. Diffrnciálszámítás.. Írja fl a diffrnciahányadost a mgadott pontban és határozza mg a határértékét!... f...... f..7. f, f,,..9. f... f... f... f...... f..7...9. f...... f... f... f...,..6. f,,,, f,..8. f... f... f... f.. Diffrnciálja a kövtkz függvénykt!,,,,.,.... f f 6... f f f..7...9.... f..6. 7..8. f 6 6 f...... f f f... f 8..6. f..8. f ln log... f log log... f.. Diffrnciálja a szorzatfüggvénykt!... f... f... f f ln 6 log ln... f
... f..6. f..7. f..8. f..9. f ln...... f f log ln... f log... f... f... f..7. f..9. f... f... f... f..7. f..9. f... f.. Diffrnciálja a hányadosfüggvénykt!... f ln 7ln log log ln... f..6. f..8. f... f... f... f..6. f..8. f... f... f.. Diffrnciálja az összttt függvénykt! ln ln... f... f... f... f
... f..7. f..9.... f... f... f..7. f..9. f f..6. f..8. f ln( ) ( )... f ln ( )... f... f ( )..6. f ln ( ) ( ) 6..8. f... f.6. Diffrnciálja a kövtkz függvénykt!.6.. f.6.. f.6.. f.6.7. f.6.9. f.6.. f.6.. 6 (ln ) 6 log ( ) ln log.6.. f 7 ln.6.. f log.6.6. f.6.8. f.6.. f f ( )( ).6.. f log.6.7. f.6.9. f.6.. f.6.. f log 6.6.. f.6.. f 6 6.6.6. f log.6.8. f ln f (ln )( ).6...6.. ln.6.. f f ln
.6.. f.6.6. f ln.6.7. f.6.8. f.6.9. f.6.. f log.7. Határozza mg az pontban az f függvény érintjénk gynltét! Vázolja a függvény és érintj grafikonját!.7.. f, f, f, y y.7...7.. f,.7.. y 8,.7.7. f.7.9. f.7.. f.7.. f.7.. f.7.7. f,.7...7.6. f f, f,,.7.8. f,.7...7.. f..7.. f.7.6. f,,.7.9. f.8...8.. f.8.. f.8.7. f.8.9. f.8.. f, log, f,,,,,.7.8. f.7.. f, ln, ln,.8. Határozza mg az pontban az f függvény érintjénk gynltét! f,,,,.8.. f.8.. f,,.8.6. f ln,.8.8. f.8.. f,.8..,, ln, f.9. Hol diffrnciálhatók az alábbi függvényk?,
.9.. f.9.. f.9.. f.9.7. f.9.. f.9.. f f ln.9.6..9.9. f ln.9.. f.9.. f.9.. f.9.7..9.9. f.9.. f.9.. f.9.. f...........7. f..9. f... f... f, ha, ha, ha, ha, ha, ha, ha, ha.9.8. f.9.. f.9.. f 8.9.. f log.9.6. f.9.8. f.9.. f.9.. f.9.. f.9.6. f.. Számolja ki a függvényk mgadott driváltjait! f 8 f, f,,, f?..., ha, ha, ha, ha, ha, ha ln, ha, ha f, f? f 6?... f f?..6. f f?..8. f, f?... f, f ln, f?... f f?... f, f?, f?, f?,, f? ln f?, f? 6
... f ln, f?..6. f, f?...........7...9. f... f... f... f..7. f..9. f... f... f.. Végzzn függvényvizsgálatot az alábbi függvényknél! f 8 f f 6 f... f... f..6. f..8. f... f... f... f..6. f..8. f... f... f... f ln... f ln..6. f..7. f........8. f ln.. Határozza mg az alábbi függvényk szélsérték hlyit! f 6 f... f..7. f...... f 7 6 f 7..6. f..8. f ln..9. f... f... f... f ln 7
