Feladatgyûjtemény Analízis III. Sáfár Zoltán NyME-SEK 20
Tartalomjegyzék. Számsorozatok számsorok 2. Differenciálszámítás 5 2.. L Hospital-szabály............................... 7 3. Függvénysorok Taylor-polinom 7 4. Magasabb dimenziós vektorok sorozatok 0 5. Elemi többváltozós függvények 6. Kétváltozós függvények határértéke 2 7. Kétváltozós függvények folytonossága 3 8. Parciális differenciálhatóság 4 8.. Az érintõsík egyenlete többváltozós Taylor-polinom............. 6 9. Szélsõérték meghatározása 7 9.. Lokális szélsõérték............................... 7 9.2. Globális szélsõérték............................... 8 9.3. Feltételes szélsõérték.............................. 9 i
. Számsorozatok számsorok Ismétlés: Tetszõleges valós számokra (a b R) (a b)(a+b) = a 2 b 2 (a b)(a 2 +ab+b 2 ) = a 3 b 3. Általánosabban bármely természetes kitevõ esetén (n N) a n b n = (a b)(a n +a n 2 b+a n 3 b 2 + +b n )... Definíció. Sorozat: a természetes számok halmazán értelmezett függvény..2. Definíció. Egy {a n }( R) sorozat konvergál a-hoz ha elég nagy indexre tetszõlegesen közel kerül hozzá azaz ε > 0 n 0 N n n 0 : a n a < ε. Jelölés. Ha az {a n } sorozat határértéke a akkor a következõ jelölést használjuk: lim a n = a. Jelölés. Az a elem ε(> 0) sugarú környezetét a következõképp jelöljük: G(aε) = {a n : a n a < ε}..3. Definíció. Egy {a n } sorozat monoton növõ (csökkenõ) ha a n ( )a n azaz a n a n ( )0 vagy a n a n ( )..4. Definíció. Egy {a n } sorozat felülrõl (alulról) korlátos ha a tagjai valamely értéknél nem vesznek fel nagyobb (kisebb) értéket azaz K R : a n K ( k R : a n k). A sorozat korlátos ha felülrõl és alulról is korlátos: k a n K..5. Definíció. Egy {a n } sorozat valódi divergens ha a határértéke vagy. Nem valódi divergens ha korlátos de nincs határértéke... Tétel (Mûveletek és határérték). Tegyük fel hogy c R tetszõleges szám és lima n limb n < ekkor lim(a n ±b n ) = lima n ±limb n lim(ca n ) = clima n lim(a n b n ) = lima n limb n ha limb n 0 akkor lim an b n = liman limb n.
.2. Tétel (Majoráns-minoráns kritérium). Legyenek{a n }{b n }{c n } nemnegatív sorozatok. (i) Ha lima n < és valamely indextõl kezdve b n a n akkor limb n <. (ii) Ha limc n = és valamely indextõl kezdve b n c n akkor limb n =..3. Tétel (Rendõrelv). Tegyük fel hogy lima n = a = limc n és elég nagy indexekre a n b n c n. Ekkor limb n = a..4. Tétel. Nevezetes határértékek: (i) sint lim t 0 t =. (ii) Jelölje e a természetes logaritmus alapját ekkor ( lim + k ) n = e k n.6. Definíció. Sor: formális végtelen összeg..7. Definíció. Legyen {a n } R. A a n sor konvergens ha az s n := n a n részletösszegek sorozata konvergens. Konvergenciakritériumok:.5. Tétel (Szükséges feltétel). Ha a n konvergens akkor lima n = 0..6. Tétel (Cauchy-féle belsõ). Egy a n sor pontosan akkor konvergens ha a végszeletek összege tetszõlegesen kicsi azaz n+k ε > 0 n 0 k R + : s n+k s n = a l < ε..7. Tétel (D Alambert-féle hányados). Legyen a n > 0. Ha lim sup { < akkor a sor konvergens a n+ = q = nem tudjuk használni ezt a kritériumot a n > akkor a sor divergens..8. Tétel (Cuachy-féle gyök). Legyen a n > 0. Ha l=n k= lim sup { < akkor a sor konvergens n an = q = nem tudjuk használni ezt a kritériumot > akkor a sor divergens..9. Tétel (Leibniz). Ha a n váltakozó elõjelû éslima n = 0 akkor a a n sor feltételesen konvergens. 2
