Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes árbevétel tehát TRP P DP P 1000. 10 Milyen árakra van értelmezve a üggvény? Milyen árak esetén növekszik a bevétel és milyen értékek esetén csökken? Milyen ár mellett lesz maimális a bevétel? Ha a bevétel növekszik, van-e olyan pontja a üggvénynek, ahol a növekedés mértéke csökkeni kezd, azaz szemléletesen van-e inleiós pontja? Vajon hogy nézhet ki a üggvény görbéje? A kérdések alapján szeretnénk minél több tulajdonságát leolvasni a üggvénynek Ebben a leckében összeoglaljuk, hogy egy átogó képhez milyen szempontok alapján vizsgálhatjuk a üggvényeket. Elméleti összeoglaló A teljes üggvényvizsgálatot a következő lépésekben végezzük: 1. Az értelmezési tartomány meghatározása.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein. 5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása. 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása. 7. Graikon rajzolása. 8. Az értékkészlet meghatározása. Kidolgozott eladatok: 1. eladat Végezzünk teljes üggvényvizsgálatot az üggvényen.
Megoldás 1. Az értelmezési tartomány meghatározása. Egy egyszerű polinomot ogunk vizsgálni. Mivel bármilyen valós számhoz tudunk helyettesítési értéket számolni, így a üggvény mindenütt értelmezve van, ezért D.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása. Egyrészt annak meghatározása, hogy a üggvény graikonja hol metszi az tengelyt. Ezeket a pontokat az 0 egyenlet megoldásai adják. Oldjuk meg tehát az 0 egyenletet. A megoldáshoz emeljük ki -et. 0, ami akkor teljesül, ha 0 vagy ha. Ebben a két pontban metszi tehát a graikon az tengelyt. Másrészt ide tartozik annak megállapítása, hogy a graikon hol metszi az y tengelyt. Ilyen persze csak akkor van, ha a nulla eleme az értelmezési tartománynak, ebben az esetben adja a keresett pontot. A mi esetünkben 0 0 0 0, a graikon tehát átmegy az origón.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. Ebben a pontban vizsgáljuk meg, hogy a üggvény páros-e vagy páratlan-e. Mindkettő az -t összetett üggvény képletének előállításával dönthető el. Ahhoz, hogy megkapjuk, az eredeti hozzárendelési utasításba helyettesítsünk be az helyére -t. Ennek eredményeként kapjuk, hogy. A üggvény akkor páros, ha ( szemléletesen, ha szimmetrikus az y tengelyre), de ez most nem teljesül. A üggvény akkor páratlan, ha (szemléletesen, ha szimmetrikus az origóra), de most ez sem teljesül, mivel. Függvényünk tehát se nem páros, se nem páratlan. 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein Egy üggvény értelmezési tartománya általában diszjunkt (véges vagy végtelen) intervallumok uniója. Ezeknek az intervallumoknak a végpontjaiban kell az intervallum előli egyoldali határértékeket kiszámítani. 0
Mivel a eladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza D R, intervallum széleit a és jelenti. Ezért két limeszt kell kiszámolnunk: lim lim 1, lim lim 1. 5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása., az Tudjuk, hogy lokális szélsőérték ott lehet, ahol ( ) 0. Elkészítjük tehát a derivált üggvényt., ( ) 6 Megoldjuk az ( ) 0 egyenletet. aminek a két gyöke 0, illetve. 6 0 0 A derivált gyökei beletartoznak az értelmezési tartományba, ezért szélsőérték helyek lehetnek. Tudjuk, hogy a derivált üggvény zérushelyei közül azok lesznek szélsőérték helyek, ahol a derivált üggvény előjelet vált. Készítsünk ezután egy táblázatot. Az értelmezési tartomány ennél a eladatnál a valós számok halmaza, azaz egyetlen összeüggő intervallum. A derivált üggvény zérushelyei ezt a intervallumot három részre bontja. A táblázat első sorában ezen intervallumokat és a derivált üggvény zérushelyeit tüntessük el. A második sorban majd azt jelezzük, hogy az adott intervallumon milyen előjelű a derivált. A deriváltüggvény előjelének eldöntéséhez minden intervallumból válasszunk ki egy-egy tetszőleges pontot, és helyettesítsük be az ( ) üggvénybe. A,0 intervallumból kivesszük mondjuk a 1-et, és ekkor azt kapjuk, hogy 1 1 6 1 9 0, ezért az egész intervallumon pozitív az első derivált előjele. A 0, intervallumból vegyük például az egyet, ekkor 1 intervallumon negatív a derivált üggvény előjele. Végül a, intervallumból válasszuk a hármat, ekkor intervallumon pozitív az első derivált előjele. 1 61 0. Az 6 9 0. Az Tudjuk, hogy ahol az első derivált pozitív, ott növekvő a üggvény, ahol negatív, ott csökkenő. A táblázat harmadik sorában ezt tüntetjük el.
