Dr Égert Jáos Dr Molár Zoltá Dr Nag Zoltá ALKALMAZOTT MECHANIKA UNIVERSITAS-GYŐR Noprofit Kft Gőr, 00
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK ALKALMAZOTT MECHANIKA egetemi mesterképésbe réstvevő mérökhallgatók sámára Írta: Dr Égert Jáos Dr Molár Zoltá - Dr Nag Zoltá Lektorálta: Dr Sabó Tamás tsv egetemi doces Miskolci Egetem, Robert Bosch Mechatroikai Tasék ISBN: UNIVERSITAS-GYŐR Noprofit Kft, 00 Mide jog fetartva, beleértve a soksorosítás, a mű bővített, illetve rövidített váltoata kiadásáak jogát is A kiadó írásbeli hoájárulása élkül sem a teljes mű, sem aak rése semmiféle formába em soksorosítható Kiadja a UNIVERSITAS-GYŐR Noprofit Kft Felelős kiadó: a Kft midekori ügveetője Műsaki serkestő: Nag Zoltá Késült a Palatia Nomda és Kiadó Kft omdájába Felelős veető Radek Jósef
Tartalomjegék 0 BEVEZETÉS MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Vektorok és vektorműveletek Gakorló feladatok vektorműveletekre Mátrialgebrai össefoglaló 4 Vektorok skaláris, kétseres vektoriális és diadikus sorata 5 Mátri sajátértékei és sajátvektorai 6 Teorok előállítása 7 Gakorló feladatok vektorokra, mátriokra, teorokra 8 Differeciálegeletek 8 Kööséges lieáris differeciálegeletek 8 Euler típusú differeciálegeletek ALAPFOGALMAK ERŐRENDSZEREK Kocetrált erő megadása Erő omatéka Erő omatéki vektortere 4 Kocetrált erőredserek 5 Erőredserek egeértékűsége 6 Erőredser egesúla 7 Gakorló feladatok erőredserekre 4 TÉRBELI STATIKAI FELADATOK 4 Köös poto támadó erőredserek 4 Sétsórt erőredserek 4 Gakorló feladatok térbeli és síkbeli statikai feladatokra 5 RUDAK IGÉNYBEVÉTELEI, IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁI 5 A igébevételek értelmeése 5 A igébevételek meghatároása 5 A igébevételi ábrák / igébevételi függvéek 5 A megosló terhelés hatása 5 A kocetrált erő hatása 5 A kocetrált omaték hatása 54 A egesúli egeletek itegrál alakja 55 Általáosítás térbeli esetre 56 A igébevételi ábrák megrajolásáak godolatmeete 54 Gakorló feladatok rudak igébevételeire és igébevételi ábráira 6 SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAPOTOK 6 Alapfogalmak 6 A elmodulási állapot
6 A alakváltoási állapot 64 A fesültségi állapot 65 Gakorló feladatok silárdságtai állapotokra 7 RUDAK EGYSZERŰ IGÉNYBEVÉTELEI 7 Primatikus rúd húása, ömök rúd omása 7 Húott-omott rudak tökremeetele 7 Kör és körgűrű kerestmetsetű rudak csavarása 74 Primatikus rudak egees hajlítása 75 Gakorló feladatok rudak egserű igébevételeire 8 RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI 8 Tökremeeteli elméletek 8 Húás-omás és egees hajlítás 8 Kör és körgűrű kerestmetsetű rudak húás-omása és csavarása 84 Kör és körgűrű kerestmetsetű rudak hajlítása és csavarása 85 Nírás és hajlítás 86 Gakorló feladatok rudak össetett igébevételeire 9 RÚDSZERKEZETEK ALAKVÁLTOZÁSA 9 Statikailag határoott rúdserkeetek elmodulása, sögelfordulása 9 Statikailag határoatla serkeetek támastóerői 0 RUGALMASSÁGTANI EGYENLETEK 0 Egesúli egeletek 0 Kiematikai (kompatibilitási, geometriai) egeletek 0 Aagegeletek általáos Hooke törvé 04 Peremfeltételek 05 A kompatibilitási egeletek más alakjai 06 Gakorló feladatok a rugalmasságta egeleteire A RUGALMASSÁGTAN D FELADATAI A sík alakváltoás A általáosított sík-fesültségi állapot Forgássimmetrikus feladatok 4 Síkfeladatok megoldása fesültség-függvéel 4 A sík-alakváltoás és a általáosított sík-fesültségi állapot össehasolítása 4 A Air-féle fesültség-függvé 5 Síkbeli forgássimmetrikus feladatok 5 Vastag falú csövek 5 Gorsa forgó csőtegelek, tegelek 6 Gakorló feladatok a rugalmasságta D feladataira KINEMATIKA, KINETIKA Aagi pot mogása 4
A mogásfüggvé, a pálagörbe A sebességfüggvé, a sebességvektor A gorsulásfüggvé, a gorsulásvektor 4 A mogásjellemők köötti kapcsolat 5 Gakorló feladatok aagi pot mogására Merev test mogása Alapfogalmak Merev test sebességállapota A elemi síkmogás 4 Merev test gorsulásállapota 5 Gakorló feladatok merev test mogására Merev test kietikája Merev test tömegeloslásáak jellemői Merev test impulusa, impulusomatéka Merev test kietikai eergiája 4 Merev testre ható erőredser teljesítmée 5 Merev testre ható erőredser mukája 6 A impulustétel 7 A perdület tétel 8 Eergiatétel, mukatétel 9 Merev test késermogása 0Gakorló feladatok merev test kietikájára DINAMIKAI FELADATOK Forgó tömegek kiegesúloása A tömegkiegesúloás célkitűése A tömegkiegesúloás megvalósítása Forgórések meghajtása és üemeltetése Testek ütköése Feltételeések, fogalmak Testek cetrikus ütköése Testek ecetrikus ütköése 4 IRODALOM 5
0 BEVEZETÉS A Alkalmaott Mechaika tárg a Séchei Istvá Egetem Műsaki Tudomái Kará a Mechatroikai méröki, a Kölekedésméröki és a Logistikai méröki egetemi mesterképési (MSc) sak tatervébe sereplő köteleő tatárg A tatárg a egetemi alapképés mechaika oktatását meghaladó sívoalo, igées matematikai apparátus felhasálásával, redkívül tömöre, válatserűe foglalja össe a méröki mukáho sükséges statika, silárdságta, kiematika és kietika legléegesebb fogalmait és össefüggéseit Eel lehetőséget teremt a egetemi alapképést a adott sako foltató hallgatókak mechaikai ismereteik bővített, magasabb sívoalú megerősítésére, a korábba kevesebb mechaikai ismeretet serett hallgatókak pedig tudásuk egetemi sitre hoására A taaag össeállításáál a serők arra törekedtek, hog a méröki mechaikáak a feti MSc sakok sámára fotos fejeeteire térjeek ki A jeget első fejeete a aag