I. Becsüljük kifejezéseket! Kidolgozott feldtok: Soroztok htárértéke. Számológép hszált élkül djuk becslést z lábbi kifejezések értékére h = 000 000! Hszáljuk közbe gyságredi becsléseket számláló és evező értékére! Elleőrizzük becslésüket számológép hszáltávl! d 0 9 6 b e 7 c f 9 + 0 értéke körülbelül 000 000 értéke körülbelül 000 000 tehát tört értéke körülbelül. Számológéppel számolv 0000-t kpuk eredméyül. b értékét vizsgálv zt tpsztljuk hogy -hez képest értéke kb. k milliomod része pedig elhygolhtó kicsi ezekhez képest így kifejezés értéke gyságredileg megegyezik értékével zz 0 -el. A evezőbe levő kifejezés hsoló becslésével k értéke gyságredileg zz géppel kiszámolv 000007 kpott eredméy. c A b feldthoz hsoló meggodolássl számláló értéke léyegébe 8 0 evező értéke pedig gyságredileg körülbelül 6 0 d A számláló gyságredileg -el zz Számológéppel számolv 0. Számológéppel számolv 999998. -tel zz. A tört értéke tehát körülbelül. Számoló- zz gyságredileg 0 -el egyezik meg. A tört értéke tehát körülbelül - 99999 0 értéket kpuk. e A számlálób égyzetgyök ltt levő kifejezés léyegébe zz gyságredileg 0 tehát tört értéke 0 -el zoos evező pedig gyságredileg 0 -tel zz vgyis körülbelül 0. 0 -el egyezik meg eek égyzetgyöke körülbelül. A evezőbe is léyegébe eyit láthtuk így tört értéke körülbelül. Számológéppel számolv 00000-t kpuk. f A számlálób égyzetgyök ltt levő kifejezés léyegébe meg eek égyzetgyöke körülbelül 0 6 -tel zz 0 -el egyezik 6 0. A evezőbe égyzetgyök ltti kifejezés léyegé- 6 be zz 0 eek égyzetgyöke 000. A tört értéke tehát körülbelül 000. Számológéppel számolv 00000-et kpuk.
. Az. kidolgozott feldtb láttuk hogy kifejezések viselkedését jól tudjuk vizsgáli leggyobb gyságredű tggl. Most djuk meg midegyik tgot domiás tg többszörösekét és becsüljük meg eek segítségével z. feldtb szereplő kifejezések értékét! 0 b 7 c 9 d 6 9 e f Az előző megoldásb láthttuk hogy számlálób és evezőbe leggyobb gyságredű ( domiás tg z írjuk fel tehát átlkítv törtet úgy hogy -hez viszoyítsuk midet: 0 0 A számláló lig tér el -től evező szité tehát háydos értéke léyegébe. b A számláló és evező domiás tgj egyrát tehát tört átlkítás számlálób és evezőbe kiemelésével célszerű: 7 7 A számláló lig tér el -tól evező lig tér el -től tehát tört értéke körülbelül. c A számláló domiás tgj evezőé tehát számlálóból evezőből kiemelése célszerű: 9 9 A megmrdt tört értéke léyegébe ezért kifejezés értéke körülbelül zz 000 000. d Az előzőekhez hsoló átlkítássl tört értéke 6 9 6 9
A második tört értéke léyegébe tehát kifejezés értéke körülbelül közelítőleg 0. vgyis 0 mi evezőé így tört cél- e A számlálób domiás tg gyök ltti kifejezést tekitve szerű átlkítás: A számlálób gyök ltti kifejezés léyegébe tehát égyzetgyöke is léyegébe evezőbe körülbelül áll tehát tört értéke jó közelítéssel. Megjegyzés: A megoldásb felhszáltuk z lábbi téyt: H egy pozitív kifejezés értéke körülbelül kkor égyzetgyökéek értéke körülbelül. Ez bizoyíthtó is de itt most em részletezzük csk elfogdjuk és további becslésekbe hszáli fogjuk kifejezések égyzetgyökére votkozó megfotolást is. f A égyzetgyök ltti kifejezéseket tekitve számlálób domiás tg z pedig z így tört célszerű átlkítás: evezőbe Tehát kifejezés értéke körülbelül 000. Gykorló feldtok:. Htározzuk meg becslések segítségével z lábbi kifejezések közelítő értékét megdott értékek eseté! b c d 6 0 70 7 0 6 7 0000 0000 700000 0000
e 9 0. Keressük felső becslést z lábbi kifejezések bszolút értékére megdott érték eseté figyelembe véve hogy cos és si. si(00 0 7 0000 b 6 cos( 0000 Az itt és továbbikb szereplő gykorló feldtok megoldás dokumetum végé tlálhtó. II. Soroztok vizsgált: korlátosság és mootoitás A htárértékszámításb sokszor felhszáljuk soroztok két lpvető tuljdoságát korlátosságot és mootoitást. Emlékeztetőül defiíciók: Def. Az ( eseté sorozt felülről korlátos h létezik oly K vlós szám hogy mide természetes szám K [ekkor K sorozt egy felső korlátj]; lulról korlátos h létezik oly k vlós szám hogy mide természetes szám eseté korlátos h lulról és felülről korlátos. k [ekkor k sorozt egy lsó korlátj]. Az ( sorozt Megjegyzés: A feti defiícióvl ekvivles defiíció korlátosságr: z ( sorozt korlátos h létezik oly K > 0 vlós szám hogy mide természetes szám eseté Példák: K.. Az sorozt korlátos mert mide -re feáll.. Az 7 sorozt lulról korlátos mert például 7 7 mide -re de felülről em korlátos mert h K rögzített vlós szám kkor K 7 h K 7.. Az ( sorozt sem lulról sem felülről em korlátos. Azt hogy egy sorozt felülről vgy lulról em korlátos legköyebbe defiíciób megfoglmzott állítás tgdásák igzolásávl mutthtjuk meg:
Az ( melyre sorozt felülről em korlátos h mide K vlós számhoz v oly természetes szám K. (Ezt z állítást yilvá elég csk pozitív K értékek eseté megmutti. Az ( K sorozt lulról em korlátos h mide K vlós számhoz v oly természetes szám melyre. (Ezt z állítást yilvá elég csk egtív K értékek eseté megmutti. Def. Az ( sorozt mooto övekvő h bármely N eseté. Def. Az ( sorozt mooto csökkeő h bármely N eseté. H z egyelőtleségekbe szigorú egyelőtleség áll [z egyelőséget em egedjük meg] kkor szigorú mooto övekvő illetve szigorú mooto csökkeő soroztról beszélük. Az előző tuljdoságok vlmelyikével redelkező soroztokt mooto soroztokk evezzük. Példák:. Az sorozt szigorú mooto csökkeő mert mitt teljesül.. Az sorozt szigorú mooto övekvő mert egyelőtleség mitt. fet említett. Az ( sorozt yilvávló sem mooto övekvő sem mooto csökkeő. Megjegyzés: Előfordulht hogy egy sorozt csk vlmely tgjától lesz mooto. Például z sorozt első éháy tgj: 0... Az f ( x x x függvéy tuljdoságik ismeretébe tudjuk hogy z ( sorozt második tgjától kezdve szigorú mooto ő. Az ilye típusú soroztokt tuljdoságik lpjá bizoyos tekitetbe besorolhtjuk mooto soroztok közé. A korlátosság és mootoitás igzolásához először is el kell döteük hogy sorozt várhtó redelkezik-e ezekkel tuljdoságokkl. Ezt meg kell sejtei erre lklms módszer z első éháy tg kiszámítás és ezek viszoy lpjá tuduk vlmilye elképzelést kilkíti sorozt viselkedéséről. A megfoglmzott állítás bizoyítás em midig egyszerű v mikor em is lehetséges egyszerű módszerekkel. (Az itt bemuttott példák esetébe tuljdoság igzolás elvégezhető.