;0 0 0; ; ( ) + 0-0 + nő lok. ma. csökken lok. min. nő Látjuk azt is, hogy mindkét zérushely esetén megvan a szükséges előjelváltás, tehát mindkettő valóban szélsőértékhely. Mivel nullában a derivált pozitívból vált negatívba, itt lokális maimum hely van. A kettőben a derivált előjele negatívból vált pozitívba, itt tehát lokális minimum hely van. Ki kell még számolni a lokális szélsőérték helyekhez tartozó helyettesítési értékeket, azaz a üggvény lokális maimum és a minimum értékét: 0 0 4 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása. Inleiós pont ott lehet, ahol ( ) 0. Állítsuk elő a második deriváltat: ( ) 6 6 Oldjuk meg a következő egyenletet: 6 6 0 Megoldásként 1 pontot kapjuk. Mivel ez a gyök benne van az értelmezési tartományban, ez inleiós pont is lehet. Tudjuk, hogy a második derivált zérushelyei közül az(ok) valóban inleiós pont(ok), ahol a második derivált előjelet vált. Ezt a szélsőértékeknél használt eljáráshoz hasonlóan lehet megvizsgálni. Az eredményeket most is egy táblázatba oglaljuk. A második deriváltnak most csak egy zérushelye van. Ez a pont két intervallumra bontja a teljes értelmezési tartományt. A táblázat első sorában ezt a elbontást és a második derivált zérushelyét tüntessük el. A második derivált előjelének vizsgálatához minden intervallumból válasszunk ki egy-egy pontot és helyettesítsük be az üggvénybe. A ;1 intervallumból vegyük ki a például a nullát, itt egész intervallumon negatív a második derivált. A második 1; intervallumból vegyük ki a kettőt, ekkor egész intervallumon pozitív a második derivált. 0 6 0 6 6 0, ezért az 6 6 6 0, tehát az Tudjuk, hogy ahol a második derivált pozitív, ott konve a üggvény, ahol negatív, ott konkáv. A második táblázat harmadik sora ezeket az inormációkat tartalmazza.
