1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai és a mértai közép közötti összefüggést kifejező tétel? A számtai és a mértai közép közötti egyelőtleség egy matematikai tétel, amely a1 +... + a szerit ha a 1..a em egatív valós számok, akkor a1... a teljesül, tehát szám számtai közepe legalább akkora, mit a mértai közepe. Egyelőség csak akkor lehet, ha a 1 = =a. 4. Írja le a szétválasztási aiómát! A,B R, (A,B ), ha a A, b B : a b R, hogy a b a A, b B. A B A B 5. Mit jelet az, hogy a H R halmaz iduktív? H R iduktív halmaz, ha H és ha h H h+1 H. Megjegyzés: Ha A,B R, A,B iduktív, akkor A B, A B halmazok is iduktívak. 6. Hogya értelmezi a természetes számok halmazát? R összes iduktív részhalmazáak közös része. Köv.: N:R legszűkebb iduktív részhalmaza, azaz H R iduktív N H. 7. Fogalmazza meg a teljes idukció elvét! Ha valamely, a természetes számok halmazára voatkozó állítás (i) teljesül =-ra, (ii) ha feltesszük, hogy teljesül -re, akkor belátható, hogy teljesül +1-re is, akkor ez a bizoyos állítás mide természetes számra teljesül.
8. Mikor va egy A R halmazak maimuma (miimuma)? Akkor modjuk, hogy a A R em üres számhalmazak va: miimuma: ha A, hogy A számra. maimuma: ha A, hogy A számra. Ezek jelölésére bevezetjük az =mia, =maa jelöléseket. 9. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy a A R halmazak ics miimuma. m A számhoz a A szám, melyre a<m 1. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy a A R halmazak ics maimuma. M A számhoz a A szám, melyre a>m 11. Mikor korlátos egy A R halmaz felülről (alulról)? Akkor modjuk, hogy A R számhalmaz: (i) felülről korlátos, ha K R A: K. (ii) alulról korlátos, ha k R A: k. 12. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy A R halmaz felülről em korlátos. K R számhoz a A szám, hogy teljesül a>k 13. Legye A R, R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy =sup A? A R (A ) sup A = (i) egy felső korlát: a A a (ii) a legkisebb felső korlát: K< : a A a>k 14. Legye A R, R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy =if A? A R (A ) if A = (i) egy alsó korlát: a A a (ii) a legagyobb alsó korlát: k> : a A a<k 15. Mit jelet az, hogy a valós számok halmaza redelkezik az Archimédeszitulajdosággal? Mide a és b pozitív valós számhoz létezik olya természetes szám, hogy b< a.
16. Modja ki a Cator-aiómát! Egymásba skatulyázott, em üres, zárt itervallumok megszámlálható redszeréek közös része em üres. 17. Mit jelet az, hogy az A és a B halmaz azoos számosságú? Ha létezik :A B bijektív leképezés. R =B, D =A. (Ha létesíthető a két halmaz között bijektív leképezés.) 18. Mit jelet az, hogy az A halmaz véges? Ha N, hogy A és N között bijektív leképezés létesíthető, ahol N :={k N k<} (N =,N 1 ={}, N 2 ={1,2} ) A halmaz számossága: A. 19. Mit jelet az, hogy az A halmaz megszámlálhatóa végtele? Ha A és N között bijektív leképezés létesíthető, akkor A megszámlálhatóa végtele számosságú. 2. Értelmezze két függvéy kompozícióját! Ha f:h K, g:k L (H,K,L R), akkor g f összetett függvéy alatt értjük azt a függvéyt, melyek értelmezési tartomáya H, hozzáredelési utasítása: g( f ( )) ( H) (g f: H L (g f)():=g(f()) ) 21. Mit jelet az, hogy egy :N R sorozat mooto övekedő? :N R mooto övekedő, ha N +1 22. Mit jelet az, hogy egy :N R sorozat em mooto övekedő? :N R em mooto övekedő, ha N > +1 23. Mit jelet az, hogy egy :N R sorozat korlátos? :N R korlátos: K>, hogy N K 24. Mit jelet az, hogy egy :N R sorozat em korlátos? :N R em korlátos: K> N >K
