Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. Példák. A gazdasági eredetű problémák matematikai modelljében gyakoriak a sokváltozós függvények (például: termelési függvény. Az R R típusú függvényeket szokás skalármezőnek nevezni. Ilyenek például a skalár jellegű fizikai mennyiségeknek (tömegsűrűség, töltéssűrűség, hőmérséklet, potenciál, stb. a helytől való függését kifejező függvények.. A geográfiában használt domborzati térképek tekinthetők R R típusú (kétváltozós függvényeknek.

Többváltozós függvények Kétváltozós függvények ábrázolása A többváltozós függvények közül csak a kétváltozósakat tudjuk ábrázolni. Ekkor is egy háromdimenziós kép térhatású síkbeli ábrázolásáról van szó. Az ábrázolásnak két esetben van szerepe: a többváltozós függvényekkel kapcsolatos fogalmak tartalmának speciálisan kétváltozós függvényeken való bemutatásakor olyan esetekben, amikor egy kétváltozós függvény egy felület megadására szolgál

Többváltozós függvények 4 Kétváltozós függvények ábrázolása (,y f (,y Példa f (,y + y

Többváltozós függvények 5 Definíció: szintvonalak Ha c eleme az (,y f(,y függvény értékkészletének, akkor az { (,y R f(,y c } síkgörbét c értékhez tartozó szintvonalnak nevezzük. A definíció szerint egy szintvonal pontjaihoz a függvény ugyanazt az értéket rendeli. Megjegyzés A domborzati térképek szintvonalainak jelentése ugyanez.

Többváltozós függvények 6 Definíció: paramétervonalak A kétváltozós függvények paramétervonalai síkgörbék, a függvényfelületnek a függőleges koordinátasíkokkal párhuzamos síkokkal való síkmetszetei. A paramétervonalak olyan egyváltozós függvények grafikonjaként állnak elő, melyek az eredeti kétváltozós függvény egyik változójának rögzítésével keletkeznek.

Többváltozós függvények 7 A második változó rögzítésével keletkező paramétervonalak Az első változó rögzítésével keletkező paramétervonalak f(,y y f(,y Példa (,y + y y + 4 y 9+ y

Többváltozós függvények 8 Többváltozós függvények határértéke és folytonossága Emlékeztető: egyváltozós függvény határértéke Az f:d R függvény határértéke a D egy torlódási pontjában A R, ha bármely D-beli ( n, n sorozat esetén, melyre n fennáll, hogy f( n A Jelölés lim f ( A Példa lim 9

Többváltozós függvények 9 Definíció: többváltozós függvény határértéke Tekintsük az f:d( R n R függvényt, és r legyen torlódási pontja az f értelmezési tartományának. Ha van olyan A R, melyre fennáll, hogy bármely D-beli sorozat esetén r n r, (r n r, n N f (r n A, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a r helyen A. Jelölés: lim f (r r r A

Többváltozós függvények Példa y, ha (, y (, (, y + y, ha (, y (, f Az f függvénynek a (, helyen nem létezik határértéke (és így nem is folytonos. Indoklás: n n,, n n (, (, sorozat esetén: sorozat esetén: lim f n lim f n n n,, n n lim n lim n n n n n 5 lim n lim n 5 5

Többváltozós függvények Emlékeztető: egyváltozós függvény folytonossága Az f:d R függvény folytonos az D helyen, ha bármely ( n :N D, sorozat esetén fennáll, hogy n f ( n f (. Példa Az f( függvény folytonos az helyen, mert ha n, akkor f( n ( n 9 f(

Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvény folytonossága Az f : D ( R n R függvény folytonos az r D helyen, ha bármely D-beli sorozat esetén r n r f (r n f (r. Megjegyzés: folytonosság és határérték létezésének kapcsolata Legyen D R n nyílt halmaz. A definíciókból látható, hogy az f:d R függvény pontosan akkor folytonos az r D helyen, ha f-nek létezik határértéke r -ban, és az éppen f(r.