megértéséhe sükséges matematikai ismereteket foglalja össe A mechaikai elméleti taaagot kidolgoott gakorló feladatok, valamit további ki em dolgoott gakorló feladatok egésítik ki, amelek öálló gakorlásra is lehetőséget bitosítaak A öálló feladatmegoldásak a elméleti aag megértése és megtaulása, valamit a kidolgoott feladatok godolatmeetéek megértése utá célserű eki kedei A taaag elsajátítása a félév sorá folamatos mukát igéel A visgára törtéő eredmées felkésüléshe célserű a taaaggal heti -4 órát iteíve foglalkoi és a jegetből 5-0 oldali aagot feldolgoi A jeget - a előadásoko, gakorlatoko és koultációko törtéő résvételt feltételeve - segítséget sádékoak újtai a appali tagoatos hallgatókak a tatárg elsajátításáho és a visgára törtéő eredmées felkésüléshe Hasos segédeskö lehet aoba a leveleő tagoatos egetemi mesterképésbe réstvevő hallgatók sámára is, akik agobb rést öállóa késülek fel a félévköi hái feladatok megoldására és a visgára A eredmées felkésüléshe a hallgatók a Alkalmaott Mechaika Tasék holapjá a http://wwwsehu/am/ címe további oktatási segédaagokat, kidolgoott elméleti kérdéseket találak A Alkalmaott Mechaika tatárg aagáak elsajátításáho a jeget serői eredmées mukát kíváak A serők ee a hele modaak kösöetet Dr Sabó Tamás tasékveető egetemi docesek, a jeget lektoráak hasos és érdemi sakmai ésrevételeiért, amelek a jeget végleges váltoatába beépültek Kösöet illeti Acél Ákos egetemi taársegédet is a jeget ers váltoatáak alapos átééséért és korrekciós javaslataiért Gőr, 00 december 6
MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Vektorok és vektorműveletek Skaláris meiség: ola geometriai, vag fiikai meiség, amelet agság, (előjel) és mértékegség jelleme Vektor meiség: iráított geometriai, vag fiikai meiség, amelet agság (előjel), irá és mértékegség jelleme a) Vektor megadása: a e O α e a a e a Egségvektorok: e, e A egségvektorok hossa egségi: e e Eg tetsőleges vektor megadása egségvektorokkal: a ae + ae Ha ismert a a vektor hossa és a tegellel beárt söge, akkor a előő össefüggésből: a a cosα e + a si αe a (cosαe + si αe ) a e a A a vektor hossát a Pithagoras-tétel segítségével sámíthatjuk ki: a a + a Köe belátható a is, hog e a vektor egségvektor: e cos α + si α a A vektorok köötti műveletek a vektorok támadáspotho, vag hatásvoalho kötöttségétől függetleül érvéesek b) Vektorok össeadása: Lege adott két vektor: a a e + ae, b b e + b e A két vektor össegéek kisámítása: a+ b ( ae + ae) + ( be + be) ( a + b) e + ( a + b) e c c c A két vektor össegéek megserkestése: b a c a c Háromsög sabál b Paralelogramma sabál 7
c) Vektorok kivoása: Lege adott két vektor: a a e + ae, b b e + b e A két vektor külöbségéek kisámítása: a b ( ae + ae) ( be + be) ( a b) e + ( a b) e d d d Két vektor külöbségéek megserkestése: b b a d a+ ( b) d a b a b d d d) Vektorok skaláris sorása (a eredmé skaláris meiség): A skaláris sorás értelmeése: a b a b cosα A skaláris sorás kisámítása: a b ab + ab + ab A a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á skalárisa sorova bével Egségvektorok skaláris sorata: e e, e e, e e, e e 0, e e 0, e e 0 A eredmé általáosítása: a a a és a b 0 a b A a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á merőleges bére e) Vektorok vektoriális sorata (a eredmé vektor): A vektoriális sorás értelmeése: A eredmévektor agsága: a b a b siα a paralelogramma magassága a b b α b si α A eredmévektor iráát ú jobbké sabállal kapjuk meg: ha jobb kéel a a vektort a b vektorba forgatjuk, akkor a jobb ké hüvelkujja adja meg a eredmévektor iráát a A eredmévektor merőleges a sorásba sereplő midkét vektorra 8
A vektoriális sorás kisámítása: e e e a b a a a e( ab ba) e( ab ba) + e( ab ba) b b b Egségvektorok e e 0, e e 0, e e 0, vektoriális sorata: e e e, e e e, e e e, e e e e e e, e e e, e e e Sabál: - Ha két egségvektort a ábrá látható íllal megegeő sorredbe soruk össe vektoriálisa, akkor poitív előjellel kapjuk a harmadik egségvektort - Ha két egségvektort a ábrá látható íllal elletétes sorredbe soruk össe vektoriálisa, akkor egatív előjellel kapjuk a harmadik egségvektort A eredmé általáosítása: a b 0 a b f) Vektorok kétseres vektoriális sorata (a eredmé vektor): ( a b) c, vag a ( b c ) Kisámítás kétféle úto lehetséges: - a két vektoriális sorásak a kijelölt sorredbe törtéő elvégésével, - a kifejtési sabállal: ( a b) c b( a c ) a ( b c ), ill a ( b c ) b ( a c ) c ( a b ) Gakorló feladatok vektorműveletekre feladat: Helvektorok felírása, össegése, absolút értékéek meghatároása Adott: eg hasáb, valamit a H pot hele: e AB 8m, BE m, H G AD 6m, FH 0,5BF F D Feladat: a) A H pot r H helvektoráak meghatároása C O b) A H-ból a B potba mutató r E HB helvektor meghatároása A B Kidolgoás: a) A H pot r H helvektoráak meghatároása: r H r OF + r FH r r (8e + 6 e ) m, OF F 9
rbf e ( e + 6 e ) m, r BF ( e + 6 e ) m, rbf 45 rbf BF + BF + 6 9+ 6 45 m, r 05, 45 m, FH 45 rfh r FH e ( e + 6 e ) ( 5, e + e ) m, 45 r H (8e + 6 e ) + ( 5, e + e ) (,5e + 8e + 9 e ) m b) A H-ból a B potba mutató r HB helvektor meghatároása rhb r BF e 45 ( e + 6 e ) m, r HB (4,5e 9 e )m 45 feladat: Vektorok össege, külöbsége, egmással beárt söge F F α F Adott: F (40e + 50 e) N, 50 F ( 0e + 4 e) N 40 Feladat: F 0 0 F a) A két erő F0 F + F össegvektoráak 0 0 F meghatároása b) A két erő F* F F külöbségvektoráak meghatároása F c) A két erővektor által beárt α sög 0 0 0 40 50 60 meghatároása Kidolgoás: a) A két erő F0 F + F össegvektoráak meghatároása: F0 F + F (40e + 50 e) + ( 0e + 4 e) (0e + 54 e) N b) A két erő F* F F külöbségvektoráak meghatároása: F* F F (40e + 50 e) ( 0e + 4 e) (60e 46 e) N c) A két erővektor által beárt α sög meghatároása: F F F F F F cosα cosα F F F F 40( 0) + 50 4 800 + 00 600 N, F F + F 40 + 50 64, 0 N, 600 F F + F 0 + 4 0, 40 N, cosα 0, 4594, 64, 0 0, 40 α arccos( 0, 4594) 7, 4 0