25. Mit jelet az, hogy egy v:n N számsorozat ide-sorozat? v:n N idesorozat, ha v <v +1 N /szigorúa mooto ő/ 26. Mit ért egy sorozat részsorozatá? Ha :N R és v:n N ide-sorozat, akkor v=(, N) sorozat az egy részsorozata. ν 27. Defiiálja a koverges számsorozatot kétféleképpe! Legye :N R egy valós számsorozat. a) Ha R szám, úgy, hogy bármilye köryezete a sorozat majdem mide elemét tartalmazza, azaz legfeljebb véges sokat em tartalmaz, akkor azt modjuk, hogy koverges sorozat. Logikai jelekkel: R, > : V:={ N K ε ( α) } véges halmaz b) koverges ha R, hogy >-ra N=N( ) N, ha >N akkor - < ( K ( )) 28. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy :N R sorozat em koverges! R > N N N, hogy bár >N, mégis α ε 29. Tegyük fel azt, hogy az A R szám mide köryezete az :N R sorozatak végtele sok tagját tartalmazza. Következik-e ebből az, hogy az sorozat koverges? (Válaszát idokolja!) Nem, mert em következik, hogy mide köryezete kívül véges sok tagja va a sorozatak, tehát lehet, hogy valamely köryezeté kívül is végtele sok tag va. Ekkor A torlódási pot és em feltétleül koverges. 3. Igaz-e az, hogy ha az sorozat koverges, akkor az :N R sorozat is koverges? (Válaszát idokolja!) Ige, mert ha L()> akkor egy küszöbidetől kezdve a sorozat tagjai pozitívak, tehát = L()=L( ). Ha L()< akkor egy küszöbidetől kezdve a sorozat tagjai kisebbek mit ulla tehát majdem mide -re =- L( )=-L(). Ha L()=, akkor a ulla tetszőleges kisköryezetébe végtele sok tagja va a sorozatak. Az abszolút érték em változtat a -tól való távolságo, tehát végtele sok tag marad a tetszőleges kis köryezete belül és véges sok azo kívül L()=L( )=.
31. Mi a kapcsolat a sorozatok kovergeciája és korlátossága között? Mide koverges sorozat korlátos, de em mide korlátos sorozat koverges. 32. Milye tételt ismer redőrelv éve?,y,z:n R számsorozatok és y z majdem mide -re, és C, z C L()=L(z) y C és L(y)=L()=L(z). 33. Modja ki a határérték mootoitására voatkozó tételt! Legyeek,y:N R sorozatok kovergesek. 1) Ha y majdem mide -re L() L(y). 2) L()<L(y) <y majdem mide -re. 34. Tegyük fel azt, hogy az,y:n R sorozatokra N, hogy eseté >y teljesül. Következik-e ebből az, hogy lim > lim y? (Válaszát idokolja!) Nem, mert ha L()=L(y) akkor lehetséges, hogy >L() mide N -re és y <L(y) mide N -re, ekkor >L()=L(y)>y, azaz >y majdem mide N -re, és lim = lim y 35. Milye tételt ismer mooto övekvő és korlátos sorozatok kovergeciáját és határértékét illetőe? Mide mooto övő korlátos sorozat koverges és L()=sup. 36. Hogya szól a Bolzao-Weierstrass-féle kiválasztási tétel? Mide korlátos sorozatak va koverges részsorozata. 37. Defiiálja a Cauchy-sorozatot! :N R sorozat Cauchy-sorozat, ha > számhoz N=N( ) N küszöbide, hogy ha,m>n - m < 38. Fogalmazza meg a sorozatokra voatkozó Cauchy-féle kovergecia kritériumot! :N R koverges > N=N( ) N, ha,m>n, akkor - m < 39. Mi a defiíciója aak a sorozatak, amelyek a határértékekét kapuk egy a> valós szám m-edik (m N,1<m) gyökét? Legye R + tetszőleges szám m N, m>1 >, ekkor az 1 α = + 1 ( m 1 m ) 1 defiícióál adott rekurzív sorozat koverges, és m 1 lim = m α
4. Mi a defiíciója aak, hogy egy valós számsorozat határértéke? R R számhoz N=N(R) N küszöbide, hogy ha >N, akkor >R 41. Mi a defiíciója aak, hogy egy valós számsorozat határértéke -? R R számhoz N=N(R) N küszöbide, hogy ha >N, akkor <R 42. Legye q R. Mit tud modai a (q, N) sorozatról kovergecia szempotjából? :=( q, N) a) ha q > 1 tágabb értelembe koverges és L()=. b) ha q = 1 =1 N kostas és L()=1. c) ha q <1 koverges és L()=. d) ha q -1 diverges. 43. Defiiálja az e számot! 1 lim 1 + : = e 2,71828... 1 Belátható, hogy az 1 + ( N* ) sorozat mooto ő és korlátos, tehát koverges is. 44. Milye tételt ismer mooto övő (és em feltétleül korlátos) sorozatok kovergeciáját és határértékét illetőe? Egy mooto övő sorozat vagy koverges és L()= sup vagy valódi diverges és L()=, azaz mooto övő sorozatokak va határértéke. 45. Mit ért egy sorozat alsó és felső határértéke alatt? :N R H : = { α R ν : id. sor., L( ν) = α } Felső határérték: limsup = lim = L( ) = ma H Alsó határérték: lim if = lim = L( ) = mi H 46. Mit ért végtele sor, illetve aak részletösszeg-sorozata alatt? Legye :N R számsorozat, akkor a = 1+ 2 +... + +... végtele sorak, az = S = formális összeget k 1 2... ( N * ) véges összeget a k = = = + + + végtele sor részletösszeg-sorozatáak evezzük.
