Közönséges differenciálegyenletek

Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Közönséges differenciálegyenletek Gselmann Eszter Debrecen, 2011

Tartalomjegyzék 1. Differenciálegyenletek 4 1.1. Differenciálegyenletek osztályozása................................ 4 1.2. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek........................... 5 1.3. Elemi úton megoldható differenciálegyenletek........................... 6 1.3.1. Az y = f (x) alakú differenciálegyenletek......................... 6 1.3.2. Szeparábilis differenciálegyenletek............................. 7 1.3.3. Homogén differenciálegyenletek.............................. 8 1.3.4. Szeparábilis differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenletek........ 9 1.3.5. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek......................... 10 1.3.6. A Bernoulli-féle differenciálegyenlet............................ 12 1.3.7. A Riccati-féle differenciálegyenlet............................. 13 1.3.8. Egzakt differenciálegyenletek............................... 13 1.3.9. Egzakt differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenletek........... 14 1.3.10. Hiányos másodrendű differenciálegyenletek........................ 14 1.4. Elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerekre vonatkozó egzisztencia és unicitási tételek..... 15 1.5. A Picard Lindelöf-féle egzisztencia és unicitási tétel....................... 18 1.6. A kezdeti értéktől való folytonos függés.............................. 23 1.7. Gronwall-féle integrál-és differenciálegyenlőtlenségek...................... 24 1.8. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek......................... 33 1.9. Konstansegyütthatós, lineáris differenciálegyenlet-rendszerek................... 36 1.10. Autonóm differenciálegyenlet-rendszerek és fázistereik...................... 37 1.10.1. Autonóm rendszerek.................................... 37 1.10.2. Egyensúlyi helyzetek és zárt trajektóriák......................... 39 1.10.3. Fázisterek.......................................... 40 1.11. Differenciálegyenletek stabilitása.................................. 48 1.11.1. Bevezető meggondolások.................................. 48 1.11.2. Lyapunov tételei...................................... 49 1.12. Magasabb rendű differenciálegyenletek.............................. 56 1.12.1. Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek...................... 58 1.12.2. Konstansegyütthatós lineáris differenciálegyenletek.................... 60 2. Variációszámítás 61 2.1. Funkcionálok variációja....................................... 61 2.2. Bilineáris és kvadratikus funkcionálok............................... 64 2.3. Funkcionálok második variációja.................................. 65 2.4. Funkcionálok extrémuma...................................... 66 2.5. Az Euler Lagrange-differenciálegyenletek............................. 67 2.6. Az Euler Lagrange-egyenlet invarianciája............................. 73 2.7. Az Euler Lagrange-egyenletek kanonikus alakja......................... 75 2.8. Az Euler Lagrange-egyenletek első integráljai........................... 76 2.9. A Noether-tétel........................................... 78 1

2.10. A legkisebb hatás elve....................................... 80 2.11. Egy elegendő feltétel........................................ 82 2.12. Néhány klasszikus probléma megoldása.............................. 83 3. Feladatok 88 3.1. Differenciálegyenletek....................................... 88 3.2. Variációszámítás.......................................... 110 Név- és tárgymutató............................................ 116 Irodalomjegyzék 118 2

1. fejezet Differenciálegyenletek Az olyan egyenleteket, melyben az ismeretlen függvény deriváltja, illetve deriváltjai szerepelnek, differenciálegyenleteknek nevezzük. Tehát egy differenciálegyenletben szerepelhetnek: konstansok; egy vagy több független változó; az ismeretlen függvény, illetve függvények közönséges, illetve parciális deriváltja, illetve deriváltjai. 1.1. Differenciálegyenletek osztályozása Ha a differenciálegyenletben egyetlen független változó van, akkor a derivált közönséges derivált. Ebben az esetben közönséges differenciálegyenletről beszélünk. Ha a differenciálegyenletben kettő vagy több független változó van, akkor a derivált parciális derivált. Ekkor a szóban forgó egyenlet egy parciális differenciálegyenlet. Ha az ismeretlen függvények száma egynél több, akkor az ismeretlen függvények számával egyenlő számú differenciálegyenletből álló differenciálegyenlet-rendszerrel van dolgunk. A differenciálegyenlet rendje az egyenletben szereplő legmagasabb rendű derivált rangjával egyenlő. A közönséges differenciálegyenletek közül azokat, amelyekben az ismeretlen függvény és ennek a deriváltjai legfeljebb csak első hatványon fordulnak elő és szorzatuk nem szerepel, lineáris differenciálegyenleteknek nevezzük. Ellenkező esetben nemlineáris differenciálegyenletekről beszélünk. Ha a közönséges differenciálegyenletben van olyan tag, amely állandó, vagy amelyben csak a független változó szerepel, akkor a differenciálegyenlet inhomogén differenciálegyenlet. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy a differenciálegyenlet homogén differenciálegyenlet. Ha a közönséges differenciálegyenletben a függvényt és a deriváltjait tartalmazó tagok állandók, akkor az egyenletet állandó együtthatós differenciálegyenletnek nevezzük. Ellenkező esetben függvényegyütthatós differenciálegyenletről beszélünk. 1.1.1. Példa. Az egyenlet egy x y 2 + y + x y y x y = 0 4

közönséges elsőrendű homogén függvényegyütthatós differenciálegyenlet. 1.1.2. Példa. A egyenlet egy közönséges másodrendű 4 (y )2 + 4x y 3x y + x 2 3 = 0 inhomogén függvényegyütthatós differenciálegyenlet. 1.2. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek 1.2.1. Definíció. Legyen D R 3 nemüres, nyílt, F : D R, ekkor az (1) F(x, y, y ) = 0 egyenletet elsőrendű közönséges implicit differenciálegyenletnek nevezzük. 1.2.2. Definíció. Egy ϕ : I R függvény az (1) differenciálegyenlet megoldása Cauchy-féle értelemben, ha (i) I R valódi intervallum, ϕ differenciálható I-n; (ii) minden x I esetén (x, ϕ(x), ϕ (x)) D; (iii) F (x, ϕ(x), ϕ (x)) = 0 teljesül minden x I esetén. 1.2.3. Definíció. Egy ϕ : I R függvény az (1) differenciálegyenlet megoldása Carathèodory-féle értelemben, ha (i) I R valódi intervallum, ϕ abszolút folytonos I-n; (ii) λ majdnem minden x I esetén (x, ϕ(x), ϕ (x)) D; (iii) F (x, ϕ(x), ϕ (x)) = 0 teljesül λ majdnem minden x I esetén. 1.2.4. Definíció. Legyen (, η) R 2, az y() = η egyenletet az (1) egyenletre vonatkozó kezdeti feltételnek nevezzük. 1.2.5. Definíció. Az (2) { F(x, y, y ) = 0 y() = η egyenletekből álló rendszert kezdeti érték problémának vagy Cauchy-feladatnak nevezzük. 1.2.6. Definíció. Azt mondjuk, hogy a ϕ : I R függvény megoldása a (2) Cauchy-feladatnak, ha ϕ megoldása az (1) egyenletnek, I és ϕ() = η. 5

1.2.7. Definíció. Legyen D R 2 nemüres, nyílt, f : D R, ekkor az (3) y = f (x, y) egyenletet elsőrendű közönséges explicit differenciálegyenletnek nevezzük. 1.2.8. Definíció. Azt mondjuk, hogy a ϕ : I R függvény a (3) differenciálegyenlet megoldása, ha (i) I R valódi intervallum, ϕ differenciálható I-n; (ii) (x, ϕ(x)) D minden x I esetén; (iii) ϕ (x) = f (x, ϕ(x)) teljesül minden x I esetén. 1.2.9. Definíció. Ha (, η) D, akkor az y() = η egyenletet a (3) differenciálegyenletre vonatkozó kezdeti érték feltételnek nevezzük, míg a { y (4) = f (x, y) y() = η egyenletrendszert a (3) egyenletre vonatkozó kezdeti érték problémának vagy Cauchy-feladatnak hívjuk. 1.3. Elemi úton megoldható differenciálegyenletek 1.3.1. Az y = f (x) alakú differenciálegyenletek 1.3.1. Tétel. Legyen I R intervallum, f : I R folytonos függvény, I, η R. Ekkor az { y = f (x) y() = η Cauchy-feladat bármely ϕ : J R megoldása az y(x) = η + x módon megadott y függvény leszűkítése, ha J I és I. Bizonyítás. így amiből Ha f (t)dt (x I) Tegyük fel, hogy a ϕ : J R függvény megoldása a Cauchy-feladatnak. Ekkor x ϕ (x) = f (x) ϕ (t)dt = x ϕ(x) ϕ() = ϕ(x) = η + f (t)dt x x (x J), f (t)dt. f (t)dt, (x J), akkor az x = helyettesítéssel ϕ() = η adódik. Másrészt, a jobb oldal egy folytonos függvény felsőhatárfüggvénye, ami differenciálható. Ezért a ϕ függvény differenciálható J-n, így ϕ (x) = f (x) teljesül minden x J esetén, azaz ϕ megoldása a tételben szereplő Cauchy-feladatnak. 1.3.1. Példa. Tekintsük az { y = ln(x) y(1) = e Cauchy-feladatot. Ekkor az előző tétel szerint a megoldás y(x) = e + x 1 ln(t)dt = e + [t ln(t) t] x 1 = e + x ln(x) x + 1 = x (ln(x) 1) + 1 + e. 6

