Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Soozat hatáétéke egye a, és b egye a -, és b - Ige egye a -, és b - Nem egye a -, és b - 6 Nem egye a -, és b - 7 Nem egye a _- i, és b 8 Ige egye a _- i, és b 9 Mivel az a soozatál mide f-hoz va olya küszöbide, amelyél agyobb ideû elemek A-tól f-ál kevésbé téek el, ezeke igaz az is, hogy a b soozat elemei is f-ál kevésbé téek el, hisze + > Nem egye a _- i, és b _- i Nem egye a _- i, és b _- i a) Nem egye a _- i, és b J N J b) Nem egye a si K O, és b cos N K O Mivel az a soozatál mide f-hoz va olya küszöbide, amelyél agyobb ideû elemek -tól f-ál kevésbé téek el, ezét igaz az is, hogy a b soozat elemei is f-ál kevésbé téek el -tól, ha pl > + Mivel az a soozatál mide f-hoz va olya küszöbide, amelyél agyobb ideû elemek -tôl f-ál kevésbé téek el, ezét igaz az is, hogy a b soozat elemei is f-ál kevésbé téek el -tôl, ha pl > Bizoyítsuk idiekt módo Tegyük fel, hogy b soozat koveges, és hatáétéke B; a c a + b soozat hatáétéke pedig legye C Két kove-
8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei ges soozat külöbsége is koveges, és hatáétéke a soozatok hatáétékeiek a külöbsége, tehát az a c - b soozat koveges, ami elletmod a feltevések éldául legye a _- i, és b _- i +, ekko összegük az azoosa soozat J a N 6 Az a soozatak csak véges sok eleme lehet ulla, külöbe az K b O soozatak lee olya észsoozata, ami ullához kovegál, ami elletmod aak, hogy a hatáétéke Tekitsük akko a legagyobb ideû ullelem J a N utái észsoozatot! egye c K b O soozat, amiek tehát ics ulleleme a a Átedezve b, ahoa lim b lim, amit bizoyítai kellett Két ilye soozat például a c c, és b - J a N 7 egye c K b O soozat, ahoa a b$ c, és lim a lim b$ lim c $, ha k, ha k- 8 Nem l a * és b - *,, ha k- -, ha k ekko egyik soozatak sics hatáétéke, ha k, ha k- 9 a) Nem l a * és b *, ha k-, ha k b) Ige Tegyük fel, hogy midkét soozat kolátos Ekko 7 olya A és B valós szám, amelye a < A és b < B 6! N-e Ebbôl viszot az következik, hogy a$ b a $ b < AB<, ami elletmodás Z, ha k, ha k 6 Nem l a * és b, ha k- ] - [, ], ha k \ így egyik soozatak sics hatáétéke 6 Nem l a - és b, így a háyadossoozatak hatáétéke - J - N J 6 a) _ a+ bi K O K O + - N J K + O - N K O - + K O + - + - + -- + - - ` + j ` + j +
Soozat hatáétéke 8 A számlálóba és a evezôbe tagokét véve a hatáétéket, világos, hogy a evezô -hez, a számláló -el + -hez tat J - NJ b) _ a bi K O - N K O K OK + O J N - J - N - - J N K - O $ - K O K + O + K K O O K + O Az elsô téyezô -höz, a második számlálója és evezôje is -hez tat, ezét lim ab $ 6 a a d $ d a d + _ - i + - Mivel a evezô magasabb fokú, mit a számláló, ezét a hatáéték ulla 6 Haszáljuk fel a számtai soozata és a hatáétéke ismet összefüggéseket a a d d + _ - i + d - a J d N Tehát a és d lim lim + d - d K O S 8 + _ - i$ B - 6 Ha < q <, akko a tagok abszolutétéke szigoúa mooto csökke, így - S a+ aq+ + aq > a+ aq, ha >, és! Ezét b S+ S+ fs > $ a+ aq_ - i ( a+ aq) -aq Ez a soozat viszot em kolátos, tehát em is koveges, ha a! és < q < 66 Tudjuk, hogy a- b a- b+ _ -i_ d-di, ahol d az a, d a b soozat diffeeciáját jelöli Ez a soozat viszot em kolátos, tehát em is koveges, ha (d az a, d ) Ha tehát koveges, akko d az a, d, a két soozat diffeeciája egyelô Ekko viszot a hatáétéke a- b, ami csak akko ulla, ha a két soozat elsô eleme is egyelô Tehát a két számtai soozat mide eleme megegyezik 67 Haszáljuk fel a számtai soozata ismet összefüggéseket S 8 a d + _ - i B d+ _ a-di Eek hatáétéke a legmagasabb fokú tagok háyadosa, tehát a `a+ _ -i dj < _ - i d + a_ - id+ a F d d, & d
