9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R 45 f: f 6, R 1 46 f: f e, R f e, R 47 f: 1 48 f: f ln, R + 49 f: f, R +, R 410 f: f 1 4 4 411 f: f 1, R
0 41 f : f ( ) = 10 01, 0, 5, h 0, 10, 0 01, 0, 5, h 10, 0, 5 01, 0, 5, h 0, 40, 0 01, 0, 5, h 40, 80, 50 0, 1 0, 5, h 80, 100, 70 01, 0, 5, h = 100 Vizsgáljuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke! Az értelmezési trtomány felbonthtó-e olyn intervllumokr, melyeken monoton vgy szigorún monoton függvény? Egyben htározzuk meg ezeket monotonitási intervllumokt is (41-417): 41 f: f, R 1, 414 f: f R \ 0 415 f: 416 f: 417 f: f 5 4 7, R f, R f ln, R + Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol infleiós pontj! ĺrjuk fel zokt z intervllumokt, melyekben függvény konve, illetve konkáv (418-46): 418 f: f ( ) = -, R 419 f: f ( ) = - -, R 40 f: f ( ) = ( 1 - ) ( 1 + ), R
1 41 f: f ( ) = 1n, R + 4 f: f e ( ) = -, R 4 f: f e 1, R \ 1 44 f: f 45 f: e, R f ln, R 46 f: f ln 1, R A l'hospitl-szbály függvény htárértékének kiszámításár Mielőtt teljes függvényvizsgáltot végeznénk, ismertetjük l'hospitl szbályt Ennek ismeretében bizonyos függvények htárértékét egyszerűbben meg tudjuk mjd htározni A függvények hánydosánk htárértékére vontkozó tételben feltettük, hogy nevező htárértéke nem 0 H számláló htárértéke 0-tól különböző, nevező htárértéke 0, kkor hánydosnk nincs véges htárértéke H számláló és nevező htárértéke 0, kkor eddigi ismereteink lpján nem tudunk hánydos htárértékére következtetni Hsonlóképpen nem tudunk hánydos htárértékére következtetni, h számlálónk is, nevezőnek is htárértéke Ezekben z esetekben lklmzhtó z lábbi tétel: TÉTEL Legyen f és g: RR, z, b nyílt intervllumbn differenciálhtó és g, () 0, h b,
) H lim f = lim g = 0, és h létezik lim f g függvénynek is vn -bn htárértéke, és lim f g = lim f ' g' b) H lim f = lim g =, és h létezik lim f g függvénynek is vn -bn htárértéke, és f lim = lim g f ' g' A tételek bizonyításár nem térünk ki f ' ' g f ' ' g htárérték, kkor z htárérték, kkor z Megjegyzések 1 Mindkét tétel érvényes nemcsk véges helyen, hnem -ben, illetve -ben vett htárértékre is A most vizsgált hánydosok mellett gykrn előfordulnk olyn f g szorztok, hol limf 0 és lim g + f g Ezek z f g zonosság lpján visszvezethetők már 1 1 g f tárgylt típusokr Az f helyett f, illetve g helyett g függvényt véve, tételből egyszerűen dódik lim f g h limf és limg, illetve limf és limg 4 A tétel nemcsk htárértékre, hnem bl oldli htárértékre, illetve jobb oldli htárértékre is érvényes,, 5 H lim f lim g 0, kkor f'-re, illetve g'-re lklmzzuk tételt, és második deriváltk hánydosánk htárértékét képezzük Az eljárást ismételhetjük ddig, míg vlmelyik mgsbb rendű deriváltk hánydosánk htárértéke már megállpíthtó
47 Számítsuk ki lim 1n értékét! 48 Számítsuk ki lim 0 5 1 1 értékét! Végezzük el teljes függvényvizsgáltot (49-465): 4 49 f: f ( ) = -, R 4 40 f: f ( ) = 5-4, R 41 f: f ( ) = - 5, R 4 4 f: f ( ) = - 4 + 6, R 4 f: f ( ) = ( + 1)( - ), R 44 f: f ( ) = -1 45 f: f ( ) = + ( - ) 46 f: f, R 1 1 4, 1 5 4 1, R 1, 47 f: f R \ 0, 48 f: f R \ - 1, 49 f: f R \ 1 1, 440 f: f R \ -1 441 f: f R \ 0 1, ;
4 1 44 f: f R \ 1, 44 f: f 1, R 444 f: f R \ - 5, 4 4 445 f: f 6, R 1 446 f: f 1 1, R 447 f: f 1, R \ 1 448 f: f 5, 1 R \ 1 449 f: f 1 R \ -1, 1, 450 f: f 1 1 451 f: 45 f:,, f, R 4 f, R 0 1, 1 45 f: f R \ -1, 1 454 f: f e, R
5 455 f: 456 f: f 457 f: f e, R e, R f e, R 458 f: f e 1, R \ 1 459 f: f ln, R 460 f: 461 f: f 46 f: f 46 f: f ln, R ln, R 1 1n, R f, R 464 f: f 1 1, R \ 0,1 1 1 465 f: f e 1 R \ 1, 466 Tekintsük z f: f keresleti függvényt z ; 4 intervllumbn Htározzuk meg hozzátrtozó elszticitásfüggvényt és nnk értékkészletét!