1.3.2. Szeparábilis differenciálegyenletek Legyenek I, J R valódi intervallumok, f : I R, g : J R folytonos függvények úgy, hogy g(x) 0 minden x J esetén. Az y = f (x)g(y) egyenletet szeparábilis differenciálegyenletnek nevezzük. 1.3.2. Tétel. Legyenek I, J R valódi intervallumok, I, η J, f : I R, g : J R folytonos függvények úgy, hogy g(x) 0 minden x J esetén. A ϕ : H R függvény akkor és csakis akkor megoldása az { y (5) = f (x)g(y) y() = η Cauchy-feladatnak, ha (6) ϕ(x) η 1 x g(t) dt = f (s)ds (x H) teljesül, feltéve, hogy H I. Bizonyítás. azaz Ezt -től x-ig integrálva, Tegyük fel, hogy a ϕ : H R függvény megoldása az (5) Cauchy-feladatnak. Ekkor { ϕ (x) = f (x)g(ϕ(x)) (x H), ϕ() = η x ϕ (x) g (ϕ(x)) = f (x) f (s)ds = x Tegyük fel, hogy a ϕ : H R függvény kielégíti (6)-ot. Legyen G(u) = (x H). ϕ (s) ϕ(x) g (ϕ(s)) ds = 1 η g(t) dt. u η 1 g(t) dt. Mivel g 0, ezért G szigorúan monoton és G(η) = 0. Így G(u) = 0 pontosan akkor teljesül, ha u = η. A (6) azonosságból az adódik, hogy G (ϕ(x)) = Ha x =, akkor G(ϕ()) = 0, így ϕ() = η. Továbbá, x f (s)ds =: F(x). ϕ(x) = G 1 (F(x)) (x H) Mivel g 0, így a G függvény differenciálható és G azonban éppen a bizonyítandó állítás adódik. 0, ezért a G 1 függvény is differenciálható, ebből 1.3.2. Példa. Tekintsük az { y ctg(x) + y = 2 y(0) = 1 7

Cauchy-feladatot. Ekkor a fenti tételt használva, azt kapjuk, hogy a megoldás ϕ(x) 1 x 1 2 t dt = tg(s)ds [ ln ( 2 t )] ϕ(x) 1 = [ ln ( cos(s) )] x 0 ln( 2 ϕ(x) ) + ln(3) = ln( cos(x) ) + ln( cos(x) ) ( ) 3 ln 2 ϕ(x) 1.3.3. Homogén differenciálegyenletek Legyen I R intervallum, f : I R, ekkor az 0 ( ) 1 = ln cos(x) ϕ(x) = 2 3 cos(x) ( y y = f x) differenciálegyenletet homogén differenciálegyenletnek nevezzük. 1.3.3. Tétel. Legyen I R intervallum, f : I R, ekkor a ϕ : I R függvény pontosan akkor megoldása az ( y y = f x) differenciálegyenletnek, ha az módon definiált u függvény megoldása az szeparábilis differenciálegyenletnek. u(x) = ϕ(x) x u = f (u) u x Bizonyítás. ezért Tegyük fel, hogy ϕ a homogén egyenlet megoldása és u(x) = ϕ(x). Ekkor x u (x) = ϕ (x) x u (x) = ϕ (x) x ϕ(x) x 2 = f ϕ(x) x 2, ( ϕ(x) ) x ϕ(x) x x Tegyük fel, hogy u a szeparábilis egyenlet megoldása és u(x) = ϕ(x). Ekkor x ϕ (x) = u (x)x + u(x), = f (u(x)) u(x). x így ϕ (x) = f ( ) ϕ(x) x ϕ(x) x x x + ϕ(x) x. 8

1.3.4. Szeparábilis differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenletek Az y = f (ax + by + c) alakú differenciálegyenletek Legyenek a, b, c R, b 0 és tekintsük az differenciálegyenletet. Legyen Ekkor y = f (ax + by + c) u = ax + by + c. u = a + by, továbbá a fenti egyenlet az 1 b u a b = f (u) alakra hozható, ami már egy szeparábilis differenciálegyenlet. 1.3.3. Példa. Tekintsük az Legyen Ekkor y = sin(x + y) y = u x és y = u 1. u 1 = sin(u) 1 du = 1dx sin(u) + 1 2 cos(u) + 2 sin(u) + cos(u) + 1 = x + c Végül, az u = x + y helyettesítéssel kapjuk az eredeti differenciálegyenlet általános megoldását. Az y = f ( ax+by+c Ax+By+C ) alakú differenciálegyenletek Legyenek a, b, c, A, B, C R és tekintsük az 2 cos(x + y) + 2 sin(x + y) + cos(x + y) + 1 = x + c y = f ( ) ax + by + c Ax + By + C differenciálegyenletet. Ebben az esetben a paraméterek értékétől függően két esetet kell megkülönböztetnünk. 1. eset. Ha ( ) a b det 0, A B akkor meghatározzuk az { ax + by + c = 0 Ax + By + C = 0 9

lineáris egyenletrendszer egyértelmű (x 0, y 0 ) megoldását. Ennek ismeretében, ha a fenti differenciálegyenletben elvégezzük az x = u + x 0 dx = du y = v + y 0 dy = dv helyettesítéseket, akkor egy szeparábilis differenciálegyenlet adódik. 2. eset. Ha ( ) a b det = 0, A B akkor a megfelelő helyettesítés u = ax + by u = a + by. A helyettesítések elvégzése után egy szeparábilis differenciálegyenlet adódik. Az y f (xy)dx + yg(xy)dy = 0 típusú differenciálegyenletek Legyen I R intervallum, f, g : I R folytonos függvények és tekintsük az y f (xy)dx + yg(xy)dy = 0 differenciálegyenletet. Ha ebben az egyenletben elvégezzük az u = xy helyettesítéseket, akkor egy szeparábilis egyenletre jutunk. 1.3.5. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek du dx = y + xdy dx Legyen I R intervallum, f, g : I R folytonos függvények. Ekkor az (1) y + f (x)y = g(x) egyenletet elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletnek nevezzük, ha g 0. Abban az esetben, amikor g 0, elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletről beszélünk. 1.3.4. Tétel (A homogén egyenlet megoldásai). Legyen I R intervallum, f : I R folytonos függvény. Ekkor a (2) y + f (x)y = 0 differenciálegyenlet bármely megoldása a ϕ(x) = c e F(x) (x I) módon értelmezett ϕ : I R függvény leszűkítése, ahol c R egy tetszőleges konstans és F jelöli az f függvény egy primitív függvényét. Továbbá, ha I és η R, akkor a ( x ) ψ(x) = η exp f (t)dt (x I) módon megadott ψ : I R függvény az { y + f (x)y = 0 y() = η Cauchy-feladatnak az egyértelmű, I-n értelmezett megoldása. 10

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az y függvény megoldása a (2) egyenletnek és jelölje F az f függvény egy primitív függvényét. Ekkor y + f (x)y = 0, amit e F(x) szel végigszorozva, y e F(x) + y e F(x) f (x) = 0 adódik. Azonban ( e F(x) y(x) ) = y (x) e F(x) + y(x) e F(x) F (x) = y e F(x) + y e F(x) f (x) = 0, ezért teljesül valamely c R konstanssal, azaz y(x) e F(x) = c y(x) = c e F(x). Megfordítva, nyilván minden ilyen alakú függvény megoldása a (2) differenciálegyenletnek. Továbbá, az y függvény pontosan akkor megoldása az y() = η kezdeti feltételnek, ha c e F() = c e f (t)dt = η, azaz, ha c = η. 1.3.1. Megjegyzés. Az elsőrendű lineáris, homogén differenciálegyenlet összes I-n értelmezett megoldása egy egydimenziós valós vektorteret alkot. 1.3.5. Tétel (Az inhomogén egyenlet megoldásai). Legyen I R intervallum, f, g : I R folytonos függvények. Ekkor a (3) y + f (x)y = g(x) elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenletnek az összes megoldása előáll ) ψ(x) = e (c F(x) + g(x)e F(x) dx alakban, ahol c R tetszőleges konstans és F jelöli az f függvény valamely primitív függvényét. Bizonyítás. Az inhomogén egyenlet megoldását ψ(x) = c(x)e F(x) alakban keressük, ahol F jelöli az f függvény egy primitív függvényét és c(x) egy (csak x-től függő) egyelőre ismeretlen függvény. Ekkor az ψ (x) + f (x)ψ(x) = g(x) egyenletnek kell teljesülnie. Ez azt jelenti, hogy c (x)e F(x) + c(x)e F(x) ( F (x) ) + f (x)c(x)e F(x) = g(x), vagyis azaz, c (x)e F(x) = g(x), c(x) = g(x)e F(x) dx. 11