... f... f... f..7. f... f... f.. Határozza mg az alábbi függvényk infliós pontjait!........6. f..8.... f... f.. Gazdasági alkalmazások... Egy trmék költségfüggvény f 6 f 6 f Cq. q q. Határozza mg a fi költségt! Határozza mg a határköltségt a q és q hlykn! Mit jlntnk zk az értékk? q... Egy trmék költségfüggvény Cq. Határozza mg a fi költségt! q Határozza mg a határköltségt a q 8 és q 98 mnnyiségknél! Mnnyivl változik a költség, ha a trmlést -ról -r változtatjuk? Rq q. q. Határozza mg a határbvétlt a... Egy trmék bvétlfüggvény q és q mnnyiségknél! Mit jlntnk zk az értékk?. Határozza mg a határbvétlt a q és q hlykn! Mnnyivl változik a bvétl, ha az ladott mnnyiség 9-rl -r változik? Pq q q. Határozza mg a határhasznot a... Egy trmék bvétlfüggvény Rq qq... Egy trmék haszonfüggvény q és q 8 mnnyiségknél! Mit jlntnk zk az értékk?..6. Egy trmék haszonfüggvény Pq q q. Határozza mg a határhasznot a q q és q hlykn! Mnnyivl változik a haszon, ha az ladott mnnyiség -ról -r változik?..7. Egy trmék költségfüggvény Cq q, bvétl függvény Rq q q. Határozza mg a fdzti pontban a határbvétlt, a határköltségt és a határhasznot! Cq. q, bvétl függvény..8. Egy trmék költségfüggvény Rq q q.. Határozza mg a fdzti pontban a határbvétlt, a határköltségt és a határhasznot!..9. Határozza mg az átlagköltség minimumát, ha a költségfüggvény C 6! 8
... Határozza mg az átlagköltség minimumát, ha a költségfüggvény C. 8 8!... Határozza mg, hogy milyn mnnyiségnél lsz maimális a haszon, ha a költségfüggvény C 6, a bvétlfüggvény R 6! Határozza mg bbn a pontban a határbvétlt és a határhasznot!... Határozza mg, hogy milyn mnnyiségnél lsz maimális a haszon, ha a költségfüggvény C, a bvétlfüggvény R! Határozza mg bbn a pontban a határbvétlt, a határhasznot!... Egy trmék krsltfüggvény Dq. q, kínálat függvény Sq. q. Határozza mg a piaci gynsúlyi pontot és azt a mnnyiségt, aminél a bvétl maimális.... Határozza mg a piaci gynsúlyi pontot, ha Dq. q, Sq. q! Milyn mnnyiség mlltt lsz maimális a bvétl?... Egy trmék krsltfüggvény Dq. q, kínálatfüggvény Sq. q. Határozza mg a piaci gynsúlyi pontot és azt a mnnyiségt, aminél a bvétl maimális!..6. Határozza mg, hogy milyn mnnyiség mlltt lsz maimális a bvétl, ha a krsltfüggvény Dq. q!..7. Határozza mg a krslt rugalmasságát a q 9 és q pontokban, ha a krsltfüggvény. q! Dq..8. Határozza mg a krslt rugalmasságát a q és q pontokban, ha a krsltfüggvény. q! Dq Diffrnciálszámítás fladatok mgoldásai.. 6... lim lim lim lim. h h h hh... lim lim lim limh. h h h h h h h h... lim.... f h h... f..6. f..7. f..8. f..9. f... f nm létzik... f nm létzik... f.... f nm létzik... f. nm létzik........ f... f f 8... f... f 9
..6...9. f... f f 7 6 f 6.....8. f... f.. f f..7. 6... 6.....6. 6 9 ln 8 f f 6..8...7. ln ln..9. f... f f f 7...... f ln ln ln ln f 8... f... f ln...... f ln... f 9... f ln..6. f ln ln..7. f..8. f ln ln..9. ln... f... f..... f... f... f... f 6 f f log ln f log ln ln... 6... f..6. f 6
