Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú ( D valós függvéy, taulmáyozzuk a függvéy viselkedését az pot körül, vagyis állapítsuk meg, mi törtéik a függvéy értékeivel, ha az argumetum az -hoz közeledik Vajo a függvéy értékei is mide határo túl közeledek-e valamely véges l számhoz vagy a végtelehez? Potosabba: Az ( tetszőleges sorozatot tekitve, ahol,, lim = és ( D (D a függvéy értelmezési tartomáya, taulmáyozzuk, hogy a függvéyértékek ( f ( sorozataiak va-e egy közös l határértéke, ha közbe változtatjuk a sorozatot? Megjegyzés Világos, hogy az,, lim = tulajdoságú sorozat potosa akkor létezik, ha torlódási potja a D értelmezési tartomáyak, ezért a függvéy határértékéről csak az értelmezési tartomáy torlódási potjaiba beszélhetük Példák,ha ; Adott az f : függvéy, ahol f ( = vagy, ha = ;,ha \{, } ; f = = eseté ha lim = és,, ha {, } ±, akkor f ( = = és a koverges sorozatokkal ( ( + + végezhető műveletek tulajdoságai alapjá lim f ( = = Ha az lim + = potot tekitjük az ±, és lim = feltételekből, f ( = = ( ( + + Ez a sorozat em koverges, és határértéke sem létezik, mert a evező lehet pozitív is és egatív is és -hoz tart, tehát a tört egyarát felvehet -hez és -hez közeli értékeket Az előbbiek alapjá az = pothoz létezik egy olya l szám, amelyre a lim = és ( D feltételekből következik, hogy lim f ( = l
7 Függvéyek határértéke Az = pothoz em található ilye tulajdoságú l szám Ugyaakkor látható, hogy ha a D halmaz csak > vagy csak < értékeket tartalmaza, akkor az ( f ( sorozatak lee határértéke A mellékelt ábrá a függvéy grafikus képe látható Erről is leolvashatjuk az előbbi eredméyt, általába azoba a grafikus kép jellemzőit fogjuk előbb meghatározi, és csak azutá ábrázoljuk azt y 9 ábra Legye f : \ { }, f = és taulmáyozzuk a függvéyt az = pot köryezetébe D, de = a D halmaz torlódási potja Ha és lim =, akkor az evező tart ullához, de > és ezért lim f ( = lim = + Értelmezzük az f : D ( D függvéy határértékét a D értelmezési tartomáy torlódási potjába Értelmezés Azt modjuk, hogy az f : D függvéyek létezik a D halmaz torlódási potjába határértéke és ez l, ha tetszőleges D,,, és lim = sorozat eseté a függvéyértékek ( f ( sorozatáak va határértéke és lim f ( = l (vagy f ( Jelölés Azt, hogy a függvéy határértéke az l, ha potba l a lim f = l szimbólummal jelöljük és limesz tart -hoz f ( egyelő l -ek olvassuk Megjegyzések Figyelembe véve a sorozatok határértékéek értelmezését a következő kritériumot fogalmazhatjuk meg:
Függvéyek határértéke 7 Köryezetes értelmezés A lim f = l egyelőség potosa akkor teljesül, ha az l szám mide V V ( l köryezetére létezik az -ak olya U V ( köryezete, amelyre teljesül az alábbi implikáció: U \{ } f V Bizoyítás Először igazoljuk a feltétel elégséges Legye ( egy olya sorozat, amelyre D \{ }, és lim = Tetszőleges ε > eseté a V = ( l ε, l + ε köryezetek megfelelő U V ( köryezetbe va szimmetrikus köryezet, tehát létezik δε ( > úgy, hogy < < δ U f V Másrészt a lim = egyelőség alapjá létezik ( δ úgy, hogy < δ ha (( δε Tehát bármely ε > eseté létezik az ( ε ( = (( δ ε természetes szám úgy, hogy teljesüljö az f ( l < ε, ha ( ε A sorozat határértékéek ε -os kovergecia kritériuma alapjá lim f ( = l, tehát az értelmezés alapjá lim f = l A feltétel szükségességét a lehetetlere való visszavezetés módszerével végezzük el Feltételezzük, hogy bármely D,,, és lim = sorozatra lim f ( = l és mégsem teljesül az előbbi köryezetes kritérium Ez azt jeleti, hogy létezik V V ( l köryezet úgy, hogy bármely U V köryezet eseté létezik olya U \{ }, amelyre f V Ha tekitjük az =, + köryezeteket, akkor ezekhez létezek az U \{ } számok, amelyekre f ( V De az így szerkesztett sorozat határértéke, U tehát lim f ( = l és így em teljesülhet az f V, összefüggés Az előbbi elletmodás alapjá az értelmezésből következik a köryezetekkel megfogalmazott értelmezés Az előbbi bizoyításból látható, hogy a következő kritérium is igaz: ε δ-s kritérium A lim f = l egyelőség potosa akkor teljesül, ha mide ε > eseté létezik δ > úgy, hogy teljesüljö az alábbi implikáció < δ f l < ε Az előbbi kritériumokhoz hasolóa l =± eseté a következő kritériumokhoz jutuk: lim f = (vagy, ha mide K valós számhoz va olya δ > valós szám, hogy ha < < δ, akkor f > K ( f < K
7 Függvéyek határértéke Példák f :(, \{}, f = Az = potba a függvéy ics értelmezve Létezik-e határértéke ebbe a potba? = -be a függvéy em értelmezett, de torlódási potja az értelmezési tartomáyak, tehát beszélhetük a határérték vizsgálatáról f = =, ha Ebbe az esetbe mide + +,, sorozat eseté lim f ( =, tehát li m =, f = vázlatosa a mellékelt ábra mutatja Az f : \{, } y ( f ( = és + függvéy grafikus képét ábra 6 4 Létezik-e lim f és lim f? Először az = pot köryezetébe vizsgáljuk f -et Az ábra alapjá az = pot köryezetébe a függvéy határértéke kellee legye Igazoljuk ezt a feltevést: Legye K egy tetszőleges pozitív rögzített szám Nyilvá > > K, ha ( < és < Ha δ = mi,, akkor < < δ eseté K K ( >K Ebből következik, hogy mide K pozitív valós számhoz va olya δ > valós szám, hogy ha < < δ, akkor f = > K Ez az értelmezés szerit azt ( jeleti, hogy lim ( =
Függvéyek határértéke 7 Más módo talá rövidebbe is beláthattuk vola, hogy a határérték a -ba A sorozatokról szóló fejezetbe láttuk, hogy ha lim a =, akkor lim = és a fordítva, ha lim a =, a >, akkor lim = Ezt felhaszálva, ha, a, tetszőleges sorozat, akkor elég agy -től kezdve ( > és (, vagyis lim = ( Az potba az ábrából is sejthetőe em létezik a függvéyek határértéke Vegyük egy olya ( sorozatot, amelyre > és lim = Következik, hogy ( <, eseté és így lim = ( Hasolóa, < tagokból álló sorozatot választva ( lim = határértékkel, kapjuk, hogy lim = Tehát a és + is számításba jöhete, ( vagyis ics határértéke a sorozatak, ha > ; f : \ { }, f =, vagyis f = Az, ha < = potba a függvéyek ics határértéke, mert bármely köryezetébe va olya pot, ahol a függvéyérték és va olya pot is, ahol a függvéyérték Az is világos, hogy ha csak < vagy csak > értékekre vizsgáljuk a határértéket, akkor ezek létezek és -el illetve -el egyelők Jobb oldali és bal oldali határértékek Az előző példába is láttuk, hogy létezek olya esetek, amikor az < illetve > tartomáyba létezik határérték Az ilye esetek leírását megköyíti a következő értelmezés: Értelmezés Ha a halmaz, D potjaiból álló bármely D < sorozat esetébe az ( f sorozatokak ugyaaz az l véges vagy b végtele határértéke, akkor azt modjuk, hogy az l b az f függvéy bal oldali határértéke az potba és ezt így jelöljük: lim f = l vagy lim f = l < b Az l b jelölés helyett az f ( jelölést is haszáljuk a függvéy baloldali határértékére Ha a D halmaz, D potjaiból álló bármely sorozat > esetébe az ( f sorozatokak ugyaaz az l (véges vagy végtele határértéke, j b
