Debreceni Egyetem Természettudományi Kar. Losonczi László. Funkcionálanalízis

Debreceni Egyetem Természettudományi Kar 1 Losonczi László Funkcionálanalízis 2009

Tartalomjegyzék 0.1. El szó................................. 5 0.2. Jelölések................................ 6 0.3. Ábrák jegyzéke............................ 8 1. Metrikus terek 9 1.1. Metrikus tér fogalma, példák..................... 9 1.2. A Hölder és Minkowski egyenl tlenség............... 13 1.3. Konvergencia speciális terekben................... 21 1.4. Topológikus fogalmak metrikus terekben.............. 24 1.5. Teljes metrikus terek......................... 25 1.6. A Banach-féle xponttétel...................... 31 1.7. A Banach-féle xponttétel alkalmazásai............... 32 1.8. A Baire-féle kategória tétel...................... 38 1.9. A Baire tétel egy alkalmazása.................... 41 1.10. Kompaktság.............................. 43 2. Lineáris terek 48 2.1. Lineáris terek, alapfogalmak..................... 48 2.2. A Hahn-Banach tétel......................... 57 2.3. A Hahn-Banach tétel alkalmazásai.................. 62 3. Lineáris topológikus és normált terek 69 3.1. Lineáris topológikus terek...................... 69 3.2. Félnorma rendszer által indukált topológia............. 73 3.3. Minkowski funkcionál......................... 77 3.4. Lineáris normált és Banach-terek.................. 79 3.5. Sorozatok és sorok normált terekben................ 81 3.6. Kompakt halmazok normált terekben................ 84 3.7. A legjobb approximáció problémája................. 89 3.8. Példák Banach-terekre........................ 93 3.9. Kompakt halmazok speciális terekben................ 96 2

TARTALOMJEGYZÉK 3 4. Lineáris operátorok és funkcionálok 99 4.1. Lineáris operátorok.......................... 99 4.2. Példák................................. 101 4.3. A lineáris operátorok terének struktúrája.............. 109 4.4. A Hahn-Banach tétel lineáris normált térben............ 113 4.5. Konjugált tér, reexív terek..................... 115 4.6. Gyenge és gyenge* topológia..................... 117 4.7. Speciális terek konjugált terei.................... 121 5. A lineáris analízis három f tétele 130 5.1. A Hahn-Banach tétel......................... 130 5.2. Az egyenletes korlátosság tétele................... 134 5.3. Alkalmazások............................. 138 5.4. További alkalmazások......................... 141 5.5. A nyílt leképezések tétele....................... 146 5.6. A nyílt leképezések tételének alkalmazásai............. 148 5.7. A zárt gráf tétel............................ 153 6. Hilbert-terek 158 6.1. Hilbert-tér fogalma, példák...................... 158 6.2. Ortogonális felbontás......................... 162 6.3. Ortonormált rendszerek....................... 164 6.4. Ortogonális sorok........................... 166 6.5. Példák Fourier-sorra......................... 170 6.6. Szeparábilis Hilbert-terek....................... 172 6.7. Nem szeparábilis Hilbert-terek.................... 174 6.8. Riesz-tétel, adjungált operátor.................... 175 7. Banach-algebrák 181 7.1. Banach-algebra fogalma, példák................... 181 7.2. Reguláris elemek, spektrum, rezolvens halmaz........... 184 7.3. Liouville tétel, Gelfand-Mazur tétel................. 187 7.4. A spektrálsugár............................ 188 7.5. Hatványsorok............................. 191 7.6. Lineáris dierenciálegyenletrendszerek................ 194 7.7. Ideálok és szinguláris elemek..................... 196 7.8. Karakterek és ideálok, Wiener tétel................. 200 7.9. Gelfand-reprezentáció......................... 203 7.10. Gelfand-Naimark tétel........................ 206 7.11. Rész B -algebrák........................... 208

4 TARTALOMJEGYZÉK 8. Függelék: Topológikus terek 212 8.1. Alapfogalmak............................. 212 8.2. Nyílt és zárt halmazok........................ 213 8.3. Bázis, szubbázis, környezetbázis................... 216 8.4. Folytonos leképezések......................... 218 8.5. Leképezések által indukált topológiák................ 219 8.6. Szétválasztási axiómák........................ 221 8.7. Kompakt terek............................ 223 8.8. Összefügg terek........................... 224 8.9. Stone-Weierstrass tételek....................... 225 9. Funkcionálanalízis feladatok 226 9.1. Feladatok............................... 226 9.2. Útmutató a nehezebb feladatokhoz................. 240

0.1. El szó Ez a jegyzet eredetileg a KLTE, TTK, matematikus hallgatói számára készült. Az els kiadás 1982-ben a Tankönyvkiadónál jelent meg, majd néhány év elteltével egy utánnyomásra is sor került. Ezen kiadások példányai már nincsenek forgalomban, de a funkcionálanalízist jelenleg is oktatunk, és ez (remélhet leg) a jöv ben sem fog változni. F leg a KLTE Matematikai Intézet, Analízis Tanszékén lév kollégáim rábeszélésére vállalkoztam arra, hogy ezt a jegyzetet LaTeX formátumban újragépeltessem (lényegében változatlan tartalommal) és mindenki számára hozzáférhet vé tegyem. Az eredeti jegyzetben talált hibákat, elírásokat kijavítottam, de a LaTeX szerkesztésnél ismét nagyon sok elírás, hiba keletkezett. Ezek kijavításában Barczy Mátyás kollégám segített, aki tüzetesen átnézte a javítás javítását is. Molnár Lajos, aki a Debreceni Egyetemen évek óta oktatja a funkcionálanalízis c. tárgyat, szintén átolvasta a kéziratot, több hibára hívta fel a gyelmemet, és több kisebb változtatást is javasolt. Mindkett jük segítségét ezúton is köszönöm. 1967-t l 1971-ig Czách László aspiránsvezet irányítása mellett ismertem meg a funkcionálanalízis részleteit, az Ž hatása természetesen érezhet a jegyzeten is. A sok javítás ellenére is biztosan maradtak hibák a kéziratban. Hálás volnék, ha az olvasó az általa észrevett hibákról tájékoztatna, a Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék honlapján található e-mail címemen. Debrecen, 2009. december 9. Losonczi László 5

6 TARTALOMJEGYZÉK 0.2. Jelölések bizonyítás vége............................................... 13 deníció vége.................................................. 9 A o az A halmaz nyílt magja vagy belseje........................ 214 A, A az A halmaz lezártja......................................... 215 A az A B(H, H) operátor adjungáltja........................ 178 [A] az A halmaz lineáris burka.................................... 50 B(X, Y ) az A : X Y lineáris operátorok halmaza................... 110 c konvergens komplex sorozatok tere............................ 11 c 0 komplex nullsorozatok tere.................................... 11 C a komplex számok halmaza................................... 10 C[a, b] [a, b]-n folytonos függvények tere.............................. 12 C(X) az X kompakt Hausdor téren folyt. függv. tere...............11 co A az A halmaz konvex burka.................................... 55 δ αβ a Kronecker szimbólum...................................... 164 F x F x (f) = f(x) (x X, f X ) funkcionál.................. 116 Φ x Gelfand-transzformált....................................... 203 G(a, r) r sugarú a középpontú nyílt gömb.............................24 G(A) egy A : D(A) X Y leképezés gráfja..................... 153 J természetes leképezés X-b l X -ba.......................... 116 K R vagy C..................................................... 49 l p speciális (metrikus) tér........................................11 L p (X, S, µ) speciális (metrikus) tér........................................12 L p [a, b] speciális (metrikus) tér........................................12 L(X, Y ) az A : X Y lineáris korlátos operátorok halmaza.......... 109 M x az x-szel való baloldali szorzás............................... 182 N a természetes számok halmaza................................ 38 NBV [a, b] korlátos változású függvények tere........................... 123 x az x elem normája egy normált térben........................ 79 x p az x elem normája L p -ben.................................... 14 µ a µ mérték totális variációja................................. 127 Q a racionális számok halmaza.................................. 25 p félnorma...................................................... 60 R a valós számok halmaza.......................................10 rad X az X egységelemes kommutatív Banach-algebra radikálja.....205 rca(x) az X-en értelmezett reguláris Borel-mértékek tere............ 127 x, z x, z l (n) 2 vektorok bels szorzata............................ 105 x, y az x, y H elemek skaláris v. bels szorzata................. 158 s speciális (metrikus) tér........................................11 S(a, r) r sugarú a középpontú zárt gömb............................. 24 S(X, S, µ) komplex érték mérhet függvények tere...................... 12