..7. f... f... f... f..7. f..8. f..9. f... f....8. f ln ln ln ln log ln... f... f..6. f 6... f... f..9. f ln 7ln... f ln ln ln ln ln 6..7. 99... f ln... f... f... f 8 9... f..6. f ( ) f gk g k,,, g, k, g k f g k k...8. f 6 ln..9. f 8... f ln... f ( ) ln... f... f... f ( )ln (ln ) ln ln 6
... f ( ) ln..6...7. f..9. f.6..6.. f 9.6.. f f ln ( ) ln..8. f ln ln... f log.6.. f ln ln ln.6.. log 6.6.. f 6.6.7. f.6.8. f.6.9. f.6...6...6.. f.6.7. f.6.8. f.6.9. f ln 6 log f 7 ln.6.6. f 6 6 ( ).6.. 6 f ln ln f.6.. f ( ) ( ) ln ( ).6.. 6 f f ln.6.6. f ln ln ln ln ln.6.. f ( ) ln.6.. f ln 6
.6.. f 6.6.. f ln.6.. f ln f ln ln ln ln.6.. ln.6.6. f ln ln ln.6.8. f ln.6.9. f.6.7. f ln 6 ln.6.. f log ln log log Thát a függvény nm diffrnciálható -ban. Ez azért van mrt az "összillsztés nm folytonos, azaz szakadási pontja van a függvénynk az = pontban..7. ln ln.7.. f, f, f,.7.. f, f, f, y y y y.7...7...7.. y.7.. y -.7.. y 8.7.6 y.7.7. y 9 9.7.8. y. -.7.9. y.7.. y.7.. y.7.. y 6
- - 6 -.7.. y.7.. y lnln.7.. y.7.6. y lnln -.7.7. y ln.7.8. y.7.9. y ln ln.7.. y -.8..8.. y ln ln.8.. y.8.. y 9, ln.8.7. y 8.8.8. y.8.. y.8.. y.8.. y 6.8.. y.8.. y.8.6. y.8.9. y.9...9.. Elször vizsgáljuk mg, hogy hol értlmzht a függvény. Páros kitvj gyököt ngatív számból nm tudunk a valós számok között vonni, zért az fltétlnk kll tljsülni. ; U ; Ebbl, vagy kövtkzik. Thát a függvény értlmzht a halmazon. A diffrnciálhatóságnál az összttt függvény driválására vonatkozó szabályt flhasználva a h függvény mindnütt diffrnciálható a g függvény diffrnciálható, ha >. 6
Thát a függvény diffrnciálható, A drivált függvény f., azaz ha ; U;.9...9..,.9.. R.9.6..9.7..9.8. R ;.9...9...9...9.9..9...9...9...9.6. R.9.7. vagy.9.8..9.9. R.9.. R.9.. R.9.. - f, z a függvény mindnütt diffrnciálható, ha <, akkor.9.. Ha >, akkor f szintén mindnütt diffrnciálható. Thát csak az = pontban kll még mgvizsgálni. Ehhz számoljuk ki a diffrnciahányados jobb-, illtv a baloldali határértékét f f lim lim lim nm létzik lim lim lim ( f f ) \ Thát a függvény nm diffrnciálható -ban. Ez azért van mrt az "összillsztés nm folytonos, azaz szakadási pontja van a függvénynk az = pontban..9...9.. -.9.6. R.. f 6...... f 8........8. f... f 6..6. f... f... f... f f..9. f f 6... 6..7. f 6 f 6 f 8 7... ln ln ln ln... 8 ln ln 6 ln ln ln..6. f f ln 8 8 9..... f 8 (.) (.) ÉT: R f 8 8 f (.), (.) nm páros, nm páratlan. 6
f (6.) (.) (7.) < = = f''() + + + - - - f'() - + + + - f() min -8 infl ma 8 (8.) lim( ), lim ( ) (.) ÉK: y R. (.) Zérushly, =. - - - Az y tnglyt -8-ban mtszi. -... f (.) (.) ÉT: R f nm páros, nm páratlan. f (.), (.) (.) f (6.), (7.) < = = f''() - + - - - f'() + + + + - f() infl - infl ma (8.) lim( ), lim ( ) - - - - - - - - (.) ÉK: y ; (.) Zérushly = és van gy -nál nagyobb Az y tnglyt --ban mtszi - - -6... (.) ÉT: R (.) f (.) f páros. f 8 (.) 8, 66