Többváltozós függvények Definíció Lineáris függvények Az (,,, n k + k + + k n n k függvényeket, ahol k, k,, k n valós számok, n változós lineáris függvényeknek nevezzük. Az egyváltozós lineáris függvények: k A kétváltozós lineáris függvények: (, k + k k

Többváltozós függvények 4 Megjegyzés A lineáris függvények alapvető szerepet játszanak a differenciálszámításban, hiszen a differenciálás valójában lineáris függvénnyel való közelítést jelent: Egyváltozós (differenciálható függvény lineáris közelítése az ún. érintő egyenessel való közelítést jelenti, ennek meredeksége az adott pontbeli differenciálhányados. Kétváltozós (differenciálható függvény lineáris közelítése az ún. érintő síkkal való közelítést jelenti, melynek normálvektorát az adott pontbeli ún. parciális differenciálhányadosok határozzák meg.

Többváltozós függvények 5 Többváltozós függvények differenciálása Emlékeztető: egyváltozós függvények differenciálhányadosa Az f:d( R R függvény differenciálható az értelmezési tartományának egy belső pontjában, ha van olyan k R szám, melyre ahol f ( f ( k ( + ε( ( lim ε( Ekkor a k számot az f függvény helyen vett differenciálhányadosának nevezzük. Jelölés: k f (

Többváltozós függvények 6 Megjegyzés A Δ Δf f ( f ( jelölésekkel a differenciálhatóság feltétele szemléletesebb alakot ölt: Δf k Δ + ε( Δ Δ ahol lim ε( Δ Δ

Többváltozós függvények 7 Definíció: többváltozós függvények differenciálhányadosa Az f:d( R n R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány r belső pontjában, ha van olyan k R n vektor, melyre ahol f (r f (r k (r r + ε(r r (r r lim ε(r r r r Ekkor a k vektort az f függvény r helyen vett differenciálhányadosának, vagy gradiensének nevezzük. Jelölés: f (r grad f (r k k

Többváltozós függvények 8 Megjegyzések. A Δr r r Δf f (r f (r jelölésekkel a differenciálhatóság feltétele szemléletesebb alakot ölt: ahol Δf k Δr + ε( Δr Δr lim Δr ε( Δr. Ha differenciálhányados létezik, akkor egyértelmű.. Ha D R n nyílt halmaz (minden pontja belső pont és az f:d R függvény differenciálható a D minden pontjában, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható a D halmazon.

Többváltozós függvények 9 Definíció: iránymenti derivált Legyen f:d( R n R, r a D értelmezési tartomány belső pontja, v R n legyen rögzített vektor, és v jelölje a v irányú, egységnyi nagyságú vektort. Az f függvény r pontbeli, v irányban vett iránymenti deriváltján a f f (r + λ v f (r (r lim v λ λ határértéket értjük, amennyiben létezik és valós. Megjegyzés Vegyük észre, hogy a definícióban egy egyváltozós függvény határértékéről van szó! Az egyetlen változó: λ.

Többváltozós függvények Az iránymenti derivált jelentése A v irányban vett iránymenti derivált szemléletesen azt fejezi ki, hogy az értelmezési tartományban az r pontból a v irányban haladva mennyi a függvényértékek változásának gyorsasága. Megjegyzés Ahol az f függvény differenciálható, ott létezik az összes iránymenti deriváltja is, az iránymenti deriváltak létezéséből viszont nem következik a differenciálhatóság.

Többváltozós függvények Parciális derivált Definíció Legyen f:d( R n R, r a D értelmezési tartomány belső pontja, továbbá az e,e,,e n vektorok legyenek az R n természetes bázisának bázisvektorai. Az f függvény r pontbeli, e i irányban vett iránymenti deriváltját az f függvény r pontbeli i-edik (vagy i-edik változó szerinti parciális differenciálhányadosának, vagy röviden parciális deriváltjának nevezzük (i,,n. Megjegyzés A parciális deriváltak tehát speciális iránymenti deriváltak.