0.2. JELÖLÉSEK 7 V (y) az y függvény totális variációja [a, b]-n....................... 123 (X, S, µ) mértéktér..................................................... 12 X az X lineáris normált konjugált tere......................... 112 X X lineáris normált tér második konjugált tere................ 115 X az X kommutatív Banach-algebra struktúra tere............. 203 X/Y az X lineáris tér Y altér szerint vett faktortere................ 51 Z az egész számok halmaza.................................... 229

8 TARTALOMJEGYZÉK 0.3. Ábrák jegyzéke 1. ábra..................................................................... 43 2. ábra..................................................................... 91 3. ábra.................................................................... 131 4. ábra.................................................................... 131

1. fejezet Metrikus terek 1.1. Metrikus tér fogalma, példák 1.1.1. Deníció. Az X nem üres halmazt metrikus tér nek nevezzük, ha X bármely két x, y eleméhez hozzá van rendelve egy ϱ(x, y) valós szám úgy, hogy (1) ϱ(x, y) 0 és ϱ(x, y) = 0 akkor és csakis akkor, ha x = y, (2) ϱ(x, y) = ϱ(y, x), (3) ϱ(x, y) ϱ(x, z) + ϱ(z, y) teljesül bármely x, y, z X esetén. Az X halmaz elemeit pont oknak, a ϱ függvényt metrikának vagy távolság nak, a ϱ(x, y) számot x és y távolságának nevezzük. Egy metrikus térnek egy másik metrikus térre való távolságtartó leképezését izometriának, vagy izometrikus leképezés nek nevezzük (egy ilyen leképezés mindig kölcsönösen egyértelm, mert a különböz pontok képe különböz ). Két metrikus teret izometrikus nak nevezünk, ha köztük izometria létesíthet. Egy X metrikus tér egy nem üres Y részhalmaza maga is metrikus tér (X metrikájával ellátva), melyet az X metrikus tér alterének nevezünk. Az (1)(3) tulajdonságok (a metrika axiómái) azt fejezik ki, hogy a távolság nemnegatív, és csak különböz pontok távolsága pozitív, a távolság szimmetrikus, és teljesül a háromszög-egyenl tlenség. A háromszög-egyenl tlenséget n-szer alkalmazva kapjuk, a ϱ(x, y) ϱ(x, z 1 ) + ϱ(z 1, z 2 ) + + ϱ(z n, y) (x, y, z 1,..., z n X) sokszög-egyenl tlenség et. 9

10 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK vagy Speciálisan n = 2-re ϱ(x, y) ϱ(x, z 1 ) + ϱ(z 1, z 2 ) + ϱ(z 2, y), ϱ(x, y) ϱ(z 1, z 2 ) ϱ(x, z 1 ) + ϱ(z 2, y). Az x és z 1 valamint y és z 2 szerepét megcserélve az egyenl tlenség jobb oldala nem változik, így ϱ(z 1, z 2 ) ϱ(x, y) ϱ(x, z 1 ) + ϱ(z 2, y). Az utolsó két egyenl tlenségb l adódik, hogy ϱ(x, y) ϱ(z 1, z 2 ) ϱ(x, z 1 ) + ϱ(y, z 2 ), melyet négyszög-egyenl tlenség nek fogunk nevezni. Ugyanazon halmazon többféle metrika is értelmezhet. Ezért, ha a félreértés veszélye áll fenn, akkor az X metrikus teret a ϱ metrikával ellátva (X, ϱ)-val fogjuk jelölni. A következ kben R és C a valós és a komplex számok halmazát jelölik. Tegyük fel, hogy X egy nem üres halmaz és a ϱ: X X R függvény csak a (2), (3) tulajdonságokat és az (1) els részét (ϱ(x, y) 0 és ϱ(x, x) = 0 bármely x, y X-re) teljesíti. Deniáljuk a relációt a következ képpen x y, ha ϱ(x, y) = 0 (x, y X). ϱ metrika tulajdonságai miatt ekvivalencia reláció: reexív, szimmetrikus és tranzitív, így az X halmazon egy osztályozást indukál, oly módon, hogy ekvivalens elemek azonos osztályba kerülnek. Jelölje x az x elem osztályát, azaz legyen x = {y X ϱ(x, y) = 0}, és jelölje X az összes osztályok halmazát. Könny belátni, hogy X-on a ϱ( x, ỹ) = ϱ(x, y) ( x, ỹ X) egyenl séggel deniált ϱ függvény metrika lesz. Ez azt jelenti, hogy az X halmaz elemei között egy új egyenl séget, az -t bevezetve X metrikus tér lesz ϱ metrikával. Példáinkban ez a szituáció többször is el fog fordulni. Példák metrikus terekre 1. Legyen X egy tetsz leges nem üres halmaz, x, y X és { 0 ha x = y, ϱ(x, y) = 1 ha x y. Azonnal látható, hogy ϱ metrika X-en, melyet diszkrét metrikának nevezünk.

1.1. METRIKUS TÉR FOGALMA, PÉLDÁK 11 2. Legyen X = { x = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) ξ i C (i = 1, 2,..., n) } a komplex szám n-esek halmaza. Legyen 1 p és x = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ), y = (η 1, η 2,..., η n ) X esetben ( n ϱ p (x, y) = ξ i η i p ) 1 p ha 1 p <, max ξ i η i ha p =. 1 i n ϱ p metrika, mellyel ellátva X-et, kapjuk az l (n) p metrikus ter et. A p = 2 esetén az n-dimenziós komplex Euklideszi teret kapjuk. 3. Ismét 1 p, és { l p = x = (ξ 1, ξ 2,... ) ξi C (i N) és } ξ i p < ha 1 p <. sup ξ i < ha p = i A metrika a 2. példával analóg módon van deniálva: tetsz leges x, y l p esetén ( ) 1 ξ i η i p p ha 1 p <, ϱ p (x, y) = sup ξ i η i ha p =. i 4. A c teret a konvergens komplex számsorozatok alkotják, a metrika ugyanaz, mint l -ben. 5. A c 0 tér elemei a komplex nullsorozatok, a metrika ugyanaz, mint vagy mint l -ben. 6. A s tér elemei az összes komplex számsorozatok, x = (ξ 1, ξ 2,... ), y = (η 1, η 2,... ) s esetén ϱ(x, y) = 1 ξ i η i 2 i 1 + ξ i η i. 7. Legyen X egy kompakt Hausdor-féle topológikus tér. Az X-en deniált összes komplex érték folytonos függvények halmazát a ϱ(x, y) = sup x(t) y(t) t X metrikával ellátva kapjuk a C(X) metrikus teret. (x, y : X C folytonosak)

12 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK 8. Legyen (X, S, µ) egy tetsz leges véges mértéktér. Jelölje S = S(X, S, µ) az X-en értelmezett komplex érték mérhet függvények halmazát. Két S-beli függvényt egyenl nek tekintve, ha azok majdnem mindenütt egyenl k, a ϱ(x, y) = formula metrikát deniál S-en. X x(t) y(t) 1 + x(t) y(t) dµ t (x, y S) 9. Legyen (X, S, µ) egy tetsz leges mértéktér, p 1 egy valós szám, és L p = L p (X, S, µ) jelölje azon x : X C mérhet függvények halmazát, melyekre x(t) p dµ t <. X Két L p -beli függvényt azonosnak tekintünk, ha azok majdnem mindenütt egyenl ek. A metrika deníciója L p -ben: ϱ p (x, y) = X x(t) y(t) p dµ t 1 p (x, y L p ). 10. Legyen (X, S, µ) ismét egy tetsz leges mértéktér, és L = L (X, S, µ) jelölje azon x : X C mérhet függvények halmazát, melyek abszolút értéke egy nullmérték halmaztól eltekintve korlátos. Két L -beli függvényt egyenl nek tekintünk, ha azok majdnem mindenütt egyenl k. A metrika deniciója L -ben: ( ) ϱ (x, y) = inf E S µe=0 sup x(t) y(t) t X\E (x, y L ). Ha a 2-9. példákban a sorozatok, illetve függvények értékei valós számok, úgy ismét metrikus teret kapunk, melyeket valós l p (n), l p,..., L tereknek nevezünk. (Az L p és S tereknél megengedhetjük azt is, hogy a függvények értékei a b vített valós számok halmazába essenek, de ekkor az S tér esetén ki kell kötni azt, hogy a függvények majdnem mindenütt végesek legyenek.) Azt, hogy a 2-9. példák valóban metrikus terek a következ szakaszban fogjuk bizonyítani. Ha a 7. példában X = [a, b] egy korlátos zárt intervallum, akkor a C([a, b]) jelölés helyett C[a, b]-t használjuk, míg ha a 9-10. példákban X = [a, b] vagy (a, b) a Lebesgue-mértékkel van ellátva, úgy az L p [a, b] vagy L p (a, b) jelölést használjuk.