f 8 (6.) 8 (.) (7.) = f''() - - - + + f'() + - - - f() ma infl 7 min (8.) lim( ), lim ( ) 9 8 6 - - - - - () ÉK: y ;. () Zérushly 7. Az y tnglyt -ban mtszi... f.) ÉT: R (.) (.) f (.) f páros., (.) f (6.) (7.) = f''() + + + - - f'() - + + + f() min infl ma 9 (8.) lim( ), lim ( ) -6-8 - - 6 8 6 () ÉK: y ;. () Zérushly. Az y tnglyt -bn mtszi - - - - 67
... f (.) (.).) ÉT: R f páratlan. f (.), (.) f 6 (6.) 6,, (7.) <- =- = = < f''() + + + - + - - - f'() - + + + + + + - f() min - infl. 7 infl. infl. 7 ma. (8.) lim( ), lim ( ) 7 (.) ÉK: y R. - -, - -,,, - (.) Zérushly, = - - Az y tnglyt -ban mtszi..6. f nm páros, nm páratlan.) ÉT: R (.) f (.) f (.) f 6 (6.) 6 (.) (7.), = > f''() - - - + + + f'() + - - - + f() ma infl min 7 7 (8.) lim ( ), lim ( ) 8 6 - - - - -6 () ÉK: y R. () Zérushly,. Az y tnglyt -ban mtszi -8-68
..7. 6 f.) ÉT: R (.) nm páros nm páratlan. f 6 6 (.) 6 6, (.) f (6.), (.) (7.) = > f''() - + - - - f'() + + + + - f() inf infl 9 ma 6 6 (8.) lim( ), lim ( ) 6 - -, - -,,, - - -6-8 - () ÉK: y ;. () Zérushly. Az y tnglyt -ban mtszi..8. f.) ÉT: R (.) páros (.) f f 8 (.) (7.) (.) (6.) 8 nincs mgoldás f''() + + f'() - + f() min (8.) lim( ), lim ( ) 9 7 () ÉK: y ;. () Zérushly nincs. Az y tnglyt -bn mtszi -, - -, -,, 69
..9. f.) ÉT: R (.) f (.) f \ (.) páros. (.) 6 (6.) 6 (7.) nincs mgoldás = > f''() + - + - + f'() + + - - f() ma (8.) lim, lim, lim, lim, lim, lim - - - - - () ÉK: y ; ;. () Zérushly:. Az y tnglyt -ban mtszi - -... f.) ÉT: R (.) páros (.) f (.) f 6 (.) 6 (6.) 7
(7.) f''() + - - f'() + + + f() inf. ma (8.) lim, lim,, - - - - -, () ÉK: y ;. () Zérushly nincs. Az y tnglyt -bn mtszi -... f.) ÉT: R (.) páratlan (.) f (.) f (.) (6.) (7.) = - -<< f''() - + + + - f'() - + - + f() inf. min infl - (8.) lim, lim,,, -6 - - -, 6 - -, () ÉK: y ;. () Zérushly: = Az y tnglyt -bn mtszi... f R\ (.) nm páros, nm páratlan.) ÉT: 7
(.) f (.) f (.) (6.), nincs mgoldás (7.) = - -<< = > f''() - - - + + + f'() + - - + f() ma - min (8.) lim, lim, lim, lim -6 - - 6 - () ÉK: y ; ; () Zérushly: = Az y tnglyt -bn mtszi. - - -... f.) ÉT: R\ (.) nm páros, nm páratlan 8 (.) f (.) 8 (.) f (6.) 6 (7.) 6 6 6 = - -<< = > f''() - + + + + f'() - - - + - f() inf min 9 (8.) lim, lim, lim, lim () ÉK: y ;. () Zérushly: = - 7
Az y tnglyt nm mtszi... f ÉT: R\ (.) páratlan (.) f (.) 8 8 (.) f (6.) nincs mgoldás (7.) = f''() - - - f'() + - f() ma - (8.) lim, lim, lim, lim 7
() ÉK: y ; ;. () Zérushly: nincs Az y tnglyt nm mtszi \ (.) páros... f ÉT: R (.) f (.) f 8 (7.) < = > f''() + + f'() + - f() (8.) lim, lim (.) 8 nincs mgoldás (6.) nincs mgoldás, lim, lim () ÉK: y ;. () Zérushly: =, = - Az y tnglyt nm mtszi..6. f ÉT: (.) f (.) f R (.) páros (.) nincs mgoldás 7