;1 1 1; 0 + konkáv inleiós pont konve Megvan tehát a szükséges előjelváltás, az 1 inleiós pont. Ki kell még számítanunk az inleiós ponthoz tartozó üggvényértéket: 1 1 1. 7. Graikon rajzolása. Az eddig megszerzett inormációkat elhasználva elvázolható a üggvény graikonja. Felvéve egy koordináta-rendszert, először a nevezetes pontokat jelöljük meg. (tengelymetszetek, szélsőértékek, inleiós pontok) Ezután vegyük igyelembe a határértékeket és a monotonitási viszonyokat. Végül, a konveitási inormációkat is igyelembe véve, rajzoljuk meg a graikont. 8. Az értékkészlet meghatározása. A (helyes) graikonról leolvasható az értékkészlet. R
. eladat Végezzünk teljes üggvényvizsgálatot az Megoldás 1. Az értelmezési tartomány meghatározása. A üggvény mindenütt értelmezve van, ezért D. üggvényen.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása. Egyrészt annak meghatározása, hogy a üggvény graikonja hol metszi az tengelyt. Ezeket a pontokat az 0 egyenlet megoldásai adják. Oldjuk meg tehát az 0 egyenletet. Egyszerű kiemelést alkalmazva ami akkor teljesül, ha 0, ugyanis az számok halmazán. 0, Mivel a nulla eleme az értelmezési tartománynak, ebben az esetben 0 0 0 0 A graikon tehát átmegy az origón.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. 0 egyenletnek nincs megoldása a valós 0 adja a keresett pontot. Ebben a pontban azt vizsgáljuk meg, hogy a üggvény páros-e vagy páratlan-e. Mindkettő az összetett üggvény képletének előállításával kezdődik.. A üggvény akkor páros, ha (tehát szimmetrikus az y tengelyre), de ez most nem teljesül. A üggvény akkor páratlan, ha (tehát szimmetrikus az origóra), ami most teljesül, mivel. 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein Egy üggvény értelmezési tartománya általában diszjunkt (véges vagy végtelen) intervallumok uniója. Ezeknek az intervallumoknak a végpontjaiban kell az intervallum előli egyoldali határértékeket kiszámítani. Mivel a eladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, ezért két limeszt kell kiszámolnunk: lim lim 1, D,
lim lim 1. 5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása. Tudjuk, hogy lokális szélsőérték ott lehet, ahol ( ) 0. Elkészítjük tehát a derivált üggvényt. ( ) Ott lehetnek lokális szélsőértékek, ahol az ( ) 0. Esetünkben 0 egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán, mivel egy pozitív számhoz, azaz kettőhöz mindig egy nemnegatív számot adunk, az eredmény csak pozitív lehet. Ez azt jelenti, hogy a üggvénynek nincs lokális szélsőértéke. Az ( ) üggvény tetszőleges valós szám esetén pozitív, amiből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az üggvény az egész értelmezési tartományon nő. 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása. Inleiós pont ott lehet, ahol ( ) 0. Állítsuk elő a második deriváltat: ( ) 6 Oldjuk meg a következő egyenletet: 6 0 Megoldásként 0 pontot kapjuk. Mivel ez a gyök benne van az értelmezési tartományban, ez az inleiós pont lehet. Tervezzük meg a táblázatot. Az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, és ezt az összeüggő intervallumot a második derivált üggvény zérushelye két részre bontja. A ;0 intervallumból vegyük ki a nullát, itt 1 intervallumon negatív a második derivált. A második 0; intervallumból vegyük a kettőt, ekkor intervallumon pozitív a második derivált. 6 1 60, ezért az egész 6 1 0, tehát az egész Tudjuk, hogy ahol a második derivált pozitív, ott konve a üggvény, ahol negatív, ott konkáv. A második táblázat harmadik sora ezeket az inormációkat tartalmazza. ;0 0 0; 0 + konkáv inleiós pont konve Megvan tehát a szükséges előjelváltás, a nulla inleiós pont. Ki kell még számítanunk az inleiós pont második koordinátáját:
0 0 0 0. 7. Graikon rajzolása. Az eddig megszerzett inormációkat elhasználva elvázolható a üggvény graikonja. Felvéve egy koordináta-rendszert, először a nevezetes pontokat jelöljük meg. (tengelymetszetek, szélsőértékek, inleiós pontok) Ezután vegyük igyelembe a határértékeket és a monotonitási viszonyokat. Végül, a konveitási inormációkat is igyelembe véve, rajzoljuk meg a graikont. 8. Az értékkészlet meghatározása. A (helyes) graikonról leolvasható az értékkészlet. R. eladat 1 Végezzünk teljes üggvényvizsgálatot az üggvényen. Megoldás
1. Az értelmezési tartomány meghatározása. Mivel nullával nem tudunk osztani, ezért vizsgáljuk, hogy 1 0 mikor teljesül. Mivel egy pozitív számhoz, azaz egyhez mindig egy nemnegatív számot adunk, az eredmény csak pozitív lehet. Így D.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása. egyenlet megoldása 0, ami az tengellyel vett metszetet adja, azonban Az 0 0 0 miatt, itt metszi a graikon a üggőleges tengelyt is.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. A üggvény paritását vizsgálva látjuk, hogy 1 1 tehát a üggvény páratlan. 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein, Mivel a eladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza ; D, ezért csak a végtelenekben kell kiszámolni a határértékeket. A számlálóból is és a nevezőből is kiemelve -et kapjuk, hogy 1 1 1 lim lim lim 0 1 1 1 1 1 Teljesen hasonlóan 1 1 1 lim lim lim 0 1 1 1 1 1 5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása. 1 1 1 1 ( ) A derivált nulla, ha a tört számlálója nulla, ez nyilván 1 és 1 esetén teljesül. Mindkét gyök az értelmezési tartományban van. Elkészítjük a táblázatot.
