WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA Gzdságmtemtik Alízis Okttási segédyg Készítette: Pór Adrásé 203
Trtlomjegyzék HALMAZOK... 3 FÜGGVÉNYEK... 0 SOROZATOK... 24 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA... 29 Nevezetes tételek függvéy htárérték meghtározásához:... 3 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS... 33 Függvéyelemzés... 36 Gzdsági lklmzások... 39 INTEGRÁL (A deriválás iverze)... 43 HATÁROZOTT INTEGRÁL... 45 Mitzh... 47 Mitzh2:... 49 Mitzh(00pot):... 50 Felhszált irodlom... 52 KÉPLETTÁR... 53 wsuf 2
HALMAZOK Hlmz: bizoyos tuljdoságú dolgok (objektumok) összessége, sokság. Eleme: z összességbe trtozó dolgok hlmz elemei. Jelölések: Hlmz A, B, C stb. (gybetű) pl.: A={, 2, 3} Eleme A kis eleme gy A hlmzk Nem eleme A kis em eleme gy A hlmzk. Néháy számhlmz és jelölése: N természetes számok hlmz 0,,2,. N + pozitív természetes számok hlmz,2,. Z egész számok hlmz -, 0,,. Q rcioális számok hlmz (2 egész szám háydoskét felírhtó szám) Q={ p / q p, q Z ; Q 0} R vlós számok hlmz (rcioális és irrcioális számok uiój) C komple számok hlmz (vlós és egtív számokból is vojuk gyököt) Szemléltetés: Ve-digrmml: A hlmzt egy zárt görbe, z elemeit zárt görbe belső potji szimbolizálják. Pl.: A={} B={b, b 2, } Hlmzok megdás: Defiíció: Egy hlmzt dottk tekitük, h bármelyik elemről, dologról, objektumról egyértelműe eldöthetjük, hogy z, bee v hlmzb vgy em. Megdási módok:. A hlmz elemeiek felsorolásávl: A= {,,, 2, } B= {2, 5, 9} C = {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} D = {á, é, í, ó, ú, ű} 2. A hlmz elemeiek közös tuljdoságát djuk meg (h v ilye) A = {0-él kisebb természetes számok} B = {hosszú mgáhgzók} wsuf 3
M ={férfik hlmz} M 2 = { N ÉS >5} TULAJDONSÁGOK Kiolvsv: M 2 hlmz zo elemek hlmz, melyekre z igz, hogy természetes szám és >5. Defiíció: 2 hlmz kkor egyelő, h elemeik megegyezek. Defiíció: z oly hlmzt, melyek ics egyetle egy eleme sem, üres hlmzk evezzük. Jele: Ø vgy {} Defiíció: Az A hlmz részhlmz B hlmzk, h z A mide eleme, eleme B hlmzk is. Vgyis: h A kkor B Szemléltetés: jelölés: A B; A B Megjegyzés: mide hlmzk v leglább két részhlmz (ömg és z üres hlmz). Defiíció : legye dott A és B 2 hlmz, A -r teljesüljeek z lábbi feltételek : i A B ii A= Ø iii A B Ekkor z A hlmzról zt modjuk, hogy B hlmzk VALÓDI RÉSZHALMAZA. Jelölés: A B Szemléltetés: Defiíció 2: Legye dott A és B hlmz, h z A oly em üres részhlmz B -ek, hogy B hlmzk v oly eleme, mely em eleme z A hlmzk, kkor z A hlmzt B hlmz vlódi részhlmzák evezzük. H egy véges hlmzk ( N) db eleme v, kkor eek hlmzk 2 db részhlmz v. A hlmz véges hlmz, h potos tudjuk z elemei számát, zz megdhtjuk egy természetes számml. Pl.: H = {2, 4, 6, 8} ; I = {z osztály tulói} A hlmz végtele hlmz, h elemeiek szám em dhtó meg egy természetes számml. Pl.: P = {pozitív pártl számok} wsuf 4
A hlmzok számosság: Véges sok elemet trtlmzó hlmzál egyszerű dolog: hlmz számosságát megkpjuk, h összeszámláljuk z elemeket. A végtele sok elemet trtlmzó hlmzokál defiiáluk egy lpesetet: természetes számok hlmzák számosságát megszámlálhtó végteleek evezzük. Más, em véges sok elemet trtlmzó hlmz számosságát igyekszük viszoyíti. Az összehsolítást párb-állítássl végezhetjük el. A párosítás -k kölcsööse egyértelmű módo kell törtéie és h ez lehetséges, kkor két hlmzt ekvivlesek evezzük. Például: A páros számok hlmz ekvivles természetes számok hlmzávl. Lehetséges ugyis kölcsööse egyértelmű hozzáredelés: Páros számok: 0 2 4 6 8 0.. Term. számok: 2 3 4 5 6 H midegyik természetes számhoz egyértelműe hozzá tudjuk redeli egy másik hlmz elemeit, kkor z illető hlmzt is megszámlálhtó végteleek, vgy rövide megszámlálhtók modjuk. Műveletek hlmzokkl Defiíció: A H és H 2 hlmzok uiój (vgy másképp egyesítettjé), zo elemek hlmzát értjük, melyet H illetve H 2 hlmzok közül leglább z egyikbe megtlálhtók. Szemléltetés: jelölés: H és H 2 hlmz uiój. H UH 2 Tételek: Az uióképzés szbályi:. Az uióképzés kommuttív, zz bármely A,B hlmzokb AUB = BUA 2. Az uióképzés sszocitív, zz bármely A, B, C hlmzokb AU (BUC) = (AUB) UC 3. H A B, kkor AUB = B; bizoyítás feldt 4. Bármely A hlmzr AU Ø = A; bizoyítás triviális wsuf 5
Pl.: A={mgyr fiúk} B={mgyr láyok} AUB={mgyr fiúk és láyok} Defiíció: A H és H 2 hlmzok metszeté (vgy máskét közös részé) értjük zo elemek hlmzát, melyek H be és H 2 be is bee vk. Szemléltetés: Jelölés: H és H 2 hlmz metszete H H 2 Megjegyzés: H H 2 ={ H és H 2 } Péld:. A= {fiúk} B= {láyok} A B = Ø Defiíció: H H H 2 = Ø, kkor zt modjuk, hogy H és H 2 hlmzok egymáshoz képest idegeek vgy másképp diszjuktk. Pl.: E={háromszögek} L={égyszögek} E és L hlmzok egymáshoz képest diszjuktk, mert E L= Ø Megjegyzés: 2 hlmz diszjuktság zt jeleti, hogy ics közös elemük. Szemléltetve: Tétel: metszetképzés tuljdoság:. A metszetképzés kommuttív, zz bármely A, B hlmzokr: A B = B A 2. A metszetképzés sszocitív, zz bármely A, B, C hlmzokr: A (B C) = (A B) C 3. H H H 2, kkor H H 2 = H 4. Bármely H hlmzr H Ø= Ø 5. A metszetképzés idempotes: Bármely H hlmzr H H=H, ez igz z uióképzésre is: HUH=H wsuf 6
Tétel: metszetképzés és z uióképzés kpcsoltár: disztributív törvéyel: Bármely H, H 2, H 3 hlmzokr igz, hogy:.h (H 2 UH 3 ) = (H H 2 )U(H H 3 ) 2.H U (H 2 H 3 ) = (H U H 2 ) (H U H 3 ) Külöbség, komplemeter Defiíció: Bármely H és H 2 hlmzok külöbségé értjük H hlmz zo elemeiek hlmzát, melyek H 2 hlmzk em elemei. Jelölés : H H 2 Szemléltetés: Megjegyzés: H H 2 ={ H és H 2 } Pl..: A= {európi fővárosok} B= {kelet-európi országok fővárosi} A B = {európi, de em kelet-európi országok fővárosi} B A = {oly kelet-európi országok fővárosi, melyek em európik}; Ø Tétel: A külöbségképzés tuljdosági:. em kommuttív, zz, v oly H, H 2 hlmz, hogy H H 2 H 2 H 2. em sszocitív, zz v oly H, H 2, H 3 hlmz, hogy: H (H 2 H 3 ) (H H 3 ) H 2 3. külöbségképzés sorredje felcserélhető, zz: bármely H, H 2, H 3 hlmzr: (H H 2 ) H 3 (H H 3 ) H 2 4. Bármely H, H 2 hlmzr: H H =H 2, kkor H H 2 = Ø H H =Ø, kkor H H 2 = Ø és H 2 H = H 2 H H H 2, kkor H H 2 = Ø H H H 2, kkor H 2 H =?, ezt em lehet elevezi, ez vezet komplemeter képzéshez. Defiíció: Az lphlmz egy oly hlmz, ho részhlmzokt válsztjuk. wsuf 7
