Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése legyen! Határoa meg a kapott komplex függvény deriváltját a = i helyen! Ha a v függvény harmonikus akkor lehet egy f komplex függvény valós rése. A v függvény harmonikus ha v = v xx v yy teljesül minden x y R esetén. A v függvény parciális deriváltjai v x = αxy y v y = αx y v xx = αy v yy = 4y aa v = αy 4y amiből a követkeik hogy v akkor harmonikus ha α = vx y = x y xy 4y 3 3 4 teljesül. A harmonikus társa u melyre teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek u x = v y = x x y ux y = x x y dx = 4x 3 6x xy cy u y = v x = 4xy y ux y = 4xy ydy = xy 6y c. A Cauchy-Riemann egyenletekből at kaptuk tehát hogy a komplex függvény pedig A f függvény deriváltja ux y = 4x 3 6x xy 6y 5 f = 4x 3 6x xy 6y ix y xy 4y 3 3. 6 f i = u x i iv x i = 4 7i. 7. Sámítsa ki a alábbi komplex vonalintegrálokat! a G Im Re d ha G a = pontból a = i pontba mutató egyenes sakas! A G görbe egy paramétereése γ = ti = t it t [ ] ekkor a integrál értéke Im Re d = t itt i dt = t 4iti dt t G = t 4i dt = 3 4i. 3
b e sini G cosh d ha G iπ : = 4 poitív irányítással! A G görbe a origó köéppontú 4 sugarú kör. A körön belül található a függvény singuláris helye = iπ kétseres gyöke a neveőnek. Így alkalmaható a Cauchyintegrálformula a integrál első tagjának kisámítására [ ] e G sini d d = πi iπ d esini = πi [ e sini cosii ] = πi i = π. =iπ =iπ A integrál második tagjának kisámításáho hasnálhatjuk a Cauchy-tételt ugyanis a függvény regulárisa a tartományon. A integrál értéke e sin i iπ cosh d = π = π. G 3. Írja fel a alábbi függvény = körüli Taylor- vagy Laurent sorát a megadott tartományokon! f = 3i i i 8 A tört parciális törtekre bontása a < i i = i 3i i i = i i. i i i = i i i i = i i n i A i n i konvergens ha i < aa < ami konvergens a tartományon. A i n i konvergens ha < aa < ami konvergens a tartományon. i b < < A második tag átalakítására hasnálhatjuk a a-ban kisámoltakat ami konvergens ha <. A első tag átalakítása i = i n i i n i = i = n i ami konvergens ha i = < aa konvergens een a tartományon.
3 c < A első tag átalakítása i = i = n i ami konvergens ha i = < aa konvergens een a tartományon. A második tag átalakítása i = i = n i ami konvergens ha i = < aa konvergens een a tartományon. 4. Léteik-e komplex potenciálja a px y = x x y i y x y j 9 síkbeli vektormeőnek? Ha igen adja is meg vektormeő komplex potenciálfüggvényét! A komplex potenciál léteéséhe ellenőrinünk kell hogy divp = és rotp = teljesülnek: divp = x y = y x x x y y x y x y x y = x y rotp = y x = 4xy x x y y x y x y 4xy =. x y Keresünk tehát olyan ux y függvényt melyre gradu = px y: u x = x x ux y = x y x y dx = lnx y cy u y = y y ux y = x y x y dy = lnx y c 3 tehát ux y = lnx y. A vx y meghatároásáho hasnáljuk a Cauchy-Riemann egyenleteket x u x = v y v = dy = x x y x y dy = y y x arctan x c = arctan c x x y y u y = v x v = x y dx = arctan cy x aa vx y = arctan y. A keresett komplex potenciál pedig y f = lnx y i arctan. 4 5. Sámítsa ki a alábbi komplex vonalintegrálokat!
4 a G d ha G a = és = pontokat össekötő felső félkörív irányítással A G görbe egy paramétereése γ = cost i sint = e it t [ π]: π e it e it ie it dt = b G i i d ha G : = 3 A G görbe a köéppontú 3 π 8ie it = 8e iπ e = 6 sugarú kör. A neveő gyökei a i = i = 5 egyenlet gyökei aa = = 3 = i 3 kétseres gyöke. Alkalmaható a Cauchy-integrálformula a = és a általánosított Cauchy-integrálformula a 3 = i esetén. i i G i d = i d [ ] d i πi = πii i = πi d =i i [ d = πi i i 6. Írja fel a alábbi függvény = körüli Taylor- vagy Laurent sorát a megadott tartományokon! A tört parciális törtekre bontása a < f = =. 6 ] = = = n A első tag konvergens ha < a második pedig konvergens ha < <. b < < = = A első tag konvergens ha < a második pedig ha <. n n n
c < = = n A első tag konvergens ha < a második pedig konvergens ha <. 7. Sámolja ki a n f = cos 7 függvény = pontbeli reiduumát! A = a neveő = egyseres gyöke aa elsőrendű singuláris pontja ekkor a reiduum értéke: Resf = lim cos = lim cos =.