8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 68 S 8 a d + _ - i B d d + a- Ez a soozat viszot em kolátos, tehát em is koveges, ha d & d & a 69 Haszáljuk fel a számtai soozata ismet összefüggéseket a a+ _ -i d Tudjuk, hogy, ahol d b az a, d a b soozat diffeeciáját b + _ - i d jelöli d Eek hatáétéke S 8 a d + _ - i B d+ a-d eek d R d b d b d + - 8 + _ - i B d hatáétéke, ami a feltétel szeit d 7 a) lim A soozat mide tagja pozitív, ezét elég a + < egyelôtleséget megoldai, & + >, > 99 + má jó + + b) lim lim, mivel a számlálóba és a evezôbe - - is a második tag ullához tat Az f,-hez tatozó küszöbide + 6+ 9-6+ meghatáozása: - <, & - _ - i 9 <, A töt biztosa pozitív, ha >, ezét csak azt 9-9 kell ézi, hol lesz <, Megoldás: 9 - - - c) lim lim lim + - _ - i_ + i _ + i Az f,-hez tatozó küszöbide meghatáozása: A töt biztosa pozitív, ezét csak azt kell ézi, hol lesz <, Megoldás: + 9 - d) lim, mivel a evezô magasabb fokú, mit a számláló Az f,-hez tatozó küszöbide - + meghatáozása:
Soozat hatáétéke 8 - - <, -, < <, A evezô felíható < _ + i + F alakba, ami midig pozitív, ezét az - + - + egyelôtle- séget végig lehet vele szoozi - + -< -< - + Mivel ( - )<, ha >, így csak a bal oldali egyelôtleséget kell megoldai < - + + # vagy $ Megoldás tehát: 7 Az alábbi feladatokba a evezô legmagasabb fokú hatváyával leosztva jutuk eedméye Ha a evezô a magasabb fokú, a hatáéték ulla, ha a számláló, akko a hatáéték a fôegyütthatók háyadosával megegyezô elôjellel + vagy -, míg ha megegyeztek a fokszámok, akko a hatáéték a fôegyütthatók háyadosa a) lim, met a evezô a magasabb fokú - 7 7 - + - + b) lim lim + - + - c) Hasolóa leosztva a evezô legmagasabb hatváyával - lim - 9 + - + 9 + d) lim - - - e) Mivel >, helyes a következô átalakítás: + + lim lim + + + - + -` - j f) lim - lim - + - - + lim - - 7 A következô példákál elôszö az összegeket zát alaka kell hozi + + + 6 a) lim lim lim + + + + _ + i +
8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei + + + + b) lim lim + lim + - - - c) lim - + - + lim + + + + _ + i_ + i 6 6 d) lim! $ +! $ +! $ + f +! $ _ + i! - lim _ + i! _ + i! J N lim K - O K _ + i! O 7 Ezekél a feladatokál a számláló vagy a evezô, esetleg midkettô gyökteleítése segít a) a _ + i-, ezét a soozat + + + + hatáétéke ulla b) lim c + - - m lim + - + + - - $ + - + + - + lim lim - - c) ásd b) + - + - + d) a + - - - + ` + -j-` - + j + - + - + - Az -el tagokét elosztva, a hatáéték e) Itt elég azt modai, hogy -el tagokét elosztva a számlálót és a evezôt is, a hatáéték ulla f) a + - - `_ + i-_ - ijb + + l + - b + + - l_ + -i b + + l Itt -et kiemelve a számlálóból és a evezôbôl adódik, hogy a hatáéték b + + -l
Soozat hatáétéke 8 7 Tetszôleges f > számhoz létezik olya N küszöbide, hogy az aál agyobb ideû elemek az A hatáéték köül az (A - f; A + f) itevallumba esek, tehát legfeljebb N daab elem va azo kívül Ez véges sok elem (valós szám), hozzávéve az (A - f) és az (A + f) számokat még midig véges, tehát va közöttük legkisebb és legagyobb Ezek megfelelek alsó és felsô kolátak Az állítás megfodítása em igaz, pl a cos ( ) 7 Tegyük fel, hogy az a soozat szigoúa mooto ô Tekitsük a soozat legkisebb felsô kolátját (a felsô hatáát), jelölje H Bizoyítadó, hogy va olya A szám, hogy mide f > számhoz található küszöbide, amely utái elemek má az (A - f; A + f) itevallumba esek izsgáljuk az [a ; H] itevallumot A feltételek szeit a soozat valameyi eleme ebbe az itevallumba esik Ha [a ; H] hossza