6 Kidolgozott feldt:. Vizsgáljuk meg mootoitás és korlátosság szempotjából z lábbi soroztokt! [Azz korlátoske h em kkor lulról vgy felülről korlátosk-e; mooto övők illetve csökkeők-e?] b c ( d ( e cos Korlátosság: számlálót és evezőt megvizsgálv zt láthtjuk hogy midig teljesül. Írjuk fel sorozt első három tgját: továbbá tört értéke yilvá pozitív ezért teljesül hogy 0 ezért sorozt (lulról és felülről is korlátos. Mootoitás: A sorozt első három tgj lpjá z sejtésük lkulht ki hogy sorozt szigorú mooto csökkeő. Igzoljuk ezt sejtést! A megfelelő állítás: ( (. Alkítsuk át z egyelőtleséget! zárójeleket kibotv és redezve 0 mi yilvá teljesül. Tehát sorozt szigorú mooto csökkeő. b Korlátosság: Ngyságredi becslést lklmzhtuk korább látottk lpjá. A számláló gyságredileg evező gyságredileg háydosuk mi kármilye gy lehet így sejtés z hogy sorozt felülről em korlátos. Próbáljuk meg ezt igzoli! Ehhez végezzük átlkítást felhszálv számláló és evező felismerhető kpcsoltát! ( Legye 0 K. Oly értékeket keresük melyre K. Hszáljuk fel hogy. Ekkor K kkor teljesül h K. Tehát sorozt felülről em korlátos. Mivel 0 yilvávló így sorozt lulról korlátos.
Mootoitás: A sorozt első három tgj. Tekitve hogy sorozt felülről em korlátos ezért sejtésük z hogy sorozt szigorú mooto övekvő. Azt kell tehát igzoluk hogy mide -re ( (. Szorozzuk meg z egyelőtlesé- get evezőkkel és redezzük 0-r! szigorú mooto övekvő. 0 mi yilvá igz tehát sorozt vlób c Korlátosság: A páros sorszámú tgok pozitívk ezekre kis átlkítássl láthtó hogy 0. A pártl sorszámú tgok egtívk ezekre pozitív tgokr kpott egyelőtleséget -gyel megszorozv 0 teljesül. Ebből tehát ( zz sorozt korlátos. Megjegyzés: Alklmzhtjuk sorozt tgjik bszolút értékére votkozó defiíciót is kor- látosság megállpításához. Ebbe z esetbe z ( egyelőtle- ségsorozt igzolj korlátosság téyét. Mootoitás: A tgok felváltv pozitív és egtív előjelűek ezért sorozt sem mooto övekvő sem mooto csökkeő (oszcillál. d Korlátosság: A sorozt két részsoroztr bothtó. H páros kkor h pártl kkor. Legye K 0. Köye láthtó hogy h K és páros kkor K. H pártl kkor célszerűbb először ( -szeresét vizsgáli. ( h zz. Legye K 0 ekkor K eseté K teljesül. Tehát sorozt sem lulról sem felülről em korlátos. Mootoitás: A sorozt tgji második tgtól kezdve felváltv pozitív illetve egtív előjelűek ezért sorozt em mooto övekvő és em mooto csökkeő. e Korlátosság: Figyelembe véve hogy cos zt kpjuk hogy cos Mivel z kifejezés számlálój em egtív evezője pozitív és számláló kisebb mit evező ezért elletettjére pedig ebből következik hogy. A fetieket tekitve tehát 7
cos zz sorozt korlátos. Megjegyzés: Itt is lklmzhtjuk sorozt bszolút értékére votkozó defiíciót korlátosság megállpításához. Ebbe z esetbe felhszálv hogy 0 z cos egyelőtleség muttj korlátosság téyét. Mootoitás: cos értékétől függőe felváltv és értékeket vesz fel így sorozt tgjik előjele váltkozik emitt em mooto övekvő és em mooto csökkeő. Gykorló feldtok:. Vizsgáljuk meg mootoitás és korlátosság szempotjából z lábbi soroztokt! b c d ( e ( f si III. Soroztok htárértéke (kovergeci A sorozt htárértékéek defiíciój több egymássl ekvivles formáb modhtó ki. A jele tárgylásb z lábbi defiíció hszálhtó gykorlti szemmel legjobb: Def. Az számot z ( oly N természetes szám hogy h sorozt htárértékéek evezzük h mide 0 vlós számhoz tlálhtó N kkor. A feti defiíció z lábbi kétlépéses formáb is kimodhtó: Def. Az ( sorozt ullsorozt h mide 0 számhoz tlálhtó oly N szám hogy h N kkor. Def. Az ( sorozt htárértéke h z ( sorozt ullsorozt. Megjegyzés: Ez megközelítés soroztok htárértéke és soroztok között végzett műveletek közötti összefüggésekről szóló tételek bizoyítását egyszerűbb teszi. Elég ugyis ullsoroztokr bizoyíti megfelelő összefüggéseket (ullsoroztok összege külöbsége szorzt és tetszőleges számszoros is ullsorozt ezekből viszoylg egyszerűe következek tetszőleges koverges soroztokr votkozó áltláos tételek. 8
Természetese z eredeti defiíciót hszálv kár ullsoroztok bevezetése élkül is tlálhtuk htárértéket becslésekkel és megfelelő küszöbidexet z egyelőtleség vizsgáltávl. A sorozt htárértékéek létezését áltláb tetszőlegese dott értékhez keresett küszöbidexszel tudjuk igzoli. Ez közvetle út soroztok htárértéke és soroztokkl végzett műveletek közötti összefüggések segítségével későbbiekbe leegyszerűsíthető hivtkozott tételek lpjá htárérték létezéséek téyét és htárértéket egyszerre kpjuk meg. 0 Soroztok kovergeciáják megállpításához és htárérték meghtározásához gykorltb felhszáljuk soroztok htárértéke és soroztokkl végzett műveletek közti kpcsoltot. A kpcsoltokt z lábbi tételekbe foglmzhtjuk meg. Tétel: H R és htárértéke. és z ( sorozt koverges és htárértéke z szám kkor ( is koverges Tétel: H z kkor z ( ( b sorozt koverges és htárértéke sorozt is koverges és htárértéke + b. ( b sorozt koverges és htárértéke b Tétel: H z ( sorozt koverges és htárértéke kkor z b sorozt is koverges és htárértéke b. ( ( b sorozt koverges és htárértéke b Tétel: H z ( és ( b is koverges és htárértéke b. soroztok kovergesek és htárértékük illetve b kkor z sorozt ( b Megjegyzés: A tétel egyszerű következméye hogy h z ( k sorozt is koverges és htárértéke k. ( sorozt koverges kkor k N eseté Tétel: H ( és ( b sorozt is koverges és htárértéke koverges soroztok htárértékük illetve b továbbá b. b 0 kkor z b Megjegyzés: A b b 0 feltételt trtlmzz zt feltételt is hogy v oly 0 hogy 0 eseté b 0. 9