Többváltozós függvények Jelölések Az f függvény r pontbeli i-edik változó szerinti parciális deriváltjának jelölései: i f (r vagy f (r i Szokás a változó sorszáma helyett magát a változót szerepeltetni a parciális derivált jelölésénél: például az változó szerinti parciális derivált lehetséges jelölései: f (r f (r f (r

Többváltozós függvények Megjegyzés: a differenciálhányados és a parciális deriváltak A parciális deriváltak létezéséből általában nem következik a differenciálhatóság, de igaz a következő tétel: Ha az r hely valamely környezetében az f függvénynek minden változó szerint létezik parciális deriváltja, továbbá ezek folytonosak r -ban, akkor f differenciálható r -ban. Az előbbiekben a parciális deriváltat, mint speciális irányban vett iránymenti deriváltat értelmeztük. Most megadjuk a parciális derivált közvetlen definícióját. (Az egyszerűség kedvéért a definíciókat csak a kétváltozós esetre írjuk fel, de ezzel analóg módon lehet eljárni kettőnél több változós esetben is.

Többváltozós függvények 4 A parciális deriváltak közvetlen értelmezése (kétváltozós függvény esetére Definíció: első változó szerinti parciális derivált Legyen f:d( R R, (,y a D belső pontja. Az f függvény (,y helyen vett, első változó szerinti parciális differenciálhányadosán (vagy röviden parciális deriváltján a f (, y lim f (, y f ( határértéket értjük, amennyiben ez létezik és véges., y

Többváltozós függvények 5 Az első változó szerinti parciális derivált geometriai jelentése kétváltozós függvény esetén Az első változó szerinti parciális derivált az y változó rögzítésével előálló felületi görbe érintőjének meredekségét adja.

Többváltozós függvények 6 Definíció: második változó szerinti parciális derivált y f (, A parciális deriváltak közvetlen értelmezése (kétváltozós függvény esetére Legyen f:d( R R, (,y a D belső pontja. Az f függvény (,y helyen vett, második változó szerinti parciális differenciálhányadosán (vagy röviden parciális deriváltján a y lim y y f ( határértéket értjük, amennyiben ez létezik és véges., y y f ( y, y

Többváltozós függvények 7 A második változó szerinti parciális derivált geometriai jelentése kétváltozós függvény esetén A második változó szerinti parciális derivált az változó rögzítésével előálló felületi görbe érintőjének meredekségét adja.

Többváltozós függvények 8 Megjegyzés: gradiens vektor komponensei Ha az f:d( R n R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány r belső pontjában, akkor r -ban léteznek a parciális deriváltak. Az r helyen vett gradiens vektor komponensei az ottani parciális deriváltak: ( f (r, f (r,..., f (r gradf (r n

Többváltozós függvények 9 Tétel: az iránymenti deriváltak és a gradiens vektor Legyen az f:d( R n R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány r belső pontjában, v R n legyen rögzített vektor, és v jelölje a v irányú, egységnyi nagyságú vektort. A v irányban vett iránymenti derivált kiszámítható a gradiens vektor és a v vektor skaláris szorzataként: f v (r gradf (r v

Többváltozós függvények Példa f (,, + + + 4 r (,4, v (,, Határozzuk meg az f függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit gradiens vektorát az r helyen iránymenti deriváltját a r helyen, a v irányban!

Többváltozós függvények 4 6 4 4,, ( f + + + 4,, ( f + + +,, ( f + + + Az elsőrendű parciális derivált függvények: 4,, ( f + + +!!!a számolás közben és konstans!!!!!!a számolás közben és konstans!!!!!!a számolás közben és konstans!!!

