Az y = és az y = x egyenletű görbék, valamint az x tengely által határolt síkidomot forgassa meg az x tengely körül! Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? (M: 6 π) F.5 Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, amely az f(x) = függvény grafikonja, az x tengely és a görbe (8; ) pontbeli érintője által határolt zárt síkidomnak az x tengely körüli forgatásakor keletkezik! (M: 6 π) F.6 Számítsa ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet az y = x egyenletű parabola, a parabola 8 ordinátájú pontjaira illeszkedő érintői és az x tengely által határolt síkrész x tengely körüli forgatásakor kapunk! (M: 56 5 π) F.7 Határozza meg az f(x) = x függvénynek a y [; ] intervallumon az y tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M: 8π) F.8 Határozza meg az f(x) = ln x függvénynek az y [; ] intervallumon az y tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M: π (e8 )). Improprius integrál (kiegészítő anyag) F.9 Vizsgálja meg az alábbi improprius integrálok konvergenciáját! x a) x b) c) x d) x e) (M: ) (M: ) f) g) h) i) j) k) 7 (M: ) (M: ) (M: ). (M: x ln x x ln x x x + x + (M: divergens) (M: divergens) ln ). (M: divergens). (M: divergens). (M: π) 5