.0. Tétel. Nevezetes sorösszegek: (i) Mértani sor összege: ha q < akkor n=0 q n = q. (ii) n=0 n! = e.. A konvergencia definiciója alapján bizonyítsuk be hogy a megadott {a n } sorozat a- hoz konvergál (adjunk meg n 0 küszöbindexet). Hányadik elemtõl (n ) kezdve esnek a sorozat elemei az a szám r sugarú környezetébe? (a) a n = 2n 2n+ a = r = 0 2 (b) a n = 4n 3 4 n + a = 3 r = 3 (c) a n = n2 n+ a = r = 20. 2. Vizsgáljuk meg a következõ sorozatokat monotonitás korlátosság és konvergencia szempontjából: (a) a n = 2n+4 3n 3 (b) b n = 3n+ n (c) c n = n 5n+ (d) d n = 2n2 +3 2n 2 n 2 (e) e n = (+ 2 n )0. 3. Igazolja hogy a c n = n 5n+ 4. Igazoljuk hogy amint n tart végtelenbe. sorozatnak a 24 25 nem határértéke! n+ n 0 és n( n+ n) 2 5. Határozzuk meg a határértékeket: (a) lim 2n 2 +2 3 n 3n 2 +2n + n (b) lim (c) lim ( 3 n+ 3 n ) n (d) lim 8 n 2 3
(e) lim n n 2 + (f) lim n( (n+a)(n+b) n) (g) lim n n 3 +3n (h) lim n 3 n +2 n (i) lim (+ 2n )n (j) lim ( n 2 ) n (k) lim ( n 2 ) n (l) lim ( n2 + n 2 2 )n2. 6. Bizonyítsuk be hogy az alábbi sorok konvergensek és határozzuk meg a sorok összegét! (a) + ( )n + + +... 2 4 8 2 n (b) + + + + +... 2 2 3 3 4 n(n+) (c) (d) (e) (f) (g) k=0 k=0 k=0 0 k 20 0 k 5 2k+ ( 5 k k=0 k=0. k(k+) 5 k+ ) 7. Konvergensek-e a következõ sorok: (a) (b) (c) (d) (e) k= k= k k! k ( ) k k= k= k= 2k 2k k 4
(f) (g) (h) (i) (j) (k) k=2 k=2 lnk k 2 ( k )k k= ( k+ 3k )k k= ( 2k+ 3k+ )4k+ k= k=0 +( ) k 2 k. 2. Differenciálszámítás Ismétlés: Negatív- és törtkitevõ: Legyen q R ekkor a q = /a q és q a = a /q. A logaritmus függvény azonosságai: Legyen 0 < abc ekkor log a b = log cb log c a. Az e x és lnx függvények egymás inverzei azaz q = e lnq q > 0. 2.. Definíció. Egy valós f függvény (f : R R) differenciálhányadosát egy x 0 ( D f ) pontban a f(x 0 ) f(x) lim x x 0 x 0 x = lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h határértékkel definiáljuk és f (x 0 )-lal jelöljük. Az f függvény deriváltfüggvényét minden olyan pontban értelmezzük ahol f (x 0 ) és értékét f (x 0 )-lal adjuk meg. 2.. Tétel. Alapfüggvények deriváltja: (x q ) = qx q q R számra; (sinx) = cosx (cosx) = sinx (e x ) = e x (lnx) = /x. 5