Ekkor azonban a ϕ(x) = ce F(x) + e F(x) g(x)e F(x) dx függvény megoldja a differenciálegyenletet. Valóban ϕ (x) + f (x)ϕ(x) = ce F(x) ( f (x)) + e F(x) ( f (x)) g(x)e F(x) dx + e F(x) g(x)e F(x) + ce F(x) f (x) + f (x)e F(x) g(x)e F(x) dx = g(x). Ha ϕ és ψ a differenciálegyenlet megoldásai, akkor a ϕ ψ függvény megoldása a homogén egyenletnek, így ϕ(x) = ψ(x) + c e F(x) teljesül valamely c R konstanssal. 1.3.2. Megjegyzés. Az előző tétel feltételei mellett, ha I és η R, akkor az { y + f (x)y = g(x) y() = η Cauchy-feladat egyértelmű megoldása ϕ(x) = 1.3.6. A Bernoulli-féle differenciálegyenlet ( x η + g(t)e ) t f (s)ds dt e x f (u)du. Legyen n N n 1, I R, f, g : I R folytonos függvények, g 0. Ekkor a (4) y + y f (x) = y n g(x) differenciálegyenletet Bernoulli-féle differenciálegyenletnek nevezzük. Ennek az egyenletnek a megoldása visszavezethető egy elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet megoldására. Legyen ekkor Ha a (4) egyenletet y n -nel végigosztjuk, akkor adódik. Így a fenti helyettesítések elvégezése után a elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet adódik. v = y 1 n, (1 n)y n dy = dv. y y n + y 1 n f (x) = g(x) v + (1 n)v f (x) = (1 n)g(x) 12

1.3.7. A Riccati-féle differenciálegyenlet 1.3.1. Definíció. Legyen I R intervallum és f, g, h: I R folytonos függvények. Ekkor az y (x) = f (x)y 2 (x) + g(x)y(x) + h(x) elsőrendű differenciálegyenletet Riccati-féle differenciálegyenletnek hívjuk. 1.3.6. Tétel. Legyen I R intervallum és f, g, h: I R folytonos függvények. Ha ismert az y (x) = f (x)y 2 (x) + g(x)y(x) + h(x) Riccati-féle differenciálegyenlet egy y 0 partikuláris megoldása, akkor a differenciálegyenlet általános megoldása Φ(x) y(x) = y 0 (x) + C f (x)φ(x)dx alakú, ahol és C R. ( Φ(x) = exp ) f (x)y 0 (x) + g(x)dx 1.3.8. Egzakt differenciálegyenletek Legyen D R 2 nemüres, nyílt, M, N : D R. Az (5) M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 differenciálegyenletet egzakt differenciálegyenletnek nevezzük, ha M(x, y) y = N(x, y) x ((x, y) D) teljesül. Ha a differenciálegyenlet egzakt, akkor létezik olyan F : D R folytonosan differenciálható függvény melyet az M és N függvények közös potenciálfüggvényének szokás nevezni úgy, hogy F(x, y) x = M(x, y) és F(x, y) y = N(x, y) teljesül minden (x, y) D esetén. Ekkor a differenciálegyenlet általános megoldása F(x, y) = c, valamely c R esetén. Így, az egyenlet megoldásához elegendő meghatározni az F függvényt. Mivel F(x, y) y = N(x, y), ezért F(x, y) = N(x, y)dy + f (x), ahol f egy egyelőre ismeretlen (csak x-től függő) függvény. Mivel F(x, y) x = M(x, y), 13

ezért amiből Így F(x, y) = [ x f (x) = ] N(x, y)dy + f (x) = M(x, y), [ ( )] N(x, y) M(x, y) dy dx x N(x, y)dy + [ ( )] N(x, y) M(x, y) dy dx x 1.3.3. Megjegyzés. Az F függvényt úgy is meghatározhattuk volna, hogy abból indulunk ki, hogy M(x, y), ekkor a fenti számolást elvégezve az adódik, hogy [ ( )] M(x, y) F(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y) dx dy, y F(x, y) x = ami az egyenlet egzakt volta miatt ugyanazt az F függvényt határozza meg, mint a fenti gondolatmenet. 1.3.9. Egzakt differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenletek Ha az M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 egyenlet nem egzakt, akkor több esetben elérhető, hogy az egyenletet egy alkalmas m(x, y) 0 függvénnyel megszorozva a kapott egyenlet már egzakt. Az ilyen m(x, y) függvényt integráló tényezőnek nevezzük. M(x,y) y M(x,y) y M(x,y) y Eset Integráló tényező N(x,y) x = f (x) m(x) = e f (x)dx N(x,y) x = g(y) m(y) = e g(y)dy N(x,y) = N(x, y) f (x) M(x, y)g(y) m(x, y) = e f (x)dx+ g(y)dy x 1 M és N azonos fokszámú homogén függvények m(x, y) = xm(x,y)+yn(x,y) 1.3.10. Hiányos másodrendű differenciálegyenletek 1.3.2. Definíció. Legyen D R 3 nemüres, nyílt halmaz és f : D R. Azt mondjuk, hogy az y = f (x, y, y ) másodrendű egyenlet hiányos másodrendű differenciálegyenlet, ha az f függvény explicit módon nem függ x, y, y közül legalább egytől. Az y (x) = f (x) alakú differenciálegyenletek Legyen I R intervallum és f : I R és tekintsük az y (x) = f (x) hiányos másodrendű differenciálegyenletet. Azonnal látszik, hogy az egyenlet általános megoldása kétszeri integrálással kapható meg. 14

f (x, y, y ) = 0 alakú differenciálegyenletek Legyen I R intervallum és f : I R 2 R egy folytonos függvény és tekintsük az f (x, y, y ) = 0 hiányos másodrendű differenciálegyenletet. Vezessük be az függvényeket. Ekkor a fenti egyenlet az u(x) = y (x) és u (x) = y (x) f (x, u, u ) = 0 elsőrendű differenciálegyenletre redukálódik. Ebből u meghatározható, végül, az y = u egyenletet kell megoldanunk. f (y, y, y ) alakú differenciálegyenletek Legyen f : R 3 R egy adott folytonos függvény és tekintsük az hiányos másodrendű differenciálegyenletet. Legyenek Ekkor a fenti egyenlet az elsőrendű differenciálegyenletekre redukálható. f (y, y, y ) = 0 y = u(y) és y = u (y) y. f ( y, u, u y ) = 0 és y = u 1.4. Elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerekre vonatkozó egzisztencia és unicitási tételek 1.4.1. Definíció. Legyen D R R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R folytonos függvény és legyen (, η) D. Ekkor az (1) y = f (x, y) és a (2) y() = η egyenleteket rendre közönséges, elsőrendű, explicit differenciálegyenlet -rendszernek, illetve (2) t az (1) differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó kezdeti érték feltételnek nevezzük. A két egyenletet együtt Cauchy-feladatnak hívjuk. 1.4.2. Definíció. A ϕ: I R n függvényt az (1) differenciálegyenlet-rendszer megoldásának nevezzük (Cauchyféle értelemben), ha (i) I R valódi intervallum, ϕ differenciálható I-n; (ii) minden x I esetén (x, ϕ(x)) D; (iii) minden x I esetén ϕ (x) = f (x, ϕ(x)) teljesül. 15

