MATEMATIKAI ANALÍZIS. a es tanévi záróvizsgára. Matematika szak

Átírás

1 1 MATEMATIKAI ANALÍZIS es tnévi záróvizsgár Mtemtik szk

2 1. fejezet Vlós számsoroztok A vlós számsorozt foglmát következ képpen értelmezzük. 1. Értelmezés. Legyen X tetsz leges nem üres hlmz. Az f : N X leképzést soroztnk nevezzük. Az n = f(n) X elem sorozt áltlános tgj. A sorozt jelölése: ( n ). H X = R, kkor vlós számsoroztról, h X z (A i ) i I := {A i i I} hlmzcslád, kkor hlmzsoroztról beszélünk. Jelölése: (A n ). 2. Értelmezés. Az ( n ) sorozt htárértéke R, h bármely V környezete esetén létezik n V N úgy, hogy n V, bármely n > n V esetén. Azt mondjuk, hogy z ( n ) sorozt konvergens, h vn htárértéke. Ellenkez esetben soroztot divergensnek nevezzük. Konvergens sorozt htárértékének jelölése: lim n n. A környezet értelmezése és z bszolút érték segítségével htárérték foglmát másképpen is megfoglmzhtjuk. 1. Tuljdonság. lim n n = kkor és csk kkor, h minden ε > 0 vlós számhoz létezik olyn n ε természetes szám, hogy minden n > n ε esetén n < ε. 2

3 1.0. Vlós számsoroztok 3 3. Értelmezés. Az ( n ) sorozt htárértéke + ( ), h bármely c R számhoz létezik n c N úgy, ( hogy minden n ) > n c esetén n > c ( n < c). Jelölése: lim n = + lim n =. n n ( ) 1. Péld. lim 1 + ( 1)n = 1, mert n n 1 + ( 1)n 1 n = 1 n < ε, h n > n ε, hol n ε = [1/ε] ([x] z x egész részét jelöli). sin n 2. Péld. lim n n = 0, mert sin n n 0 1 n 1 3. Péld. lim = 0, h q > 1. n q n El ször igzoljuk zt, hogy z { q k < ε, h n > [1/ε]. : k N} hlmz felülr l nem korlátos. Ellenkez esetben létezik sup{ q k : k N} = s R. A fels htár értelmezése lpján létezik m N úgy, hogy s < q q m s. Ekkor s < q m+1, mi ellentmond z s értelmezésének. Ezért bármely ε > 0 számhoz létezik n ε N úgy, hogy 1 0 q = 1 < 1 < ε, h n q n q nε n > n ε. 4. Értelmezés. Az ( n ) sorozt korlátos, h létezik M > 0 úgy, hogy n M, bármely n N esetén. Az ( n ) sorozt felülr l (lulról) korlátos, h létezik M R úgy, hogy n M (M n ), bármely n N esetén. 5. Értelmezés. Az ( n ) sorozt növekv (szigorún növekv ), h n n+1, bármely n N esetén (h n < n+1, bármely n N esetén). Az ( n ) sorozt csökken (szigorún csökken ), h n+1 n, bármely n N esetén (h n+1 < n, bármely n N esetén). 2. Tuljdonság. ) Konvergens soroztnk csk egy htárértéke vn. b) Minden konvergens sorozt korlátos. c) Bármely növekv és felülr l korlátos sorozt konvergens; bármely csökken és lulról korlátos sorozt konvergens.

4 4 1. Vlós számrendszer. Vlós számsoroztok Bizonyítás. ) Feltételezzük, hogy lim n = és lim n =, hol n n. A 1. Tuljdonság lpján bármely ε > 0 esetén léteznek z n ε, n ε N úgy, hogy minden n > mx{n ε, n ε} természetes számr n < ε 2 és n < ε 2. Így n + n < ε, h n > mx{n ε, n ε}. Mivel ε > 0 tetsz leges, ezért 0 < ε < esetén ellentmondáshoz jutunk. b) Legyen lim n n =. A 1. Tuljdonságot lklmzzuk ε = 1 esetén. Így létezik n 1 N, melyre n < 1, bármely n > n 1 esetén. Innen n n + < 1 +, h n > n 1. Legyen M mx{ 1,..., n1, 1 + }. Ekkor n M minden n-re, tehát ( n ) korlátos. c) Legyen ( n ) növekv és felülr l korlátos. Ekkor z { n n N} hlmz felülr l korlátos, tehát létezik sup{ n n N} =: R. Így bármely ε > 0 esetén létezik n ε N úgy, hogy ε < nε. Mivel ( n ) növekv, ezért n ε < n esetén nε n. Így ε < nε n < +ε, vgyis n < ε, h n > n ε. Innen, 1. Tuljdonság mitt ( n ) konvergens és lim n n =. 6. Értelmezés. H ( n ) és (b n ) dott számsoroztok, kkor z ( n +b n ) soroztot két sorozt összegének, z ( n b n ) soroztot két sorozt szorztánk, és z ( ) n bn soroztot két sorozt hánydosánk nevezzük (feltételezve, hogy b n 0, bármely n N esetén). 3. Tuljdonság. Adottk z ( n ) és (b n ) soroztok úgy, hogy lim n = n és lim b n = b. Ekkor n ) lim ( n + b n ) = + b; n b) lim ( n b n ) = b; n c) lim n n bn =, b h b n 0 (n N) és b Tuljdonság. ) Adottk z ( n ) és (b n ) konvergens soroztok: lim n = és lim b n = b. H létezik n 0 N úgy, hogy n b n, n n bármely n > n 0 esetén, kkor b.

5 1.0. Vlós számsoroztok 5 b) H ( n ) és (b n ) konvergens soroztok: lim n =, lim b n = b n n úgy, hogy < b, kkor létezik n 0 N, melyre n < b n, bármely n > n 0 esetén. c) Az ( n ), (b n ) és (c n ) soroztok esetén létezik n 0 N úgy, hogy n b n c n, bármely n > n 0 természetes számr. H ( n ) és (c n ) konvergens soroztok, és lim n = lim c n, kkor (b n ) sorozt is n n konvergens és lim n = lim b n = lim c n. n n n Megjegyezzük, h 4. Tuljdonság, ) pontjábn z n < b n (n > n 0 ) feltétel teljesül, kkor is b következtetés. 4. Péld. A vlós számok hlmz bijektíven leképezhet zon p- dikus törtek hlmzár, melyeknek 0 nem periódus. Egy olyn (s n ) soroztot, melynek áltlános tgj s n = c 0 + c 1 p c n p n lkú, hol c 0 Z, c n {0, 1,..., p 1}, p > 1 természetes szám, p-dikus törtnek nevezzük, és (c 0, c 1 c 2... c n... ) p szimbólumml jelöljük. Azonnl láthtó, hogy (s n ) növekv és felülr l korlátos: s n+1 = s n + c n+1 p n+1 s n és s n < c p p = c n p p n < c 0 + p p 1, bármely n N esetén. Így 2. Tuljdonság, c) pontj szerint (s n ) konvergens. Jelölje α = lim s n. Ezért 2. Tuljdonság, ) pontj n lpján minden (c 0, c 1 c 2... c n... ) p p-dikus törthöz hozzárendelhet z egyértelm en meghtározott α szám.

6 6 1. Vlós számrendszer. Vlós számsoroztok Fordítv, legyen α R tetsz leges, és jelölje [α] 1, h α Z ]α[ := [α], h α Z. Legyen c 0 = ]α[ és c n = ]p n (α c 0 ) p n 1 c 1 p n 2 c 2... pc n 1 [, n N. Nyilván c n Z, 0 c n p 1 és Ekkor c 0 + c 1 p c n p n < α c 0 + c 1 p c n p n + 1 p n, n N. ( α = lim c 0 + c 1 n p c ) n, p n így z α-hoz hozzárendelhetjük (c 0, c 1 c 2... c n... ) p p-dikus törtet. Végül igzoljuk, hogy (c 0, c 1 c 2... c n... ) p p-dikus törtnek 0 nem periódus, vgyis nem létezik olyn k N, melyre 0 = c k+1 = c k+2 =... Vlóbn, ez utóbbi egyenl ségekb l zt kpjuk, hogy s k = s k+1 =..., honnn s k+m = s k < α s k+m + 1 p k+m = s k + 1 p k+m. Tehát 0 < α s k 1 p k 1 p m, minden m N esetén. Innen ellentmondás. 0 < α s k 1 p lim 1 k m p = 0, m Ugynkkor vlós számoknk olyn p-dikus törtek lkjábn vló meg-dás, melyeknek 0 nem periódus, egyértelm. Vlóbn, h (c 0, c 1 c 2... c n... ) p = (c 0, c 1c 2... c n... ) p és legkisebb k indexre c k > c k, kkor s k < α s k + 1 p k s k, ellent-