Többváltozós függvények Az elsőrendű parciális derivált függvények értéke az r helyen: f (,, 4 f (r f (,4, f (,, f (r f (,4, 7 4 f (,, f (r f (,4, A gradiens vektor: grad f (r 7 grad f (,4,,, 4

Többváltozós függvények grad f (r 7 grad f (,4,,, 4 v (,, v v v (,,,, Az iránymenti derivált: f (r grad f (r v 7 v,,,, 4

Többváltozós függvények 4 Definíció: differenciál Tekintsük az f:d( R n R függvényt. Legyen r (,,, n a D egy belső pontja, legyen továbbá a D egy pontja és r (,,, n Δ -, Δ -,, Δ n n - n. Δr r r ( Δ, Δ,, Δ n Ha f differenciálható az r helyen, akkor az f függvény r pontbeli, a Δr eltéréshez tartozó (első differenciálja: f (r Δ + f (r Δ +... + nf (r Δ n

Többváltozós függvények 5 f (r Δ + f (r Δ +... + nf (r Δ n Megjegyzés A differenciál röviden felírható a gradiens vektor segítségével: gradf (r Δr

Többváltozós függvények 6 Definíció: lineáris közelítés Ha az f:d( R n R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány r belső pontjában, akkor az f függvény r pontbeli lineáris közelítésén azt értjük, hogy a függvény Δ f f (r f (r megváltozását a differenciállal közelítjük: Δf f (r f (r gradf (r Δr f (r Δ + f (r Δ +... + nf (r Δ n avagy: f (r f (r + gradf (r r Δ

Többváltozós függvények 7 Lineáris közelítés kétváltozós függvény esetén Kétváltozós differenciálható függvény esetén a lineáris közelítés az ún. érintősíkkal való közelítést jelenti.

Többváltozós függvények 8 Definíció: érintősík Ha az (,y f(,y kétváltozós függvény differenciálható a r (,y helyen, akkor az f függvény r pontbeli érintősíkján a következő függvényt (annak grafikonját értjük: S(, y f (r + f (r ( + yf (r (y y Az f függvény r pontbeli lineáris közelítése: f(,y S(,y

Többváltozós függvények 9 Példa f (,, + + + 4 r (,4, Határozzuk meg az f függvény lineáris közelítését az r helyen közelítő értékét az helyen! r (.,.98,.95

Többváltozós függvények 4 f (,, 4 f (r f (,4, f (,, f (r f (,4, 7 4 f (,, f (r f (,4, grad f (r 7 grad f (,4,,, 4

Többváltozós függvények 4 f (,, + + + 4 r (,4, r (,, f(r 7 A lineáris közelítés: grad f (r 7 grad f (,4,,, 4 f (r f (r f (r + + f (r grad f (r Δ 7 ( Δr + f (r Δ +.75 ( + f (r 4 + Δ.5 (

Többváltozós függvények 4 f (r 7 ( +.75 ( 4 +.5 ( A függvény közelítő értéke az r (.,.98,.95 helyen: f (r f (.,.98,.95 7 (. +.75 (.98 4 +.5 (.95 7. +.75 (. +.5 (.5 7.6.5.5 7.4 6.58

Többváltozós függvények 4 Definíció: másodrendű parciális deriváltak Legyen f:b(r,r( R n R, i {,,n}, j {,,n}. Ha f-nek minden r B(r,r pontban létezik az i-edik változó szerinti i f(r parciális deriváltja a r i f(r parciális derivált függvénynek az r pontban létezik a j-edik változó szerinti parciális deriváltja akkor ezt az f függvény j és i változók szerinti másodrendű parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés j i f (r

Többváltozós függvények 44 Megjegyzés A másodrendű parciális deriváltak jelölésére szokásosak még az alábbi jelölések is: ji f (r " ji f (r A jelölésben utalhatunk közvetlenül azokra a változókra, melyek szerint a deriválást végeztük. Például az, majd az változó szerinti deriválás jelölése: (r (r f f f (r " f (r

Többváltozós függvények 45 Definíció Ha f:b(r,r( R n R függvénynek B(r,r-ban léteznek az elsőrendű parciális derivált függvényei, és ezek újra minden változó szerint parciálisan differenciálhatók az r pontban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer differenciálható r -ban. Definíció Ha f:b(r,r( R n R függvénynek B(r,r-ban léteznek az másodrendű parciális derivált függvényei és ezek folytonosak r -ban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer folytonosan differenciálható r -ban.