2.2. Tétel (Deriváltfüggvény és mûveletek). Legyen c R és f g differenciálható függvény valamely intervallumon. Ekkor (f ±g) = f ±g (cf) = c f (fg) = f g +fg (f/g) = (f g fg )/g 2. Ha g differenciálgató x-ben és f differenciálható g(x)-ben akkor az összetett függvényre: (f(g(x))) = f (g(x)) g(x) láncszabály. 8. A definíció alapján határozzuk meg a következõ függvények differenciálhányadosát az adott pontokban: (a) f(x) = x 2 x 0 = 2 3a (b) g(x) = x x 0 = 2 3a(> 0) (c) h(x) = 2x x 3 x 0 = 2 3a( 3) (d) i(x) = x x 0 = 2a. 9. Határozzuk meg az abc paraméterek értékét úgy hogy a függvény mindenütt differenciálható legyen: { x 2 +ax+b x < 2 f(x) = 2 x = 2 2ax 2 2x+c x > 2. 0. Deriváljuk a következõ függvényeket: (a) x+ x+ 3 x (b) x (c) xsinx (d) 6x+3 4x 3 (e) (2 x2 )(3 x 3 ) ( x) 2 (f) sin n xcosnx (g) ln x (h) x+ x (i) tan x 2 cot x 2 (j) sin(sin(sin x)) (k) e 3x 7 6
(l) 2 x+ 3 x (m) x 5 5 x (n) log 3 lnx (o) x x (p) e ex +x (q) ln x (r) (sinx) cosx (s) sinx cosx (t) log sinx cosx. 2.. L Hospital-szabály 2.3. Tétel. Legyen f és g két olyan függvény amelyre lim f(x) = 0 = lim g(x) valamely x x0 x x0 x 0 pontban és g (x) 0. Ekkor f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Megjegyzés. A fenti tételt általában 0 típusú határérték esetében alkalmazzuk. Azonban a tétel csak hányadosra alkalmazható!. Határozzuk meg a következõ határértékeket: (a) lim x 2 x 2 5x+6 x 3 2x 2 x+2 (b) lim x 0 e x e x x lnx (c) lim x x (d) lim xlnx x 0+ (e) lim x xe x (f) lim( ) x lnx x (g) lim x 0+ xx. 3. Függvénysorok Taylor-polinom 3.. Definíció. Hatványsor: a n x n alakú végtelen összeg. Konvergenciatartomány: azon x 0 pontok halmaza melyre a a n x n 0 Konvergenciasugár: a konvergenciaintervallum hosszának a fele. számsor konvergens. 7
3.2. Definíció. Egy f függvény x 0 pont körüli Taylor-sora: T f (x 0 ) = n=0 3.. Tétel. Nevezetes 0-körüli Taylor-sorok: e x = n=0 sinx = x n n! n=0 cosx = n=0 x = n=0 x 2n+ (2n+)! x 2n (2n)! ln( x) = x n ha x < n= x n n ha x <. f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! 2. Határozzuk meg a következõ függvénysorok konvergenciatartományát: (a) (b) (c) k= k= k= k x x 0 x k sinkx k 2. 3. Számítsuk ki a következõ hatványsorok konvergenciasugarát és konvergenciaintervallumát: (a) kx k (b) (c) k= 3 k+ x k k=0 k= x 2k (2k)!. 4. Fejtsük hatványsorba a következõ függvényeket és adjuk meg a hozzájuk tartozó konvergenciaintervallumokat: (a) f(x) = 3 x+ (b) g(x) = x 5+x (c) h(x) = 2x x 2 8
(d) i(x) = 2x ( x) 2 (e) j(x) = x 2 ln( x) (f) k(x) = x 2 5x+6 (g) l(x) = ln(x 2 5x+6) (h) m(x) = sin 2 x. 5. Írjuk fel a P(x) = +3x+5x 2 2x 3 polinomot x+ hatványai szerint (nemnegatív egész kitevõkkel). 6. Írjuk fel az alábbi függvényeket olyan kifejezések alakjában amelyek a megadott fokú tagig bezárólag az x változó nemnegatív egész kitevõs hatványait tartalmazzák! (a) ln(cosx); x 6 (b) tanx; x 5 (c) x e x ; x4. 7. Fejezzük ki az f(x) = x függvényt x hatványaiból álló háromtagú összeg segítségével. 8. A Taylor-formula segítségével számítsuk ki közelítõleg az alábbi kifejezések értékét és becsüljük meg a hibát: (a) 3 30 (b) e (c) sin47 (d) arctan 0.8. 9. Határozzuk meg a következõ határértékeket! cosx e x 2 /2 x 0 x 4 (a) lim e (b) lim x sinx x(+x) x 0 x 3 (c) lim x 0 ( x sinx ) (cosx) (d) lim sinx. x 0 x 3 20. A nevezetes hatványsorok segítségével fejtsük nulla körüli hatványsorba: (a) e x2 (b) cos 2 x (c) x. +x 2x 2 2. Számítsuk ki a következõ integrálok értékét 0 3 pontossággal: 9