; 1 1 1;1 1 1; ( ) 0 + 0 csökken lok. min. nő lok. ma. csökken Az első intervallumból a A második intervallumból 0 -t helyettesítve. 5 -t helyettesítve 0 0 1 0. Végül a harmadik intervallumból -t helyettesítve 0. 5 Így kaptuk a második sor előjeleit. Látjuk, hogy az első derivált mindkét zérushelye esetén megvan az előjelváltás, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig a 1 lokális minimum hely, az 1 lokális maimum hely. 1 A minimum értéke 1, a maimum értéke (a páratlanság miatt is) 1 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása. 1 1 1 1 4 1 4 1 1 6 1 1 Az 0 1. egyenletnek most három megoldása van:, 0,. Mindhárom az értelmezési tartományban van. Most az alábbi táblázatot készíthetjük el. ; ;0 0 0; ; 0 + 0 0 + konkáv inleiós pont konve inleiós pont konkáv inleiós pont konve Az előjeleket, például, a következő számok behelyettesítésével kaphatjuk: az első tartományból válasszuk a 4, 15 -t, ekkor 0
a második tartományból a 1 a harmadikból az 1 -et, ekkor a negyedikből -t, ekkor -et, ekkor 1 1 0, 4 0. 15 4 1 1 0, 8 Látjuk, hogy a második derivált mindhárom zérushelye esetén megvan az előjelváltás, mind a három valóban inleiós pont. Az inleiós pontok üggvényértékei: 1,7 0,4 4 ; 0 0 és 1,7 0,4. 4 7. Graikon rajzolása. A graikont most is a nevezetes pontok berajzolásával kezdjük. Figyelembe véve a monotonitási és konveitási viszonyokat is, az alábbi ábrát kaphatjuk:
A határértékek azt mondják, hogy a üggvény a végtelenek elé hozzásimul az tengelyhez. Ügyeljünk a páratlanság érzékeltetésére, azaz arra, hogy a graikon az origóra szimmetrikus. 8. Az értékkészlet meghatározása. Az ábra alapján világos, hogy a üggvény a lokális minimuma és a lokális maimuma közötti értékeket veszi el, beleértve azokat is, tehát R 1 1 ;. 4. eladat Végezzünk teljes üggvényvizsgálatot az 1 üggvényen. Megoldás 1. Az értelmezési tartomány meghatározása. Mivel a nevezőben nulla nem lehet, így D \ 0 ;0 0;.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása.
Az 0 egyenletnek most két gyöke van: 1 és 1. Mivel a nulla nem eleme az értelmezési tartománynak, a graikon nem metszi a üggőleges tengelyt.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. 1 1 1 a üggvény tehát páratlan., 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein Az értelmezési tartomány két intervallumból áll, ezeknek négy széle van, négy limeszt kell tehát kiszámolnunk. (Valójában a páratlanság miatt csak kettőt.) Ezek: 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 0, 1 1 lim 0 1 1, 0 hiszen a számláló 1-hez tart, a nevező pedig nullához, de mindig negatív. lim 0 1 1, 0 a páratlanság miatt persze az előző limesz mínusz egyszerese, és végül 1 lim 0, most is igaz, hogy ez a mínusz végtelenben vett határérték mínusz egyszerese. 5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása. 1 6 6 6 4 Az 0 4 4 4 egyenlet megoldásai:,. Az első derivált mindkét zérushelye az értelmezési tartományba esik, meg kell őket vizsgálnunk. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza.