1.2. A HÖLDER ÉS MINKOWSKI EGYENLŽTLENSÉG 13 1.2. A Hölder és Minkowski egyenl tlenség Megmutatjuk, hogy az 1.1-ben szerepl 2-9. példákban deniált terek valóban metrikus terek, azaz kielégítik a metrika axiómáit. Elegend ezt az S, L p (1 p ) és a C(X) terek esetén igazolni, ugyanis a mértéktér alkalmas megválasztásával S-b l s, L p -b l l p, l p (n) speciális esetenként megkapható, c 0, c-ben pedig a metrika ugyanaz, mint l -ben. 1.2.1. Tétel. A ϱ(x, y) = X x(t) y(t) 1 + x(t) y(t) dµ t függvény metrika S-en. Bizonyítás. Mivel a mértéktér véges, világos, hogy 0 ϱ(x, y) <. Ha ϱ(x, y) = 0, úgy x(t) = y(t) majdnem mindenütt, tehát x = y az S térben. Az abszolút érték jel miatt ϱ(x, y) = ϱ(y, x). A háromszög-egyenl tlenség bizonyításához tekintsük a φ(λ) = λ 1 + λ = 1 1 1 + λ (λ 0) függvényt. Látható, hogy φ szigorúan monoton növekv, így bármely u, v C esetén u + v 1 + u + v u + v 1 + u + v = u 1 + u + v + v 1 + u + v u 1 + u + v 1 + v, amib l u = x(t) y(t), v = y(t) z(t) helyettesítéssel, integrálás után a háromszög-egyenl tlenséget kapjuk. Ahhoz, hogy bebizonyítsuk azt, hogy ϱ p (x, y) = x(t) y(t) p dµ t 1 p (1 p < ) X metrika L p -n, szükségünk van a Hölder és a Minkowski egyenl tlenségre. 1.2.2. Tétel. (Hölder egyenl tlenség) Ha 1 < p <, 1 p + 1 q = 1, x L p és y L q, akkor xy L 1, x(t)y(t)dµ t x(t)y(t) dµ t, (1.2.1) X X

14 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK és x(t)y(t) dµ t x p y q, (1.2.2) ahol X x p = ϱ p (x, 0) = 1 p x(t) p dµ t, y q = ϱ q (y, 0). (1.2.1)-ben akkor és csakis akkor van egyenl ség, ha X sgn (x(t)y(t)) = konstans (1.2.3) majdnem mindenütt az X := { t X x(t)y(t) 0 } halmazon, (ahol sgn z = z ha z C, z 0, és sgn 0 = 0). z (1.2.2)-ben pontosan akkor van egyenl ség, ha α x(t) p = β y(t) q (1.2.4) majdnem minden t X re teljesül α, β 0, α 2 + β 2 > 0 konstansokkal. Bizonyítás. A Taylor-formula szerint bármely a, b > 0-ra ( ) a ln a p p = ln p + bq + q ( ) a ln b q p = ln p + bq + q a p p a p p 1 + bq q 1 + bq q ) (a p ap p bq 1 ) 2 (a p ap q 2ξ 2 p bq q ) (b q ap p bq 1 ) 2 (b q ap q 2η 2 p bq q ahol ξ illetve η az a p illetve b q és ap p + bq közötti értékek. Az els egyenl tlenség q 1 p -szeresét a második egyenl tlenség 1 -szorosához adva kapjuk, hogy q ( ) a p ln ab = ln p + bq 1 q 2pξ 2 amib l ( b q a p q ) 2 1 2qη 2 ab ap p + bq q ( ) a p b q 2 ( a p ln p p + bq q ) (1.2.5) és itt egyenl ség csak a p = b q esetén van. Ez nyilvánvalóan igaz a 0, b 0 esetén is.

1.2. A HÖLDER ÉS MINKOWSKI EGYENLŽTLENSÉG 15 Helyettesítsünk (1.2.5)-ben a = x(t), b = y(t) -t feltéve, hogy x p y q 0. x p y q A kapott egyenl tlenséget integrálva kapjuk, hogy x(t)y(t) dµ t X 1 x p p x p y q p x p + 1 y q q p q y q = 1, q amib l következik xy L 1 és (1.2.2). Az (1.2.1) egyenl tlenség xy L 1 -b l és az integrál alaptulajdonságaiból következik. Egyenl ség pontosan akkor áll fenn (1.2.2)-ben, ha x(t) p x p = y(t) q p y q majdnem minden t X-re teljesül, azaz, ha q (1.2.4) fennáll β = x p p, α = y q q-val. Ha x p y q = 0, úgy x p = 0 vagy y q = 0. Ha például x p = 0, akkor x(t) = 0 majdnem minden t X-re, így (1.2.2)-ben egyenl ség van, és α = 1, β = 0-val (1.2.4) is teljesül. Az y q = 0 eset hasonló. Vizsgáljuk meg hogy mikor van egyenl ség (1.2.1)-ben! Vezessük be a h(t) = x(t)y(t) (t X) jelölést, akkor h L 1 miatt h(t)dµ t h(t) dµ t. (1.2.6) X Ha sgn h(t) = e iγ (γ R) majdnem mindenütt X -n, akkor h(t)dµ t = e iγ h(t) dµ t = e iγ h(t) dµ t, X X így (1.2.6)-ban egyenl ség van. Fordítva, tegyük fel, hogy (1.2.6)-ban egyenl ség van. Ez akkor is fennáll, ha az integrációs halmazt X -re cseréljük, azaz, ha h(t) dµ t = h(t)dµ t = eiδ h(t)dµ t, X X X alkalmas δ R számmal. Az X e iδ h(t) = u(t) + iv(t) felbontással, ahol u, v valós érték függvények, kapjuk, hogy h(t) dµ t = h(t)dµ t = e iδ h(t)dµ t = u(t)dµ t + i v(t)dµ t, X X X X X X

16 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK amib l X v(t)dµ t = 0, X u(t)dµ t 0. Mivel h = e iδ h = (u 2 + v 2 ) 1 2, így integrálással u = h = e iδ h = (u 2 + v 2 ) X X X X továbbá X u X u X (u 2 + v 2 ) 1 2 = X u. Ebb l következik, hogy u(t) 0 majdnem mindenütt X -n, mert, ha u(t) < 0 volna X egy pozitív mérték részén, akkor innen X u < 0-t kapnánk, ami lehetetlen. Az is következik, hogy v(t) = 0 majdnem mindenütt X -n ti. ellenkez esetben X (u 2 + v 2 ) 1 2 > X u volna, ami nem lehet. Az e iδ h = u + iv felbontás alapján, majdnem minden X -beli pontban h = e iδ h = (u 2 + v 2 ) 1 2 = u = u, h = e iδ (u + v) = e iδ u 1 2, amib l h(t) = e iδ h(t) majdnem mindenütt X -n. 1.2.3. Tétel. (Minkowski egyenl tlenség) Ha 1 p <, x, y L p, akkor x + y L p és x + y p x p + y p. (1.2.7) (1.2.6)-ban p = 1-nél egyenl ség pontosan akkor van, ha majdnem minden t N x esetén fennáll, ahol y(t) x(t) 0 (1.2.8) N x = { t X x(t) 0 }. 1 < p < esetén (1.2.7)-ban akkor és csakis akkor áll fenn egyenl ség, ha αx(t) = βy(t) (1.2.9) majdnem minden t X-re fennáll, α, β 0, α 2 + β 2 > 0 konstansokkal. Bizonyítás. p = 1-nél (1.2.7) az x(t) + y(t) x(t) + y(t)

1.2. A HÖLDER ÉS MINKOWSKI EGYENLŽTLENSÉG 17 egyenl tlenség integrálásával adódik. 1 < p < -nél ( ) p x(t) + y(t) p x(t) + y(t) (2 max { x(t), y(t) }) p = 2 p max { x(t) p, y(t) p} ( 2 p x(t) p + y(t) ), p amib l következik, hogy x + y p L 1, azaz x + y L p. Ezért az x(t) + y(t) p dµ t x(t) + y(t) p 1 x(t) dµ t + x(t) + y(t) p 1 y(t) dµ t X X (1.2.10) egyenl tlenség jobb oldalán szerepl integrálokra alkalmazható a Hölder egyenl tlenség, mert x + y (p 1)q = x + y p L 1 miatt x + y p 1 L q, ahol q = és a feltevés szerint x, y L p. Ezért x(t) + y(t) p 1 x(t) dµ t X x(t) + y(t) p dµ t 1 q p p 1, x p (1.2.11) X x(t) + y(t) p 1 y(t) dµ t X 1 q x(t) + y(t) p dµ t y p (1.2.12) X és (1.2.10)-b l X x + y p p q p x + y p ( x p + y p ) (1.2.13) p q adódik. Ha x + y p 0, akkor x + y p -val osztva kapjuk (1.2.7)-et, ha x + y p = 0, akkor (1.2.7) nyilvánvalóan igaz. Vizsgáljuk meg, mikor van egyenl ség (1.2.7)-ben! p = 1-nél ennek az a szükséges és elegend feltétele, hogy majdnem minden t X-re teljesüljön. Ha x(t) + y(t) = x(t) + y(t) (1.2.14) N x = { t X x(t) = 0 } és N x = X \ N x = { t X x(t) 0 }, akkor (1.2.14) a t N x értékekre mindig teljesül. Így (1.2.7)-ben akkor és csakis akkor van egyenl ség, ha x(t) + y(t) = x(t) + y(t) majdnem minden t N x-re