7 1.0. Vlós számsoroztok 7 mondás. Hsonlón jutunk ellentmondásr kkor is, h c k < c k. n 5. Péld. lim = 0, h q > 1. n q n Legyen x n = n, n N. Ekkor x n+1 q n x n = n+1 n+1 ; mivel lim = 1 < nq n nq q 1, ezért létezik n 0 N úgy, hogy x n+1 x n < 1, bármely n > n 0 esetén. Így (x n ) n>n0 szigorún csökken sorozt. Másrészt x n > 0, bármely n-re. A 2. Tuljdonság, c) pontj szerint (x n ) n>n0 konvergens sorozt. Legyen x = lim x n. Az x n+1 = n+1x n nq n összefüggés lpján x = 1 x vgyis x = 0. q Hsonló ötlettel igzolhtó, hogy is teljesül, hol q R. q n lim n n! = 0 6. Péld. lim n n = 1. n n Legyen ε > 0. A 5. Péld szerint lim = 0. Így létezik n (1+ε) n n ε N úgy, hogy 1 n < (1 + ε) n, bármely n > n ε esetén. Innen 1 n n < 1 + ε vgy n n 1 < ε, h n > n ε. Tehát lim n n n = Péld. Az (e n ) sorozt konvergens, hol e n = ( n) n, n 1. Azt igzoljuk, hogy e n < e n+1 (n N) és e n < 3 (n N). Ekkor 2. Tuljdonság, c) pontj lpján létezik lim n e n. Vezessük be z e := lim n e n jelölést (Euler szerint). A számtni és mértni középrányosok közötti egyenl tlenség lklmzásából z 1 =... = n = n és n+1 = 1 számok esetén kpjuk, hogy n ( n) + 1 n + 1 > n+1 ( n vgy ( n+1 ) n+1 > ( n) n. Így z (e n ) sorozt szigorún növekv. ) n

8 8 1. Vlós számrendszer. Vlós számsoroztok Továbbá, e n = = 1 + < 1 + ( n) n = 1 + n k=1 n k=1 n k=1 ( 1 k! 1 1 n 1 n k! 1 + k=1 n(n 1)... (n k + 1) k! ( 1 k 1 ) < n )... Így z (e n ) sorozt felülr l korlátos. 1 n k = 1 2 = k < 3. 2n 1 7. Értelmezés. Az ( n ) soroztot fundmentálisnk vgy Cuchysoroztnk nevezzük, h bármely ε > 0 számhoz létezik n ε N úgy, hogy minden m > n ε és n > n ε esetén m n < ε. 5. Tétel. (Cuchy). Az ( n ) vlós számsorozt kkor és csk kkor konvergens, h ( n ) fundmentális. Bizonyítás. Szükségesség. Feltételezzük, hogy lim n n =. A 1. Tuljdonság szerint bármely ε > 0 számhoz létezik n ε N úgy, hogy minden m > n ε és n > n ε esetén m < ε 2 és n < ε 2. Innen m n m + n < ε 2 + ε 2 = ε, vgyis ( n ) fundmentális sorozt. Elégségesség. Legyen ( n ) fundmentális sorozt, és ε > 0 dott. A 7. Értelmezés lpján létezik k ε N úgy, hogy m k < ε, h 3 m k ε és k k ε. Rögzítsük z m = k ε értéket; k k ε esetén kε ε 3 < k < kε + ε 3. (1.0.1) Így z ( k ) sorozt korlátos. Az n N esetén jelölje: x n := inf{ k k n} és y n := sup{ k k n}. Mivel ( n ) korlátos sorozt, ezért

9 1.0. Vlós számsoroztok 9 x n, y n R, bármely n-re. Továbbá, z x n és y n értelmezése lpján x n x n+1 y n+1 y n, n N. Egy ismert tuljdonság lpján létezik R, melyre x n y n, bármely n-re. Másrészt x n = inf{ k k n} k sup{ k k n} = y n, h k n. Innen k y n x n, k n. (1.0.2) Viszont (1.0.1) lpján kε ε 3 inf{ k k n} = x n y n = sup{ k k n} kε + ε 3, h n > k ε. Így y n x n 2ε 3 < ε, h n > k ε. Ekkor z (1.0.2) lpján k < ε, h k > k ε. Következésképpen ( k ) konvergens sorozt. 8. Péld. A 4. Példábn bevezetett (s n ) soroztról igzoljuk, hogy fundmentális. kkor Vlóbn, s n = (c 0, c 1... c n ) p = c 0 + c 1 p s m s n = cn p n. H m > n, c n+1 p c ( m 1 n+1 p m (p 1) p ) = n+1 p m ( ) n+1 ( = (p 1) 1 p 1 1 p 1 p ) m+1 < 1 p n. H dott z ε > 0, kkor létezik n ε N úgy, hogy 1 < ε. Így s p nε m s n < 1 < 1 < ε, hol n > n p n p nε ε. Tehát (s n ) fundmentális. A 5. Tétel lpján (s n ) konvergens R-ben. 9. Péld. Az ( n ) sorozt nem konvergens, h n = n, n N. Így lim n n = +. Mivel 2n n = 1 n n + n > n 1 2n = 1 2,

10 10 1. Vlós számrendszer. Vlós számsoroztok bármely n N esetén, ezért 5. Tétel lpján z ( n ) sorozt divergens. 8. Értelmezés. Adott z ( n ) sorozt és z n 1 < n 2 <... < n k <... természetes számok szigorún növekv sorozt. Ekkor z ( nk ) soroztot z ( n ) sorozt részsoroztánk nevezzük. 10. Péld. Az 1, 3, 5,... pártln természetes számok sorozt z 1, 2, 3,... természetes számok soroztánk részsorozt, viszont 3, 1, 5, 7, 9,... sorozt már nem részsorozt természetes számok soroztánk. 6. Tétel. (Cesro; Bolzno-Weierstrss). Minden korlátos vlós számsoroztnk vn konvergens részsorozt. Bizonyítás. Legyen E := { n n N}, hol ( n ) korlátos sorozt. H E véges hlmz, kkor létezik E és n 1 < n 2 <... < n k <..., n k N úgy, hogy n1 = n2 =... =. Így z ( nk ) részsorozt konvergens. H E végtelen, kkor E. Legyen E. Ekkor létezik n 1 N úgy, hogy n1 < 1. H n k N úgy, hogy nk < 1, kkor k torlódási pont értelmezése lpján létezik n k+1 N, n k < n k+1 úgy, hogy nk+1 < 1. Mivel lim k+1 k konvergens és lim nk =. k 1 k = 0, ezért z ( n k ) részsorozt 7. Tuljdonság. Minden vlós számsoroztnk vn vgy konvergens részsorozt vgy olyn részsorozt, mely (+ )-be vgy ( )-be trt. Bizonyítás. H ( n ) korlátos sorozt, kkor 6. Tétel szerint vn konvergens részsorozt. H ( n ) felülr l (lulról) nem korlátos, kkor bármely k N esetén létezik n k N úgy, hogy nk > k ( nk < k) és n k < n k+1. Így z ( nk ) részsorozt (+ )-be (( )-be) trt. 9. Értelmezés. Tekintsük z ( k ) soroztot. H ( k ) lulról korlátos sorozt, kkor értelmezzük z i n = inf{ k k n} számokt. Mivel i n

11 1.0. Vlós számsoroztok 11 i n+1, bármely n N esetén, ezért vgy lim i n véges vgy lim i n = +. n n A lim i n htárértéket z ( k ) sorozt lsó htárértékének nevez- n zük. Jelölése: lim k értelmezés szerint lim k k. H z ( k ) sorozt lulról nem korlátos, kkor k =. Hsonlón értelmezzük fels htárértéket: lim k k := lim s n, hol s n = sup{ k k n}, h ( k ) felülr l korlátos. H z ( k ) n sorozt felülr l nem korlátos, kkor értelmezés szerint lim k = +. k Azonnl láthtó, hogy lim k lim k. k k 11. Péld. H k = ( 1) k, k N, kkor és lim k = lim inf{( 1) k k n} = lim ( 1) = 1 k n n lim k = lim sup{( 1) k k n} = lim 1 = 1. k n n 12. Péld. H k = k ( 1)k, k N, kkor és lim k = lim inf{k ( 1)k k n} = lim 0 = 0 k n n lim k = lim sup{k ( 1)k k n} = lim (+ ) = +. k n n 13. Péld. H k = ( 1)k, k N, kkor k { ( 1) k lim k = lim inf k n k és { ( 1) k lim k = lim sup k n k } k n = lim n } k n = lim n 1, n h n pártln = 0, n+1 h n páros 1 1, h n páros n = 0. 1, h n pártln n+1