; ;0 0 0 + nincs értelmezve csökken lok.min. nő nincs értelmezve 0; ; + 0 nő lok.ma. csökken Az előjeleit rendre a következő helyettesítésekkel kaptuk: 1 16 Első intervallum: 0 Második intervallum: 1 0 Harmadik intervallum: 1 0 Negyedik intervallum: 1 0 16 Az első derivált mindkét zérushelyén előjelet vált, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig lokális minimum hely, lokális maimum hely. A lokális minimum értéke 0,8, a lokális maimum, a páratlanság miatt, ennek mínusz egyszerese, 7 0,8. 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása. 4 5 1 4 5 5 1 4 6 8 8 8 5 0 akkor és csak akkor, ha 6, 6. A második derivált mindkét zérushelye az értelmezési tartományba esik. A táblázatunk most az alábbi: ; 6 6 6;0 0-0 + nincs értelmezve konkáv inleiós konve nincs pont értelmezve 0; 6 6 6; - 0 + konkáv inleiós pont konve Az előjeleket, alkalmas számok behelyettesítésével meghatározhatóak. Azonban az előjelek megkaphatók a következő okoskodással is.
Egy tört előjelét kell kiszámolnunk. Ez akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyorma előjelű, akkor negatív, ha különböző előjelűek. A számlálóban egy másodokú kiejezés áll, amelynek képe egy elelé nyíló parabola, ez tehát a gyökein kívül pozitív, a gyökei között pedig negatív. A nevezőben álló hatvány, a páratlan kitevő miatt, negatív -ekre negatív, pozitívakra pozitív. Ezek alapján is megkaphatjuk a enti előjeleket. A második derivált mindkét zérushelye inleiós pont tehát. Az inleiós pontok második 5 koordinátái: 6 0,4, 6 0,4. 6 6 A nulla előtti és utáni darabon is más előjelű a második derivált, de a nulla persze nem inleiós pont, hiszen ott értelmezve sincs a üggvény. Jól mutatja ez azonban azt, hogy a 6 és 6 közötti részt nem lehet egy intervallumként szerepeltetni a ejlécben. 7. Graikon rajzolása. Az eddigiek igyelembevételével az alábbi ábrát rajzolhatjuk el:
8. Az értékkészlet meghatározása. R 5. eladat Végezzünk teljes üggvényvizsgálatot az ( ) ln( 1) üggvényen. Megoldás 1. Az értelmezési tartomány meghatározása. Mivel 1 0 minden valós -re, ezért D.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása. A üggvény graikonja és az y tengely metszéspontját az egyszerűbb meghatározni. Mivel a 0 eleme az értelmezési tartománynak, akkor csak be kell helyettesítenünk a üggvénybe. (A graikon az y tengelyt legeljebb egy pontban metszheti.) (0) ln(0 1) ln1 0 A graikon és az tengely több helyen is metszheti egymást. Ezen metszéspontok helyét az ( ) 0 egyenlet megoldásai adják, azaz ilyenkor a üggvény zérushelyeit határozzuk meg. Jelen esetben az alábbi egyenletet kell megoldanunk. ln( 1) 0 Tekintsük mindkét oldalt kitevőnek, s emeljük el az e számot a kitevőre.