kisebb f-ál, akko késze vagyuk, ha em, akko ézzük az [a ; H] itevallumot A mootoitás miatt [a ; H] [a ; H], és ha eek hossza kisebb f-ál, akko késze vagyuk, ha em, akko ézzük az [a ; H] itevallumot, ami észe az elôzô itevallumak Az eljáást folytatva egymásba skatulyázott itevallumsoozatot kapuk, ekko ugyais a Cato-aióma szeit va olya A szám, amely mide itevallumak potja Csak azt kell igazoli, hogy az itevallum hossza -hoz tat, met akko egyetle ilye szám va, és ez lesz a hatáéték A bizoyítást idiekt módo végezzük Tegyük fel, hogy va olya mide d > szám, amelyél mide itevallum hossza agyobb, tehát az [ A - f; A] itevallumba egyetle elem sem esik Ekko A em lehetett a legkisebb felsô kolát Ezzel elletmodása jutottuk, és kész 76 Mivel koveges a soozat, ezét kolátos, tehát va A alsó és F felsô R F A hatáa Tegyük fel, hogy egyik sem eleme a soozatak Az A; A+ - S W S W itevallumba tehát végtele sok elem va, külöbe véges sok elem közül kivá- T X lasztható lee a legkisebb, ami jó lee alsó hatáak is, és eleme a soozatak álasszuk az itevallum elemei közül egyet Azutá egy ettôl külöbözôt a A; A+ - R F A S W itevallumból stb Ezzel egy olya észsoozatot defiiáltuk, amiek a hatáétéke A Hasoló godolatmeettel és eljáással defi- S 8 W T X R F A iálhatuk egy olya soozatot is, ami F-hez tat, csak most az F - - S W ; F S W T X itevallumból kell kiiduli Egy koveges soozatak viszot em lehet két külöbözô tolódási potja, itt pedig ha A Y F, akko a két észsoozatak ics is közös eleme, met az itevallumokak ics közös potja Elletmodása jutottuk, tehát az eedeti állítás igaz (A F eseté mide elem egyelô, és megegyezik a hatáokkal) Az alsó hatá eleme a soozatak: a - A felsô hatá eleme a soozatak: b Midkét hatá eleme a soozatak: c _- i
86 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 77 Jelöljük az a soozat egy alsó kolátját A -lal, egy felsô kolátját F -lal Az [A ; F ] itevallumot a K felezôpotja két olya észe botja, amelyek közül legalább az egyikbe a soozatak végtele sok eleme va álasszuk ki azt a észitevallumot, és oa egy elemet Ez lesz a koveges b soozat elsô eleme Feltehetô, hogy modjuk az [ A ; K ] itevallumba esik végtele sok elem Mivel b elôtt az a soozatak csak véges sok eleme va, ezét ezeket elhagyva még midig végtele sok eleme va az a soozatak az [ A ; K ] itevallumba egye most A A és F K Ismételjük meg az elôzôeket most az [ A ; F ] itevalluma, így kapjuk b -t, és egy új [ A ; F ] itevallumot stb Ezzel elôállítottuk egy soozatot, amely bámely eleméôl tudjuk, hogy Ak# bk+ # Fk, és az itevallumok egymásba vaak skatulyázva, hosszuk -hoz tat, mivel mide lépésbe felezôdik Egyetle szám va tehát, amit mide itevallum tatalmaz, ez a b soozat hatáétéke És ez valóba jó is, met mide f > számhoz található küszöbide, amelyél agyobb ideû itevallumok hossza pl kisebb f-ál, és ezét az ezekbe az itevallumokba esô elemek bee vaak a hatáéték f sugaú köyezetébe 78 a) A soozat mide tagja pozitív, tehát alulól kolátos + + J N J N a $ < $ + K O + K O, tehát felülôl is kolátos A soozat szigoúa mooto csökke, met az összeg midkét tagja csökke, ha ô + lim + J N lim $ + lim K O Ebbôl következik, hogy a soozatak egy tolódási potja va + + (-) J N b) a + - & < a < K O, tehát kolátos soozat A soozat em mooto, hisze mide páos ideû elem a- gyobb -ál, mide páatla ideû pedig kisebb, mit R + + (-) S J N W J N lim lim S + - W + lim - + K O K O S W T X Ebbôl következik, hogy a soozatak egy tolódási potja va + J N J N J N J N J N J N J N J N c) a $ $ $ $ $ $ $ f <! K O K O K O K O K O K 6 O K 7 O K O, hisze a többi téyezô kisebb -él Mivel mide tag pozitív, így a soozat kolátos A soozat mooto csökke, met ha -ôl ( + )- e lépük, midig -él kisebb számmal szozuk
