I. rész Valós számok
Feladatok 3
4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) = k. k= k=2.4.! + 2 2! + +! = ( + )!..5. 2 3 + 2 3 4 + + ( + )( + 2) =.6. cos x cos 2x cos 2 2 x... cos 2 x = si(2+ x) 2 + si x..7. +2 + 2 2+ osztható 33-mal..8. 4 + 5 osztható 9-cel..9. + 3 + 5 + + (2 ) = 2. ( + )( + 2)( + 3). 4 Egyel tleségek Oldja meg a következ egyel tleségeket!.0. 37 2x 3.. 8x 4x 2 < 3. + 9 3x 8. 4.2. x 2 + 5x 4 0..3. x 2 3x 4 0..4. (x 3 )(x ) 0.
5.5..6. x 5 x + 3 > 0. 3x x >..7. 2x 3 < 2..8. x +.9. x + 2 x..20. 3 l x < 2..2. si 2x 4 < 3 2.
6
Megoldások 7
8 Teljes idukció.6 = 0-ra az egyel ség egy ismert trigoometrikus azoosság átredezése. Az idukciós lépés: cos x cos 2x cos 2 2 x... cos 2 x cos 2 + x = si 2+ x cos 2 + x 2 + si x =.7 = si 2+2 x 2 +2 si x. Az els egyel ség az idukciós feltételb l, a második a 2 cos y si y = si 2y azoosságból (y = 2 + x helyettesítéssel) adódik. +2 + 2 2+ = 2 + 2 44 (2 + 2) 0 (mod33) Az els kogruecia 44 (mod 33) miatt adódik. Egyel tleségek.0. x 56.. x < 2, x > 3 2.2. x 7, x 2.3. x 4.4. < x <.5. x > 5, x < 3.6. x <, < x < 0.7. 2 < x < 5.8. x 0 vagy x 2.9. x 2.20. 0 /3 < x < 0.2. 2 π 6 + kπ < x < 2 + π 6 + k
II. rész Sorozatok, végtele sorok 9
Feladatok
2 Számsorozat megadása Írja fel az alábbi sorozatok -dik elemét! Vizsgálja meg, hogy a sorozat korlátos-e, mooto-e, illetve koverges-e! 2.., 4, 9, 6,... 2.2. 4, 2 9, 3 6, 4 25,... 2.3., 2, 5, 8,... 2.4., 2, 3, 4,... 2.5.,,,,,... 2.6. 0, 9; 0, 99; 0, 999; 0, 9999,... 2.7., 3 2, 5 3, 7 4,... 2.8., 2 3,, 3 4,, 4 5,... Írja fel az alábbi sorozatok els éháy elemét. Vizsgálja meg, hogy a sorozat korlátos-e, mooto-e, koverges-e! 2.9. 3 2.0. ( ) 2.. 2 + 4 2.2. 3 2 2.3. 3 2.4. 4. Számsorozat határértéke Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét!
3 2.5 2 2 7 + 4 2.6 8 9 9 + 2 2 + 5 2.7 3 4 5 + 2.8 22 7 + 4 3 3 + 5 8 2.9 23 7 + 4 3 2 + 5 8 2.20 35 + 4 2 7 5 + 3 3 2.2 22 7 + 4 3 2 + 5 8 2.22 2 + 5 Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét! 2.24 + 2.25 + 2.26 2 + 2 + 2.27 ( + ) 2.28 4 4 + 2 2 2.29 + 4 0 2.30 2 + + 2 + 2.3 ( + )3 ( ) 3 ( + ) 2 + ( ) 2 2.32 ( + 2)! + ( + )! ( + 3)! 2.33 ( 2 ) 2.34 + 2 + + 2.35 2 + 4 + + 2 2.36 9 4 + 27 6 + + 3+ 2 2
4 2.37 + 2 + + ( + )( + 2) 2.38 + 3 + + (2 ) 2 + 4 + + 2 2.39 + 4 + 9 + + 2 3 2.40 2 + 2 3 + + ( + ) 2.4 3 + 3 5 + 5 7 + (2 )(2 + ) 2.42 2.43 3 3 + 2 + + 3 2 + + 2.44 2 + 5 2.45 6 + 2 2.46 3 + 2 2 3 2 + 7 2.47 2 3+ + 4 8 + 2 Vizsgálja meg, hogy kovergesek-e az alábbi sorozatok. Ha ige, akkor határozza meg azt az N(ε) küszöbidexeket, melyél agyobb idex elemek a számsorozatba az el írt ε-ál kisebb hibával közelítik meg a sorozat határértékét. 2.48 2.50 2.52 4 + 3 5 4 + 7 5 ε = 0 3 2.49 ε = 0 4 2.5 2 ε = 0 2.53 2 + ε = 0 5 2 ( + ) 2 ε = 0 4 3 + ε = 0 6
