Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg : π + kπ esetén van értelmezve. lg tg: tg >, azaz π + kπ > > kπ értelmezési tartomán. (k Z), tehát ez utóbbi az e) > és > egszerre kellene, hog teljesüljön. Vagis az értelmezési tartomán. ) Határozzuk meg a következő függvén értelmezési tartománát! = + + A négzetgök értelmezési tartomána miatt teljesülnie kell az alábbi feltételeknek: + és Ezek átrendezésével: és Innen az értelmezési tartomán: D f = [,].
) Határozzuk meg a következő függvén értelmezési tartománát! = + A tört nevezője nem lehet, ami azt jelenti, hog és. További megszorítás nincs, ezért az értelmezési tartomán: D f = R \ {,}. 4) Határozzuk meg a következő függvén értelmezési tartománát! = ln ( + ) A logaritmus miatt: + > A bal oldal gökei = és =. Ábrázolva a függvént:. ábra. Az area kotangens hiperbolikusz függvén grafikonja Leolvasható, hog D f = (,[ ], ) 5) Határozzuk meg a következő függvén értelmezési tartománát! 5 = ln 4 A gökjel alatti kifejezés nemnegatív kell, hog legen: 5 = + 5 4 4 A bal oldal gökei = és = 4, vagis az előbbi egenlőtlenség 4 esetén teljesül. Vagis ez épp az értelmezési tartomán D f = [,4].
6) Határozzuk meg a következő függvén értelmezési tartománát! = arc sin 5 Az arkusz szinusz értékkészlete miatt: 5 Innen átrendezéssel: 5 5 8 4 Az értelmezési tartomán tehát: D f = [,4]. 7) Határozzuk meg a következő függvén értelmezési tartománát! = arc cos 9 Egrészt a négzetgök értelmezési tartomána miatt: vagis. 9, Másrészt az arkusz koszinusz értelmezési tartomána miatt: 9 8 Ez alapján 8 vag 8 kell, hog teljesüljön. A két feltétel összevetéséből az értelmezési tartomán: D f = [, 8 ] [ 8, ]. 8) Határozzuk meg a következő függvének értelmezési tartománát. a) f() = ; b) f() = + 4; c) f() = + ; d) f() = tan ( ) 4+ ; e) f() = arctan( ); f) f() = arcsin ( ) ; g) f() = arccos( ); ( h) f() = ln + ).
Értékkészlet ) A következő feladatokban határozzuk meg a függvének értelmezési tartománát, értékkészletét és ábrázoljuk a függvént! a) = arc sin ( + ) Értelmezési tartomán: az arkusz szinusz argumentuma - és közé kell, hog essen. Emiatt + = 4. Vagis D f = = [ 4, ]. Értékkészlet: nincs külső transzformáció, ezért R f = [ π, ] π. π arc sin ( + ) arc sin π 4. ábra. Függvénábrázolás transzformációval b) = arc cos + Értelmezési tartomán: az arkusz koszinusz argumentuma - és közé kell, hog essen. Emiatt =. Vagis D f = = [,]. Értékkészlet: a külső transzformáció miatt R f = [,π + ]. 4
π + arc cos + π arc cos π π arc cos c) = arc tg arc cos. ábra. Függvénábrázolás transzformációval Értelmezési tartomán: Az arkusz tangens értelmezési tartománát nem szűkíti le ez a belső transzformáció, ezért D f = R. ] Értékkészlet: a külső transzformáció miatt R f = π 4, π [. 4 π arc tg arc tg arc tg arc tg( ) π 4 6 4. ábra. Függvénábrázolás transzformációval d) = sh ( + ) Értelmezési tartomán: D f = R. 5