74 Függvéyek határértéke akkor azt modjuk, hogy az l az f függvéy jobb oldali határértéke az ezt így jelöljük: lim f > j = l vagy lim f ( = l vagy l = f ( + A fet említett példába lim f( = lj = lim f = lim = ; > lim f( = lb = lim f = lim = < potba és Megjegyzések Ha l j l b, akkor -ba em létezik az f határértéke Ha az f : D függvéyek az potba létezik az l határértéke, akkor létezik az potba jobboldali és baloldali határértéke is, és azok egyelők l-lel: lim f = l = lim f = lim f Az előbbi állítás fordítottja is igaz Ha az f függvéyek az potba va jobb oldali és bal oldali határértéke és ezek egyelők, akkor a függvéyek az potba va határértéke és lim f = lim f = lim f = l Példák l j = lim ( + = e = lim( + Hasoló módo állapítható meg, hogy a akkor és így k lim = Másrészt ( k >, így =, tehát lim ( j j j lim( + = e Valóba, ha > és, akkor függvéy bal oldali határértéke is e: lim( + = e Mivel a jobb oldali és bal oldali határértékek egyelők, az ( + függvéyek a potba a határértéke e Következik, hogy bármely, sorozat esetébe lim ( + = e lim k =, k Valóba, ha és,, ( lim ( k k =
Függvéyek határértéke 75 A határértékek tulajdoságai A megoldott feladatokba is láttuk, hogy az értelmezés alapjá a függvéyhatárértékekkel is elvégezhetjük ugyaazokat a műveleteket, mit a sorozatok lim f = l, határértékével és ugyaazok a tulajdoságok érvéyesek Például ha lim g = l és,, akkor tetszőleges l ( ( D D \{ } sorozat f g eseté a lim = feltételből következik, hogy lim f ( = l és lim g ( = l sorozatok határértékéek tulajdosága alapjá a h( = f ( + g( l A általáos tagú sorozat is koverges és határértéke l + Ebből következik, hogy ( f g lim + = l + l Ez a godolatmeet akkor is érvéyes, ha l, és az l+ l összeg em határozatla Érvéyes tehát a következő tulajdoság: Tétel Ha létezik a lim f = l és lim g ( = l határérték és az l + l összeg em határozatla (em, + alakú, akkor a h : D D, h ( = f ( + g ( függvéyek is va határértéke az potba és lim ( f + g = lim f lim + g = l + l Hasoló meggodolások alapjá kijelethetjük a többi műveletek, majorálásak, fogó tételek megfelelő tulajdoságot is Midezeket az alábbi tételbe foglaltuk össze: Tétel Ha f : D, D-ek torlódási potja és létezik lim f = l, akkor létezik a lim f határérték és lim Ha, :, lim f f g D f l g határérték és lim Ha, :, f = l D f = l f g D f g akkor lim f = f g D f g 4 Ha, :, akkor lim f =, mide D, mide D és lim g =, akkor létezik a eseté, és létezik lim f g g eseté, és létezik lim g =, =, 5 Ha az f, g: D függvéyekek az potba va határértéke és létezik olya V V köryezet, hogy f g(, V D,, akkor ( lim lim f g
76 Függvéyek határértéke Következméyek a Ha és létezik f lim f, akkor f b Ha és létezik lim f lim f, akkor f lim 6 Ha létezik lim f = l és lim =, akkor létezik lim ( f g Kivételt képez az, amikor eset g l ( lim f + g = lim f + lim g = l + l lim f = + és lim g 7 Ha lim f = l és lim =, akkor létezik lim ( f g g l ( ( + és = vagy fordítva ( a és lim f g = lim f lim g = ll Kivételes esetek, ha lim = és lim f g = ± vagy fordítva (a eset Következméy Ha létezik lim f = l, akkor lim lim cf = c f = cl, bármely c eseté 8 Ha az f és g függvéyek határértéke -ba l és l (véges vagy végtele, l és g az egy köryezetébe, akkor Kivételes esetek: ±, ±, 9 Ha g D, torlódási potja : g torlódási potja D -ek valamit lim f l f l g f lim f l lim g lim g l D -ek, lim = = g = l és f : Df, l =, akkor lim f ( g Sajátos esetek Ha f : Df, torlódási potja akkor lim e f = e l Ha f D, torlódási potja lim l Példák : f ( f = l l Bármely lim = P P ( ha a = l D -ek és lim f = l, f D -ek és lim f = l >, akkor f P = a + a + + a + a poliomfüggvéy eseté, ahol a Ha P = + a + + a+ a, akkor lim P = lim, ( a = ± ± ±
Függvéyek határértéke 77 Ha P( és Q( poliomok és Q, akkor P lim Q m 4 Legye P = a + + a+ a, ( P = Q Q = bm + + b+ b, ahol a és b Akárcsak sorozatok esetébe, itt is a következő eredméyt kapjuk: m P lim ± Q Megoldott feladatok Bizoyítsuk be, hogy ha lim =, akkor a, ha m= ; b m a sg, ha > m, ; = bm a m sg (, ha > m, ; bm, ha < m a lim l = l, ahol > ; b lim e e ; c lim si = = si Fogalmazzuk meg függvéyhatárértékek segítségével is ezeket a tulajdoságokat! Bizoyítás a l l l l = = + A feltételek alapjá lim =, tehát lim + = e és így ε > eseté létezik ( ε úgy, hogy e ε < + < e + ε, ( ε Feltételezzük, hogy a kitevő egatív (ellekező esetbe az egyelőtleségek fordítva vaak, de a godolatmeet továbbra is érvéyes Ez alapjá l( e ε l < + < l( e + ε, ( ε, tehát a fogó tétel alapjá lim l + = és így lim l = l b Az előbbi egyelőtleség alapjá l l + < < + l( e + ε l e ε, ( ε és így a lim l = l egyelőségből következik, hogy lim = (Itt ε < e Ebből következik a kívát implikáció
78 Függvéyek határértéke + c si si = si cos < si <, ha < (a si <,, egyelőtleség alapjá A majorálási kritérium alapjá lim si = si Függvéyhatárértékek segítségével a következőképpe fogalmazhatjuk meg az előbbi tulajdoságokat: a lim l = l ; b lim e = e ; c lim si = si Bizoyítsuk be, hogy ha f :[ a, b] [ c, d] bijektív függvéy és lim f = f,, akkor f y f [, a b] lim ( = ( y, y [, c d] y y Bizoyítás Tekitsük egy tetszőleges y y sorozatot, amelyre y y, Az f bijektivitása alapjá létezik olya ( sorozat, amelyre f ( = y, Ahhoz, hogy az egyelőséget belássuk, igazoli kell, hogy az ( koverges és határértéke = f ( y Az ( sorozat sorozat korlátos, tehát va koverges részsorozata Jelöljük l -el eek a részsorozatak a határértékét A feltétel alapjá (a részsorozatra alkalmazva f ( l y l = f y Ha a sorozat em =, tehát vola koverges, akkor léteze olya részsorozata, amelyek l -től külöböző határértéke lee Ez em lehetséges, mert a feltételek alapjá erre az l határértékre is f l = y egyelőség és így f bijektivitása miatt l = l teljesüle az Következméy Ha lim =, akkor lim arcsi = arcsi, ahol [,] Számítsuk ki az f :, + +, < f = + e, függvéy szélső határértékeit az potba lim f = lim + + = + =, mert tetszőleges sorozat eseté + + + = Hasolóa lim e + lim f = = e =, tehát a jobboldali határérték és a baloldali 4 Számítsuk ki a li m határértéket (itt a baloldali határértékek ics is értelme > Az f = függvéyre l f = l Tehát a l = y jelöléssel y és y az e y kifejezés határértékét kell megvizsgáli a -be A z = y változócserével elégséges a z e határértékét megvizsgáli Ha z, akkor a [ z ] z < [ z ] + egyelőtleség alapjá z