Soozat hatáétéke 87 + R J N J N J N J N J N J N J N J N S lim lim $ $ $ $ $ $ $ f W <! K O K O K O K O K O K 6 O K 7 O K O S W T X - J N < lim K 6 O,a hatáéték viszot csak emegatív szám lehet, tehát lim Egy tolódási pot va! + d) a + + + + $ _- i + + $ _-i A soozat kolátos, met mide tagja biztosa bee va a - ; ( - ) R S W S W itevallumba Nem mooto, mide tagja ellekezô elôjelû, mit T X az elôzô ( > ) Mivel ullához tat, ezét két tolódási potja va, a - és az Hatáétéke ics e) Osszuk le a számlálóba és a evezôbe tagokét -el! J N $ - K O a <, met a számláló kisebb, mit, a evezô agyobb, mit Tehát a soozat kolátos Köye látható, + + J N K + O hogy szigoúa mooto fogy, hatáétéke, egy tolódási potja va f) Osszuk le a számlálóba és a evezôbe tagokét -el! + ( -) + (-) a Azoal látható, hogy a soo- - + (-) -( -) zatak va hatáétéke, ami, tehát akko kolátos is Nem mooto + g) a + (-) ( - ) + + ( - ) $ Mivel az utolsó tag - hoz tat, ezét két tolódási potja va, a és a Hatáétéke ics, de kolátos, egyszeû duva becsléssel - és között va mide elem
88 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Métai soozat hatáétéke 79 Ha uqu <, akko az a a $ q (! N + ) métai soozat koveges Így koveges soozatokat kapuk az i), j), k), l), m), q), ) esetekbe Az (i ) soozat hatáétéke, a többi -hoz tat q - - q J 8 s Mivel q ", így s q - - q " - q Te N hat S K - q O 8 Az + q + q + + q " összefüggést alkalmazzuk - q a) A ; - b) B $ ; - c) C 8 $ 7; - d) D - $ -; - e) E -6 $ J N -; -- K O f) F - $ J N -; -- K O g) G $ J N -- K O Alkalmazhatuk speciális megoldási módszeeket is - J N l - G - + -! + $ - + K O, így - G G -, s ie G
Soozat hatáétéke 89 8 S a + aq + aq + + aq + a( + q + q + + q + ) a $ - q a) S ; b) S ; c) S - ; d) S - 7 9 8 A megoldásokba felhaszálhatjuk, hogy koveges sookat tetszôlegese átedezve összegük em változik meg J a) A(q) - q ; A N K O b) A B(q) összeget métai sook összegekét állítjuk elô: B(q) ( + q + q + + q - + ) + (q + q + q + + q - + ) + + (q + q + q + + q - + ) +, ie B(q) - q + q - q + - q + - q + + q + q q - $ ` + + + + q + j - q - q J N J K - q O ; B N 9 K O J N c) C(q) + 6q + 9q + + q - + B(q) $ K - q O ; J N 7 C K O 6 J N d) D(q) B(q) + ( + q + q + + q - + ) K + - qo - q J N - q - q J N 8 K + - q O ; D - ( - q) ( q) - K O 9 e) E(q) ( + q + q + + q - + ) + (q + q + q + + q - + ) ( + q + q + + q - + ) + q( + q + q + + q - + ) q $ - q + + q J N ; E - q - q K O f) Az általáos tagot paciális tötek összegekét állítjuk elô ( + ) - +, így + + + + $ $ $ $ ( + ) - + - + - + + - - + + + Mivel ", F +
9 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei J N g) $ ( + ) $ ( + ) + - K + O, így + + + + $ 7 7$ 9 9$ ( + ) $ ( + ) J N $ - + - + - + + 7 7 9 9 + - K + O J N $ - K + O J N $ K ( + ) O " + A B C h) / + + azoosságból $ ( + ) $ ( + ) + + (A + B + C) + (A + B + C) + A /, ie A, B -, C Az általáos tagot $ ( + ) $ ( + ) J N $ - + K + + O alakba íhatjuk + + + + $ $ $ $ $ $ $ ( + ) $ ( + ) $ J N $ - + + - + + - + + + - + K + + O J N $ - + K + + O (A közbülsô tagok kiesek) Ie H 8 Ha a kezdetbe beít temészetes számot k-val jelöljük, akko az osztás utá kapott szám k Ez a métai soozat - bá mide tagja pozitív 9 - -hoz tat Mide számológép számábázolásáak va egy potossági hatáa, mely kb a legkisebb (abszolútétékû) ábázolható számmal egyezik meg Az utolsó osztás utá az tötét, hogy az eedméyül kapott szám kisebb lett, mit a számológép által ábázoli tudott legkisebb szám, ezét a gép a kapott eedméyt -ak ételmezte, s ezt is íta ki (A jeleség eve alulcsodulás) 8 Midháom esetbe -hoz tató métai soozatot kapuk, elôbb vagy utóbb lesz a kiít szám 86 A tizedes tötek peiodikusa ismétlôdô észét métai soak is tekithetjük a) a, : + + + + + J N $ + + + + + K O $ 9 - Techikailag egyszeû az ismétlôdô szakaszt eltütetô eljáás:
Soozat hatáétéke 9 Ha a, :, akko a, : ; a kettô külöbségébôl 9a, ie a 9 9 b) b + 9 9 c) c 9, : : 9 9 9 9 + + + + + 6 9 J N $ + + + + + K O 9 $ - 9 99 agy: c 9, : :, c 9, 9 : :, ie kivoás utá 99c 9 stb 9 d) d - - - : : e) Ha, 7, akko, : : 7 7 7, s ie 999 7, 999 Tehát e + 999 88 9 f) f + 9 9 8 g) g + 99 99 : : : : h) h,, h,, 999h,, h 99 9 87 Elsô megoldás: Az sugaú félkö hossza Az,,,, étékek behelyettesítésével kapott + + + J N 8 + + + + + 8 K 8 O végtele so összege 87 Második megoldás: Kicsiyítsük felée az ábát! Ekko az AB ív megfeleltethetô a BC ívek; a BC ív megfelel a CD ívek stb Az eedeti göbe az AB félköívvel hosszabb, mit a kicsiyített Ha a göbe kezdeti hossza volt, akko a kicsiyített göbe hossza, ie +, 88 Egyik eedméy sem jó A so em koveges, így ics összege
9 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 89 A em szíezett teület agysága az elsô lépésbe, a második lépés J N J N utá K O, a hamadik lépés utá K O és így tovább A métai soozat -hoz tat, tehát a beszíezett teület agysága tetszôlegese megközelíti az -et 9 Elsô megoldás: A pios háomszögek teületéek összege + + + + + $ 6 6, s szimmetiaokok miatt eyi - a sága és kék háomszögek teületösszege is Második megoldás: Az lépés utá a szíezetle háomszög teületéek agysága K O J N, ami -hoz tat Így a szíezett háomszögek összteülete -hez tat, s ie egy-egy szí -yi teületet fed le 9 J N A keületek összege k $ + + + K O $ - - J K J N J N N A teületek összege t $ + + O + K K K O O O $ - ( - ) 9 Az okoskodás alapjá a tekôsbéka által megtett út b + + + + +, Akhilleusz megtett útja pedig a + + + + + + A métai sook kovegesek, vagyis az a pobléma, hogy Zeo midkét futó útját csak egy kolátozott, véges (idôés út-) itevallumo vizsgálja A két összeg étéke: b, a + b; vagyis éppe a találkozási pot a végtele sook hatáétéke Zeo vizsgálatába soha em jutak el a futók a találkozási potig (Az ókoba még em ismeték a végtele sooka voatkozó mûveleti szabályokat)
Függvéy hatáétéke Folytoosság 9 Függvéy hatáétéke Folytoosság Függvéy hatáétéke 9 A feladatokál a evezô legmagasabb fokú tagjával kell leosztai ( együtthatóval!) 7 + 7 + a) lim lim ; " - 7 " - 7 7 7 - + - + b) lim lim - ; " - " - - 7 + - + 7 c) lim - ; " - - J 7 N J N - + + - ` - + 7j` + - j K OK O d) lim lim " - - " J N J N ; _ i ` j K - - OK O 8 - + 7 e) lim ; " - 7 - + 7 - + f) lim lim ; " " g) Ez a függvéy ics is ételmezve, ha $ - + - + 9 a) lim lim ; " - - " - - + + 7 b) lim ; "- - + 9 c) lim ( si- ) -; "- 9 + - + - 9 d) lim lim -, met -, " - - " - - ha <;
9 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei e) lim c + 8+ - + + 7m "- lim ` + 8+ j- ` + + 7j c + 8+ + + + 7m "- lim - + 8+ + + + 7m "- c - lim - - "- J N _ i 8 7 K O + + + + + K O 9 a) A függvéy folytoos -ba, ezét hatáétéke megegyezik a helyettesítési étékkel lim - ; - " + 6 6 - b) lim lim _ - i - ; " " c) lim + ; " - 7-7 d) lim lim, a töt számlálója -7-hez, a evezôje - " - " - hoz tat, ezét ics hatáétéke Jobb és bal oldali hatáétéke tágabb ételembe va, és az -, illetve + ; + - + - e) lim lim " " + + - _ - i 96 a) lim lim lim ; " - " _ - i " -- _ - i_ + i J + N b) lim lim lim - - " 9 - " _ - _ + K " + O ; i i - 8+ _ -i_ - 6i c) lim lim ; " - 6+ 8 " _ -i_ -i + 7+ _ + i_ + i d) lim lim ; " + + 6 " _ + i_ + i - _ - i_ + i e) lim lim ; " - " _ - i` + + j - 6 _ - i_ + i` + j f) lim lim ; - - " "