6 9 14 költségfüggvény, hol z 6 6 1 előállított mennyiséget jelenti Htározz meg z = 5 helyen z elszticitásfüggvény értékét! 467 Adott k: k 468 Htározz meg z f: f 1 függvény : = 5 pontbeli elszticitását! 469 Vlmely árucikk iránti keresletet p ártól függően z 100 f ( p ), p p > 0 függvény írj le Állpítsuk meg, hogy hány százlékkl csökken kereslet, h cikk árát p = 5-ről 1%-kl növeljük (A feldtot Denkinger-Gyurkó: Mtemtiki nlízis c feldtgyűjteményből vettük át) 470 Egy üzlet költségeinek lkulását -4-7 K: K( F) = 10, 6 + 0, 0F - 0, 95 10 F + 10 F, F R + függvény írj le, hol F válllt forglmát jelenti ezer Ft-bn, K pedig költségeket szintén ezer Ft-bn Írjuk fel K költségfüggvényhez trtozó elszticitás-függvényt! 471 Különböző típusú költségfüggvényeket ismerünk Vizsgáljuk következőt: K: K( F) = c + pf + d F, FR +, hol F: forglom, c: z állndó költség, cr +, p: proporcionális költségtényező, pr +, d: degresszív költségtényező, dr + Ez függvény z állndó költség, proporcionális költség és degresszív költség együttes lkulását vizsgálj rendelkezésünkre álló forglmi dtok lpján Gykorltbn sokszor előfordul, hogy z állndó költség bizonyos forglmi intervllumokr más és más, zz egy bizonyos forglmi értéket elérve, ugrásszerűen megváltozik Ebből következik, hogy K: K( F) = c + pf + d F költségfüggvény z állndó költség megváltozásánk megfelelően csk szkszonként htározhtó meg
7 K: K( F) = c1 pf d F, h 0 F < F1 c pf d F, h F1 F < F L cn pf d F, h Fn-1 F < Fn, c, c L, c R, p, d R 1 n Ábrázoljuk z így definiált költségfüggvényt! + Htározz meg z lábbi függvények stcionárius pontjit (47-478): 47 f: f, y 4y 6y 8 8 y, D f R 47 f: f (, y) = + + 4 y + y, D f = R 474 f: f (, y) = - - y + +, D f = R 475 f: f (, y) = + y + 4y + 5-8 y, D f = R 476 f: f (, y) = + y + y +, D f = R 477 f: f (, y) = + y + y, D f = R 478 f: f (, y) = + 4y + 6, D f = R Htározzuk meg következő függvények lokális szélsőértékeit (479-489):, 5,, R 479 f: f y y y y y,,, R 480 f: f y y y y
8 1 1 y,, \, y 15 481 f: f y, y R 0 0 f, y 1 y 4, D f R 48 f: 0 50, y, Df, y R 0, y 0 y 48 f: f y 4 4,,, R 484 f: f y y y y y,,, R 485 f: f y y y y 486 f: f y y y y, 1 1,, R 487 f: y f, y y e,, y R, 1,, R 488 f: f y y y y,,, R 489 f: f y y y y