200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a, c, g; 3/a, c; 4; 5/a,f 6/a,d,f,i 7 A. Sorozatok általába I. A sorozat fogalma ) Defiíció: a pozitív természetes számok halmazá értelmezett számértékű függvéyt sorozatak evezzük: a( ): N + R; a() D a() =N + { a } { } + = Egyszerűbb jelölések: vagy: a ; vagy csak egyszerűe: {a N } A sorozat. tagját, vagyis azt a számot, amit a sorozatot defiiáló függvéy az -hez hozzáredel: a -gyel jelöljük. Az -edik tagot: a -el: a(); 2 a(2); a() Figyelem: em halmaz! Lehet sok azoos tagja! A sorozat alaphalmazáak elemeit idexekek hívjuk. 2) Néháy sorozat a) Növekvő sorrede a 3-mal osztható pozitív természetesek:. 2. 3. 00.. 3 ; 6 ; 9 ; 300 ; 3 ; Az -edik tag már egy képzési szabály is!: Explicit alak: 3 Rekurzíve: a :=3; > a :=a +3 (Rekurzív alak) b) -él /0-del, /00-dal stb. kisebb számok: ; 00 ; 000 ; 000 0 ; 0 ; Rekurzíve? a :=0,9; > a :=a +9*0 Mekkora lehet végtele (az elsőtől kezdve egymás utá) sok tag összege? c) Sorba ( 2) pozitív természetes kitevős hatváyai: ; 2; 4; 8; ( 2) ; Rekurzíve: a :=; > a :=( 2)*a Va-e szig. mo. idexsorozata? Mekkora lehet végtele sok tag összege? Soroz. A/
Tk 70/. Tk. 7.o: 2/a 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc d) Sorba a égyzetszámok ; 4; 9; 2 ; Rekurzíve Mekkora az első tag összege?. 2. 3. 00.. e) 0 ; ; 2 ; 99 ; ; Az -edik tag már egy képzési szabály is! Rekurzíve: a :=0; > a :=a + Milye tulajdoságai vaak? (korlátosság, mootoitás, hova tart? Mekkora az első tag összege? f) ;;; Az -edik tag már egy képzési szabály is! Rekurzíve: a :=; > a :=a Milye tulajdoságai vaak? (korlátosság, mootoitás, hova tart? g) A pozitív természetesek reciprokai: ; ; ; ; ; 2 3 4 Rekurzíve?: a :=; 2 és N a := + a Mekkora lehet végtele (az elsőtől kezdve egymás utá) sok tag összege? h) A égyzetszámok reciprokai: ; ; ; ; 4 9 6 2 ; Rekurzíve? Mekkora lehet végtele (az elsőtől kezdve egymás utá) sok tag összege? Soroz. A/2
Z/IV/0/a 2, 3; 4; 5 4) Z/IV/7/b,d,e 9, 20,2, CD II/IV/860/c;e,f 865 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc i) Kettő hatváyaiak reciprokai: 0 ; ; 2 ; 3 ; 2 2 2 2 2 ; Rekurzíve? Mekkora lehet végtele (az elsőtől kezdve egymás utá) sok tag összege? Érdekesség: égyzet alakú papír, hajtogatással. j) + 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; + ( ) + ( ) 0 ; Rekurzíve? Mekkora lehet végtele (az elsőtől kezdve egymás utá) sok tag összege? k) ; 2;0;4; 5;0 ( 0 mod 3 a :=0; mod 3 a :=; 2 mod 3 a := ) Mekkora lehet végtele (az elsőtől kezdve egymás utá) sok tag összege? Milye idexsorozatai vaak? 3) Számossági kérdések - később külö fejezet! Miből va több? A természetes számokból, a égyzetszámokból, a hárommal oszthatóakból stb? Midegyik ekvivales számosságú a természetes számokkal! 4) Explicit megadás. a sorozat tagjait úgy adjuk meg, hogy azok csakis az idexüktől függek, vagyis általáos taggal, em felsorolással a) a := 2 Meyi: a =0 a 2 =/4 a 3 =2/9 a 00 =99/0000 b) a := Mekkora lehet az összege? i= i Meyi: a = a 2 =3 a 3 =6 a 00 =(00 0)/2 Soroz. A/3
2) Z/IV/25,26 Z/IV/28 Tk.: 7/2/b;c CD/II/IV/870 Ad 5: CD II/IV/ 998/a, d CD II/IV/000/a-d, +Rábai: 7.o: 69: a :=0; a 2 :=, és a := 2 (a +a 2 ) Explicit (zárt) alakba. Mo.: Nehéz 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Zárt alakba: a = (+)/2 Rekurzíve: a :=; > a :=a + Mekkora lehet az összege? 5) Rekurzíve a) Rekurzív megadás: A rekurzív formula olya egyértelmű utasítás, amellyel a sorozat tagjait a korábbi tagok segítségével fejezhetjük ki. Ekkor a sorozat bizoyos számú kezdőtagját előre meg kell adi. Ha előző tagot haszáluk fel: elsőredű, ha 3-at: harmadredű rek. sorozat. A felhaszált tagok hatváykitevőjét tekitve: lieáris, másodfokú stb. Ha a rekurziós képletbe ics kostas tag: homogé, egyébkét ihomogé. b) a :=; 2 a :=a +3 a = a 2 =4 a 3 =7 Zárt alakba: a =? a =+3+3+3+ +3 a = 3 ( )+ c) a :=; a 2 :=2; a 3 :=3; 4 a :=a 3 +2 a 3 +3 a 3. a =; a 2 =2; a 3 =4; a 4 =4; a 5 =50 Zárt alakba: borzasztó ehéz! a =? d) A Fiboacci sorozat: a :=, a 2 :=, N és >2 a := a +a 2 Most csak éháy tagot írjuk fel, és godoljuk meg, hogy miért kellett megadi 2 iduló tagot. Mi a köze eek a T.I-ba haszált szöveghez: az öröklődést kettővel korábbi tagot felhaszálva beláttuk, mi legalább két egymás utái tagot megvizsgáltuk, tehát 6) Függvéyleszűkítéssel. Azoba itt meg kell jegyezi, hogy logikailag a sorozatok előbb vaak, mit azok a függvéyek, melyeket leszűkítük! f:r R; f(x)=x 2 +. {a }:= f N +. Ekkor: a = 2 + Soroz. A/4
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc 7) Egyéb megadások a) b := 2. jegye a tizedesvessző utá. b) 2; 5; 8 : hibás, mert em tudi, milye képzési szabállyal következik a többi tag. II. Sorozatok ábrázolása ) Ábrázoljuk koordiátaredszerbe az: a =si( 2 π ) sorozatot: 2) Ábrázoljuk számegyeese a következő sorozat tagjait: ; 2 ; ; + 3 4 ; + ; ( ) Miért jó ez az ábrázolási mód ebbe az esetbe? http://matek.fazekas.hu/portal/taitasiayagok/orosz_gyula/rek/rek.htm Soroz. A/5