5 2.54 32 + 6 2 ε = 0 4 2.55 + 4 ε = 0 2.56 2 5 7 3 5 + 4 2 3 ε = 0 3 Vizsgálja meg, hogy alábbi sorozatokba milye N(K) küszöbidext l kezdve leszek a sorozat elemei az adott K számál agyobbak! 2.57 2.59 2 K = 0 6 2.58 2.60 5 K = 0 30 3 +2 + K = 6500 3 2 + K = 0 20 Határozza meg az alábbi határértékeket! 2.6 2.63 2.65 2.67 2.69 ( + 3 ) 2.62 ( + 2 ( ) 2.64 ) + 2.66 ( + ) 2+3 2.68 ( ) 3 2 2.70 2 + 2 3 ( 2 ) ( ) + ( ) 2 + 2 ( + 2 + 3 )3 ( ) 4+2 3 4 3 + 5
6 2.7 2.73 2.75 2.77 ( + 2 )3+ 2.72 ( )2 2.74 [ + ( 2 ) ] 2 2.76 2.78 ( + ) 2 +3 +3 2 ( + 2 ) ( 2 ) 4 2 + ( + ) 2 + 2 3 + + ( + ) 3 Határozza meg az alábbi rekurzív sorozatok határértékét! 2.79 4 + a2, a 0 = 0 2.80 2.8 2.82 2 + a, a 0 = 0 a + = 2 + a, a 0 = 2 a + = a2 + 4, a 0 = 4
Számsorok 7 Kovergesek-e az alábbi végtele sorok? 2.83. 2.85 = = 2 + 2.84 2.86 ( ) 0.5 = = 0 + 2 2 + 2.87 2.89 = =2 2 + 0 + 2 3 3 +2 27 2.88 2.90 = =0 si 2 ( + ) 3 4 + 2 2.9 = ( + ) 2.92 3 =0 2.93 =0 2.95 2.97 = 3 2 + = 5! ( ) 2 + 2.94 = 2.96 2.98 si = = 3 3 2 2.99 2.0 = = 2.00 3 2 3 4 2.02 =2 =3 l ( ) 2 ( ) 3
8 2.03 2.05 =2 l 2 ( + = + 2 ) 2 2.06 2.04 = k= (!) 2 (2)! si 2 k k(k + ) 2.07 2.08 = = 2.09 2.0 + ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + 2)(2 + ) 3 + 23 3 2 + 33 3 3 + 43 3 4 + 53 3 5 +... 2. k=0 si kπ 2 k 2.2 ( ) 2 ( ) 4 = 2.3 0 ha k =, a k ahol a k = k= k + 2 k ha k páratla ha k páros 2.4 2.5 = ( + 3) = 2 + ( 2) ( 2 + ). 2.6 = ( ( ) + )
9 2.7 = ( 2) (2 + )! Abszolút kovergesek-e az alábbi végtele sorok? 2.8 =0 2.20 ( ) + 2 2 =0 ( ) 3 + 2 2.9 =0 2.2 ( ) 3 + = ( ) 3 2 2.22 2 + 2 3 +... + 3 +... 2.23 =2 ( ) l 2.24 = si π 2 2.25 = si π 2 2 2.26 = ( ) Számítsa ki a következ sorok összegét! 2.27 2.28 ( k 2 =0 ( ) 2 3 ), k 0 rögzített. =0 k 2 + 2.29 =0 2 + 3 2.30 =6 5 2 5
20 2.3 =0 4 2 2.32 =0 3 + 3 2 + 2 2.33 =0 4 + 5 3 2 2.34 = ( + ) 2.35 Írja fel közöséges tört alakba az alábbi tizedestörteket! a,, 7972972972... b, 0, 78 23 23... 2.36 Képezzük sokszöget egy szabályos a oldalú, T terület háromszögb l a következ rekurzív eljárással:. Osszuk mide oldalt 3 egyel részre. 2. Mide középs oldal szakaszra illesszük szabályos háromszöget. 3. Ismételjük meg az el z lépéseket. Az így kapott sokszög az úgyevezett Koch-görbe. Meyi a Koch görbe kerülete és területe? 2.37 Egységyi terület szabályos háromszögbe beírjuk a középvoalai által alkotott háromszöget. Ezutá vesszük az eredetivel egyállású részeket es azokba is beírjuk a kozépvoalai által alkotott háromszögeket. Ezt rekurzíva ismételjük. A kapott alakzat a SIERPINSKI háromszög. A középvoalak által alkotott háromszögek összterülete háyadik iteráció utá haladja meg a 75/256 értéket?