Ha még az is teljesül, hogy ϕ() = η, akkor a ϕ függvényt az (1) (2) Cauchy-feladat megoldásának hívjuk. 1.4.3. Definíció. Azt mondjuk, hogy a ϕ: I R n függvény az (1) (2) Cauchy-feladat egy teljes megoldása, ha nem létezik a Cauchy-feladatnak olyan ψ: J R n megoldása, ami a ϕ függvény valódi kiterjesztése lenne. 1.4.1. Példa. A szeparábilis, illetve az elsőrendű, lineáris differenciálegyenletek esetében egyből a teljes megoldásokat adtuk meg. 1.4.4. Definíció. A kezdeti érték probléma egy ϕ megoldását (globálisan) egyértelmű teljes megoldásnak nevezzük, ha a kezdeti érték probléma bármely ψ: J R n megoldása a ϕ függvény leszűkítése, azaz, J I és ϕ J ψ. 1.4.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy a kezdeti érték probléma (globálisan) egyértelműen oldható meg, ha bármely ϕ: I R n és ψ: J R n megoldáspár esetén ϕ(x) = ψ(x) ha x I J. 1.4.6. Definíció. Azt mondjuk, hogy a kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg, ha létezik olyan ε > 0, hogy bármely ϕ: I R n és ψ: J R n megoldáspár esetén ϕ(x) = ψ(x) ha x I J ] ε, + ε[. 1.4.1. Lemma (Zorn lemma). Ha (P, ) egy parciálisan rendezett halmaz, amelyben minden nemüres láncnak (lineárisan rendezett részhalmaznak) van felső korlátja, akkor P ben van maximális elem, azaz, létezik olyan x P, hogy ha valamely y P esetén x y, akkor x = y. 1.4.1. Tétel. Ha az (1) (2) Cauchy-feladatnak létezik valamilyen megoldása, akkor létezik teljes megoldása is. Bizonyítás. Legyen P = { ϕ: I R n ϕ megoldása az (1) (2) Cauchy-feladatnak. } A tétel feltételei szerint az (1) (2) Cauchy-feladatnak van megoldása, így P. Ha ϕ: I R n és ψ: J R n P-beli elemek, akkor ϕ ψ I J és ψ I ϕ Ekkor (P, ) egy parciálisan rendezett halmaz. Legyen { ϕγ : I γ R n γ Γ } egy P-beli lánc. Legyen ekkor I = I γ és ϕ(x) = ϕ γ (x) ha x I γ. γ Γ A ϕ függvény definíciója korrekt, hiszen ha x I γ1 I γ2, akkor két eset lehetséges. Ha ϕ γ1 ϕ γ2, akkor I γ1 I γ2 és ekkor ϕ γ2 (x) = ϕ γ1 (x) teljesül minden x I γ1 esetén. Ha pedig ϕ γ2 ϕ γ1, akkor I γ2 I γ1 és ekkor ϕ γ1 (x) = ϕ γ2 (x) teljesül minden x I γ2 esetén. Továbbá, I R intervallum és ϕ γ ϕ teljesül minden γ Γ esetén. A ϕ függvény definíciójából világos, hogy ϕ() = η. Megmutatjuk, hogy ϕ kielégíti az (1) differenciálegyenlet-rendszert. Legyen x I. Ekkor három eset lehetséges, vagy x I, vagy x = sup(i), vagy x = inf(i). Tegyük fel, hogy x I. Ekkor létezik olyan r > 0, hogy ]x r, x + r[ I. Továbbá, létezik olyan γ 1 Γ, melyre x r I γ1 és létezik olyan γ 2 Γ, melyre x + r I γ2. Ekkor azonban létezik olyan γ Γ is, melyre ]x r, x + r[ I γ. Legyen ugyanis γ = γ 1, ha I γ2 I γ1, illetve legyen γ = γ 2, ha I γ1 I γ2. Ebben az esetben ϕ(x) = ϕ γ (x), ha t x < r. 16

ezért ϕ (x) = lim t x, t x < r ϕ(t) ϕ(x) t x = lim t x, t x < r ϕ γ (t) ϕ γ (x) t x = ϕ γ(x) = f ( x, ϕ γ (x) ) = f (x, ϕ(x)) Az x I eset hasonlóan kezelhető. Tehát bármely P-beli láncnak van felső korlátja, így a Zorn lemma szerint létezik P-nek maximális eleme, ami éppen az (1) (2) Cauchy-feladat teljes megoldását szolgáltatja. 1.4.1. Következmény. Ha az (1) (2) kezdeti érték probléma (globálisan) egyértelműen oldható meg, akkor a kezdeti érték problémának létezik egy egyértelmű teljes megoldása, feltéve, hogy egyáltalán van megoldása. Továbbá, ennek a teljes megoldásnak a kezdeti érték probléma bármely más megoldása leszűkítése. Bizonyítás. Az előző tétel szerint a kezdeti érték problémának létezik egy teljes ϕ: I R n megoldása. Ha ψ: J R n a kezdeti érték probléma egy tetszőleges megoldása, akkor az egyértelmű megoldhatóság miatt Ezért a ϕ(x) = ψ(x) ha x I J. (ϕ ψ)(x) = { ϕ(x), ha x I ψ(x), ha x J \ I módon megadott függvény a ϕ és ψ függvények közös kiterjesztése, továbbá, ez a függvény megoldása az (1) (2) Cauchy-feladatnak is. Mivel ϕ teljes megoldás, ezért ϕ ψ nem lehet a ϕ függvény valódi kiterjesztése, Tehát J \ I =, azaz, J I, ami éppen azt jelenti, hogy ψ leszűkítése ϕ-nek. Ezért ϕ egyértelmű teljes megoldás. 1.4.2. Tétel. Ha az (1) differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó bármely kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg, akkor bármely kezdeti érték probléma globálisan is egyértelműen oldható meg. Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy létezik olyan (, η) D, melyhez tartozó kezdeti érték probléma globálisan nem egyértelműen oldható meg, azaz léteznek az (1) (2) Cauchy-feladatnak olyan ϕ: I R n és ψ: J R n megoldásai, melyekre ϕ I J ψ I J, vagyis van olyan x I J, hogy ϕ(x) ψ(x). Ekkor nyilván x, hiszen ϕ és ψ kielégítik a (2) kezdeti feltételt, azaz ϕ() = η = ψ(). Tegyük fel, hogy < x és tekintsük a H = { t, t I J ϕ [,t] = ψ [,t] } halmazt. Ekkor H, x H, ezért sup(h) < x, világos továbbá, hogy H intervallum. Legyen t = sup(h). A lokális egyértelmű megoldhatóság miatt létezik olyan r > 0, hogy ϕ(t) = ψ(t) ha t I J ] r, + r[, így H {}. Ez azt jelenti, hogy t >, így van olyan n 0 N, hogy n n 0 esetén t 1 n ( ϕ t 1 ) ( = ψ t 1 ) ha n n 0, n n H. Tehát ebből azonban n határátmenetet véve az adódik, hogy ϕ(t ) = ψ(t ) = η, vagyis t H. A lokális egyértelmű megoldhatóságot a (t, η ) kezdeti feltételre alkalmazva azt kapjuk, hogy ϕ és ψ a t egy környezetében megegyezik. Tehát sup(h) > t, ami ellentmondás. Ezért a kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg. 17

1.5. A Picard Lindelöf-féle egzisztencia és unicitási tétel 1.5.1. Tétel (Picard Lindelöf). Legyen I R nemüres intervallum, f : I R n R n folytonos függvény és tegyük fel, hogy létezik olyan L: I [0, + [ folytonos függvény, melyre (L) f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) L(x) y 1 y 2 (x I, y 1, y 2 R n ), azaz, f lokális-globális Lipschitz-feltételt teljesít I R n en. Legyen I, η R n, ekkor az { y (C) = f (x, y) y() = η Cauchy-feladatnak létezik pontosan egy ϕ: I R n megoldása és minden más megoldás ennek a megoldásnak a leszűkítése. Továbbá, bármely ϕ 0 : I R n folytonos függvény esetén a (P) ϕ n+1 (x) = η + x f (t, ϕ n (t)) dt (x I, n > 0) Picard-féle iteráció pontonként konvergál ϕ hez és a konvergencia az I bármely kompakt részintervallumán egyenletes. 1.5.1. Példa (Picard iteráció). Tekintsük az { y = x + y y(0) = 0 Cauchy-feladatot. Ekkor az előző tétel jelöléseivel Mivel = 0, η = 0 és f (x, y) = x + y f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) = x + y 1 x y 2 = 1 y 1 y 2 (x, y 1, y 2 R), ezért az f függvény az L(x) = 1 függvénnyel eleget tesz egy lokális-globális Lipschitz-feltételnek. Legyen ϕ 0 (x) = 0 (x R), ekkor a Picard Lindelöf-tétel szerint ϕ 1 (x) = 0 + ϕ 2 (x) = 0 + ϕ 3 (x) = 0 + ϕ n (x) = 0 +. x 0 x 0 x 0 x Így a differenciálegyenlet megoldása 0 (t + 0)dt = x2 2 t + t2 x2 dt = 2 2 + x3 2 3 t + t2 2 + t + t2 2 + ϕ(x) = lim n ϕ n (x) = lim n t3 x2 dt = 2 3 2 + x3 2 3 + x 4 2 3 4 t3 2 3 + + tn x2 dt = n! 2 + x3 2 3 + + xn+1 (n + 1)!. n k=2 x k k! = k=2 x k k! = k=0 x k k! x 1 = ex x 1. 18