Tétel: H emegtív tgú sorozt is koverges és htárértéke. ( sorozt koverges és htárértéke kkor Megjegyzések:. A feti feltételek teljesülése mellett szükségszerű hogy 0 feálljo.. H htárértéke pozitív kkor sorozt tgji vlmely idextől kezdve már biztos mid pozitívk. Ezért sorozt véges sok tgják kivételével sorozt értelmezhető. Ezzel feti ( tételbe megfoglmzott feltételek fiomíthtók.. Hsoló tétel modhtó ki k sorozt kovergeciájár itt z soroztr modott emegtív tgú feltétel pártl k eseté elhgyhtó. A továbbikb éháy oly hszos tételre hívjuk fel figyelmet melyek soroztok htárértékéek megállpításár vgy létezéséek bizoyításár eredméyese lklmzhtók. Tétel: Mide koverges sorozt korlátos. A koverges soroztok eze tuljdoságát rr tudjuk felhszáli hogy h egy soroztról megállpíthtó hogy em korlátos kkor em is lehet koverges. Tétel: Az ( sorozt koverges és htárértéke kkor és csk kkor h bármely részsorozt koverges és htárértéke. Tétel: [Redőr-elv] H dott három sorozt ( ( b ( c melyre c és b c vlmely küszöbidextől kezdve kkor ( b is koverges és htárértéke. Megjegyzés: Az elevezés bból hsoltból szármzik hogy h két redőr közrefog egy bűözőt két redőr z őrszobár trt és bűöző midig közöttük mrd kkor bűöző is z őrszobár trt. Ez tuljdoság kkor v gy segítségükre mikor egy soroztot már ismert htárértékű soroztokkl tuduk lulról illetve felülről közrefogi így vizsgált sorozt kovergeciáj és htárértéke megállpíthtó. Tétel: H q q R kkor z q sorozt koverges és htárértéke 0. H q kkor z fejezetbe tárgyljuk. q sorozt htárértéke yilvávló létezik és értéke. A q > esetet IV. 0
Péld: Koverges-e z! sorozt? Nyilvávló hogy 0 < <!. Ebből következik hogy 0 0 0 ezért! koverges és 0-hoz trt. 0!. A redőr-elv értelmébe mivel Tétel: Korlátos mooto sorozt koverges. Tétel: Legyeek z ( és ( b kkor és csk kkor egyezik meg h z soroztok kovergesek. Ekkor z ( b sorozt 0-hoz trt. ( és ( b soroztok htárértéke Tétel: Legyeek z ( b ( és ( b sorozt tgjir teljesüljö hogy b 0. Ekkor z csk kkor egyezik meg h z b soroztok kovergesek htárértékük legye 0-től külöböző és sorozt -hez trt. ( és ( b soroztok htárértéke kkor és Kidolgozott feldtok:. Állpítsuk meg kovergeci defiíciój lpjá hogy z lábbi soroztok kovergesek-e és h ige djuk meg htárértéküket! Adjuk meg tetszőleges -hoz trtozó küszöbidexet is! b c Alklmzzuk először gyságredi becslést! A számláló léyegébe evező is tehát tört értéke léyegébe. Azt szereték tehát igzoli hogy sorozt htárértéke. Alklmzzuk defiíciót legye dott 0. Szükséges hogy tláljuk oly küszöbidexet melyél gyobb -ek eseté. Alkítsuk át vizsgált kifejezést: (
Ez potos kkor teljesül h. H dott ε-hoz legkisebb megfelelő idexet keressük melyél gyobb idexektől kezdve z egyelőtleség teljesül kkor figyelembe kell veük hogy em feltétleül pozitív egész szám. A legkisebb megfelelő idex (küszöbi- dex ( egészrész h > 0 és 0 h 0 (z utóbbi esetbe sorozt összes tgj teljesíti vizsgált egyelőtleséget. Tehát sorozt koverges és htárértéke. Megjegyzés: A továbbikb em fogjuk ilye részletességgel tglli legkisebb megfelelő idex kérdését meyibe z értékére dott lsó becslés em pozitív számot jelet feti godoltmeettel köye megtlálhtjuk z ehhez közeli legkisebb pozitív egész idexet. b Alklmzzuk gyságredi becslést! A számláló léyegébe evező tehát tört értéke léyegébe. Azt szereték tehát igzoli hogy sorozt htárértéke. Alklmzzuk defiíciót legye dott. Szükséges hogy tláljuk oly küszöbidexet melyél gyobb -ek eseté 0. A kifejezést átlkítv: A kpott tört felülről becsülhető számláló övelésével és evező csökketésével kpott törttel. Végezzük el z átlkítást mjd keressük gyobb értékhez megfelelő küszöbidexet! Ez biztos teljesül h c Ngyságredi becsléssel tört értéke léyegébe.. Tehát sorozt koverges és htárértéke. tehát hogy htárérték 0! Becsüljük törtet felülről! sorozt koverges és htárértéke 0. mi gy -ekre léyegébe 0. Igzoljuk 0 h. Tehát
. Állpítsuk meg soroztok htárértéke és soroztokkl végzett műveletek kpcsoltár votkozó tételek illetve redőr-elv segítségével z lábbi soroztok htárértékét! b c d e ( f... A számláló és evező domiás tgj egyrát. Alkítsuk át törtet emeljük ki számlálóból és evezőből -t! A számláló evező htárértéke így soroztok háydosár votkozó tétel mitt z eredeti soroztk v htárértéke mégpedig b A számláló és evező domiás tgj egyrát. Alkítsuk át törtet emeljük ki számlálóból és evezőből -et! zz. A kpott tört számlálójáb sorozt összege áll melyek htárértéke redre 0 0 tehát számláló htárértéke. A evezőbe két sorozt összege áll melyek htárértéke redre 0 tehát evező htárértéke. Az eredeti sorozt htárértéke tehát létezik és Megjegyzés: Itt felhszáltuk hogy z k zz. soroztk és tetszőleges kostsszorosák htárértéke 0. Ez pl. redőr-elv illetve sorozt számszorosák htárértékére votkozó tétel segítségével egyszerűe igzolhtó felhszálv hogy z c A számláló domiás tgj evezőé -öt és egyszerűsítsük törtet! Az lábbi eredméyt kpjuk: sorozt htárértéke 0.. Emeljük ki számlálóból és evezőből egyrát
A számlálób levő tgok külö-külö 0-hoz trtk így összegük is evezőbe levő tgok htárértéke redre 0 így evező htárértéke tört ( háydos htárértéke tehát 0 0. 0 d so- 0. Mivel z sorozt htárértéke 0 így rozt is 0-hoz trt tehát redőr-elv értelmébe vizsgált sorozt htárértéke is 0. e mert. Mivel z ( sorozt koverges és htárértéke 0 ezért redőr-elv mitt vizsgált sorozt koverges és htárértéke 0. f A sorozt -edik tgját jelető összeg mide tgját lulról becsülhetjük z utolsó tggl illetve felülről becsülhetjük z első tggl. Eek megfelelőe z lábbi egyelőtleség igz:... A két redőr-sorozt koverges mert és ezért vizsgált sorozt is koverges és htárértéke.. Legye q hol q 0. Állpítsuk meg hogy z ( ige djuk meg htárértékét! Botsuk fel sorozt vizsgáltát soroztk v-e htárértéke és h q q és q esetekre! q. Ekkor sorozt mooto csökkeő mert q mitt q q ho (+-edik gyök voás utá z q + q. Másrészt sorozt lulról korlátos mert q -ből -edik gyök voásávl kpjuk hogy q. Tehát sorozt koverges htárértékét jelöljük -vl. Tudjuk hogy sorozt ( részsorozták htárértéke megegyezik z ( sorozt htár- értékével de mivel z q q Másrészt kpcsolt feáll ezért lim lim. lim mitt és koverges soroztok szorztár votkozó tételt felhszálv lim lim lim. Tehát ho 0 vgy. Mivel mide -re q ezért z 0 eset em jöhet szób tehát sorozt htárértéke.