(a) (b) (c) 0 2 0 0 e x2 dx sinx x dx cos 2 xdx. 4. Magasabb dimenziós vektorok sorozatok Jelölés. Az n dimenziós valós vektorok jelölése: a = [a a 2...a n ]b R n. 4.. Definíció. Vektorok összege: komponensenként vagyis a+b = [a +b a 2 +b 2...a n +b n ] R n. Skalárral szorzás: tetszõleges c R esetén ca = [ca ca 2...ca n ] R n. Skaláris vagy belsõ szorzat: ahol a = ab = a b +a 2 b 2 + +a n b n = a b cos(ab) R n a 2 k az a vektor hossza és cos(ab) a vektorok által bezárt szög. k= Vektoriális vagy kereszt szorzat: legyen a és b térbeli (3 dimenziós) vektor akkor a b =: d R 3 ahol d = a b sin(ab) és az (abd) rendszer jobbsodrású rendszert alkot. 4.. Következmény. Az a és b vektorok merõlegesek ha ab = 0. 22. Ábrázoljuk az xy síkon a következõ vektorsorozatok elsõ öt tagját és határozzuk meg azoknak a görbéknek az egyenletét amelyeken e sorozatok pontjai elhelyezkednek: (a) x k = ( 3 k 0) (b) x k = ( 6 k 3 k ) (c) x k = ( 6 k 6 k ). 23. Legyenek adva a következõ vektorok: a = [02306]b = [00]c = [0 ] és d = [i 0 + i 0 i]. Végezzük el az alábbi mûveleteket: (a) (2a+b c)c (b) a b (c) cd dc (d) d 2 (e) b2 c 0
(f) ac a c. Számítsuk ki a b vektor hosszát valamint az a és c vektorok összegét! 24. Határozzuk meg azt a vektort amelynek utolsó koordinátája és merõleges az [00 2][00][ 0] vektorok mindegyikére! 25. Mutassuk meg hogy a következõ sorozatok korlátosak. Adjunk meg olyan gömböt amely a sorozat tagjait tartalmazza: (a) x k = (( ) k ) (b) x k = ( 2 k+ + k ) (c) x k = ( k k k+ k k+3 k ) (d) x k = (( ) k ( ) [k/2] ( ) [k/3] ). 5. Elemi többváltozós függvények 5.. Definíció. Egy f(x y) függvény szintvonalain azokat a görbéket értjük amit a felületbõl egy az (xy) síkkal párhuzamos sík kimetsz. 26. Határozzuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és ábrázoljuk koordinátarendszerben azt: (a) x 2 y 2 (b) x y (c) ln(xy) (d) ln(sinxcosy) (e) x 2 + y 2 (f) ln(xln(y x)) (g) x 2 +y 2 (h) arcsin y x. 27. Állítsuk elõ az f(y/x) függvényt ha f(xy) = 2xy 28. Adjuk meg az f(x) függvényt ha f(y/x) = x 2 +y 2. 29. Határozzuk meg f(xy)-t ha f(x+yy/x) = x 2 y 2. x 2 +y 2 x ahol x > 0. 30. Határozzuk meg a következõ függvények szintvonalait: (a) x+y (b) x 2 +y 2
(c) x 2 y 2 (d) y x (e) x +y (f) max{ x y } (g) min{x 2 y}. 6. Kétváltozós függvények határértéke 3. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: (a) (b) (c) (d) lim x y x+y x 2 xy+y 2 lim xcosy x 0 y lim x 0 y 0 x 2 +y 2 x 2 +y 2 +4 2 ln(x+e lim y ) x x 2 +y 2 y 0 ( xy (e) lim ) x2 x x 2 +y 2 y (f) lim (+ ) x2 x x y 0 x+y. 32. Vizsgáljuk meg hogy az alábbi kétváltozós függvényekre és a megadott x 0 y 0 értékekre léteznek-e az L 2 = lim[lim f(xy)] L 2 = lim[ lim f(xy)] és L = lim f(xy) x x0 y y0 y y0 x x0 x x 0 y y 0 határértékek s ha igen határozzuk meg ezeket: (a) x y x+y x 0 = y 0 = 0 (b) xy x+y xy+x+y x 0 = y 0 = 0 (c) x2 +y 2 x 2 +y 4 x 0 = y 0 = (d) xcosy x 0 = 0 y 0 = 2
