MATEMATIKA. elődás jegyzet Földtudomány és Környezettn lpszkos hllgtók számár Csomós Petr Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr, Mtemtiki Intézet Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 208
Trtlomjegyzék Bevezetés. Hlmzok 3.. Hlmzok megdás............................ 3.2. Számhlmzok............................... 4.3. Intervllumok................................ 6 2. Függvények 7 2.. Áltlános függvények............................ 7 2.2. Vlós függvények.............................. 3. Elemi függvények 3 4. Függvények htárértéke 5 4.. Végesben vett véges htárérték...................... 5 4.2. Végtelenben vett és nem véges htárérték............... 7 5. Differenciálszámítás 9 5.. A differenciálhánydos bevezetése..................... 9 5.2. A differenciálhánydos geometrii jelentése................ 2 5.3. Mgsbbrendű deriváltk......................... 22 5.4. A derivált kpcsolt függvény tuljdonságivl............ 23 6. Integrálszámítás 29 6.. A primitív függvény foglm........................ 29 6.2. Az integrál geometrii bevezetése..................... 3 6.3. Az integrál tuljdonsági.......................... 34 6.4. Az integrál kiszámítás Newton Leibniz-formulávl.......... 36 6.5. Improprius integrál............................. 38 7. Közönséges differenciálegyenletek 43 7.. Szétválszthtó típusú differenciálegyenlet................ 44 8. Többváltozós függvények 49 8.. Prciális deriváltk............................. 5 i
Bevezetés A jegyzet egy olyn egy féléves kurzus nygát fedi le, melynek célj különböző érdeklődésű hllgtók mtemtiki tudásánk zonos szintre hozás, és felkészítésük későbbi fizik és komolybb mtemtik kurzusokr. A későbbi tnulmányokhoz szükséges foglmkt összefüggően, egymásr épülve, ám bizonyítások nélkül vezetjük be. Vizsgáltunk középpontjábn föld- és környezettudományok számár elengedhetetlenül fontos mtemtiki objektum, függvény áll. Függvénnyel írhtó le egy ország hőmérséklete, egy bolygó domborzt, egy csillg grvitációs mezeje, de még részvények árfolymánk időbeli lkulás is. És mi még fontosbb: ezek megváltozását is egy-egy függvény dj meg. Az elődás jegyzet Mezei István, Frgó István, Simon Péter: Bevezetés z nlízisbe (Typotex Kidó, 204) egyetemi jegyzet lpján készült. Az ábrák sjnos még hiányoznk, megtlálhtók zonbn fent hivtkozott jegyzetben, illetve felrjzolom mjd z elődáson táblár. Mindenfjt visszjelzésnek ngyon örülök: csomos@cs.elte.hu
BEVEZETÉS Jelölések Az elődások során és jelen jegyzetben is előfordulhtnk olyn jelölések, melyek nem szerepeltek z eddigi tnulmányik során. Az lábbikbn összeszedjük ezeket, és egyegy példávl illusztráljuk hsználtukt. jelölés jelentése péld := definiáló A := {,, pingvin} egyenlőség z A hlmz elemei legyenek z, z és pingvin eleme x A vgy A x (egy hlmznk) x eleme z A hlmznk / nem eleme x / A (egy hlmznk) x nem eleme z A hlmznk létezik x R: x páros (vn, tlálhtó) létezik olyn vlós szám, melyik páros! létezik egyetlen! x R: x = 0 egyetlen olyn vlós szám létezik, melynek bszolútértéke null nem létezik x R: x 2 = nem létezik olyn vlós szám, melynek négyzete minden x 2 0 x R (tetszőleges, bármely) minden vlós szám négyzete nemnegtív = következik x R = x 2 0 = h egy szám vlós, kkor (bból következik, hogy) négyzete nemnegtív kkor és csk kkor x = 0 x = 0 (pontosn kkor) egy szám bszolútértéke kkor és csk kkor (pontosn kkor) null, h szám null szám 2
. fejezet Hlmzok A hlmzok mtemtik épületének lpkövei. Számunkr függvények mitt lesznek fontosk, hiszen egy függvény egy bizonyos hlmz elemeihez rendeli hozzá egy másik hlmz elemeit. A függvények vizsgáltához ismernünk kell hlmzok lptuldonságit... Hlmzok megdás Egy hlmzt kkor tekintünk dottnk/ismertnek, h minden dologról el tudjuk dönteni, hogy hlmzhoz trtozik-e vgy sem. Fontos foglom hlmzhoz trtozás foglm... Péld. A teremben ülő hllgtók hlmz jól definiált. A páros számok hlmz jól definiált. A finom ételek hlmz zonbn nem jól definiált, hiszen különböző z ízlésünk..2. Jelölés. Legyen A egy hlmz, x egy jól definiált dolog. Ekkor csk z lábbi két eset lehetséges: x A jelentése: x eleme z A hlmznk, x / A jelentése: x nem eleme z A hlmznk. Egy hlmzt többféle módon is megdhtunk: felsoroljuk z elemeit, például A := {, 2,, b}; tuljdonságokkl, például B := {x: x vlós szám és x 2 < 2}; más hlmzok segítségével lásd z lábbi definíciót..3. Definíció. Legyenek A és B hlmzok. Definiáljuk z lábbi hlmzokt. A = B egyenlők, h ugynzok z elemeik A B únió (egyesítés): A B := {x: x A vgy x B} A B metszet (közös rész): A B := {x: x A és x B} A \ B különbség: A \ B := {x: x A és x / B} üres hlmz: bármely x nem eleme z üres hlmznk 3
. HALMAZOK.4. Definíció. Legyen H hlmz és A H részhlmz. Az A komplementer hlmzánk z A := H \ A hlmzt nevezzük..5. Tétel (De Morgn-féle zonosságok). Legyen H hlmz, A, B H részhlmzok. Ekkor z lábbik teljesülnek: A B = A B A B = A B Vezessünk be rendezett pár foglmát z lábbi módon. Legyenek A, B hlmzok. Ekkor z A és b B tetszőleges elemekből lkotott (, b) párt rendezett párnk nevezzük. A rendezett pár fontos tuljdonság, hogy (, b) (b, ), vlmint hogy, 2 A és b, b 2 B elemek esetén (, b ) = ( 2, b 2 ) pontosn kkor teljesül, h = 2 és b = b 2..6. Péld. Legyenek A = {x, y, z} és B = {, 2}. E két hlmz elemeiből z lábbi rendezett párok állíthtók elő: (x, ), (x, 2), (y, ), (y, 2), (z, ), (z, 2)..7. Definíció. Legyenek A, B hlmzok. Ekkor z A B := {(, b): A, b B} hlmzt z A és B hlmzok Descrtes-féle szorztánk nevezzük. Az A B tehát z összes olyn rendezett párt trtlmzz, melyek z A és B elemeiből (ebben sorrendben) előállíthtók..8. Péld.. Az.6. Péld esetében A B = {(x, ), (x, 2), (y, ), (y, 2), (z, ), (z, 2)}. 2. Legyen A := R és B := R. Ekkor A B = R R =: R 2 = {(x, y): x R, y R} hlmz tehát olyn rendezett párokt trtlmz, melyek első és második tgj is egy vlós szám. A R 2 hlmz elemei tehát megfeleltethetők sík pontjink, hiszen zokt is két koordinát segítségével djuk meg..2. Számhlmzok A továbbikbn leginkább számokt trtlmzó hlmzokkl, zz számhlmzokkl fogunk fogllkozni. Az lábbikbn összefoglljuk, mely számhlmzok szerepelnek mjd ebben félévben: N := {, 2, 3,... } természetes számok hlmz N 0 := N {0} természetes számok és null Z := {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,... } egész számok hlmz Q := {x = p : p Z, q N} rcionális számok hlmz q Q = {pl. 2, π, ezek rcionális többszörösei, stb.} irrcionális számok hlmz R := Q Q vlós számok hlmz Már számoszi Pythgors (kb. i.e. 570 495) és tnítványi is tudták (bár leginkább titkolták), 4