b c q. Ekkor fetiekhez hsoló beláthtó hogy z felülről korlátos tehát koverges és htárértéke. q ( sorozt szigorú mooto ő és. Ekkor sorozt yilvá koverges és htárértéke mert sorozt mide tgj. Módszerek összefogllás Soroztok htárértékéek meghtározáskor z lábbi lépések szerit hldhtuk:. Becsüljük meg kifejezésbe szereplő tgok gyságviszoyát eek lpjá djuk becslést kifejezések értékére h változó értéke gy! A becslésél sokszor lehetük gyvolúk zz gyságredi viszoyok figyelembe vételével elhygolhtuk bizoyos kifejezéseket vgy bizoyos tgokt. Vigyázi kell zob mert sokszor túlzott gyvolúság már em d megfelelő eredméyt! Ebbe z esetbe becsléseket fiomíti kell és úgy áltláb célhoz érük.. H küszöbidexet szereték keresi htárérték bizoyításához kkor készítsük becslés lpjá kpott feltételezett htárérték segítségével soroztból ullsoroztot! A ullsorozthoz köyebbe tuduk küszöbidexet keresi.. Godoljuk végig soroztok htárértéke és soroztok között végzett műveletek közti összefüggéseket! Alklmzzuk soroztok htárértéke és műveletek közti kpcsoltokt! Sok egyszerű sorozt eseté hivtkozott tételek lklmzás elegedő hhoz hogy sorozt htárértékét megállpítsuk. Vk zob oly kritikus htárérték-kombiációk melyek eseté műveletek és htárértékek közti összefüggések em dk végső válszt. Ilyeek pl. 0 0 0 típusú kombiációk. Ezekre votkozik következő pot. 0. Kritikus htárértékek eseté 0 lkítsuk át kifejezéseket korább látott típusokál 0 lklmzott módszerekkel mjd hszáljuk htárérték és műveletek kpcsoltát! Gykorló feldtok. Állpítsuk meg soroztok htárértéke és soroztokkl végzett műveletek kpcsoltár votkozó tételek illetve redőr-elv segítségével z lábbi soroztok htárértékét! Ezt követőe djuk meg tetszőleges -hoz trtozó küszöbidexet is! 7 7 7 b c... ( (
. Állpítsuk meg soroztok htárértéke és soroztokkl végzett műveletek kpcsoltár votkozó tételek illetve redőr-elv segítségével z lábbi soroztok htárértékét! 6 b 7 c d IV. Tágbb értelembe vett htárérték ( végtele mit htárérték Def. Az ( sorozt htárértéke plusz végtele h z ( mide K vlós számhoz létezik oly N természetes szám hogy lim. sorozt mide htáro túl övő zz N eseté K. Jelölés: Def. Az ( sorozt htárértéke míusz végtele h z ( zz mide K vlós számhoz létezik oly N természetes szám hogy lim. sorozt mide htáro túl csökkeő N eseté K. Jelölés: Megjegyzés: A jelek szimbolikus jeletése v fetiekbe és továbbikb hisze ics oly szám mely végtele gy. A defiíció gykorltilg zt jeleti hogy sorozt tgji között tetszőlegese gy illetve tetszőlegese kicsi (gy bszolút értékű egtív tgok is vk. A szóhszáltb zt is modjuk hogy z ( sorozt trt plusz végtelehez vgy trt míusz végtelehez. Tétel: [Redőr-elv plusz végtelehez trtó soroztokr] H z vlmely küszöbidextől kezdve b kkor ( b ( sorozt trt plusz végtelehez és sorozt is trt plusz végtelehez. Tétel: [Redőr-elv míusz végtelehez trtó soroztokr] H z ( sorozt trt míusz végtelehez és vlmely küszöbidextől kezdve b kkor b sorozt is trt míusz végtelehez. ( Tétel: H 0 R és z sorozt htárértéke + kkor sorozt htárértéke is +. ( ( Tétel: H 0 R és z sorozt htárértéke kkor sorozt htárértéke is. ( ( 6
Tétel: H 0 R és z ( sorozt htárértéke + kkor ( sorozt htárértéke. Tétel: H 0 R és z ( sorozt htárértéke kkor ( sorozt htárértéke +. Tétel: H z ( b ( sorozt lulról korlátos és sorozt is trt plusz végtelehez. ( b sorozt trt plusz végtelehez kkor z Tétel: H z ( sorozt felülről korlátos és b sorozt trt míusz végtelehez kkor z ( b sorozt is trt míusz végtelehez. ( H htárértékkel redelkező soroztokr szorítkozuk kkor z lábbi tábláztb fogllhtjuk össze z összegsorozt htárértékét: b b + b + b + +? b? A kérdőjellel jelölt esetekbe em modhtuk semmit z összegsorozt htárértékéről mert ekkor több lehetőség is előfordulht. Azz h b kkor lehet b Péld:. Ekkor b b b Péld:. Ekkor b c b c cr Péld: c b. Ekkor b c c d ( b -ek ics htárértéke Péld: b b Ekkor h pártl h páros b h pártl h páros 7
Láthtó hogy z b ( b h pártl h páros sorozt oszcillálv diverges zz ics htárértéke. Az ( b soroztot megkphtjuk z korább modott tételek érvéyesek ( ( b és ( b soroztok összegekét így erre z esetre sorozt htárértékéek figyelembevételével. Tétel: H z ( soroztk vlmely tgjától kezdve mide tgj gyobb egy rögzített pozitív számál vlmit ( b sorozt htárértéke + kkor z ( b sorozt htárértéke is +. Tétel: H z vlmit ( ( b sorozt vlmely tgjától kezdve mide tgj gyobb egy rögzített pozitív számál sorozt htárértéke kkor z ( b sorozt htárértéke is. Hsoló tétel foglmzhtó meg h z rögzített egtív számál. ( sorozt vlmely tgjától kezdve mide tgj kisebb egy Szité összefogllhtjuk egy tábláztb hogy htárértékkel redelkező soroztok szorzták ve htárértéke és h v kkor meyi ez htárérték. 0 0 0 b b 0 b 0 b + b 0 0 0 0?? b b 0 b 0 b + b +? + b? + + A kérdőjellel jelölt esetekbe em modhtuk semmit szorztsorozt htárértékéről mert ekkor több lehetőség is előfordulht. Azz h pl. b 0 kkor lehet b 0 Péld: b. Ekkor 0 b 8
b b Péld: b c c Péld: b b b. Ekkor b. Ekkor b d d b c cr Péld: c b. Ekkor b c c e e ( b -ek ics htárértéke. Péld: b (. Ekkor b ( mely soroztk ics htárértéke mert és z is torlódási potj. Hsoló megmutthtó hogy feti lehetőségek b 0 esetbe is megvlósulhtk. Tétel: H ( b pozitív tgú korlátos sorozt és kkor b. Megjegyzés: A tgji. ( b soroztról elég yit feltei hogy vlmely küszöbidextől kezdve pozitívk Hsoló tétel modhtó ki bb z esetbe h htárértéke. ( b sorozt egtív tgú illetve h z ( sorozt Tétel: H ( b sorozt em korlátos és ( sorozt korlátos kkor z b sorozt 0-hoz trt. Ismét tábláztb fogllhtjuk htárértékkel redelkező soroztok háydossorozták htárérték- illetve kovergeci-tuljdoságit: 0 0 0 b b 0 b 0 b + b 0????? b b 0 b 0 b + b 0 0 0?? b 0 0 0?? A kérdőjelek helyé itt is oly b soroztok állk melyek kovergeciáj em eldöthető z ( és ( b soroztok htárértékéek ismeretébe. Mivel z b sorozt z ( és z 9
