www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.



Hasonló dokumentumok
Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

Lineáris programozás

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

ALGEBRA. 1. Hatványozás

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Sorozatok határértéke

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

Gyakorló feladatok II.

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra A prímek összege: = 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

A Gauss elimináció M [ ]...

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

A valós számok halmaza

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

1. gyakorlat - Végtelen sorok

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Kardos Montágh verseny Feladatok

Lineáris programozás

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1

2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

4. Hatványozás, gyökvonás

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:

Matematika II. Műszaki informatikai mérnökasszisztens. Galambos Gábor JGYPK

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Matematika I. 9. előadás

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Szoldatics József, Dunakeszi

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

n 1 1 n sehova szám (DÖNTETLEN) 1 0 k n n n 1 IZÉ HA a sorozat is lim akkor n NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE IZÉ

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

I. rész. Valós számok

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

Improprius integrálás

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

Improprius integrálás

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

1. Halmazok, relációk és függvények.

Minta feladatsor I. rész

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l n 6n + 8

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. KÖZÉPSZINT I.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

A Riemann-integrál intervallumon I.

Analízis I. gyakorlat

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

f (ξ i ) (x i x i 1 )

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

Lineáris egyenletrendszerek

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Mátrixok és determinánsok

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

MATEMATIKAI ANALÍZIS. a es tanévi záróvizsgára. Matematika szak

Matematika érettségi 2015 május 5

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Átírás:

Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például következős sort: 8 Itt bolh fárdékoy, ezért ugrási egyre rövidülek mide ugrás z előző ugrásák fele. Véges sok ugrássl sosem érheti el -t, mert midig fele kkorát ugrik, mit mi még hátrlévő út -ig.,, H viszot z ugrások szám végtele, kkor bolh éppe eljut -be. Egy másik bolh egyáltlá em fárdékoy, viszot meglehetőse zvrodott ugrál. esymths.hu Először ugrik -et, mjd vissz ugrik -et. Utá megit ugrik -et, mjd megit vissz. - Ez bolh z égvilágo sehov em jut el, h z ugrások szám végtele. Egy hrmdik fjt bolh midig előző ugrásák kétszeresét ugorj és így végtelebe jut el. 8 6 Ebből három esetből z első esetbe evezzük sort kovergesek, vgyis mikor bolh z ugrási sorá egy kokrét vlós számhoz jut el, és ezt vlós számot evezzük sor összegéek. H bolh ugrási sorá em jut el sehov, vgy végtelebe jut, kkor sor diverges. második és hrmdik sor tehát diverges, másodikk ics összege, míg hrmdik sor összege végtele. www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás

KL KPSOLTN KÉTFÉLE KÉRDÉS MERÜLHET FÖL SOR KONVERGENS VGY DIVERGENS-E ez egy viszoylg köye megválszolhtó kérdés KONVERGENI-KRITÉRIUMOK H SOR KONVERGENS, MI SOR ÖSSZEGE erre sokszor egyáltlá em tuduk válszoli és külöböző trükkök kelleek SOR ÖSSZEGÉNEK KISZÁMOLÁS. SZÜKSÉGES FELTÉTEL H diverges. kkor. LEINIZ- sor koverges, h de em biztos, hogy bszolút koverges.. MÉRTNI SOR ÖSSZEGE h q kkor q q h q kkor q diverges. GYÖK KRITÉRIUM H kkor bsz. koverges H esymths.hu kkor diverges H kkor em tudi mi v. HÁNYDOS KRITÉRIUM H kkor bsz. koverges H kkor diverges H kkor em tudi mi v. ÖSSZEHSONLÍTÓ KRITÉRIUM H és b em egtív tgú sorok, és egy bizoyos tgtól b kkor b koverges is koverges diverges b is diverges. SOR ÖSSZEGÉNEK KISZÁMOLÁS RÉSZLETÖSSZEG SOROZT HTÁRÉRTÉKÉVEL s hol s LÁSSUNK EGY PÉLDÁT: részletösszeg sorozt s mivel pedig s s sor összege. 6. HRMONIKUS koverges h diverges, h www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás

KONVERGENI KRITÉRIUMOK HSZNÁLT. SZÜKSÉGES FELTÉTEL H diverges. kkor Nézzük meg, hogy koverges-e például válsz z, hogy em, mert és ezért sor diverges. z állítás megfordítás viszot em igz, például hiáb ettől még diverges.. LEINIZ- z sor, hogy sor koverges, h de em biztos, hogy bszolút koverges. tehát Leibiz-sor vgyis koverges. De em bszolút koverges. sor is koverges. sort bszolút kovergesek evezzük, h mtekig.hu mi diverges, tehát z eredeti. GYÖK KRITÉRIUM H kkor bsz. koverges H kkor diverges H kkor em tudi mi v Nézzük meg, hogy koverges-e például lklmzzuk gyök kritériumot: Itt v ztá ez, hogy itt is lklmzzuk gyök kritériumot és ezért sor koverges, sőt bszolút koverges. em bsz. koverges www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás

www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás mtekig.hu e e e sor diverges. HÁNYDOS KRITÉRIUM H kkor bsz. koverges H kkor diverges H kkor em tudi mi v Nézzük meg, hogy koverges-e például lklmzzuk háydos kritériumot. zért háydost, mert fktoriális em szereti gyök kritériumot: : e és ezért sor koverges, sőt bszolút koverges. Itt v ztá ez, hogy gyök kritérium csődöt mod, mert Jegyezzük meg, hogy poliom/poliom esetbe csk z összehsolító kritérium yerő felülről becsüljük sort és ekkor koverges, mert ál gyobb sor koverges. érdemes megjegyezi, hogy

ÖSSZEGÉNEK KISZÁMÍTÁS MÉRTNI SOR ÖSSZEGKÉPLETE H q kkor q q H q kkor q diverges ÍME EGY PÉLD ezoosítjuk -et és q -t: q 9 6 esymths.hu tehát q MÉG EGY PÉLD: ezoosítjuk -et és q -t: 8 q tehát q ZTÁN MÉG EGY PÉLD: ezoosítjuk -et és q -t: 9 q 7 8 sj q ezért sor diverges ÉS VÉGÜL MÉG EGY PÉLD: ezoosítjuk tehát -et és q -t: q q 9 6 6 www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás

GOND KKOR VN, H NEM MÉRTNI SORRL KDUNK ÖSSZE. ILYENKOR RÉSZLETÖSSZEG SOROZT HTÁRÉRTÉKÉT KELL KISZÁMOLNUNK. s hol s LÁSSUNK EGY PÉLDÁT: evezőt szorzttá lkítjuk, ztá bűvészmuttváyok következek, felbotjuk törtet két tg külöbségére: Kitláljuk -t és -t. először -t ullázzuk ki: esymths.hu így beszorzuk, ztá egyszer -ek z együtthtóját ullázzuk le, utá meg -k z együtthtóját. így ztá meg -t ullázzuk ki: felbotás tehát / / részletösszeg sorozt ekkor / / / / / / / / s s mivel pedig s sor összege. www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás LÁSSUNK EGY MÁSIK PÉLDÁT: evezőt szorzttá lkítjuk, ztá megit bűvészmuttváyok következek, felbotjuk törtet két tg külöbségére: 6

www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás 7 esymths.hu LÁSSUNK EGY MÁSIK PÉLDÁT Megit szorzttá lkítjuk evezőt, ztá jöek bűvészmuttváyok. Prciális törtekre botuk. felbotás tehát részletösszeg sorozt ekkor s mivel pedig s s sor összege. LÁSSUNK ZTÁN EGY ONYOLULT PÉLDÁT: bűvészmuttváyok most még érdekesebbek. Jö prciális törtekre botás: Itt is ki kell tláluk -t -t és -t. beszorzuk: ztá egyesével leullázzuk jobb oldl tgjit. Ekkor / / Végül még egy trükk: KITLÁLJUK -T ÉS -T: ESZORZUNK így így

felbotás tehát megvol: / / Végül még egy trükk. középső tgot kettébotjuk és em is véletleül. zért botjuk ketté, hogy eki is / legye számlálój és így jobb szeressék őt többiek: / / / / / / No lássuk részletösszeg soroztot s / / / / / / / / / / / / / / / / Ki kée derítei, hogy kik esek itt ki. H kicsit ézegetjük, rr jutuk, hogy mide blokk két középső tgját z előtte és utá lévő blokk szélső tgji ejtik ki. Vgyis zok tgok mrdk meg, kik vgy legelső blokkb vgy legutolsób vk. Mégpedig: s / / / / esymths.hu részletösszeg sorozt htárértéke / / / / s és így s LÁSSUNK EGY MÁSIK ÉRDEKES PÉLDÁT: Itt is prciális törtekre botás módszerét hszáljuk, mégpedig következő módo. külöbség első tgjáb helyett - v második tgb v. Erre zért v szükség, hogy felbotás sorá teleszkopikus összeget kpjuk. Lássuk meyi és eszorzuk -el. Felbotjuk zárójeleket: www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás 8

www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás 9 KL KPSOLTN KÉTFÉLE KÉRDÉS MERÜLHET FÖL SOR KONVERGENS VGY DIVERGENS-E mtekig.hu KONVERGENI KRITÉRIUMOK HSZNÁLT ztá jobb oldlo redet rkuk: bl oldlo db v, tehát jobb oldlo is db kell, legye: bl oldlo kosts, tehát jobb oldlo is kell, legye: Ekkor és felbotás: részletösszeg sorozt s sor összege pedig részletösszeg sorozt htárértéke: s és így s