12 12 1. Vlós számrendszer. Vlós számsoroztok 14. Péld. H k = ( 1) k k, k N, kkor lim k = lim inf{( 1) k k k n} = lim ( ) = k n n lim k = lim sup{( 1) k k k n} = lim (+ ) = +. k n n és Az lsó és fels htárérték jobb megértéséhez vezessük be következ foglmt: 10. Értelmezés. Egy vlós szám (vgy + vgy ) egy sorozt prciális htárértéke, h soroztnk vn z dott számhoz konvergens részsorozt. 8. Tuljdonság. Egy korlátos sorozt lsó htárértéke illetve fels htárértéke sorozt legkisebb illetve legngyobb prciális htárértéke. Bizonyítás. Legyen ( k ) korlátos sorozt és i = lim k. Az (i n ), i n = k inf{ k k n} soroztról tudjuk, hogy i n i n+1 és i = lim i n. Az n lsó htár értelmezése lpján minden n-re létezik k n N úgy, hogy i n kn < i n + 1 és k ) n n < k n+1. Mivel lim = i, ezért 4. Tuljdonság, c) pontj szerint lim kn n i prciális htárérték. ( i n = lim in + 1 n n n = i. Ezzel igzoltuk, hogy Most igzoljuk, hogy i legkisebb prciális htárérték. Vlóbn, lim i n = i mitt bármely ε > 0 esetén létezik n N úgy, hogy n i ε < i n = inf{ k k n} k, h k n. Az i ε < k, k n, egyenl tlenség zt jelenti, hogy z ( k ) soroztnk minden prciális htárértéke i ε. Viszont ε tetsz leges, ezért z ( k ) sorozt prciális htárértékei i. Következésképp i legkisebb prciális htárérték. Hsonlón járunk el fels htárérték esetében is. Tekintettel 10. Értelmezésre és 8. Tuljdonságr kijelenthet következ tuljdonság:

13 1.0. Vlós számsoroztok Tuljdonság. Bármely sorozt esetén z lsó htárérték legkisebb prciális htárérték, míg fels htárérték legngyobb prciális htárérték. 10. Következmény. Egy sorozt kkor és csk kkor konvergens vgy trt (+ )-be vgy ( )-be, h sorozt lsó htárértéke egyenl fels htárértékével. Bizonyítás. H lim k = lim k = R, kkor k k i n = inf{ k k n} n sup{ k k n} = s n lpján lim n =. H lim k = lim k =, kkor n k k n sup{ k k n} = s n, tehát lim n =. H lim k = lim k = +, kkor n k k n inf{ k k n} = i n +, tehát lim n n = Következmény. Konvergens sorozt minden részsorozt konvergens, és htárértéke egyenl z eredeti sorozt htárértékével. Bizonyítás. Vlóbn, sorozt bármely részsoroztánk lsó htárértéke és fels htárértéke z dott sorozt lsó htárértéke és fels htárértéke között tlálhtó. Mivel sorozt konvergens, ezért lsó htárértéke egyenl fels htárértékével. Következésképp részsorozt lsó htárértéke is egyenl fels htárértékével, mi 30. Következmény lpján zt jelenti, hogy részsorozt konvergens. Mi több, részsorozt htárértéke egyenl z dott sorozt htárértékével.

14 2. fejezet Vlós számsorok, végtelen szorztok 2.1. A számsorokról áltlábn A számsor foglm z ókori görög mtemtikusok munkáibn is megtlálhtó z innitezimális módszerek kidolgozásávl kpcsoltosn. Az ókori Görögországbn korán felgyeltek z olyn sjátos problémákr, melyek meg-oldásához htárátmenet, végtelen folymt, folytonosság stb. vizsgáltár volt szükség. Már z összemérhetetlen mennyiségek felfedezése felvetette hsonló problémák rcionális mgyráztánk feldtát. A problémák e csoportját rövidesen geometri oldláról közelítették meg. Azonbn itt is hsonló nehézségekkel ütköztek (távolságok, térfogtok ngyságánk meghtározás). Az ókori tudósok egyes csoportji úgy kerestek kiutt ezekb l nehézségekb l, hogy z tomist lozófusok nézeteit mtemtikár is lklmzták. Elgondolásik Démokritosz (i.e. kb ) természetlozói iskolájábn jutottk kifejezésre, mely szerint minden test végtelen kicsiny tomokból tev dik össze. A testek tom- 14

15 2.1. A számsorokról áltlábn 15 jink lkjábn, elhelyezkedésében és összekpcsolódásuk módjábn különböznek egymástól. Ez z tomisztikus szemlélet mtemtikábn is elterjedt nnk ellenére, hogy több kifogás is megfoglmzódott ezen szemlélettel szemben. Ezek z ún. Zénón poriái; ezekhez logiki prdoxonokhoz kkor jutott, mikor folytonos mennyiségeket végtelen kis részecskék végtelen hlmzából próbált megkpni. Az poriák közül legismertebbek: ) felezés (dichotomi), vgyis mozgás megvlósíthttlnság; mivel z utt végtelen sok részre lehet osztni (felezések vég nélküli ismétlésével), ezért z útszkszok végtelen egymásutánját kell leküzdeni (mtemtikilg kifejezve, ez 1 = 1 tény tgdásához vezet); 2 k k=1 b) Akhilleusz nem tudj utolérni tekn sbékát; mivel egymás után el kell érnie zokt helyeket, hol tekn sbék pillntnyilg trtózkodik, vgyis z útszkszok végtelen soroztát kell kimerítenie (mtemtikilg ) ez ellentmond nnk z kkor már imert ténynek, hogy ; k=0 1 n k = n n 1 c) nyíl repülése lehetetlen, h z id t diszkrét pillntok, teret pedig diszkrét pontok összességének tekintjük. Zénón poriái meggy z en igzolták, hogy h feldtok pontos bizonyítását és logikilg kimerít megoldását keressük, nem szbd végtelent niv tomist felfogásr támszkodv hsználni. Hsonló célok eléréséhez ki kell dolgozni és kuttásb be kell vonni olyn módszereket, melyek végtelen kicsiny elemek különféle fjtáivl együtt htárátmenetükre vontkozó következtetéseket is trtlmzzák. Az egyik legkorábbi ilyen módszer kimerítés módszere volt. Felfedez jének áltlábn Eudokszoszt trtják. Alklmzásár példákt tlálhtunk Euklidész Elemek cím m vében, továbbá Arkhimédész egész sor m vében. Arkhimédész f ként levél lkjábn írt m veit. Tíz, ránylg ngy és néhány kisebb mtemtiki jelleg m ve mrdt fenn. Mtemtiki m veinek lpvet tuljdonság szigorú mtemtiki

16 16 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok módszerek lklmzás mechnik és zik területér l vett kisérletielméleti nyg kidolgozásábn. Ez tuljdonság vtj Arkhimédész munkáit z lklmzott mtemtiki ismeretek, számolási technik, z új mtemtiki - különösen z innitezimális - módszerek fejl désének lighnem legfényesebb példképévé kés ntik korbn. A kimerítés módszerét síkidomok területének, testek térfogtánk, görbe vonlk hosszúságánk kiszámításár, görbékhez húzott érint k meghtározásár stb. hsználták. A módszer mtemtiki lényege következ m veletek egymásutáni végrehjtásából áll: ) H például B lkztot kell négyszögesíteni, kkor els lépésként beírják ebbe z lkztb A 1, A 2,..., A n,... lkztok soroztát, melyek területei monoton növekednek, és terület sorozt minden egyes tgjár meghtározhtó (2.1. ábr). b) Az A k (k = 1, 2, 3,... ) lkztokt oly módon válsztják ki, hogy pozitív B \ A k különbség tetsz legesen kicsivé tehet legyen. c) Abból tényb l, hogy létezik körülírt lkzt, továbbá ennek körülírt lkztnk felépítéséb l rr következtetnek, hogy "kimerít " beírt lkztok sorozt felülr l korlátos. d) Burkolt formábn, rendszerint más elméleti és gykorlti megfontolások segítségével, megkeresik beírt lkztok soroztánk A htárértékét. e) Bebizonyítják, minden feldtr külön-külön, hogy A = B. A bizonyítás rendszerint indirekt. A kimerítés módszerével ily módon igzolják htárérték egyértelm ségét. Más eljárásokkl kombinálv e módszer lklms htárérték megkeresésére is. Azonbn htárérték létezésének kérdésére e módszer nem tud válszt dni. A kimerítés módszerének logiki szigorúságát évszázdokon át nem tudták felülmúlni. Lényegében csk XIX. százd hozt meg ezt. Ekkor kezdtek megoldódni zok problémák, melyek kimerítés n-