(e) 2xy x 2 +y 2 x 0 = y 0 = 0 (f) sinxy x x 0 = 0 y 0 = a (g) (x 2 +y 2 )e (x+y) x 0 = y 0 = (h) (x+y)sin sin x x y 0 = y 0 = 0 { xsin (i) f(xy) = +ysin x 0 y y x 0 x = 0 vagy y = 0 (j) f(xy) = xy +x y x 0 = y 0 = 0. 7. Kétváltozós függvények folytonossága 7.. Definíció. Egy f(xy) függvény folytonos valamely (x 0 y 0 ) D f pontban ha lim f(xy) = f(x 0 y 0 ). x x 0 y y 0 A szakadási helyek azok a pontok ahol a függvény nem folytonos. 33. Mutassuk meg hogy az f(xy) = { x 2 y 2 x 2 +y 2 (xy) (00) 0 (xy) = (00) függvény folytonos a (00) pontban. 34. Határozzuk meg a következõ függvények szakadási pontjait: (a) x 2 y 2 (b) sin xy (c) xy x+y (d) sinxsiny. 35. Mutassuk meg hogy az f(xy) = { 2xy x 2 +y 2 x 2 +y 2 0 0 x 2 +y 2 = 0 függvény mindkét változója szerint folytonos ha a másik változó értékét tetszõleges módon rögzítjük de mint kétváltozós függvény már nem folytonos. 3
8. Parciális differenciálhatóság A parciális derivált szemléletesen azt jelenti hogy az egyik változót lerögzítjük és csak a másikat engedjük változni ami szerint differenciálunk. Lényegében a felületünket elvágjuk a rögzített változó egyértékénél az (x y) síkra merõleges síkkal és a kapott (sík)görbét deriváljuk. 8.. Definíció. Az f : R n R függvény differenciálható a P 0 R n pontban ha f(p) f(p 0 ) = gradf PP 0 +ω(p) PP 0 ahol gradf := [f x f x 2...f x n ] az f függvény gradiensvektora és ω(p) olyan függvény amely határértéke 0 ha P P 0. 8.. Tétel. Ha az f függvény parciális deriváltjai folytonosak valamely pontban akkor az f függvény differenciálható ebben a pontban. 8.2. Tétel. Legyen e egy adott egységvektor R n -ben. Ha az f differenciálható a P 0 pontban akkor itt bármely e iránymenti differenciálhányadosa létezik és f e = e gradf(p 0). Ha f kétváltozós függvény és α egy adott szög akkor az f függvény α iránymenti deriváltját az e = [cos α sin α] segítségével határozzuk meg. 36. Számítsuk ki a következõ függvények parciális deriváltjait majd hozzuk egyszerûbb alakra. (a) x 2 2xy +y 2 x+ (b) (x 3 2x 2 y +y 2 ) 7 (c) e x2 +y 2 (d) sin(x 2 +y 2 ) (e) arcsin x y (f) sin/y (g) 2 x/y (h) (x 2 +y 2 ) lgx (i) (2x+y) 2x y. 37. Számítsuk ki a következõ függvények másdokrendû parciális deriváltjait: (a) x 3 3x 2 y +xy 2 +y 3 (b) x y x+y (c) sinxcosy (d) e x y z. 4
38. Határozzuk meg az f x (x) parciális deriváltat ha f(xy) = x+(y )arcsin x y. 39. Határozzuk meg az f x(00) és f y(00) értékét ha f(xy) = 3 xy. Differenciálható-e a függvény az origóban? 40. Legyen f(xy) = { e x 2 +y 2 x 2 +y 2 > 0 0 x 2 +y 2 = 0. Vizsgáljuk meg hogy differenciálható-e a függvény az origóban! 4. Állítsuk elõ a következõ függvények elsõ és másodrendû parciális deriváltjait: (a) x 4 +y 4 4x 2 y 2 (b) xy + x y (c) x y 2 (d) cosx2 y (e) tan x2 y (f) x y (g) ln(x+y 2 ) (h) arctan y x (i) arcsin x x 2 +y 2. 42. Számítsuk ki az alábbi függvények gradiensét az adott helyen: (a) f(xy) = xln(x+y) ( 23) (b) g(xy) = arccos x y (2) (c) h(xy) = z x 2 +y 2 (3 47). 43. Keressük meg azokat a pontokat amelyekben az alábbi függvények gradiense nullvektor: (a) 3x 2 4xy +2x+y 2 + (b) x 2 +xy +2y 2 5x+y +3. 44. Állapítsuk meg hogy a következõ függvények gradiense mely pontban lesz egységvektor: (a) xy +x 2y +5 (b) sin(x+y)+cos(x+y) (c) x 2 +y 2 +z 2. 45. Állapítsuk meg hogy hol lesz azf(xy) = 2 (x2 y 2 ) függvény gradiense aza = [34] vektorra merõleges 5 egységnyi abszolút értékû vektor. 5
