9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x 2,..., x k ) sorozatok halmazát, azaz 1 R k R 2 R= k := R { x = (x1, x 2,..., x k ) : x i R (i = 1, 2,..., k) }. Az x = (x 1, x 2,..., x k ) sorozatokat a tér pontjainak mondjuk, az x 1, x 2,..., x k számok az x = (x 1, x 2,..., x k ) pont koordinátái. R 1 -et természetes módon azonosíthatjuk R-rel. R 2 = R R-et egy koordinátarendszer bevezetése után egy síkra lehet bijektíven leképezni, ezért R 2 -et euklideszi síknak nevezhetjük. Hasonlóan, koordinátarendszer réven azonosíthatjuk R 3 -at a közönséges térrel. R k pontjait vektoroként is felfoghatjuk, úgy, hogy a koordinátarendszer felvétele után az egyes pontoknak a kezdőpontból hozzájuk vezető helyzetvektorukat feleltetjük meg. Ezek szabad vektorok, ömagukkal párhuzamosan eltolhatók. Műveletek R k -ban: Definíció. Az x = (x 1, x 2,..., x k ), y = (y 1, y 2,..., y k ) R k vektorok összegét és az x R k vektor λ R skalárral való szorzatát x + y : = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x k + y k ) λx : = (λx 1, λx 2,..., λx k ) -val definiáljuk. Könnyű ellenőrizni, hogy e műveletek teljesítik az alábbi tulajdonságokat: Bármely x, y, z R k mellett, a 0 = (0, 0,..., 0) zérusvektorral és x = ( 1)x vektorral teljesül, hogy x + (y + z) = (x + y) + z, x + y = y + x, x + 0 = x, x + ( x) = 0. (az összeadás előbbi 4 tulajdonságát Abel-csoport axiómáknak mondjuk). Bármely x, y R k, λ, µ, 1 R esetén, λ(x + y) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx, (λµ)x = λ(µx) 1x = x. (ezek a tulajdonságok a skalárral való szorzás axiómái). Az összeadás és skalárral való szorzás axiómái együttesen alkotják a lineáris tér, vagy vektortér axiómák at. Definíció. Az x = (x 1, x 2,..., x k ), y = (y 1, y 2,..., y k ) R k vektorok skaláris vagy belső szorzatát -val definiáljuk. x, y := x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x k y k Könnyű ellenőrizni, hogy a skaláris szorzat teljesíti az alábbi tulajdonságokat. Bármely x, y, z R k és bármely λ R esetén x + y, z = x, z + y, z, λx, y = λ x, y, x, y = y, x, x, x 0 és x, x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0. 1

2 Ez a 4 tulajdonság alkotja a skaláris szorzás axiómáit. Állítás [Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség] Bármely két x, y R k vektor esetén érvényes a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség: x, y x, x y, y. Bizonyítás. A belső szorzat utolsó tulajdonsága miatt amiből a szorzás elvégzése után x + λy, x + λy 0 x, x + λ y, x + λ x, y + λ 2 y, y 0. Jelölje Q(λ) a baloldalon levő λ-ben másodfokú polinomot, akkor Q(λ) = x, x + λ y, x + λ x, y + λ 2 y, y 0. Ha y, y = 0, akkor az utolsó tulajdonság miatt y = 0, így egyenlőtlenségünk teljesül, mert mindkét oldaán zérus áll. Ha y, y = 0, akkor Q(λ) 0 miatt Q diszkriminánsa kisebb vagy egyenlő mint nulla, amiből 4 x, y 2 4 x, x y, y 0 s ebből átrendezéssel adódik a bizonyítandó egyenlőtlenség. Definíció. Az x = x, x számot az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k vektor hosszának (vagy normájának ill. abszolút értékének) nevezzük. A norma segítségével a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenséget alakba írhatjuk át. x, y x y (x, y R k ) A Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség felhasználásával könnyen igazolhatjuk a norma tulajdonságait: bármely x, y R k és bármely λ R esetén Definíció. Az x, y R k pontok távolságát -nal definiáljuk. x 0 és x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0 λx = λ x x + y x + y. d(x, y) = x y Definíció. Egy a R k pont ε > 0 sugarú (nyílt) környezetén a K(a, ε) := { x R k : d(x, a) = x a < ε } halmazt értjük. k = 1 esetén K(a, ε) az a pontra nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ]a ε, a + ε[ nyílt intervallum. k = 2 esetén K(a, ε) az a = (a 1, a 2 ) pont körüli ε sugarú nyílt körlap. k = 3 esetén K(a, ε) az a = (a 1, a 2, a 3 ) pont körüli ε sugarú nyílt gömb. Környezetek segítségével értelmezhetjük R k -ban a belső, határ, izolált, torlódási pont fogalmát, továbbá nyílt és zárt halmazokat (a definíció szó szerint ugyanaz, de benne a pont, környezet jelentése általánosabb). Sorozatok R k -ban. Definíció. Egy a : N R k függvényt R k -beli sorozatnak nevezünk.