Többváltozós függvények 46 Megjegyzés: Young tétel (a deriválások sorrendjének felcserélhetősége Ha az f:b(r,r( R n R függvény kétszer differenciálható r -ban, akkor az r pontbeli másodrendű parciális deriváltak kiszámításakor a deriválások sorrendje felcserélhető, azaz j i f (r f (r i j i {,,n}, j {,,n}.

Többváltozós függvények 47 Kvadratikus függvények Definíció Legyen n pozitív egész szám. A Q(h n n,...,h n aijhih j i j alakú függvényeket, ahol A(a ij egy n-edrendű szimmetrikus mátri, kvadratikus függvényeknek (vagy kvadratikus formának nevezzük. Az A mátri a Q kvadratikus függvény mátria.

Többváltozós függvények 48 Példa A 4 Az A mátrihoz tartozó ( változós kvadratikus függvény: Q(h, h, h h + h h + h h + + h h + h h h + + h h h h + 4h h + h + 4h +h h 4h h + 6h h

Többváltozós függvények 49 Megjegyzés Nyilvánvaló, hogy bármely Q kvadratikus függvényre Q(. Definíció A Q:R n R kvadratikus függvény pozitív definit, ha Q(h >, amikor h negatív definit, ha Q(h <, amikor h indefinit, ha Q fölvehet pozitív és negatív értéket egyaránt.

Többváltozós függvények 5 Példa A Q(h, h, h h + h + 4h + h h 4h h + 6h h függvény pozitív definit. Ez az alábbi egyszerű átalakításból könnyen levezethető: h + h + 4h + h h 4h h + 6h h (h +h + (h h + (h +h

Többváltozós függvények 5 Definíció: sarokdeterminánsok Egy n-edrendű kvadratikus mátri sarokdeterminánsai az első k sorban és az első k oszlopban lévő elemekből álló k-adrendű mátriok determinánsai (k,,n. Példa A 4 mátri sarokdeterminánsai: ( D det D det D det 4

Többváltozós függvények 5 Tétel: a definitség megállapítása sarokdeterminánsokkal Egy kvadratikus függvény pontosan akkor pozitív definit, ha mátriának bal felső sarokdeterminánsai pozitívak: D >, D >,, D n > Egy kvadratikus függvény pontosan akkor negatív definit, ha mátriának bal felső sarokdeterminánsai váltakozó előjelűek úgy, hogy D negatív: D <, D >, D <, D 4 >, Egy kvadratikus függvény mátriának bal felső sarokdeterminánsai nullától különbözőek, és a fenti két eset nem áll fenn, akkor a kvadratikus függvény indefinit.

Többváltozós függvények 5 Példa 4 ( det D > det D > 4 det D > Q(h, h, h h + h + 4h +h h 4h h + 6h h Így Q pozitív definit.

Többváltozós függvények 54 Többváltozós differenciálható függvények szélsőérték-számítása Tétel: a helyi szélsőérték létezésének szükséges feltétele Ha az f:d( R n R differenciálható függvénynek helyi szélsőértéke van a D értelmezési tartomány r belső pontjában, akkor az r pontbeli elsőrendű parciális deriváltak értéke : f (r f (r n f(r Megjegyzés Kétváltozós differenciálható függvény esetén ott lehet helyi szélsőérték, ahol az érintő sík vízszintes.