Függvéyek határértéke 79 [ z ] + [ z] z < < ([ z] + e e e Másrészt láttuk, hogy lim a =, ha < a < és így a fogó tétel alapjá z z lim z = e Eszerit írhatjuk, hogy lim z e =, lim ye y =, ahol lim y Végül pedig és így =, tehát li m = z lim l = = z 4 Alaphatárértékek si lim = ( radiába adott si Bizoyítás Elégséges > -ra vizsgáli, mert az f = páros függvéy si( si si Valóba, f ( = = = = f, mide eseté Ha tekitjük a mellékelt ábrát, látható, hogy si < < tg, ha,, és mivel a köryezetébe vizsgáljuk a függvéyt, ez az itervallum elégséges C [ z ] D > ábra tg si O A B Az első egyelőtleség azért áll fe, mert CA OB -re rövidebb, mit a CB körív, a második pedig azért igaz, mert az OBC körcikk bee va az OBD -be, ezért tg TOBC = < TOBD =, tehát < tg Ezzel igazoltuk, hogy si < < tg, ha, Ezt az egyelőtleségredszert osztjuk si > -val, és így < si < cos, vagyis si > > cos Mivel létezik lim cos = és li m =, a fogó tétel alapjá si lim = arcsi tg arctg Következméyek lim = ; li m = ; lim =
8 Függvéyek határértéke Bizoyítás A limsi = si = egyelőség alapjá lim arcsi = és így az si(arcsi előbbi alaphatárérték és a 9 tulajdoság alapjá lim = De arcsi arcsi si(arcsi =, tehát li m = és így a 8 tulajdoság alapjá li m = arcsi tg si si lim = lim = a 7 tulajdoság alapjá, mert lim = és cos lim = cos si Akárcsak az potál a lim tg = lim = egyelőségből következik, hogy cos tg(arctg lim arctg = és így a 9 tulajdoság és a pot alapjá lim = De arctg arctg tg(arctg = és így lim = Így a 8 tulajdoság alapjá lim = arctg Megoldott gyakorlat Számítsuk ki a következő határértékeket: si cos cos 6 li m ; li m si ; li m( + si ; 4 lim si si Megoldás lim = lim = a 7 tulajdoság alapjá, si si si mert li m =, lim = és lim = si si ( cos l im lim = = a 9 tulajdoság alapjá + 6 6 li m ( + si = lim si =, + + ( 6 si = lim =, mert /6 6 + + 6 si lim = 6 si si cos 4 im lim lim l = = = li m = és /6 + +
Függvéyek határértéke 8 lim ( + = e Bizoyítás A paragrafus példájába ezt már igazoltuk lim + határértéket Alkalmazás Számítsuk ki a lim + = lim + = e lim( + =e egyelőség és a 9 tulajdoság alapjá Megoldás li m + = e a mert l( + li m = Bizoyítás Az előbbi alaphatárérték és a 9 tulajdoság sajátos esete alapjá l( + lim = lim l( + = le = e 4 li m = Bizoyítás Ha, akkor l( + l =, tehát a kiszámítadó határértékbe az = l( +y változócserével l( + y e e y lim = lim = lim y l( + y y l( +y = la a e a Következméy lim = lim la = la, tehát lim la = la Megoldott gyakorlat Számítsuk ki a következő határértékeket: l( cos a li m ; b lim ; c m li a b +, a, b > + Megoldás a li m = lim Másrészt y lim = lim = lim = 7 l és y y ( 9 + + lim = lim = lim( 9 + + = 7, tehát lim = 7 ( l
8 Függvéyek határértéke l cos l + cos l si b lim = lim = lim = l ( si si l ( si si = lim = lim = si si a + b a + b c l im lim = + a + b lim a + b l a+ l b a + b a + b lim + = e = = e = ab 5 Gyakorlatok Számítsd ki az alábbi határértékeket! si si cos li m ; lim ; li m ; cos cos cos 4 li m ; 5 lim ; 6 m li si 4 ; si tg 7 li m ; 8 lim si tg ; 9 + li m ; + li m ; lim ; lim ; lim + + 6 lim ; 4 lim + si ; 5 lim( + si ctg ; ; 7 lim( + e ; 8 lim( tg tg ; 4 si 9 lim ; lim si ; lim( ; si m li ; lim ; 4 lim( tg cos si sia l( + arcsi e a a 5 li m ; 6 lim ; 7 lim ; si a 8 lim,, ; 9 m lim m,, m ;
Függvéyek határértéke 8 6 A függvéyek végtelebe számolt határértéke Az eddigiekbe szereplő függvéyek valamely potba vett határértékét vizsgáltuk A sorozatok tárgyalásáál szó volt arról, hogy mit jelet az, hogy a Sok probléma eseté érdekes és fotos lehet az, hogy ha az f valamely [ a, + félegyeese va értelmezve, akkor eseté az ( sorozatról mit tuduk modai Értelmezés Az :(, f f a + függvéyek ( a a -be a határértéke l, ha mide a, +, lim = sorozat eseté lim f ( = l Megjegyzés Az :(, f a + függvéyek ( a a -be a határértéke l, ha mide ε > számhoz létezik olya K szám, hogy ha > K, akkor f l < ε Szokásos jelölés: lim f = l Értelmezés Az f (, a f :(, a :, a függvéyek ( a a l, ha mide, lim = sorozat eseté lim f ( = l Megjegyzés Az -be a határértéke függvéyek ( a a -be a határértéke l, ha mide ε > számhoz létezik olya K szám, hogy ha < K, akkor f l < ε Szokásos jelölés: lim f = l Ha az előbbi értelmezésekbe szereplő l szám em véges, akkor azt modjuk, hogy f a ( ± végtelehez tart Például az f :, f = függvéy eseté lim f ( = és lim f hez divergál Potosabba a = (A helyes szóhaszálat az lee, hogy f a - lim f ( = egyelőség alatt azt értjük, hogy mide K számhoz található olya M szám, hogy ha > M, akkor f > K Megoldott feladatok Az f :, f = si függvéyek létezik-e határértéke a -be? Megoldás Bizoyítsuk be, hogy ics határérték: I Legye = + egy sorozat, lim = A függvéyértékek sorozata f ( = si + + = +, ezért lim f ( =
84 Függvéyek határértéke II Ha a függvéyt az y = + általáos tagú sorozatra alkalmazzuk, ahol y, akkor f ( y = si + + = + ( és ezért lim f ( y = Tehát I és II alapjá em létezik a lim ( si határérték Számítsuk ki a lim si ( + határértéket! Megoldás lim si + = lim si + + + + = 4 lim cos lim cos + cos + = = = + + + 7 Gyakorlatok és feladatok Fogalmazd meg, hogy mit értük azo, hogy a f határértéke a -be ; b f határértéke a -be + ; c f határértéke a -be Igazold, hogy az f : periodikus és em álladó függvéyekek a + -be és a -be ics határértéke f :, f = + + lim f ( =? és lim f =? 4 Vizsgáld meg, hogy a következő határértékek létezek-e, és ha ige, számítsd ki őket: a a a li m ; b lim a a a a ; c si lim ; cos si d lim a a ; e li m, ; f lim ; cos a a a a si m si tg g li m, m, ; h li m ; i li m ; si si tgm j lim, m, ; k li m ; l li m a, ; si si a a si + + + + m lim ; li m ; o li m ; + si cos cos cos cos p lim ; q lim ;
Függvéyek határértéke 85 cos m cos r lim,, m 5 Igazold, hogy lim ( e = 6 Számítsd ki a lim ( a határértéket, ahol a > Számítsd ki a következő határértékeket: + + 7 lim ; 8 4 li 5 m ; si 5 + 9 5 9 li m ; lim ; + 6 4 b a b cos cos 6 lim, a > b; lim ; a a si + lim + 7 ; 4 + cos lim ; si m 5 lim +, > ; 6 lim, ahol m, ; + + + 7 lim, ahol ; ( ( ( 8 lim, ahol >, ( 9 lim ( + a + a + a + ; lim ( + + + ; lim ( si si lim + + + ; + ; li m ; a b c 4 lim + +, ahol a >, b > és c > ; 5 Igazold, hogy lim =, ahol a >, > 6 Igazold, hogy a loga lim =, ahol a > és ε > ε 7 Rajzold fel a lim + y = képlettel megadott görbét 8 Bizoyítsd be, hogy egy -ba -hoz tartó függvéy és egy korlátos si cos függvéy szorzata -ba ullához tart Számítsd ki a lim határértéket! 9 Határozd meg -et, ha lim = (