(7.) < = > f''() + + + f'() - + f() min (8.) lim, lim () ÉK: y ;. () Zérushly: nincs Az y tnglyt -bn mtszi..7. f ÉT: R (.) páros (.) f ( ) ( ) (.) f (6.) (7.) = f''() + - + f'() + + + f() inf ma (8.) lim, lim () ÉK: y ;. () Zérushly: nincs Az y tnglyt -bn mtszi..8. f 7
ÉT: (.) f ; (.) páratlan (.) ( ) (.) f nincs mgoldás ( ) 6 (6.) 6 (7.) f''() - + f'() + + + f() inf (8.) lim, lim () ÉK: y R. () Zérushly: Az y tnglyt -ban mtszi..9. f ÉT: (.) f (.) f ; (.) páros (.) (6.) nincs mgoldás (7.) f''() - - - f'() + - f() ma (8.) lim f, lim f () ÉK: ;. () Zérushly: = -, = Az y tnglyt -bn mtszi 76
... f ÉT: R (.) páros f (.) (.) f (7.) (.) (6.) = f''() + - + f'() + + + f() inf ma. (8.) lim lim, lim. () ÉK: y ;. () Zérushly: nincs Az y tnglyt -bn mtszi... f ÉT: R (.) nm páros, nm páratlan f ( ) (.) ( ) (.) (.) f (6.) (7.) = > f''() - - - + f'() + - - - f() ma inf. (8.) lim, lim () ÉK: y ; () Zérushly: =. Az y tnglyt -ban mtszi 77
... f ÉT: R (.) f \ (.) nm páros, nm páratlan (.) nincs mgoldás f (6.). (.) (7.)... = > f''() - + + f'() - - - - f() infl. (8.) lim, lim, lim, lim () ÉK: y ; \. () Zérushly: nincs Az y tnglyt nm mtszi o... f ÉT: R (.) f (.) f \ (.) nm páros, nm páratlan ( ) (.) ( ) = (6.) nincs mgoldás (7.) = > f''() - + + + f'() + - + f() min (8.) lim, lim, lim, lim 78
() ÉK: y ; ;. () Zérushly: nincs Az y tnglyt nm mtszi o... f ln ÉT: R (.) páros (.) f (.) f ( ) (.) = (6.) ( ) =, = - (7.) = f''() - + + f'() - - - f() infl. ln min lim ln lim ln (8.), () ÉK: y ;. () Zérushly: = Az y tnglyt -ban mtszi... f ln ÉT: R (.) f (.) f \ (.) páratlan ln (.) ln (6.) nincs mgoldás = 79
(7.) f''() - - - f'() + - f() ma (8.) lim ln, lim ln =, lim ln, lim ln o () ÉK: y R. () Zérushly: =, = - Az y tnglyt nm mtszi ln ; ; (.) páratlan..6. f ÉT: (.) f f (.) (.) (6.) nincs mgoldás = nm mgoldás (7.) f''() - + f'() - - f() (8.) lim ln, lim ln, lim ln, lim ln () ÉK: y R\. () Zérushly: nincs Az y tnglyt nm mtszi 8
\ (.) nm páros, nm páratlan..7. f ÉT: R (.) f (.) f (.) (6.) nincs mgoldás nincs mgoldás (7.) f''() - + f'() - - f() (8.) lim, lim, lim, lim () ÉK: y ; ; () Zérushly: nincs Az y tnglyt nm mtszi...8. f ÉT: R (.) nm páros, nm páratlan (.) f (.) f (.) (6.) nincs mgoldás = (7.) f''() + - f'() + + + f() infl.. (8.) lim, lim.. 8