Defiíció: legye dott I lphlmz és H I A H hlmz I lphlmzr votkozttott komplemeterével (másképp kisegítő hlmzávl) z I H hlmzt evezzük. Szemléltetve: Megjegyzés: Jelölés: H komplemetere. ={ I és H} 2. - be zok és csk zok z elemek trtozk, melyek I-be bee vk, de H-b em. Tétel: A komplemeter-képzés tuljdosági:. bármely hlmzr, H U =I H = Ø =H = Ø = I 2. De Morg féle zoosságok: ( ) = 2 = U 2 Pl.: Alphlmz I = {wsuf hllgtók} Ezutá mide hlmz I-beli: A = {fiúk} B = {láyok} C = {. évesek} Ā =B; = A ={2, 3, 4 em. éves hllgtók} Defiíció: A H és H 2 hlmzok szorzták evezzük zt hlmzt, melyet z összes oly redezett elem-párból képezük, melyek első elemei H ből, második H 2 ből vló. Jelölés: H X H 2 (H kereszt H 2 ) Megjegyzés: Direkt szorzás, Descrtes-féle szorzás elevezést is hszáljuk. Pl.: H = {, 2, 3} H 2 = {, b} H X H 2 ={(,); (,b); (2,); (2,b); (3,); (3,b) } wsuf 8
Tétel: A szorzás tuljdosági:. Nem kommuttív, zz v oly H, H 2 hlmzok, hogy H X H 2 H 2 X H 2. Nem sszocitív, zz v oly H, H 2, H 3 hlmz, hogy (H X H 2 ) X H 3 (H X (H 2 X H 3 ) 3. H és H 2 legye 2 véges hlmz: H -ek ( N) db eleme H 2 ek m ( N) db eleme legye Ekkor H X H 2 hlmzál z m db eleme (elem-párj) lesz. Az lpműveletek zoossági Idempotes tuljdoság ( ömgávl zoos ):. A+A=A 2. AA=A 3. A+B=B+A 4. AB=BA Kommuttívitás ( felcserélhetőség ): Asszocitívitás ( átzárójelezhetőség ): 5. A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C 6. A (BC)=(AB)C= ABC Disztributívitás ( szétosztás ): 7. A(B+C) = AB+AC 8. A+(BC) = (A+B)(A+C) Komplemeterre votkozó zoosságok: 9. A+Ā = H (H z lphlmz). 0 AĀ = Ø ( Ø z üres hlmz). A speciális hlmzokr votkozó zoosságok:. A+H = H 2. AØ = Ø 3. A+Ø = A 4. AH = A wsuf 9
FÜGGVÉNYEK Leképezések Defiíció: legye dott A és B hlmz. H z A hlmz mide eleméhez hozzáredeljük B hlmz egy b elemét, kkor zt modjuk, hogy z A -beli elemet leképeztük B beli b hez. Jelölés: b Pl.: Defiíció: A leképezés többértelmű, h v oly eredeti elem, melyek leglább 2 képeleme v. A leképezés több egyértelmű, h mide eredeti elemek csk képe v, de v oly képelem, melyhez leglább 2 eredeti elem trtozik. A leképezés kölcsööse egyértelmű, h mide eredeti elemek egyetle képeleme v és mide képelemek egyetle eredetije. Pl.: Ez többértelmű leképzés. Több-egyértelmű leképezés. wsuf 0
Kölcsööse-egyértelmű leképezés. Az egyértelmű leképezéseket szokás függvéyekek evezi. A feti leképezés felfoghtó úgy is, mit elem-párok hlmz. Az elem-pár. eleme z eredeti elem, 2. pedig z eredeti elem képeleme. Vgyis feti leképezésük következő hlmzk felel meg. F ={(2,4); (5,7); (9,2)} A függvéyek: De A B = {(2,4); (2,7); (2,2); (5, 4); (5, 7); (5, 2); (9, 4); (9, 7); (9,2)} Defiíció: X és Y legye 2 em üres hlmz. Az X hlmzo értelmezett, Y hlmzbeli értékeket felvevő f függvéyt, kkor tekitjük dottk, h z X hlmz mide egyes eleméhez hozzá v redelve z Y hlmzk potos egy eleme. Értelmezési trtomáy: X hlmz. Jelölése: D f Képhlmz: Y hlmz Értékkészlet: f() függvéyértékek hlmz Jelölése: R f Vlós függvéy: z értékkészlete vlós számokból áll. Egyváltozós vlós függvéy: z értelmezési trtomáy is vlós számokból áll Természetes értelmezési trtomáy: Az f függvéy értelmezési trtomáy vlós számokk z legbővebb részhlmz, melyek potjib függvéy hozzáredelési utsításik értelme v A függvéyek megdás:. Felsoroljuk függvéyekhez trtozó elem-párokt Pl.: F = {(0,0); (,2); (2,4)} (,3) Ezt tábláztos formáb is megtehetjük. wsuf
2. Képzési szbályt duk meg. Jelölésük: f : A B Az f függvéy z A hlmzt B-be képezi le. A; f() B f(); f():szbály Az A-beli B-beli f() eleme (tehát képét f()-szel jelöljük.) Pl.: A =B = R F: R R f() = 2+5 Tehát f vlós számok hlmzát képezi vlós számok hlmzáb úgy, hogy képe 2+5 lesz. Függvéyek jelölése: Megegedett még z: 2+5 jelölés is. 2 y 2 f ( ) R f: R f: R 2 f ( ) 2 A függvéyek ábrázolás: Legye dott f: A B függvéy ( f()). Az ábrázolás Descrtes-féle koordiát redszerbe törtéik. A függvéy mide egyes (, f()) elem-párjához hozzáredeljük sík potját oly módo, hogy pot. koordiátáj legye, 2. koordiátáj pedig f(). Pl.: f: R R f() =2- A függvéyek tuljdosági. Mootoitás: Defiíció: legye dott f: A B (A, B R) Az f függvéy Mootoo övekvő, h 2 > eseté f( 2 ) f( ) (, 2 R) wsuf 2
Szigorú mootoo övekvő, h 2 > eseté f( 2 ) > f( ) (, 2 R) Mootoo csökkeő, h 2 > eseté f( 2 ) f( ) (, 2 R) Szigorú mooto csökkeő, h 2 > eseté f( 2 ) < f( ) (, 2 R Megjegyzés: függvéyek mootoitásák vizsgáltát leszűkíthetjük z A hlmz egy-egy részhlmzár is. Pl.: (-, 2)-o szigorú mootoo csökke (2, + )-ig mootoo ő 2. Szélsőérték: Defiíció: legye dott f: A B (A, B R). Az f függvéyek z A A hlmzo Lokális mimum v, h v oly A -ek, hogy A eseté f() f() Lokális miimum v, h v oly b A -ek, hogy A eseté f(b) f() A f függvéyek z A hlmzo: Globális mimum v, h v oly A, hogy A eseté f() f(). Globális miimum v, h v oly b A, hogy A eseté f(b) f() wsuf 3
A C helye lokális miimum v függvéyek, mert z f() csk részhlmz (pl. (-, 0)-) legkisebb). A C 2 helye függvéyek globális miimum v, mert f(c 2 ) z egész A hlmzo legkisebb. A C 3 helye lokális mimum v függvéyek, globális mimum ics függvéyek. Megjegyzés: Egy szélsőértékek v helye és értéke. 3. Korlátosság: Defiíció: legye dott f: A B (A, B R) Az f függvéy felülről korlátos, h v oly K R szám, hogy A-r K f() Az f függvéy lulról korlátos, h v oly K 2 R szám, hogy A-r K 2 f() Az f függvéy korlátos, h lulról is és felülről is korlátos Láthtó, hogy ez függvéy lulról korlátos, de ics globális miimum wsuf 4
4. Zérushely: Defiíció: Az f: A B (A, B R) függvéyek z A elem zérushelye, h f() = 0. Megjegyzés: koordiát redszerbe ott v zérushely, hol függvéy elmetszi vízszites tegelyt. 5. Párosság, pártlság: Defiíció: z f A B (A, B R). A függvéyt párosk evezzük, h A eseté f() = f(-). A függvéy pártl, h A eseté f() = - f(-). Megjegyzés: megdhtó oly függvéy, mely se em páros, se em pártl. A páros függvéyek függőleges tegelyre szimmetrikusk, pártlok pedig koordiát redszer középpotjár. Pl.: A középiskolából ismert elemi függvéyek Elsőfokú függvéy vgy lieáris függvéy. Jellemzése: f: R R f() = + b,b R wsuf 5