86 Függvéyek határértéke si Igazoljuk, hogy az f = függvéyek ics határértéke a -be cos Számítsd ki a lim a + b + c határértéket, ha a > b > c > Számítsd ki a lim ab + ac + bc határértéket, ha a > b > c > Számítsd ki a következő határértékeket: a a a b lim, a + \ {} ; 4 lim, ab, + \ {}, a b; a l cos m m cosa cosb 5 lim ; 6 lim arctg ; a 7 lim ; 8 l( + e lim, ab, ; b l( + e l l( e + a 9 lim, ab, + ; l l( e + b 4 cos cos cos lim ; ( si si ( si 4 lim ; cos cos cos cos cos 4 lim ; 4 l ( ( ( 4 lim + + + f ( 44 Bizoyítsd be, hogy ha az f :( a, a függvéyre lim = és az (, k, k =, akkor sorozat teljesíti a következő feltételt: ε > eseté ( ε úgy, hogy, Számítsd ki a következő határértékeket: k ( k, k= lim = k= f k, < ε, (, ε k =,, p k p a lim k, p + p k + ; b lim si, p = p ; k + = k c lim si + = k
Függvéyek határértéke 87 f ( 45 Bizoyítsd be, hogy ha az f : a, a függvéyre lim =, akkor az a = f l k= k sorozat koverges f ( 46 Bizoyítsd be, hogy ha az f :( a, a függvéyre lim =, p akkor lim f = pl k + k =, ha racioális; 47 Igazold, hogy az f :, f = ú, ha irracioális Dirichlet függvéyek egyetle potba sics határértéke! 48 Adott az m,ha =,ahol m,, ( m, =, > ; f =, ha irracioális;, ha = függvéy Igazold, hogy a függvéyek az irracioális potokba va határértéke és az egyelő -val! 49 Határozd meg azokat az pozitív számokat, amelyekre a lim { } = feltétel teljesül, ahol { } = [ ] az valós szám törtrésze 5 Számítsd ki a lim si( + határértéket! 5 Igazoljuk, hogy lim + + + + = e!! 5 lim cos cos cos? = 5 Az ( sorozatot a következőképpe értelmezzük:, = = +, + = +, Számítsd ki a lim határértéket! + 54 Adott az ( sorozat: + = + a, ahol, > és a > Igazold, hogy a sorozat koverges és számítsuk ki a határértékét! 55 = és + =, ahol Számítsd ki a sorozat 4 határértékét!
88 Függvéyek határértéke 56 Az ( sorozat mide, m eseté teljesíti a + m + m feltételeket Igazold, hogy a az sorozat korlátos; b az Határozd meg a sorozat határértékét! sorozat koverges 8 Érettségire és felvételire előkészítő feladatok Számítsd ki (tárgyald a lim ( + a + + határértéket! (Felvételi, 99 + Számítsd ki az f : \{, }, f = e e függvéy szélső határértékeit az = potba (Felvételi, 99, Bukarest Számítsd ki a lim l határértéket! (Felvételi, 99, Bukarest > 4 Taulmáyozd az + = +,, sorozat kovergeciáját és számítsd ki a határértékét! (Felvételi, 99, Bukarest a 5 Határozd meg azokat az a számokat, amelyekre a li m ( határérték létezik és véges! (Felvételi, 997, Bukarest 6 Az ( k k=, rögzített számokra legye L lim = ( ( ( ( Számítsd ki L -et az ( k k=, L számok függvéyébe, majd számítsd ki a lim határértéket, ha ( k k adott számok (Felvételi, 997, Bukarest 7 Határozd meg az ab, paramétereket úgy, hogy az f :, + a,ha ; f = függvéyre teljesüljö a lim f = f( egyelőség és a + b,ha> ; f f( létezze a lim határérték! (Felvételi, 998, Temesvár 8 Számítsd ki a lim + si + si + + si, \ {} határértéket 9 Számítsd ki a lim e határértéket! (Felvételi, 999, Nagybáya (Felvételi, 999, Kostaca
Függvéyek határértéke 89, lim ( a + b Határozd meg az a b valós paramétereket úgy, hogy a határérték legye! (Felvételi, 999, Kostaca Határozd meg az ab, paramétereket úgy, hogy az f : \{}, a + b + f = függvéyre teljesüljeek a lim f = és lim f = egyelőségek! (Érettségi javaslat, 997 l( + l( + Számítsd ki a li m határértéket! (Érettségi javaslat, ( Számítsd ki a lim lim( cos cos cos határértéket! (Érettségi javaslat, 4 Bizoyítsd be, hogy az f : \{}, f = ( cos függvéyek ics határértéke -ba! (Érettségi javaslat,
9 Folytoos függvéyek IV Folytoos függvéyek Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viselkedését a D halmaz torlódási potjáak köryezetébe vizsgáltuk Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D Ebbe a fejezetbe a függvéy viselkedését em csak az potba is ( D ; összehasolítjuk a függvéy pot körül vizsgáljuk, haem az értékét az potba a függvéy köryezetébe felvett értékeivel Ezért a függvéyek az potba is értelmezettek kell leie, tehát D A feladatot így fogalmazzuk meg: taulmáyozzuk, hogy amikor közeledik -hoz, f ( közeledik-e f ( -hoz Potosabba, egy tetszőleges sorozatot véve, ahol D, taulmáyozzuk, hogy az ( f ( sorozat tart-e az f ( számhoz? Figyeljük meg, hogy ebbe az utolsó megfogalmazásba a feladatak akkor is va értelme, ha az értelmezési tartomáyak em torlódási potja (de D-ek eleme Valóba, ha D, akkor midig va olya sorozat, például az =, ha, amely tart az számhoz és amelyre D Ha em torlódási potja D-ek, akkor ez az egyetle sorozat, amely tart -hoz és D Az előbbi sorozat f = f, ha és lim f = f eseté ( ( 4 Folytoos függvéyek értelmezései Értelmezés Legye f : D és D Az f függvéyt az potba folytoosak modjuk, ha mide, D sorozatra lim f ( = f ( Megjegyzés A feti értelmezésből következik, hogy az értelmezési tartomáy izolált potjaiba a függvéy midig folytoos A határérték értelmezése alapjá a következő kritériumot haszálhatjuk: ε δ-s kritérium Az f : D f függvéyt az D potba folytoosak modjuk, ha bármely ε > számhoz létezik olya δ > szám, hogy ha < δ és D, akkor f f ( < ε (ha izolált pot, akkor találuk olya δ -t, amelyre az pot δ -yi köryezetébe a D halmazak csak egy eleme va, az Példák Folytoos-e az = potba az f :, f = + függvéy? Az értelmezés alapjá vizsgáljuk először azt, hogy igaz-e hogy ha lim =,, akkor az f = +sorozatokak va határértékük és a határérték f ( lim f = lim + = lim + = lim + = 7 = f Tehát a függvéy folytoos a potba az értelmezés szerit