b soroztok szorztkét áll elő korábbikhoz hsoló megdhtók oly ( b soroztok melyre z b előfordulht hogy htárértéke sics. A b ( sorozt más-más htárértékkel redelkezik illetve b 0 esetbe kritikus helyzet mitt lép fel hogy z sorozt htárértéke em meghtározhtó sorozt kokrét ismerete élkül (h egyáltlá v htárértéke. Amikor pedig z ( és ( b soroztok htárértéke + vgy b kkor z sorozt htárértéke 0 és 0 illetve végtele htárértékű soroztok szorzták htárértéke bizoytl. ( b és Tétel: H q > qr kkor z q sorozt htárértéke +. Tétel: H q qr kkor z q soroztk ics htárértéke ( + és között osszcillál. Kidolgozott feldtok:. Állpítsuk meg hogy z lábbi soroztokk v-e véges illetve végtele htárértéke! b! c d A gyságredi becslés lpjá kifejezés első tgj léyegese gyobb lesz idővel mit többi tg így becslés zt sugllj hogy sorozt htárértéke +. Alkítsuk át kifejezést! A zárójelbe levő kifejezés -hez trt ezért biztos hogy vlmely küszöbértéktől kezdve gyobb lesz mit. A korább kimodott tétel szerit mivel eek soroztk tgji vlmely tgtól kezdve gyobbk mit egy rögzített pozitív érték és mivel sorozt ezért vizsgált sorozt htárértéke is +. végtelebe trtó 0
b Alkítsuk át számlálót és evezőt evező domiás tgjávl -tel osztv midkettőt: A számlálób levő kifejezés htárértéke mert egy -be és két 0-hoz trtó sorozt összege. A evező -hez trt és -él gyobb ezért teljesül rá hogy pozitív korlátos sorozt melyek lsó korlátj 0-ál gyobb. Alklmzhtjuk tehát háydosukr kimodott tételt tehát z eredeti sorozt htárértéke. c Ngyságredi becsléseket figyelembe véve láthtjuk hogy lesz mit hogy Tehát: Az! már kis értékekre jóvl gyobb így zt szereték igzoli hogy sorozt htárértéke +. Vegyük figyelembe eseté! leglább téyezőből áll emitt:! ( ( (... ( (! ( ( ( ( sorozt htárértéke + így redőr-elv értelmébe z eredetileg vizsgált soroztuk htárértéke is +. d Alkítsuk át kifejezést! A zárójelbe levő kifejezés első tgjáb égyzetgyök ltti kifejezés -hez trt tehát égyzetgyöke is -hez trt míg másik égyzetgyök ltti kifejezés 0-hoz trt tehát z egész zárójeles kifejezés htárértéke. Mivel ezért htárértéke +. A vizsgált sorozt tehát egy +-be trtó és egy oly sorozt szorzt mely vlháydik tgjától kezdve gyobb mit egy rögzített pozitív érték (pl. 0. Eek lpjá vizsgált sorozt htárértéke +. Gykorló feldtok:. Állpítsuk meg hogy z lábbi soroztokk v-e véges illetve végtele htárértéke! 6 00 0 b...! d e... 7 c
V. Az e számhoz kpcsolódódó soroztok htárértéke Tétel: Az megegyezik. és b sorozt koverges továbbá két sorozt htárértéke Def: Az sorozt htárértéke e. Tétel: Az c sorozt htárértéke c e c tetszőleges rcioális szám eseté. Megjegyzés: A kimodott tétel bizoyítás em egyszerű több lépésbe törtéik pozitív egész egtív egész számokr mjd rcioális számokr. Itt most csk tétel állítását szereték felhszáli feldtok megoldásáb tétel bizoyításák részleteivel em fogllkozuk. Kidolgozott feldtok. Htározzuk meg z lábbi soroztok htárértékét! b c d e f Megoldások: A kifejezés átlkíthtó: A korább modott tétel szerit sorozt htárértéke e. Másképp: A kifejezés átlkíthtó:
Az sorozt htárértéke e. b A kifejezés átlkíthtó: sorozt htárértéke e (mert z sorozt részsorozt tehát vizsgált Az sorozt htárértéke e tehát z lábbi becsléssel folytthtó:. Mivel e 0 vlmilye értéktől kezdve teljesül. Mivel z sorozt htárértéke 0 ezért vizsgált sorozt htárértéke redőr-elv mitt szité 0. c Alkítsuk át kifejezést két sorozt háydosár: ezért e. Az eredeti sorozt vizsgált A második tört számlálój és evezője egyrát -hez trt tehát tört is -hez trt. Az z sorozt sorozt lkb írhtó ezért htárértéke lkb írhtó ezért htárértéke e e. A két sorozt háydosák htárértéke e. d A zárójelbe levő kifejezés gyobb mit ezért igz hogy. Mivel sorozt htárértéke + ezért redőr-elv mitt vizsgált sorozt htárértéke is +. e A zárójelbe levő kifejezés -ál gyobb és htárértéke ezért vlmely -től kezdve teljesül hogy
Eze értéktől kezdve igz hogy Mivel két szélső sorozt 0-hoz trt ezért köztük levő vizsgált sorozt htárértéke is 0. f Alkítsuk át kifejezést! Az sorozt -hez trt pedig e -hez tehát keresett htárérték e. Gykorló feldtok. Htározzuk meg z lábbi soroztok htárértékét! b c d e VI. Feldtok soroztok torlódási potjik meghtározásár Def. Az ( sorozt torlódási potj + h soroztk v plusz végtelehez trtó részsorozt zz mide K-r soroztk v végtele sok K-ál gyobb tgj. Def. Az ( sorozt torlódási potj h soroztk v míusz végtelehez trtó részsorozt zz mide K-r soroztk v végtele sok K-ál kisebb tgj. Def. Az ( sorozt torlódási potják evezzük z számot h soroztk v -hoz trtó részsorozt zz mide 0 számr z soroztk z ( itervllumb végtele sok tgj esik. (
Kidolgozott feldtok:. Htározzuk meg z lábbi sorozt torlódási potjit! ( Az ( sorozt két részsoroztr z k és z k soroztokr bomlik. k k Eze soroztok yilvávló kovergesek htárértékük illetve tehát sorozt torlódási potji és.. Htározzuk meg z lábbi sorozt torlódási potjit! cos A sorozt három részsoroztr bothtó: k k (k cos k k k k cos(k. k k k k k k 8k cos(k k k k Az ( k részsorozt -hez z ( sorozt torlódási potji 0. részsorozt 0-hoz z ( k k részsorozt -höz trt. Tehát Gykorló feldtok:. Htározzuk meg z lábbi soroztok torlódási potjit! d ( ( b ( si e ( cos c si f (