46. Állapítsuk meg hogy hol lesz az f(xy) = xy + x y függvény gradiense az a = [ ] vektorra merõleges egységvektor. 47. Állapítsuk meg hogy hol lesz az f(xy) = xy 2x+3y függvény gradiense olyan 0 egységnyi abszolút értékû vektor amely ellentétes irányú az a = [3 4] vektorral. 48. Számítsuk ki az alábbi függvények iránymenti differenciálhányadosát a megadott P 0 pontban az e vektor irányában: (a) f(xyz) = 2 x yz P 0 ( ) e(02 ) (b) f(xy) = 2x 2 3xy +y 2 +5 P 0 () e( 2 2 ) (c) f(xy) = x2 y 2 x 2 +y 2 P 0 (340) e( 2 3 2 ) (d) f(xyz) = xe y2 z P 0 (20) e( 2). 49. Számítsuk ki az alábbi függvények α iránymenti differenciálhányadosát a megadott P 0 pontban: (a) f(xy) = x 2 +y 2 α = 60 P 0 ( 3) (b) f(xy) = x 2 +y 2 α = 35 P 0 ( 55) (c) f(xy) = tan(2x+y) α = 7π/4 P 0 (π/6π/3). 8.. Az érintõsík egyenlete többváltozós Taylor-polinom 8.2. Definíció. A kétváltozós f függvény Taylor-polinomja az (x 0 y 0 ) D f pontban: T f (x 0 y 0 ) = n n=0 k=0 ( ) n f (kn k) (x 0 y 0 ) (x x 0 ) k (y y 0 ) n k k n! Megjegyzés. Több változó esetén is hasonlóan lehet felírni de az összegképlet bonyolultsága miatt ezt nem részletezzük. Megjegyzés. Érintõsík vagyis lineáris közelítés esetén n =. 50. Számítsuk ki közelítõleg az alábbi értékeket egy megfelelõen választott függvény lineáris közelítésével: (a) 397 2 (b) 002 2003 2 3004 3 (c) sin29 tan46 (d) 02 3 +97 3. 5. Írjuk fel az alábbi függvényeknek a megadott helyhez tartozó elsõ és második Taylorpolinomját: (a) f(xy) = 2x 2 xy y 2 6x 3y +5 P 0 ( 2) 6
(b) f(xy) = sinxsiny P 0 (π/4π/4) (c) f(xyz) = x 2 +y 2 +z 2 +2xy yz 4x 3y z +4 P 0 (). 52. Írjuk fel az alábbi függvényeknek a megadott helyhez tartozó harmadik Taylorpolinomját: (a) f(xy) = x y P 0 () (b) f(xy) = x 2 y P 0 () (c) f(xy) = e x+y P 0 ( ) (d) e x siny P 0 (0π/2). 53. Írjuk fel az f(xy) = x 3 2y 3 +3xy polinomot x és y 2 polinomjaként. 54. Írjuk fel az f(xy) = x 3 +y 3 6xy+6y 2 5x+2y+28 polinomot x és y+2 polinomjaként. 55. Számítsuk ki közelítõleg az alábbi értékeket a négy alapmûvelet segítségével: (a) 0.95 2.0 n = 2 (b)..02 n = 3 (c).03 3 0.98 n = 2. 9. Szélsõérték meghatározása 9.. Lokális szélsõérték 9.. Tétel (Szükséges feltétel). Ha az f : R n R függvénynek szélsõértéke van a P 0 pontban akkor gradf(p 0 ) = 0. 9.2. Tétel. Egy f : R n R függvénynek pontosan akkor van szélsõértéke a P 0 pontban ha teljesül a szükséges feltétel és az f x x f x x 2 f x x n f x 2 x f x 2 x 2 f x 2 x n...... f x nx f x nx 2 f x nx n mátrix fõminorjai a bal felsõ saroknál kezdõdõ k k-as mátrixok determinánsai nem nullák a P 0 pontban. (i) Ha a fõminorok mindegyike pozitív akkor a függvénynek minimuma van P 0 -ban (ii) ha váltakozó elõjelûek úgy hogy f x x < 0 akkor maximuma van. 7