Folytoos függvéyek 9 A értelmezés alapjá hasoló módo döthetjük el, hogy f folytoos-e a potba: Rögzítsük egy ε > számot ha f f = + = = + + f f = + + 4 < + + 4 < ε, ε ε ε ε < < = = 4 mi 4 6 ( + + ( + + f ( ε Mivel mide ε > eseté létezik a δ = > valós szám, úgy, hogy 6 f f < ε ha < δ, a függvéy folytoos az = potba Az f :, si f = függvéy folytoos mide potba Valóba, + f f = si si = si cos, tehát f f ε = si si < igaz, ha függvéy folytoos az potba, a értelmezés szerit Előfordul az, hogy y a függvéy em folytoos valamilye potba Az értelmezés alapjá, az f függvéy az D potba potosa akkor em folytoos, ha létezik olya ( D sorozat, lim f f amelyre ε δ δ ε < δ = ε Vagyis a ábra Ez lehetséges úgy is, hogy az ( f ( sorozatak ics határértéke, de úgy is, hogy a határértéke em f ( A jobb és baloldali határértékek figyelembe vételével még több eset lehetséges, mert előfordulhat, hogy a jobb és bal oldali határértékek létezek, de em egyelők egymással vagy az f ( -val Azokat az D potokat, amelyekbe az f : D függvéy em folytoos az f szakadási potjaiak evezzük Az előbbiek alapjá a szakadási pot fogalma az f függvéyek több külöböző viselkedési módját tükrözi Ezek közül az esetek közül éháy fotos lesz a függvéyek további taulmáyozásába, ezért külö megevezéssel látjuk el őket Értelmezés Az D potot, amelybe az f : D függvéyek létezik a jobb- és a baloldali határértéke és ezek végesek, de a függvéy em folytoos elsőfajú szakadási potak evezzük Az összes többi szakadási potot másodfajú szakadási potak evezzük
9 Folytoos függvéyek Vizsgáljuk meg a következő függvéyek folytoosságát, szakadási potjaiak természetét:, ha > ;,ha ; a f :, f = sg =, ha = ; b f :, f =, ha =, ha < si, ha ;,ha > ; c f :, f = d f4 :, f4 =, ha =, ha Megoldás a Az f függvéy az pot -t em tartalmazó köryezetébe kostas, tehát folytoos ebbe a potba Az = potba li m f = és < lim f =, tehát a függvéyek ics határértéke ebbe a potba Így az = > potba az f függvéy em folytoos Mivel a jobb- és baloldali határérték véges, ez a pot elsőfajú szakadási pot b Az f függvéy az pot -t em tartalmazó köryezetébe elsőfokú, tehát folytoos Ha =, akkor lim f = lim =, tehát a határérték létezik Ez a ( határérték azoba em egyelő a behelyettesítési értékkel, tehát a függvéy em folytoos -ba Az = pot az f függvéy elsőfajú szakadási potja c Mivel em létezik a limsi határérték (találuk két olya -hoz tartó sorozatot, amelyekre a függvéyértékek sorozata külöböző határértékekhez tart; ilyeek például az = és y =, sorozatok a függvéy em folytoos -ba és + az = pot másodfajú szakadási potja A -tól külöböző potokba a függvéy folytoos a határértékek tulajdoságai alapjá d Mivel lim = + és lim f4 ( = a függvéy em folytoos -ba és másodfajú szakadási potja va, mert a jobboldali határérték em véges 4 Az f =, f : függvéy folytoos az = potba, mert = = + + <, ha f f ε ε ε ε ε 4 < < = = = ε + + mi ( + + + 4 4ε f f < ε, ha <, tehát a függvéy folytoos az potba A fetiek alapjá =
Folytoos függvéyek 9 Megjegyzés Gyakra találkozuk olya függvéyekkel, amelyek bizoyos pottól jobbra és balra külöböző törvéyel értelmezettek Az ilye függvéyek folytoosságáak taulmáyozására a határérték jobb- és baloldali határértékek segítségével adott jellemzését haszáljuk Eszerit igaz a következő állítás: Az f :[ a, b] függvéy potosa akkor folytoos az (, a b potba, ha 4 Gyakorlatok lim f = lim f = f ( < > Vizsgáld meg a következő függvéyek folytoosságát az adott potokba: f :[,], f = +, =,, 4 f :[, 4], f = +, =,, - f { } [ ] f :, jelöli, { } pedig a szám törtrészét = =, 4 Milye potokba folytoos a tg függvéy? 5,ha f =, =,, -, ha =, ha egész szám 6 f =, =,,, ha em egész szám f 7 f :, = +, =, =,,, ahol [ ] az szám egészrészét 8 f :, f = si + cos, =,, 9 f :[, ], f = +, =, Adott az f :, f = függvéy Igazoljuk, hogy a, \ függvéy egyetle potba sem folytoos Legye f : egy folytoos függvéy, amelyre f r+ = f ( r mide r racioális számra és mide -ra Határozzuk meg az összes ilye függvéyt!
94 Folytoos függvéyek 4 A Cauchy-féle függvéyegyelet Feladat Határozd meg az eseté Az -es egyeletből eseté az f : folytoos függvéyt, ha mide, y f ( + y = f + f ( y ( = y= f f ( f f f ( egyelőséghez jutuk, tehát f = = y eseté ( = ( + = + = f f f f f Teljes idukcióval igazoljuk, hogy ha, Tételezzük fel, hogy akkor f = f -re igaz és mutassuk meg + -re is teljesül = + = + = Valóba f (( f ( f f f f ( f Továbbá + = + = + = + = + ( = f = f + = f + f, tehát, f ( = f Ha akkor f ( f f f Ezért mide k és Ha m, m,, Ez azt jeleti, hogy ha Ez alapjá = = = eseté f k = k f >, akkor m m m f = f m = f = f m m f = f ( és f r = r f r akkor r eseté f ( r = r f( A továbbiakba igazoljuk, hogy az előbbi egyelőség irracioális racioális számokból álló olya folytoosságát felhaszálva r eseté is igaz Ha α, akkor válasszuk r sorozatot, hogy lim r = α Ekkor az f ( α ( α ( f = lim f r = lim r f = lim r f = f Tehát f ( α = α f ( mide α eseté Így ( f = m, ahol m= f Megjegyzés Az ( egyeletet Cauchy-féle függvéyegyeletek evezzük A középiskolába taulmáyozott fotosabb függvéyek (poliomok, epoeciális, logaritmus, trigoometrikus függvéyek értelmezhetők, mit valamilye függvéyegyelet folytoos megoldásai Általába ezekek a függvéyegyeletekek a megoldása visszavezethető a Cauchy-féle függvéyegyeletre Kimutatható, hogy az egyeletek végtele sok olya megoldása is va, amelyek em folytoosak (ezek egy potba sem folytoosak, a bizoyítás meghaladja a taköyv kereteit,
Folytoos függvéyek 95 44 Műveletek folytoos függvéyekkel Amikor valamely függvéy folytoosságát vizsgáljuk, előfordulhat, hogy egyszerűbb függvéyek folytoosságát ismerve, a tárgyalt függvéyek folytoosságára következtethetük Például az f = si + cos függvéy folytoos-e? Már tudjuk, hogy a si és cos függvéy mide potba folytoos, következik-e ebből, hogy az összegük is folytoos? Feladat Vizsgáljuk meg, hogy ha az f és g függvéy az potba folytoos, akkor az f + g függvéy folytoos-e az -ba! Megoldás Meg kell vizsgáluk, hogy ha, akkor következik-e, hogy ( f + g( = f ( + g( f ( + g( Az f és a g az potba folytoos, tehát ha lim = akkor lim = ( f f és lim g ( = g( sorozatokál láttuk, hogy a két koverges sorozat összege is koverges és lim f g lim f lim g f g ( f g( + = + = + = + Tehát lim ( f + g = lim f + lim g = f + g = ( f + g(, vagyis az f + g függvéy is folytoos Hasoló godolatmeet alapjá belátható, hogy két folytoos függvéy szorzata, háyadosa (ha a evező em és összetett függvéye is folytoos A függvéyhatárértékekél megoldott feladatok alapjá azt is állíthatjuk, hogy egy bijektív és folytoos függvéy iverze is folytoos (lásd a 76 oldalo levő megoldott feladatot Ezeket a tulajdoságokat a következő tétel foglalja össze Tétel Legye f, g : D két függvéy és D a Ha az f és a g függvéyek folytoosak az potba, akkor az f + g függvéy is folytoos az potba b Ha az f és a g függvéyek folytoosak az potba, akkor az f g függvéy is folytoos az potba c Ha az f és a g függvéyek folytoosak az potba és g(, akkor az f g függvéy is folytoos az potba d Ha az f : D E függvéy folytoos az D potba és a g: E függvéy folytoos az y = f, y E potba ( D és E, akkor a g f összetett függvéy folytoos az potba e Ha az f : D + és a g: D függvéyek folytoosak az potba, akkor az u: D + u = [ g függvéy is folytoos az potba Sajátos esetek Ha az f : D E függvéy folytoos az D potba, akkor a következő függvéyek is folytoosak az D potba: f ] A