Többváltozós függvények 55 Következmény Differenciálható függvény esetén a helyi szélsőértékek keresésekor elsőként azokat r helyeket kell meghatározni, ahol a parciális deriváltak értéke, az előző tétel szerint ui. helyi szélsőérték csak ezeken a helyeken lehet. Megjegyzés Helyi szélsőérték létezéséhez nem elegendő, hogy az elsőrendű parciális deriváltak értéke. Az elegendőséghez további feltételt kell megfogalmazni a másodrendű parciális deriváltakra vonatkozóan.

Többváltozós függvények 56 Definíció Legyen az f:b(r,r( R n R függvény kétszer folytonosan differenciálható r -ban, és definiáljuk a Q:R n R függvényt a következőképpen: Q(h n n,...,h n i jf (rhih i j j Megjegyzés Az így definiált Q függvény kvadratikus.

Többváltozós függvények 57 Tétel: a helyi szélsőérték létezésének elegendő feltétele. ESET Legyen az f:b(r,r( R n R függvény kétszer folytonosan differenciálható r -ban. Ha és a f (r f (r n f(r Q(h n n,...,h n i jf (rhih j i j kvadratikus függvény pozitív definit, akkor f-nek r -ban helyi minimuma van.

Többváltozós függvények 58 Tétel: a helyi szélsőérték létezésének elegendő feltétele. ESET Legyen az f:b(r,r( R n R függvény kétszer folytonosan differenciálható r -ban. Ha és a f (r f (r n f(r Q(h n n,...,h n i jf (rhih j i j kvadratikus függvény negatív definit, akkor f-nek r -ban helyi maimuma van.

Többváltozós függvények 59 Tétel: a helyi szélsőérték létezésének elegendő feltétele. ESET Legyen az f:b(r,r( R n R függvény kétszer folytonosan differenciálható r -ban. Ha és a f (r f (r n f(r Q(h n n,...,h n i jf (rhih j i j kvadratikus függvény indefinit, akkor f-nek r -ban nincs helyi szélsőértéke.

Többváltozós függvények 6 Példa Határozzuk meg a következő függvény helyi szélsőérték-helyeit és a szélsőértékeket!. lépés,,, 4,, ( f > > > + + + 4,, ( f,, ( f,, ( f Az elsőrendű parciális derivált függvények meghatározása:

Többváltozós függvények 6. lépés A f f n f egyenletrendszer megoldása: f (,, 4 f (,, f (,, r,,

Többváltozós függvények 6 A másodrendű parciális derivált függvények meghatározása. + + 4 (A könnyebb áttekinthetőség kedvéért a függvényeket táblázatba írjuk. Az első sorban a f, a második sorban f, a harmadik sorban a f függvény deriváltjai vannak.. lépés 4,, ( f,, ( f,, ( f

Többváltozós függvények 6 6 4 A A másodrendű parciális derivált függvények értékének meghatározása ott, ahol az elsőrendű deriváltak értéke egyszerre volt nulla. Most egy ilyen pont van az r :,, r 4. lépés + + 4

Többváltozós függvények 64 5. lépés Meg kell állapítani, hogy az A mátri milyen definitségű Q kvadratikus függvényhez tartozik, ebből megállapítható, hogy a vizsgált pontban van-e helyi szélsőérték, és milyen jellegű. A 4 6 D det(4 4 4 D det 8 4 D det 6 D 6 >, D 8 >, D 4 > vagyis az A mátri pozitív definit kvadratikus függvényhez tartozik. Ebből következik, hogy az f-nek P-ben helyi minimuma van.

Többváltozós függvények 65 Megjegyzés A fentiekből látható, hogy a Q(h n n,...,h n i jf (rhih j i j kvadratikus függvényt nem szükséges felírni, elegendő csak a mátriával számolni. A fent megoldott feladatban a kvadratikus függvény a következő alakú lett volna: A 4 6 Q(h, h, h 4 h 4 h h + h 4 h h + 6 h

Többváltozós függvények 66 Többváltozós Taylor polinomok A