Függvéy hatáétéke Folytoosság 9 J N g) lim lim - - : ` + + j - _ + id K " - O " _ - i_ + i` + + j 8_ + i_ -ib lim ; " _ - i_ + i` + + j - - - _ - i` + + f + j h) lim lim " - " - 97 a) lim si lim si lim si ; " " _ i " b) lim si lim si ; " " si si c) lim lim $ $ ; " si " si si si d) lim lim lim cos ; tg si " " " cos tg cos 7 si 7 e) lim lim $ $ ; " tg 7 " cos si 7 7 7 cos cos cos f) lim lim lim si - + - $ $ + cos + cos " " " lim si si $ ; " + cos $ cos g) lim _ $ ctg i lim ; " " si cos h) Hasolóa f-hez : lim lim si - $ ; " " + cos i) lim si + - - si _ si + i-_ -si i lim " " b si + + -si l lim si $ " b si + + -si l - a + a si - si a si cos j) lim lim - a - a " a " a - a si lim - a " a $ cos + a cos a ; +
96 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei t 98 limf f() -6, tehát t - 99 A függvéyek képébôl kiidulva: a) lim 7A ; " - b) lim 7A ; " - + J N c) lim lim + K + " + " + O ; + d) lim - ; " - + 7+ _ + i_ + i e) lim lim " -- + + 6 " -- _ + i_ + i J N lim K + O- "-- K _ + i O ; + 7+ f) lim ; "- + + + 6-9 _ - i_ + i g) lim lim " -- + 6+ 9 " -- _ + i J N lim -6 K + O + ; "- - - 9 h) lim -; "- + + 6 + 9 i) lim lim - + 6 - - + ; " - " - _ i_ i j) lim - + - " + 6 Folytoosság Akko lesz folytoos, ha ételmezve va, létezik hatáétéke, és a hatáéték megegyezik a potbeli helyettesítési étékkel Tehát: a) folytoos; b) em folytoos; c) em folytoos; d) em folytoos; e) folytoos; f) em folytoos; g) em folytoos Folytoos
Diffeeciálszámítás 97 a) Csak $ -a va ételmezve -ál em folytoos, a másik két helye ige b) -él folytoos, a másik két helye em c) Midkét potba folytoos a) Ez a függvéy sehol sem folytoos b) Ez a függvéy csak -ba folytoos, sehol másutt Akko lesz folytoos, ha midkét oldali hatáéték megegyezik a potbeli helyettesítési étékkel a) A bal oldali hatáéték $ -, ezét a helyettesítési éték is eyi kell legye, ezét + p, & p 8 b) p ; c) p ; d) p -; e) p -6 f) Ilye p éték ics, met f() p - & p, de ekko f() -, és ez em egyezik meg a jobb oldali hatáétékkel, ami 9 - Nem, például f() : *,, ha ha! R[ Z,! Z 6 a 6 7 A töt számlálója az helye, ezét a 6; b 8 a) égtele sok, amelyeke a + b - 7 8 b) égtele sok, amelyeke a + b - - 8 c) Csak az (; ) számpá felel meg d) Csak az (,; 6, ) számpá felel meg e) égtele sok, amelyeke a - b f) Csak a (-; ) számpá felel meg Diffeeciálszámítás 9 a - 8 + 6-, ha! Y 7; A fl _ i *, ha! 7; A a Csak a - helye lehete pobléma, de ott sics, met a jobb és a bal oldali deivált egyelô () fl() A szozat elsôfokú tagjáak az együtthatóját kell meghatáozi, az lesz a deivált étéke fl()! ( + ) (uu! ) ( - )
98 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei ( - ) 6 ( ) - + - + 7 ( ) ( ) - + (uu! ) 8-6- 6 + + - ( - ) (! ) 9 ( ) p- - 8_ p+ qi+ _ p-qi B q+ _ + i p- q- ( - ) 9 p- _ q+ i - _ p+ q-i C (! -) ( + ) + + ( > ) - - - ( > ) + ( > ) + + 6+ + 8 + + + b Y - l + ( + ) ( -m) -( + m) 6 ( + m) $ + m ( - ) ( + ) a 7 (uu<uau) ( a - ) m 8 9 + 6 - - ( + ) (uu! ) + + + 8 + + + ( > )