18 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK vagy, ezzel ekivivalens módon 1 + y(t) x(t) = 1 + y(t) x(t) majdnem minden t N x-re. Ez pontosan akkor igaz, ha y(t) x(t) majdnem minden t N x-re valós és nemnegatív, azaz ha (1.2.8) fennáll. Ha 1 < p <, akkor könny belátni, hogy (1.2.9) teljesülése esetén (1.2.7)-ben egyenl ség van. Megmutatjuk, hogy ez fordítva is igaz. Ha x + y p = 0 és (1.2.7)-ben egyenl ség van, akkor x p = y p = 0, azaz x(t) = 0, y(t) = 0 majdnem minden t X-re. Így pl. α = β = 1-gyel (1.2.9) fennáll. Ha x+y p 0 és (1.2.7)-ben egyenl ség van, akkor (amint (1.2.7) bizonyításából látható) egyenl ség kell hogy legyen (1.2.13)-ban, így az (1.2.10), (1.2.11), (1.2.12) egyenl tlenségekben is. Ennek feltételei rendre ((1.2.11), (1.2.12)-nél felhasználva az 1.2.2 tételt): x(t) + y(t) = x(t) + y(t) majdnem minden t X-re, (1.2.15) γ 1 x(t) + y(t) = δ 1 x(t) majdnem minden t X-re, (1.2.16) γ 2 x(t) + y(t) = δ 2 y(t) majdnem minden t X-re, (1.2.17) ahol γ i, δ i 0, γ 2 i + δ 2 i > 0 (i = 1, 2). Ha µn x = 0, úgy x(t) = 0 majdnem minden t X-re, (1.2.7)-ben egyenl ség van és (1.2.9) pl. α = 1, β = 0-val teljesül. Így feltehet, hogy µn x 0. Ekkor γ 1 0, mert ellenkez esetben δ 1 = 0 volna, ami γ1 2 + δ1 2 > 0 miatt nem lehet. Tudjuk, hogy (1.2.15) pontosan akkor teljesül, ha majdnem minden t N x-re y(t) nemnegatív, így (1.2.16), (1.2.15)-b l x(t) azaz δ 1 γ 1 = 1 + y(t) x(t) = 1 + y(t) x(t) majdnem minden t N x-re, y(t) = αx(t) majdnem minden t N x-re, (1.2.18) ahol α = δ 1 γ 1 1 egy nemnegatív konstans. Továbbá (1.2.16)-ból γ 1 y(t) = 0 majdnem minden t N x -re,

1.2. A HÖLDER ÉS MINKOWSKI EGYENLŽTLENSÉG 19 amib l γ 1 0 miatt y(t) = 0 majdnem minden t N x -re. Ez y(t) = αx(t) majdnem minden t N x -re (1.2.19) alakba is írható. (1.2.18) és (1.2.19) azt jelenti, hogy y(t) = αx(t) majdnem minden t X-re, azaz β = 1-gyel (1.2.9) teljesül. A Minkowski egyenl tlenség p = esetén is érvényes. Többek között ennek igazolásához fogjuk használni a következ tételt. 1.2.4. Tétel. Bármely x L -hez van olyan x-t l függ E 0 X nullmérték halmaz, melyre x = ϱ (x, 0) = sup x(t). (1.2.20) t X\E 0 Bizonyítás. x = inf E µe=0 E n nullmérték halmaz, hogy E 0 = n=1 ( x sup x(t) t X\E ) sup t X\E n x(t) < x + 1 n. E n szintén nullmérték, és E 0 E n miatt x, így bármely n N-hez van olyan sup x(t) sup x(t) < x + 1 t X\E 0 t X\E n n. Innen n -nel kapjuk (1.2.20)-at. Következmények. 1. A (1.2.6) Minkowski egyenl tlenség p = esetén is érvényes. Legyen ugyanis x, y L és E 0, F 0 X olyan nullmérték halmazok, hogy x = sup x(t), y = sup y(t). t X\E 0 t X\F 0 Az x(t) + y(t) x(t) + y(t) (t X),

20 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK egyenl tlenségb l sup x(t)+y(t) sup x(t) + t X\(E 0 F 0 ) t X\(E 0 F 0 ) sup t X\(E 0 F 0 ) y(t) x + y, de E 0 F 0 nullmérték lévén x + y L, és egyenl tlenségünk bal oldala x + y -nél nem kisebb, tehát x + y x + y. 2. Az (1.2.1) Hölder egyenl tlenség p = 1, q = és p =, q = 1 esetén is érvényes. A szimmetria miatt elég a p = 1, q = esettel foglalkozni. Legyen x L 1, y L és F 0 X olyan nullmérték halmaz, melyre y = sup y(t). t X\F 0 Ekkor xy 1 = x(t)y(t) dµ t = x(t)y(t) dµ t X X\F 0 y x(t) dµ t = x 1 y. X\F 0 1.2.5. Tétel. A ϱ p (x, y) = ( X inf E µe=0 x(t) y(t) p dµ t ) 1 p ( sup x(t) y(t) t X\E ) ha 1 p <, ha p =, függvény metrika L p (X, S, µ)-n. Bizonyítás. x, y L p esetén a Minkowski-egyenl tlenség miatt x y = x + ( 1)y L p, így ϱ p (x, y) minden x, y L p mellett véges. Világos, hogy ϱ p (x, y) 0 és ϱ p (x, y) = 0, ha x = y, azaz ha x(t) = y(t) majdnem minden t X-re. Tegyük fel, hogy ϱ p (x, y) = 0. 1 p < esetén innen x(t) y(t) p dµ t = 0, amib l x(t) = y(t) majdnem X minden t X-re.

1.3. KONVERGENCIA SPECIÁLIS TEREKBEN 21 p = esetén az 1.2.4 tétel szerint van olyan E 0 nullmérték halmaz, hogy ϱ (x, y) = sup x(t) y(t) = 0, amib l x(t) = y(t), ha t X \ E 0, t X\E 0 azaz x(t) = y(t) majdnem minden t X-re. A távolság szimmetriája nyilvánvaló, a háromszög-egyenl tlenséget pedig úgy kaphatjuk meg, hogy az x z és z y függvényekre alkalmazzuk a Minkowskiegyenl tlenséget. 1.2.6. Tétel. A ϱ(x, y) = sup x(t) y(t) függvény metrika C(X)-en. t X Bizonyítás. x, y, z C(X)-re x(t) y(t) x(t) z(t) + z(t) y(t) (t X), amib l a jobb, majd a baloldal szuprémumát véve kapjuk, a háromszög-egyenl tlenséget. A metrika másik két tulajdonsága nyilvánvalóan teljesül. 1.3. Konvergencia speciális terekben 1.3.1. Deníció. Legyen X egy metrikus tér ϱ metrikával és {x n } legyen egy X-beli sorozat. Azt mondjuk, hogy az {x n } sorozat konvergens (az X metrikus térben) és határértéke x X, ha Jelölés: lim ϱ(x n, x) = 0 n x = lim n x n, vagy x n x (n ) Azonnal látható, hogy konvergens sorozat határértéke egyértelm. Az alábbiakban az a célunk, hogy az 1.1 szakasz 2-9. példáiban szerepl metrikus terekben lehet ség szerint jellemezzük a konvergens sorozatokat. 1.3.1. Tétel. A S = S(X, S, µ) metrikus térben egy {x n } sorozat akkor és csakis akkor konvergál x S-hez, ha az {x n } függvénysorozat µ-mértékben konvergál x-hez X-en. Bizonyítás. Ha lim n ϱ(x n, x) = 0, akkor tetsz leges σ > 0 mellett legyen E n (σ) = {t X x n (t) x(t) σ}.