D f: R vgy R vgy ]-, [ R f : h z em egyelő 0, kkor ÉK z R-rel lesz egyelő. H z ullávl egyelő, kkor b -ek hlmz. Zérushely: oly, mire z f() 0-vl egyelő / +b = 0 /-b Mootoitás:. szig. mooto. ő 2. szig. mooto csökkeő 3. mooto. Szélsőérték: =0 eseté globális mimum és miimum. Korlátosság:. em korlátos sem lulról, sem felülről függvéy 2. em korlátos sem lulról, sem felülről függvéy em korlátos függvéy. 3. korlátos függvéy, mert lulról és felülről is korlátos. Párosság, pártlság: 0, h b em ull h z 0 és b 0, kkor pártl függvéy h =0 és b 0, kkor páros függvéy Másodfokú függvéy Jellemzése: f: R R, f() = ² D f :R R f : f() 0 vgy [0, [ Zérushely: f() =0 ²=0 =0 zérus hely 0 Mootoitás: h ]-,0] szig. mooto. csökke 0 h [0, [ szig. mooto ő 0 Szélsőérték: Globális miimum helye =0, értéke f() =0 Korlátosság: lulról korlátos függvéy, felülről em korlátos, ezért összességébe ez függvéy em korlátos Pritás: páros függvéy wsuf 6
Abszolút érték függvéy: Jellemzése: f() = H 0, kkor H < 0, kkor - D f : {R} R f :: f() 0; ], 0] Zérushely: = 0 Mootoitás: ]-, 0] szigorú mooto csökkeő [0, + [ - szigorú mooto övekvő Szélsőérték: globális miimum = 0, f() = 0 Pritás: páros függvéy Korlátosság: csk lulról korlátos, ezért függvéy em korlátos. Megjegyzés: Az bszolút érték függvéy eseté z f() helyett jelölés is szokás ABS () Egy szám bszolút értéke egyelő számk számegyeese 0-tól vló távolságávl (h z egységyi távolság volt). wsuf 7
Egészrész függvéy: Jellemzése: f() = [] = z egészrész egyelő z -él em gyobb egészek közül leggyobbl. D f : {R} R f : {Z} ZH: z eleme [0, [ Mootoitás: mootoo övekvő függvéy Szélsőérték: k Z [k,k+[ mide pot lokális miimum és mimum ]k, k+[ lokális miimum Pritás: em páros és em is pártl Korlátosság: em korlátos függvéy További elemi függvéyek 2 wsuf 8
7 Az lpműveletek segítségével függvéyekből újbb függvéyeket állíthtuk elő Összetett függvéy, iverz függvéy Defiíció: Az f külső és g belső függvéyekből összetett függvéye értjük zt h függvéyt, melyek értelmezési trtomáy z összes oly D f potokból áll, melyre g( ) D f teljesül és z ilye -re h()=f(g()). Jelölése: h = f g wsuf 9
Defiíció: H f egy kölcsööse egyértelmű függvéy, kkor iverz függvéyéek evezzük zt z f - gyel jelölt függvéyt, melyek értelmezési trtomáy: D f - = R f és f - (f())=, D f. Megjegyzés: Nem mide függvéyek létezik iverze, csk kölcsööse egyértelmű függvéyek lesz iverze. Az iverz függvéyél z eredeti függvéyhez képest z eredeti és képelemek helyet cserélek. Tuljdoságok:. H z f függvéy szigorú övekvő, kkor iverze is szigorú övekvő 2. H z f függvéy szigorú csökkeő, kkor iverze is szigorú csökkeő 3. Az f függvéy és f - iverz függvéy trtomáyi felcserélődek: D(f) = H(f - ) H (f) = D(f - ) pl.: f: y = 2 + 3 egy-egyértelmű; = 2y+3 szigorú övekvő => felcseréljük z elempárokt 3 f : y - kifejezzük z y-t 2 2 4. Az f függvéy és iverzéek grfikoj derékszögű koordiátredszerbe egymásk tükörképe z y = egyelettel megdott egyees szerit. Mivel z iverz függvéy képzésekor vízszites tegely (eredeti elemek) és függőleges tegely (képelem) helyet cserélek, ezért f és f - z y = egyeesre szimmetrikusk leszek. Feldt. Egy égyzet területe 9 m 2. Mekkor z oldl T = 2 3 2 = 9 = 3 Mekkor égyzet oldl, h területe 0 m 2? Meg kée keresük zt számot, miek égyzete 0. Ismerjük függvéy értékét, keressük zt helyet, hol felveszi ezt z értéket. wsuf 20
égyzetfüggvéy értelmezési trtomáy szűkítés utá: Az előző függvéy grfikoját z y= egyeesre tükrözve kpjuk meg égyzetgyök függvéyt! Elemzés: f() f f D R I 0 ÉT : 0 R y R I y 0 ÉK : y 0 ZH : 0 ZH : 0 SZÉ : mi 0;0 SZÉ : mi 0;0 SZMN SZMN wsuf 2
A függvéyek külöböző tuljdosági lpjá z osztályozás: korlátos függvéyek mooto függvéyek periodikus függvéyek páros és pártl függvéyek folytoos és szkszos folytoos függvéyek kokáv és kove függvéyek itegrálhtó függvéyek Függvéyek ábrázolás trszformációvl Adott f: R R függvéy és, b, c R és 3 vlós szám ( 0) g() = f(+b)+c. Ekkor g függvéy képét z f függvéy képéből úgy kpjuk, hogy elvégezzük következő trszformációkt z f függvéy képé (sorred fotos).. lépés: fölvesszük z f függvéy képét 2. lépés: z f függvéy képét eltoljuk z tegely meté b-vel 3. lépés: h z 0, kkor -szorosr yújtás függőleges tegely meté, h z <0 (egtív z ), kkor -t bszolút értékére kell yújti és tükrözi vízszites tegelyre 4. lépés: eltolás c-vel függőleges tegely meté Például g() = 2(+3)²-5 f() =² függvéyből iduluk ki:. lépés: fölvesszük z lpfüggvéyt z f függvéy képét: f() =² 2. lépés: b szeriti trszformáció eltolás b-vel: 3-ml z meté (előjelet kell változtti) 3. lépés: szeriti trszformáció yújtás 2-szeresére függőleges tegely meté 4. lépés: c szeriti trszformáció eltolás 5-tel függőleges tegely meté Többváltozós függvéyek A vlóságb egy-egy gzdsági muttót több téyező is meghtározht, több téyezőtől is függ. Ezt mtemtikilg u. többváltozós függvéy segítségével tudjuk leíri: Pl. egy órbéres dolgozó hvi mukbére (B) függ ttól, hogy háy órát dolgozott () és háy Ft z órbére (y). B=y vgy B(,y)=y lkb írhtó fel Pl. A vállltál z órbérek 500 és 2000 Ft között vk; ledolgozott órák pedig 00 és 200 között. A kétváltozós függvéy értelmezési trtomáy részhlmz zo (,y) elempárok hlmzák, melyekél 00 200 és 500 y 2000 wsuf 22
A redezett (,b) számpárok hlmzát, hol A és bb AB hlmzk ( A és B hlmz Descrtes féle szorzták) evezzük. RR hlmz elemei sík potji. RR hlmzt jelöhetjük R 2 tel. z RRR hlmz elemei redezett számhármsok, tér potji. RRR = R 3 R hlmz elemei pedig redezett szám -esek. (, 2,. ) Péld: Többváltozós másodfokú függvéy Kétváltozós eset: Y=+b X +c X 2 +d X 2 +e X 2 2 +f X X 2 wsuf 23