1.1. ábra. A differenciálegyenlet megoldása (pirossal) és a Picard-iteráció első három eleme 1.5.2. Példa (Picard iteráció). Tekintsük az { y = xy y(0) = 1 Cauchy-feladatot. Ekkor az előző tétel jelöléseivel Mivel = 0, η = 1 és f (x, y) = xy f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) = xy 1 xy 2 = x y 1 y 2 (x, y 1, y 2 R), ezért az f függvény az L(x) = x függvénnyel eleget tesz egy lokális-globális Lipschitz-feltételnek. Legyen ϕ 0 (x) = 1 (x R), ekkor a Picard Lindelöf-tétel szerint azaz, ebben az esetben ϕ 1 (x) = 1 + ϕ 2 (x) = 1 + ϕ 3 (x) = 1 +. x 0 x 0 x ϕ n (x) = 1 + x2 2 + 1 2! Így a kezdeti érték probléma megoldása 0 ϕ n+1 (x) = η + x f (t, ϕ n (t)) dt, t 1dt = 1 + x2 ( ) 2 ; t 1 + t2 dt = 1 + x2 2 2 + x4 8 ; ( ) t 1 + t2 2 + t4 dt = 1 + x2 8 2 + 1 2! ( x 2 2 ) 2 + + 1 n! ϕ(x) = lim n ϕ n (x) = k=0 1 k! ( x 2 2 ( ) x 2 n (n N). 2 ( x 2 2 ) k = e x2 2. ) 2 + 1 3! 1.5.1. Lemma. Az előző tétel feltételei mellett legyen J I olyan intervallum, hogy J. Ekkor a ψ: J R n folytonos függvény akkor és csak akkor megoldása a (C) Cauchy-feladatnak, ha megoldása az (I) ψ(x) = η + integrálegyenletnek. x 19 f (t, ψ(t)) dt ( x 2 2 ) 3

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a ψ: J R n folytonos függvény megoldása (C)-nek. Ekkor ψ differenciálható J-n, ψ() = η és ψ (x) = f (x, ψ(x)) (x J). Ezt az egyenletet -től x-ig integrálva, x ψ (t)dt = x f (t, ψ(t)) dt (x J). A ψ-re vonatkozó differenciálegyenletből és az f függvény folytonosságából az adódik, hogy ψ folytonos, így a Newton Leibniz-formula miatt x ψ (t)dt = ψ(x) ψ() = ψ(x) η, azaz ψ kielégíti az (I) integrálegyenletet. Megfordítva, tegyük fel, hogy a ψ: J R n folytonos függvény teljesíti az (I) integrálegyenletet. Ekkor az x = helyettesítéssel ψ() = η adódik. Továbbá az (I) egyenletben az integrandus t-nek folytonos függvénye, ezért (I) jobb oldala egy folytonos függvény felsőhatárfüggvénye, ezért, mint x függvénye differenciálható, így a ψ függvény differenciálható. Az (I) egyenletet differenciálva ψ (x) = f (x, ψ(x)) (x J), vagyis ψ megoldása a (C) Cauchy-feladatnak. Legyen J I olyan kompakt intervallum, hogy J és legyen Ekkor C (J) egy teljes metrikus tér a C (J) = { ψ: J R n ψ folytonos J-n }. d (ψ, ϕ) = sup ψ(x) ϕ(x) x J (ψ, ϕ C (J)) metrikával. 1.5.2. Lemma. Legyen p: J ]0, + [ folytonos függvény és ψ C (J) esetén legyen ψ p = sup ψ(t) p(t). t J Ekkor. p ekvivalens a. supremum-normával, azaz léteznek olyan 0 < α β < konstansok, hogy α ψ ψ p β ψ teljesül minden ψ C (J) esetén. Ennek következtében ( C (J),. p ) teljes metrikus tér. Bizonyítás. Legyenek β = sup t J p(t) = max t J p(t) és α = inf t J Ekkor 0 < α β < +. Továbbá, tetszőleges ψ C(J) esetén ψ p = sup t J p(t) = min t J ψ(t) p(t) sup ψ(t) β = β ψ, t J p(t). 20

illetve ψ p = sup t J ψ(t) p(t) sup ψ(t) α = α ψ. t j Legyen (ϕ k ) k N Cauchy-sorozat a (C(J),. p ) térben. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén van olyan k 0 N úgy, hogy ha k, m N olyanok, hogy k, m > k 0, akkor amiből a fenti becslés miatt ϕ k ϕ m p < ε, ϕ k ϕ m < ε α adódik. Így a (ϕ k ) k N sorozat a (C(J),. ) teljes metrikus térben is Cauchy sorozat. Legyen ϕ 0 C(J) ennek a Cauchy-sorozatnak a (C(J),. p ) térbeli határértéke. Ekkor tetszőleges ε > 0 esteén van olyan k 0 N úgy, hogy ha k N olyan, hogy k > k 0, akkor ϕ k ϕ 0 < ε β, amiből szintén a fenti becslés miatt k > k 0 esetén ϕ k ϕ 0 p < ε. adódik. Ez azonban azt jelenti, hogy a (ϕ k ) k N sorozat a (C(J),. p ) térben a ϕ 0 függvényhez konvergál. A Picard Lindelöf-tétel jelölései és feltételei mellett értelmezzük a T : C (J) C (J) leképezést a T ψ (x) = η + x f (t, ψ(t)) dt (x J, ψ C (J)) képlettel, és legyen ( p(x) = exp Ekkor p egy pozitív és folytonos függvény. x ) L(t)dt (x J). 1.5.3. Lemma (Bielicki). A fent megadott T : C (J) C (J) leképezés kontrakció a ( C (J),. p ) teljes metrikus téren. Bizonyítás. Legyenek ψ 1, ψ 2 C(J) tetszőlegesek. Ekkor T ψ1 (x) T ψ2 (x) p(x) = p(x) x Ha x, akkor p(x) x p(x) L(t) p(t) dt x = p(x) x x ( f (t, ψ 1 (t)) f (t, ψ 2 (t))) dt p(x) f (t, ψ 1 (t)) f (t, ψ 2 (t)) dt L(t) ψ 1 (t) ψ 2 (t) dt = p(x) x ( t ) x L(t) exp L(s)ds dt = p(x) ( x ( = p(x) exp L(t) p(t) ψ 1(t) ψ 2 (t) p(t)dt x p(x) L(t) p(t) dt ψ 1 ψ 2 p. ( ( d t exp dt ) L(t)dt ) 1 = p(x) )) L(s)ds dt ( ) 1 p(x) 1 = 1 p(x) < 1 21

Ha pedig x, akkor p(x) x L(t) p(t) dt = p(x) x ( t ) L(t) exp L(s)ds dt = p(x) x = p(x) ( ( 1 + exp x ( ( d t exp dt )) ( L(t)dt = p(x) )) L(s)ds dt 1 p(x) 1 ) = 1 p(x) < 1. Legyen q = sup(1 p(x)) < 1. x J Ebben az esetben Tψ1(x) T ψ2(x) p(x) (1 p(x)) ψ1 ψ 2 p q ψ 1 ψ 2 p, amiből azt kapjuk, hogy T ψ1 T ψ2 = sup T ψ1 (x) T ψ2 (x) p(x) q ψ1 ψ 2 p, x J ami éppen a bizonyítandó állítás. Bizonyítás. (Picard Lindelöf-tétel) Az előző állítások miatt a T leképezésre teljessülnek a Banach-féle fixponttétel feltételei, így a T leképezésnek létezik egy egyértelműen meghatározott fixpontja C(J)-ben. Ez a fixpont éppen az (I) integrálegyenlet megoldása, amely probléma éppen a (C) Cauchy-feladattal ekvivalens. Legyen most ϕ 0 : I R n egy tetszőleges, folytonos függvény. Ekkor a iterációra tetszőleges J I intervallum esetén ϕ m+1 = T ϕm (m = 0, 1, 2,...) ϕ m+1 J = T ϕm J J teljesül. A fenti eredmények miatt tetszőleges J I kompakt intervallum esetén a (ϕ m J ) m N függvénysorozat a T leképezés C(J)-beli fixpontjához konvergál. Ebből az is adódik, hogy tetszőleges x J esetén a (ϕ m (x)) m N sorozat konvergens. Mivel J I tetszőleges volt, ezért ez azt jelenti, hogy a (ϕ m ) m N függvénysorozat az I intervallumon pontonként konvergens. Legyen ϕ(x) = lim m ϕ m (x) (x I). Továbbá, tetszőleges J I intervallum esetén a (ϕ m J ) m N függvénysorozat a. p normában a ϕ J függvényhez konvergál. Mivel a. p norma ekvivalens a supremum normával, ezért a (ϕ m ) m N függvénysorozat a J kompakt intervallumon egyenletesen ϕ-hez konvergál. Mivel ϕ megoldja az (I) integrálegyenletet, ezért ϕ megoldása az ezzel ekvivalens (C) Cauchy-feladatnak is. Végül indirekt tegyük fel, hogy a (C) Cauchy-feladatnak van olyan ψ: K R n megoldása, melyre ϕ K ψ. Ekkor van olyan x K, hogy ϕ(x) ψ(x). Mivel mind a ϕ, mind a ψ függvény folytonos, ebből az adódik, hogy létezik olyan J K kompakt intervallum is, mely esetében ϕ(x) ψ(x), ha x J. Ez azonban azt jelenti, hogy a (C) Cauchy-feladatnak létezik két különböző megoldása, ami lehetetlen, hiszen a Banach-féle fixponttétel garantálja, hogy a (C)-vel ekvivalens (I) integrálegyenletnek pontosan egy megoldása van. 22