47. Fogalmazza meg, mikor evezük egy sort kovergesek, illetve divergesek? A = sor koverges, ha a részletösszeg-sorozata koverges, diverges, ha a részletösszeg-sorozata diverges és = lim S. = def 48. Fogalmazza meg a Cauchy-féle kovergecia-kritériumot sorokra! A sor koverges > N=N( ) N, ha = m>>n, akkor m k= + 1 k < ε 49. Fogalmazza mag a végtele sorok kovergeciájáak egy szükséges feltételét! A sor koverges, akkor =. (Szükséges de em elégséges feltétel. ( ) = koverges (pl.: 1 )). = 1 5. Mit értük abszolút koverges sor alatt? Mi a kapcsolat a koverges és az abszolút koverges sorok között? = abszolút koverges, ha koverges. = Kapcsolat: (pl.: = abszolút koverges = = koverges. 1 ( 1) koverges de em abszolút koverges!) 51. Mit értük pozitív tagú soro? Modja ki az összehasolító kritériumot! A sor pozitív tagú, ha N. = Összehasolító kritérium: Legyeek,y:N R és y N: (i) (ii) Ha Ha diverges, akkor = = y koverges, akkor = y = is diverges (Miorás-kritérium). is koverges (Majorás-kritérium)
52. Ismertesse a Leibiz-kritériumot! Milye becslést adhatuk egy koverges Leibiztípusú sor kovergecia-sebességére voatkozóa? = ( ) 1 ( 1) Leibiz-típusú sor koverges, és s = ( 1), akkor = ( >, ( N)) (, N) mooto csökke), Leibiz típusú sor akkor és csakis akkor koverges, ha ( ). Kovergecia-sebességére va becslés: Ha N. S s 53. Modja ki a sorokkal kapcsolatos alapvető műveletek (összeadás, kostassal való szorzás) defiícióját, és a műveletek tulajdoságait! Def: A A = = Tétel: Ha és = y végtele sorok összege alatt a ( = = λ = végtele sor ( R) szerese alatt a = és R, akkor a ( + ) = λ = λα y végtele sorok kovergesek, és + y végtele sort értjük. ) α =, végtele sort értjük. β = y, és = = = y és a λ sorok is kovergesek és + y = α + β, = = = 54. Modja ki a sorok átredezhetőségére voatkozó tételeket! Def.: p:n N bijektív leképezéseket permutációak evezzük. Legye p:n N az N egy permutációja, és :N R számsorozat, ekkor a a p sort = sor egy átredezéséek evezzük. Ha egy sor abszolút koverges, akkor = átredezése is abszolút koverges, és összegük megegyezik. A em abszolút koverges sorokak létezik diverges átredezése. A feltételese koverges sorokak R számhoz létezik átredezésük, amiek összege. 55. Hogya szól a Cauchy-féle gyök-kritérium? Adott sor, ekkor vegyük az = sorozat felső határértékét, L:= limsup. 1) Ha L>1 diverges. = 2) Ha L<1 abszolút koverges. = 3) Ha L=1 akkor em tudjuk eldötei.