SOROZATOK Defiíció: A végtele számsorozt oly speciális függvéy, melyek értelmezési trtomáy pozitív egész számok hlmz, vgy k részhlmz, függvéyértékei pedig vlós számok. Speciális jelölése: h N, kkor f() helyett z jelölés is hszáltos Megdási módok: pl.: áltláos tggl, szöveges utsítássl, stb. Áltláos tggl törtéő megdás. Megdjuk szbályt, hogy z N természetes számhoz mit redelük hozzá. Pl.: = Rekurzióvl törtéő megdás. Azt djuk meg, hogy sorozt vlmely tgját, hogy kell meghtározi z előző tgok ismeretébe. Elemek megdásávl. A sorozt elejé megduk éháy elemet. Ábrázolás, szemléltetése: síkbeli koordiátredszerbe, számegyeese. A soroztok tuljdosági Mootoitás - mooto övő (csökkeő), h < +, Korlátosság - korlátos, lulról korlátos, felülről korlátos Kovergeci Htárérték Defiíció Az ( ) sorozt htárértéke A szám, h mide >0 számhoz létezik oly küszöbszám, melyél gyobb sorszámú tgji soroztk már mid beleesek z A sugrú köryezetébe. ( -ek z A-tól vett eltérése kisebb, mit ). Egy soroztk legfeljebb egy htárértéke lehet. wsuf 24
Nevezetes soroztok: Számti sorozt Defiíció: z oly soroztot, melybe szomszédos tgok külöbsége álldó érték számti soroztk evezzük. A 2 szomszédos tg külöbségét sorozt differeciáják vgy külöbségéek evezzük. Jele: d legye dott egy számti sorozt, melyekek külöbsége d. = - +d (ez rekurzív megdás soroztk) = +(-)d (ez szbállyl törtéő megdás soroztk) 6; 0;4;8;22 (elemek megdás) Mérti sorozt Defiíció: z oly soroztot, melybe szomszédos tgok háydos álldó érték, mérti soroztk evezzük. A 2 szomszédos tg háydosát sorozt háydosák evezzük. Jele: q (quoties) legye dott egy mérti sorozt, melyek háydos q-vl egyelő: = - q (ez rekurzív megdás) = q - (ez szbállyl törtéő megdás) 2; 4; 8;6.. (elemek megdás) Fibocci sorozt Defiíció: h =, z továbbá z = - + -2 A sorozt elemei: = 2 = 3 = + 2 =3 4 = 2 + 3 =4 5 = 3 + 4 =5 stb. Nevezetes tételek számsoroztokr A htárérték uicitási tétele Bármely soroztk legfeljebb egy htárértéke lehet. Koverges sorozt korlátosságár votkozó tétel H egy sorozt koverges, kkor korlátos is. (em megfordíthtó.) Mooto és korlátos sorozt kovergeci tétele H egy sorozt övekvő és korlátos, kkor koverges is, és htárértéke sorozt felső htárávl egyelő. H egy sorozt csökkeő és korlátos, kkor koverges is, és htárértéke sorozt lsó htárávl egyelő. MONOTON, KORLÁTOS SOROZAT KONVERGENS. (em megfordíthtó) wsuf 25
Műveletek koverges soroztokkl Korlátos és 0-hoz trtó koverges sorozt szorztár votkozó tétel. Koverges soroztok összegére, szorztár és háydosár votkozó tételek. lim ( + b )=A +B lim (. b )=A.B B 0. kkor lim b A B Nevezetes soroztok és htárértékeik. q típusú sorozt lim q 2. Euler típusú soroztok h q h q 0 h q ics h q lim lim e e 3. Poliomok háydosák htárértéke Megoldás: kiemelés, egyszerűsítés, műveleti szbályok lklmzás Tágbb értelembe vett htárérték Az sorozt tágbb értelembe vett htárértéke plusz (míusz) végtele, h mide P R + számhoz létezik oly 0 N + küszöbszám, melyre feáll, hogy h > 0, kkor >P ( < -P) Az soroztot tágbb értelembe koverges soroztk evezzük. wsuf 26
További műveleti tételek tágbb értelembe vett htárértékre H ; és 0, kkor 0 H b 0 és b >0, kkor b H és c c, kkor pozitív c eseté ( c ) egtív c eseté ( c ) - Végtele sor: foglm; végtele mérti sor. H végtele számsorozt tgjit z összedás jelével kpcsoljuk össze, kkor egy végtele sort kpuk. Pl. mérti sorozt tgjit összedv, kpjuk végtele mérti sort A sorok oly speciális soroztok, melyek más soroztok részletösszegeikét állk elő. Pl. legye sorozt; tekitsük z S = i soroztot. pl. S br, kkor zt úgy is modjuk, hogy h z S soroztk i= = 2 sor koverges, összege=b + htárértéke, kkor sorösszeg plusz végtele zz: Végtele soroztokt összegzük, és zt ézzük, mikor v eek értelme, mikor modhtjuk hogy egy soroztk ez vgy z szám z összege, mikor modhtjuk zt, hogy soroztk plusz (vgy) míusz) végtele z összege, és mikor kell zt moduk, hogy soroztk ics összege: Defiíció: A végtele sor koverges és összege z A vlós szám, h z s sorozt koverges és htárértéke A. Jelölés: = Tétel: A végtele mérti sor kkor és csk kkor koverges, h q, és ekkor S q wsuf 27
Péld: 3 3 3 0,3... 0 00 000 3 S 0 0 3 ; q 0 3 0 9 0 Kovergecikritériumok: 3 9 0 3 Hiperhrmoikus sor: k k koverges, h. Leibiz-kritérium: k ( ) ú. lteráló sor feltételese koverges, h lim 0 k k k, és k mooto csökkeő. Háydoskritérium: lim k k koverges, h k diverges, h k I. Néháy evezetes sor összege:.) k k 2... 3 (hrmoikus sor) 2.) k ( ) k k 2... l 2 3 k 3.) q, h q q k0 (mérti sor) wsuf 28
FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA A függvéytuljdoságok csoportji: lokális tuljdoságok (pl. ilye z előjel váltás), mikor elég függvéyt egy dott pot bármilye kicsi köryezetébe ismeri globális tuljdoságok (pl. moooto övekszik) mikor függvéyt vlmely itervllumb vgy em egyelemű hlmzo kell ismeri Függvéy htárértéke véges helye Legye z f függvéy z 0 R vlmely köryezetébe (esetleg 0 -t kivéve) értelmezve. Akkor modjuk, hogy z f függvéyek z 0 helye htárértéke z A R szám, h mide oly ( ) számsorozt eseté, melyre lim = 0 ; 0 D f igz, hogy lim f( ) = A Jelölések: lim 0 f ( ) A vgy lim 0 f ( ) A Jobb- és bloldli htárérték foglm Legye z f függvéy z 0 R vlmely jobb oldli (bl oldli) köryezetébe (esetleg 0 -t kivéve) értelmezve. Akkor modjuk, hogy z f függvéyek z 0 helye jobb oldli (bl oldli) htárértéke z A R szám, h mide oly ( ) számsorozt eseté, melyre lim = 0 ; > 0 ( < 0) ; D f igz, hogy lim f( ) = A Jelölések (jobb oldli): lim f ( ) A 0 vgy lim 0 0 f() = A Az f függvéyek kkor és csk kkor létezik htárértéke z 0 potb, h ott létezik bl oldli htárértéke is, jobb oldli htárértéke is, és ezek egymássl egyelők. Függvéy folytoosság Legye f z 0 potb és egy köryezetébe értelmezett! Az f függvéy z 0 potb kkor folytoos, h ott létezik htárértéke, és z egyelő z 0 -beli helyettesítési értékkel, zz lim f ( ) f ( ).. wsuf 29