3 Jelölések a(n) = a n = (a n,1, a n,2,..., a n,k ) (n N), a = (a n ). Definíció. Az (a n ) (R k -beli) sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan b R k, hogy bármely ε > 0- hoz létezik olyan N(ε) R szám, hogy a n b < ε ha b-t a sorozat határérték ének (limeszének) nevezzük és az n > N(ε). a n b (n ) vagy lim n a n = b jelölést használjuk. N(ε)-t az ε-hoz tartozó küszöbszámnak nevezzük. Egy R k -beli sorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens. Állítás [R k -beli sorozat koordinátánként konvergens] akkor és csakis akkor, ha a n = (a n,1, a n,2,..., a n,k ) b = (b 1, b 2,..., b k ) (n ) a n,i b i (n ) minden i = 1, 2,..., k mellett. Ez azt jelenti, hogy egy vektorsorozat akkor és csakis akkor konvergens, ha a sorozat minden koordinátája konvergens és határértéke a határvektor megfelelő koordinátája. Bizonyítás. Mivel minden j = 1, 2,..., k mellett a n,j b j a n b = k (a n,i b i ) 2 k max a n,j b j, 1 j k i=1 Ebből látható, hogy a n b < ε akkor a n,j b j < ε minden j = 1, 2,..., k mellett. Fordítva, ha a n,j b j < ε minden j = 1, 2,..., k mellett akkor max a n,j b j < ε így a n b = k ε 1 j k igazolva állításunkat. Példa. a n = ( 1 n, 1 + 1 ) n 2 (0, 1) ha n. 9.2 Többváltozós függvények határértéke és folytonossága Egy D R k halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel jelöljük. Definíció. Legyen f : D R k R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási pontja). Azt mondjuk, hogy f-nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy f(x) a < ɛ ha 0 < x x 0 < δ(ɛ) és x D teljesül. Az a R számot az f függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük, és jelölésére az a = f(x) a ( ha x x 0 )-t használjuk. lim f(x) vagy x x 0 A határérték, ha létezik, akkor egyértelmű. Átviteli elv, műveletek, egyenlőtlenségek és határérték kapcsolata most is érvényes. A határérték fogalma a R b -re hasonlóan kiterjeszthető, mint egy változónál.