Diffeeciálszámítás 99 7 $ ( + ) # e + + o (!,! -,! -8) - cos ( + si ) si - si $ cos (cos ) si - $ cos ( + ) 6 cos $ cos (si ) $ cos [si (si )] si ( cos si - si cos ) 7 (! k; k,, ) si + cos 8 - (! k; k ;!,!, ) si si J k - N 9!, k egesz + cos K O ( cos si ) + (! k; k ;!,!, ) si J N + tg 6! ( k+ ) ; k,!, K O 8 - (! k, k egész) si ctg Éitôk Az a - 6 deiváltjáak a zéushelyei:!, e helyeke adódik a keesett éitô E b ; - l; E b- ; l Elsô megoldás: Az éitôk egyeletét y + m( + ) alakba keessük Feladatukak olya m felel meg, amely eseté az + m( + ) egyelet diszkimiása D m + m -, itt a két gyök szozata -, tehát az m és az m iáytagesû egyees meôleges egymása J N Második megoldás: Mivel a paabola paamétee p, ezét a -; - K O pot illeszkedik a diektie Tudjuk viszot geometiából, hogy a diekti bámely potjából a paabolához húzott éitôk meôlegesek egymása
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 6 A helye vett éitô iáytagese -, az egyelet: y - 7 (; ); az éitô: y + 8 Az adott egyees em lehet éitô, met illeszkedik a (; ) pota, ami a paabola belsô tatomáyába va Ezét az állítás igaz 9 a - Figyeljük meg a feladat megoldása elôtt: (, ) a paabolá belüli, (; ) a paabolá kívüli síkészbe va, (-; ) pedig ajta va a göbé, s ebbôl má következik is a poto átmeô éitôk száma Nics ilye éitô; a) a két éitô: y b6+ 8l - - 6 8 ; y b6-8l - + 6 8 ; b) az éitô: y - - Két éitô halad át -, ha az a paabolá kívüli síkészbe va, vagyis ha p + > q, ahol p + a p abszcisszája paabolapot odiátája Hasolóa: éitô adódik, ha p +! q A feladatak ics megoldása, ha p + <q Az elôzôkél valamivel ehezebb feladat Mithogy a keesett éitô átmegy az (; ) poto, egyelete y m + ( - m) alakba íható, ahol m az iáytages Ez az egyees m olya étéke eseté éiti az y göbét, amely mellett az egyees és a göbe egyeletébôl alkotott egyeletedszeek az (; ) számpáo kívül csak egy megoldása va Oldjuk meg az y, y m + (- m) egyeletedszet, ha! Az összehasolító módsze alkalmazása és megfelelô csopotosítás utá az - m( - ) egyelethez jutuk, amely az -! kifejezéssel való osztás utá egyszeû másodfokú egyeletet ad: + + ( - m) Eek az egyeletek akko, és csak akko va egy megoldása, ha diszkimiása ulla: D - ( - m) m - ; D, ha m Eszeit a keesett éitô egyelete: y + a) -, b) -, a, b, c
Diffeeciálszámítás (cos + si )l -si + cos, (- + + )l - +, és az helye midkét deivált étéke Ebbôl csak az következik, hogy a két göbe megfelelô éitôje páhuzamos Mivel azoba az helye midkét függvéy étéke, azét a két éitô azoos, vagyis az adott göbék valóba éitik egymást az E(, ) potba 6 a) 9, ; b),7 ; c),9 7 8, ; 9 8 Elsô megoldás: A metszéspotok meghatáozása: (y + ) -6(y - ); y ; y ; 6;! Tehát az adott göbék az A(; ) és a B(- ; ) potba metszik egymást Midkét göbe az y tegelye szimmetikus paabola, ezét elég az A pottal foglalkozi Az éitôk iáytageséek kiszámítása: y - - ; yl ; yl() y - + ; yl - ; yl() - 6 8 Most az éitôk és az tegely szögéek a meghatáozása következék, jele esetbe azoba ez fölösleges, met a meôlegesség megállapítható az m J N $ m $ - K O - egyelôség teljesülésébôl Második megoldás: Midkét paabola tegelye az tegely, és midkettô fókusza az oigó Ismet geometiai tétel, hogy azoos tegelyû és fókuszú paabolák ha metszik egymást, akko azt meôlegese teszik 9 a! Szélsôéték 6 egye az egyik ész, a másik y 8 - y a) + $ y & y# 6, és egyelôség akko és csak akko áll fe, ha y y y b) + # + & + y $, és egyelôség akko, és csak akko áll fe, ha y c) - y - (8 - ) 6( - ) Ez lieáis függvéy, szélsôétéke ics a pozitív számok halmazá d) + y + (8 - ) 8(6 - + ) Ez másodfokú függvéy, szélsôétéke -él va, és ez miimumhely