17 2.1. A számsorokról áltlábn 17 A 2 B A 1

18 18 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok tik módszerének logiki lényegéb l közvetlenül következtek. Azonbn kimerítés mód-szerének formáj még igen tökéletlen volt. A módszert csk konkrét feldtokkl kpcsoltbn fejtették ki, tehát még nem érte el fejlett lpfoglmk rendszerével és egységes lgoritmusokkl rendelkez bsztrkt módszer rngját. A htárérték egyértelm ségét minden feldtbn újr bebizonyították. E negtívumok fennállás nem vlmi különös véletlen. Az helyzet, hogy minden erre vontkozó kísérlet, hogy feldtok elég széles osztályár ezt bizonyítást egyszer s mindenkorr bevezessék, elkerülhetetlenül mg után vont nnk szükségességét, hogy egy sor innitezimális természet foglmt megmgyrázznk. Rcionális mgyráztot kellett voln dni z olyn foglmkr, mint végtelen kicsiny foglm, minden htáron túli megközelítés stb. Az ezekkel kpcsoltos nehézségeket z ókori mtemtik nem tudt legy zni Vlós számsorok 1. Értelmezés. Tekintsük z ( n ) vlós számsoroztot, és értelmezzük z (s n ) soroztot úgy, hogy s n = n (n N). Ekkor z (( n ), (s n )) soroztpárt vlós számsornk nevezzük. Jelölése: n n 1 vgy n. Az (s n ) sorozt részletösszeg sorozt, s n n=1 rend részletösszeg, míg n sor áltlános tgj. z n-ed 2. Értelmezés. A n n sor konvergens, h z (s n ) sorozt konvergens; ebben z esetben sor összege lim n s n htárérték. Ellenkez esetben n 1 n sor divergens. 1. Péld. A 1 hrmonikus sor divergens. n n 1 Vlóbn, z 1. Fejezet, 9. Példáj szerint z (s n ), s n = sorozt divergens. Így hrmonikus sor is divergens. n

19 2.2. Vlós számsorok Péld. A n 1 Mivel s n = 1 n(n+1) sor konvergens n(n + 1) = = n 1 n + 1 = 1 1 n + 1, ezért lim n s n = 1. Így sor konvergens és összege Péld. A n 1 q n 1, q R, mértni sor kkor és csk kkor konvergens, h q < 1. Azonnl láthtó, hogy s n = 1 q n, h q 1 1 q n, h q = 1. H q < 1, kkor lim s n = 1 ; h q = 1, kkor lim s n 1 q n = + ; h q = 1, kkor n (s n ) divergens; h q > 1, kkor lim s n = + ; h q < 1, kkor (s n ) n divergens. Így vlóbn mértni sor kkor és csk kkor konvergens, h q < Tuljdonság. A n 1 n sor konvergenciájánk szükséges feltétele z, hogy lim n n = 0. Bizonyítás. H n 1 n konvergens, kkor lim n s n = s. Ekkor lim n s n 1 = s. Így lim n = lim (s n s n 1 ) = s s = 0. n n Megjegyezzük, hogy tuljdonság nem elégséges: 1 sor n n 1 1 divergens, de lim = 0 (lásd z 1. Példát). Ellenben, h sor áltlános n n tgj nem trt nullához, kkor sor divergens. 2. Tétel. (Cuchy áltlános konvergenci kritérium). Annk szükséges és elégséges feltétele, hogy n 1 n sor konvergens legyen z, hogy

20 20 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok bármely ε > 0 esetén létezzen n ε N úgy, hogy minden m > n > n ε esetén n m < ε. Bizonyítás. A bizonyítás zonnli, h z (s n ) soroztr lklmzzuk z 1. Fejezet, 5 Tételét. 3. Következmény. ) H sor véges számú tgjánk sorrendjét megváltozttjuk, kkor sor természete és összege nem változik meg. b) H egy sor tgjihoz hozzádunk vgy elveszünk véges számú tgot, sor természete nem változik meg. Alább értelmezzük váltkozó el jel sor foglmát, és megdjuk Leibniz-féle elégséges konvergenci kritériumot. 3. Értelmezés. A n 1( 1) n 1 n = ( 1) n 1 n +... sort, hol n > 0, bármely n N esetén, váltkozó el jel sornk nevezzük. 4. Tétel. (Leibniz-féle kritérium). H z ( n ) sorozt csökken és lim n = 0, kkor ( 1) n 1 n sor konvergens. n n 1 Bizonyítás. Mivel s n = n, ezért s 2n+2 = ( 1 2 ) ( 2n 1 2n ) + ( 2n+1 2n+2 ) = s 2n + ( 2n+1 2n+2 ). Viszont ( n ) csökken, így 2n+1 2n+2 0. Innen s 2n s 2n+2. Másrészt s 2n = 1 ( 2 3 )... ( 2n 2 2n 1 ) 2n. Mivel ( n ) csökken sorozt és 2n 0, ezért s 2n 1. Így igzoltuk zt, hogy z (s 2n ) sorozt növekv és felülr l korlátos, tehát (s 2n ) konvergens. Mivel s 2n+1 = s 2n + 2n+1 és lim 2n+1 = 0, ezért lim s 2n+1 = lim s 2n. Így z (s n ) konvergens n n n sorozt, mi zt jelenti, hogy n 1( 1) n 1 n sor konvergens. 4. Péld. A n 1( 1) n 1 1 n sor konvergens (Leibniz-sor).

21 2.2. Vlós számsorok Tétel. (Dirichlet-Abel-féle kritérium). H n 1 n sor áltlános tgj n = α n x n lkú, és teljesülnek következ feltételpárok: ) (α n ) csökken sorozt és lim n α n = 0; b) n 1 x n sor részletösszeg sorozt korlátos, vgy c) (α n ) monoton és korlátos sorozt; d) n 1 x n sor konvergens, kkor n 1 n sor konvergens. Bizonyítás. Feltételezzük, hogy z ) - b) feltételpár teljesül. Legyen s n = x x n, n N. A b) feltétel lpján létezik M > 0 úgy, hogy s n M, bármely n-re. Az ) feltétel szerint lim α n = 0, ezért bármely n ε > 0 esetén létezik n ε N úgy, hogy α n < ε, bármely n > n 2M ε esetén. Továbbá, gyelembe véve, hogy α n α n+1 0 tetsz leges n-re, írhtó: n n+p = = α n+1 x n α n+p x n+p = = α n+1 (s n+1 s n ) α n+p (s n+p s n+p 1 ) = = α n+1 s n + (α n+1 α n+2 )s n (α n+p 1 α n+p )s n+p 1 + α n+p s n+p α n+1 s n + (α n+1 α n+2 ) s n (α n+p 1 α n+p ) s n+p 1 + α n+p s n+p M(α n+1 + α n+1 α n α n+p 1 α n+p + α n+p ) = = 2Mα n+1 < ε,

22 22 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok bármely n > n ε esetén. Így minden ε > 0 esetén létezik n ε N úgy, hogy n n+p < ε, bármely n > n ε és p N esetén, mi 2. Tétel szerint zt jelenti, hogy n 1 n konvergens. H c) - d) feltételpár teljesül, kkor d) szerint n 1 x n sor részletösszeg sorozt korlátos és lim s n = x, hol s n = x x n. n Feltételezzük, hogy (α n ) csökken sorozt. Ekkor létezik lim α n =: α. n Így z (α n α) sorozt is csökken és lim (α n α) = 0. Viszont n n α k x k = k=1 n n (α k α)x k + αx k = k=1 k=1 n (α k α)x k + αs n. k=1 Mivel n 1(α n α)x n sor konvergens z ) - b) feltételpár mitt, ezért α n x n = n sor is konvergens. n 1 n 1 H (α n ) növekv sorozt, kkor z eljárás hsonló z el bbihez, tekintve z (α α n ) csökken soroztot. Az ) - b) feltételpárt Dirichlet-féle feltételeknek, míg c) - d) feltételpárt z Abel-féle feltételeknek nevezzük. 5. Péld. A n 1( 1) n 1 1 n 2 sor konvergens. Vlóbn, h α n = 1 n 2 és x n = ( 1) n 1, n N, kkor z (α n ) sorozt csökken és htárértéke 0. Viszont 0, h n páros s n = x x n = ( 1) n 1 = 1, h n pártln. Ezért z (s n ) sorozt korlátos. Így Dirichlet-kritérium biztosítj, hogy sor konvergens. 6. Péld. A n 1 1 sin n sor konvergens. n Legyen α n = 1 n és x n = sin n, n N. Az (α n ) sorozt csökken

