Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például következős sort: 8 Itt bolh fárdékoy, ezért ugrási egyre rövidülek mide ugrás z előző ugrásák fele. Véges sok ugrássl sosem érheti el -t, mert midig fele kkorát ugrik, mit mi még hátrlévő út -ig.,, H viszot z ugrások szám végtele, kkor bolh éppe eljut -be. Egy másik bolh egyáltlá em fárdékoy, viszot meglehetőse zvrodott ugrál. esymths.hu Először ugrik -et, mjd vissz ugrik -et. Utá megit ugrik -et, mjd megit vissz. - Ez bolh z égvilágo sehov em jut el, h z ugrások szám végtele. Egy hrmdik fjt bolh midig előző ugrásák kétszeresét ugorj és így végtelebe jut el. 8 6 Ebből három esetből z első esetbe evezzük sort kovergesek, vgyis mikor bolh z ugrási sorá egy kokrét vlós számhoz jut el, és ezt vlós számot evezzük sor összegéek. H bolh ugrási sorá em jut el sehov, vgy végtelebe jut, kkor sor diverges. második és hrmdik sor tehát diverges, másodikk ics összege, míg hrmdik sor összege végtele. www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás
KL KPSOLTN KÉTFÉLE KÉRDÉS MERÜLHET FÖL SOR KONVERGENS VGY DIVERGENS-E ez egy viszoylg köye megválszolhtó kérdés KONVERGENI-KRITÉRIUMOK H SOR KONVERGENS, MI SOR ÖSSZEGE erre sokszor egyáltlá em tuduk válszoli és külöböző trükkök kelleek SOR ÖSSZEGÉNEK KISZÁMOLÁS. SZÜKSÉGES FELTÉTEL H diverges. kkor. LEINIZ- sor koverges, h de em biztos, hogy bszolút koverges.. MÉRTNI SOR ÖSSZEGE h q kkor q q h q kkor q diverges. GYÖK KRITÉRIUM H kkor bsz. koverges H esymths.hu kkor diverges H kkor em tudi mi v. HÁNYDOS KRITÉRIUM H kkor bsz. koverges H kkor diverges H kkor em tudi mi v. ÖSSZEHSONLÍTÓ KRITÉRIUM H és b em egtív tgú sorok, és egy bizoyos tgtól b kkor b koverges is koverges diverges b is diverges. SOR ÖSSZEGÉNEK KISZÁMOLÁS RÉSZLETÖSSZEG SOROZT HTÁRÉRTÉKÉVEL s hol s LÁSSUNK EGY PÉLDÁT: részletösszeg sorozt s mivel pedig s s sor összege. 6. HRMONIKUS koverges h diverges, h www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás
KONVERGENI KRITÉRIUMOK HSZNÁLT. SZÜKSÉGES FELTÉTEL H diverges. kkor Nézzük meg, hogy koverges-e például válsz z, hogy em, mert és ezért sor diverges. z állítás megfordítás viszot em igz, például hiáb ettől még diverges.. LEINIZ- z sor, hogy sor koverges, h de em biztos, hogy bszolút koverges. tehát Leibiz-sor vgyis koverges. De em bszolút koverges. sor is koverges. sort bszolút kovergesek evezzük, h mtekig.hu mi diverges, tehát z eredeti. GYÖK KRITÉRIUM H kkor bsz. koverges H kkor diverges H kkor em tudi mi v Nézzük meg, hogy koverges-e például lklmzzuk gyök kritériumot: Itt v ztá ez, hogy itt is lklmzzuk gyök kritériumot és ezért sor koverges, sőt bszolút koverges. em bsz. koverges www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás
www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás mtekig.hu e e e sor diverges. HÁNYDOS KRITÉRIUM H kkor bsz. koverges H kkor diverges H kkor em tudi mi v Nézzük meg, hogy koverges-e például lklmzzuk háydos kritériumot. zért háydost, mert fktoriális em szereti gyök kritériumot: : e és ezért sor koverges, sőt bszolút koverges. Itt v ztá ez, hogy gyök kritérium csődöt mod, mert Jegyezzük meg, hogy poliom/poliom esetbe csk z összehsolító kritérium yerő felülről becsüljük sort és ekkor koverges, mert ál gyobb sor koverges. érdemes megjegyezi, hogy