4 Definíció. Az f : D R k R függvényt értelmezési tartományának x 0 D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy teljesül. f(x) f(x 0 ) < ɛ ha x x 0 < δ(ɛ) és x D Itt is érvényes az átviteli elv: az f : D R k R függvény az x 0 D pontban akkor és csakis akkor folytonos, ha bármely (x n ) : N D az x 0 -hoz konvergáló sorozat esetén f(x n ) f(x 0 ) ha n. Folytonos függvények tulajdonságai ugyanazok mint az egyváltozós esetben. 9.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Definíció. Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálhatónak nevezzük, ha van olyan A R k vektor melyre f(x) f(x 0 ) A, x x 0 lim = 0. x x 0 x x 0 Az f (x 0 ):=A vektort az f függvény x 0 pontbeli deriváltjának nevezzük. Geometriai jelentés: a függvény f(x) f(x 0 ) növekményét az A, x x 0 lineáris függvény jól közelíti (mivel a definíció szerint az f(x) f(x 0 ) A, x x 0 különbség olyan kicsi hogy még x x 0 -val elosztva is nullához tart, ha x x 0 ), a függvény által meghatározott felületnek az x 0 pontban van érintősíkja, ez éppen az x k+1 = f(x 0 ) + A, x x 0 hipersík az R k+1 térben. Definíció. Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban az e (ahol e egy R k -beli egységvektor) irány mentén differenciálhatónak nevezzük, ha létezik a f(x 0 + te) f(x 0 ) lim t 0 t (véges) határérték. E határértéket D e f(x 0 )-lal jelöljük, és az f függvény e iránymenti deriváltjának nevezzük az x 0 pontban. D e f(x 0 ) jelentése: az f függvény változási sebessége az e irányában. Ha speciálisan e = u i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) az i-edik tengely irányába mutató egységvektor (az u i vektor i-edik koordinátája 1, a többi 0) akkor a D ui f(x 0 ) iránymenti deriváltat az f függvény i-edik változója szerinti parciális deriváltjának nevezzük az x 0 pontban. Jelölésére az i f(x 0 ) szimbólumot használjuk. Egyéb jelölések: xi f(x 0 ), f x i (x 0 ), f xi (x 0 ) Definíció. Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban parciálisan differenciálhatónak nevezzük, ha i f(x 0 ) minden i = 1,..., n-re létezik.

5 Mivel (x i = x 0,i + t jelöléssel) D ui f(x 0 ) f(x 0,1,..., x 0,i + t,..., x 0,k ) f(x 0,1,..., x 0,i,..., x 0,k ) = lim t 0 t f(x 0,1,..., x i,..., x 0,k ) f(x 0,1,..., x 0,i,..., x 0,k ) = lim x i x 0,i x i x 0,i így i f(x 0 )-t úgy számítjuk ki, hogy az i-edik változó szerint differenciálunk, miközben a többi változót konstansnak tekintjük. Példa parciális deriváltak kiszámítására, és a fogalmak felírására két változó esetén(ld. előadás) TÉTEL [iránymenti derivált kiszámítása] Ha f : D R n R az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálható, akkor bármely e = (e 1,..., e k ) R k, e = e 2 1 + + e2 k = 1 irány mentén is differenciálható x 0 -ban, és az iránymenti deriváltjára áll fenn, ahol A = f (x 0 ). D e f(x 0 ) = A, e = A 1 e 1 + + A k e k így Speciálisan, ha e = u i = (0,..., 1,..., 0) (ahol az 1 az i-edik helyen áll), akkor D ui f(x 0 ) = i f(x 0 ) = A i D e f(x 0 ) = 1 f(x 0 )e 1 + + k f(x 0 )e k. Ez azt jelenti, hogy (totális) differenciálhatóság parciális differenciálhatóság. Az is következik, hogy f (x 0 ) = A = ( 1 f(x 0 ),..., k f(x 0 )) azaz az f (x 0 (totális) derivált (vektor) koordinátái a parciális deriváltak. Bizonyítás. A differenciálhatóság ε(x) := f(x) f(x 0 ) A, x x 0 jelöléssel f(x) f(x 0 ) = A, x x 0 + ε(x) ε(x) és a differenciálhatóság definíciója miatt lim x tox 0 = 0. Innen x x 0 f(x 0 + te) f(x 0 ) t ha t 0 bizonyítva állításunkat. = A, te + ε(x 0 + te) t = A, e + t t ε(x 0 + te) A, e x 0 + te x 0 TÉTEL [(totális) differenciálhatóság folytonosság] Ha f : D R k R az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálható, akkor f folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Az előző bizonyításban használt ε(x) segítségével kapjuk, hogy f(x) f(x 0 ) = A, x x 0 + ε(x) x x 0 x x 0 0 ha x x 0, mivel ekkor a jobboldali összeg mindkét tagja nullához tart. Megjegyzés. f parciális differenciálhatóságából f folytonossága. Ellenpélda a { 0 ha x1 x f(x 1, x 2 ) = 2 0 1 ha x 1 x 2 = 0 ahol 1 f(0, 0) = 2 f(0, 0) = 0, de f nem folytonos (0, 0)-ban. A parciális deriváltak folytonossága viszont garantálja a (totális) differenciálhatóságot, így a folytonosságot is. TÉTEL [parc. deriv. folytonossága (totális) differenciálhatóság ] Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében folytonos parciális deriváltjai vannak (ekkor azt úgy mondjuk, hogy a függvény folytonosan parciálisan differenciálhato e környezetben) akkor f az x 0 pontbanban (totális) differenciálható, (így folytonos is).