23 2.2. Vlós számsorok 23 és lim n α n = 0. Továbbá s n = x x n = sin sin n = sin n 2 sin 1 2 sin n+1 2 ezért s n (sin 1 2 ) 1, bármely n-re. Így Dirichlet-kritérium lpján sor konvergens. A továbbikbn z ún. pozitív tgú sorokt tnulmányozzuk. 4. Értelmezés. A n 1 n sor pozitív tgú, h n > 0, bármely n N esetén. 6. Tuljdonság. A pozitív tgú n 1 n sor kkor és csk kkor konvergens, h részletösszeg sorozt felülr l korlátos. Bizonyítás. Az állítás zonnl következik 17. Értelmezésb l és z s n+1 s n = n+1 > 0, n N, egyenl tlenségb l. 7. Tétel. (összehsonlítási kritérium). Adottk n és b n pozitív n 1 n 1 tgú sorok. H létezik n 0 N úgy, hogy n b n, bármely n > n 0 esetén, kkor b n sor konvergenciájából következik, hogy n is n 1 n 1 konvergens, míg h n divergens, kkor b n is divergens. n 1 n 1, Bizonyítás. H b n sor konvergens, kkor z s n = b b n n 1 áltlános tgú részletösszeg sorozt felülr l korlátos. Az n b n, n > n 0 feltétel lpján z s n = n áltlános tgú részletösszeg sorozt is felülr l korlátos. Így 14. Tuljdonság mitt n sor is n 1 konvergens. Továbbá, h n divergens sor, kkor z s n = n n 1 áltlános tgú sorozt felülr l nem korlátos. Tekintettel z n b n (n > n 0 ) feltételre következik, hogy z s n = b b n áltlános tgú sorozt sem korlátos felülr l. Így 14. Tuljdonság lpján b n sor n 1 divergens.

24 24 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok 7. Péld. A n 1 1 áltlánosított hrmonikus sor divergens, h α < 1. n α Mivel 1 1, h n N és α < 1, és 1 divergens (lásd z n n α n n 1 1. Példát), ezért z áltlánosított hrmonikus sor divergens 7. Tétel lpján. 8. Tétel. (Cuchy-féle kondenzálási kritérium). H n... 0, kkor n sor kkor és csk kkor konvergens, h n 1 2 k 2 k sor konvergens. k 1 Bizonyítás. Jelölje s n := n és s n := n 2 n, n N. Mivel z ( n ) sorozt csökken, ezért 2 2 1, , ,..., 2 n 2 n+1 2 n n +2 n 2 n 2 n. Összegezve 1 2 s n+1 s 2 n+1 1 s n + 1, n N. Innen z következik, hogy h n 1 n konvergens, kkor z (s n) sorozt korlátos, így 6. Tuljdonság lpján 2 k 2 k konvergens; h n divergens, k 1 n 1 kkor lim s 2 n+1 = +, tehát lim s n = +, vgyis 2 k 2 k divergens n n k 1 sor. 8. Péld. A n 1 1 áltlánosított hrmonikus sor konvergens, h α > 1. n α A 8. Tétel lpján n 1 1 n α és ( ) α 1 2 k = (2 1 α ) k k 1 2 k sorok zonos természet ek (egyid ben konvergensek vgy divergensek). De 3. Péld szerint k 1(2 1 α ) k sor konvergens, h 2 1 α < 1 vgyis h α > Tétel. (hánydos vgy d'alembert-féle kritérium). Tekintsük n 1 n pozitív tgú sort. k 1

25 2.2. Vlós számsorok 25 ) H létezik q ]0, 1[ és n 0 N úgy, hogy n+1 n q, bármely n > n 0 esetén, kkor n 1 n sor konvergens. b) H létezik n 0 N úgy, hogy n+1 n kkor n sor divergens. n 1 1, bármely n n 0 esetén, Bizonyítás. ) Mivel n+1 q n, n > n 0, ezért n q n 1 q 2 n 2... q n n0 1 n0 +1, h n > n 0. Mivel q ]0, 1[, ezért q n n 0 1 n>n 0 +1 sor konvergens (3. Péld), tehát 7. Tétel biztosítj, hogy n 1 n sor konvergens. b) H n+1 n, n > n 0, kkor n n 1... n0 +1 > 0. Így ( n ) sorozt nem trt nullához, tehát z 1. Tuljdonság szerint n sor divergens. n Következmény. H n 1 n pozitív tgú sor és létezik lim n n+1 n = l htárérték, kkor ) sor konvergens, h l < 1; b) sor divergens, h l > 1; c) kritérium nem lklmzhtó, h l = 1. Bizonyítás. ) A konvergens sorozt felhsználásávl bármely ε > 0 számhoz létezik n ε N úgy, hogy minden n > n ε esetén l ε < n+1 n < l+ε. Mivel l < 1, ezért megválszthtó z ε > 0 úgy, hogy l+ε =: q < 1. Így q ]0, 1[ és n+1 n < q, h n > n ε. Ezért 9. Tétel, ) pontj lpján n konvergens. n 1 b) H l > 1, kkor z ε-t úgy válsztjuk meg, hogy l ε 1. Ekkor n+1 n > 1, h n > n ε, mi 9.Tétel, b) pontj lpján zt jelenti, hogy n divergens. n 1

26 26 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok c) Az 1. Péld, 7. Péld és 8. Péld lpján n 1 h α 1 és konvergens, h α > 1. Mivel lim n 1 (n+1) α 1 n α = 1, ezért l = 1 esetben kritérium vlóbn nem lklmzhtó. 1 n α divergens, 11. Tétel. (gyök vgy Cuchy-féle kritérium). Tekintsük n 1 n pozitív tgú sort. ) H létezik q ]0, 1[ és n 0 N úgy, hogy n n q, bármely n > n 0 esetén, kkor n sor konvergens. n 1 ) H létezik n 0 N úgy, hogy n n 1, bármely n > n 0 esetén, kkor n sor divergens. n 1 Bizonyítás. ) Mivel n q n, n > n 0 és n 1 q n konvergens q ]0, 1[ esetben, ezért 7. Tétel lpján n 1 n konvergens. b) Mivel n 1, h n > n 0, ezért z ( n ) sorozt nem trt nullához. Így z 1. Tuljdonság szerint n 1 n sor divergens. 12. Következmény. H n 1 n pozitív tgú sor és létezik lim n n n = l htárérték, kkor ) sor konvergnes, h l < 1; b) sor divergens, h l > 1; c) kritérium nem lklmzhtó, h l = 1. Bizonyítás. Az állítás ) és b) pontjit 10. Következményhez hsonlón igzoljuk. A c) esetben 1, α R hrmonikus sort tekintjük, n α n 1 mely konvergens α > 1 esetén és divergens α 1 esetén. Viszont

27 2.2. Vlós számsorok 27 n 1 lim n n α = 1, tehát kritérium nem lklmzhtó z l = 1 esetben. 13. Tétel. (Rbe-Duhmel-féle kritérium). Tekintsük n 1 n pozitív tgú sort. ( ) ) H létezik q ]1, [ és n 0 N úgy, hogy n n n+1 1 q, bármely n > n 0 esetén, kkor n sor konvergens n 1 ( ) b) H létezik n 0 N úgy, hogy n n n+1 1 esetén, kkor n sor divergens. n 1 1, bármely n > n 0 Bizonyítás. ) Mivel q ]1, [, ezért legyen d := q 1 > 0. Az dott egyenl tlenséget írjuk fel más lkbn: n n n n+1 (1 + d) n+1 vgy n+1 1 d [n n (n + 1) n+1 ]. Innen n d [(n 0 +1) n0 +1 (n 0 +2) n0 +2],..., n 1 d [(n 1) n 1 n n ]; kpott egyenl tlenségeket összegezve: vgy n n 1 d [(n 0 + 1) n0 +1 n n ] n d s n = n n n d n0 +1 n0 +1. Így z (s n ) részletösszeg sorozt felülr l korlátos. Ekkor 6. Tuljdonság lpján n 1 n konvergens. b) Ebben z esetben n n (n + 1) n+1 0 vgy n n (n + 1) n+1, honnn következik, hogy (n n ) n>n0 növekv sorozt. Így (n 0 +

28 28 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok 1) n0 +1 n n vgy n (n 0 + 1) n0 +1 1, h n > n n 0. Viszont 1 n n 1 hrmonikus sor divergens (1. Péld), ezért 7. Tétel szerint n 1 n sor is divergens. 14. Következmény. H n 1 n pozitív tgú sor és létezik htárérték, kkor ( ) lim n n 1 = l n n+1 ) sor konvergens, h l > 1; b) sor divergens, h l < 1; c) kritérium nem lklmzhtó, h l = 1. Bizonyítás. ) A feltétel lpján bármely ε > 0 számnk megfelel n ε N úgy, hogy minden n > n ε esetén ( ) n l ε < n 1 < l + ε. n+1 Mivel l > 1, ezért megválszthtó ( ) ε > 0 úgy, hogy 0 < ε < l 1. Így q := l ε > 1 és n n n+1 1 > q, h n > n ε. Következésképpen n sor konvergens 13. Tétel, ) pontj lpján. n 1 b) H l < 1, kkor ( z ε-t úgy ) válsztjuk meg, hogy 0 < ε < 1 l. Ekkor l + ε < 1, ezért n n n+1 1 < 1, h n > n 0, mi 13. Tétel, b) pontj szerint zt jelenti, hogy n divergens. n 1 c) Tekintsük n 3 n sort, hol n = α 3... α n és α n = 1 1 n 2 n ln n.