22 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK A φ(λ) = λ (λ 0) függvény monotonitása miatt 1 + λ x n (t) x(t) ϱ(x n, x) = 1 + x n (t) x(t) dµ x n (t) x(t) t 1 + x n (t) x(t) dµ t σ 1 + σ µe n(σ). X E n(σ) Így lim n µe n (σ) = 0, tehát {x n } µ mértékben konvergál x-hez. Fordítva, tegyük fel, hogy az {x n } sorozat µ mértékben konvergál x-hez, azaz tetsz leges σ 0 esetén µe n (σ) 0, ha n. Ekkor x n (t) x(t) ϱ(x n, x) = 1 + x n (t) x(t) dµ x n (t) x(t) t + 1 + x n (t) x(t) dµ t E n (σ) µe n (σ) + σ 1 + σ µx. X\E n (σ) Legyen ε > 0 adott, és válasszuk σ = σ > 0-t olyanra, hogy másrészt µe n (σ ) < ε ( ε ) 2, ha n > N, így 2 ϱ(x n, x) < ε 2 + ε ( ε ) 2 = ε ha n > N, 2 σ 1 + σ µx < ε 2, azaz {x n } az x-hez konvergál S-ben. 1.3.2. Tétel. A C(X) metrikus térben egy {x n } sorozat akkor és csakis akkor konvergál x C(X)-hez, ha az {x n } függvyénysorozat egyenletesen konvergál x-hez X-en. Bizonyítás. Állításunk következik abból, hogy ϱ(x n, x) = sup x n (t) x(t) ε x n (t) x(t) ε (t X) t X 1.3.1. Következmény. Mivel a c, c 0, l terekben a metrika analóg módon van deniálva, így kapjuk, hogy ezekben a terekben a konvergencia éppen a koordinátánkénti egyenletes konvergencia, vagyis ha x n = (ξ (n) 1, ξ (n) 2,... ), x = (ξ 1, ξ 2,... ), akkor lim x n = x (c 0, c vagy l -ben) akkor és csakis akkor, ha n esetén n ξ i az i indexben egyenletesen i N-en. ξ (n) i

1.3. KONVERGENCIA SPECIÁLIS TEREKBEN 23 1.3.3. Tétel. Az x n = ( ξ (n) 1, ξ (n) 2,... ) s sorozat akkor és csakis akkor konvergál x = ( ξ 1, ξ 2,... ) s-hez az s térben, ha Bizonyítás. ϱ(x n, x) = lim n ξ(n) i = ξ i (i N). 1 ξ (n) k ξ k 2 k 1 + ξ (n) k ξ k 1 (n) ξi ξ i 2 i 1 + ξ (n) i ξ i (i N), így ha lim ϱ(x n, x) = 0, akkor lim i = ξ i (i N). n A fordított állítás igazolásához legyen ε > 0 adott, és k 0 olyan index, hogy 1 2 < ε k 2, N(ε) pedig olyan, hogy k = 1, 2,..., k 0 esetén k=k 0 +1 n ξ (n) Ekkor 1 ξ (n) k ξ k 2 k 1 + ξ (n) k ξ k < ε, 2k 0 ha n > N(ε). ϱ(x n, x) < ε 2 + ε 2 = ε ha n > N(ε). L p (és l p )-ben 1 p < esetén a konvergencia nem jellemezhet a fentiekhez hasonló egyszer módon. A p = esetre vonatkozik a következ tétel. 1.3.4. Tétel. Az {x n } L -beli sorozat akkor és csakis akkor konvergál x L -hez az L térben, ha az {x n } függvénysorozat majdnem mindenütt egyenletesen konvergál x-hez X-en, azaz van olyan (a sorozattól függ ) E 0 nullmérték halmaz, hogy {x n } egyenletesen konvergál x-hez az X \ E 0 halmazon. Bizonyítás. Ha lim n ϱ (x n, x) = 0, akkor az x n x függvényekhez megkeressük azokat az E n nullmérték halmazokat, melyekre ϱ (x n, x) = x n x = teljesül (lásd az 1.2.4 tételt). E 0 = ϱ (x n, x) n=1 sup x n (t) x(t) t X\E n E n is nullmérték, és sup x n (t) x(t) x n (t) x(t) (t X \ E 0 ), t X\E 0 így lim n ϱ (x n, x) = 0 esetén lim n x n (t) = x(t) egyenletesen X \ E 0 -on.

24 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK Ha viszont lim n x n (t) = x(t) egyenletesen X \ F 0 -on, ahol µf 0 = 0, akkor sup x n (t) x(t) 0 ha n, t X\F 0 így miatt ϱ (x n, x) = inf sup E,µE=0 t X\E x n (t) x(t) sup t X\F 0 x n (t) x(t) lim ϱ (x n, x) = 0. n 1.4. Topológikus fogalmak metrikus terekben 1.4.1. Deníció. Legyen X egy metrikus tér ϱ metrikával. Ha a X, r > 0, akkor a G(a, r) = {x X ϱ(a, x) < r} halmazt r sugarú a középpontú nyílt gömbnek nevezzük, míg az S(a, r) = {x X ϱ(a, x) r} halmazt r sugarú a középpontú zárt gömbnek nevezzük (Utóbbi esetben r = 0-t is megengedjük). 1.4.2. Deníció. Jelölje G X azon részhalmazainak osztályát, melyek bármely pontjukkal együtt valamely a pont körüli nyílt gömböt is tartalmaznak. Könny belátni, hogy G topológia X-en, melyet X természetes topológiájá nak nevezünk. Hacsak mást nem mondunk, akkor egy metrikus teret mindig a természetes topológiával látjuk el, és az összes topológikus fogalmat (nyílt, zárt halmaz, stb.) e topológia szerint vesszük. Így pl. egy A X halmazt akkor nevezünk nyíltnak, ha eleme G-nek, vagyis ha bármely pontjával együtt valamely a pont körüli nyílt környezetet is tartalmaz. B X zárt, ha a komplementere nyílt. Könny belátni, hogy nyílt gömb nyílt halmaz, zárt gömb zárt halmaz, továbbá, hogy egy metrikus tér normális topológikus tér (ld. a Függelék 9.6.1 deníciót). Legyen T egy X metrikus térnek az Y metrikus térbe való leképezése. A fentiek alapján (lásd a Függelék 8.4.2 deníciót) T -t folytonosnak nevezzük az x X pontban, ha T x bármely V környezetéhez megadható x-nek olyan U környezete, hogy T U V.

1.5. TELJES METRIKUS TEREK 25 1.4.1. Tétel. A T leképezés akkor és csakis akkor folytonos x X-ben, ha bármely x-hez konvergáló {x n } sorozat esetén {T x n } a T x-hez konvergál. A bizonyítást az olvasóra bizzuk. 1.5. Teljes metrikus terek Legyen X egy metrikus tér ϱ metrikával. X-beli elemek egy {x n } sorozatáról azt mondtuk (ld. az 1.3.1 deníciót), hogy konvergál az x X elemhez, ha lim n ϱ(x n, x) = 0. 1.5.1. Deníció. Az {x n } sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha bármely ε > 0 számhoz létezik olyan N(ε) szám, hogy ϱ(x n, x m ) < ε, ha n, m > N(ε). 1.5.1. Tétel. Egy metrikus térben minden konvergens sorozat Cauchy sorozat. ( ε ) Bizonyítás. Ha lim x n = x és ε > 0, úgy van olyan N 1 szám, hogy n 2 ϱ(x n, x) < ε ( ε ) ha n > N 1, 2 2 így ϱ(x n, x m ) ϱ(x n, x) + ϱ(x, x m ) < ε 2 + ε 2 = ε ha n, m > N 1 ( ε 2), tehát {x n } Cauchy-sorozat. A fordított állítás nem igaz. Legyen ugyanis Q az összes racionális számok halmaza, akkor ϱ(r, s) = r s (r, s Q), metrika Q-n. Legyen {r n } a 2-t alulról közelít racionális számok egy olyan sorozata, melyre 0 < 2 r n < 1 10 n teljesül. Bármely ε > 0 mellett { } 1 r m r n < max 10, 1 < ε ha n, m > lg 1 n 10 m ε,

26 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK azaz {r n } Cauchy sorozat Q-ban. De ez a sorozat nem konvergens Q-ban, mert ha r n r Q volna, úgy r 2 r r n + r n 2 miatt r = 2 volna, ami lehetetlen, mert 2 irracionális. 1.5.2. Deníció. Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens. Példák 1. Az 1.1 szakasz els példájában szerepl metrikus tér (X egy tetsz leges halmaz, ϱ(x, y) = 0, ha x = y, ϱ(x, y) = 1, ha x y) teljes, mert ha {x n } egy Cauchy-sorozat, úgy ϱ(x n, x m ) < 1 ( ) 1 ha n, m > N, 2 2 de ekkor x n = x m, azaz x n = x k minden n k-ra, ahol k a legkisebb N( 1 )-nél nagyobb természetes szám. Ez azt jelenti, hogy lim x 2 n = x k. n 2. Megmutatjuk, hogy C(X) teljes metrikus tér. Ha {x n } egy Cauchy-sorozata e térnek, úgy ϱ(x n, x m ) = sup x n (t) x m (t) < ε, ha n, m > N(ε), t X amib l bármely t X-re x n (t) x m (t) < ε, ha n, m > N(ε). (1.5.1) Ez mutatja, hogy bármely rögzített t X mellett {x n (t)} komplex (vagy valós) elem Cauchy-sorozat, mely konvergens. Ha {x n (t)} határértékét x(t) jelöli, akkor (1.5.1)-b l m határátmenettel kapjuk, hogy x n (t) x(t) ε, ha n > N(ε), t X. (1.5.2) Megmutatjuk, hogy x folytonos függvény X-en. Legyen n > N(ε) rögzített index, az x n függvény t 0 X-beli folytonossága miatt bármely ε > 0-hoz létezik t 0 -nak olyan U környezete, hogy x n (t) x n (t 0 ) < ε, ha t U. (1.5.3) Ekkor (1.5.2) és (1.5.3) miatt tetsz leges t U esetén x(t) x(t 0 ) x(t) x n (t) + x n (t) x n (t 0 ) + x n (t 0 ) x(t 0 ) < 3ε