VII. Mooto korlátos sorozt kovergeciájár votkozó feldtok Kidolgozott feldtok:. Állpítsuk meg hogy z lábbi sorozt koverges-e! 0 9... 0 A sorozt mooto csökkeő 9. tgjától kezdve mert + h sorozt tgji pozitívk. A sorozt lulról korlátos [lsó korlátj pl. 0] így koverges. 0 9 és. Állpítsuk meg hogy z lábbi sorozt koverges-e!... A sorozt mooto csökkeő mert A sorozt lulról korlátos [lsó korlátj pl. 0] így koverges. + + és sorozt tgji pozitívk. +. Koverges-e z... sorozt? ( A sorozt yilvá szigorú mooto övő mert 0. Be kellee még láti hogy ( sorozt korlátos is. A mooto övekedés mitt ehhez elég beláti hogy sorozt felülről korlátos. Tudjuk hogy teljesül k eseté. Ekkor tehát következő felső becslést dhtjuk k ( k k sorozt tgjir:... (... ( ( (... A sorozt tehát szigorú mooto övekvő és korlátos így koverges. 6
. Állpítsuk meg hogy z lábbi sorozt koverges-e!... számú gyökvoás A sorozt lulról korlátos mert mide tgj pozitív. Teljes idukcióvl beláthtó hogy sorozt felülről korlátos és felső korlátj például. Az első elemre yilvávló igz hogy. Tegyük fel hogy k-r igz hogy. Ekkor k zz. Tehát sorozt korlátos. k+ k Másrészt sorozt mooto övekvő mert feáll z egyelőtleség mitt. Ez utóbbi zért igz mert övő és felülről korlátos így koverges. k k+ k 0 k és k k k k ( k k. Tehát sorozt mooto Gykorló feldtok. Htározzuk meg z lábbi koverges sorozt htárértékét!... számú gyökvoás. Állpítsuk meg hogy z lábbi soroztokk v-e htárértéke!... b... ( 7
Gykorló feldtok megoldás I. fejezetbe kitűzött gykorló feldtok megoldás. Htározzuk meg becslések segítségével z lábbi kifejezések közelítő értékét megdott értékek eseté! 6 0000 b 0 7 0000 c 70 0 6 700000 d 7 0000 e 9 0 Hszáljuk fel tört átlkításához hogy számláló és evező domiás tgj egyrát 6 6 6 A számláló értéke léyegébe 6 evezőé tehát tört értéke léyegébe 6. b A számláló domiás tgj 0 7 evezőé pedig. A tört z lábbi módo lkíthtó át: 0 0 7 7 A tört számlálój körülbelül 0 evezője körülbelül tehát kifejezés értéke körülbelül 0 00000. c A számláló domiás tgj evezőé pedig. A tört z lábbi módo lkíthtó át: 0 0 70 70 70 0 6 6 6 A második tört számlálój léyegébe 70 evezője tehát kifejezés értéke közelítőleg 70 0000. 700000! 8
d A számlálób égyzetgyök ltti kifejezés domiás tgj kifejezés domiás tgj pedig 7 7 evezőbe köbgyök ltti. A tört célrvezető átlkítás eek megfelelőe: 7 7 A számláló és evező értéke léyegébe így tört értéke léyegébe. e Alkítsuk át számlálót és evezőt gyök ltti kifejezésekből emeljük ki domiás tgot! 9 9 9 6 9 6 8 9 6 9 A második tört számlálój és evezője léyegébe ezért kifejezés értéke léyegébe zz 00. 6. Keressük felső becslést z lábbi kifejezések bszolút értékére megdott érték eseté figyelembe véve hogy cos és si. si(00 0 7 0000 b 6 cos( 0000 A kifejezés bszolút értékéek felső becslése lehet: si(00 0 7 0 7 si(00 0 7 Az bszolút értékbe levő tört értéke 0000 eseté pozitív ezért kifejezést felülről tudjuk becsüli h tört evezőjét csökketjük számláló változtlul hgyás mellett. 0000 eseté yilvávló hogy 0 7 0 ezért eek elhgyás evezőből evező értékét csökketi. A becslés tehát így folytthtó: 0 7 0. 9
b A kifejezés bszolút értékéek felső becsléséhez hszáljuk z előző feldtb lklmzott módszert: 6 cos( 6 cos( 6 A megmrdt tört értéke pozitív ezért evezőt csökketve tört értéke ő: A 6 0000 így 6 6 kifejezés értékét yilvávló felülről becsüli h 6 000 00000000 Megjegyzés: A becslésél jele esetbe lehettük vol még eél gyvolúbbk is. A 6 000 0000 0 becslés is még elég kicsivé teszi felső 00000000 00000000 értéket. Még gyvolúbb de még midig hszálhtó felső becslést d 6 6 7 egyelőtleséglác. Vigyázi kell ezzel zob mert túlzott gyvolúság zz szereplő kifejezésekkel zoos gyságredű kifejezések beillesztése vissz is üthet. II. fejezetbe kitűzött gykorló feldtok megoldás. Vizsgáljuk meg mootoitás és korlátosság szempotjából z lábbi soroztokt! b c d ( e ( f si Korlátosság: A sorozt felülről em korlátos. Legye K 0. H K kkor K sorozt lulról korlátos lsó korlátj például 0. Mootoitás: ( yilvávló igz tehát sorozt szigorú mooto övekvő. b Korlátosság: A sorozt lulról korlátos lsó korlátj például 0. Ngyságredi becslés (gy -ekre kifejezés értéke kb. lpjá z sejtés hogy sorozt felülről em korlátos. Legye. A 0
K 0. Keressük oly értéket melyre K. Becsüljük lulról törtet mivel számláló és evező is pozitív ezért lsó becslést kpuk h számlálót csökketjük és evezőt öveljük. Például megfelelő becslés z teljesül. Ehhez elég h K. elég tehát h K Mootoitás: Mivel sorozt tgjik értéke becslésük szerit egyre gyobb lesz ezért zt szereték igzoli hogy sorozt szigorú mooto övekedő. Ehhez meg kell muttuk hogy (. Kibotv zárójeleket és evezőkkel midkét oldlt beszorozv ( mjd redezve 9 7 0 egyelőtleséget kpjuk mi mide -re teljesül. c Korlátosság: A sorozt lulról korlátos. A sorozt első két tgj egtív ( és hrmdik tg 0 többi tg pedig pozitív ezért lsó korlátj például z első három tg közül legkisebb zz. Ngyságredi becslés lpjá (gy -ek eseté sorozt tgjik értéke kb. sejtés hogy sorozt felülről korlátos. A számláló z -től kezdve pozitív és kisebb mit evező (mert mitt ezért tört értéke -él kisebb ez teljesül z első három tgr is ezért sorozt felülről is korlátos. Mootoitás: H z