29 2.2. Vlós számsorok 29 Azonnl láthtó, hogy lim n n konvergens. Vlóbn, mivel ( n n+1 1 [ ( ) ] n+1 lim n ln n = 2, n n ezért létezik n 0 N úgy, hogy bármely n > n 0 esetén (z ε = 1 -del). Innen 2 [ ( ) ] n+1 n ln n < 3 n 2 ) = 1. Igzoljuk, hogy n 3 n vgy n+1 n n ln n (n 1) ln n < 3 2 n+1 n ln n (n 1) ln(n 1) < 3 + (n 1) ln n (n 1) ln(n 1) n 2 vgy n+1 n n ln n (n 1) ln(n 1) < 3 ( ) n 1 n 2 + ln. n 1 Következik, hogy vgy n+1 n n ln n (n 1) ln(n 1) < 1 2 n (n 1) ln(n 1) n+1 n ln n > 1 2 n > 0, (2.2.1)

30 30 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok h n > n 0. Mivel n ( k (k 1) ln(k 1) k+1 k ln k) = k=n 0 +1 = n0 +1 n 0 ln n 0 n+1 n ln n < n0 +1 n 0 ln n 0, ezért ( n (n 1) ln(n 1) n+1 n ln n) n>n 0 sor konvergens. A (2.2.1) és 7. Tétel lpján 1 2 n konvergens, n>n 0 tehát n sor is konvergens. A 3. Következmény biztosítj, hogy n>n 0 n konvergens. n 3 Ugynkkor ( ) 1 divergens és lim n n n n 1 n n+1 1 = 1, hol n = 1. Tehát kritérium nem lklmzhtó z l = 1 esetben. n Bolyi Frks tudományos tevékenységének leggyelemreméltóbb terméke kétkötetes, ltin nyelv Tentmen. Ennek kiegészítésében tlálhtó pozitív tgú végtelen sorokr vontkozó következ megjegyzése: jelölje z n m lkú tört zt tényez t, mellyel n sor n 1 -edik tgját szoroznunk kell, hogy szorztként n -et kpjunk. Vgyis n 1 n m n = n. Innen m = n n n n 1. Bolyi Frks szerint: 1) h m k > 1, kkor sor konvergens; 2) h m 1, kkor sor divergens; m > 1, de lim n m = 1 esetén sor viselkedésér l semmit sem mondhtunk. H kissé más lkr hozzuk Bolyi-féle kritériumot, kkor z pontosn megegyezik Rbe-Duhmel-féle kritériumml. Kétségtelen, hogy Bolyi Frks mindenkit l függetlenül tlált eredményét. 9. Péld. Tnulmányozzuk n 1 n! (x + 1)(x + 2)... (x + n), x > 1

31 2.3. M veletek számsorokkl 31 sor természetét. A 14. Következményt lklmzzuk: n = n! (x + 1)(x + 2)... (x + n) és ( ) lim n n nx 1 = lim n n+1 n n + 1 = x. Így, h x > 1, kkor n sor konvergens; h x < 1, kkor n n 1 n 1 divergens. H x = 1, kkor n = 1 divergens sor (lásd z 1. n+1 n 1 n 1 Példát) M veletek számsorokkl 5. Értelmezés. A n sor bszolút konvergens, h n sor n 1 n 1 konvergens. A n sor feltételesen konvergens, h n konver- n 1 n 1 gens, de nem bszolút konvergens. 10. Péld. A n 1( 1) n 1 1 n z 1. Péld lpján. sor feltételesen konvergens 4. Péld és 15. Tétel. Minden bszolút konvergens sor konvergens. Bizonyítás. Mivel n konvergens, ezért 2. Tétel lpján bármely n 1 ε > 0 esetén létezik n ε N úgy, hogy minden n > n ε és p N esetén n n+p < ε. Mivel n n+p n n+p, ezért bármely ε > 0 számhoz létezik n ε N úgy, hogy minden n > n ε és p N esetén n n+p < ε, mi 2. Tétel lpján zt jelenti, hogy n 1 n konvergens. 16. Tétel. (Weierstrss). Adottk n és b n sorok. H létezik n 1 n 1

32 32 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok n 0 N úgy, hogy n b n, bármely n > n 0 esetén és n 1 b n konvergens, kkor n 1 n bszolút konvergens. Bizonyítás. A 7. Tétel és 3. Következmény lpján zonnli z állítás. A számsorok összegének kiszámítás úgy foghtó fel, mint véges számú vlós szám összedásánk áltlánosítás. Ismerve z összedás tuljdonságit (sszocitivítás és kommuttivítás), természetesen vet dik fel kérdés: milyen tuljdonsági vnnk ennek z áltlánosított m veletnek? 6. Értelmezés. Legyen k 1 < k 2 <... < k n <... természetes számok tetsz leges részsorozt és n dott számsor. A n 1 ( k1 ) + ( k k2 ) ( kn kn+1 ) +... sort z dott sor átcsoportosított soránk nevezzük. 11. Péld. A n 1( 1) n 1 sor divergens, de (1 1) + (1 1) +... átcsoportosított sor konvergens. 17. Tuljdonság. H n sornk vn összege, kkor bármely átc- n 1 soportosított soránk ugynz z összege. Bizonyítás. Az állítás következik bból, hogy z átcsoportosított sor részlet-összeg sorozt z dott sor részletösszeg soroztánk egy részsorozt. 7. Értelmezés. Legyen σ : N N tetsz leges bijektív függvény és n dott sor. A σ(n) sort z dott sor átrendezett soránk n 1 n 1 nevezzük. 18. Tétel. Abszolút konvergens sor bármely átrendezett sor ugynzon öszszeg bszolút konvergens sor.

33 2.3. M veletek számsorokkl 33 Bizonyítás. Legyen n 1 n bszolút konvergens sor, melynek összege s. Je-lölje (s n ) és (s n) n illetve σ(n) sorok részletösszeg n 1 n 1 soroztit. A 2.Tétel lpján tetsz leges ε > 0 számhoz létezik n ε N úgy, hogy bármely m > n > n ε esetén n m < ε 2 (2.3.1) és s nε+1 s < ε 2 (2.3.2) Legyen m ε N olyn ngy, hogy bármely m > m ε esetén z s m trtlmzz z 1,..., nε+1 tgokt és jelölje nε+1+k 1,..., nε+1+k m többi tgját. A (2.3.1) mitt z s m nε+1+k nε+1+k m nε+1+k nε+1+k m < ε 2, tehát s m s nε+1 < ε 2, (2.3.3) bármely m > m ε esetén. Így (2.3.2) és (2.3.3) lpján s m s s m s nε+1 + s nε+1 s < ε 2 + ε 2 = ε, h m > mx{n ε, m ε }. Ez viszont zt jelenti, hogy lim m s m = s, tehát z átrendezett sor is ugynzon összeg bszolút konvergens sor. Észrevehet, hogy 17. Tuljdonság sorok sszocitivításár, míg 18. Tétel sorok kommuttivításár vontkozik. A 18. Tétel nem teljesül, h sor nem bszolút konvergens, mint zt következ péld muttj: 12. Péld. Tekintsük n 1( 1) n 1 1 n feltételesen konvergens sor

34 34 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok következ átrendezett sorát: n 1 1 4n 2 1 4n +... (lásd 10. Példát). Jelölje s n 1( 1) n 1 1 sor összegét. Az átrendezett n sor részletösszeg soroztánk következ részsoroztit írhtjuk fel: s 3n = = 1 2 n ( 1 k=1 s 3n+1 = s 3n + 1 2n + 1 2k 1 1 4k 2 1 4k ) = n ( 1 4k 2 1 ) = 4k ) = 1 2 s n; k=1 ( n 1 1 2n és s 3n+2 = s 3n + 1 2n n + 2. Következésképp lim n s 3n = lim s 3n+1 = lim s n n 3n+2, tehát z átrendezett sor konvergens és összege 1 2 s. 19. Tétel. (Riemnn). Bármely csk feltételesen konvergens sor átrendezhet úgy, hogy z összege tetsz legesen el re megdott érték legyen z R hlmzból. Bizonyítás. Legyen n 1 n feltételesen konvergens sor, és R tetsz leges. Jelölje p n := 1( 2 n + n ) és q n := 1( 2 n n ), n 1. Mivel n konvergens, n divergens, és p n q n = n, p n + q n = n, n 1 n 1 ezért p n és q n divergens sorok. n 1 n 1 Legyen P 1, P 2,... és Q 1, Q 2,... n sor pozitív illetve n 1 negtív tgjink bszolút értékei. Nyilván (P n ) és (Q n ) soroztoknk végtelen sok zérótól különböz tgj vn, mert ellenkez esetben