1.5. TELJES METRIKUS TEREK 27 ami az x függvény t 0 -beli folytonosságát jelenti, így x C(X). (1.5.2)-b l ϱ(x n, x) ε ha n > N(ε) következik, azaz {x n } konvergens C(X)-ben. Eredményünk könnyen általánosítható a C n (X) tér esetére is. Itt X egy kompakt Hausdor-tér, n egy természetes szám, és C n (X) az összes x : X C n (vagy R n ) X-en folytonos függvények halmaza, ϱ(x, y) = sup x(t) y(t), t X ( n ) 1 ahol z = (z 1, z 2,..., z n ) C n esetén z = z i 2 3. Teljes metrikus tér egy altere akkor és csakis akkor teljes, ha zárt. Legyen X teljes metrikus tér, és tegyük fel, hogy Y zárt altere X-nek, {y n } pedig egy Cauchy-sorozat Y -ban. Ez X-ben is Cauchy-sorozat, így a teljesség miatt konvergens X-ben: lim y n = y, y X. Mivel y n Y, n így y érintkezési pontja Y -nak, tehát Y zártsága miatt y Y, vagyis {y n } konvergens Y -ban. Fordítva, ha az Y altér teljes, úgy zárt is. Legyen ugyanis y Y,akkor y érintkezési pontja Y -nak, így van olyan {y n } (y n Y ) sorozat, melyre lim y n = y. {y n } Cauchy-sorozat, mely Y teljessége miatt egy Y -beli elemhez konvergál. A határérték egyértelm sége miatt így y Y n. 4. A 2. fejezetben be fogjuk bizonyítani, hogy az L p (l p, l p (n) ), c, c 0 metrikus terek teljesek. Láttuk, hogy a racionális számok Q halmaza a ϱ(r, s) = r s távolsággal nem alkot teljes metrikus teret. Q azonban mindenütt s r altere az összes valós számok teljes metrikus terének. Hasonló állítás érvényes bármely metrikus térre. 1.5.3. Deníció. Legyenek X, X metrikus terek a ϱ, ϱ metrikával. Azt mondjuk, hogy X az X metrikus tér teljes metrikus burka, ha (1) X teljes, (2) X X és x, y X esetén ϱ(x, y) = ϱ (x, y), (3) X = X azaz X mindenütt s r X -ban. 2.

28 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK 1.5.2. Tétel. Bármely metrikus térnek létezik teljes metrikus burka, és ez az eredeti teret xen hagyó izometriától eltekintve egyértelm. (Más szóval: minden metrikus tér beágyazható egy teljes metrikus térbe mindenütt s r altérként). Bizonyítás. Legyen X egy metrikus tér ϱ metrikával. Az alábbiakban megkonstruáljuk X teljes metrikus burkát. Az {x n }, {y n } X-beli Cauchy-sorozatokat ekvivalensek nek nevezzük, ha lim ϱ(x n, y n ) = 0. n Jelölés: {x n } {y n }. Azonnal látható, hogy ekvivalencia reláció, így egy osztályozást indukál X-en, oly módon, hogy egy osztályba kerülnek az ekvivalens sorozatok. Jelölje X az összes osztályok halmazát és x, y X esetén legyen ϱ (x, y ) = lim n ϱ(x n, y n ), ahol {x n } x, {y n } y. (1.5.4) I. Megmutatjuk, hogy ϱ metrika X -on. El ször belátjuk, hogy az (1.5.4) jobboldalán álló limesz létezik. Ugyanis a négyszög-egyenl tlenség miatt ϱ(x n, y n ) ϱ(x m, y m ) ϱ(x n, x m ) + ϱ(y n, y m ), amib l következik, hogy {ϱ(x n, y n )} valós Cauchy-sorozat, így konvergens. Továbbá, a limesz független az x, y -beli reprezentáns megválasztásától, mert ha {x n } x, {y n } y, úgy 0 ϱ(x n, y n ) ϱ(x n, y n ) ϱ(x n, x n ) + ϱ(y n, y n ), és itt a jobboldal határértéke nulla, mivel {x n } {x n }, {y n } {y n }. Ezért lim ϱ(x n, y n ) = lim ϱ(x n, y n ). n n Az, hogy ϱ metrika, határátmenettel egyszer en belátható. II. Jelölje X 0 az összes (x, x, x,... ), x X alakú Cauchy-sorozatok osztályait. Világos, hogy X 0 X. Azt állítjuk, hogy X 0 izometrikus X-szel. Jelölje x az (x, x, x,... ) sorozat osztályát, úgy az x x X 0-ot X-re képezi le, és ez a leképezés távolságtartó, mert ϱ (x, y ) = lim n ϱ(x, y) = ϱ(x, y).

1.5. TELJES METRIKUS TEREK 29 III. X 0 = X, azaz X 0 mindenütt s r X -ban. Legyenek ugyanis x X, ε > 0 tetsz legesek, és {x n } x, akkor ϱ (x n, x ) = lim k ϱ(x n, x k ) < ε, ha n > N(ε), mert {x n } Cauchy-sorozat. Ezzel megmutattuk, hogy bármely X -beli pont bármely környezetében van X 0-beli pont, így (X 0) = X. IV. X teljes metrikus tér. Legyen {x n} Cauchy-sorozat X -ban. III. miatt létezik olyan x n X 0, hogy ϱ (x n, x n) < 1 n. Emlékeztetünk arra, hogy x n az (x n, x n, x n,... ) reprezentánsú osztályt jelöli. Azt állítjuk, hogy {x n } Cauchy-sorozat X-ben. Fennáll a ϱ(x n, x m ) = ϱ (x n, x m) ϱ (x n, x n) + ϱ (x n, x m) + ϱ (x m, x m) egyenl tlenség. A jobboldal els és harmadik tagja x n választása miatt 1 n és 1 m -nél kisebb, a középs tag < ε, ha n, m > N (ε), mert {x n} Cauchysorozat. Így ϱ(x n, x m ) < 1 n + 1 { m + ε < 3ε, ha n, m > max N (ε), 1 }. ε Jelölje most x az {x n } Cauchy-sorozat osztályát. Megmutatjuk, hogy x n x, ha n X -ban, s ez X teljességét jelenti. Ugyanis ϱ (x n, x ) ϱ (x n, x n) + ϱ (x n, x ) < 1 n + lim m ϱ(x n, x m ) < ε, ha n elég nagy. Cseréljük most ki X elemeit a II. alatti izometrikus leképezés által megfeleltetett X 0-beli elemekkel, úgy X-et s r részhalmazként beágyaztuk a teljes X -ba, és ezzel a teljes metrikus burok létezését igazoltuk. V. Egyértelm ség. Tegyük fel, hogy X, X metrikus terek ϱ, ϱ metrikával mindketten X teljes metrikus burkai. Megmutatjuk, hogy ezek izometrikusak. Legyen x X, úgy X = X miatt létezik olyan x n X, (n N) sorozat, hogy ϱ (x n, x ) 0 ha n.