.2. SZÁMHALMAZOK A továbbikbn korlátos számhlmzok foglmávl és jellemzésével ismerkedünk meg..9. Definíció.. Az A R hlmzt lulról korlátosnk nevezzük, h létezik olyn k R vlós szám, melyre teljesül, hogy k x minden x A esetén. (Azz z A hlmz összes eleme ngyobb k számnál vgy egyenlő vele. Figyelem: k nem feltétlenül eleme z A hlmznk.) Az ilyen tuljdonságú k szám elnevezése: z A hlmz egyik lsó korlátj (több is lehet). 2. Az A R hlmzt felülről korlátosnk nevezzük, h létezik olyn K R vlós szám, melyre teljesül, hogy x K minden x A esetén. (Azz z A hlmz összes eleme kisebb K számnál vgy egyenlő vele. Figyelem: K nem feltétlenül eleme z A hlmznk.) Az ilyen tuljdonságú K szám elnevezése: z A hlmz egyik felső korlátj (több is lehet). 3. Az A R hlmzt korlátosnk nevezük, h lulról és felülről is korlátos. 4. Az lulról korlátos A hlmz legngyobb lsó korlátját z A hlmz infimumánk nevezzük. Jelölése: inf A. 5. A felülről korlátos A hlmz legkisebb felső korlátját z A hlmz szuprémumánk nevezzük. Jelölése: sup A. 6. H inf A eleme z A hlmznk, kkor zt számot z A hlmz minimumánk nevezzük. Jelölése: min A. 7. H sup A eleme z A hlmznk, kkor zt számot z A hlmz mximumánk nevezzük. Jelölése: mx A..0. Péld.. Az A = N hlmz lulról korlátos, lsó korláti például:, 0,, π, 0 6, legngyobb lsó korlátj: inf A =, mely eleme hlmznk, tehát létezik min A =. Az N hlmz felülről nem korlátos, hiszen nem létezik olyn vlós szám, melynél hlmz elemei ( természetes számok) mind kisebbek lennének (vgy egyenlők vele). 2. Az A = {,,,,... } hlmz lulról és felülről is korlátos, zz korlátos hlmz. 2 3 4 Péld lsó korlátokr: 0,, 2, π, 0 6. Példák felső korlátr:, 2, π, 0 6. Legngyobb lsó korlátj: inf A = 0, mely nem eleme hlmznk. Legkisebb felső korlátj: sup A =, mely eleme hlmznk, tehát létezik mx A =. 3. Az A = {,,,,,... } hlmz lulról és felülről is korlátos hlmz, zz 2 3 4 5 korlátos hlmz. Példá lsó korlátr:,, 2, π. Példák felső korlátr:, 2, 2 00. Legngyobb lsó korlátj: inf A =, mely eleme hlmznk, tehát létezik 2 min A =. Legkisebb felső korlátj: sup A =, mely szintén eleme hlmznk, 2 tehát mx A =. hogy z egységnyi oldlhosszúságú négyzet átlójánk hossz nem írhtó fel rcionális számként, zz nincs olyn x Q, melyre igz, hogy x 2 = 2. Később kiderült, hogy jóvl több ilyen tuljdonságú szám vn (pl. 3, 5, π, stb.). Ezeket gyűjtjük z irrcionális számok Q hlmzáb. 5
. HALMAZOK.3. Intervllumok Definiáljunk két új dolgot z lábbi tuljdonságokkl... Definíció. Jelölje és + z lábbi tuljdonságú számokt (ámde nem vlós számok): x < + minden x R esetén, < x minden x R esetén, < +..2. Definíció. Legyen I R, x, x 2 I, x < x 2 pedig tetszőleges I-beli számok. Azt mondjuk, hogy z I hlmz egy intervllum, h minden x R, x < x < x 2 számr teljesül, hogy x I. (Tehát kkor nevezzük z I hlmzt intervllumnk, h tetszőleges x és x 2 elemére teljesül, hogy minden közöttük levő vlós szám is eleme I-nek.).3. Állítás. Legyenek, b R, < b. Ekkor z lábbi hlmzok intervllumok: [, b] := {x R: x b} [, b) := {x R: x < b} (, b] := {x R: < x b} (, b) := {x R: < x < b} [, + ] := {x R: x} (, + ] := {x R: < x} (, ] := {x R: x } (, ) := {x R: x < }.4. Jelölés. Vezessük be z lábbi jelöléseket: (, + ) = R (0, + ) = R + [0, + ) = R + 0 (, 0) = R (, 0] = R 0.5. Megjegyzés. Legyen R tetszőleges vlós szám. Az lábbi hlmzokt áltlábn nem tekintjük intervllumnk: [, ] = {} (, ) = tehát csk z elemet trtlmzó hlmz tehát z üres hlmz.6. Definíció. Legyen x R, ε > 0. Az x pont ε sugrú környezetén K ε (x) := (x ε, x + ε) nyílt intervllumot értjük. Azt mondjuk, hogy K(x) z x pont egy környezete, h létezik olyn ε > 0, melyre K(x) = K ε (x). 6
2. fejezet Függvények A föld- és környezettudományokbn előforduló legfontosbb mtemtiki objektum függvény. Ebben fejezetben tehát bevezetjük függvény foglmát, megvizsgáljuk függvények lptuljdonságit, és tnultkt igyekszünk minél több példávl illusztrálni. 2.. Áltlános függvények Legyenek X és Y tetszőleges hlmzok. Képzeljünk el egy gépet, melybe bedobunk egy x X dolgot, z pedig vlmilyen szbály lpján visszd nekünk egy y Y dolgot. 2.. Péld.. Legyen X mgyr költők hlmz, Y pedig női nevek hlmz. Építsük meg úgy gépünket, hogy z áltlunk megdott mgyr költő nevéhez z édesnyj keresztnevét rendelje hozzá. Írjunk ún. értéktábláztot: x Petőfi Sándor Arny János... y Mári Sár... Megdhtjuk-e Sherlock Holmest gépnek? Nem, hiszen nem mgyr költő. A gép csk mgyr költőkhöz tud bármit is hozzárendelni, Sherlock Holmest nem fogdj el, nem ismeri fel. 2. Legyen X megint mgyr költők hlmz és Y = N. Most zt kérjük géptől, hogy megdott mgyr költőhöz születési évszámát rendelje hozzá. Értéktáblázt: x Petőfi Sándor Arny János... y 823 87... Megfordíthtjuk-e gépet, vgyis egyértelműen hozzá tudunk-e rendelni egy évszámhoz egy drb mgyr költőt? Nem, hiszen egy dott évben több mgyr költő is születhetett. 7
2. FÜGGVÉNYEK 3. Legyen most X = N és Y = N, és kérjük zt géptől, hogy kpott természetes számok négyzetét dj vissz nekünk (zz gép z y = x 2 szbály lpján rendeli hozzá z y számot bedott x számhoz): x 2 3 4... y 4 9 6... Bedobhtjuk-e 0,23 számot gépbe? Nem, hiszen nem természetes szám, gép nem fogj tudni értelmezni, ő csk természetes számokt vár. 4. Legyen X = R és Y = R, és djuk meg gépnek z y = x + 5 hozzárendelési szbályt, zz kpott számhoz djon hozzá 5-öt: x 2 0 π... y 6 7 5 π + 5... Láthttuk, hogy gépnek két dologr volt szüksége, hogy végezni tudj dolgát: értelmezési trtományr és hozzárendelési szbályr. Amennyiben ezek rendelkezésére álltk, minden értelmezési trtománybeli x elemhez hozzá tudt rendelni hozzárendelési szbály lpján megfelelő y elemet. Vegyük észre, hogy kpott y elem függ ttól, hogy melyik x elemet dobtuk be gépbe. Az y tehát függvénye z x-nek. Fontos észrevétel volt még, hogy egy dott elemhez csk egy drb megfelelő y elemet tlált gép (csk egy édesnyj vn költőknek, csk egy drb évben születettek, számok négyzete is egyértelmű, és náluk 5-tel ngyobb számból is csk egy vn). Az sem volt mindegy, hogy z x elemhez rendeljük-e hozzá z y elemet, vgy fordítv: z (x, y) tehát egy rendezett pár. Ez lpján már definiálni tudjuk z lábbikt. 2.2. Definíció. Legyenek X, Y R hlmzok. Azt mondjuk, hogy z f X Y hlmz függvény, h bármely (x, y ) f és (x, y 2 ) f esetén y = y 2. (Azz olyn rendezett párokt trtlmz, melyek egy dott dologhoz nem rendelnek több különböző dolgot. Vgyis egy dologhoz pontosn egy dolgot rendelnek hozzá.) 2.3. Péld. Az nyák nevéhez gyermekeik nevét hozzárendelő gép nem függvény, hiszen egy nyánk több gyereke is lehet, így tehát egy ny nevéhez (x) több gyermek nevét (y) is hozzárendeli. 2.4. Jelölés. Állpodjunk meg z lábbi jelölésekben. Egy f X Y függvény esetén (x, y) f jelentése: z f függvény z x elemhez z y elemet rendeli hozzá, zz y z f függvény x helyen vett helyettesítési értéke. Jelölje ezt mostntól: y = f(x). Néh z lábbi jelölést is szoktuk lklmzni: f : x f(x), zz z f függvény z x elemhez z f(x) értéket rendeli hozzá (Például: f : x x 2 ). Az f X Y függvényt jelöljük mostntól így: f : X Y, zz z f függvény z X hlmzból z Y hlmzb képez. 8