feladat: Vektor koordiátái és össetevői Adott: Feladat: a (0e + 5 e ) m a) A a vektor és iráú skaláris koordiátáiak meghatároása b) A a vektor és iráú össetevőiek meghatároása Kidolgoás: a) A vektor koordiátategel iráú koordiátáiak meghatároása (skaláris meiségek): a β α a a A skaláris sorás értelmeéséből: a a e a e cosα a cosα, a a e a e cos β a cos β A skaláris koordiáták kisámítása: a a e (0e + 5 e) e 0e e + 5e e 0 m, a a e (0e + 5 e ) e 0e e + 5e e 5 m b) A vektor koordiátategel iráú össetevői (vektor meiségek): a a e (0 e ) m, a a e (5 e ) m 4 feladat: Vektor koordiátái és össetevői Adott: b (6e + 6 e) m, a (e + 4 e ) m Kidolgoás: Feladat: a) A b vektor a iráú b és a irára merőleges b skaláris koordiátáiak meghatároása b) A b vektor a iráú b és a irára merőleges b össetevőiek meghatároása a) Adott iráú koordiáták meghatároása: A b vektor a iráú koordiátája ( a irára eső vetülete): a b a b a b cosα b b cosα b a a b b a b 6 + 4 6 96 m, b a + 4 60 4 0, 65 m, 96 b 7,59 m, 65 A b vektor a irára merőleges koordiátája (a a irára merőleges vetülete): a b a b a b siα b b siα a b
e e e a b 4 0 e (7 4) (48 e ) m, b 6 6 0 a b 48,79 m a, 65 b) Adott iráú össetevők meghatároása: a b 48m, a,65 m A b vektor a iráú össetevője: a ea (e + 4 e) (0, 9486e + 0, 6 e), a, 65 b b e 7, 59(0, 9486e + 0, 6 e ) (7,e +,4 e ) m a A b vektor a irára merőleges össetevője: a b a a b a ( a b) a b b siα b siα a b a a b siα a b a e ( a b) a (48 e) (e + 4 e) ( 9e + 576 e) m, 9e + 576e b (,e +,6 e)m 60 Elleőrés: b b + b (7, e +, 4 e ) + (, e +, 6 e ) (6e + 6 e )m 5 feladat: Vektorok skaláris sorata Adott: F (40e + 8e 6 e) kn, F ( e + e + e) kn, F ( F e ) Kérdés: Mekkora lege merőleges lege F -re? Kidolgoás: Ha a b, akkor a b 0 a b cos α 0 o 90 Eért teljesülie kell a ( F+ F) F 0 össefüggések ( F+ F) F 40 e + (8 + F) e 6 e ( e + e + e) 0, 40 + (8 + ) 6 0, 80 + 6 + 78 0, F F F 6kN F F, ha at akarjuk, hog ( F+ F)
6 feladat: Vektor koordiátái és össetevői Adott: a ( e + e) N, b (4e + e) N b Feladat: a a a) A a vektor b iráú a a és a b irára merőleges a skaláris koordiátáiak meghatároása b) A a vektor b iráú a és a b irára merőleges a össetevőiek meghatároása Megoldás: a) A a vektor b iráú a és a b irára merőleges a skaláris koordiátái: a,5 N, a,5 N b) A a vektor b iráú a és a b irára merőleges a össetevői: a ( e + e ) N, a ( e e ) N Mátrialgebrai össefoglaló a) Mátri értelmeése, jelölése: Mátri: Skaláris meiségekek, sámokak megadott sabál serit tábláatba redeett halmaa a a a Mátri jelölése: A a a a A mátriokat kétser aláhúott betűvel, a mátriok elemeit (koordiátáit) alsó idees betűvel jelöljük Pl Aa, és a, a stb A a mátrielem a A mátri első sorába és harmadik oslopába va Mátri mérete: Például a feti ()-as méretű A mátriak két sora és három oslopa va A a mátri elem jelölés kiejtése (kiolvasása): á eg három a Oslopmátri: a a T, sormátri: a [ a a a] a A oslopmátriak eg oslopa, a sormátriak eg sora va A sormátri ugaaak a oslopmátriak a traspoáltja A sormátriot a mátri betűjeléek felső ideébe írt T betű jelöli b) Mátriműveletek: A műveleteket ( ) -es, ()-es és ()-es mátriokra mutatjuk be - Mátri traspoáltja (tükröés a főátlóra): A mátri főátlóját a aoos ideű elemek alkotják
a a A a ( ) a T a a A a a ( ) A traspoálási művelet jele: T (a mátri felső ideébe) A traspoálás oslopmátriból sormátriot, sormátriból pedig oslopmátriot ho létre T A A jelölés kiejtése (kiolvasása): á traspoált - Mátriok össeadása, kivoása: Csak aoos méretű mátriok adhatók össe, vohatók ki egmásból A± B C, a a b b ( a ± b) ( a± b) c c ± a a b b ( a± b) ( a± b) c c ( ) ( ) ( ) ( ) - Mátri sorás (sor-oslop kombiáció): Csak ola mátriok sorohatók össe, amelek teljesítik at a feltételt, hog a első sorótéeő oslopaiak sáma megegeik a második sorótéeő soraiak sámával AB C, a a b b ( a b + a b) ( a b+ a b ) a a b b ( a b+ a b) ( a b+ a b) ( ) ( ) ( ) Ab c, a a b ( a b + a b ) c a a b ( a b + a b ) c ( ) ( ) ( ) ( ) a T T B d, b b a a ( a b+ a b) ( ab+ a b) d d b b ( ) ( ) ( ) ( ) c) Külöleges mátriok: 0 - Egségmátri: E 0 Tulajdosága: E A AE A A egségmátri a főátlójába -es koordiátákat, a főátlójá kívül 0 elemeket tartalma A egségmátrisal törtéő sorás em váltotatja meg a megsorott mátriot - Simmetrikus mátri: T A A A mátri elemei megegeek a főátlóra vett tükörképükkel 4