Értékkészlet: R f = R. 4 sh ( + ) sh ( + ) sh 4 5. ábra. Függvénábrázolás transzformációval ) Határozza meg az f függvén értelmezési tartománát és értékkészletét, ha a) f () = cos b) f () = + Megoldás: a) cos minden R-re teljesül, vagis az értelmezési tartomán R. cos Innen az értékkészlet: cos. b) + >, = ± + 8 = = ; = Az értelmezési tartomán tehát: < <. Teljes négzetté alakítással: + = ( ) ( = ) + 9 4 Ennek a teljes négzetnek az értelmezési tartománon belül szélsőértéke van -nél és -nél. Előbbinél maimum van, értéke f ( ma) = = ( ) + 9 4 =, a minimumhele min = -nél van, értéke f ( min ) =. Az f függvénnek tehát minimuma van -nál, maimu- 6
ma nincs (hiszen az f tetszőlegesen kicsi pozitív értéket felvehet), vagis az értékkészlet: <. ) Hogan változik az f függvén transzfolmáltjainak értelmezési tartomána és értékkészlete, ha D f = [,] \ {}, és R f = [, [ a) f ( + 8) b) f ( ) c) f ( ) d) f () e) 5f () 6 f) f () g) f ( ) h) f ( ) + 5 Megoldás: Az első három függvén csak belső transzformációt tartalmaz, ezért R f változatlan. a) + 8 [,] \ {} = [ 9, 6] \ { 8} [ b) [,] \ {} =, ] \ {} c) [,] \ {} = [, ] \ {} A második három függvén csak külső transzformációt tartalmaz, ezért D f változatlan. d) f () [, [ = f () [6, [ e) f () [, [ = 5f () 6 [9, [ f) f () [, [ = f () [9, [ Az utolsó két esetben mindkét tartomán módosul: g) D f : [,] \ {} = [,] \ {} R f : f () [, [ = f () ], 4] h) D f : [,] \ {} = [,] \ {} = [,] \ { } R f : f () [, [ = f () [, [ = f () + 5 [7, [ 7
4) Vizsgáljuk meg, hog a következő függvének injektívek-e, szürjektívek-e. Ha a függvének bijektívek akkor, határozzuk meg a függvének inverzeit. a) f : (,) (,), f() = + ; b) f : R \ ± R, f() = ; c) f : (,+ ) (,+ ), f() = ; d) f : R (,+ ), f() = e + ; e) f : R R, f() = + ; f) f : (,+ ) (,), ln ( ). 5) Határozzuk meg a következő függvének értelmezési tartománát, értékkészletét, majd ábrázoljuk őket. a) cos( ); b) sin( ); c) tan( ); d) cos ( ) ; e) +sin( ) ; f) arcsin ( + ) ; g) arccos ( ) ; h) arctan ( ) + ; i). Paritás Állapítsuk meg az alábbi függvénekről, hog párosak, vag páratlanok, vag nincs értelme a paritásnak! ) = + Páratlan függvén, hiszen két páratlan függvén összege. ) = 4 Páros függvén, hiszen két páros függvén különbsége. ) = 6 + Páros függvén, hiszen páros függvénekből áll elő. (Figelem, = függvén is páros!) 8
4) = sin 6 Nincs paritása, hiszen eg páros és eg páratlan függvén különbsége. 5) = cos Páratlan függvén; páros és páratlan függvén szorzata páratlan. Legen uganis h () = f () g () a szorzatfüggvén, és f () páros, g () páratlan függvének. Ekkor: h ( ) = f ( ) g ( ) = f () [ g ()] = f () g () = h (), vagis a h () függvén ténleg páratlan. 6) = + 6 Páratlan függvén, mert páros és páratlan függvének hánadosa. 7) = sin5 6 Páros függvén, mert két páratlan függvén hánadosa. 8) = sin Páros függvén, mert páros függvének szorzata. Inverz függvén Képezzük a következő függvének inverzeit: ) = + Átrendezés után: = + = = + = = = = Az inverz függvén: =. ) = ln + 5 = ln + 5 = e = ( + 5 = e = + 5 = = ) e 5 Az inverz függvén: ( = ) e 5 ) = + e 4 = + e 4 = = e 4 = ln ( ) = 4 Az inverz függvén: = 4 ln ( ). 9
4) = 5 6 = 5 6 = 6 = 5 = (6 ) = 5 Az inverz függvén: = 5 6. 5) = 5 + 6 = 5 + 6 = + 6 = 5 +5 = log 5 ( + 6) = + Az inverz függvén: = [log 5 ( + 6) ] Polárkoordinátás ábrázolás Ábrázoljuk polárkoordináta-rendszerben az alábbi függvéneket: ) r (ϕ) = a ϕ 9 8 6 6 5 4 8 4 r = t 7 6. ábra. Archimédeszi spirál ) r (ϕ) = e ϕ