2.. ÁLTALÁNOS FÜGGVÉNYEK 2.5. Definíció. Legyenek X, Y tetszőleges hlmzok.. Az f : X Y függvény értelmezési trtományánk z lábbi hlmzt nevezzük: D(f) := {x X : y Y : y = f(x)} X. (Az f függvény értelmezési trtomány tehát zon x X elemekből áll, melyekhez létezik olyn y Y, mit z f z x-hez rendel, zz y = f(x). Csk ezeket z elemeket dobhtom be gépbe.) 2. Az f : X Y függvény értékkészletének vgy képterének z lábbi hlmzt nevezzük: R(f) := {y Y : x X : y = f(x)} Y. (Az f függvény értékkészlete tehát zon y Y elemekből áll, melyekhez létezik olyn x X, mit z f z y-b képez, zz y = f(x). A gép ezeket z elemeket tudj csk kidni.) 2.6. Definíció. Legyen f : X Y függvény.. Az f : X Y függvényt szürjektívnek nevezzük, h R(f) = Y (zz képtere z egész tér). 2. Az f : X Y függvényt injektívnek nevezzük, h f(x ) = y és f(x 2 ) = y esetén x = x 2 (zz egy elemet nem rendelhet különböző elemekhez). 3. Az f : X Y függvényt bijektívnek (kölcsönösen egyértelműnek) nevezzük, h D(f) = X, f szürjektív és f injektív. Ekkor minden x D(f) elemhez létezik egyetlen y R(f) elem, melyre y = f(x). (Azz minden értelmezési trtománybeli elemhez hozzárendel vlmit z értékkészletből, méghozzá mindegyikhez különböző elemet.) 2.7. Állítás. Az f függvény pontosn kkor injektív, h x x 2 = f(x ) f(x 2 ), zz különbözőkhöz különbözőket rendel. 2.8. Jelölés. Legyen f injektív függvény és y = f(x). Ebben z esetben z x is kifejezhető, mint z y függvénye. Jelölje ezt visszfelé függvényt f, zz x = f (x). Ekkor f : Y X. Elnevezése: inverz függvény. 2.9. Péld. Legyen X = Y = R, D(f) = R és f(x) = 2x + 5. Ennek inverze z lábbik szerint számíthtó ki. Legyen f(x) = 2x + 5 = y. Innen kifejezhető x, mint z y függvénye: x = (y 5). Az f inverz függvénye tehát: f (y) = (y 5). Ellenőrizzük 2 2 le: f (f(x)) = 2 ( ) f(x) 5 = (2x + 5 5) = x, 2 zz f (f(x)) = x minden x D(f) esetén. (Vgyis h bedobunk x-et, és megfordítjuk gépet, z újr x-et d vissz.) 9
2. FÜGGVÉNYEK Vizsgáljuk meg z lábbi példákt. 2.0. Péld.. Legyen X Földön eddig élt emberek hlmz, Y = N, és f : X Y rendelje hozzá teremben levő hllgtókhoz születési évét. Ekkor f értelmezési trtomány teremben levő hllgtók hlmz, értékkészlete 208/209-es tnévben kb. {997, 998, 999, 2000}. Az f nem szürjektív, hiszen sok olyn természetesen szám vn még, melyik nem születési éve egyik hllgtónk sem. Az f nem is injektív, hiszen több olyn hllgtó is vn teremben, kik egy évben születtek. Az sem igz, hogy D(f) = X, hiszen nem minden eddig élt ember vn most teremben. Az f tehát nem is bijektív. 2. Tekintsük fenti X, Y hlmzokt, z f pedig rendelje hozzá teremben ülő hllgtókhoz személyi igzolványuk számát. Ez függvény injektív, hiszen különböző hllgtókhoz különböző számokt rendel. Viszont még mindig nem bijektív. 3. Legyen most X teremben levő hllgtók hlmz, Y pedig z ő személyi igzolványik számánk hlmz, f pedig fenti függvény. Ekkor f bijektív. 4. Legyen X = Y = R, f : x x. Ekkor D(f) = R = X, R(f) = R = Y (tehát szürjektív) és f injektív (f = f), zz f bijektív. 5. Legyen X = Y = R, f : x x 2. Ekkor D(f) = R = X, R(f) = R + 0 (tehát nem szürjektív) és f nem injektív, hiszen például z -hez és -hez is -et rendel hozzá ( 2 = ( ) 2 = ). 6. Legyen X = Y = R + 0, f : x x 2. Ekkor D(f) = R + 0 = X, R(f) = R + 0 = Y (tehát szürjektív) és f injektív (inverze f (y) = y), zz bijektív. 2.. Definíció. Legyenek X, Y, Z hlmzok, g : X Y, f : Y Z függvények. Az f és g összetett függvényének (kompozíciójánk) z lábbi f g-vel jelölt függvényt nevezzük: f g : X Z D(f g) := {x D(g): g(x) D(f)} (f g)(x) := f ( g(x) ) minden x D(f) esetén. 2.2. Péld.. Az f függvénynek és inverzének kompozíciój: (f f)(x) = f (f(x)) = x minden behelyettesíthető x esetén. 2. Legyenek f, g : R R, f(x) = x 2, g(x) = 2x +. Ekkor f g : R R és (f g)(x) = f ( g(x) ) = f(2x + ) = (2x + ) 2. 0
2.2. VALÓS FÜGGVÉNYEK 2.2. Vlós függvények Mostntól olyn függvényekkel fogunk fogllkozni, melyek vlós számokhoz vlós számokt rendelnek. Először z lptuljdonságikkl fogllkozunk. 2.3. Definíció. Legyenek f, g : R R függvények, λ R tetszőleges vlós szám, és definiáljuk z lábbi vlós függvényeket, zz megdjuk z értelmezési trtományukt és hozzárendelési szbályukt. függvény értelmezési trtomány hozzárendelési szbály λ f : D(λ f) := D(f) (λ f)(x) := λ f(x) f + g : D(f + g) := D(f) D(g) (f + g)(x) := f(x) + g(x) f g : D(f g) := D(f) D(g) (f g)(x) := f(x) g(x) : D( ) := D(g) \ {x D(g): g(x) = 0} ( ) g g g (x) := g(x) 2.4. Jelölés. Legyenek f, g : R R függvények. Tegyük fel, hogy Ekkor z f g H := D(g) \ {x D(g): g(x) = 0}. jelölés z f függvényt jelenti D( f ) = D(f) H értelmezési trtománnyl. g g Az lábbikbn defináljuk zokt foglmkt, melyek segítségünkre lesznek függvények vizsgáltábn. 2.5. Definíció. Legyen f : R R.. Azt mondjuk, hogy z f felülről korlátos függvény, h R(f) R felülről korlátos hlmz. 2. Azt mondjuk, hogy z f lulról korlátos függvény, h R(f) R lulról korlátos hlmz. 3. Azt mondjuk, hogy z f korlátos függvény, h R(f) R korlátos hlmz. 2.6. Definíció. Legyen I R intervllum és f : I R függvény.. Azt mondjuk, hogy f monoton növő z I intervllumon, h bármely x, x 2 I, x < x 2 esetén f(x ) f(x 2 ). 2. Azt mondjuk, hogy f szigorún monoton növő z I intervllumon, h bármely x, x 2 I, x < x 2 esetén f(x ) < f(x 2 ). 3. Azt mondjuk, hogy f monoton csökken z I intervllumon, h bármely x, x 2 I, x < x 2 esetén f(x ) f(x 2 ). 4. Azt mondjuk, hogy f szigorún monoton csökken z I intervllumon, h bármely x, x 2 I, x < x 2 esetén f(x ) > f(x 2 ).