6 Bizonyítás. Az egyszerűség kedvéért csak két változó esetén bizonyítunk. f(x 1, x 2 ) f(x 0,1, x 0,2 ) = [f(x 1, x 2 ) f(x 1, x 0,2 )] + [f(x 1, x 0,2 ) f(x 0,1, x 0,2 )]. A szögletes zárójelben levő különbségekre az egyváltozós Lagrange-féle középértéktételt használva kapjuk, hogy f(x 1, x 2 ) f(x 0,1, x 0,2 ) = 2 f(x 1, ξ 2 )(x 2 x 0,2 ) + 1 f(ξ 1, x 0,2 )(x 1 x 0,1 ) ahol ξ 1 az x 1 és x 01 közötti érték, ξ 2 pedig x 2 és x 0,2 között van. A parciális deriváltak x 0 = (x 0,1, x 0,2 ) pontbeli folytonossága miatt 1 f(ξ 1, x 0,2 ) = 1 f(x 0,1, x 0,2 ) + ε 1, 2 f(x 1, ξ 2 ) = 2 f(x 0,1, x 0,2 ) + ε 2 ahol ε i 0 (i = 1, 2) ha (x 1, x 2 ) (x 0,1, x 0,2 ). Így f(x 1, x 2 ) f(x 0,1, x 0,2 ) = 1 f(x 0,1, x 0,2 )(x 1 x 0,1 ) + 2 f(x 0,1, x 0,2 )(x 2 x 0,2 ) + ε ahol ε = ε 1 (x 1 x 0,1 ) + ε 2 (x 2 x 0,2 ). Állítśunk bizonyítva lesz, ha megmutatjuk, hogy ε (1) (x1 x 0,1 ) 2 + (x 2 x 0,2 ) 0 ha (x 1, x 2 ) (x 0,1, x 0,2 ). 2 Mivel ε (x1 x 0,1 ) 2 + (x 2 x 0,2 ) = ε x 1 x 0,1 2 1 (x1 x 0,1 ) 2 + (x 2 x 0,2 ) + ε x 2 x 0,2 2 2 (x1 x 0,1 ) 2 + (x 2 x 0,2 ) 2 ε i 0 és a ε i -k utáni törtek abszolút értéke 1, így valóban fennáll (1). TÉTEL [láncszabály: összetett függvény differenciálhatósága] Ha a g i : D R k R (i = 1, 2,..., l) függvények differenciálhatók az x 0 D belső pontban, és f : E R l R differenciálható az y 0 = g(x 0 ) E belső pontban, ahol g(x) := (g 1 (x), g 2 (x),..., g l (x)) (x D), akkor a h(x) := f(g(x)) összetett függvény (mely x 0 D egy környezetében biztosan értelmezve van) differenciálható x 0 D-ben és i h(x 0 ) = Utóbbi képletet nevezzük láncszabálynak. Bizonyítás.- l j f(g(x 0 )) i g j (x 0 ) j=1 (i = 1, 2,..., k). 9.4 Magasabbrendű parciális deriváltak Tegyük fel, hogy az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében létezik pl. az i-edik változó szerinti i f parciális derivált. Ha ez parciálisan differenciálható pl. az j-edik változó szerint, úgy a e deriválást elvégezve kapjuk a j i f(x 0 ) := j ( i f(x 0 )) második parciális deriváltját f-nek az x 0 pontban az i-edik és j-edik váltzozók szerint (ebben a sorrendben). Hasonlóan ha a j i f(x) drivált létezik x 0 egy környezetében és ez parciálisan differenciálható pl. a l-edik változó szerint, úgy a e deriválást elvégezve kapjuk a l i j f(x 0 ) := l ( i j f(x 0 )) harmadik parciális deriváltat. Hasonlóan értelmezhetjük a negyed- és magasabbrendű parciális deriváltakat is. Egyéb jelölések a magasabbrendű deriváltakra: xj xi f(x 0 ) 2 f x j x i (x 0 ), f xix j (x 0 )