Például A 9 simmetrikus mátri T - Ferdesimmetrikus mátri: A A A mátri bármelik eleme megegeik a főátlóra vett tükörképéek míus egseresével Ebből a követkeik, hog a főátlóba csak érus elemek lehetek 0 Például A 0 ferdesimmetrikus mátri 4 Vektorok skaláris, kétseres vektoriális és diadikus sorata Eges vektor sorások mátriok soratakét is elvégehetők a) Vektorok skaláris sorata: A skaláris sorás értelmeése: a b a b cosα (α a vektorok köött beárt sög, α π ) A skaláris sorás kisámítása mátrisorással: b a b a a a b ab + ab + ab b A első soró téeő koordiátáit sormátriba, a második soró téeő koordiátáit oslopmátriba redeük és a sorást a mátrisorás sabálai serit (sor-oslop kombiáció) végeük el A sorás eredmée eg skaláris meiség b) Vektorok diadikus sorata: Lege adott a a, b és c tetsőleges vektor Két vektor diadikus soratáak jelölése: a b, eleveése: diád A a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á diád bé Két vektor diadikus soratát a sorás tulajdoságaiak megadásával értelmeük: - a diadikus sorás és a skaláris sorás associatív (csoportosítható, aa sorások elvégéséek sorredje felcserélhető): ( ab) c a ( b c), - a diád a skaláris sorás sempotjából em kommutatív (em mideg, hog eg diádot jobbról, vag balról soruk meg skalárisa eg vektorral, mert más eredmét kapuk): c ( ab) ( a b) c Ha a sorás a feti össefüggéseket kielégíti, akkor a sorás diadikus Két vektor diadikus soratáak kisámítása jobbsodrású, deréksögű koordiátaredserbe: a a b a b a b a b a b b b a b a b a b a a b a b a b 5
A első soró téeő koordiátáit oslopmátriba, a második soró téeő koordiátáit sormátriba redeük és a sorást a mátri sorás sabálai serit (sor-oslop kombiáció) végeük el A sorás eredmée eg kilec skaláris meiséget tartalmaó mátri Egségvektorok diadikus sorata: 0 0 0 0 0 0 [ e e] 0 [ 0 0 ] 0 0 0, e e [ 0 0 ] 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ e e ] 0 [ 0 0 ] 0 0 0, e e [ ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 [ e e ] 0 [ 0 0 ] 0 0 0, e e [ ] 0 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 e [ 0 0] 0 0,[ e e ] [ ] 0 0 0 0 e e 0 [ 0 0 ] 0 0 0 0 0 A skalár sámmal törtéő sorás midig diadikus, vag más sóhasálattal általáos sorás 5 Mátri sajátértékei és sajátvektorai a) A sajátérték feladat kitűése: Léteik-e ola oslopmátri, amellel a A égetes mátriot megsorova, a oslopmátri valahásorosát kapjuk: A λ, ahol a λ skaláris meiség? Ha léteik ile oslopmátri, akkor et a A égetes mátri sajátvektoráak, a λ skaláris meiséget pedig a A mátri sajátértékéek eveük b) A sajátérték feladat megoldása: A sajátérték feladat megoldását eg ()-es mátrio mutatjuk be A előő egeletet résletese kiírva és bal oldalra redeve: a a a a 0 λ a a, λ a a 0, és a sorásokat elvégeve, a, ismeretlere homogé lieáris algebrai egeletredsert kapuk: 6
( a λ) + a 0, a + ( a λ) 0 A egeletredser em triviális (ullától külöböő) megoldásáak feltétele a, hog a redser mátriából képeett determiásak el kell tűie: ( a λ) a 0 a ( a λ) A determiást kifejtve kapjuk a karakteristikus egeletet: λ ( a + a) λ + ( aa aa) 0 A karakteristikus egelet megoldásai a mátri sajátértékei: ( a + a) ± ( a + a) + 4aa λ, A homogé lieáris algebrai egeletredserek csak λ λ és λ λ eseté va emtriviális megoldása A mátri sajátértékeit övekvő sorredbe sokás sorsámoi Ha a eges λ i (i,) sajátértékeket behelettesítjük a homogé lieáris algebrai egeletredserbe, akkor a egeletredser megoldható a i, i ismeretlere: ( a λi) i + a i 0 i a i + ( a λi ) i 0 i, ahol i, A λ i (i,) sajátértékek behelettesítése eseté aoba a egeletredser egeletei egmástól em lieárisa függetleek, eért a egik egeletet el kell hagi és a másik egeletből csak a /, vag / (i,) háados határoható meg i i i i sajátvektorok- A i és i értékét akkor kapjuk meg egértelműe, ha a tól megköveteljük, hog egségvektorok legeek: +, i, i i T i i i 6 Teorok előállítása a) Teor értelmeése és tulajdoságai: Teor: Homogé lieáris vektor-vektor függvé által megvalósított leképeés (hoáredelés) w f( v ) T v v hoáredelés w O v O w A T teor a tetsőleges v vektorho a w képvektort redeli hoá 7
A vektor-vektor függvé ola függvékapcsolat, amelek v értelmeési tartomáa és w értékkéslete is vektor meiség A teor tulajdoságai: Homogé lieáris: Ha eg vektort két másik vektor lieáris kombiációjakét állítuk elő, akkor a vektor képvektora egelő a lieáris kombiációba sereplő vektorok képvektoraiak lieáris kombiációjával: Ha v λv + λv és w f( v ), w f( v ), akkor w f( v ) f( λv + λv ) λf( v ) + λf( v ) λw + λw A össefüggésekbe λ és λ tetsőleges skaláris egütthatók Követkemé: A érus vektorho érus vektort redel hoá: 0 f (0) A teor koordiáta-redsertől függetle fiikai (geometriai, mechaikai) meiség b) Teor előállítása jobbsodratú, deréksögű descartesi koordiáta-redserbe: - Teor megadása: - a teor koordiátáival (mátiával) és - a koordiáta-redserrel törtéik - Teor koordiátáiak jelölése mátriba redeve: T T T T T T T T T T T T T T T T T T T - Teor előállítása deréksögű descartesi KR-be: Tétel: - Térbeli esetbe mide teor egértelműe megadható három egmásra merőleges egségvektor és eek képvektorai (három értékpár) ismeretébe - Síkbeli esetbe mide teor egértelműe megadható két egmásra merőleges egségvektor és eek képvektorai (két értékpár) ismeretébe Tétel: - Térbeli esetbe mide teor előállítható három diád össegekét - Síkbeli esetbe mide teor előállítható két diád össegekét Lege ismert három értékpár: e a f( e ), a ae + ae + ae, e b f( e), b be + be + be, e c f( e ), c ce + ce + ce A teor diadikus előállítása: T ( ae + be + c e ) A teor mátria: a b c T a b c a b c A teor mátriát a diadikus előállításba kijelölt diadikus sorások és a össeadások elvégésével kapjuk 8