2. FÜGGVÉNYEK 2.7. Definíció. Legyen f : R R.. Az f függvényt párosnk nevezzük, h minden x D(f) esetén x D(f), minden x D(f) esetén f( x) = f(x). 2. Az f függvényt pártlnnk nevezzük, h minden x D(f) esetén x D(f), minden x D(f) esetén f( x) = f(x). 3. Az f függvényt periodikusnk nevezzük, h létezik olyn p > 0 szám, melyre minden x D(f) esetén x + p, x p D(f), minden x D(f) esetén f(x + p) = f(x p) = f(x). A p szám z f függvény egyik periódus. A fenti tuljdonságok vizsgáltához segítséget nyújt függvény grfikonjánk ismerete. 2.8. Definíció. Legyen f : R R. Az lábbi G(f) := {( x, f(x) ) R 2 : x D(f), f(x) R(f) } R 2 hlmzt z f függvény grfikonjánk (gráfjánk) nevezzük. 2.9. Péld.. f(x) = x pártln, R-en szigorún monoton növő függvény 2. f(x) = x 2 páros, (, 0]-án szigorún monoton csökkenő, [0, + )-en szigorún monoton növő függvény 3. f(x) = x páros, (, 0]-án szigorún monoton csökkenő, [0, + )-en szigorún monoton növő függvény 4. f(x) = konstns páros, R-en monoton növő és monoton csökkenő, periodikus függvény (periódus minden p > 0) 5. f(x) = sin(x) pártln és periodikus függvény (legkisebb periódus 2π) 6. f(x) = cos(x) páros és periodikus függvény (legkisebb periódus 2π) 2
3. fejezet Elemi függvények Lásd fóliák! Léptethető verzió: www.mth.elte.hu/~csomos/mtek-elemifvek.pdf Nyomtthtó verzió: www.mth.elte.hu/~csomos/mtek-elemifvek-print.pdf 3
4. fejezet Függvények htárértéke A htárérték foglm önmgábn is érdekes és hsznos, nekünk zonbn leginkább derivált bevezetésénél lesz szükségünk rá. 4.. Végesben vett véges htárérték Tekintsük z lábbi függvényeket: f : R R f 2 : R \ {2} R f 3 : R { R f (x) = x + 2 f 2 (x) = x2 4 x + 2, h x 2 x 2 = x + 2 f 3(x) =, h x = 2 ábr ábr ábr Vizsgáljuk meg, hová esnek z x 0 = 2 pont körüli függvényekértékek (de x 2): f : x 2 = f (x) f (2) = 2 + 2 = 4, f 2 : f 2 nincs értelmezve 2 pontbn, de x 2 esetén f 2 (x) 4, f 3 : f 3 értelmezve vn 2 pontbn és f 3 (2) =, ámde x 2 (x 2) esetén f 3 (x) 4 f 3 (2). Láthtjuk, hogy z x 0 = 2 körüli pontok függvényértékei ttól függetlenül 4 körüliek, hogy z x 0 = 2 pontbn függvény milyen értéket vesz fel, vgy hogy egyáltlán értelmezve vn-e. A függvényértékek úgy érzik, hogy nekik 4 érték körül kell lenniük, zz 4-hez trtnk, mikor z x értékeket z x 0 = 2 értékhez közelítjük vgyis 4 htárértékük z x 0 = 2 pontbn. A fenti gondoltmenet csk olyn x 0 pontok esetén működik, melynek minden környezetében létezik D(f)-beli x elem, vgyis mely körül végtelen sok D(f)-beli pont vn (z nem bj, h x 0 / D(f)). Ezen pontok hlmzát D(f) hlmz torlódási pontjink hlmzánk nevezzük, és Ḋ(f)-fel jelöljük. A htárérték pontos definíciój z lábbi. 4.. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : R R függvénynek létezik htárértéke z x 0 Ḋ(f) (torlódási) pontbn, h létezik olyn A R vlós szám, melyre teljesül, hogy minden ε > 0 számhoz létezik olyn δ > 0 szám, hogy minden olyn x 0 -ll nem 5
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE egyenlő, de hozzá δ távolságnál közelebb levő x szám esetén f(x) szám kevesebbel tér el z A értéktől, mint ε. A 4.. Definíció röviden: zt mondjuk, hogy z f : R R függvénynek létezik htárértéke z x 0 Ḋ(f) pontbn, h létezik olyn A R vlós szám, hogy ε > 0 δ > 0: x D(f) \ {x 0 }, x x 0 < δ = f(x) A < ε. Környezetek hsználtávl pedig: zt mondjuk, hogy z f : R R függvénynek létezik htárértéke z x 0 Ḋ(f) pontbn, h létezik olyn A R vlós szám, hogy ε > 0 δ > 0: x D(f) K δ (x 0 ) \ {x 0 }: f(x) K ε (A). 4.2. Jelölés. Tegyük fel, hogy z f függvénynek létezik A htárértéke z x 0 pontbn. Ezt háromféleképpen is jelölhetjük: lim f = A vgy lim f(x) = A vgy f(x) x x 0 A. x0 x x0 4.3. Definíció. Egy f : R R függvényt folytonosnk nevezünk z x 0 D(f) pontbn, h lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), zz z x 0 pontbeli htárértéke megegyezik z x 0 pontbeli helyettesítési értékével ( felveszi htárértékét ). Jelölés: f C[x 0 ]. Legyen I R intervllum. H f folytonos minden x I pontbn, kkor jelölés: f C(I). 4.4. Péld. sin C(R), id 2 C(R), bs C(R), tg C( π 2, π 2 ) A htárérték tuljdonsági z lábbik. 4.5. Állítás. Legyenek f, g : R R függvények, λ R tetszőleges szám. Tegyük fel, hogy lim f = A, lim g = B. Ekkor igzk z lábbik: x0 x0 lim(λ f) = λ A, zz lim(λ f) = λ lim f x0 x0 x0 lim(f + g) = A + B, zz lim(f + g) = lim f + lim g x0 x0 x0 x0 lim(f g) = A B, zz lim(f g) = lim f lim g x0 x0 x0 x0 h B 0 : lim x0 g =, zz lim B x 0 g = lim g h B 0 : lim x0 f g = A f, zz lim B x 0 x0 lim f g = x0 lim g h f C[B] : lim x0 (f g) = f(b), zz lim x0 (f g) = f(lim x0 g) 4.6. Péld.. lim x 8 (x 8) = 0 PÉLDÁK! x0 6
4.2. VÉGTELENBEN VETT ÉS NEM VÉGES HATÁRÉRTÉK 4.2. Végtelenben vett és nem véges htárérték Definíciók nélkül. Végesben vett végtelen htárérték: lim x0 f = + lim f = x0 Végtelenben vett véges htárérték: lim f = A + lim f = A Végtelenben vett végtelen htárérték: lim f = + + lim f = + lim f = + lim f = 4.7. Példák. További példák gykorlton.. lim x x = 2. lim x 0 x = + 2 3. lim x + x = 0 4. lim x 0 x = + 5. lim x 0 000 6. lim x + 7. lim x x 2 x = 0 x = 0 = 8. lim x + x3 = + 9. lim x + x3 = 0. lim x x3 =. lim ln(x) = x 0 2. lim ln(x) = + x + 7
5. fejezet Differenciálszámítás Bevezetésképpen gondoljuk végig Richrd Feynmn (98 988) meriki fizikus történetét gyorshjtóról, kit megállít rendőr, és z lábbi párbeszéd zjlik le köztük: Álljon meg, megbüntetem! Az Ön sebessége meghldt mximálisn megengedett sebességet, és 90 km/h volt. Nem értem. Mit jelent z, hogy sebességem 90 km/h volt? Ez zt jelenti, hogy egy ór ltt 90 km utt tett meg. Oh, z lehetetlen, hiszen én csk 7 perce indultm el... 5.. A differenciálhánydos bevezetése Mi vjon értjük rendőr álláspontját? ór ltt 90 km utt tett meg 30 perc ltt 45 km utt tett meg 20 perc ltt 30 km utt tett meg 7 perc ltt 0,5 km utt tett meg perc ltt,5 km utt tett meg másodperc ltt 25 m-t tett meg.. Ezen időközök ltt átlgsebességet mérünk: átlgsebesség =. megtett út. időköz Jelölje s(t) t időpillntig megtett utt. Ekkor. t és t 2 időpillntok közötti átlgsebesség = s(t 2) s(t ) t 2 t. Mint fenti meséből kiderült, kármilyen közel is vn egymáshoz t és t 2, zz kármilyen kicsi is t 2 t, két időpillnt között z utós fékezhet vgy gyorsítht 9
5. DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁS mindenképpen csk átlgsebességet tudunk így számítni. Márpedig mi t időpillntbeli pillntnyi sebességre vgyunk kíváncsik, mi szemléletünknek megfelelően nem más, mint z átlgsebesség htárértéke, h egyre kisebb időközöket veszünk, zz h t 2 t. 5.. Definíció. Legyen f : R R dott függvény, x 0 D(f) tetszőleges (belső) pont. Az lábbi K f x 0 (x) := f(x) f(x 0) x x 0, x D(K f x 0 ) := D(f) \ {x 0 } függvényt z f függvény x 0 pontbeli különbségi hánydos függvényének nevezzük. A gyorshjtós péld esetén K f x 0 különbségi hánydos függvény z átlgsebességet írj le. Vizsgáljuk meg különbségi hánydos függvényt z lábbi függvények esetén. 5.2. Péld. Legyen f(x) = x 2 és x 0 = 0. Ekkor K f x 0 (x) = f(x) f(x 0) x x 0 = f(x) f(0) x 0 = x2 0 2 x 0 = x2 x = x, x 0. Legyen g(x) = x és x 0 = 0. Ekkor K g x 0 (x) = g(x) g(x 0) x x 0 = g(x) g(0) x 0 = x 0 x 0 = x { +, h x > 0 x =, h x < 0 Az f(x) = x 2 függvény esetében különbségi hánydos függvénynek létezik htárértéke z x 0 = 0 pontbn, ám g(x) = x függvény esetében nem! Mi különbség köztük? A prbol sim z x 0 = 0 pontbn, míg z bszolútérték-függvény grfikonjánk csücske vn ugynott. 5.3. Definíció. Legyen f : R R, x 0 D(f) (belső pont). Azt mondjuk, hogy z f függvény differenciálhtó z x 0 pontbn, h létezik htárértéke különbségi hánydos függvénynek z x 0 pontbn, zz h létezik f(x) f(x 0 ) lim R. x x 0 x x 0 5.4. Jelölés. H f differenciálhtó z x 0 pontbn: f D[x 0 ]. Legyen I R egy intervllum. H f differenciálhtó z összes x I pontbn: f D(I). 5.5. Definíció. H f D[x 0 ], kkor lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 vlós számot z f függvény x 0 pontbeli differenciálhánydosánk nevezzük. Jelölése: f (x 0 ) := lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. 5.6. Megjegyzés. f D[x 0 ] = f C[x 0 ]. Fordítv nem igz, lásd például f(x) = x (folytonos 0-bn, de nem differenciálhtó 0-bn). 20
5.2. A DIFFERENCIÁLHÁNYADOS GEOMETRIAI JELENTÉSE Vegyük észre, hogy f (x 0 ) értéke minden (megfelelő) x 0 pontbn kiszámíthtó, tehát ez is egy függvény. Elnevezése: derivált(függvény). 5.7. Péld. Az f(x) = x 2 differenciálhánydos egy tetszőleges x 0 pontbn: f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = lim x x0 x 2 x 2 0 x x 0 = lim x x0 (x + x 0 ) = 2x 0, zz f (x 0 ) = 2x 0, vgyis továbbr is x-et hsználv változóként: ez z f (x) = 2x függvény. Elemi függvények deriváltjánk táblázt. 5.2. A differenciálhánydos geometrii jelentése Példként rjzoljuk fel z f(x) = x 2 függvény grfikonját, és jelöljük be rjt z 5.. Definícióbn bevezetett x 0 pontbeli különbségi hánydost. Ábr! A Kx f 0 (x) = f(x) f(x 0) különbségi hánydos z ábrán láthtó háromszögben éppen tg α értékkel egyenlő, vgyis z (x 0, f(x 0 )) és (x, f(x)) pontokt összekötő szelő x x 0 meredekségével. Mi történik szelővel, h x x 0? Htárértékben éppen z f függvény grfikonjánk (x 0, f(x 0 )) pontjbeli érintőt kpjuk, z f (x 0 ) érték pedig z érintő merekekségét dj meg. 5.8. Következmény. Az f függvény x 0 pontbeli differenciálhánydos z x 0 pontbn z f függvény grfikonjához húzhtó érintő meredekségét dj meg. Az 5.2. Példábn láthttuk, hogy z x x 2 függvény differenciálhtó volt z x 0 = 0 pontbn, míg z x x függvény nem. Ugyn sok mindenben hsonló két függvény grfikonj (mindkettő páros, R 0 -on szigorún monoton csökkenő, R + 0 -on szigorún monoton növekedő függvény), z x 0 = 0 pontbn prbol sim, míg z bszolútértékfüggvény grfikonjánk csücske vn. Mivel derivált geometrii jelentése függvény grfikonjához húzhtó érintő meredeksége, láthtó, hogy z bszolútérték-függény grfikonjánk esetében z érintő billeg z x 0 = 0 pontbn, nem tudj eldönteni, merre álljon, így tehát egyértelmű meredeksége sincs. Az x x függvény tehát nem differenciálhtó z x 0 = 0 pontbn (megjegyezzük, hogy többi x 0 R \ {0} pontbn igen). A prbolánál zonbn szépen rá tud simulni z érintő z x-tengelyre megdv ezzel, hogy z x x 2 függvény x 0 = 0 pontbn differenciálhtó, és deriváltjánk értéke z x 0 = 0 pontbn 0. Ábr! 2
5. DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁS 5.9. Állítás. Legyenek f, g D[x 0 ] függvények, λ R tetszőleges szám. Ekkor igzk z lábbik: λ f D[x 0 ] és (λ f) (x 0 ) = λ f (x 0 ) f + g D[x 0 ] és (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) f g D[x 0 ] és (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ) f h g(x 0 ) 0 : D[x g 0] és ( ) f (x0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g g 2 (x 0 ) h f D[g(x 0 )] : f g D[x 0 ] és (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ) h f (x 0 ) 0, f : f D[f(x 0 )] és ( f )( f(x 0 ) ) = f (x 0 ) Bizonyítás. Példként mutssuk meg, hogy (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ): (f + g) (x 0 ) = lim x x0 (f + g)(x) (f + g)(x 0 ) x x 0 = A többi hsonlón bizonyíthtó. = lim x x0 f(x) + g(x) f(x 0 ) g(x 0 ) x x 0 = ( f(x) f(x0 ) = lim + g(x) g(x ) 0) = x x0 x x 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) = lim + lim = f (x 0 ) + g (x 0 ). x x0 x x 0 x x0 x x 0 5.3. Mgsbbrendű deriváltk Tekintsünk egy f : R R függvényt, mely differenciálhtó z I R intervllumon, zz f D(I). Jelölje z f függvény derivált függvényét f. Tegyük fel, hogy f is differenciálhtó z I intervllumon, zz f D(I). Most tekintsünk úgy z f függvényre, mint egy tetszőleges g függvényre, és tegyük fel, hogy g D(I). Ekkor természetesen létezik g függvény, mely tehát nem más, mint z f deriváltjánk deriváltj. Jelölje ezt f. Láthtó, hogy h f D(I), kkor létezik f, és így tovább. Tegyük fel, hogy létezik z f függvény k-dik (k N) deriváltj (zt szoktuk mondni, hogy z f függvény k-szor differenciálhtó); jelölje zt f (k). H f (k) D(I), kkor f (k+) := ( f (k)). Megállpodás szerint legyen f (0) := f. 5.0. Péld.. Legyen f(x) = e x, D(f) = R. Ekkor f D(R), sőt, f (k) D(R) minden k N esetén, és f (k) (x) = e x minden k N esetén. 2. Legyen f(x) = 3x 2 + x 6, D(f) = R. Ekkor f D(R), sőt, f (k) D(R) minden k N esetén. Továbbá f (x) = 6x +, f (x) = 6, és f (k) (x) = 0 minden k 3 esetén. 22
5.4. A DERIVÁLT KAPCSOLATA A FÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAIVAL 3. Legyen f(x) = x = x, D(f) = R +. Ekkor f D(R + ), sőt, f (k) D(R + ) minden k N esetén. Továbbá f (x) = x 2, f (x) = 2x 3, f (x) = 6x 4, f (4) (x) = 24x 5,..., f (k) (x) = ( ) k k! x (k+) minden k N esetén. 4. Legyen f(x) = ln(x), D(f) = R +. Ekkor f D(R + ) és f (x) =, mjd lásd előző x péld. 5.4. A derivált kpcsolt függvény tuljdonságivl Joggl merül fel kérdés, hogy mire hsználhtó függvény deriváltj. Ebben fejezetben pár lklmzást muttunk be. Az érintő egyenlete Az 5.8. Következményben már láttuk, hogy z f D[x 0 ] függvény x 0 pontbeli deriváltj z x 0 pontbn z f függvény grfikonjához húzhtó érintő meredekségét dj meg. Az érintő egy y = x + b egyenletű egyenes, hol z egyenes meredeksége, b pedig z z érték, hol z y-tengelyt metszi. Vjon meg tudjuk-e dni z és b számokt? Az 5.5. Definícióbn bevezetett derivált lkj f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Válsszunk most egy ε > 0 számot. Ekkor htárérték 4.. Definíciójából tudjuk, hogy ehhez ε > 0 számhoz létezik olyn δ > 0 szám, hogy h nnál közelebbi x értékeket válsztunk z x 0 -hoz (zz x x 0 < δ), kkor különbségi hánydos ε-nál kevesebbel tér el deriválttól, zz f(x) f(x 0 ) f (x 0 ) x x 0 < ε. Vegyünk tehát most olyn x pontokt, melyek δ-nál közelebb vnnk x 0 -hoz (zz x x 0 < δ), vgyis x x 0. Ekkor fentiek mitt f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0. Ezt átrendezve kpjuk, hogy f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) = f (x 0 ) x + ( f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 ). A fenti képlet zt jelenti, hogy z x 0 közelében z f függvény közelíthető egy y = x+b egyenletű egyenessel (z érintővel), hol z érintő meredeksége = f (x 0 ) (ezt vártuk), és z b = f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 értéknél metszi z y-tengelyt. Ábr! 23
5. DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁS A függvény z x 0 pont körül tehát közelíthető z x 0 pontbeli érintőjével. Nyilván minél távolbb vgyunk z x 0 ponttól, közelítés nnál rosszbb lesz, zz nnál ngyobb hibát vétünk, h z f(x) érték helyett z érintőből számított y(x) = f (x 0 ) x + ( f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 ) értéket vesszük. Mivel zonbn z érintő lineáris függvény, könnyű vele számolni, és ezért szokás nemlineáris függvényeket linerizálni és néh linerizáltjukkl számolni. 5.. Péld. Számítsuk ki z f(x) = sin(x) függvény x 0 = 0 pontbeli érintőjének z egyenletét! Azz djuk meg, melyik egyenessel közelíthető sin(x) értéke x 0 értékekre! Vgyis most linerizáljuk nemlineáris sin(x) függvényt. Az érintő egyenlete: y(x) = f (x 0 ) x+ ( f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 ) = cos(x0 ) x+(sin(0)+cos(0) 0) = x+(0+0 0) = x, zz sin(x) függvény z x 0 = 0 pont közelében z y(x) = x egyenletű, meredekségű, origón átmenő egyenessel közelíthető (vgyis mikor rjzoljuk, úgy indul, mint z identitás függvény grfikonj, z y = x egyenes). Monotonitási szkszok Mint zt rjzokon is láthtjuk, z érintő meredekségének (zz függvény deriváltjánk) előjeléből függvény növekedésére vgy csökkenésére következtethetünk. Legyen f D[x 0 ] és f (x 0 ) > 0. Ekkor f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 minden x x 0 esetén. Tekintsünk egy tetszőleges x < x 0 pontot z x 0 környezetében, ekkor x x 0 < 0, tehát fenti képletből zt kpjuk, hogy f(x ) f(x 0 ) < 0 (mivel f (x 0 ) > 0). Továbbá egy tetszőleges x 0 < x 2 pont esetén x 2 x 0 > 0, tehát fenti képletből f(x 2 ) f(x 0 ) > 0. Összességében: x < x 0 < x 2 esetén f(x ) < f(x 0 ) < f(x 2 ), vgyis z f függvény szigorún nő z x 0 pont környezetében. Az f (x 0 ) < 0 esete hsonlón láthtó. Sőt, visszfelé is igz. 5.2. Következmény. f (x 0 ) > 0 f szigorún monoton nő z x 0 környezetében f (x 0 ) < 0 f szigorún monoton csökken z x 0 környezetében Az is láthtó, hogy h z f függvény konstns z x 0 pont környezetében, kkor f (x) = 0 minden x x 0 esetén. Visszfelé zonbn nem igz: gondoljunk például z f(x) = x 2 függvényre, melyre f (0) = 0, ám függvény nem konstns x 0 = 0 közelében. 24
5.4. A DERIVÁLT KAPCSOLATA A FÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAIVAL Lokális szélsőértékek Legyen f : R R függvény. 5.3. Definíció.. Azt mondjuk, hogy z f függvénynek z x 0 D(f) (belső) pontbn lokális mximum vn, h z x 0 pontnk létezik olyn K(x 0 ) környezete, hogy minden x K(x 0 ) pont esetén f(x) f(x 0 ). 2. Azt mondjuk, hogy z f függvénynek z x 0 D(f) (belső) pontbn lokális minimum vn, h z x 0 pontnk létezik olyn K(x 0 ) környezete, hogy minden x K(x 0 ) pont esetén f(x) f(x 0 ). 3. H z f függvénynek z x 0 pontbn lokális mximum vgy lokális minimum vn, kkor z x 0 pontot z f függvény lokális szélsőértékhelyének (lokális mximumhelynek vgy lokális minimumhelynek) nevezzük, z f(x 0 ) értéket pedig lokális szélsőértéknek (lokális mximumnk vgy lokális minimumnk) nevezzük. 5.4. Tétel. H f D[x 0 ] és z f függvénynek z x 0 pontbn lokális mximum vgy lokális minimum vn, kkor f (x 0 ) = 0. Vigyázt: tétel megfordítás nem igz! Tekintsük például z f(x) = x 3 függvényt: f D[0] és f (x) = 3x 2, tehát f (0) = 0, holott f-nek 0-ben nincs lokális szélsőértéke. Egy függvénynek tehát zokbn pontokbn LEHETNEK (de nem biztos, hogy vnnk) szélsőértékei, hol függvény deriváltj null. Az lábbi tétel megmuttj, hogyn tudjuk leellenőrizni, hogy kpott pontokbn vlóbn vn-e szélsőérték. 5.5. Tétel. Tegyük fel, hogy z f függvénynek z x 0 lokális szélsőértékhelye. Ekkor h létezik f (x 0 ), kkor x 0 lokális mximumhely = f (x 0 ) < 0, x 0 lokális minimumhely = f (x 0 ) > 0. Mi történik f (x 0 ) = 0 esetben? Többek között ezt vizsgáljuk következő pontbn. A függvény lkj Legyen f : R R függvény. 5.6. Definíció. Az f függvényt konvexnek nevezzük z I R intervllumon, h függvény grfikonj minden x, x 2 I, x < x 2 esetén z (x, f(x )) R 2 és (x 2, f(x 2 )) R 2 pontokt összekötő húr ltt hld. Konkávnk nevezzük, h felette hld. 5.7. Definíció. Azt z x 0 D(f) pontot, hol z f konvexből konkávb (vgy fordítv) vált, inflexiós pontnk nevezzük. Ábr! 5.8. Állítás. Tegyük fel, hogy f D(I). Ekkor igzk z lábbik: f konvex I-n = f monoton növekedő I-n, f konkáv I-n = f monoton csökkenő I-n. 25
5. DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁS 5.9. Állítás. Tegyük fel, hogy f kétszer differenciálhtó z x 0 pontbn. Ekkor igz, hogy h x 0 inflexiós pont, kkor f (x 0 ) = 0. Vigyázt: z állítás fordítv nem igz. Tekintsük z f(x) = x 4 függvényt: f (x) = 4x 3, f (x) = 2x 2, zz f (0) = 0, holott z f függvény z egész R hlmzon konvex. 5.20. Állítás. Tegyük fel, hogy f kétszer differenciálhtó z I R intervllumon. Ekkor igzk z lábbik: f (x) > 0 minden x I esetén = f konvex I-n, f (x) < 0 minden x I esetén = f konkáv I-n. Függvényvizsgált A fenti meggondolásokt összefoglljuk z lábbi tábláztbn: x lok. min. hely lok. mx. hely f f 0 0 + f + + Tekintsük z f(x) = x 2 függvényt, és derítsünk ki ról mindent, mit csk lehet. (Természetesen tudjuk, hogy egy lefelé fordított, z origótól -gyel felfelé tolt prboláról vn szó.) Tengelyek Érdemes először megnézni, mely pontokbn metszi függvény koordináttengelyeket. Az x-tengellyel vett metszéspontokt zérushelyeknek nevezzük: f(x) = x 2 = 0, zz z x 0 = és z x 2 = + pontokbn metszi z x-tengelyt. Az y-tengelyt z y = f(0) = 0 2 = pontbn metszi. Szélsőértékek Az f függvénynek csk zokbn z x pont(ok)bn lehet (de nem biztos, hogy vn) lokális szélsőértéke, hol f (x) = 0: f (x) = 2x = 0 x = 0. Tehát csk z x 0 = 0 pontbn lehet szélsőértéke, de vjon vn-e? Ezt vizsgálhtjuk z f (x 0 ) szám előjelével: f(x) = x 2 f (x) = 2x f (x) = 2 f (0) = 2 < 0, tehát z f függvénynek vn lokális szélsőértéke z x 0 = 0 pontbn, méghozzá lokális mximum. Számítsuk ki lokális mximum értékét is: f(0) =. 26