9 6 6 4 5 8 4 r = 7 ep(t) 7. ábra. Logaritmikus spirál ) r (ϕ) = a( + cos ϕ) 9 6.5 5.5 8 4 7 r = +cos(t) 8. ábra. Kardioid
4) r (ϕ) = a cos ϕ r ϕ a ϕ = 9. ábra. Az r = a sugarú kör ábrázolása polárdiagramon 5) Írjuk fel a polártengellel párhuzamos, és tőle egségre haladó egenes egenletét polárkoordinátás megadásban: r ϕ ϕ =. ábra. A polártengeltől egségre lévő egenes Az ábráról látható, hog = sinϕ, ahonnan átrendezéssel az egenes egenlete: r = sinϕ r. 6) A derékszögű koordináta-rendszer és a polár koordináta-rendszer közötti kapcsolat segítségével írjuk fel az archimédeszi spirális és a logaritmikus spirális paraméteres egenletrendszerét! Archimédeszi spirális: polárkoordinátákban r = aϕ. Ebből a megoldás: = aϕcos ϕ = aϕsin ϕ
Logaritmikus spirális: polárkoordinátákban r = e ϕ. Innen: Implicit függvénmegadás ) 4 + + 8 + 4 = = e ϕ cos ϕ = e ϕ sinϕ Az -et és -t tartalmazó tagokat teljes négzetté alakítjuk. Innen: ( ) + ( + 4) = 6, ami eg (, 4) középpontú, r = 4 sugarú kör egenlete. ) + 9 6 = Hasonlóan járunk el, mint a kör esetében. Az átalakítás után: + 9( ) = 9 Mindkét oldalt 9-cel elosztva eg ellipszis egenletét kapjuk: 9 + ( ) =. Az ellipszis középpontja (,), a két fél nagtengele a = és b = hosszúságú. ) 9 4 = 6 Átalakítás után: Ez eg hiperbola egenlete. 4 9 = Paraméteres függvénmegadás { = 5cos t ) = sin t Látható sin + cos = alapján, hog ezzel ekvivalens: 5 + 9 =, ami eg origó középpontú, a = 5 és b = 9 fél nagtengelekkel rendelkező ellipszis egenlete.
) { = 5(t sin t) = 5( cos t) Ez eg ciklois, vagis eg olan görbe, amit eg r = 5 sugarú kör kerületi pontja ír le, miközben a kör gördül az tengelen. = 5 (t cos(t)), = 5 ( cos(t)) 8 6 4 5 5 5 5 4 45 5 ) { = t = t + 5. ábra. Ciklois görbe Fejezzük ki a t-t -szel; az első egenletből: t = + Ezt a második egenletbe visszahelettesítve: = 5 + = 5 = + 4, ami eg egenes egenlete, m = meredekséggel, és b = 4 tengelmetszettel. 4) Az alábbi, paraméteresen adott egváltozós függvének egenletrendszeréből küszöböljük ki a paramétert! a) d) } = sin t b) = cos t } = t + t = t t Megoldás: = t + t = t + t + a) = cos t = cos t sin t = = b) = + } c) = = a + t at + t 4
c) + = a + a t + t = a d) = t + t t + t = 4 Függvénábrázolás Ábrázoljuk a következő függvéneket: ) Racionális törtfüggvén: = Rögtön látható, hog az = egenes aszimptota. Ezen túl érdemes megvizsgálni a függvén határértékeit, ezek segítik a törtfüggvén ábrázolását. A függvén grafikonja tehát: lim = = lim = = + lim = + = 5 = 5 5. ábra. Transzformált reciprokfüggvén grafikonja ) Teljes négzetté alakítás: = 4 8 = 4 ( 4 + 4 ) = 4 [ ] ( ) 4 = 4( ) 6 5
A függvén grafikonját az = függvénből kiindulva transzformációkkal képezzük: 5 = = ( ) = 4( ) = 4( ) 6 6 5 5. ábra. Másodfokú függvén transzformációja ) Négzetgököt tartalmazó függvén: = 6 = = = = 4 6 9 4. ábra. Gök függvén transzformációja 6
4) Reciprok függvén = ( ) 4 = ( ) = 4 4 6 5. ábra. Törtfüggvén transzformációval 5) Milen geometriai transzformációval származik az f () grafikonjából az f (), illetve a f függvének grafikonja? Megoldás: f () -nél a függvén tengel alatti részét -re tükrözzük; f -nél az -tól jobbra eső rész változatlan marad, és ezt -ra tükrözzük. 7