A teor mátriáak oslopai a a, b, c képvektorok koordiátáit tartalmaák A mátri első sorába a képvektorok koordiátái, a második sorba a képvektorok koordiátái, a harmadik sorba a képvektorok koordiátái állak 7 Gakorló feladatok vektorokra,mátriokra, teorokra 7 feladat: Mátri műveletek Adott: 4 4 A 7, B 6 Feladat: T T a) A A és B traspoált mátriok meghatároása b) A A+ B össegmátri és a A B külöbségmátri meghatároása c) A AB soratmátri meghatároása Kidolgoás: T T a) A A és B traspoált mátriok meghatároása: T A 7 4, T B 6 4 b) A A+ B össegmátri és a A B külöbségmátri meghatároása: 4 4 0 0 A+ B 7 + 6 6, 4 4 4 8 A B 7 6 0 c) A AB soratmátri meghatároása 4 4 ( ) + ( 4)( 6) 4 + ( 4) AB 7 6 7( ) + ( 6) 7 4+ 48 4 0 7 7 feladat: Skaláris, diadikus és mátri sorás gakorlása Adott: a (4 e + 6 e e ) m, Feladat: b ( e + e e ) m, a) A a b és a a b soratok meghatároása c ( e 6e b) A ( a b) c és a c ( a b) ) sorat meghatároása m Kidolgoás: a) A a b és a a b soratok meghatároása: 9
a b [ 4 6 ] 4( ) + 6 + ( )( ) 5m, ab ( 4e + 6e e) ( e + e e) ( e 8e + e) e + ( 4 e + 6e e) e + + ( 4e 6e + e) e m A sögletes árójelbe lévő diádok első soró téeőiek koordiátái a teor mátriáak oslopaiba jeleek meg: 4 4 4 a b 6 [ ] 8 6 6 m b) A ( a b) c és a c ( a b) sorat meghatároása: - A értelmeés alapjá: ( ab) c a ( b c) ( 4e + 6e e) ( e + e e) ( e 5e) ( 4e + 6e e ) [ + 5] ( e + 8e e ) m, - Mátrisorással: 4 4 0 8 + 0 ( a b) [ c] 8 6 6 + 0 8 m 5 5 A kétféleképp előállított eredmé termésetese megegeik - A értelmeés alapjá: c ( ab) ( c a) b ( e 5e) ( 4e 6e e) + ( e + e e) [ + 5] ( e + e e ) (e 7e + 7 e ) - Mátrisorással: 4 4 [ c] ( a b) [ 0 5 ] 8 6 6 [ ] [ ] (6 5) ( 5) ( 5) 7 7 m + A kétféleképp előállított eredmé termésetese megegeik 0
7 feladat: Vektor adott irára merőleges össetevőjéek meghatároása Adott: b (0e + 40e 0 e) m, e (0,8e 0,6 e ), a O b b b e a Feladat: a) A b vektor e a egségvektorral párhuamos b össetevőjéek meghatároása b) A b vektor e a egségvektorra merőleges b össetevőjéek meghatároása kétseres vektoriális sorással c) A b vektor e a egségvektorra merőleges b össetevőjéek meghatároása a kifejtési sabállal Kidolgoás: a) A b párhuamos össetevő meghatároása: 0 b ( ea b) ea [ 0 0,8 0,6 ] 40 ea ( + 8) ea 50 ea 0 b 50 ea 50(0,8e 0,6 e) (4e 0 e) m b) A b merőleges össetevő meghatároása kétseres vektoriális sorással: b ( e a b) ea e e e ( ea b) 0 0,8 0,6 e( 4 + 4) e() + e( 6), 0 40 0 e e e ( ea b) ea 0 6 e(7, +,8) e(0) + e(0) 0 0,8 0,6 b ( e a b) e a (0 e) m c) A b össetevő meghatároása a kifejtési sabállal: b ( e a b) e a b( e a ea) ea( b ea) b b b b b (0e + 40e 0 e ) (40e 0 e ) (0 e ) m
74 feladat: Teor előállítása Adott: r (4e + e ) m P O r P P A r A Feladat: a) Aak a T teor mátriáak a előállítása, amel a sík helvektoraiból a helvektorokak a koordiáta-redser O kedőpotjára tükröött vektorait állítja elő b) Meghatároi at a r A vektort, amel a r P vektor origóra vett tükörképe Kidolgoás: a) A teor előállítása: Síkbeli esetbe a teort két értékpárja határoa meg: e a e, e b e A két értékpárból a teor: T ( a e + b e ) 0 A teor mátria: T 0 b) A origóra tükröött r A képvektor meghatároása: 0 P 0 4 4 ra T rp 0 P 0 r ( 4e e ) m A 75 feladat: Teor előállítása Adott: r (4e + e ) m P P O r P r A A Feladat: a) Aak a T teor mátriáak a előállítása, amel a sík helvektoraiból a helvektorokak a koordiáta-redser tegelére tükröött vektorait állítja elő b) Meghatároi at a r A vektort, amel a r P vektor tegelre vett tükörképe Kidolgoás: a) A teor előállítása:
Síkbeli esetbe a teort két értékpárja határoa meg: e a e, e b e A két értékpárból a teor: T ( a e + b e ) 0 A teor mátria: T 0 b) A tegelre tükröött r A képvektor meghatároása: 0 P 0 4 4 ra T rp 0 P 0 r (4e e ) m A 76 feladat: Teor előállítása o Adott: ϕ 0, r P (4 e + e ) m A Feladat: r a) Aak a T teor mátriáak a előállítása, amel a A sík helvektoraiból a helvektorok tegel körül ϕ ϕ r P söggel elforgatott vektorait állítja elő b) Meghatároi at a r P A vektort, amelet a r P vektor ϕ söggel törtéő elforgatásával kapuk Kidolgoás: a) A teor előállítása: b e ϕ a ϕ e Síkbeli esetbe a teort két értékpárja határoa meg: e a (cosϕ e + si ϕ e ), e b ( siϕe + cos ϕe ) A két értékpárból a teor: T ( a e + b e ) A diádok kisámítása: a a 0 cosϕ 0 [ a e ] [ 0] a a 0 siϕ 0, b 0 b 0 siϕ b e [ 0 ] b 0 b 0 cosϕ cosϕ siϕ 0,866 0,5 A teor mátria: T siϕ cosϕ 0,5 0,866 b) A elforgatott r A vektor meghatároása:
cosϕ siϕ P 0,866 0,5 4,964 ra T rp siϕ cosϕ P 0,5 0,866,866 r (,964e +,866 e ) m A 77 feladat: Teor előállítása Adott: o ϕ 45, r (5e + e ) m P r A ϕ r P A u P P Feladat: a) Aak a T teor mátriáak a előállítása, amel a sík helvektoraiho a helvektorok tegel körül ϕ söggel törtéő elforgatásakor a helvektorok végpotjaiak elmodulás vektorait redeli hoá b) Meghatároi r P vektor végpotjáak u P elmodulás vektorát a ϕ söggel törtéő elforgatásál Kidolgoás: a) A T teor előállítása: b e ϕ ϕ a e A teor mátria: (cosϕ ) siϕ 0,9 0,707 T si ϕ (cosϕ ) 0,707 0,9 b) A u P elmodulásvektor meghatároása: 0,9 0,707 5,879 up T rp 0,707 0,9,949 u (,879e +,949 e ) m P Síkbeli esetbe a teort két értékpárja határoa meg: e a ( cos ϕ) e + siϕ e, e b si ϕ e ( cos ϕ) e A két értékpárból a teor: T ( a e + b e ) 4
r P r A A 78 feladat: Teor előállítása Adott: ( e + e ), r P (5e + e + 0 e ) m Feladat: a) Aak a T teor mátriáak a előállítása, amel a tér mide helvektoráho a helvektorokak P a ormálisú S síkba eső vetületvektorát redeli hoá b) Meghatároi r P S síkba eső r A vetületvektorát vektorak a adott ormálisú S A vetületvektort úg kapjuk, hog a r P vektor végpotját merőlegese vetítjük a S síkra Kidolgoás: a) A T teor előállítása: A tetsőleges v vektor S síkba eső w vetületvektora: w ( v ) v( ) ( v) v ( v) Térbeli esetbe a teort három értékpárja határoa meg: e a e ( e) e, 0 e b e ( e) e e e e + e + e, e c e ( e) e e e e + + e + e A három értékpárból a teor: T ( ae + be + c e ) 0 0 A teor mátria: T 0 0,5 0,5 0 0,5 0,5 b) A r P vektorak a adott ormálisú síkba eső r A vetületvektoráak meghatároása: 5