30 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK {x n } Cauchy-sorozat X -ban, így az X-ben és X -ban is, és X teljessége miatt van olyan x X, hogy ϱ (x n, x ) 0. Legyen φ(x ) = x, (x X ). Belátjuk, hogy φ : X X izometria, mely X-et xen hagyja. φ egyértelm en van deniálva, mert ha {x n },{x n } olyan sorozatok X-ben, hogy ϱ (x n, x ) 0, ϱ (x n, x ) 0, úgy ϱ (x n, x n ) 0, amib l ϱ (x n, x n ) 0. Ezért, ha akkor ϱ (x n, x ) 0, ϱ (x n, y ) 0, ϱ (x, y ) ϱ (x, x n ) + ϱ (x n, x n ) + ϱ (x n, y ) 0 és így x = y. φ(x) = x, ha x X, mert x n = x (n N) választással ϱ (x n, x) 0. φ az X -ra képez le, és ha x, y X, ϱ (x n, x ) 0, ϱ (y n, y ) 0, és ϱ (x n, x ) 0, ϱ (y n, y ) 0 (ahol {x n }, {y n } alkalmas X-beli sorozatok), úgy ϱ (x, y ) = lim n ϱ (x n, y n ) = lim n ϱ(x n, y n ) = lim n ϱ (x n, y n ) = ϱ (x, y ), azaz φ távolságtartó. Megjegyzés. Az utolsó egyenl ségben felhasználtuk a metrika folytonosságát, azaz ha ϱ(x n, x) 0 és ϱ(y n, y) 0 egy metrikus térben, úgy lim ϱ(x n, y n ) = ϱ(x, y). n Ez a négyszög-egyenl tlenségb l azonnal következik, mivel ϱ(x, y) ϱ(x n, y n ) ϱ(x, x n ) + ϱ(y, y n ), és a jobboldali sorozatok nullsorozatok.

1.6. A BANACH-FÉLE FIXPONTTÉTEL 31 1.6. A Banach-féle xponttétel 1.6.1. Deníció. Legyen X egy metrikus tér ϱ metrikával. A T : X X leképezést kontraháló leképezés nek vagy kontrakciónak nevezzük, ha van olyan 0 α < 1 konstans, hogy bármely x, y X-re ϱ(t x, T y) αϱ(x, y). Egy x X elemet a T leképezés xpontjának nevezünk, ha T x = x. 1.6.1. Tétel. (Banach-féle xponttétel) Egy teljes metrikus tér önmagába való kontraháló leképezésének pontosan egy xpontja van. Bizonyítás. Legyen X teljes metrikus tér ϱ metrikával, T : X X kontrakció, és x 0 X tetsz leges. Tekintsük az x 1 = T x 0, x 2 = T x 1,..., x n+1 = T x n,... sorozatot. Azt állítjuk, hogy {x n } Cauchy-sorozat. Ha ϱ(x 0, x 1 ) = d, úgy Indukcióval kapjuk, hogy ϱ(x 1, x 2 ) = ϱ(t x 0, T x 1 ) αϱ(x 0, x 1 ) = αd, ϱ(x 2, x 3 ) = ϱ(t x 1, T x 2 ) αϱ(x 1, x 2 ) = α 2 d. ϱ(x n, x n+1 ) α n d (n N). A sokszög egyenl tlenséget alkalmazva, m > n esetén ϱ(x n, x m ) ϱ(x n, x n+1 ) + ϱ(x n+1, x n+2 ) + + ϱ(x m 1, x m ) α n d + α n+1 d + + α m 1 d α n d(1 + α + α 2 + ) = αn d 1 α. α n d Mivel 1 α 0, ha n, így {x n} Cauchy sorozat, mely a teljesség miatt konvergens: lim x n = x. Megmutatjuk, hogy x xpontja T -nek. A háromszögegyenl tlenség n felhasználásával 0 ϱ(x, T x) ϱ(x, x n ) + ϱ(x n, T x) ϱ(x, x n ) + αϱ(x n 1, x) (n N), amib l n -nel ϱ(x, T x) = 0, vagyis x = T x következik. A xpont egyértelm sége. Ha x, y a T leképezésnek xpontjai, úgy ϱ(x, y) = ϱ(t x, T y) αϱ(x, y). ϱ(x, y) > 0 nem lehet, mert ekkor ϱ(x, y)-nal elosztva az el z egyenl tlenséget 1 α ellentmondásra jutnánk. Ezért ϱ(x, y) = 0, x = y.

32 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK Megjegyzés. A ϱ(x n, x m ) αn d egyenl tlenségb l m határátmenettel 1 α ϱ(x n, x) αn 1 α ϱ(x 1, x 0 ), ami becslést ad az {x n } sorozat elemei és a xpont távolságára. 1.6.1. Lemma. Legyenek T, S valamely X halmaznak önmagába való felcserélhet leképezései, azaz legyen T S = ST, és tegyük fel, hogy S-nek pontosan egy xpontja van X-ben. Akkor S xpontja T -nek is xpontja. Bizonyítás. Ha x az S egyetlen xpontja, úgy S(T x) = T (Sx) = T x miatt T x is xpontja S-nek, így T x = x. Megjegyzés. T -nek lehetnek más xpontjai is. Például, ha T az X-nek önmagába való identikus leképezése, úgy a lemma feltételei teljesülnek, és X minden pontja xpontja T -nek. 1.6.2. Tétel. Legyen T egy teljes metrikus térnek önmagába való leképezése úgy, hogy valamely n természetes szám esetén T n kontraháló leképezés. Akkor T -nek pontosan egy xpontja van. Bizonyítás. A Banach-féle xponttétel szerint T n -nek pontosan egy xpontja van. Az 1.6.1 Lemmát alkalmazva a T és S = T n leképezésekre, kapjuk, hogy T - nek van xpontja. T -nek pontosan egy xpontja van, ugyanis ha x, y is xpontok volnának, úgy T x = x, T y = y-ból T n x = x és T n y = y következne, amib l x = y. 1.7. A Banach-féle xponttétel alkalmazásai Legyenek f C[a, b], K C([a, b] [a, b]) adott folytonos valós vagy komplex érték függvények, λ K adott valós vagy komplex szám. Az b x(t) = f(t) + λ a K(t, s)x(s)ds, t [a, b] (1.7.1) egyenletet másodfajú lineáris inhomogén Fredholm-féle integrálegyenlet nek nevezzük. f az egyenlet szabad tagja, λ az egyenlet paramétere, K-t magfüggvénynek nevezzük, x az ismeretlen függvény. f = 0 esetén homogén egyenletr l

1.7. A BANACH-FÉLE FIXPONTTÉTEL ALKALMAZÁSAI 33 beszélünk. Ha az (1.7.1) baloldalán x(t) helyett 0 áll, akkor els fajú lineáris Fredholm-féle integrálegyenletr l beszélünk. Ha az (1.7.1)-ben az integrálás határai a és t, akkor Volterra-féle integrálegyenletet kapunk. 1.7.1. Tétel. Folytonos f, K függvények esetén az (1.7.1) másodfajú lineáris inhomogén Fredholm-féle integrálegyenletnek egyetlen folytonos megoldása van, feltéve, hogy b λ sup K(t, s) ds < 1. (1.7.2) t [a,b] a Bizonyítás. Tekintsük a b (T x)(t) = f(t) + λ a K(t, s)x(s)ds t [a, b], x C[a, b] formulával deniált T leképezést. Könnyen beláthatjuk, hogy T a C[a, b] teret önmagába képezi le. Továbbá (T x)(t) (T y)(t) = λ b K(t, s)(x(s) y(s))ds a b b λ K(t, s) x(s) y(s) ds λ ϱ(x, y) K(t, s) ds, a a ahol ϱ(x, y) = sup x(t) y(t). Így t [a,b] b ϱ(t x, T y) = sup (T x)(t) (T y)(t) λ ϱ(x, y) sup K(t, s) ds αϱ(x, y), t [a,b] t [a,b] a ahol b α = λ sup K(t, s) ds < 1. t [a,b] a A Banach-féle xponttétel miatt T -nek pontosan egy xpontja van C[a, b]-ban. Mivel T xpontjai éppen az (1.7.1) megoldásai, így állításunkat bebizonyítottuk. Az (1.7.1) egyenlet megoldása x = lim n T n x 0 (lásd a Banach-féle xponttétel bizonyítását), ahol x 0 tetsz leges eleme C[a, b]-nek, a limesz pedig C[a, b]

34 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK metrikájában értend. x 0 = f választással x-re egy végtelen sort kaphatunk. Ha azonban a K magfüggvény n K(t, s) = f i (t)g i (s) t, s [a, b] (1.7.3) alakú, ahol f i, g i C[a, b], akkor az (1.7.1) integrálegyenlet megoldása nagyon egyszer. Az (1.7.3) alakú magfüggvényt elfajult mag nak nevezzük. Legyen az (1.7.1)-ben szerepl K (1.7.3) alakú. Tegyük fel, hogy x az (1.7.1) megoldása, akkor (1.7.1) alapján adódik, ahol c i = b a x(t) = f(t) + λ n c i f i (t) (1.7.4) g i (s)x(s)ds, (i = 1,..., n). A jobb oldalon csak a c i konstansok ismeretlenek. E konstansok meghatározása céljából helyettesítsük (1.7.4)-et a c i -ket deniáló egyenletbe. Azt kapjuk, hogy azaz ahol a ij = b a c i = b a c i = λ g i (s) [ f(s) + λ ] n c j f j (s) ds, (1.7.5) j=1 n c j a ij b i (i = 1,..., n), (1.7.6) j=1 g i (s)f j (s)ds, b b i = g i (s)f(s)ds. Az (1.7.6) rendszer a (λa E)c = b (1.7.7) alakba írható, ahol c, b a c i, b i elemekb l álló oszlopvektorok, A az a ij elemekb l álló mátrix, E az egységmátrix. Így, ha (1.7.3) alakú, elfajult magú (1.7.1) integrálegyenletnek létezik x megoldása, úgy az (1.7.4) alakú, és a c i konstansokra (1.7.7) teljesül. (1.7.7) teljesülése esetén az (1.7.4) függvény megoldása (1.7.1)- nek (amint azt behelyettesítéssel könnyen ellen rizhetjük). Ezzel beláttuk, hogy az (1.7.3) alakú magfüggvénnyel felírt (1.7.1) integrálegyenlet akkor és csakis akkor oldható meg, ha az (1.7.7) egyenletrendszer c-re megoldható, és ebben az esetben a megoldást az (1.7.4) függvények adják, ahol c i -k az (1.7.7)-b l számolandók. Ha λ olyan, hogy det(λa E) 0, akkor (1.7.7), így integrálegyenletünk is egyértelm en megoldható. Ha det(λa E) = 0, akkor integrálegyenletünk vagy nem oldható meg, vagy megoldható, de nem egyértelm en.