Értelmezhető féloldli folytoosság is! H z 0 potb értelmezett f függvéyek bl oldli htárértéke létezik és z egyelő helyettesítési értékkel, kkor blról folytoosk, h jobb oldli htárértéke létezik és z egyelő helyettesítési értékkel, kkor jobbról folytoosk evezzük ott. Az f függvéyt folytoos függvéyek evezzük, h értelmezési trtomáyák mide potjáb folytoos. Szkdási hely foglm: H f függvéy z 0 potb em folytoos, de z 0 -k v oly köryezete, melyek mide más potjáb folytoos, kkor 0 potot, z f függvéy szkdási helyéek evezzük. Htárértékre votkozó műveleti tételek Legye f és g két függvéy. H f-ek és g-ek is létezik htárértéke 0 potb, kkor két függvéy összegéek, szorzták és háydosák is létezik htárértéke 0 potb. (Háydosál evező em lehet ull feltételre is, figyeli kell!) lim (f()+ g())= 0 lim ( f()g() )= 0 lim 0 lim f() 0 f() + lim g() 0 lim g() 0 lim f ( ) f ( ) 0 lim és 0 g( ) lim g( ) 0 lim 0 g() 0 Összetett függvéy htárértékére votkozó tétel. Legye f és g két függvéy, és legye g-ek htárértéke 0 helye B, vlmit létezze, 0 -k oly K D f köryezete, melybe g() 0, h 0. Tegyük fel, hogy f ek létezik htárértéke B potb. Ebbe z esetbe z f g összetett függvéyek is v htárértéke z 0 potb: lim f(g())= lim f() 0 B Folytoos függvéyekre votkozó műveleti tételek H f és g is folytoos 0 potb, kkor két függvéy összege, szorzt és háydos is folytoos 0 potb. (Háydosál evező em lehet ull feltételre is, figyeli kell!) H g függvéy folytoos 0 potb, és f függvéy folytoos g( 0. ) potb, kkor z f g összetett függvéy is folytoos z 0 potb. Tétel: A vlós számok hlmzá értelmezett, f()=c és f()= függvéyek mideütt folytoosk. wsuf 30
Tétel: A poliom függvéyek, rcioális törtfüggvéyek, z epoeciális függvéyek és logritmus függvéyek folytoosk z értelmezési trtomáyuk mide potjáb. Zárt itervllumo folytoos függvéyek Defiició: z f függvéy folytoos vlmely zárt itervllumo, h z itervllum mide belső potjáb folytoos, végpotokb pedig jobbról, ill. blról folytoos. Tétel: Zárt itervllumo folytoos függvéy felveszi szélsőértékeit. Bolzo tétel: Zárt itervllumo folytoos függvéy felveszi közbülső értékeket. Függvéyek htárértéke végtelebe Legye f függvéy vlmely K R-él gyobb számokr értelmezve. H bármely ( D f ) eseté f( ) A, kkor függvéyek plusz végtelebe htárértéke A szám. Jelölése: lim f ( ) A vgy lim f ( ) A Tágbb értelembe vett htárérték Legye f függvéy z 0 R vlmely köryezetébe (esetleg 0 -t kivéve) értelmezett. Az f függvéyek 0 helye plusz végtele htárértéke, h bármely sorozt trt z 0 -hoz ( D f és 0 ) Jelölése: lim f ( ) 0 vgy lim f ( ) Póluspot Az f függvéyek 0 szkdási potj és lim f ( ) függvéyek zt modjuk, hogy póluspotj v. 0, kkor z 0 potb Nevezetes tételek függvéy htárérték meghtározásához: lim =0 lim =- lim 0 0 lim 2 = lim 2 =0 0 lim e = lim e =0 lim = 2 lim = 2 lim si em létezik htárértéke lim 0 si = =+ wsuf 3
lim 0 e = Tágbb értelembe vett htárérték: lim f()=+ lim f()=+ 0 lim 0 f()=+ lim f()=+ lim f()=+ lim f()=- lim f()=- 0 lim 0 f()=- lim f()=- lim f()=- L HOSPITAL-szbály: f és g függvéyek differeciálhtók egy 0 pot köryezetébe és g () 0 h lim f()=0 és lim g()=0 vgy lim f()= és lim g()=, és lim 0 f '( ) =A 0 g'( ) kkor lim 0 g( ) f ( ) =A 0 0 0 Gykorlti tácsok függvéy htárérték megállpításhoz, éháy kokrét esetbe Végtelebe : A htárérték vizsgált megegyezik soroztokál tultkkl, de z előjelre figyeli kell! Véges helye : Behelyettesítéssel meghtározzuk függvéy értékét z helye, vgyis z f()-t. A behelyettesítéskor problémás esettel is tlálkozhtuk: 0 0 vgy lk: Ilyekor számlálót és evezőt is szorzttá lkítjuk, mjd egyszerűsítük, h lehet. Továbbá: L Hospitl szbály lklmzás 0 c lk: Ebbe z esetbe jobbról, blról közelítéssel vizsgáljuk függvéy htárértékét z dott potb. wsuf 32
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS f f 0 0 0 Differeciháydos függvéy m szelő tg szelő f f Differeciháydos függvéy foglm: Legye z 0 z f függvéy értelmezési trtomáyák egy potj, és függvéy legye értelmezve leglább egy 0 - tól külöböző potb. m szelő tg szelő d( ) f f 0 0 A d() függvéyt z f függvéy 0 háydos) függvéyéek evezzük. pothoz trtozó differeciháydos (külöbségi Differeciálháydos függvéy f f mér itő tg ér ő lim f () it Defiíció: z f függvéy differeciálhtó z értelmezési trtomáyák egy belső potjáb, h differeciháydos függvéyéek z potb v véges htárértéke. wsuf 33
Itervllumo differeciálhtó függvéyek Az f függvéy differeciálhtó egy yílt itervllumo, h yílt itervllum mide potjáb differeciálhtó. Derivált-függvéy foglm; (differeciálháydos függvéy, derivált) Azt függvéyt, melyek értelmezési trtomáy z f függvéy értelmezési trtomáyák em üres A részhlmz, hol z f függvéy differeciálhtó, és z értelmezési trtomáy mide potjához z f e potbeli differeciálháydosát redeljük f derivált (differeciálháydos-) függvéyek vgy csk deriváltják evezzük. Jelölése: f f ( 0 )= lim f ( ) 0 f ( 0 0 ), 0 A Jobb- és bloldli differeciálháydosok; Legye z f függvéy z 0 potb és k jobb oldli (és bl oldli) köryezetébe értelmezve. H z f függvéy z 0 pothoz trtozó differeciálháydos függvéyéek z 0 potb létezik jobb oldli (és bl oldli) véges htárértéke, kkor zt modjuk, hogy z f függvéy jobbról (blról) differeciálhtó z 0 potb, és számot z f függvéy 0 pothoz trtozó jobb oldli (és bl oldli ) differeciálháydosák evezzük. ( f ( ) lim 0 0 0 f ( 0 ) és ( f ( ) f ( lim 0 0 0 0 ) Zárt itervllumo differeciálhtók modjuk z f függvéyt, h belső potokb differeciálhtó és végpotokb jobbról illetve blról differeciálhtó. Legye z f függvéy z értelmezési trtomáyák 0 belső potjáb differeciálhtó. Az f függvéy grfikoj ( 0; f( 0 ) ) potjáb húzhtó éritő iráytgese egyelő: f ( 0 ). Az éritő egyelete: e()= f( 0 )+ f ( 0 )(- 0 ) A folytoosság és differeciálhtóság kpcsolt H z f függvéy differeciálhtó z 0 potb, kkor folytoos is ebbe potb. A tétel em megfordíthtó!!! A differeciálhtóságk folytoosság szükséges, de em elégséges feltétele. Elemi függvéyek deriváltji kosts függvéy: c 0 htváy függvéy: ( ) wsuf 34
Epoeciális függvéy: e e l Logritmus függvéy l log l Differeciálási szbályok Feltétel: f és g függvéyek legyeek differeciálhtók vlmely 0 potb Függvéy szám-szorosák differeciálás c f c f Összeg-, külöbség függvéy differeciálás f g f g Szorzt függvéy deriváltj: f g f g f g Háydos függvéy deriváltj f g f g f g 2 g Összetett függvéy deriváltj f g f g g wsuf 35