... C. a fi költség. C q q. C Ha a trmlést gységrl gységr növljük, akkor a költség gységgl n. C Ha a trmlést gységrl gységr növljük, akkor a költség gységgl n. q 8q... C, Cq, C 8, q C 98 9, C 6 8.... Rq... Rq... Pq q q. q q q q q q q, R, R, R.,, R, P 6 R 9. 8, P 8...6. Pq q, P, P, P..7. Cq Rq q f, R, C, P...8. Cq Rq q f, R 8., C, P.. C C..9.. = a minimumhly, C. 8 C.... = a minimumhly,. = a maimumhly, P... P... P6... Dq Sq q. a maimális bvétl R.... Dq Sq q. = 6 a maimumhly, P6 6867. 6 a minimális átlagköltség. 8 a minimális átlagköltség., R 6, P., R6, Rq qdq. q q. A maimumhly q =,. A maimumhly q = 7, a maimális bvétl R7.. Rq qdq q q... Dq Sq q a maimális bvétl R....6. Rq qdq q q Rq qdq. q q... A maimumhly q =,.. A maimumhly q =, a maimális bvétl R...7. Dq q Dp p Dp Ha q 9, akkor p =, E. Ha q, akkor p = 9,.. E9 9 9 9. 9 P 6. 8
.. p..8. Dq q Dp p Dp Ha q, akkor p = 9, E9 Ha q, akkor p =, E. f 9 9... 9. 8 Diffrnciálszámítás dfiníciók, szabályok, tétlk f f h f f lim lim h. Az abszcisszájú ponton a függvényhz húzható érint gynlt: y f f. Ha lég közl van az -hoz, akkor f f f. Mvltk és a diffrnciálás kapcsolata.. cf cf.. f g f g.. f g f g.. f g f g g f f f.. g gf g g.6. f g f gg.7. f f f. Alapfüggvényk driváltja.. c n.... log.. n n, nr a ln a, R a a a R ln,,, ln h 6. Monotonitás és a drivált Lgyn az f függvény diffrnciálható az a; bintrvallumon. 8
Az f függvény akkor és csak akkor monoton növkv az a; bintrvallumon, ha f mindn a b ; -r. Az f függvény akkor és csak akkor monoton csökkn az a; bintrvallumon, ha f mindn a b ; -r. 7. Szélsérték és a drivált kapcsolata Ha az f függvény diffrnciálható az pont gy környztébn és f, valamint f driváltja ljlt vált az pontban, akkor f-nk -ban szélsérték van. Tgyük fl, hogy f kétszr diffrrnciálható az pont valamly környztébn és f, valamint f. Ekkor f-nk az pontban szélsérték van. Ha f, akkor maimum, ha f, akkor minimum a szélsérték. 8. Konv és konkáv jllg vizsgálata Tgyük fl, hogy f kétszr diffrnciálható az a; bintrvallumon. f akkor és csak akkor konv, ha a b mindn a b ; -r. f mindn ; -r, konkáv ha f 9. Infliós pont vizsgálata Tgyük fl, hogy az f függvény kétszr diffrnciálható az pont gy környztébn és f, valamint f ljlt vált az pontban. Ekkor f-nk infliós pontja van -ban.. Függvényvizsgálat lépési. Értlmzési tartomány mghatározása.. Párosság, páratlanság vizsgálata.. Els drivált kiszámítása.. Els drivált zérushlyink, illtv szakadási hlyink mghatározása.. Második drivált kiszámítása. 6. Második drivált zérushlyink, illtv szakadási hlyink mghatározása. 7. Táblázat készítés a.) második drivált ljlénk mghatározása a kritikus pontok által mghatározott intrvallumokon b.) az ls drivált ljlénk mghatározása a kritikus pontok által mghatározott intrvallumokon c.) f monoton szakaszainak, konv, konkáv szakaszainak mghatározása d.) infliós pontok és szélsérték hlyk mghatározása 8. Az f függvény határértékink kiszámítása az értlmzési tartomány "szélin". (A szakadási hlyk jobb és baloldalán, -bn és - -bn.) 9. A függvény grafikonjának lkészítés.. Az értékkészlt mghatározása.. Zérushlyk mghatározása. 8