96 Folytoos függvéyek a g : D, g = a f, ahol és a > a b h: D, h = log a f, ahol f >, > és a >, a c k: D, k = si f A sziusz függvéy helyett tetszőleges trigoometrikus alapfüggvéyre is igaz a tulajdoság ( cos,tg,ctg,arcsi,arccos,arctg,arcctg Megjegyzés A Függvéyek határértéke című fejezetbe láttuk, hogy a poliomfüggvéyek, az epoeciális, logaritmus és trigoometrikus függvéyek valamit ezek iverzei mid folytoosak (lásd a megoldott feladatokat A továbbiakba ezekre a függvéyekre és az ezekből összeadás, szorzás, osztás, hatváyozás, összetevés útjá előállítható függvéyekre elemi függvéykét hivatkozuk az előbbiek alapjá az elemi függvéyek folytoosak az értelmezési tartomáyuko Gyakorlatok és feladatok Mely potokba folytoos az f :, f =, függvéy? Folytoos-e az f = si cos függvéy az = és az = potokba? f ( a Igazold, hogy ha az f függvéy az potba folytoos és az f függvéy is folytoos az potba b Igazold, hogy ha f és g függvéy folytoos az akkor a f g függvéy folytoos az potba potba és, akkor g, 4 Hol folytoosak a következő függvéyek? a f : \ { }, f = ; b f :, f = ; + si c f : \ {,}, f = ; d f :, f ( = ma ( si, cos ; 5 Bizoyítsd be, hogy ha az f függvéy az potba folytoos akkor f is folytoos az potba! 6 Igaz-e az előbbi állítás fordítottja? 7 Taulmáyozd a következő függvéyek folytoosságát: +, ha a f = ; b f :, f = ( + ;, ha <, ha c f = cos + cos + ; d f =, ha < ;,ha <
Folytoos függvéyek 97,ha =, ha = e ( + f ; f, g f = ; h, \ 8 Igazold, hogy az f :, [ +, tartomáy mide potjába 9 Határozd meg az ( + <, ha f =, ha = ; 4 + > (, ha +, f =, \ f = függvéy folytoos az értelmezési f = összefüggéssel értelmezett függvéy maimális értelmezési tartomáyát és igazold, hogy az értelmezési tartomáy mide potjába folytoos Határozd meg a következő függvéyek szakadási potjait: a f :, f = lim ; b f :, f = lim + ; + + e c f :, f = lim ; d f :, f = ma (, + e Hol folytoosak a következő függvéyek? a f :, f az valós szám egészrésze b f :, = [ ], ahol [ ] f = { } = [ ], ahol { } az valós szám törtrésze Határozd meg azokat az f :, az = potba folytoos függvéyeket, amelyekre ( f + f =, mide eseté Határozd meg az f : függvéyeket, ha f ( y + y f = ( + y f f ( y igaz mide, y eseté Háy folytoos függvéy va a megoldások között? 4 Az f, g: periodikus függvéyekre lim f g = f = g Bizoyítsd be, hogy a két függvéy egyelő 5 Határozd meg az összes f : (, f = f, mide = (, + eseté + folytoos függvéyeket, amelyekre 6 Határozd meg az f :(, folytoos függvéyeket, amelyekre + y f + f ( y = f + y, mide, y (, eseté
98 Folytoos függvéyek 45 Itervallumo folytoos függvéyek Értelmezés Az f függvéyt folytoosak evezzük az I itervallumo, ha az I mide potjába folytoos A függvéyről azt modjuk, hogy folytoos, ha az értelmezési tartomáyáak mide potjába folytoos Megjegyzés Az előbbi paragrafus tételéből következik az alábbi tétel: Tétel a Ha az f : D és g: D függvéyek folytoosak, akkor az f + g: D, ( f + g = f + g, D függvéy is folytoos b Ha az f : D és g: D függvéyek folytoosak, akkor az f g: D, ( f g = f g, D függvéy is folytoos c Ha az f : D és g: D függvéyek folytoosak és f f g, D, akkor az =, D függvéy is folytoos g g d Ha az f : D E és a g: E függvéy folytoos ( D és E, akkor a g f : D összetett függvéy is folytoos e Ha az f : D E függvéy folytoos és bijektív ( D, E itervallumok, akkor az f : E D iverz függvéy is folytoos f Ha az f : D + és a g: D függvéyek folytoosak, akkor az u: D u = f g + függvéy is folytoos Sajátos esetek Ha az f : D E függvéy folytoos, akkor a következő függvéyek is folytoosak: f a g : D, g = a, ahol a > és a b h: D, h = log a f, ahol f >, > és a >, a c k: D, k = si f f [ ] f = +, az [, ] P f :,4 [ ], f = +, az I = [, 4] ; Példák P :,, I = ; P f :, [ ], f =, az I = [, ] ; P4 f :(,, f =, az I = (, Az általuk tárgyalt függvéyek dötő többsége egy-egy itervallumo vagy azok egyesítésé va értelmezve és folytoos Ha megfigyeljük, e függvéyek grafikojait, akkor éháy közös tulajdoságot veszük észre Az [ a, b zárt itervallumo ahol a, b értelmezett függvéy korlátosak látszik A grafikook folytoos voalak; úgy tűik, hogy ha folytoos egy függvéy és felvesz két külöböző f < f értéket, akkor mide közbülső értéket is felvesz Természetese a grafikoból az ilye tulajdoságokat csak sejtei lehet A szemléletből vett következtetéseket midig alaposa meg kell vizsgáli ]
Folytoos függvéyek 99 45 Bolzao tétele és a Darbou-féle tulajdoság BERNARD BOLZANO (78-848 a skolasztikus filozófiába járatos katolikus pap volt Egyike volt a legelsőkek, aki a szigorúság moder fogalmát bevezette a matematikai aalízisbe Felismerte, hogy a folytoos függvéyekre voatkozó számos, látszólag yilvávaló állítást igazoli kell, ha azt akarjuk, hogy teljes általáosságba érvéyes legye Ilye például a következő három tulajdoság: Folytoos függvéy mide itervallumot itervallumba képez Ez potosabba a következőképpe fogalmazható meg: Ha az f :[ a, b] függvéy folytoos,, [ ab, ], < két tetszőleges érték és f = y, f = y, akkor bármely y [ y, y ] eseté létezik olya [, amelyre f ( = y [ ] (vagy y y, y, ] f a b [,] ab -be pozitív és [ ab, ]-be Ha az :[, ] folytoos függvéy egatív értékékeket vesz fel, akkor létezik olya c [, ], amelyre f( c = Zárt itervallumo értelmezett folytoos függvéy képe zárt itervallum A második tulajdoság az első sajátos esete A továbbiakba láti fogjuk, hogy az első tulajdoság is következik a másodikból Azt is láti fogjuk, hogy az tulajdoság em a folytoos függvéyek jellemző tulajdosága (létezek olya függvéyek, amelyek em folytoosak és mégis redelkezek az tulajdosággal Azokat a függvéyeket, amelyek teljesítik az tulajdoságot Darbou tulajdoságú függvéyekek evezzük A termiológia rögzítése céljából a következő értelmezést adjuk: Értelmezés Az f :[ a, b] függvéyt Darbou tulajdoságúak evezzük ha, [ ab, ], < és bármely y ( y, y (vagy y ( y, y f ( = y és f = y, létezik olya (,, amelyre f ( y bármely eseté, ahol = Megjegyzés Ez az értelmezés ekvivales azzal, hogy az f függvéy az [ ab, ] értelmezési tartomáy mide részitervallumát itervallumba képezi Példa Bizoyítsuk be, hogy az f : +, f = + függvéy Darbou tulajdoságú Ha és y +, +, akkor az y, itervallumba, + ( = az va, tehát f Darbou tulajdoságú Először a tulajdoságot igazoljuk A potosság kedvéért tételkét is kijeletjük Tétel Ha az :, függvéy folytoos a< b és f ( a f ( b <, akkor f [ a b] va olya c ( a, pot, amelyre b f c = Bizoyítás Feltételezhetjük, hogy f a < Tekitjük a H = { [ a, b] f < } halmazt Ez a halmaz korlátos, mert része az [ ab, ] itervallumak és em üres, mert a H A felső határ aiómája szerit létezik s = sup H Bizoyítjuk, hogy f( s = és a< s< b A feltételek alapjá létezik olya ε > szám, amelyre