0 0 5 5 ra T rp 0 0,5 0,5 6 0 0,5 0,5 0 6 r (5e + 6e + 6 e ) m A m 79 feladat: Teor előállítása Adott: r ( e + 4e + 6 e ) m P r Feladat: P P a) Aak a T teor mátriáak a előállítása, amel a tér O mide helvektoráho a helvektorokak a síkra r D vett tükörkép-vektorát redeli hoá A b) Meghatároi r P vektorak a síkra vett r A tükörképvektorát A A tükörkép-vektort a követkeőképpe kapjuk: A r P vektor végpotját merőlegese vetítjük a síkra A D pot a vetítő egees döféspotja a síko Megoldás: a) A hoáredelést megvalósító teor mátria: 0 0 T 0 0 0 0 b) A r A tükörkép-vektor: r A (e + 4e 6 e ) m 70 feladat: Teor előállítása Adott: r P (4e + 4e + 8 e ) m r P Feladat: P a) Aak a T teor mátriáak a előállítása, amel a tér O r A D A mide helvektoráho a helvektorokak a síkba eső vetületvektorát redeli hoá b) Meghatároi r P vektorak a síkba eső r A vetületvektorát A vetületvektort úg kapjuk, hog a r P vektor végpotját merőlegese vetítjük a síkra A D pot a vetítő egees döféspotja a síko A vetületvektor a D potba mutató vektor Megoldás: a) A hoáredelést megvalósító teor mátria: 0 0 T 0 0 0 0 0 b) A r A vetületvektor: r A (4e + 4 e ) m 6
7 feladat: Teor (mátri) sajátértékeiek és sajátvektoraiak előállítása Adott: a A teor a Descartes-féle deréksögű koordiátaredserbeli mátriával: A Feladat: a A teor λ, λ sajátértékei és a hoájuk tartoó, sajátvektorok meghatároása és semléltetése Kidolgoás: A feladatba sereplő mátri simmetrikus, eért két valós sajátértéket és két, egmásra merőleges sajátvektort váruk A karakteristikus egelet felírása: A λ λ E ( A λe) 0 E eg homogé, lieáris egeletredser a vektor, koordiátáira, melek csak akkor va a triviálistól (vagis a érustól) külöböő megoldása, ha a egeletredser egütthatóiból képett mátri determiása ullával egelő: det A λe 0 A feti mátri elemeit behelettesítve és a determiást kifejtve: λ det λ λ 0 4 λ A kijelölt műveleteket elvégeve, kapjuk a karakteristikus egeletet: 4λ 4 0 λ, A karakteristikus egelet két megoldása, vagis a keresett sajátértékek: λ A sajátvektorok meghatároása: - A λ -he tartoó sajátvektor meghatároása: A λ -et vissahelettesítjük a lieáris algebrai egelet-redserbe: 0 0 7
8 A mátrisorást elvégeve két ismeretlees egeletredsert kapuk: + 0 0 A két egelet aoba em függetle egmástól (a elsőt -mal sorova éppe a másodikat kapjuk), íg e a egeletredser csak a sajátvektor koordiátáiak aráát, vagis a sajátvektor iráát határoa meg Eért még felíruk eg függetle egeletet: a egségi absolút értékű sajátvektort határouk meg: + + Látható, hog eel a pótlólagos feltétellel a sajátvektor már csak eg előjel erejéig határoatla Ha a + értéket válastjuk, akkor e + e - A λ -he tartoó sajátvektor meghatároása: + 0 0 + 0 + A mátrisorást elvégeve két ismeretlees egeletredsert kapuk: + 0 A egeletek ebbe a esetbe sem függetleek egmástól (itt a soró ) A már alkalmaott ormálást ismét elvégeve kapjuk: e e A megoldás semléltetése: Megjegés: A ábrá látható két sajátvektor merőleges egmásra, amiről a sükséges skaláris sorás elvégésével is meggőődhetük: 0 Általába is iga, hog eg simmetrikus teor külöböő sajátértékeihe tartoó sajátvektorok midig merőlegesek egmásra Eek bioításáho a sajátvektorokat defiiáló egeletet sorouk be balról eg másik sajátvektorral: A λ Kihasálva a teor simmetriáját, at kapjuk, hog: A λ λ Átredeve: ( λ λ) 0, amiből követkeik a két sajátvektor merőlegessége, hise midkettő agsága külöböik ullától, a két sajátérték pedig a feltétel serit külöböő
8 Differeciálegeletek Differeciálegelet: Fotosabb típusok: Kööséges differeciálegelet: Parciális differeciálegelet: ola matematikai egelet, amel eg vag több váltoós ismeretle függvé és deriváltjai köötti kapcsolatot írja le kööséges differeciálegeletek, parciális differeciálegeletek, (stochastikus differeciálegeletek, késleltetett differeciálegeletek) ola matematikai egelet, amel eg függetle váltoójú függvé és deriváltjai köötti össefüggést adja meg d Pl m F, ahol t ( ) (Newto II törvée) dt ola matematikai egelet, amel a ismeretle többváltoós függvé és a parciális deriváltjai köötti kapcsolatot írja le Pl ( ) u, 8 Kööséges lieáris differeciálegeletek 0; A kööséges -edredű lieáris differeciálegelet általáos alakja: ( ) ( ) ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) ( ) 0, és a megoldás u(,) f ( ) A A A A R ahol: - a A( ), A ( ),, A( ), A0( ), R( ) adott, foltoos függvéek, - a R( ) függvé a úgeveett avarótag, ( ) ( ) d ( ) d d - a,,, a ismeretle ( ) függvé deriváltjai ( ) d d d R, akkor a differeciálegelet homogé, ellekeő esetbe ihomogé Ha ( ) 0 A jobb áttekités kedvéért a (9) bal oldalát a követkeő módo sokás jelöli: ( ) ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) L A A A A 0 A feti jelölés segítségével a -ed redű lieáris differeciálegelet a alábbi módo írható: ( ) ( ) L R A -ed redű lieáris differeciálegeletekre voatkoó főbb általáos tételek: a) A homogé differeciálegeletekre voatkoó általáos tételek: Ha a ( ) eg homogé differeciálegelet megoldása, akkor C ( ) homogé differeciálegelet megoldása, ahol C tetsőleges álladó is e 9