5.4. A DERIVÁLT KAPCSOLATA A FÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAIVAL Htárértékek Érdemes megvizsgálni htárértékeket függvény érdekes helyein : ± -ben, továbbá minden olyn helyen, hol például függvény nincs értelmezve vgy nem folytonos. Jelen esetben f z utóbbikkl nem rendelkezik, így vizsgáljuk csk: lim ( x + x2 ) = lim ( x x2 ) = Monotonitás Vizsgáljuk meg monotonitást minden érdekes hely között (pl. hol f nincs értelmezve vgy nem folytonos vgy lokális szélsőértéke vn). Jelen esetben f-nek egy lokális mximumhelye vn, tehát megvizsgáljuk monotonitást tőle jobbr és blr (bár mivel mximumhely, ezért zt várjuk, hogy függvény tőle blr növekszik, jobbr pedig csökken). Mivel különböző (növekvő/csökkenő) monotonitási szkszokt lokális szélsőértékek válsztják el egymástól, elég minden szkszon egy pontbn megvizsgálni monotonitást. Helyettesítsünk be tehát egy-egy értéket z f (x) = 2x derivált függvénybe z x 0 = 0 ponttól jobbr és blr: f ( ) = 2 ( ) = 2 > 0 f (+) = 2 = 2 < 0 = f szigorún monoton növekedő (, 0)-n = f szigorún monoton csökkenő (0, + )-en Ábr! 27
6. fejezet Integrálszámítás Az előző fejezetben egy függvény deriváltjár voltunk kíváncsik, zz z egy dott f függvény esetén z f függvényt kerestük, mjd számítottuk ki és vizsgáltuk meg. Most fordítsuk meg gondoltmenetet: z dott f függvény esetén keressük meg zt F függvényt, melynek f deriváltj, zz melyre F = f összefüggés teljesül! 6.. A primitív függvény foglm Tekintsük z lábbi példát. 6.. Péld. Legyen f : R R, f(x) = x 2 függvény. Ennek deriváltj z f (x) = 2x függvény. De vjon melyik z F függvény, melynek deriváltj z f függvény? Könnyen láthtó, hogy F (x) = x 3 /3 esetében F = f összefüggés teljesül. Tláltunk tehát egy olyn F függvényt, melynek f deriváltj. Ez lpján definiáljuk primitív függvényt z lábbi módon. 6.2. Definíció. Legyen I R tetszőleges intervllum. Adott f : I R függvény esetén z olyn F D(I) függvényt, melyre F = f teljesül, z f függvény primitív függvényének nevezzük. Felmerül kérdés, hogy hány drb primitív függvénye létezik egy f függvénynek. A 6.. Példábn láttuk, hogy z f(x) = x 2 függvénynek F (x) = x 3 /3 függvény primitív függvénye. Vn-e zonbn még olyn F függvény, melynek deriváltj f(x) = x 2? Igen, méghozzá végtelen sok: bármely konstnst hozzádhtjuk z x 3 /3 tghoz, z összegük deriválj ugynúgy x 2 mrd (hiszen z összeg deriváltj deriváltk összege, konstns deriváltj pedig null): ( x 3 ) ( x 3 3 + c = 3 ) ( x + c 3 ) x 2 = = 3 3 3 = x2. 6.3. Következmény. H F primitív függvénye z f függvénynek, kkor bármely c R esetén F + c is primitív függvénye f-nek. (Megjegyezzük, hogy F +c id függvény helyett z egyszerűbb F +c jelöléssel éltünk.) 29
6. INTEGRÁLSZÁMíTÁS 6.4. Jelölés. Jelölje f z f függvény összes primitív függvényét. (Integrál f-nek mondjuk.) Az x változóvl kifejezve z f(x) dx jelölést lklmzzuk. Egyelőre nem tudjuk, hogy honnn jön z és dx jelölés, de nemsokár erre is fény fog derülni. Emlékezzünk vissz z 5. fejezetben bevezetett differenciálás műveleti tuljdonságir! Az 5.9. Állításbn bemutttuk, hogy z összeg deriváltj deriváltk összege, stb. Vjon érvényben mrdnk-e ezek tuljdonságok primitív függvény esetén is? Azz igz-e z, hogy két függvény összegének primitív függvénye két primitív függvény összege? 6.5. Állítás. Legyen I R tetszőleges intervllum, f, g : I R tetszőleges függvények, λ R pedig egy tetszőleges szám. Ekkor igzk z lábbik: (λ f) = λ f, (f + g) = f + g. (6.) Amennyiben f, g D(I) és f 0, kkor igzk z lábbi összefüggések is: (f g) = f g (f g ) prciális integrálás ( ) ( f g = f g) g helyettesítéses integrálás (6.2) f α f = f α+ α + + c hol α f f = ln f + c hol c egy tetszőleges vlós számot jelöl. tuljdonképpen z α = eset Vegyük észre, hogy deriválásr vontkozó, 5.9. Állításbn szereplő műveleti tuljdonságokhoz képest primitív függvényre csk két drb (6.) tuljdonság igz, vgyis konstnssl vló szorzásr és z összegfüggvényre vontkozó. A primitív függvényre vontkozó további összefüggések már csk bonyolultn számíthtók. Ez áltlábn is igz: egy függvény deriváltját meghtározhtjuk csk z 5.9. Állításbn szereplő műveleti tuljdonságok és z elemi függvények deriváltjink ismeretében, primitív függvény meghtározás zonbn sok gykorltot igényel. Integráltáblázt! 6.6. Péld. Adjuk meg z dott függvények összes primitív függvényét! Jelöljön c egy tetszőleges vlós számot.. x 2 π (6.) tuljdonságokkl (f(x) = x 2, g(x) = π, λ = ): (x 2 π) dx = x 2 dx π dx = x3 3 πx + c. 2. x e x prciális integrálássl (f (x) = e x f(x) = e x, g(x) = x): x e x dx = e x x e x dx = e x x e x + c. 30
6.2. AZ INTEGRÁL GEOMETRIAI BEVEZETÉSE 3. x cos(x 2 + ) helyettesítéses integrálássl (f(x) = cos(x), g(x) = x 2 + ): x cos(x 2 + ) dx = ( cos(x) dx ) (x 2 + ) 2 = 2 sin(x2 + ) + c. Megjegyezzük, hogy helyettesítéses integrálást gykorlti órákon ugyenezen elv lpján, kicsit másképpen, de nehezebb feldtok esetén is követhető módon fogjuk számítni. 6.2. Az integrál geometrii bevezetése Ebben fejezetben látszólg vlmi egészen másról lesz szó, mint miről eddig. Látni fogjuk zonbn, hogyn kpcsolódik témáj mégis primitív függvény foglmához. Az lábbikbn bevezetjük z integrál foglmát, mint egy dott intervllumon egy függvény görbe ltti előjeles területét. A levezetéshez fogdjuk el, hogy z > 0 lpú és m > 0 mgsságú tégllp területe előáll, mint lpszor mgsság, zz T = m. (6.3) 6.7. Péld. Legyen, m > 0 és tekintsük z f(x) = m konstns függvény görbe ltti területét z x [0, ] intervllumon. A függvény grfikonját felrjzolv láthtjuk, hogy z ltt lévő terület éppen egy lpú, m mgsságú tégllp területe, zz (6.3) lpján m. 6.8. Péld. Számítsuk z f(x) = x 2, x [0, ] függvény görbe ltti T területét! A grfikont felrjzolv egyelőre csk becslést dhtunk rá: T < 2. A 6.8. Példát így foglmzhtjuk át: mekkor H = {(x, y) R 2 : x [0, ], 0 y x 2 } hlmz területe? A H hlmz pontos területének kiszámítását kezdjük zzl, hogy első lépésben közelítjük H hlmzt egy olyn lkzttl, melynek ki tudjuk számítni területét zz tégllpokkl. Ehhez osszuk fel [0, ] intervllumot n N drb egyenlő részre! A prbol ltti területet pedig közelítsük részintervllumokr függvényérték mgsságábn emelt tégllpok területeinek összegével. A tégllpok területeinek számításához tudnunk kell minden egyes tégllp lpjánk hosszát és mgsságát. A tégllpok hossz részintervllumok hossz. Mivel z hosszúságú [0, ] intervllumot n részintervllumr osztottuk fel, részintervllumok hossz minden esetben. A tégllpok mgsságát z f függvény osztópontokbn n felvett értékei htározzák meg. Az osztópontokt jelölje x j [0, ], j = 0,..., n. Az első osztópont bl oldli végpont, zz x 0 := 0. Már láttuk, hogy részintervllumok hossz ( tégllpok lpj) minden esetben. A második osztópont tehát z x n =, és minden további távolságr vn z n n 3