1.6. A kezdeti értéktől való folytonos függés 1.6.1. Tétel. Legyen (X, d) egy teljes metrikus tér, 0 q < 1 és T n : X X, n N q-kontrakciók egy olyan sorozata, mely pontonként a T 0 : X X függvényhez konvergál. Ekkor T 0 is q-kontrakció, és a T n kontrakciók x n fixpontjaiból képzett (x n ) n N sorozat a T 0 kontrakció x 0 fixpontjához konvergál. Bizonyítás. Tetszőleges n N és x, y X esetén d (T n x, T n y) qd(x, y) teljesül, ebből n határátmenetet véve az adódik, hogy d (T 0 x, T 0 y) qd(x, y) (x, y X), hiszen a pontonkénti konvergencia miatt lim n T n x = T 0 x és lim n T n y = T 0 y. Ezért T 0 : X X valóban q-kontrakció. Továbbá, d(x n, x 0 ) = d (T n x n, T 0 x 0 ) d (T n x n, T n x 0 ) + d (T n x 0, T 0 x 0 ) = qd(x n, x 0 ) + d (T n x 0, T 0 x 0 ), így mert lim n T n x 0 = T 0 x 0, ezért lim n x n = x 0. d(x n, x 0 ) 1 1 q d (T nx 0, T 0 x 0 ) n 0, 1.6.1. Megjegyzés. Ha T n : X X, n N q n -kontrakciók egy olyan sorozata, melyre sup n N q n = 1, akkor az előző tétel állítása nem feltétlenül marad érvényben. Legyen ugyanis ( T n (x) = 1 1 ) x + 1 (x R, n N). n Ekkor minden n N esetén T n ( 1 1 n) -kontrakció. Azonban xn = n és ami nem kontrakció, sőt T 0 -nak még fixpontja sincsen. lim T n(x) = T 0 (x) = x + 1, n 1.6.2. Tétel (A kezdeti értéktől való folytonos függés tétele). Legyen I R egy nemüres intervallum, f : I R n R n folytonos függvény, és tegyük fel, hogy létezik olyan L: I [0, + [ folytonos függvény, mellyel az f függvény teljesíti az (L) feltételt. Ha I és η R n, akkor jelölje ϕ η : I R n az (C) { y = f (x, y) y() = η Cauchy-feladatnak a megoldását. Ekkor ϕ η a kezdeti érték folytonos függvénye, azaz ha (η k ) k N egy R n -beli, η 0 -hoz konvergáló sorozat, akkor a ( ϕ ηk )k N függvénysorozat az I intervallumon pontonként a ϕ η 0 függvényhez konvergál, továbbá a konvergencia az I minden kompakt részintervallumán egyenletes. Bizonyítás. Legyen ( p(x) = exp x ) L(t)dt, és y p = sup t J y(t) p(t), mely a C (J) téren ekvivalens a. supremum-normával. 23

Bármely η R esetén a ϕ η J függvény a ϕ η (x) = η + x f ( t, ϕ η (t) ) dt (x J) egyenlet megoldása, azaz, ϕ η a T η ϕ(x) = η + x f ( t, ϕ η (t) ) dt (x J) képlettel értelmezett T η : C(J) C(J) leképezés egyetlen fixpontja, melynek a. p norma szerint kontrakciós faktora sup x J (1 p(t)) < 1, ami nem függ η megválasztásától. Ezért, ha η k η 0, akkor ( Tηk ) (x) = ηk + x f ( t, ϕ ηk (t) ) dt n η 0 + x f ( t, ϕ η0 (t) ) dt = ( T η0 ) (x). Tehát a T ηk, k N leképezések kielégítik az előző tétel feltételeit. Így ezért ϕ ηk ϕ ηk. p ϕ η0,. ϕ η0, azaz ϕ ηk ϕ η0 a J intervallumon egyenletesen. Mivel J I tetszőleges intervallum, ezért a konvergencia az I intervallum bármely kompakt részintervallumán egyenletes, amiből az is adódik, hogy I-n fennáll a pontonkénti konvergencia is. 1.7. Gronwall-féle integrál-és differenciálegyenlőtlenségek 1.7.1. Tétel (Gronwall-féle integrálegyenlőtlenség). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], ahol a R { } és < a, és tegyük fel, hogy f : I R R olyan folytonos függvény, mely kielégíti az (L) feltételt, tegyük még fel továbbá, hogy minden x I és y 1 y 2 esetén f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) teljesül. Legyen ψ: I R olyan folytonos függvény, melyre ψ(x) η + x f (t, ψ(t)) dt (x I) teljesül. Ekkor ψ ϕ, ahol ϕ: I R a ϕ(x) = η + x f (t, ϕ(t)) dt integrálegyenlet egyértelmű megoldása. Bizonyítás. Legyen ε > 0 és jelölje ϕ ε : I R a ϕ ε (x) = η + ε + x f (t, ϕ ε (t)) dt 24

integrálegyenlet megoldását. Az előző tétel szerint lim ε 0+ ϕ ε (x) = ϕ(x) minden x I esetén, és a konvergencia az I intervallum minden kompakt részintervallumán egyenletes. Ekkor ψ() η < ϕ ε () = η + ε, ezért a pont egy környezetében ψ < ϕ ε teljesül. Indirekt tegyük fel, hogy a H = {x I ϕ ε (x) ψ(x)} halmaz nemüres. Legyen α = inf(h), mivel a H halmaz zárt, ezért α H és α >. Ekkor ψ(x) < ϕ ε (x), ha x < α és ψ(α) ϕ ε (x). Tekintsük az x n = α 1 n, n N sorozatot, ekkor n n 0 esetén x n < α, így ψ(x n ) < ϕ ε (x n ) (n n 0 ), amiből az n határátmenettel ψ(α) ϕ ε (α) adódik. Tehát < α olyan, hogy Továbbá, ψ(α) η + ψ(x) < ϕ ε (x), ha x < α és ψ(α) = ϕ ε (α). α f (t, ψ(t)) dt η + α f (t, ϕ ε (t)) dt = ϕ ε (α) ε < ϕ ε (α), ami ellentmondás, ezért ψ < ϕ ε teljesül az I intervallumon, amiből ε 0 határátmenettel adódik a bizonyítandó állítás. 1.7.1. Következmény (Gronwall-féle lineáris integrálegyenlőtlenség I.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], A: I R egy folytonos, nemnegatív, B: I R pedig egy folytonos függvény. Ha a ψ: I R folytonos függvény kielégíti a ψ(x) η + x integrálegyenlőtlenséget, akkor minden x I esetén ( x ) ( ψ(x) exp A(t)dt η + teljesül. Bizonyítás. Tekintsük az módon megadott f : I R R függvényt. Ekkor, A(t)ψ(t) + B(t)dt (x I) x ( t ) ) B(t) exp A(s)ds dt f (x, y) = A(x)y + B(x) (x I, y R) f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) = A(x) y 1 y 2 (x I, y 1, y 2 R), továbbá, az A nemnegativitása miatt, ha y 1, y 2 R olyanok, hogy y 1 y 2, akkor f (x, y 1 ) = A(x)y 1 + B(x) A(x)y 2 + B(x) = f (x, y 2 ). Így az előző tétel miatt ψ ϕ teljesül, ahol ϕ: I R megoldása a ϕ(x) = η + x A(t)ϕ(t) + B(t)dt integrálegyenletnek. Azonban ennek az integrálegyenletnek a megoldása ( x ) ( x ( t ) ) ϕ(x) = exp A(t)dt η + B(t) exp A(s)ds dt amiből már adódik a tétel állítása. 25 (x I),