ÖSSZEGÉNEK KISZÁMÍTÁS MÉRTNI SOR ÖSSZEGKÉPLETE H q kkor q q H q kkor q diverges ÍME EGY PÉLD ezoosítjuk -et és q -t: q 9 6 esymths.hu tehát q MÉG EGY PÉLD: ezoosítjuk -et és q -t: 8 q tehát q ZTÁN MÉG EGY PÉLD: ezoosítjuk -et és q -t: 9 q 7 8 sj q ezért sor diverges ÉS VÉGÜL MÉG EGY PÉLD: ezoosítjuk tehát -et és q -t: q q 9 6 6 www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás
GOND KKOR VN, H NEM MÉRTNI SORRL KDUNK ÖSSZE. ILYENKOR RÉSZLETÖSSZEG SOROZT HTÁRÉRTÉKÉT KELL KISZÁMOLNUNK. s hol s LÁSSUNK EGY PÉLDÁT: evezőt szorzttá lkítjuk, ztá bűvészmuttváyok következek, felbotjuk törtet két tg külöbségére: Kitláljuk -t és -t. először -t ullázzuk ki: esymths.hu így beszorzuk, ztá egyszer -ek z együtthtóját ullázzuk le, utá meg -k z együtthtóját. így ztá meg -t ullázzuk ki: felbotás tehát / / részletösszeg sorozt ekkor / / / / / / / / s s mivel pedig s sor összege. www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás LÁSSUNK EGY MÁSIK PÉLDÁT: evezőt szorzttá lkítjuk, ztá megit bűvészmuttváyok következek, felbotjuk törtet két tg külöbségére: 6
www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás 7 esymths.hu LÁSSUNK EGY MÁSIK PÉLDÁT Megit szorzttá lkítjuk evezőt, ztá jöek bűvészmuttváyok. Prciális törtekre botuk. felbotás tehát részletösszeg sorozt ekkor s mivel pedig s s sor összege. LÁSSUNK ZTÁN EGY ONYOLULT PÉLDÁT: bűvészmuttváyok most még érdekesebbek. Jö prciális törtekre botás: Itt is ki kell tláluk -t -t és -t. beszorzuk: ztá egyesével leullázzuk jobb oldl tgjit. Ekkor / / Végül még egy trükk: KITLÁLJUK -T ÉS -T: ESZORZUNK így így
felbotás tehát megvol: / / Végül még egy trükk. középső tgot kettébotjuk és em is véletleül. zért botjuk ketté, hogy eki is / legye számlálój és így jobb szeressék őt többiek: / / / / / / No lássuk részletösszeg soroztot s / / / / / / / / / / / / / / / / Ki kée derítei, hogy kik esek itt ki. H kicsit ézegetjük, rr jutuk, hogy mide blokk két középső tgját z előtte és utá lévő blokk szélső tgji ejtik ki. Vgyis zok tgok mrdk meg, kik vgy legelső blokkb vgy legutolsób vk. Mégpedig: s / / / / esymths.hu részletösszeg sorozt htárértéke / / / / s és így s LÁSSUNK EGY MÁSIK ÉRDEKES PÉLDÁT: Itt is prciális törtekre botás módszerét hszáljuk, mégpedig következő módo. külöbség első tgjáb helyett - v második tgb v. Erre zért v szükség, hogy felbotás sorá teleszkopikus összeget kpjuk. Lássuk meyi és eszorzuk -el. Felbotjuk zárójeleket: www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás 8
www.esymths.hu mtek világos oldl Mosóczi drás 9 KL KPSOLTN KÉTFÉLE KÉRDÉS MERÜLHET FÖL SOR KONVERGENS VGY DIVERGENS-E mtekig.hu KONVERGENI KRITÉRIUMOK HSZNÁLT ztá jobb oldlo redet rkuk: bl oldlo db v, tehát jobb oldlo is db kell, legye: bl oldlo kosts, tehát jobb oldlo is kell, legye: Ekkor és felbotás: részletösszeg sorozt s sor összege pedig részletösszeg sorozt htárértéke: s és így s