Függvéyelemzés Függvéyek tuljdosági: Korlátosság A függvéyt korlátosk evezzük, h értékkészlete korlátos. Az értékkészlet leggyobb lsó korlátj függvéy lsó htár - ifimum, legkisebb felső korlátj függvéy felső htár - szuprémum. Ameyibe z lsó. ill. felső htárok mguk is függvéyértékek, redre z bszolút miimum, ill. bszolút mimum elevezést hszáljuk. Helyi szélsőértékek Az f() függvéyek -b helyi (lokális) miimum v, h v z -k oly köryezete, melybe f() legkisebb függvéyérték. Az f() függvéyek -b helyi (lokális) mimum v, h v z -k oly köryezete, melybe z f() leggyobb függvéyérték Függvéy mootoitás Az f() függvéyt z (,b) itervllumo övekvőek evezzük, h mide < 2 (, 2 (,b)) eseté f( ) f( 2 ) teljesül. Az f() függvéyt z (,b) itervllumo csökkeőek evezzük, h mide < 2 (, 2 (,b)) eseté f( ) f( 2 ) teljesül. Ameyibe mide, 2 (,b) eseté f() < f(2), illetve f() > f(2); szigorú mooto övekvőek, illetve csökkeőek evezzük függvéyt z (,b) itervllumo. Függvéy kove, kokáv tuljdoság (geometri értelmezés) Az f() függvéyt, z (,b) itervllumo koveek evezzük, h ehhez z itervllumhoz trtozó grfiko bármely potjához trtozó éritő grfiko ltt hld. A f() függvéyt, z (,b) itervllumo kokávk evezzük, h ehhez z itervllumhoz trtozó grfiko bármely potjához trtozó éritő grfiko felett hld. Kove és kokáv ívek tlálkozási potját ifleiós potk evezzük A differeciálhtóság, derivált-függvéy foglmák megismerés utá: Mootoitás Az (,b)- o differeciálhtó f() függvéy kkor és csk kkor övekvő z (,b)-o, h mide (,b)- re f () 0. ( Első derivált pozitív. ) Az (,b)-o differeciálhtó f() függvéy kkor és csk kkor csökkeő z (,b)-o, h mide (,b)- re f () 0. ( Első derivált egtív. ) Szélsőérték Egy függvéyek egy dott, - értelmezés trtomáybeli potb - () csk kkor lehet szélsőértéke, h f ()= 0. Szükséges feltétel szélsőérték létezésére. ()-t stcioárius potk evezzük. wsuf 36
Azt, hogy vlób v-e itt szélsőérték, kétféleképpe is el lehet dötei:. Mootoitás lpjá, z első derivált előjelváltásák vizsgáltávl. vgy 2. Második derivált előjeléek vizsgáltávl is következtethetük szélsőértékekre. (H f () > 0 kkor f()-ek -b helyi miimum, f () < 0 eseté f()-ek -b helyi mimum v.) /Megjegyzés: Az itt megállpított szélsőértékeket, helyi szélsőértékekek tekitjük./ Koveitás, vizsgált Egy (,b)-o kétszer differeciálhtó f() függvéy z (,b)-o kkor és csk kkor kove, h mide (,b) eseté f () 0. Egy (,b)-o kétszer differeciálhtó f() függvéy z (,b)-o kkor és csk kkor kokáv, h mide (,b) eseté f () 0 Ifleiós pot Egy függvéyek egy dott, - értelmezés trtomáybeli potb - () csk kkor lehet ifleiós potj, h f ()= 0. Szükséges feltétel z ifleiós pot létezésére. Azt, hogy vlób v-e itt ifleiós pot, kétféleképpe is l el lehet dötei:. A koveitás lpjá, második derivált előjelváltásák vizsgáltávl. vgy 2. A hrmdik derivált előjeléek vizsgáltávl is következtethetük szélsőértékekre. (H f () 0-tól külöbözik, kkor f()-ek -b ifleiós potj v.) Teljes függvéyvizsgált lépései:. Értelmezési trtomáy meghtározás, (h em jelzik). /Df / 2. Zérushely meghtározás. 3. Mootoitás, helyi szélsőérték vizsgált 4. Koveitás, ifleiós pot vizsgált 5. Htárértékek megdás ± - be, vgy z értelmezési trtomáy végpotjib, vlmit szkdási helyeke. 6. Értékkészletéek meghtározás. /Rf / 7. Az bszolút (globális) szélsőértékek megdás 8. A grfiko felvázolás. wsuf 37
Vizsgáljuk meg z f()= 3 3 Függvéydiszkusszió (teljes függvéyvizsgált) 2 3 8 függvéyt ( R)!. lépés: Oldjuk meg z f()=0 egyeletet =0 2. lépés: f első 3 deriváltfüggvéyét állítsuk elő! - f = 2-6+8 -f =2-6 -f =2 f =0 egyelet megoldási: 2, 4 f =0 egyelet megoldás: 3 f zérushelyei z értelmezési trtomáyt részitervllumokr botják. z f részitervllumokb felvett értékeiek előjeléből következtetük z f függvéy mootoításár: f >0 h ]-,2[ és h ]4,+ [ z f mooto ő f <0 h [2,4] z f mooto fogy f (2)=-2<0 z f ek lokális mi v, f(2)=6 3 2 és f (4)=2>0 z f ek lokális m v, f(4)=5 3 3. lépés: f zérushelye z értelmezési trtomáyt két részitervllumr botj. z f részitervllumokb felvett értékeiek előjeléből következtethetük z f függvéy lkjár f <0 h ]-,3[ z f kokáv f >0 h ]3,+ [ z f kove f (3) 0 z f -ek ifleiós potj v 4. lépés: z f folytoos, D f =R, ezért csk - -be és + -be kell vizsgáli lim f és lim f f-ek ics bszolút szélsőértéke 5. lépés : f(d f )=R vgy R f =R ]-,2[ 2 ]2,3[ 3 ]3,4[ 4 ]4,+ [ f + 0 - - - 0 + f ő 2 fogy fogy fogy ő M=6 Mi=5 3 3 f Kokáv( ) Ifeiós(6) Kove( ) f - - - 0 + + + wsuf 38
Gzdsági lklmzások A gzdsági életbe sokszor kerülük szembe következő problémávl: vlmit úgy kell megtervezük, hogy közbe bizoyos meyiség optimális (miimális vgy mimális) legye. Gykorik z oly követelméyek, hogy vlmely mukfolymt lehető legkevesebb időt vegye igéybe, hogy dott meyiségű termelés mellett termékegységre jutó összköltség miimális legye, hogy dott meyiségű ygból lehető legtöbb, bizoyos feltételekek eleget tevő termék készüljö stb. Az ilye feldtokt szélsőérték-(etrémum, optimum) feldtokk evezzük. A gykorlti problémából kiidulv keressük z f függvéy szélsőértékét z b feltétel mellett. Ez zt jeleti, hogy z dott problém szempotjából csk z, b itervllum jöhet szób, és itt érdekel beüket z f függvéy mimum vgy miimum. A közgzdságtudomáy derivált függvéy elevezés helyett z egyes függvéyek változásik leírásár htár termiológiát hszálj. Például: htárköltség ( meyiségű árú előállításák költségét meghtározó költségfüggvéy deriváltj htárbevétel( meyiségű árú eldási értékét meghtározó árbevétel függvéy deriváltj) htárhszo (z termékek fogysztó áltl megállpított értékét meghtározó hszossági függvéy deriváltj) htárprofit (z árbevétel és költségfüggvéyek külöbségekét dódó profit függvéy deriváltj) Más típusú feldt: Az f függvéy zt muttj meg, hogy mekkor lesz kereslet bizoyos cikkből z egységártól függőe. Az egységár I itervllumb változht f ( ) f ( ) Az egységárhoz trtozó külöbségháydos-függvéy z ( - ) árváltozáshoz trtozó reltív kereslet-változást muttj meg. (Egységyi árváltozás mekkor keresleti változást vo mg utá) A kereslet jellemzésére ige lklms muttó külöbségháydos-függvéy potbeli htárértéke f ( ) f ( ). (keresleti függvéy differeciálháydos, egységár mellett) : lim Ezt differeciálháydost z egységárhoz trtozó htárkeresletek evezzük. Hsoló beszélhetük htárbevételről, htárköltségről, htárhtékoyságról. A kereslet lkulásák jellemzésére más mérőszám is v, például z elszticitás. wsuf 39