e ln( 1) 0 A bal oldalon üggvény és inverze áll egy összetételben, így ott valójában csak az argumentum, azaz 1 áll. e 1 e 1 0 Ennek az egyenletnek pedig nyilvánvalóan csak az 0 a megoldása. A üggvénynek tehát most csak egy zérushelye van, és ez az 0. A üggvény graikonja tehát átmegy az origón, így egyetlen helyen van közös pontja az és az y tengellyel. Mivel korábban már kiderült, hogy (0) 0, így előre tudhattuk, hogy az 0 zérushely lesz. Az egyenlet megoldásával azt igazoltuk, hogy csak ez az egyetlen zérushely létezik.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. Mivel tudjuk, az 1 páros üggvény, s jelen esetben ez a belső üggvény egy összetett üggvényben, így sejthető, hogy üggvényünk páros lesz. Igazoljuk ezt. Egy üggvény akkor páros, ha ( ) ( ) minden D esetén. Ennek teljesülését kell ellenőriznünk. ( ) ln ( ) 1 ln 1 ( ) Ez minden D esetén teljesül, tehát valóban páros a üggvény. A graikonja így szimmetrikus lesz az y tengelyre. 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein. Mivel az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, így két határértéket kell csak vizsgálnunk, egyrészt a mínusz végtelenben, másrészt pedig a végtelenben. Mert összetett üggvény határértékét kell vizsgálnunk, így először a belső üggvény határértékét határozzuk meg, majd vesszük a külső üggvény határértékét azon a helyen, ahova a belső üggvény tart. Kihasználva, hogy lim 1 lim ln 1 Kihasználva, hogy lim 1 lim ln 1 Mivel a üggvény páros, így előre tudhattuk, hogy a mínusz végtelenben és a végtelenben meg og egyezni a határérték. 5. Monotonitás és szélsőérték vizsgálata. Deriváljuk a üggvényt. Az összetett üggvényekre vonatkozó szabályt használjuk. 1 1 ( ) 1 1 1 1
Oldjuk meg az ( ) 0 egyenletet. 0 1 Csak a számlálót kell vizsgálnunk, így a 0 egyenletet kapjuk, aminek nyilván 0 az egyetlen megoldása. Készítsük el a szokásos táblázatot. ;0 0 0; 0 + csökken lok.min. nő A minimum értékét megkapjuk, ha a üggvénybe 0 -t helyettesítünk. Mivel ezt már korábban megtettük, így tudjuk, hogy (0) 0. Nem csak áthalad tehát az origón a üggvény hanem itt lokális minimuma is van. A táblázatból az is látható, hogy ez a minimum nem csak lokális, hanem globális is, azaz a üggvény a teljes értelmezési tartományán itt veszi el a legkisebb értéket. 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása. Állítsuk elő a második deriváltat is. Most a törtekre vonatkozó szabályt kell alkalmaznunk. 1 1 1 ( ) Oldjuk meg az ( ) 0 egyenletet. 1 0 Ismét csak a számlálóval kell oglalkoznunk, így a 0 egyenletet kapjuk. Ebből az 1 egyenlet következik, aminek megoldásai 1. A második derivált előjelének vizsgálatakor nyilván csak a számlálóval kell oglalkozni, hisz a nevező biztosan pozitív. Mivel a olyan másodokú üggvény, amelyben a őegyüttható negatív, így a két gyök között vesz el pozitív, s a kisebb gyök előtt ill. a nagyobb gyök után negatív értékeket. Így az alábbiakat mondhatjuk. Ha 1, akkor ( ) 0.
Ha 1 1, akkor ( ) 0. Ha 1, akkor ( ) 0. Készítsük most el a konveitásról a táblázatot. ; 1 1 1;1 1 1; ( ) 0 + 0 konkáv inleiós konve inleiós konkáv pont pont Határozzuk meg az inleiós pontok második koordinátáit. Helyettesítsük a üggvénybe az inleiós pontok helyét, azaz a 1-et. Mivel a üggvény páros, így nyilván meg og egyezni a két helyen a üggvény értéke. ( 1) (1) ln(1 1) ln 0,69 7. Graikon rajzolása. Az eddig megszerzett inormációk alapján vázlatosan megrajzolhatjuk a üggvény graikonját. Először jelöljük meg a nevezetes pontokat a koordináta rendszerben. Ilyenek a tengelymetszetek, a szélsőértékek, és az inleiós pontok. Ezután elhasználva a határértékeket, a monotonitási és konveitási viszonyokat vázoljuk a graikont. Így az ábrán látható alakú graikont kapjuk. 8. Az értékkészlet meghatározása. Az ábráról leolvasható, hogy 0 a legkisebb érték, melyet elvesz a üggvény. Így a üggvény értékkészlete a következő: R 0;.