Ha ( ), ( ) differeciálegeletek ( ) ( ) eg homogé differeciálegelet megoldásai, akkor eek a + is megoldása A és alapjá követkeik: ha valamel homogé differeciálegelet megoldásai a ( ), ( ),, m ( ) függvéek, akkor a C( ) + C( ) + Cmm( ) is e differeciálegelet megoldása függvéek valamel itervallumba egmástól lieárisa + + 0 egelet (,ahol d, d,, d álladók) csak d d d 0 eseté teljesül a itervallum tetsőleges sámára A -edredű homogé lieáris differeciálegelet ( ), ( ),, ( ) megoldásai alapredsert alkotak a differeciálegelet megoldási itervallumába, ha itt eek egmástól lieárisa függetleek 4 A ( ), ( ),, ( ) függetleek, ha itt a d( ) d( ) d ( ) A lieáris függetleségre eg elegedő feltételt solgáltat e függvéek Wroski-féle determiása: ( ) W det ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ha a megoldási itervallumba W( ) 0, akkor a ( ) ( ) ( ),,, függvéek egmástól itt lieárisa függetleek A fetiek alapjá belátható, hog a homogé lieáris differeciálegelet megoldásáak problémája eg alapredser meghatároásáak problémáját jeleti E léegese egserűbb feladat a általáos esethe visoítva, ha a differeciálegelet álladó egütthatójú: A ( ) a ( i 0,,,, ) i i 5 Ha eg homogé differeciálegeletek a u( ) + iv( ) alakú komple függvé megoldása, akkor eek valós, illetve képetes rése is megoldás 6 Ha valamel -ed redű homogé differeciálegelet egik p ( ) partikuláris megoldását ismerjük, amelre éve p ( ) 0 a megoldási itervallumba, akkor a differeciálegelet általáos megoldását léegébe eg elsőredű és eg ( ) -ed redű homogé differeciálegelet megoldására veethetjük vissa a alább résleteedő módo (e a ú d Alembert-féle redukciós eljárás) A ( ) függvét vegük fel ( ) ( ) alakba, ahol ( ) egelőre ismeretle, de akárhásor differeciálható függvé Vegük most tekitetbe, hog p 0
p + p, + +, p p p ( ) ( ) ( ) ( ) p + p + p + + p Ha eeket a L ( ) 0 differeciálegeletbe helettesítjük, akkor a követkeőt kapjuk: ( ) ( ) A( ) p + A( ) p + A ( ) p + + ( ) ( ) + A( ) p A ( ) p A( ) p A0( ) + + + + p 0 Ha most a u helettesítést végeük (e les a említett első redű differeciálegelet), akkor a előbbi differeciálegelet a u ( ) sámára eg ( ) -ed redű lieáris homogé differeciálegelet, mivel a egütthatója érus a feltevés miatt (a a homogé lieáris differeciálegelet egik megoldása!) Lege ( ) ( ) ( ) ( ) a keletkeett ( ) p u u, u u,, u u -ed redű differeciálegelet alapredsere Ekkor a kiidulási -ed redű differeciálegelet lapredsere a követkeő les: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; u d; u d; ; u d p p p p b) A ihomogé differeciálegeletekre voatkoó általáos tételek: Ha a ihomogé differeciálegeletbe a R( ) helébe érust helettesítük, akkor megkapjuk a adott ihomogé differeciálegelethe tartoó homogé differeciálegeletet Ha eek ismerjük a h, ált( ) általáos megoldását, továbbá ismerjük a ihomogé differeciálegelet eg ih, p ( ) partikuláris megoldását, akkor a ihomogé egelet általáos megoldása: h, ált( ) + ih, p( ) Ha a L ( ) R ( ), illetve a L ( ) R ( ) egeletek ( ) ( ) megoldása, akkor a L ( ) R( ) ir( ) ( ) + i ( ) megoldása, és eek a megfordítása is iga, illetve + egeletek a Ha a adott ihomogé differeciálegelethe tartoó homogé differeciálegelet egik alapredserét ismerjük, akkor ebbe a esetbe a alább résleteedő módo (a álladók variálásáak módsere, Lagrage dolgota ki) a ihomogé differeciálegelet általáos megoldása meghatároható ( ) ( ) A + A + + A + A R Elősör is írjuk a ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )
differeciálegeletet a A ( ) függvéel való ostás segítségével ú kaoikus alakba: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) + a + + a + a r, Ai ( ) R( ) ai ( ), ( i 0,,,, ), r( ) A( ) A( ) A r( ) helébe érust írva, megkapjuk a ihomogé differeciálegelethe tartoó homogé differeciálegeletet Ha eek egik ( ) ( ) ( ) alapredsere ismeretes, akkor,,, a homogé differeciálegeletet általáos megoldása ismert módo C+ C+ + C alakba írható fel, ahol a C, C,, C álladók Tegük fel, hog eek em álladók, haem a függvéei: ( ) ( ) ( ) C C, C C,, C C és feladatul a követkeőt tűük ki: eeket a ismeretle függvéeket úg kell meghatárouk, hog a kaoikus alakba való helettesítésük utá a ihomogé differeciálegelet általáos megoldását erjük Ebből a célból elősör is feltessük, hog a Ci ( ) függvéek ( ) ( differeciálhatók, aa C ) i ( ) mit foltoos függvé léteik Vegük tehát a C ( ) ( ) + C ( ) ( ) + + C ( ) ( ) -ser foltoosa függvét, ahol a későbbiekbe a váltoó feltütetését a rövidség kedvéért elhagjuk A ismeretle C függvéeket több feltételeés segítségével határouk meg i ( ) Elősör is feltessük, hog a megoldási itervallumba C + C + + C 0 Ekkor kapjuk a megoldás differeciálásával: C + C + + C Hasolóa a C + C + + C 0 feltételeés révé a C + C + + C egeletet erjük ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p Általáosa: C + C + + C, ha p p p C + C + + C 0 ( p< ) ( ) A függvét úg kapjuk, hog a előő össefüggésbe a p esetet vessük és differeciáljuk: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + C C C C C C A íg kisámított ekkor a ( ),,,, értékeket helettesítjük be a differeciálegeletbe, ( ) ( ) ( ) ( ) C + C + + C r