Az elszticitás megmuttj, hogy %-os árváltozás (vgy jövedelemváltozás) háy százlékos keresletváltozást okoz. Az f függvéy vlmely árucikk keresletét muttj z egységártól függőe, D f =I,,I. f ( ) f ( ) A d()= függvéy z f()-hoz trtozó reltív keresletváltozást muttj. f ( ) Az háydos z egységárhoz trtozó reltív árváltozást jelzi. A reltív változások összehsolításár képezzük z I egységárhoz trtozó függvéyt: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) h() = = f ( ) Az f függvéy I egységárhoz trtozó elszticitásá h függvéy -hoz trtozó htárértékét f ( ) f ( ) értjük: lim = f () f ( ) f () Gzdsági függvéyek elemzése A gzdsági függvéyek képletét áltláb tpsztlti úto állítjuk elő, vgyis elemezve sttisztiki dtokt képet kpuk rról, hogy külöböző gzdsági muttók között milye jellegű összefüggés áll fe. Közismert például, hogy ráfordítás övelésével eleite lssbb, mjd kissé gyorsbb övekszik hozm, mi elér egy mimális értéket és további ráfordítás eseté már ikább csökkei fog hozm. Az ilye típusú összefüggés mtemtiki leírásár gykr hrmdfokú függvéyt lklmzuk, melyek értelmezési trtomáy értelemszerűe feldtból következik (>0). f() = 3 +b 2 +c+d D f = R + Kérdés: Hol lesz mimális hozm? Válsz: ott, hol függvéyek mimum v: f () =0; f ()<0 Kérdés: Mekkor ráfordításál övekszik leggyorsbb hozm? Válsz: Ott, hol függvéy legmeredekebb: f () függvéyek mimum v, itt f ()=0 és előjelet vált pozitívból egtívb. wsuf 40
Legye például egy ráfordítás-hozm függvéy z lábbi formulávl megdv: f()=-0,0 3 +0,2 2 +3 f ()= -0,03 2 +0,4+3 f ()=-0,06+0,4 f ()=0 =8,685 f ()=0 =6,66 Péld meyiségű termelt lm eseté z lm egységár: P()=00-0,0 keresleti függvéy dj meg meyiségű lm előállításák költségfüggvéye: C()=50+30000 Mekkor mimális profit? Megoldás: Árbevétel(áru meyiség*egységár): R()=P()=00-0,0 2 Profit((árbevétel- költség): Q()=R() - C()= -0,0 2 +50-30000 Htárprofit: Q ()= -0,02+50 Szélsőérték Q =0 =2500 Q ()= - 0,02 második derivált egtív, ezért mimum v wsuf 4
Q(2500)=32500 Azz z optimális termelés 2500 egység, és profit 32500 egység Péld 2 Egy termék rktározási költsége két részből áll: Mide termék 20 egységyi pézbe kerül és z álldó fetrtási költség 30000 egységyi péz. Átlgos 000 terméket tárolk. Számítsuk ki költség elszticitását! Megoldás: rktározási költség : C()=20+30000 A függvéy elszticitás : C '( ) 20 C() 20 30000 H =000, kkor z elszticitás értéke 20/23=0,87 Jeletése: meyibe rktározott meyiségtől kis mértékbe eltérük, kkor 0,87- szeres ráyb változik költség (pl. %-kl változik rktározott meyiség, kkor kb. 0,87%-kl módosul költség)- Péld 3 Egy termék keresletét z egységár függvéyébe következő összefüggés dj meg: 5 f p. p Hogy változik kereslet, h z egységárt =3-ról %-kl megöveljük? Megoldás: 5 5 5 3 f 3 f p f 3 2 2 3 p 3 Az elszticitás képletébe helyettesítve: 3 5 E 2 5 3 3 %-kl csökke kereslet, h termék árát 3-ról %-kl megöveljük. wsuf 42
INTEGRÁL (A deriválás iverze) Legye f()= 2 Kérdés: Melyik z függvéy, melyikek deriváltj: 2 ' 3 3 = 2 F ()=f() Primitív függvéy foglm, jellemző tuljdoság DEFINÍCIÓ: H z F függvéy folytoos z I itervllumo és I mide belső potjáb, kkor zt modjuk, hogy F primitív függvéye f-ek z I itervllumb. Tétel: A primitív függvéyek csk kostsb térek el egymástól. (F+C lkúk) Írjuk fel éháy függvéy leglább egy primitív függvéyét! d? d l C Áltláb, h egy függvéy értelmezési trtomáy több közös pot élküli részitervllum egyesítése, kkor primitív függvéyeket ezekbe, részitervllumokb csk külö-külö lehet értelmezi Alpitegrálok k d kc, d C, d l C k R, R e d e C d C 0 l wsuf 43
Alpműveletek itegrálokkl Tétel: H f-ek és g-ek z I itervllumb létezek primitív függvéyei, kkor k f -ek, ( k R 0) vlmit ( f g) - ek is v primitív függvéye, és ) k f k f ; b) Szvkkl: ) kosts téyező kiemelhető z itegráljel elé; b) összegfüggvéy htároztl itegrálj tgok htároztl itegráljik összegével egyelő. (összeget tgokét itegrálhtuk). Az itegrálás egyszerű módszerei I. szbály H F primitív függvéye f-ek z I itervllumb, kkor f ( b) d F( b) C hol és b álldó és II. szbály: Speciális szorzt itegrálj. típus: 0 bi ( f g) f g 2. típus: c c f f f d c C e f f f d e C III. szbály: Speciális háydos itegrálj f f d l f C wsuf 44
HATÁROZOTT INTEGRÁL DEFINÍCIÓ: Legye f függvéy [,b] itervllumo korlátos. Az f függvéyt z [,b] itervllumo itegrálhtók modjuk, h felosztás mide htáro túli fiomításávl keletkező lsó- és felső összegek sorozt közös htárértékhez kovergál. Ezt htárértéket evezzük z f függvéy [,b] itervllumo vett htározott itegrálják. (Riem itegrál) A htározott itegrál tuljdosági d : 0 f d f f : b b d b f c d f d f b c d b cf d c b f d 3.5 3 2.5 2.5 0.5 0-0.5 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 - -.5 TÉTEL: Zárt itervllumo folytoos függvéy itegrálhtó. A htározott itegrál kiszámítási módj (Newto-Leibiz formul) : TÉTEL: H f függvéy itegrálhtó z [,b] itervllumo és F függvéy primitív függvéye itt f- ek, kkor: b f d Fb F F b wsuf 45