35 2.3. M veletek számsorokkl 35 n sor bszolút konvergens lenne. A P n és Q n sorok n 1 n 1 n 1 n 1 és q n soroktól csk nullávl egyenl tgokbn különböznek, tehát n 1 divergensek. Vegyük z indexek növekv sorrendje szerint n 1 P n sor nnyi minimális számú tgját, hogy tgok S m1 összege ngyobb legyen mint. A kpott összegb l vonjuk le n 1 Q n sor nnyi minimális számú tgját, hogy z S m2 új összeg kisebb legyen mint. Az eljárást folyttv, z (S mr ) sorozthoz és n sornk egy σ(n) átrendezett n 1 n 1 sorához jutunk. (S mr ) z átrendezett sor részletösszeg soroztánk egy részsorozt, mely konvergens és htárértéke, ugynis, h r pártln, kkor S mr kisebb mint z S mr p n összeg utolsó pozitív tgj, h pedig r páros, kkor z S mr kisebb mint z S mr utolsó tgjánk bszolút értéke. Mivel n 1 n sor áltlános tgj trt zéróhoz, ezért vlóbn S mr trt -hoz. Az átrendezett sor (S m ) részletösszeg sorozt is trt z -hoz, mert minden m-re S m közre foghtó z (S mr ) két olyn tgj áltl, hol z egyik r index páros, míg másik r index pártln. H = +, kkor n 1 P n sorból vegyünk z els vel kezdve nnyi tgot, hogy összegük meghldj z 1-et, mjd ebb l z összegb l vonjuk le Q n sor els tgját. Az így kpott összeghez djuk hozzá n 1 P n sor megmrdt tgji közül sorrendben nnyit, hogy z új összeg n 1 ngyobb legyen mint 2, és ebb l vonjuk le n 1 Q n sor második tgját stb. Könnyen beláthtó, hogy n 1 n sor ezen átrendezett soránk z összege +. Hsonló módon járunk el, h =. 8. Értelmezés. H n és b n dott számsorok, kkor ezek n 1 n 1 Cuchy-féle szorzt ltt zt c n sort értjük, hol n 1 c n = 1 b n + 2 b n n b 1.

36 36 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok 13. Péld. Számítsuk ki n 1( 1) n 1 1 n Cuchy-féle szorztát. sor önmgávl képzett H n = b n = ( 1) n 1 1 n, n 1, kkor 8. Értelmezés szerint c n z sor, hol n 1 [ c n = ( 1) n 1 1 n ]. n n Mivel c n 1 n n + 1 n n n n = 1, ezért n 1 c n sor áltlános tgj nem trtht nullához, tehát divergens (lásd 1. Tuljdonság). Viszont Leibniz-kritérium lpján (4. Tétel) n sor konvergens. Így két konvergens sor Cuchy-féle szorzt nem n 1 feltétlenül konvergens. 20. Tétel. (Cuchy). Adottk n és b n bszolút konvergens n 1 n 1 sorok, melyek összegei s és t. Ekkor c n Cuchy-féle szorztuk is n 1 bszolút konvergens és összege st. Bizonyítás. Vegyük észre, hogy z i b j lkú tgok bármely S véges összege esetén létezik n 0 N úgy, hogy z s n0 = n0 és t n0 = b b n0 Ekkor összegek szorzt trtlmzz z S minden tgját. S i b j i b j = i b j = 1 i,j n 0 1 i,j n 0 ( n0 ) ( n0 ) ( ) ( ) = i b j i b j. i=1 j=1 Következésképp c n sor minden részletösszege korlátos, n 1 tehát 6. Tuljdonság mitt c n konvergens, vgyis c n b- n 1 n 1 i 1 j 1

37 2.3. M veletek számsorokkl 37 szolút konvergens. Alklmzv 18. Tételt következik, hogy n 1 c n sor jól meghtározott, tgok sorrendjét l függetlenül. Sjátos esetben szorztsor összege megdhtó, mint lim n s n t n = st. 14. Péld. Mivel n 1 q n 1 sor bszolút konvergens, h q < 1 és 1 sor összege, ezért 20. Tétel szerint 1 q ( ) ( ) 1 (1 q) = q n 1 q n 1 = 1 + 2q + 3q nq n , 2 n 1 n 1 hol q < Tétel. (Mertens). H n és b n sorok konvergensek, n 1 n 1 összegeik s és t, és leglább z egyik bszolút konvergens, kkor két sor Cuchy-féle n 1 c n szorzt szintén konvergens és összege st. Bizonyítás. Legyen s n = n, t n = b b n, u n = c c n, hol c n = 1 b n n b 1. Feltételezzük, hogy n 1 b n bszolút konvergens. Ekkor u n = 1 b 1 + ( 1 b b 1 ) ( 1 b n n b 1 ) = = b n 1 + b n 1 ( ) b 1 ( n ) = = s 1 b n + s 2 b n s n b 1 = = (s 1 s)b n + (s 2 s)b n (s n s)b 1 + s(b b n ) = = (s 1 s)b n (s n s)b 1 + st n (2.3.4) Mivel lim (s n s) = 0 és b n konvergens, ezért (lásd 2. Tételt is) n n 1 bármely ε > 0 számhoz létezik n ε N úgy, hogy minden m > n > n ε esetén s n s < ε és b nε b m < ε. Áttérve htárértékre m szerint, b nε+2 + b nε ε. Jelölje M := sup{ s n s : n N} és legyen n > 2n ε + 2. Ekkor

38 38 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok n n ε > n ε + 2, ezért (s 1 s)b n (s nε+1 s)b n nε + (s nε+2 s)b n nε (s n s)b 1 n n n ε 1 M b k + ε b k k=n n ε k=1 ( M b k + ε b k ε M + ) b n, n 1 k=n ε+2 mi zt jelenti, hogy k=1 lim ((s 1 s)b n (s n s)b 1 ) = 0. n Innen és (2.3.4) lpján lim n u n = lim n (st n ) = st, mit igzolni kellett. 22. Tétel. (Abel) Adottk n és b n konvergens sorok, összegeik n 1 n 1 s és t. H c n konvergens, kkor sor összege st. n 1 Bizonyítás. Itt is 21. Tétel bizonyítás során hsznált jelöléseket lklmzzuk. Legyen lim n u n = u. Ekkor bármely ε > 0 számhoz létezik n ε N úgy, hogy minden n > n ε esetén u n u < ε 2. Így u u n u n 1 n u 1 u n u n ε u + 1 n u n ε+1 u n u n u 1 n u 1 u n u n ε u + n n ε n < 1 n ( u 1 u u nε u ) + ε 2. ε 2 < Viszont lim n 1 n ( u 1 u u nε u ) = 0,

39 2.3. M veletek számsorokkl 39 ezért létezik n ε N úgy, hogy n > n ε esetén 1 n ( u 1 u u nε u ) < ε 2. Így n > mx{n ε, n ε} esetén u u n n u < ε, vgyis u u n lim n n = u. (2.3.5) Továbbá, z u n = s 1 b n s n b 1 lpján írhtó (lásd (2.3.4) egyenl ségeket), hogy u u n = s 1 b (s 1 b n s n b 1 ) = = s 1 (b b n ) + s 2 (b b n 1 ) s n b 1 = = s n t 1 + s n 1 t s 1 t n. Innen u u n n = s nt s 1 t n n = = (s n s)t (s 1 s)t n n + s t t n n (2.3.6) Hsonlón (2.3.5) egyenl séghez bizonyíthtó, hogy t t n lim n n mert lim n t n = t. Ezért elegend zt igzolni, hogy = t, (2.3.7) (s n s)t (s 1 s)t n lim n n = 0,

40 40 2. Vlós számsorok, végtelen szorztok mi (2.3.5), (2.3.6) és (2.3.7) lpján zt jelenti, hogy u = st. Mivel lim n s n s = 0, ezért (2.3.5) egyenl séghez hsonlón igzolhtó, hogy s 1 s s n s lim n n = 0. (2.3.8) Másrészt, n 1 b n sor konvergens, tehát (t n ) sorozt korlátos, vgyis létezik M > 0 úgy, hogy t n M, bármely n-re. Így (s n s)t (s 1 s)t n n M s 1 s s n s, n honnn (2.3.8) szerint is teljesül. (s n s)t (s 1 s)t n lim n n = 0