egeletet kapjuk, ha még tekitetbe vessük, hog,,, a megfelelő homogé differeciálegeletet alapredsere Íg a ismeretle függvéek C, C,, C differeciálháadosaira éve a feltételeések egesítésével a C + C + + C 0, C + C + + C 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C + C + + C 0, C + C + + C r ihomogé,lieáris, algebrai egeletredsert kapjuk A egeletredser determiása, a ( ) ( ) ( ),,, függvéek Wroski-féle determiása, a megoldási itervallumba em érus, mivel e függvéek alapredsert alkotak Íg a egeletredserből a C, C,, C ismeretleek kisámíthatók Eeket itegrálva, megkapjuk a C, C,, C függvéeket (amelekbe még eg-eg itegrációs álladó is serepeli fog), és íg eeket a megoldásbaba helettesítve, megkapjuk a ihomogé differeciálegeletet általáos megoldását c) Példák álladó egütthatós lieáris differeciálegeletek megoldására: példa: Adott eg másodredű álladó egütthatós kööséges lieáris differeciálegelet valamit a 0 pereme a függvé és deriváltjáak értéke: '' 4, 0 ( ), '0 ( ) 4 Feladat a differeciál egelet megoldásáak előállítása Megoldás: ( ) ( ) ( ) h + p Homogé megoldás: homogé differeciálegelet: " p 4p 0, megoldás keresése λ ( λ 4 e ) 0 0 0 karakteristikus egelet λ 4 0; λ 4 ; λ, ± C e + C e homogé általáos megoldás: ( ) h A alapmegoldások (báisok) tetsőleges lieáris kombiációja is megoldás: e + e e e h( ) A + A ch() sh() aa ( ) Ach( ) A sh( ) + h Partikuláris megoldás: p ( ) C (a avaró függvé alakjába keressük) ( ) h e λ
p '' 4, behelettesítés utá: 4C p ( ) 4 Peremfeltételek figelembevétele: ( ) ( ) ( ) 9 A + 8 8 + h p 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( 0) 4 C 4 0 Ach0 + Ash0 0 4 0 A ch( 0) A ' 0 4 Ash 0 + Ach 0 4 0 4 A ch( 0) 4 ( ) ( ) ( ) A megoldás: ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) példa: h p 9 ch + sh 8 4 Adott eg másodredű álladó egütthatós kööséges lieáris differeciálegelet valamit a 0 pereme a függvé és deriváltjáak értéke: '' + 4, 0 ( ), '0 ( ) 4 Feladat a differeciálegelet megoldásáak előállítása Megoldás: ( ) ( ) ( ) + h p Homogé megoldás: homogé differeciálegelet: " h + 4h 0, megoldás keresése h e λ λ ( λ + 4 e ) 0 0 0 karakteristikus egelet λ + 4 0; λ 4 ; λ, ± i i i homogé általáos megoldás h( ) Ce + Ce, i i ahol e cos( ) + isi( ) ; e cos( ) isi( ), aa h( ) C cos( ) + isi( ) + C cos ( ) isi( ) A alapmegoldások (báisok) tetsőleges lieáris kombiáció is megoldás: 4
Behelettesítés utá: ( ) A cos( ) A si( ) h i i i i e + e e e h( ) + A A cos( ) si( ) + Partikuláris megoldás: p'' 4p Behelettesítés utá 4C + ; ( ) p C (alakba keressük) C p 4 4 ; ( ) Peremfeltételek figelembevétele: ( ) ( ) ( ) + h 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( 0) 4 p 0 Acos0 + Asi0 + 0 4 0 A cos( 0) A ' 0 4 Asi 0 + Acos 0 + 4 0 4 A cos( 0) + A + 4 4 8 h + p cos( ) + si( ) + 8 4 ( ) ( ) ( ) A megoldás: ( ) ( ) ( ) példa: Adott eg kedeti érték feladat differeciálegelete és a t0 időpotba a függvéérték és első deriváltja: + 9 cost 0 ; 0 és ( ) ( ) Feladat a adott kedeti érték feladat megoldásáak előállítása Megoldás: ( ) ( t) + ( t) h p Homogé megoldás: t homogé differeciálegelet: h + 9h 0, megoldás keresése h e λ λt ( λ + 9 ) e 0 0 0 karakteristikus egelet λ + 9 0; λ 9 ; λ, ± 9 ± i it it homogé általáos megoldás h( t) Ce + Ce, it it ahol e cos ( t ) + i si( t ) ; e cos ( t) i si( t), aa h( ) C cos ( t ) + i si( t) + C cos ( t) i si( t ) A alapmegoldások (báisok) tetsőleges lieáris kombiáció is megoldás: 5
Behelettesítés utá: ( ) A cos( t) A si( t) it it it it e + e e e h( ) + A A cos( t ) si( t ) + h ; ( ) Partikuláris megoldás: p + 4p cost p C cos t (alakba keressük) a deriváltak: p ( ) Csit; p ( ) C 4cost behelettesítése utá: 4C cos t + 9C cos t cos t, 5C ; C ; p ( ) cost 5 5 Peremfeltételek figelembevétele: ( t) ( t) ( t) + h 0 ( ) 0 ( ) Acos0 ( ) + Asi0 ( ) + cos0 ( ) ' ( 0) 4 p 5 0 A cos( 0) + 5 A 5 5 0 Asi0 + Acos0 cos0 5 0 A cos( 0), A t h t + p t cos( t ) + si( t ) + cos t 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) A megoldás: () ( ) ( ) 8 A Euler típusú differeciálegelet A váltoó egütthatójú -edredű lieáris differeciálegeletek köül visolag egserűe megoldható a Euler típusú, amelél a egütthatók a követkeő hatváfüggvéek: i ( ) ( ) A a i 0,,,, ; a álladó i i i Íg a Euler típusú differeciálegelet általáos alakja: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + 0 e a a a a R a) A homogé differeciálegeletet megoldása: A alapredserhe a r feltételeéssel jutuk p r p ( r p) ( ) ( ) ( ) ( ) Ugais r r r p révé at kapjuk, hog r r e g r ( ) ( ) 0, 6
ahol g( r) ar( r ) r ( ) + + ar + a a Euler-féle differeciálegelet ú 0 karakteristikus poliomja A 0 eset kiárásával a g ( r ) 0 egelet (a ú karakteristikus egelet) alapjá kapuk alapredsert a alább résleteedő módo Ha a karakteristikus egeletek egseres gökei vaak jelölje eeket r, r,, r, akkor a,,, függvéek alkotják a differeciálegelet alapredserét Ha aoba többsörös gökök is vaak, akkor alapredsert a követkeő előírás serit kapuk: Lege pl a r rk sk -soros gök, akkor a r rk gökek a alapredserbe a követ- rk rk rk keő függvéek fogak megfeleli: ( ) sk, l,, l Termésetese, mid a egseres, mid a többsörös gökél előfordulhat, hog eek köött komple sámok is vaak Ekkor is lehet aoba midig valós alapredsert találi A feti eljárásál a Wroski-féle determiás segítségével lehet megmutati, hog a megadott függvéek valóba alapredsert alkotak b) A ihomogé differeciálegelet általáos megoldása a már résleteett módo erhető c) Példák homogé Euler típusú differeciálegelet megoldására: példa: Adott: 5 0 r Megoldás: Itt a feltételeéssel at kapjuk, hog a karakteristikus poliom: g ( r) r 4r 5 0 A g ( r ) 0 karakteristikus egelet gökei: r 5, r 5 Íg alapredsert a, függvéek alkotak, és a adott homogé differeciálegelet általáos megoldása: C + C 5 A C, C egütthatók peremfeltételekből határohatók meg példa: 7