első ht tgot kiszámítjuk kkor z első öt tg eseté övekedő számokt kpuk mjd 6. tgtól kezdve ismét csökkeést tpsztluk. Úgy tűik tehát hogy sorozt szigorú mooto csökkeő 6. tgtól kezdve. Vizsgáljuk meg ezt lgebri úto! Szükséges ( hogy eseté teljesüljö. A zárójeleket felbotv és evezőkkel ( midkét oldlt megszorozv mjd 0-r redezve z lábbi egyelőtleséget kpjuk: 0. A másodfokú kifejezés gyökei 7; 0 7 mi zt jeleti hogy 6-r illetve gyobb -ekre kifejezés értéke már pozitív. d Korlátosság: Ngyságredi becslése lpjá sorozt tgjik bszolút értéke kb.. Becsüljük 6 sorozt bszolút értékét felülről! (. Tehát sorozt lulról és felülről is korlátos. Mootoitás: A sorozt tgji felváltv egtívk illetve pozitívk ezért sorozt em mooto övekedő és em mooto csökkeő. e Korlátosság: A sorozt páros sorszámú tgji -el pártl sorszámú tgji egyezek meg. H kkor -el és ( is teljesül. Eek lpjá h K 0 kkor sorozt K-ál gyobb idexű tgji (páros és pártl egyrát gyobbk mit K. Tehát sorozt felülről em korlátos. Mivel sorozt tgji em egtívk ezért lulról korlátos sorozt lsó korlátj például 0.
Mootoitás: A sorozt első éháy tgj 0 6 6 0 0. A sejtésük eek lpjá hogy sorozt mooto övekvő de em szigorú mooto övekvő. Igzoljuk tehát hogy. Ezt két esetre botv kell vizsgáluk pártl és páros eseté. Legye pártl. Ekkor zt kell igzoluk hogy (. Ez yilvá igz hisze jobb oldli kifejezés tgokét több mit bl oldli. Legye páros. Ekkor zt kell igzoluk hogy ( (. Az egyelőség yilvá feáll ezért z egyelőtleség teljesül. Tehát sorozt mooto övekvő de em szigorú mooto övekvő. f Korlátosság: vizsgáljuk sorozt tgjik bszolút értékét! Tehát sorozt korlátos. Mootoitás: si si értéke ciklikus 0 0. A sorozt tgji tehát felváltv pozitív 0 egtív 0 értékeket veszek fel ezért sorozt em mooto övekedő és em mooto csökkeő. III. fejezetbe kitűzött gykorló feldtok megoldás. Állpítsuk meg soroztok htárértéke és soroztokkl végzett műveletek kpcsoltár votkozó tételek illetve redőr-elv segítségével z lábbi soroztok htárértékét! Ezt követőe djuk meg tetszőleges -hoz trtozó küszöbidexet is! 7 7 7 b c... ( ( A evező domiás tgj 7 így tört átlkíthtó: 7 7 7 7 számláló 7-hez trt sorozt htárértéke tehát 7. Legye meghtározásához z 7 7 egyelőtleséget kell megolduk ie redezés- 7 sel 7 0. Az -hoz trtozó küszöbidex zz log 7 dódik. b A evező domiás tgj gyök ltti kifejezés eseté tel vgyis -el osztv kpjuk: így számlálót és evezőt -
A számláló evező htárértéke így sorozt htárértéke. Legye 0. Mivel z átlkított tört eseté láthtó hogy evező -él gyobb ezért tört értéke -él kisebb. Az 0 -hoz trtozó küszöbidex kereséséhez elég tehát megoldi z egyelőtleséget. Átredezve: ( H 0 re teljesül. H kkor midkét oldlo pozitív kifejezést látuk így égyzetre emelhetük: kkor bl oldlo egy egtív szám áll vgy 0 ezért z egyelőtleség mide - 0 Mivel 0 ezért ( ( ( ( 0 így oszthtuk vele: ( Szité 0 mitt 0 ezért gyökvoás utá: c A számlálót egyszerűbb lkr hozhtjuk: (... ( ( ( ( ( ( ( A számlálób és evezőbe levő kifejezés egyrát másodfokú domiás tgjuk számlálót és evezőt -tel osztv kpjuk: ( ( ( így A számláló -hez trt evező pedig két -hez trtó sorozt szorzták kétszerese így htárértéke. A sorozt htárértéke tehát. Legye 0. Az -hoz trtozó küszöbidex meghtározásához megolddó ( ( (
egyelőtleség. Az bszolútértéke belüli kifejezést összevov H 0 0 0 0 kkor tört számlálój és evezője is pozitív ezért z bszolútérték jel elhgyhtó. H kkor 0 ( -re éppe egyelőség v és h ie lépésről lépésre öveljük értékét -gyel kkor bl oldli kifejezés midig -ml jobb oldli pedig leglább 0 -vel vgyis leglább -tel ő ezért feáll következő egyelőtleség: 0 0 Így tört értéke z lábbi módo becsülhető felülről: 0 8 0 Ezért elég h 8 teljesül. Ez yilvá feáll h Megjegyzés:. A megoldás sorá szigorú véve küszöbidexre egész számot kée kpuk. Kéyelmi szempotok mitt válsztjuk zt megdási módot hogy megfelelő -ek értékét egy vlós (em feltétleül egész számál válsszuk gyobbk. Természetese kiszámított vlós küszöbidex lpjá lehet egész számot is tláli küszöbidexek.. A megoldás sorá becsléseket lklmztuk így em legkisebb z dott -hoz trtozó küszöbidexet kptuk meg. A kpott küszöbidexek em feltétleül kell legkisebbek leie ez soroztok gy többségéél em is lee meghtározhtó. A jele sorozt eseté potosbb 0 értéket kphtuk másodfokú egyelőtleség (-tól függő prméteres 0 megoldásávl de ez dott esetbe jóvl több mukát jelet mit fetiekbe vázolt módszer továbbá mgsbb fokú poliomok szerepeltetése eseté z itt vázolt megoldás hsoló működik de küszöbidex legkisebb megfelelő értékéek meghtározásár áltláos érvéyes egzkt módszerek em állk redelkezésre. 8. 0
. Állpítsuk meg soroztok htárértéke és soroztokkl végzett műveletek kpcsoltár votkozó tételek illetve redőr-elv segítségével z lábbi soroztok htárértékét! 6 b 7 c d A evező domiás tgj 6 számlálót és evezőt ezzel osztv z lábbi kifejezést kpjuk: 6 A számláló 0 0 -hoz evező 0 0 -hoz trt így sorozt htárértéke 0. b A evező domiás tgj. A számlálót és evezőt ezzel leosztv: 7 7 Mivel trt 0-hoz ezért számláló -höz evező pedig -hez trt így sorozt htárértéke. c A evezőbe szereplő kifejezés domiás tgj. Osszuk le számlálót és evezőt is -el! A számlálób levő kifejezés 0 -hoz evezőbe levő kifejezés pedig -hez trt tehát sorozt htárértéke. d A kifejezést gyökteleítési eljárássl tudjuk átlkíti: A evező csökketésével felső becslést kphtuk: 0 ( tört értéke yilvá pozitív ezért redőr-elv mitt sorozt htárértéke 0.