1.7.1. Definíció. Legyen I R valódi intervallum, h: I R, ekkor ha létezik és véges a h (x) = lim sup t 0+ h(x) h(x t) t határérték, akkor a h (x) számot a h függvény baloldali (felső) Dini-deriváltjának nevezzük. 1.7.2. Tétel (Gronwall-féle differenciálegyenlőtlenség I.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], ahol a R { } és < a, f : I R R folytonos függvény, ϕ, ψ: I R pedig olyan folytonos függvények, hogy ψ() < ϕ() ψ (x) f (x, ψ(x)) és ϕ (x) f (x, ϕ(x)) (x > ). Ekkor minden x I esetén ψ(x) < ϕ(x) teljesül. Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy a tétel állítása nem teljesül. Ekkkor van olyan α I, α >, hogy Ebből azt kapjuk, hogy ψ(x) < ϕ(x) (x [, α[) és ψ(α) = ϕ(α). ψ(α) ψ(α t) t Véve a lim sup t 0+ határátmenetet ebből > ϕ(α) ϕ(α t) t ψ (α) ϕ (α) (t ]0, α [). adódik. Másfelől, a ψ és ϕ függvényekre fennálló differenciálegyenlőtlenségek miatt ψ (α) = f (α, ψ(α)) = f (α, ϕ(α)) < ϕ (α), ami ellentmondás. Így az I intervallum minden x eleme esetén ψ(x) < ϕ(x) teljesül. 1.7.3. Tétel (Gronwall-féle differenciálegyenlőtlenség II.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], ahol a R { } és < a, f : I R R folytonos függvény, ϕ, ψ: I R pedig olyan differenciálható függvények, hogy ψ() < ϕ() ψ (x) f (x, ψ(x)) és ϕ (x) > f (x, ϕ(x)) (x > ). Ekkor minden x I esetén ψ(x) < ϕ(x) teljesül. Bizonyítás. Ha ψ() < ϕ() teljessül, akkor a tétel állítás azonnal adódik az előző eredményből. Tegyük most fel, hogy ψ() = ϕ(). Ekkor ψ () f (, ψ()) = f (, ϕ()) < ϕ (). Ebben az esetben 0 < ϕ () ψ () = lim t 0 (ϕ ψ)( + t) (ϕ ψ)() t Így létezik olyan δ > 0, hogy ha t ]0, δ[, akkor ϕ( + t) > ψ( + t). (ϕ ψ)( + t) = lim. t 0 t Indirekt tegyük fel, hogy a tétel állítása nem teljesül. Ekkor az előző tétel bizonyításának gondolatmenetét megismételve létezik olyan α I, α > úgy, hogy ψ(x) < ϕ(x) (x [, α[) és ψ(α) = ϕ(α), amiből ψ (α) ϕ (α) adódna. Másfelől, a ψ és ϕ függvényekre fennálló differenciálegyenlőtlenségekből ψ (α) < ϕ (α) következik, ami ellentmondás. 26

1.7.2. Következmény (Gronwall-féle lineáris integrálegyenlőtlenség II.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], A, B: I R folytonos függvények. Ha a ϕ, ψ: I R folytonos függvényekre ψ() ϕ() és ψ (x) A(x)ψ(x) + B(x) (x I), illetve teljesül, akkor minden x I esetén ϕ (x) > A(x)ϕ(x) + B(x) (x I) ψ(x) < ϕ(x). 1.7.4. Tétel (Peano-féle egyenlőtlenség I.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], ahol a R { } és < a, f : I R R olyan folytonos függvény, mely esetén van olyan ω: I [0, [ [0, [ folytonos függvény, hogy (Ω) f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) ω (x, y 1 y 2 ) (x I, y 1, y 2 R). Tegyük fel, hogy y, z: I R differenciálható függvények és legyenek ε(x) = y (x) f (x, y(x)) és δ(x) = z (x) f (x, z(x)) (x I). Legyen továbbá ϱ: I R olyan függvény, melyre y() z() < ϱ() és ϱ (x) > ω (x, ϱ(x)) + ε(x) + δ(x) ( < x I). Ekkor y(x) z(x) < ϱ(x) (x I) Bizonyítás. Legyen ψ(x) = y(x) z(x) (x I). Azt fogjuk megmutatni, hogy a ψ és ϱ függvények kielégítik a Gronwall-féle differenciálegyenlőtlenség I. változatának feltételeit. A ψ() < ϱ() egyenlőtlenség világos. Már csak azt kell megmutatni, hogy teljesül. Valóban, ψ (x) = lim sup t 0+ ψ (x) ω(x, ψ(x)) + ε(x) + δ(x) (x I) ψ(x) ψ(x t) y(x) z(x) y(x t) z(x t) = lim sup t t 0+ t lim sup y(x) y(x t) z(x) z(x t) t 0+ t t = y (t) z (t) y (t) f (x, y(x)) + f (x, y(x)) f (x, z(x)) + f (x, z(x)) z (x) ε(x) + ω(x, ψ(x)) + δ(x) teljesül minden x I esetén, így a Gronwall-féle differenciálegyenlőtlenség I. változata szerint minden x I esetén ψ(x) < ϱ(x), azaz, y(x) z(x) < ϱ(x). 27

1.7.5. Tétel (Peano-féle egyenlőtlenség II.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], f : I R n R n egy folytonos függvény és tegyük fel, hogy létezik egy olyan L: I [0, + [ folytonos függvény, hogy (L) f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) L(x) y 1 y 2 (x I, y 1, y 2 R n ). Tegyük fel továbbá, hogy az y, z: I R n differenciálható függvényekre y (x) f (x, y(x)) < ε(x) és z (x) f (x, z(x)) < δ(x) (x I) teljesül. Ekkor ( x y(x) z(x) exp ) ( x ( t ) ) L(t)dt y() z() + (ε(t) + δ(t)) exp L(s)ds dt (x I). Bizonyítás. Az (L) feltételből következik az előző tétel (Ω) feltétele az ω(x, t) = L(x) t ((x, t) I [0, + [) függvénnyel. Legyen η > 0 tetszőleges és jelölje ϱ η : I [0, + [ a (K η ) { ϱ η (x) = ε(x) + δ(x) + L(x)ϱ η (x) + η ϱ η () = y() z() + η Cauchy-feladat megoldását. Ekkor ϱ η(x) > ε(x) + δ(x) + L(x)ϱ η (x) ϱ η () > y() z(), így az előző tétel miatt ϱ η (x) > y(x) z(x) (x I) A (K η ) kezdeti érték probléma egyértelmű oldható meg és ( x ) ( x ( t ) ) ϱ η (x) = exp L(t)dt y() z() + η + (ε(t) + δ(t) + η) exp L(s)ds dt ezért ebből η 0 határátmenetet véve éppen az adódik, hogy ( x ) ( x ( t ) ) y(x) z(x) exp L(t)dt y() z() + (ε(t) + δ(t)) exp L(s)ds dt (x I), (x I). 1.7.2. Definíció. Legyen D R R n tartomány. Azt mondjuk, hogy az f : D R n függvény a második változójában lokális Lipschitz-feltételt teljesít, ha tetszőleges (, η) D pontnak van olyan U D nyílt környezete és létezik olyan L nemnegatív valós szám, hogy f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) L y 1 y 2 ((x, y 1 ), (x, y 2 ) U). 1.7.6. Tétel (Lokális egzisztencia és unicitási tétel). Legyen D R R n tartomány, f : D R n pedig egy olyan folytonos függvény, mely a második változójában lokális Lipschitz-feltételt teljesít D-n. Ekkor tetszőleges (, η) D esetén a (C) { y = f (x, y) y() = η Cauchy-feladatnak a pont valamely környezetében létezik egy egyértelműen meghatározott megoldása. 28

Bizonyítás. Legyenek a és b olyan pozitív valós számok, melyekkel H = [ a, + a] {y R n y η b} D teljesül. Ilyen pozitív valós számok léteznek, hiszen a (, η) pont a D nyílt halmaznak belső pontja. Mivel H R n+1 kompakt, ezért f H korlátos függvény, legyen K = sup f (x, y). (x,y) H Feltehető továbbá az is, hogy a és b olyan kicsik, hogy a H halmazon teljesül a Lipschitz-feltétel, azaz, van olyan L 0, hogy minden (x, y 1 ), (x, y 2 ) H esetén f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) L y 1 y 2 teljesül. { Legyen δ = min a, b }. Azt fogjuk megmutatni, hogy az I = [ δ, + δ] intervallumon a (C) Cauchyfeladatnak létezik egy egyértelmű megoldása. Ehhez tekintsük a K f (x, ( y), ha y η b f (x, y) = f x, η + y η ) y η b, ha y η > b módon megadott f : I R n R n függvényt és legyen y, ha y η b π(y) = η + y η y η b, ha y η > b (y R n ). Megmutatjuk, hogy tetszőleges y 1, y 2 R n esetén ( ) π(y 1 ) π(y 2 ) y 1 y 2 teljesül. Ehhez vegyük észre azt, hogy ha y R n, z R n pedig olyan, hogy z η b, akkor y π(y), z π(y) 0. Valóban, ha y R n olyan, hogy y η b, akkor nincs mit bizonyítani, ha pedig z η > b teljesül, akkor az y π(y) vektor tompaszöget zár be a z π(y) alakú vektorokkal minden, a z η b feltételt kielégítő z R n vektor esetén. Alkalmazzuk ezt az egyenlőtlenséget először az majd az Ekkor y = y 1 és z = π(y 2 ), y = y 2 és z = π(y 1 ). y 1 π(y 1 ), π(y 2 ) π(y 1 ) 0 és y 2 π(y 2 ), π(y 1 ) π(y 2 ) 0. Ezeket az egyenlőtlenségeket összeadva, amiből rendezés után az adódik, hogy y 1 y 2 (π(y 1 π(y 2 ))), π(y 2 π(y 1 )) 0, π(y 1 ) π(y 2 ) 2 y 1 y 2, π(y 1 ) π(y 2 ) y 1 y 2 π(y 1 ) π(y 2 ). 29