56. Ismertesse a Cauchy-féle kodezációs elvet! Adott a = sor, ahol > N és (, N) szigorúa mooto csökke. Ekkor sor ekvikoverges a 2 2 = = Példa: sorral. 1 1 1 sorral. ekvikoverges 2 = = 1 log = 1 2 log 2 = 1 57. Hogya szól a D Alambert-féle háyados-kritérium? Adott = sor. Tegyük fel, hogy ( N), és legye l:= lim if + 1 és legye L:= lim sup + 1 1) Ha L<1 2) Ha l>1 3) Ha l 1 L módszerrel. abszolút koverges. = diverges. = = -ről em tudjuk meghatározi a kovergeciáját ezzel a 58. Defiiálja két sor Cauchy-szorzatát! Mit tuduk modai két sor Cauchyszorzatáak összegéről? Legyeek = és = y végtele sorok, ekkor a = k= y k k végtele sort a két sor Cauchy-szorzatáak evezzük. Ha a két sor közül az egyik abszolút koverges, a másik meg feltételese (vagy abszolút), akkor a két sor Cauchy-szorzatáak az összege megegyezik az összegeik szorzatával: y = y k k = = = k=
59. Értelmezze, ábrázolja és jellemezze az abszolútérték-függvéyt! Def.: Abszolútérték függvéy. ha, függvéy, ( R), ahol = ha, < Jellemzés: Értelmezési tartomáy: D f =(- ;) Értékkészlet: R=[; [ Meete: 1) ] - ;] szig.mo.csökk. 2) [; [ szig.mo.ő. Paritás: páros Zérushely: Szélsőérték: mi.hely: mi.érték: ma.: - Korlátosság: alulról korlátos Felülről em korlátos 1. Értelmezze, ábrázolja és jellemezze az egészrész-függvéyt! Def.: Egészrész függvéy. [ ] függvéy, ( R), ahol []:= k R, melyre k k+ 1 Jellemzés: Értelmezési tartomáy: D f =R Értékkészlet: R=Z Meete: mooto ő Paritás: se em páros se em páratla Korlátosság: em korlátos Szélsőérték: ics Zérushely: [,1)
61. Értelmezze, ábrázolja és jellemezze a törtrész-függvéyt! Def.:Törtrész függvéy. -[] függvéy, ( R), ahol []=k, k Z, melyre k k+1 teljesül. Jellemzés: Értelmezési tartomáy : D f =R Értékkészlet: R=[,1) Meete: em mooto, de [k,(k+1)) (k Z) itervallumoko szigorúa mooto ő Paritás: se em páros se em páratla Korlátosság: korlátos, if(frac)=, sup(frac=1) Zérushely: -[]= Z Szelsőérték:mi.hely: Z, mi.érték: 62. Értelmezze, ábrázolja és jellemezze az előjel-függvéyt! Def.: Előjel függvéy. Sig: R {-1,,1} 1 ha > sig() függvéy, ( R), ahol sig( ) = ha = 1 ha < Jellemzés: Értelmezési tartomáy: D f =R Értékkészlet: R={-1,, 1} Meete: mooto ő Paritás: páratla Korlátosság: korlátos, sup sig=1, if sig=-1 Zérushely: = Szélsőérték: mi.hely: R, <, mi.érték:-1 ma.hely: R, >, ma.érték:1
63. Mit jelet az, hogy R torlódási potja az A R halmazak? Akkor modjuk, hogy az α elem (pot) az A R számhalmaz torlódás potja, 1) ha az α pot bármely köryezete végtele sok H-beli elemet tartalmaz, azaz ε > :K α H végtele halmaz. ε ( ) 2) ha létezik olya H-beli em stacioárius (stacioárius: csak véges sok egymástól külöböző tagja va) potsorozat, melyek határértéke az α pot. 64. Mit értük poliom és racioális törtfüggvéy alatt? Legyeek és a, a1,..., a adott számok. A P: P( ) = a + a1+... + a utasítással értelmezett P függvéyt poliomak evezzük. Legyeek P és Q valós együtthatós poliomok, ahol Q és jelölje ΛQ :{ λ Q( Λ ) = } a Q gyökeiek a halmazát. Az P( ) S: \ Λ Q : S( ) = utasítással értelmezett S függvéyt Q( ) racioális törtfüggvéyek evezzük. 65. Fogalmazza meg a torlódási pot fogalmát sorozatok segítségével! Akkor modjuk, hogy az α elem (pot) az A számhalmaz torlódás potja, ha létezik olya H-beli em stacioárius (csak véges sok egymástól külöböző tagja va) potsorozat, melyek határértéke az α pot. 66. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába, hogy az a valós szám em torlódási potja az A R halmazak! R em torlódási potja az A R halmazak, ha a) A ( N) szá msorozatra lim α, vagy ha b) ε > K ( ) ε α A= 67. Mit jelet az, hogy egy H R számhalmaz zárt? Írjo példákat! Def.: 1. H R halmaz zárt, ha {, N}, ( H) h-beli koverges számsorozat határértéke is H-hoz tartozik. 2. H R számhalmaz zárt, ha tartalmazza az összes véges torlódási potját. Példa: Legye α, β és tegyük fel, hogy α < β α, β =, α β számhalmaz zárt. [ ] { }
68. Mit jelet az, hogy egy H R számhalmaz yílt? Írjo példákat! Def.: H R halmaz yílt, ha h H-hoz r>, hogy K r (h) H. Példa: Legye α, β és tegyük fel, hogy α < β αβ, =, α < < β számhalmaz yílt. ( ) { } 69. Mit jelet az, hogy egy α szám a H R számhalmaz izolált potja? Írjo példát! { } H, H ' = H torlódási potjaiak a halmaza Ha α H, de α H ', akkor α izolált potja H halmazak. 7. Adja meg a végesbe vett véges határérték defiícióját! lim f ( ) = c, ahol,c R, H f:h R (H R) def ε > δ = δεα (, ) >, ha H és < α < δ akkor f( ) c < ε
71. Adja meg a végesbe vett plusz végtele határérték defiícióját! lim f( ) =, ahol R, H f:h R (H R), R R def δ = δ( R, α) > ha H és < α < δ, akkor f ( ) > R 72. Adja meg a végesbe vett míusz végtele határérték defiícióját! lim f( ) =, ahol R, H f:h R (H R), def r R δ = δ(, r α) > ha H és < α < δ, akkor f ( ) < r
73. Adja meg a plusz végtelebe vett véges határérték defiícióját! lim f ( ) = c, ahol f:h R H R H c R, ε > def M=M( ) R, ha H és >M f( ) c < ε 74. Adja meg a míusz végtelebe vett véges határérték defiícióját! lim f ( ) = c, ahol f:h R H R - H c R, ε > def m=m( ) R, ha H és <m f( ) c < ε
75. Adja meg a plusz végtelebe vett plusz végtele határérték defiícióját! lim f( ) =, ahol f:h R H R H, R R M=M(R) R, ha H és >M def f ( ) > R 76. Adja meg a plusz végtelebe vett míusz végtele határérték defiícióját! lim f( ) =, ahol f:h R H R H, r R M=M(r) R, ha H és >M f ( ) def < r
77. Adja meg a míusz végtelebe vett plusz végtele határérték defiícióját! lim f( ) =, ahol f:h R H R - H, def R R m=m(r) R, ha H és <m f ( ) > R 78. Adja meg a míusz végtelebe vett míusz végtele határérték defiícióját! lim f( ) =, ahol f:h R H R - r R m=m(r) R, ha H és <m H, def f ( ) < r
79. Legye az f valós-valós függvéy értelmezési tartomáyáak torlódási potja. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába, hogy az f-ek az 1 em határértéke a potba. ε > δ > szám eseté Df, hogy < < δ, de f( ) 1 ε 8. Defiiálja a valós függvéyek bal oldali határértékéek a fogalmát! f:h R (H R) H, ( R) Legye δ >, és tekitsük a függvéy H : = α H ( α δα, ) halmazra való leszűkítését! Ha α (H α ) és létezik a leszűkített függvéy határértéke az potba, akkor azt modjuk, hogy f-ek létezik potba a baloldali határértéke. 81. Modja ki a határértékre voatkozó átviteli elvet! lim f ( ) = c H f:h R, c def D f, ( N) számsorozatra, melyre α ( N), és α ( ), igaz, hogy f( ) c ( ). 82. Fogalmazza meg a jobb oldali határértékre voatkozó átviteli elvet! lim f ( ) = c f:h R, H, c α + def D f, ( N) számsorozatra, melyre > α ( N) és lim = α lim f ( ) = c 83. Fogalmazza meg az átviteli elv segítségével, hogy egy valós függvéy határértéke az 1-be 2! f:h R (H R) 1 H lim f( ) = 2 1 átv. elv H ( N) számsorozat, melyre 1 ( N), de lim = 1 teljesül, hogy lim f( ) = 2 84. Fogalmazza meg az átviteli elv segítségével, hogy egy valós függvéy határértéke a -be -! f:h R (H R) átv. elv H, lim f ( ) = H ( N) számsorozat, melyre ( ) f( ) ( )