Folytoos függvéyek f( a + ε < < f( b ε Az f folytoossága alapjá lim f ( = f ( a és a lim f ( = f ( b, tehát a határérték értelmezése alapjá létezik olya δ ( ε > valós b szám, hogy f < f( a + ε < < f( b ε < f( y, ha a< < a+ δ ( ε és b δ ( ε < y< b Ez biztosítja, hogy a< s< b Tekitsük az f ( s számot Ha f( s <, akkor az f függvéy s -beli folytoossága alapjá létezik δ > úgy, hogy ( δ δ f <, s, s+ és így H -ba va s -él agyobb elem is Ez elletmodás, tehát f( s Másrészt, ha f( s >, akkor szité az s -beli folytoossága alapjá létezik f függvéy δ > úgy, hogy f, ( s δ, s+ δ > Ez viszot azt jeleteé, hogy H -ak va s -él kisebb felső korlátja is Mivel ez is elletmod s megválasztásáak, az egyetle lehetőség az, hogy f( s = Ebből a tételből levezethetjük az tulajdoságot Ezt is megfogalmazzuk tétel formájába: Tétel Ha az [ ] Bizoyítás Rögzített, [ ab, ] és y f, f eseté tekitjük a g:[ a, b], g = f y folytoos függvéyt g( = f y < és g( = f ( y >, tehát az előbbi tétel alapjá létezik olya (, érték, ( amelyre g = f y = Ebből következik, hogy f Darbou tulajdoságú si, Példa Bizoyítsuk be, hogy az f : [,], f = függvéy a, = a [,] < < < < f, itervallumo folytoos, tehát az itervallum képe itervallum Ha < vagy <, akkor a z, =±, és z, = ±, sorozatokba + megválaszthatjuk az előjeleket úgy, hogy a két sorozat tagjai (, -től kezdődőe a vizsgált itervallumba legyeek Így, f, f z, =,,, ] f : a, b függvéy folytoos, akkor Darbou tulajdoságú Darbou tulajdoságú bármely eseté Bizoyítás Ha vagy akkor az függvéy az [ ] [ ] ([ ] ([ z ] [ ] tehát az [ itervallum képe a [,] itervallum ( a -tól függetleül Mivel más eset em lehetséges a függvéy mide itervallumot itervallumba traszformál és így Darbou tulajdoságú
Folytoos függvéyek Megjegyzések A tétel grafikus értelmezése a következő: Az Aa (, f( a tegely alatti potot összekötő folytoos voal a (, O B b f b tegely feletti pottal, legalább egy helye ( c pot metszi az O tegelyt (lásd a ábrát A 4 ábrá látható, szakadásos függvéy esetébe az előbbi tételek em igazak +, ha > Az f :, f = függvéy em redelkezik egyik tétel által +, ha biztosított tulajdosággal sem y fb > Bb (, fb y O O fa < A( a, f( a ábra 4 ábra 45 Weierstrass tétele a szélsőértékek létezéséről Az előbbi paragrafusba említett tulajdoság KARL WEIERSTRASS (85-897 evét viseli Tétel Ha az :, függvéy folytoos az I = a, b zárt itervallumo ( a b f [ a b] [ ] <, akkor létezik az I itervallumba legalább egy c pot, ahol az f függvéy a legagyobb M értékét, és egy másik = = ma ; f c M f [ a, b] c pot, ahol a legkisebb m értékét veszi fel [ a, b] f c = m= mi f Megjegyzés A tulajdoságot a következőképpe fogalmazhatjuk meg: Zárt itervallumo értelmezett folytoos függvéy eléri határait Bizoyítás Igazoljuk, hogy a függvéy képe korlátos halmaz Ha em vola az, akkor léteze olya y f sorozat, amelyek a határértéke vagy Erre a sorozatra létezik egy Mivel az ( ( Im ( [ ab, ] sorozat úgy, hogy f (, y sorozat korlátos, létezik ( k k eek a határértékét l -el Az f függvéy folytoossága alapjá lim ( = koverges részsorozata Jelöljük k f = f( l k
Folytoos függvéyek ( k k Ez viszot elletmodás, mert az f ( sorozat az ( y sorozat egy részsorozata és így a határértéke em véges Mivel a függvéy képe em lehet üres halmaz az alsó és felső határ aiómája alapjá létezik a M = sup Im f és a m= if Im f valós szám Bizoyítjuk, hogy M, m Im f A szuprémum értelmezéséből következik, hogy létezik olya ( [ ab, ] sorozat, amelyre lim f ( = M Mivel az ( [ ab, ] sorozat korlátos, ezért létezik koverges részsorozata és így M eze részsorozat határértékéek f -beli képe Hasolóképpe látható be az is, hogy m Im f 46 Megoldott feladatok [ ] [ ] = ϕ :, [ ] Bizoyítsd be, hogy ha az f :,, függvéy folytoos, akkor létezik [ ] olya,, amelyre f ( -t evezzük a függvéy fipotjáak Bizoyítás Értelmezzük a, ϕ = f segédfüggvéyt A folytoos függvéyekkel végezhető műveletek tulajdoságai alapjá ez a függvéy is folytoos a [, itervallumo Ha, akkor vagyis és találuk ] ϕ = f = f = ϕ f f = ϕ, ϕ > ϕ < (, ϕ ( = = f ( egy fipotot (éppe Ha, akkor az -re tett feltevés miatt ϕ = > ϕ, akkor f, az fipot; ha akkor ϕ = f < = Összegezve a ϕ a [ ] itervallumo folytoos függvéy,,, ezért Ha ( = a Bolzao-tétel szerit va a és között olya, hogy, ami azt jeleti, hogy f vagy, tehát fipotja a függvéyek = y M(, 5 ábra O Igazoljuk, hogy mide páratla fokú valós poliomak (egyeletek va f + legalább egy valós gyöke, tehát az = + a + + a + a + = egyeletek va valós gyöke Valóba, mivel Továbbá lim + f lim f ( Bolzao-tétel alapjá létezik ( = ( + = + =+, ezért a függvéy felvesz pozitív értékeket is A + =, a függvéy felvesz egatív értékeket is ( úgy, hogy f = vagyis az egyelet gyöke
Folytoos függvéyek f [ ] f ( = + si függvéy folytoos a [, ] Az :,, itervallumo Határozzuk meg a függvéy képét Mivel si, itervallumo, ezért si és hozzáadva - a [ ] et + si vagyis f, ezért ma f = = f [, ] és mi f = = f = f Mivel f folytoos a miimuma és a maimuma között [, ] mide értéket felvesz Így a függvéy képe Im f = f ([, ] = [, ] 4 Bizoyítsuk be, hogy ha az f :[ a, b] függvéy folytoos, f ( a = f ( b és ( a, b eseté f f ( a, akkor tetszőleges < l < b a szám eseté va a függvéy grafikojáak l hosszúságú, O tegellyel párhuzamos húrja Legye l b a a, b l itervallumo értelmezzük a h függvéyt a következő módo: < < Az [ ] h = f ( + l f A feltevések szerit h( a = f ( l a f ( a és hb ( l f( b f( b l = Ha a két egyelőtleség közül valamelyikbe egyelőség va akkor késze h a > és hb l < vagyuk; ha ics egyelőség akkor a Bolzao-tétel szerit ( va olya ( ab l, hogy h( =, azaz f ( l f (, jeleti, hogy a függvéy grafikus képéek va egy párhuzamos húrja y + = Ez pedig azt l hosszúságú, O tegellyel Aa (, fa Bb (, fb l a O b 6 ábra 5 Az f : függvéy eleget tesz az alábbi két feltételek: ( mide, y eseté f f ( y k ( y ( az f függvéy folytoos az halmazo Igazoljuk, hogy f bijektív függvéy, ahol k > ;