A most igazolt ( ) egyenlőtlenséget felhasználva, azt kepjuk, hogy f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) = f (x, π(y 1 )) f (x, π(y 2 )) L π(y 1 ) π(y 2 ) L y 1 y 2, vagyis az f függvény az első változótól független L konstanssal Lipschitz-feltételt teljesít. Így a globális egzisztencia és unicitási tétel miatt a { y (C) = f (x, y) y() = η Cauchy-feladatnak létezik egy egyértelműen meghatározott ϕ: I R n megoldása. Végül azt mutatjuk meg, hogy ϕ megoldja a (C) Cauchy-feladatot is és megfordítva, a (C) kezdeti érték probléma minden, I-n értelmezett megoldása megoldja a (C) Cauchy-feladatot is. Tegyük fel, hogy ϕ megoldja a (C) Cauchy-feladatot. Ekkor x ϕ(x) η = f (t, ϕ(t))dt = x f (t, π(ϕ(t)))dt x Kdt = K x Kδ K b = b (x I), K hiszen f (t, π(ϕ(t))) H. Ezért ϕ (x) = f (x, ϕ(x)) = f (x, ϕ(x)) (x I), vagyis ϕ megoldja a (C) Cauchy-feladatot. Hasonló érvelés mutatja, hogy az I intervallumon C megoldásai megoldásai (C)-nek is. 1.7.7. Tétel (A megoldások kiterjesztése). (i) Legyen D R R n tartomány, f : D R n folytonos függvény, ϕ: [, a[ R n pedig a { y (C) = f (x, y) y() = η Cauchy-feladat megoldása. Ha létezik olyan K D kompakt halmaz, hogy graph(ϕ) K, akkor létezik a lim x a ϕ(x) határérték és ha { ϕ(x), ha x [, a[ ϕ(x) = lim x a ϕ(x), ha x = a, akkor a ϕ: [, a] R n függvény is megoldása a (C) Cauchy-feladatnak. (ii) Ha ϕ: [, a] R n megoldása a (C) kezdeti érték problémának, ψ: [a, b[ R n pedig az { y = f (x, y) y(a) = ϕ(a) Cauchy-feladat megoldása, akkor a ˆϕ(x) = { ϕ(x), ha x [, a] ψ(x), ha x ]a, b[ módon megadott ˆϕ: [, b[ R n függvény megoldása a (C) Cauchy-feladatnak. Bizonyítás. (i) Mivel graph(ϕ) = {(x, ϕ(x)) x < a} K D 30

teljesül valamely K kompakt halmaz esetén, ezért f korlátos K-n, és így f korlátos graph(ϕ)-n, azaz létezik olyan M 0, hogy f (x, ϕ(x)) M teljesül minden x [, a[ esetén. Tehát ϕ (x) M (x [, a[), hiszen ϕ kielégíti a (C) Cauchy-feladatot. Legyen (x k ) k N olyan sorozat, hogy A Lagrange-féle középérték-tétel miatt x k < a (k N) és lim k x k = a. ϕ(x k ) ϕ(x m ) M x k x m teljesül. Mivel az (x k ) k N sorozat Cauchy sorozat, ezért minden ε > 0 esetén van olyan k 0 N, hogy k, m k 0 esetén x k x m < ε M, ekkor azonban ϕ(x k ) ϕ(x m ) < ε, azaz, a (ϕ(x k )) k N sorozat Cauchy sorozat, ami R n teljessége miatt konvergens is. Ez azonban azt jelenti, hogy tetszőleges [, a[-beli a-hoz konvergáló (x k ) k N sorozat esetén a (ϕ(x k )) k N sorozat konvergens, ami pontosan azt jelenti, hogy létezik a lim x a ϕ(x) határérték. Ekkor a tételben megadott ϕ függvény egy jóldefiniált, folytonos függvény a [, a] intervallumon. Mivel ϕ megoldása a (C) Cauchy-feladatnak, ezért ϕ(x) = η + x f (t, ϕ(t))dt (x [, a[). Véve az x a határátmenetet és ϕ(x) = η + ϕ(x) = η + x a f (t, ϕ(t))dt f (t, ϕ(t))dt (x [, a[). Azaz, ϕ teljesíti az integrálegyenletet a [, a] intervallumon, így ϕ megoldása a (C) Cauchy-feladatnak a [, a] intervallumon. (ii) Elegendő azt megmutatni, hogy ˆϕ megoldása a [, b[ intervallumon az integrálegyenletnek, azaz ˆϕ(x) = η + x f (t, ˆϕ(t))dt (x [, b[). Ha x [, a], akkor ˆϕ(x) = ϕ(x), így ˆϕ(x) = ϕ(x) = η + Ha x ]a, b[, akkor ˆϕ(x) = ψ(x), így x f (t, ϕ(t))dt = η + x f (t, ˆϕ(t))dt. ˆϕ(x) = ψ(x) = ϕ(a) + x a f (t, ψ(t)) dt = η + a f (t, ϕ(t))dt + x a f (t, ψ(t))dt = η + x f (t, ˆϕ(t)) dt, azaz, ˆϕ folytonos az a pontban és megoldása a (C) Cauchy-feladatnak a [, b[ intervallumon. 31

1.7.3. Definíció. Legyen D R R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R n függvény és (, η) D. Azt mondjuk, hogy a { y (C) = f (x, y) y() = η Cauchy-feladat ϕ: I R n megoldása D határától D határáig halad, ha tetszőlges K D kompakt halmaz esetén léteznek olyan 1, 2 I pontok, hogy teljesül. 1 < < 2 és ( 1, ϕ( 1 )), ( 2, ϕ( 2 )) K η 01 01 K D ϕ 1.7.8. Tétel. Legyen D R R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R n pedig egy folytonos, a második változójában lokális Lipschitz-feltételt teljesítő függvény. Ekkor tetszőlges (, η) D pont esetén a { y (C) = f (x, y) y() = η Cauchy-feladatnak létezik egy egyértelműen meghatározott D határától D határáig haladó megoldása. 1.7.1. Állítás. Legyen D R n R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R n olyan folytonos függvény, amely a második változójában folytonosan parciálisan differenciálható. Ekkor f a második változójában lokális Lipschitzfeltételt teljesít. 1.7.4. Definíció. Legyen I R egy valódi intervallum és F C(I). Azt mondjuk, hogy F ekvifolytonos a p I pontban, ha bármely ε > 0 esetén van olyan δ > 0 úgy, hogy ha x I olyan, hogy x p < δ, akkor minden f F esetén f (x) f (p) < ε teljesül. 1.7.1. Megjegyzés. Tetszőleges véges függvénycsalád az I bármely pontjában ekvifolytonos. 1.7.9. Tétel. Legyen S I egy sűrű halmaz, F = { f k k N} C(I) pedig egy ekvifolytonos függvénycsalád. Ekkor, ha minden x S esetén az ( f k (x)) k N sorozat konvergens, akkor minden x I esetén az ( f k (x)) k N sorozat is konvergens, továbbá a konvergencia az I intervallum minden kompakt részintervallumán egyenletes. 1.7.10. Tétel (Arzelà Ascoli). Legyen F = { f k k N} C(I) egy olyan ekvifolytonos függvénycsalád, mely minden I-beli pontban ekvikorlátos. Ekkor az ( f k ) k N függvénysorozatnak létezik olyan ( f ki )i N részsorozata, amely az I minden pontjában konvergens úgy, hogy ez a konvergencia az I minden kompakt részhalmazán egyenletes. 1.7.2. Megjegyzés. Az I = {p} esetben a fenti tétel éppen a Bolzano Weierstrass-féle kiválasztási tételt adja vissza. 32