Megoldások 2
22 Számsorozat megadása 2. 2, a sorozat diverges. 2.2 2, a sorozat koverges. ( + ) 2.3 4 + 3, a sorozat diverges. 2.4 ( ) +, a sorozat koverges. 2.5 ( ), a sorozat diverges. 2.6 0 ( ), a sorozat koverges. + 2 2.7 ( ), a sorozat diverges. 2.8 ( + ( ) (+) ), a sorozat koverges. Számsorozat határértéke 2.5 2.6 2.7 lim 8 9 9 + 2 2 + 5 = lim 3 4 lim 5 + = lim 3 4 5 + 2.8 0. 2.9. 2.20 3 7. 2.2 2 3. 2.22. 2.24 0. 9 8 + 2 6 + 5 8 = 0 = 3 5 2.25 lim ( + ) = lim ( + + + ) = + + 2 = lim = 0 + +
23 2.26 2. 2.27 2. 2.28 4. 2.29 7. 2.30. 2.3 3. 2.32 ( + 2)! + ( + )! lim ( + 3)! = lim ( + )!(( + 2) + ) ( + )!( + 2)( + 3) = = lim + 3 2 + 5 + 6 = 0 2.33 2 2.34 + 2 + + lim = lim 2.35 2. 2.36 9. ( + ) 2 = lim + 2 = 2.37 2. 2.38. 2.39 3. 2.40 Teljes idukcióval belátható, hogy Ezért 2 + 2 3 + + ( + ) = lim a = lim + =. 2.4 2. 2.42. 2.43 0. 2.44 5. 2.45 2. 2.46 9. 2.47. 2.48 760. +. 2.49 ha 2 + 2 2 3 = 2 = 2 4 + 2 4 + 2 < 0 5, 3 0 5 2 4 < azaz N = 74999
24 2.50 N = 320. 2.5 N = 40. 2.52 2 = 2 < 0, azaz 2 <.. Midkét oldal 2-es alapú logaritmusát véve kapjuk, - a logaritmusfüggvéy szigorú mootoitása miatt - hogy azaz N = 7. < log 2. 2.53 N = 2. 2.54 N = 700. 2.55 N = 200. 2.56 N = 222. 2.57 2 > 0 6 > 0 3, így ez a szám jó lesz N küszöbidexek. 2.58 N = 650 2. 2.59 N = 39. 2.60 N = 5. 2.6 e 3. 2.62 e 2. 2.63 lim ( + 2 ) ( ( = lim + ) 2 2.64 e 2. 2.65 e. 2.66 e. 2.67 e 2. 2.68 e 3. 2.69 e 2. 2.70 e 6. 2.7 0. 2.72 e 8. 2.73 0. 2.74. 2.75 e. 2.76 0. 2 2 ) = e 2 2.77 2.78 ( ) + ( lim lim ( + ) = lim ( + ) ) + = + + lim a k= k(k + ) = lim 3 = lim 3 ( + )( + 2) 3 = 3
2.79 Teljes idukcióval belátható, hogy a sorozat mooto öv, és korlátos. Ebb l következik, hogy koverges, vagyis létezik a lim lim a + = A 25 határérték. Amib l eek megoldása A = 2. 4 + A2 = A, 2.80. 2.8 2. 2.82 2.
26 Számsorok 2.83 Diverges. 2.84 Pozitív tagú sor, és a = ( 2.85 lim ) = e diverges. 2.86 A sor diverges, ugyais = koverges geometriai sor majorálja, tehát koverges. 2, tehát a kovergecia szükséges feltétele em teljesül: a sor 0 + 2 2 + > = 2 + 2 ( + ) = 2 2 +, a sort tehát a harmoikus sor miorálja, amely diverges. 2.87 Diverges. 2.88 Koverges. 2.89 Diverges, mert 3 lim 3 +2 27 = 9, s így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. ( ) 3 2.90 Pozitív tagú sor, melyet majorál a koverges geometriai sor, tehát koverges. 4 =0 2.9 Diverges. 2.92 Diverges. 2.93 Diverges. 2.94 Diverges. 2.95 Koverges. 2.96 Diverges. 2.97 Koverges. A pozitív tagú sort majorálja a ( = mert pl. a gyök-kritériumot alkalmazva lim ( + ) 2 = + ) 2 = lim ( ) + = e < 2.98 Diverges. 2.99 Diverges. 2.00 Diverges. 2.0 Koverges. sor, amely koverges,
27 2.02 Diverges. Ugyais ( ) 2 ( ) = 3 2, 3 s így ( ( 2) = 3) =3 Ez a harmoikus sor viszot diverges. =3 3 2 = 3 2.03 Diverges. 2.04 Koverges. 2.05 Koverges. 2.06 Koverges. 2.07 Diverges. 2.08 Koverges. 2.09 Koverges. 2.0 Koverges. 2. Koverges. 2.2 Koverges. 2.3 Koverges. 2.4 Koverges. = 2.5 Koverges. 2.6 Diverges. 2.7 Koverges. 2.8 Feltételese koverges. 2.9 Abszolut koverges. 2.20 Abszolut koverges. 2.2 Feltételese koverges. 2.22 Diverges. 2.23 Feltételese koverges. 2.24 Feltételese koverges. 2.25 Abszolut koverges. 2.26 Feltételese koverges. 2.27 3. 2.28 Koverges geometriai sor: q = k2 + k 2 <. 2.29 37. 2.30 3 60. 2.3 2. 2.32 4. 2.33 8 20. 2.34. 2.35 a, 399 5203 ; b, 222 6660..
28 2.36 K =, T = 2 3a 2. 2.37 = 4. 5