41 3. fejezet Vlós változós vlós függvények dierenciálszámítás 3.1. A végtelen kicsiny mennyiségek nlízise A XVII. százd mtemtikájábn legngyobb eredmény kétségtelenül dierenciál- és integrálszámítás felfedezése volt. A dierenciál- és integrál-számítást I. Newton és G.W. Leibniz, vlmint legközelebbi munktársik és tnítványik foglmzták meg m veikben. Ngy jelent ség átlkulás kezdetét jelentette z, hogy mtemtikábn megjelentek z innitezimális mennyiségek nlízisének módszerei. Ennek létrejötte hosszú folymt, melynek lényege mtemtikán belül dierenciál- és integrálszámítás, vlmint sorelmélet elemeinek felhlmozódás és elhtárolódás volt. Els sorbn mechnik, z sztronómi és zik szükségletei voltk e folymt indítóoki. Ezek tudományok nemcsk bizonyos feldtok meg-oldásánk következményét állították mtemtik elé, de 41

42 42 3. Vlós változós vlós függvények dierenciálszámítás függvénykpcsolt lényegér l és megjelenési formáiról lkotott elképzeléseket is gzdgították. Az innitezimális módszereket, változó mennyiségek mtemtikájánk lpjit mtemtik és rokontudományok szoros kölcsönhtás lpján dolgozták ki. A XVII. sz. mtemtikájábn kilkultk z elégséges feltételek végtelen kicsiny mennyiségekkel vló számolás meglkotásához. Ezek feltételek következ k: z lgebr kilkulás és számítási technik fejl dése; változó mennyiségek és koordinát-módszer bevezetése; z ókorik, de különösen Arkhimédész innitezimális gondoltink elsjátítás; kvdrtúr, kubtúr kiszámításár, továbbá súlypont, érint, széls érték stb. meghtározásár vontkozó feldtok megoldási módszereinek felhlmozódás. Ilyen természet feldtok megoldásábn, megoldás áltlános módszereinek keresésében, tehát végeredményben z innitezimális nlízis létrehozásábn sok tudós m ködött közre, köztük J. Kepler, G. Glilei, B. Cvlieri, E. Torricelli, B. Pscl, J. Wllis, P. Fermt, R. Descrtes, I. Brrow és még sokn mások. A mtemtiki nlízis elemeinek kilkítás számos tudós sokoldlú lkotó munkájánk eredménye. Az nlízis legkorábbi formáj uxióelmélet volt, melyet Newton fedezett fel. A mtemtik Newton tudományos világszemléletében természettel fogllkozó áltlános tudományok természetlozóánk részeként és ziki kuttások eszközeként jelentkezett. Newton mechnik mtemtiki pprátusként dolgozt ki módszerét, mely gyelembe vette mozgást, és megrgdt sebesség és gyorsulás foglmát. Ezt módszert uxiók módszerének, illetve elméletének nevezte. A uxióelmélet folytonos mechniki mozgások különböz bsztrkciójként bevezetett változó mennyiségeket tnulmányozz. Ezeket Newton uenseknek nevezi. Minden uens függ egy áltlános változótól, z id t l, mely bsztrkt, egyenletesen folyó, független

43 3.1. A végtelen kicsiny mennyiségek nlízise 43 mennyiség. Ez nem okoz bonyodlmt, mivel feldtokbn szerepl változók összefüggését nem zvrj. A továbbikbn bevezeti uens folyásánk sebességét, vgyis z id szerinti deriváltját, melyet uxiónk nevez. Mivel uxió mg is változó, ezért lehet beszélni uxió uxiójáról, stb. H uenst y jelöli, kkor z els, második stb. uxió jelölése: ẏ, ÿ,... y stb. A pillntnyi sebességek, vgyis uxiók kiszámításához uensek végtelen kicsinnyel vló megváltozttásár vn szükség, ezeket momentumoknk nevezi Newton. Az id momentumánk jele o; így z y uens momentum oy lesz. Ezek szerint pillntnyi sebességnek z id momentumávl vló szorzt dj uens momentumát. Lényegét tekintve uens momentum nem más, mint uens dierenciálj. Newton szimbólikáj nem olyn kényelmes, mint dierenciálás Leibniz áltl bevezetett és npjinkbn áltlánosn elterjedt szimbólikáj. Azonbn Newton-féle jelölés is fennmrdt, például mechnikábn. A uxióelméletben két f feldt megoldás merül fel, melyeket Newton mind mechniki, mind mtemtiki terminológiávl megfoglmz: 1) Meghtározndó mozgás sebessége egy dott id pillntbn, h dott z út. Más szóvl: meghtározndó uxiók közötti összefüggés, h dott uensek összefüggése; 2) Meghtározndó z dott id pillntig befutott út, h ismeretes mozgás sebessége. Mtemtiki terminológiávl: meghtározndó uensek közötti összefüggés, h dott uxiók összefüggése. Az els feldt, uxióelmélet úgynevezett egyenes feldt, áltlábn implicit függvények dierenciálását és természet elemi törvényszer ségeit kifejez dierenciálegyenletek el állítását jelenti. A második pedig uxióelmélet fordított feldt legáltlánosbb lkú dierenciálegyenletek integrálásávl ekvivlens. Az utóbbi fel-

44 44 3. Vlós változós vlós függvények dierenciálszámítás dt speciális eseteiben primitív függvények el állításáról vn szó. Így z integrál, uxióelméletben el ször, htároztln integrál lkjábn jelenik meg. Az egyenes feldt megoldásár Newton egységes szbályt vezetett be függvények dierenciálási lgoritmusát, mely során lklmzt ról elnevezett binomiális tételt és függvények htványsor el állítását. Az függvényosztály, melyet Newton vizsgált, még ránylg korlátozott volt, ezen belül függvények htványsor el állításávl nem merült fel kétség. A uxióelmélet fordított feldt, mely szerint meghtározndó uensek közötti összefüggés uxiók közötti ismert összefüggésb l, ebben megfoglmzásbn rendkívül áltlános. Fokoztosn lkult ki z módszer, mellyel Newton z ennyire áltlános problémák megoldását és megoldás eszközeit megrgdt. Mindenekel tt, uxiók meghtározásávl elért eredmények egyszer megfordítás révén igen sok kvdrtúrához jutott, melyek segítségével megállpított, hogy ez megfordítás csk egy dditív konstns erejéig egyértelm. Amikor z egyenes módszer közvetlen megfordítás nem vezetett sikerre, Newton uxióelmélet univerzális módszeréhez, függvények htványsorb fejtéséhez folymodott. A függvények htványsorb fejtéséhez Newton következ ket hsznált leggykrbbn: ) z (+b) n = n k=0 ( n ) k k b n k binomiális tételnek áltlánosítását tört és negtív htványkitev esetére; b) rcionális törtfüggvény számlálójánk nevez vel vló elosztását; c) htároztln együtthtók módszerének különféle formáit; d) változók helyettesítését, vlmint koordinátrendszer trnszformációját;

45 3.1. A végtelen kicsiny mennyiségek nlízise 45 e) áttérést z inverz függvény htványsorár. A htványsorb fejtés pprátus htékony lpját képezte Newton-féle uxióelméletnek. Ennek lpján vált lehet vé z nlitikus függvények eléggé széles osztályár dierenciálás és integrálás bevezetése, függvények széls értékeinek meghtározás, uxióelmélet módszereinek számos lklmzás geometriábn, mechnikábn és más tudományokbn. Newton egyik 1676-bn írt leveléb l láthtó, hogy milyen messzire jutott uxióelmélet nehéz kérdéseinek vizsgáltábn. Ebben binomiális dierenciál integ-rálhtóságánk feltételét közölte: z y = z θ (e + fz η ) λ csk kkor integrálhtó, h θ+1 vgy θ+1 + λ vgy η η λ egész szám. A Newton áltl meglkotott uxióelméletnek legngyobb hiányosság z volt, hogy logikilg nem volt kielégít en meglpozv. A változókkl és végtelen kicsiny mennyiségekkel végzett m veletek bevezetése ngyszámú összefügg lpfoglom és problém rcionális mgyráztánk szükséges-ségét vetette fel. Newton ezt jól tudt, de felmerült nehézségekkel nem tudott megbirkózni. Ennek ok bbn keresend, hogy htárérték foglm, bármilyen lkbn is jelenjen meg, nem lgoritmikus foglom. Lehetetlen e foglmt meghtározásához vlóbn elvezet m veletek soroztávl kpcsoltb hozni. A htárérték feltételes tárgylásától (legyen dott ε > 0; kkor tlálhtó olyn δ > 0, hogy stb.) Newton még távol ált; e tárgylásmód csk XIX. sz. vége felé nyert polgárjogot. A végtelen kicsinyek nlízisének egy más formáj dierenciálokkl vló számolásnk volt szentelve. Az új klkulus szerz je G.W. Leibniz volt. A Leibniz-féle klkulus ngy vonásokbn következ premisszákból keletkezett: ) sorösszegezési feldtok (1673-tól) és véges különbségrendszerek vizsgált;