85. Legye f:r R. Az átviteli elv segítségével fogalmazza meg, hogy lim f =! f:r R - R átv li m f( ) =. elv R ( N) számsorozatra, melyre ( ), teljesül, hogy ( ) f ( ) 86. Írja fel a függvéyek háyadosáak határértékére voatkozó tételt! f,g: H R H, ha létezik f-ek és g-ek határértéke az H potba, akkor az f g függvéyek is létezik határértéke -ba, és műveletek értelmezettek. f lim f ( ) lim ( ) =, feltéve hogy a jobboldalo álló g lim g( ) Nics értelmezve:, 87. Modja ki az összeadás és a határértékképzés kapcsolatát kifejező tételt! f,g: H R (H R) H, ha lim f ( )( = A) és lim g ( )( = B), akkor lim( f + g)( ), és lim( f + g)( ) = A+ B, feltéve, hogy a jobb oldalo álló műveletek értelmezettek. Nics értelmezve: 88. Írja fel a szorzatfüggvéy határértékére voatkozó tételt! f,g: H R (H R) H, ha lim f ( )( = A) és lim g ( )( = B), akkor lim( f g)( ) is, és lim( f g)( ) = A B, feltéve hogy a jobboldalo álló műveletek értelmezettek. Nics értelmezve: 89. Mit tud modai a poliomok véges, illetve végtele helye vett határértékéről? Poliomokak véges helye vett határértéke megegyezik a behelyettesítési értékkel: lim p( ) = p( ) ( R) Poliomok végtelebe vett határértéke főegyüttható egatív. p( ) = a + a +... + a ( R) a :főegyüttható 1, ha a főegyüttható pozitív, ±, ha a a i R i =, :együttható
9. Mit tud modai a racioális törtfüggvéyek véges, illetve végtele helye vett határértékéről? P ( ) Def.: S ( ) = ( R\ Q ) Q ={ R Q( )= } alakú függvéyeket Q ( ) racioális törtfüggvéyek evezzük, ahol P,Q poliomok. Határérték: Ha R\ Q, azaz Q, akkor Q ( ) =, mivel P,Q poliomok, ezért lim P ( ) = P ( ), lim Q ( ) = Q ( ) = P ( ) lim S( ) = alakú. Ha P ( ) =, akkor sorozattá alakítva a törtet le lehet egyszerűsítei, ha P ( ) akkor a jobb és baloldali határérték + vagy -, em feltétleül megegyező. P ( ) Ha R\ Q lim S ( ) = Q ( ) -be vett határérték:, ha deg Q>degP, ha degp>degq a b, ha degp=degq és a P, b pedig Q poliomok főegyütthatója.
91. Írja le a hatváysor defiícióját! Mit tuduk modai a hatváysor kovergeciatartomáyáról? Mit tud modai a hatváysor összegfüggvéyéek a határértékéről? Hatváysor def.: ( )... ( )... ( ) ( )( )(, ) a + a + + a + = a a a 1 = Kovergecia-tartomáy:, ha α = α : = limsup a : R: =, haα = 1, ha < α < α ( ) { } K : = < R, ha< R< A R ; K ( ) = ; K( ) = { } a ( ) hatváysor abszolút koverges a KR ( ) halmaz potjaiba, = az { > R} halmaz potjaiba diverges. (Az { = R} halmaz potjaiba em tudjuk általába a kovergeciát.) Összegfüggvéy határértéke: Def.: Tegyük fel hogy a ( ) KR f( ) : = = ( ) a hatváysor összegfüggvéyéek evezzük. = ( ) a Tétel: Ha f a a ( ) (, a ) ( R > ) = ( ) hatváysor R kovergecia sugara pozitív. A utasítással értelmezett függvéyt a akkor α K potba lim f ( ) = f( α) = a ( α ). R = hatváysor összegfüggvéye, (A hatváysor összegfüggvéyéek határértéke megegyezik a behelyettesítési értékkel.)