7 Példa. Számítsuk ki az f(x, y) = x 2 + y 2 e xy ((x, y) R 2 ) függvény összes első és másodrendű parciális deriváltját, és hasonlítsuk össze a 1 2 f(x, y) és 2 1 f(x, y) vegyes deriváltakat. TÉTEL [Young tétel: a vegyes parciális deriváltak függetlensége a deriválás sorrendjétől] Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében az összes m 2-edik parciális deriváltjai léteznek és folytonosak az x 0 pontban, akkor a függvény m-edik parciális deriváltjai az x 0 pontban a differenciálás sorrendjétől függetlenek. 9.5 Többváltozós függvények szélsőértéke Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek szigorú lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D, x x 0 esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek szigorú globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha esetén. f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x D, x x 0 TÉTEL [a szélsőérték létezésének elegendő feltétele] Korlátos zárt halmazon folytonos függvény felveszi a függvényértékek infimumát és supremumát függvényértékként, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van minimuma és maximuma (az illető korlátos zárt halmazon). TÉTEL [a szélsőérték elsőrendű szükséges feltétele] Ha f : D R k R f ggvénynek az x 0 D belső pontban lokális szélsőértéke van, és léteznek f első parciális deriváltjai x 0 -ban, akkor (2) 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0. Az (2) feltételnek elegettevő x 0 pontokat az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük. Bizonyítás. Legyen ϕ i (t) := f(x 0,1,..., x 0,i + t,..., x 0,k ) (i = 1,..., k) ahol x 0 = (x 0,1,..., x 0,k ) és t elég kicsi. Feltevésünk szerint a ϕ i (t = 0-ban differenciálható) függvényeknek lokális szélsőértéke van t = 0 ban, így igazolva áll ításunkat. 0 = ϕ i(0) = i f(x 0 ) (i = 1,..., k) TÉTEL [a szélsőérték másodrendű elegendő feltétele] Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá (3) 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0, azaz x 0 stacionárius pontja f-nek.

8 I. Ha a (4) Q(h) = Q(h 1,..., h k ) := k j=1 i=1 k j i f(x 0 )h i h j kvadratikus függvény pozitív definit, azaz Q(h) > 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, II. ha a Q kvadratikus függvény negatív definit, azaz Q(h) < 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban, III. ha a Q kvadratikus függvény indefinit, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f-nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. ahol Bizonyítás.- Két változó esetén egyszerű ellenőrizni egy kvadratikus függvény pozitív vagy negatív definitségét. Ekkor Q(h 1, h 2 ) = Ah 2 1 + 2Bh 1 h 2 + Ch 2 2 A = 1 1 f(x 0 ), B = 1 2 f(x 0 ), C = 2 2 f(x 0 ). Itt már felhasználtuk azt, hogy feltételeink mellett a vegyes második parciális deriváltak az x 0 pontban egyenlők. Tegyük fel, hogy Q pozitív definit, akkor A < 0 nem lehet, mert pl. h 2 = 0-t véve Q(h 1, 0) = Ah 2 1 < 0 volna minden h 1 0 mellett. A = 0 sem lehet, mert akkor C = 0 esetén Q(h 1, h 2 ) = 2Bh 1 h 2 nyilvánvalóan felvesz pozitív és negatív értékeket is ha B 0, míg B = 0 esetén Q azonosan zérus. Ha ha C < 0, akkor Q(h 1, h 2 ) = 2Bh 1 h 2 + Ch 2 2 negatív értékeket is felvesz h 1 = 0, h 2 0 mellett. Végül, ha C > 0 volna akkor a Q(h 1, h 