4 Folytoos függvéyek I így f f hogy f ( f < eseté f ( f ( k( < Ha < Tehát bármilye ami azt jeleti, hogy az f függvéy ijektív <, tehát f f > akkor f f k( eseté (, f f < és <, ami azt jeleti, II Az -es feltétel alapjá f k k y f ( y eseté lim f =, mert lim ( k ky + f ( y = Az -es feltétel alapjá f ( y ky f k feltétel alapjá létezik lim f ( y = +, mert lim ( ky f k y +, + Rögzített y és + Rögzített eseté az előbbi y + + =+ Az előbbi tulajdoság és a második feltétel alapjá f ( a és + között mide értéket felvesz, tehát a függvéy szürjektív 6 A folytoos függvéy előjeléek taulmáyozása Ha az f függvéy folytoos az I itervallumo és f, bármilye I eseté, akkor f ( álladó előjelű (előjeltartó az I itervallumo f ( c = Valóba, ha feltételezzük, hogy em előjeltartó akkor létezik a, b I úgy, hogy f a < és f ( b >, amiből adódik, hogy létezik c az a és b között úgy, hogy, ami elletmod a feltevések Ezt a tulajdoságot alkalmazzuk a függvéy előjeléek a taulmáyozására Potosabba, legye f : I folytoos függvéy, amelyek az I itervallumo véges sok gyöke va Jelöljük ezeket,,,, +,, -el (övekvő k k sorredbe Mivel az I = (, itervallumo az gyöke, az - k f ( = k k k + f = egyeletek ics I f előjeltartó Hasolóa -től balra és -től jobbra is igaz, hogy az egyeletek ics gyöke, tehát itt is előjeltartó (álladó előjelű Ahhoz, hogy megtudjuk az előjelet állapítai, kiszámítjuk egy helye a függvéyértéket Taulmáyozzuk az f :, f = 6 + 6 függvéy előjelét Mivel f = ( ( ( mide eseté, az gyökei =, =, = Így a függvéy előjeltartó az (, I = ; I = ( + itervallumoko, 4, f = egyelet I = ; I =, ; + f ( + + + + + + + lim f =, f 9 = 8 >, f 5 = 8 <, lim f + = +
Folytoos függvéyek 5 7 Határozzuk meg azokat az f : + + függvéyeket, amelyekre teljesülek a következő feltételek: ( f f ( y = y f mide, y + eseté; ( f, ha + Megoldás Az (XXIV Nemzetközi Matematikai Olimpia feladata összefüggésből y = eseté kapjuk, hogy f ( f = f = f f ( b Ez azt jeleti, hogy b a függvéy fipotja, vagyis = b Legye a + az f függvéy egy tetszőleges fipotja Igazoljuk, hogy a = Ha eseté elfogadjuk, hogy f ( a = a akkor ( f a = f a a = f a f a = a f a = a a=a a ( ( a f ( a ( f ( a = f ; mivel a az a a f Ezért az összes számok szité fipotok Továbbá a= f = = = f a = egyelőségből következik, hogy f ( = Másrészt a f = f f ( a = f a = f ( =, ahoa a a a f = Végül, hasoló godolatmeet alapjá kapjuk, hogy f = Így az a a a a k összes a alakú szám fipotja a függvéyek A -es feltételből ( k következik, hogy a =, mert ellekező esetbe szerkesztheték olya = a ± sorozatot, amely a végtelehez tart és amelyre a behelyettesítési értékek sorozata is végtelehez tart Ezért mide eseté kapjuk, hogy f =, ahoa + 8 Bizoyítsuk be, hogy az f =, > itervallumo potosa egy valós gyöke va Ha =, egyeletek az [, ] α -el jelöljük ezt a gyököt, igazoljuk, hogy az ( α sorozat koverges és számítsuk ki a határértékét! Megoldás Tekitsük az f :, [ ], f f = < és f > vagyis f > Az f [, ] itervallumo Több gyök ics, mivel az és ez a gyök α = + t, ( < α <, ahol >t Ekkor = ( + t ( + t = ( + t [ + t ] = t ( + t = függvéyt folytoos, tehát va gyök az f szigorúa övekvő Legye > Alkalmazva a Beroulli egyelőtleséget, kapjuk, hogy
6 Folytoos függvéyek redezés utá t alapjá következik, hogy = t + t t + t, t + t + 4 t < = + Mivel lim =, a fogó tétel ( redőrelv alapjá limt = Azt kaptuk tehát, hogy ( α sorozat koverges és limα = 9 Va-e olya folytoos függvéy, amely ivertálható és amelyek az iverze em folytoos? Megoldás Aduk példát ilye függvéyre Tekitsük egy E halmazt, amely em itervallum: például E = (, { } (, + és f : E függvéyt, amelyet így értelmezzük: +, ha < f =, ha =, ha > Ez a függvéy szigorúa övekvő és folytoos (az = pot izolált pot és ezért itt folytoos Köyű beláti, hogy ivertálható és az f : E függvéy: Ez a függvéy az, ha < f =, ha = +, ha > = potba em folytoos 47 Gyakorlatok és feladatok Taulmáyozd a következő függvéyek folytoosságát: +, a f :, f = ; (Érettségi, 989, = b f :(,, c f :,, ( ] e + l,, f = ;, > si f =, ;, =
Folytoos függvéyek 7, d f :, f = ;, = + +, e f :, f = ; 4+, \ cos + e f f :, f = lim ; (Felvételi, 99 Galaţi + e + ( + 5 g f :, f = lim ( + 5 Határozd meg az a valós paraméter értékét úgy, hogy az alábbi függvéyek folytoosak legyeek (külö-külö: a f :, si f = + e, ; a, = b + a, (, a] f :, f = ; a, ( a, c e + a( + e f :, f = lim ; e + e (Felvételi, 977 Galaţi e, [,] d f :, [ ], f( = si ( (Felvételi, 996 Bukarest a, (, ] 5+ 4 Igazold, hogy a következő függvéyek redelkezek a Darbou tulajdosággal: si, ha si, ha a f = ; b f =, ha =, ha = 4 Igazold, hogy a következő függvéyek em Darbou tulajdoságúak:, ha > e,ha< a f = ; b f =, ha = +, ha, ha < 5 Bizoyítsd be, hogy az f :,, f =, \ függvéy em Darbou tulajdoságú és határozd meg az összes olya itervallumot, amelyek képe is itervallum! 6 Igazold, hogy az 5 6 4 + = egyeletek va pozitív gyöke 7 Bizoyítsd be, hogy az = cos egyeletek va gyöke 8 Va-e valós megoldása a 4 + + = 5 8+ egyeletek? 9 Taulmáyozd az alábbi függvéyek előjelét:
8 Folytoos függvéyek f ( + f ( 5 6 l( a :,, b f : (,, f c :,, = + ; = ; + f [ ] f = si + cos f : f = + d, ; e f :, f e = ; Igazold, hogy az f : (,, f iverze f :(, folytoos függvéy ; = függvéy ivertálható és az + Határozd meg az összes f :, [ ] folytoos függvéyt, amelyre f ( f = f mide [, ] eseté Bizoyítsd be, hogy ha az f : I függvéy Darbou tulajdoságú, akkor ics elsőfajú szakadási potja Bizoyítsd be, hogy ha az f : I függvéy ijektív és folytoos, akkor szigorúa mooto 4 Bizoyítsd be, hogy ha f : I mooto és az Im f = f ( I halmaz itervallum, akkor az f folytoos 5 Bizoyítsd be, hogy ha az f :[ ab, ] [ ab, ] függvéy Darbou tulajdoságú és véges sok szakadási potja va, akkor va legalább egy fipotja 6 Határozd meg az f :(, folytoos függvéyeket ha f ( y = f + f ( y, y, > f : ab, ab, függvéy folytoos, akkor 7 Bizoyítsd be, hogy ha az [ ] bármely természetes szám eseté létezik olya haladváy, amelyre f ( c = k k k= k= c c = a b számtai k, k, (Megyei olimpia, Da Ştefa Mariescu 8 Az f :, folytoos függvéyre igaz a következő állítás: Tetszőleges ( valós számsorozat potosa akkor koverges, ha az f ( sorozat is koverges Bizoyítsd be, hogy az f függvéy em korlátos (Megyei olimpia 9 Bizoyítsd be, hogy az + + + = l egyeletek egyetle + + + pozitív gyöke va Ha -el jelöljük ezt a gyököt, számítsd ki a lim határértéket! (Megyei olimpia, Cristiel Mortici f :,, folytoos függvéyt, amelyre Határozd meg az összes [ [ f( f + f =, [, (Dorel Miheţ