A htározott itegrál lklmzás Területszámítás - függvéygrfiko és tegely áltl közbezárt terület kiszámítás dott htárok között - két függvéy grfikoj áltl közrefogott terület kiszámítás Improprius itegrál meghtározás - z itegrációs itervllum végtele - z [,b] véges itervllumo z f függvéy em korlátos Improprius itegrál A htározott itegrált véges itervllumr és z eze itervllumo korlátos függvéyekre értelmeztük. Az itegrál foglmát most kiterjesztjük végtele itervllumr illetve z [, b] itervllumb em korlátos függvéyre is. Az itegrálási htár végtele H f függvéy itegrálhtó z [, +) itervllum mide [,b] részitervllumá, kkor z f ( ) d itegrált z f függvéy [, +) itervllumo vett improprius itegrálják evezzük. H létezik z lábbi htárérték, és z véges, kkor z improprius itegrált kovergesek modjuk, külöbe diverges. b b lim f ( ) d b Hsoló defiiálhtó f ( ) d improprius itegrál is. Nem korlátos függvéy itegrálás H z f függvéy z [, b] itervllumb em korlátos, kkor em itegrálhtó. Legye zob itegrálhtó bármely [, b-] részitervllumb (hol b->). (Vgy [+, b] részitervllumb (hol +<b)) H létezik lim 0 b f ( ) d illetve lim b 0 f ( ) d htárérték, és z egy véges szám, kkor ezt z f függvéy [, b] itervllumo vett improprius itegrálják evezzük. 2 2 például: d d 2 2 0 2 ; 0 0 0 wsuf 46
Mitzh. 0 pot ) Hogy helyezkedik el egymáshoz képest f és f - grfikoj? b) Adottk z A= {; 2}, B={; b;c},c={α;β;γ;δ} hlmzok. Dötse el, hogy igz vgy hmis következő állítás!, AB hlmzk 5 eleme v, 3, AC hlmzk 7 eleme v, 6, AC hlmzk 8 eleme v c) Adjo meg oly f és g függvéyt, melyek eseté z f g függvéy em értelmezhető! d) Mi szükséges feltétele, hogy z f() függvéyek z 0 potb szélsőértéke legye? e)igz e: H egy függvéy folytoos z 0 potb, kkor ott létezik htárértéke is. 2. Egy zeeiskoláb 30- tulk. Zogorázk 5-e, hegedülek 6-, kette pedig zogorázk és hegedülek. Háy válsztottk más hgszert? 3 pot 3. Htározz meg következő hlmz elemeit,, h A={2;3} és B={;3;5}! 3 pot B A A B A B 3 4. Számíts ki z = sorozt htárértékét, 3 mjd állpíts meg, hogy sorozt tgji milye értéktől kezdve esek htárérték = 0-2 sugrú köryezetébe!? 4 pot 5. Vizsgáljuk meg, hogy mootook és korlátosk e következő soroztok és melyikek v htárértéke! 8 pot 2 = és wsuf 47
6. Htározzuk meg következő függvéyek htárértékét! 6 pot ) lim 4 2 5 3 8 3 2 8 =? 2 b) 4 2 lim 2 2 2 24 =? 4 7. Legye z f függvéy 6 pot f ( ) 2 2 49 7 2 5 h R - 7;0 h 7 h 0 Az =-7 bszcisszájú potb folytoos z f()? Az =0 bszcisszájú potb folytoos z f()? wsuf 48
Mitzh2:. ) Mikor evezzük z F függvéyt, z f primitívfüggvéyéek z I itervllumo?6 pot b) Milye kpcsolt v egy függvéy szélsőérték helye és első deriváltj között? c) Milye kpcsolt v költség és htárköltség függvéy között? 2. Itegrálj következő függvéyeket:! 7 pot 2 e 2 d 3 d 3. Htározzuk meg g() és z f() görbék áltl bezárt terület gyságát! 9 pot g( ) f ( ) 2 2 4. Egy válllt termelése C ( ) 2000 000 költségfüggvéyel és z 2 R ( ) 0,006 7,2 46 bevételfüggvéyel jellemezhető. Htározz meg, hogy milye meyiségű árucikk termelésével lesz profit mimális! 9 pot 5. Végezze teljes függvéyvizsgáltot következő függvéyre! 4 pot f ( ) 2 e wsuf 49
Mitzh(00pot):. ) Adj meg z f() függvéy ruglmsságát, és értelmezze zt! 8 pot b) Soroljo fel éháy elemi függvéyt és tuljdoságit, melyekek értelmezési trtomáy [0, [itervllum! c) Egy függvéyek háy primitív függvéye lehet? d) Adjo meg egy soroztot, mely mooto csökkeő! e) Ismertesse függvéy tuljdoságit! f) Soroljo fel 3 hlmzműveletet és ábrázolj Ve-digrmm segítségével! 2. Htározz meg z 3 6 sorozt htárértékét! 8 pot 3 8 3. Adott z sorozt. 3 2 Állpíts meg, hogy sorozt tgji milye értékétől kezdve esek htárérték = 0-2 sugrú köryezetébe! 6 pot 4. Legye z f függvéy 2 pot 2 8 5 h R-5 5 f ( ) -2 h 5 Az =-5 bszcisszájú potb folytoos z f()? Az =3 bszcisszájú potb folytoos z f()? wsuf 50
5. Itegrálj következő függvéyeket! 2 pot e 2 d ( 3 2)4 d 6. Htározz meg z y= 2 -+ prbol, z y tegely és prbol (2;3) potjához húzott éritő áltl htárolt terület gyságát! 6 pot,5 7. Adott egy termék keresleti függvéye: D ( p) 200p, p 0, hol p termék egységárát, D(p) pedig p árhoz trtozó keresletet jeleti megfelelő meyiségi egységbe. Htározzuk meg kereslet ár-elszticitását (árruglmsságát) p=9 potb. Értelmezze kpott eredméyt! 2 pot 8. Végezze teljes függvéyvizsgáltot következő függvéyre! 6 pot f 3 4 ( ) 4 wsuf 5
Felhszált irodlom ANALÍZIS - MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA CSERNYÁK LÁSZLÓ GAZDASÁGMATEMATIKAI FELADATGYŰJTEMÉNY - ANALÍZIS BÁNHALMI ÁRPÁD - FEJES FERENC - FENYVES FERENC - PERGE GÁBOR ANALÍZIS FELADATGYŰJTEMÉNY SZENTELEKINÉ PÁLES ILONA FELADATGYŰJTEMÉNY gzdsági mtemtikához, BGF-VIFK, Bp. 200. (SZ.: F-402). Czétéyi-Felber-Rejtő-Zimáyi Alízis Gykorltok Nemzeti Tköyvkidó Bp. 2003. Dekiger-Gyurkó Differeciálszámítás: Példtár, Bolyi-köyvek, Műszki Kvk., Bp. 2002. Bárczy Brbás Itegrálszámítás: Példtár, Bolyi-köyvek, Műszki Kvk., Bp. 2003 Bárczy Brbás wsuf 52
KÉPLETTÁR Gzdsági mtemtik I. (Alízis). Soroztok, sorok lim e 2,78 q, h ; q, lim e, q, R 2. Differeciálszámítás, itegrálszámítás Deriválási szbályok: cf cf f g f g f g f g f g l f f g f g f g g 2 R f g f g( ) g f f e e f f f f f f, R log Elemi függvéyek deriváltj: Elemi függvéyek htároztl itegrálj: f f f f c, c R 0 c, c R c C, C R, R,, R C, C R e e e d e C, C R, R \{} l, R \{} C C l R l, >0 l, >0 l C, C, R + \ l Az éritőfüggvéy egyelete: e f f, 0 l C, C R R Az elszticitás-függvéy: E f f f wsuf 53
Itegrálási szbályok: cf d c f d f gd f d gd f f f e f d e C d l f C f f f f C A prciális itegrálási szbály: f gd f g f g A kétváltozós függvéy lokális szélsőértékéek meghtározás: d f f y, b 0, b 0 b P, stcioárius pot eseté 2 ) h D, b f, b f yy, b f y, b kkor f -ek z b f, b 0 eseté mimum, f, b 0 eseté miimum; b) h D, b 0, 0,, potb lokális szélsőértéke v: kkor f -ek z, b potb ics szélsőértéke; c) h D, b 0, kkor k eldötésére, hogy v-e lokális szélsőérték P, b-be, további vizsgált szükséges. Pézügyi számítások Kmtos kmtszámítás: k k r, 0 I r i, hol I kmtláb. 00 Diszkotálás: k r 0 k k v, v r, k k d 0, d D 00, hol D diszkotláb. Járdékszámítás (gyűjtő-, illetve törlesztő-járdék): S r r, hol z uitás, r V v v v, vgy V r r r wsuf 54
Nevezetes zoosságok: (+b)²=²+2b+b² (-b)²=²-2b+b² (+b)(-b)=²-b² (+b)³=³+3²b+3b²+b³ (-b)³=³-3²b+3b²-b³ ³+b³=(+b)(²-b+b²) ³-b³=(-b)(²+b+b²) A htváyozás zoossági: Azoos kitevő és zoos lp eseté: A gyökvoás zoossági: Azoos kitevő és zoos lp eseté: k k k k k k k k k Megoldó-képlet:,2 b 2 b 4c 2 ( k ) ( 2 +b+c=0) k wsuf 55