6 IV. fejezetbe kitűzött gykorló feldtok megoldás. Állpítsuk meg hogy z lábbi soroztokk v-e véges illetve végtele htárértéke! 0 00 6 b 7 c d...... e! Alkítsuk át kifejezést! 6 6 6 0 00 0 00 A zárójelbe levő kifejezés -hez trt 6 htárértéke így szorztuk htárértéke. b A evező domiás tgj osszuk el ezzel számlálót és evezőt is! 7 A tört számlálójáb álló kifejezés htárértéke összességébe + evezője -höz trt így z eredetileg vizsgált sorozt htárértéke c A evezőbe domiás tg számlálób pedig emeljük ki ezeket evezőből illetve számlálóból: A törtkifejezés számlálójáb egy -hez és egy 0-hoz trtó sorozt külöbsége áll ezért htárértéke evezőbe egy 0-hoz és egy -hez trtó sorozt külöbségét látjuk ezért eek htárértéke tehát tört összességébe -hez trt. Mivel htárértéke + ezért vizsgált sorozt htárértéke. d Végezzük el műveleteket hogy kompkt lkot kpjuk ( evezőbe párokét z egymást követő számok külöbsége és db ilye pár v: (...... Eek htárértéke.
e A számlálób levő kifejezés h értékét -gyel öveljük midig egyre gyobbszorosár változik míg evező csk ötszörösére változik. Ezért zt godoljuk hogy sorozt htárértéke + ( mide htáro túl övő sorozt. A sorozt tgjik lulról becsléséhez válsszuk két részsoroztr! H k kkor k! k! (mert számlálób! k(k... k k k k k... k k k k k evezőbe k téyező v. H k kkor k k k k... k k Tehát ez részsorozt +-be trt redőr-elv mitt mert k is +-be trt. H kkor! k! k! (k k (k... k k k k k k k... k k k k (mert számlálób evezőbe k téyező v. H k kkor k k k k k k... k k Tehát ez részsorozt is +-be trt redőr-elv mitt. k k V. fejezetbe kitűzött gykorló feldtok megoldás. Htározzuk meg z lábbi soroztok htárértékét! b c d e Az átlkítás utá kpott kifejezések vizsgált: 9 e e e Tehát sorozt htárértéke ( műveleti szbályok lklmzás mitt: e e 9 6 e 6 e. 7
8 b Az átlkítás utá kpott kifejezések vizsgált: e e e e Tehát sorozt htárértéke műveleti szbályok lklmzás mitt: e e e. c Mivel ezért létezik oly N természetes szám melyre igz hogy h N kkor 0. Ezért N eseté 0 0 így redőr-elv mitt vizsgált soroztuk htárértéke is 0. d így sorozt htárértéke +. e és ezért vizsgált sorozt htárértéke.
VI. fejezetbe kitűzött gykorló feldtok megoldás. Htározzuk meg z lábbi soroztok torlódási potjit! ( ( b cos c ( d ( si e si f ( Az ( ( sorozt két részsoroztr bothtó: és. Midkét részsorozt koverges és htárértéke 0 tehát soroztk csk egy torlódási potj v mi egybe htárértéke is és ez 0. k k k 0 b Az cos sorozt három részsoroztr bothtó: Az ( k k 9k 9k 9k cos(k 9k (k (k k cos k. (k (k k+ (k (k részsorozt -hez z ( -hez trtk. Tehát sorozt torlódási potji és. (k cos k (k k és ( k+ részsoroztok c A sorozt két részsoroztr bothtó: páros -ek eseté sorozt tgji -ek eseté sorozt tgji lkb írhtók. lkb pártl ezért soroztk két torlódási potj v z és. d A sorozt yolc részsoroztr bothtó: H 8k kkor ( si si k e 9
H H H H H H 8k kkor ( si si k e 8k 8k kkor ( si si k e kkor ( si si k e 8k 8k kkor ( si si kkor k e ( si si k e 8k 6 kkor ( si si k e H 8k 7 kkor 7 ( si si k e Tehát sorozt torlódási potji: e e e + e e. e A si kifejezés háromféle értéket vehet fel: lehet 0 és. Az trt -hez ezért sorozt torlódási potji h részsoroztokr botjuk si háromféle értéke szerit: 0 és. f A sorozt két részsoroztr bothtó: h páros kkor h pártl kkor Tehát két torlódási potj v z és z. ( ( 0
VII. fejezetbe kitűzött gykorló feldtok megoldás. Htározzuk meg z lábbi koverges sorozt htárértékét!... számú gyökvoás A sorozt oly lkb is írhtó hogy. Tudjuk hogy sorozt koverges legye htárértéke. H z ( soroztot tekitjük kkor z szité koverges és htárértéke. A soroztok htárértéke és műveletek közti kpcsolt szerit teljesülie kell z egyeletek ho.. Állpítsuk meg hogy z lábbi soroztokk v-e htárértéke!... b... ( A sorozt szigorú mooto csökkeő mert és így A sorozt tgji viszot pozitívk ez láthtó h következő csoportosítást hjtjuk végre z összeg tgji:... A zárójelbe levő kifejezések midig pozitívk mert kisebbítedő gyobb mit kivodó és végé még egy pozitív tgot hozzá is duk pozitív számok összegéhez. Tehát sorozt lulról korlátos (lsó korlátj pl. 0 és szigorú mooto csökkeő így koverges. b A sorozt szigorú mooto övekedő mert. A sorozt viszot felülről ( korlátos mert láttuk hogy b... sorozt felülről korlátos és ( yilvá igz hogy b...... ( mert tgokét teljesül z egyelőtleség. (