2 ) = 2Bh 1 h 2 + Ch 2 2 = C [ ( h 2 + B ) 2 C h 1 ( B C ) 2 h 2 1 átalakítást használva látjuk, hogy Q(h 1, h 2 ) 0 csak B = 0 esetén teljesül, ekkor viszont Q(h 1, h 2 ) = Ch 2 2 nulla lenne tetszőleges h 1 és h 2 = 0 mellett ami ellentmond a pozitív definitségnek. Így A > 0 és Q(h 1, h 2 ) = A [ ( h 1 + B ) 2 ( ) ] C A h 2 + A B2 A 2 h 2 2 mutatja, hogy a C A B2 A 2 > 0, vagy AC B2 > 0 a pozitív definitség szükséges és elegendő feltétele. Ezzel igazoltuk azt, hogy ] a Q(h 1, h 2 ) kvadratikus függvény akkor és csakis akkor pozitív definit, ha (5) 1 := 1 1 f(x 0 ) > 0, 2 := 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) > 0. Hasonlóan bizonyíthatjuk azt, hogy Q(h 1, h 2 ) akkor és csakis akkor negatív definit, ha (6) 1 < 0, 2 > 0. Az előzőek alapján könnyű belátni, hogy a (7) 2 < 0 egyenlőtlenség elegendő Q indefinítségéhez. Példa. f(x, y) = x 3 + y 3 3xy (x, y) R 2 lokális szélsőértékeinek meghatározása.

9 9.6 Feltételes szélsőérték Definíció. Legyenek f : D R k+m R, h i : D R k+m R i = 1,..., m adott függvények. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 D pontban a h 1 (x) = 0, h 2 (x) = 0,..., h m (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes maximuma (minimuma) van, ha van olyan ε > 0 hogy mellett, melyre f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D K(x 0, ε) h 1 (x) = = h m (x) = 0. TÉTEL [a feltételes szélsőérték szükséges feltétele] Tegyük fel, hogy az f, h i : D R k+m R (i = 1,..., m), az f függvénynek az x 0 D belső pontban a h 1 (x) = 0, h 2 (x) = 0,..., h m (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes szélsőértéke van, továbbá az f és h i (i = 1,..., m) parciális deriváltjai folytonosak x 0 egy környezetében és a ( j h i (x 0 )) (j = 1,..., k + m, i = 1,..., m) mátrixnak van nemzérus m-edrendű aldeterminánsa. Akkor vannak olyan λ 1,... λ m R valós számok, hogy az függvényre F (x) := f(x) + λ 1 h 1 (x) + + λ m h m (x) (x D) 1 F (x 0 ) = = k+m F (x 0 ) = 0. A λ 1,... λ m számokat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük, az F függvényt a feltételes szélsőérték probléma Lagrange-féle függvényének nevezzük. A feltételes szélsőérték probléma megoldása úgy történik, hogy a 1 F (x 0 ) = 0, 2 F (x 0 ) = 0,..., k+m F (x 0 ) = 0, h 1 (x) = 0, h 2 (x) = 0,..., h m (x) = 0 k + 2m db. egyenletből álló rendszert megoldjuk az x 1,..., x k+m, λ 1,... λ m ismeretlenekre, a kapott x 1,..., x k+m megoldások adják a feltételes szélsőérték lehetséges helyeit. Megjegyzés. Van másodrendű elegendő feltétel is a feltételes szélsőértékre, de azt nem tanuljuk. Példa. Határozza meg az feltételes szélsőértékeit a feltétel mellett. f(x, y) = x + 2y ((x, y) R 2 ) h(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 körvonal Megjegyzés. Érdemes a feladatot geometriailag is szemléltetni, abból leolvasható az hogy minimum vagy maximum van-e a kiszámolt pontokban.