Megjegyzés. Ha bármelyik fõminor értéke 0 akkor más módszerrel kell megvizsgálni a függvényt. Megjegyzés. Az n = 2 esetben tehát ha gradf(p 0 ) = 0 és ( ) f xx f xy det f xy f yy > 0 akkor az f függvénynek szélsõértéke van ha det < 0 akkor nyeregpontja van. 56. Állípítsuk meg hogy vannak-e lokális szélsõértékei az alábbi kétváltozós f függvényeknek és ha igen hol és milyen: (a) f(xy) = x 3 +y 3 3xy (b) f(xy) = 4x 2 +2xy 5y 2 +2 (c) f(xy) = x 4 +y 4 (d) f(xy) = x 4 y 4 (e) f(xy) = x+ y x + 8 y (f) f(xy) = e xy (g) f(xy) = ysinx (h) f(xy) = sinx+cosy. 57. Állípítsuk meg hogy vannak-e lokális szélsõértékei az alábbi többváltozós f függvényeknek és ha igen hol és milyen: (a) f(xyz) = x 2 +y 2 +z 2 +2x+4y 6z (b) f(xyz) = yz 2x+3z (x 2 +y 2 +z 2 ) (c) f(xyz) = x+ y z + z y + 6 z (d) f(xyz) = x+ y/2 4x + z/2 y + 2 z. 9.2. Globális szélsõérték Megjegyzés. Egy kompakt (R n -ben korlátos és zárt) halmazon értelmezett függvénynek vagy a tartomány belsejében lévõ lokális szélsõérték-helyeken lehet globális szélsõértéke vagy a tartomány határán. Megjegyzés. Az (ab) középpontú és r sugarú kör egyenlete: (x a) 2 +(y b) 2 = r 2 ennek egy paraméterezése: (xy) = (rsint+arcost+b) ahol 0 t < 2π. 58. Határozzuk meg az alábbi függvények abszolút minimumát és maximumát a megadott tartományon: (a) f(xy) = x 2 +y 2 2x 2y 3 {(xy) : x 0 y 0 y 9 x} (b) f(xy) = x 2 +y 2 2x 2y 3 {(xy) : x 0 y 0 y < 9 x} 8
(c) f(xy) = x 2 +y 2 xy {(xy) : x 4 0 y x} (d) f(xy) = e x2 siny {(xy) : x π y π} (e) f(xy) = cosxsiny {(xy) : π 4 x 5π 4 π y π 3 } (f) f(xy) = x 2 +y 2 +xy x {(xy) : x 2 +y 2 } (g) f(xy) = x 2 +y 2 +xy 3x {(xy) : x 2 +y 2 3}. 9.3. Feltételes szélsõérték 9.3. Tétel. Ha az f : {(xy) : g(xy) = 0} R függvény mindkét változója szerint parciálisan differenciálható az (x 0 y 0 ) pontban és ott szélsõértéke van akkor λ 0 : gradf(x 0 y 0 ) = λ 0 gradg(x 0 y 0 ). Megjegyzés. A fenti feltétel ekvivalens azzal hogy a h(xyλ) := f(xy)+λg(xy) gradiense 0 az (x 0 y 0 λ 0 ) pontban. Ezt a λ 0 -t hívják Lagrange-féle multiplikátornak. 59. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós f függvényeknek a megadott görbére vonatkozó feltételes szélsõértékeit paraméterezéssel: (a) f(xy) = xy y = 2x+ egyenes ( )(0) pontok közötti szakasza (b) f(xy) = xy x 2 +y 2 = 4 x 0 y 0 (c) f(xy) = 2x 2 +y 2 + x 2 +y 2 = 4 (d) f(xy) = x 2 +2y 2 x 2 /4+y 2 /9 = y x (e) f(xy) = 3x+2y x 2 /4+y 2 /9 = x 0. 60. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós f függvényeknek a megadott feltételekre vonatkozó feltételes szélsõértékeit a Lagrange-féle multiplikátorok segítségével: (a) f(xy) = xy x 2 +y 2 = (b) f(xy) = x 2 +y 2 xy = 3 (c) f(xy) = x 2 +y 2 x a + y b = (d) f(xy) = x+y x 4 +y 4 =. P.S. Kérek mindenkit hogy ha talál hibát még a legegyszerûbbet is jelezze a safar.zoltan@ttk.nyme.hu címemre. 9