6. INTEGRÁLSZÁMíTÁS előzőtől. Az utolsó osztópont mg jobb oldli végpont, zz x n = n. Összességében tehát x j = j n minden j = 0,..., n esetén. Ezen x j osztópontokbn függvény értéke z f(x) = x 2 hozzárendelési szbályból számíthtó: f(x j ) = x 2 j = j 2 n. 2 Minden j =,..., n esetén j-dik tégllp T j területe tehát így kphtó: T j = (x j x j ) }{{} lp j= j= f(x j ) = }{{} n j2 mgsság j= n 2 = j2 n 3. A tégllpok területeinek összege n n j 2 σ n = T j = n = n j 2 = n(n + )(2n + ) 3 n 3 n 3 6 = 2n2 + 3n + 6n 2, hol felhsználtuk z első n drb négyzetszám összegére vontkozó formulát. A fenti képlet tehát zt jelenti, hogy h n drbr osztjuk [0, ] intervllumot, kkor H hlmz területét σ n számml közelítjük. Tekintsük most zt z A hlmzt, melynek elemei fenti σ n számok minden n N indexre: { } 2n 2 + 3n + A := {σ, σ 2, σ 3,... } = {σ n, n N} =, n N. 6n 2 Az A hlmz tehát H hlmz területét közelítő számokt trtlmzz. Melyik lesz ezek közül legjobb közelítés? Sjnos egyik n indexre sem kpunk pontos értéket, mindig csk közelítést. Mivel tégllpok mgsságit mindig hozzátrtozó részintervllum jobb oldli osztópontjábn felvett függvényérték htározz meg, tégllpok területeinek összege mindig ngyobb H hlmz területénél. Tehát σ n számok mindegyike felülről becsli keresett területet. Úgy tűnik, hogy legkisebb σ n számot keressük. Mivel zonbn végtelen sok σ n szám vn, vlójábn z A hlmz infimum dj meg H hlmz T területét, zz T = inf A. (Megjegyezzük, hogy itt vlójábn (σ n ) sorozt végtelenben vett htárértékéről vn szó.) Ez kiszámolhtó, és z lábbi érték dódik: T = 3. Joggl merül fel kérdés, hogy vjon ugynezt kpjuk-e kkor is, h tégllpok meglkotásánál bl oldli osztópontokbn vesszük függvényértékeket. Ekkor hsonló meggondolások és számolások után z lábbikt kpjuk: T j = n f(x j ) = n x2 j = n (j (j )2 )2 =, j =,..., n n2 n 3 n n (j ) 2 σ n = T j = = 2n2 3n +, n N. n 3 6n 2 j= j= 32
6.2. AZ INTEGRÁL GEOMETRIAI BEVEZETÉSE Ebben z esetben zonbn σ n számok lulról közelítik keresett T területet, tehát z A := {σ n, n N} hlmz szuprémumát keressük, mi pedig szintén 3. Jelölje A felső és A lsó felső, vlmint z lsó közelítésekből kpott hlmzokt. A fenti példábn teljesül, hogy inf A felső = sup A lsó. (6.4) Amennyiben egy lkzt T területét keressük, kkor természetesen elvárjuk, hogy z szám egyértelmű legyen, vgyis értéke ne függjön kiszámításához lklmzott közelítések módjától. Ezt fejezi ki (6.4) összefüggés. Megjegyezzük, hogy bl és jobb oldli osztópontokbn vett függvényértékek helyett vehetjük bl és jobb oldli osztópontok átlgértékében (középpontokbn) vett függvényértékeket is. Ekkor T j = n f ( xj + x j 2 ) minden j =,..., n esetén. Megmutthtó, hogy ebben z esetben is T = 3 eredményt kpjuk. Az integrál foglmánk bevezetéséhez áltlánosítsuk fenti ötletet! Áltlánosítás Legyen f : [, b] R tetszőleges függvény (nem feltétlenül folytonos). Legyen továbbá tetszőleges n N esetén τ := {x 0, x, x 2,..., x j, x j, x j+,..., x n } z [, b] intervllum egy tetszőleges felosztás, hol = x 0 < x < x 2 < < x n < x n = b, zz részintervllumok hossz nem feltétlenül. Vezessük be továbbá z lábbi jelöléseket minden j =,..., n n esetére: m j := inf{f(x): x [x j, x j ]}, M j := sup{f(x): x [x j, x j ]}. (Minden részintervllumon megkeressük tehát legkisebb/legngyobb függvényértéket, és z lesz z zon részintervllumhoz trtozó tégllp mgsság.) Megjegyezzük, hogy folytonos f függvény esetén infimum helyett minimum, supremum helyett pedig mximum vehető. Ekkor z f függvény τ felosztáshoz trtozó n lsó közelítő összege: στ lsó := m j (x j x j ), felső közelítő összege: σ felső τ := j= n M j (x j x j ). j= Weierstrss tétele szerint egy korlátos és zárt intervllumon értelmezett folytonos függvény felveszi mximumát és minimumát. 33
6. INTEGRÁLSZÁMíTÁS Definiáljuk z lábbi hlmzokt: A lsó := {στ lsó számok z összes lehetséges τ felosztás esetén}, A felső := {στ felső számok z összes lehetséges τ felosztás esetén}. 6.9. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : [, b] R függvény integrálhtó z [, b] intervllumon, h z [, b] intervllum bármely τ felosztás esetén teljesül, hogy inf A felső = sup A lsó. 6.0. Jelölés. H z f függvény integrálhtó z [, b] intervllumon: f R[, b] (Riemnn-integrálhtó). Ebben z esetben inf A felső = sup A lsó =: b f. Az b f R szám elnevezése: z f integrálj -tól b-ig (kiolvsv: integrál -tól b-ig f). 6.. Következmény. Az f függvény görbéje és z x-tengely [, b] intervllum közötti lkzt területe tehát b f. Megjegyezzük, hogy h z f görbéje z x-tengely ltt hld, kkor zon rész területe negtív. Ezért előjeles területről beszélünk. Ábr! 6.3. Az integrál tuljdonsági Az lábbikbn bizonyítás nélkül közöljük 6.9. Definícióbn bevezetett integrál tuljdonságit. Legyenek, b R tetszőleges vlós számok. 6.2. Állítás. Egy folytonos függvény integrálhtó is, zz f C[, b] f R[, b]. 6.3. Állítás. Legyen f R[, b]. Ekkor helyettesítéses integrálll beláthtó z lábbi összefüggés: b f = b f. Azz h visszfelé integrálunk, kkor terület ellentettjét kpjuk. 6.4. Megjegyzés. Egy pont feletti integrál null, zz f = 0. 6.5. Állítás. Legyenek < b < c vlós számok és λ R. Ábrák! 34
6.3. AZ INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI. H f R[, b] és f R[b, c], kkor f R[, c], továbbá b f + c f = c b f. 2. H f R[, b], kkor λf R[, b], továbbá b λ f = λ b f. 3. H f, g R[, b], kkor f + g R[, b], továbbá b (f + g) = b f + b g. 4. H f, g R[, b] és f(x) g(x) minden x [, b] esetén, kkor b f b g. 5. H f R[, b], kkor f R[, b], továbbá b b f f. Ábr! Szemléletesen láthtó, hogy kármilyen grfikonú folytonos függvény esetén tudunk tlálni egy olyn mgsságot, mit behúzv ugynolyn területű tégllpot kpunk, mint függvény görbe ltti területe. És mindig létezik olyn szám, mihez trtozó függvényérték éppen ezt mgsságot dj. Erről szól z lábbi tétel. 6.6. Tétel (Integrálközépérték-tétel). Legyen f C[, b]. Ekkor létezik olyn c [, b] szám, melyre teljesül z lábbi összefüggés: b f = f(c) (b ). Az f(c) = b f/(b ) számot z f függvény integrálközepének nevezzük (ez éppen tégllp mgsság). Most már csk zt kell megvizsgálnunk, hogyn lehet kiszámítni z b f integrált, zz z f függvény görbe ltti előjeles területét. Ezzel fogllkozunk következő fejezetben. 35