1.7. A BANACH-FÉLE FIXPONTTÉTEL ALKALMAZÁSAI 35 1.7.2. Tétel. Legyenek f C[a, b], K C( ) adott folytonos függvények, = { (t, s) a s t b) }. Az t x(t) = f(t) + λ a K(t, s)x(s)ds (t [a, b]) (1.7.8) másodfajú lineáris inhomogén Volterra-féle integrálegyenletnek bármely λ( C) esetén pontosan egy folytonos megoldása van. Bizonyítás. A t (T x)(t) = f(t) + λ a K(t, s)x(s)ds x C[a, b], t [a, b] összefüggéssel deniált T a C[a, b] teljes metrikus térnek önmagába való leképezése (mint könnyen belátható). Megmutatjuk, hogy T n kontrakció elég nagy n-re. t (T x)(t) (T y)(t) λ a t K(t, s) x(s) y(s) ds λ ϱ(x, y) a K(t, s) ds, ha t [a, b], x, y C[a, b]. K folytonos a kompakt -n, ezért ott korlátos: K(t, s) M, ha (t, s), így (T x)(t) (T y)(t) λ ϱ(x, y)m(t a) t [a, b]. Ezt felhasználva (T 2 x)(t) (T 2 t y)(t) = λ K(t, s)[(t x)(s) (T y)(s)]ds λ λ Indukcióval igazolható, hogy amib l a t a t a K(t, s) (T x)(s) (T y)(s) ds M λ ϱ(x, y)m(s a)ds = ϱ(x, y) (T n x)(t) (T n y)(t) ( ) n λ M(t a) ϱ(x, y), n! ( λ M(t a))2. 2! ϱ(t n x, T n y) = sup (T n x)(t) (T n y)(t) ( ) n λ M(b a) ϱ(x, y). t [a,b] n!

36 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK A jobboldalon ϱ(x, y) együtthatója nullsorozat, ezért elég nagy n esetén < 1. Egy ilyen n-re T n kontrakció, így az 1.6.2 tétel miatt T -nek egyetlen xpontja van C[a, b]-ben, ami éppen az (1.7.8) integrálegyenlet folytonos megoldása. Megjegyezzük, hogy K(t, s) = n t i g i (s) t, s [a, b] (1.7.9) i=0 alakú magfüggvény esetén (ha f (n+1), g (n) i C[a, b] (i = 0,..., n)) (1.7.8) visszavezethet egy n + 1-edrend lineáris dierenciálegyenletre vonatkozó kezdetiérték feladatra. Ekkor ugyanis egyenletünk jobb oldala n + 1-szer folytonosan dierenciálható, és dierenciálással t x (t) = f (t) + λk(t, t)x(t) + λ K t (t, s)x(s)ds, x(a) = f(a) adódik, ahol K t = K. Még n-szer dierenciálva a jobboldal egyetlen integrált t tartalmaz csak, ahol az integrandus n+1 K(t, s)x(s) 0. Így x-re n + 1-edrend t n+1 lineáris dierenciálegyenletet kaptunk, és az x (k) (a) (k = 0,..., n) értékek a dierenciálással kapott egyenletb l meghatározhatók. Els rend explicit dierenciálegyenletrendszerre vonatkozik az következ egzisztencia és unicitás tétel. 1.7.3. Tétel. (Picard-Lindelöf tétel) Legyenek a, b pozitív számok, ξ R, η R n, Q = { (x, y) R R n x ξ a, y η b }, ( n ) 1 ahol z = (z 1, z 2,..., z n ) R n esetén z = z 2 = z i 2 2. Tegyük fel, hogy f : Q R n (nem azonosan nulla) folytonos függvény Q-n, mely teljesíti a Lipschitz-feltételt (a második, vektorváltozójában), azaz van olyan k konstans, hogy Ekkor az a f(x, y) f(x, z) k y z ha (x, y), (x, z) Q. y = f(x, y), y(ξ) = η kezdeti-érték problémának pontosan egy (folytonosan { dierenciálható) } megoldása van a [ξ h, ξ + h] intervallumon, ahol h = min a,, M = sup f(x, y). b M Q

1.7. A BANACH-FÉLE FIXPONTTÉTEL ALKALMAZÁSAI 37 Bizonyítás. Legyen Y a valós C n [ξ h, ξ + h] tér (lásd az 1.5-ben szerepl 2. és 3. példát) azon y függvényeinek halmaza, melyekre y(x) η b ha x [ξ h, ξ + h] teljesül. Y zárt altere a teljes C n [ξ h, ξ + h] térnek, így maga is teljes metrikus tér. Legyen T a (T y)(x) = η + x ξ f(t, y(t))dt y Y, x [ξ h, ξ + h] képlettel deniálva. T az Y teret önmagába képezi le, mert T y folytonos [ξ h, ξ + h]-n, és ebb l az intervallumból vett x-ekre (T y)(x) η = x ξ f(t, y(t))dt M x ξ Mh M b M = b. Elég nagy n-re T n kontrakció Y -on, mert ξ x ξ + h mellett (T y)(x) (T z)(x) x ξ x Ezt felhasználva, ismét ξ x ξ + h-ra (T 2 y)(x) (T 2 z)(x) ξ f(t, y(t)) f(t, z(t)) dt k y(t) z(t) dt kϱ(y, z) x ξ. x és ugyanez érvényes, ha ξ h x < ξ. Indukcióval igazolhatjuk, hogy ξ f(t, (T y)(t)) f(t, (T z)(t)) dt x k (T y)(t) (T z)(t) dt ξ x k 2 ϱ(y, z) t ξ dt = k 2 x ξ 2 ϱ(y, z), 2! ξ (T n y)(x) (T n z)(x) k n x ξ n ϱ(y, z), n N, x [ξ h, ξ + h], n!

38 FEJEZET 1. METRIKUS TEREK amib l ϱ(t n y, T n z) = sup (T n y)(x) (T n z)(x) (kh)n ϱ(y, z). x [ξ h,ξ+h] n! Mivel (kh)n 0, ha n, így elég nagy n-re T n kontrakció Y -on, ezért az n! 1.16 tétel miatt T -nek pontosan egy xpontja van Y -ban, mely az y(x) = η + x ξ f (t, y(t)) dt x [ξ h, ξ + h] (Volterra-féle másodfajú) integrálegyenlet folytonos megoldása, így kezdeti-érték problémánk folytonosan dierenciálható megoldása is. Megjegyzés. A bizonyításban többször felhasználtuk azt, hogy z C n [a, b], a α β b esetén β β z(t)dt z(t) dt. (1.7.10) α Ez a következ képpen látható be: ha z(t) = (z 1 (t),..., z n (t)), c i = c = (c 1,..., c n ), akkor c 2 β = z(t)dt α 2 α ( ) 2 = n β z i (t)dt = n β c i z i (t)dt α α β z i (t)dt, α = β α n β c i z i (t)dt α c z(t) dt = c β α z(t) dt, amib l következik (1.7.10). Az itt felhasznált n c iz i (t) c z(t) egyenl tlenség a Hölder-egyenl tlenség (l (n) 2 -re vonatkozó) speciális esete. 1.8. A Baire-féle kategória tétel 1.8.1. Tétel. (Baire tétele) Egy teljes metrikus térben megszámlálható sok nyílt, mindenütt s r halmaz metszete is mindenütt s r. Bizonyítás. Legyen X teljes metrikus tér ϱ metrikával, V n X (n N) (N a természetes számok halmaza) nyílt, mindenütt s r halmazok. Megmutatjuk,