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 6 egye si a, és y cos a Ekko a következô átalakításokat tehetjük: ami és közé esik ab $ si a 6 Iduljuk ki a T teületképletbôl átszik, hogy legkisebb teületû ics, legagyobb teületû va, a deékszögû háomszög 6 A keület akko maimális, ha a befogók összege maimális, mivel az átfogó álladó Tehát midkét kédése ugyaaz a válasz + y + y # cm, és egyelôség akko és csak akko áll fe, ha y cm 6 Jelöljük -szel és y-al a téglalap oldalaiak hosszát, legye a a háomszög -et tatalmazó oldala, m a hozzá tatozó magasság A hasolóság miatt m- y y m - Ebbôl y m - a m m a A téglalap teületét most má elôállíthatjuk függvéyekét: J m N m T() m a - K ` - a O j, a eek a másodfokú függvéyek akko va maimuma, ha a, vagyis a téglalap egyik oldala a háomszögek középvoala Édemes megfigyeli, hogy ál- taláos háomszög esetébe a középvoal más-más alakú téglalapot szolgáltat, teületük azoba ugyaakkoa: a háomszög teületéek a fele 6 egye a téglalap két oldala és y Mivel K + y $ y K T & K $ T, és egyelôség akko és csak akko áll fe, ha y 66 Jelöljük a téglalap oldalait -szel és y-al! A keesett teület ekko T $ y - - T() akko és csak akko maimális, ha a égyzete maimális, vagyis az y - függvéy szélsôétékét kell keesi Még egyszeûbb a megoldás, ha a téglalap átlója és egyik oldala által bezát szöget választjuk változóak, akko ugyais T(a) si a $ cos a si a Ez pedig akko maimális, ha si a, a p y y ao tl 67 + # + & ao tl $ p, maimuma ics, akámilye közel lehet p-hez
Diffeeciálszámítás 68 egye a hosszabbik alapo fekvô hegyesszög A tapéz magassága cos si, a hosszabb alap ( + cos ), így a teület : T + si _ + cos i si Deiválva Tl cos + cos, eek zéushelye cos - és cos & 6 69 Ha a köcikk keülete k, és a köív hossza i, akko a sugá k - i, és a teület T ik ( - i) Ez i-ek egyszeû másodfokú függvéye, maimuma va, ha i k, vagyis a köív a sugá kétszeese, a középpoti szög ívméteké A két feladat matematikailag azoos A m-es adatak ics jeletôsége Ha a félkö sugaa, a téglalap alapja, magassága b, akko a keesztmetszet te- ülete T b +, ahol + b + 8 Ez utóbbi egyeletbôl b-t kifejezzük, behelyettesítjük T elôzô alakjába, s megkapjuk a T() függvéyt 7 Az alagút hosszától függetleül akko lesz maimális a téfogat, ha a keesztmetszet teülete maimális A téglalap egyik oldala, a másik legye k + + 8 és t + Az elsô egyeletbôl kifejezve, és a második összefüggésbe helyettesítve -et t 8- Eek maimuma - 8 va, ha + p 7 + 7 Az ábá látható T távolság -, eszeit a téglalap teülete (amiek a maimumát keessük): T() ( - ) (7 ába) 7 Tüközzük pl az A potot az tegelye! C(,; ) 7 7 Elsô megoldás: A(; ) és (; ) potokat összekötô egyees egyelete y, tehát az említett szakasz potjáak koodiátái (u; u) Képezzük a potak a (; ) és (9; ) potoktól való távolságaik összegét, akko a következô függvéyt yejük: y ( u- ) + u + ( u- 9) + ( u- ), y u - u+ + u - 8u+ 6 Eze függvéy miimumát keessük
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Állítsuk elô az elsô deiváltat: u - u - 8 yl + u - u+ u - 8u+ 6 Az elsô deivált azo az u helye válik -vá, amelye u - u - 7 + u - u+ u - 8u+ 6 Szoozzuk meg az egyelet mid a két oldalát -vel, majd edezzük a következôképpe: 7 - u u - u - 8u+ 6 u - u+ # u # 7 Midkét oldalt égyzete emelve, majd a kapott másodfokú egyeletet omálalaka hozva, yejük: ( u- )( u+ ), u + u - Az egyelet gyökei: u, u - Ezeke a helyeke lehet a függvéyek szélsôétéke Az u helye yl elôjelet is vált ( < helyeke egatív, > helyeke pozitív), tehát eze a helye a függvéyek miimuma va A keesett pot koodiátái:( ; ) Második megoldás: Tüközzük a (;) potot a megadott szakasza (y ), a tükökép koodiátái (; ) Ezt összekötve a (9; ) pottal adódik a megoldás: (; ) 7 A falak összhosszúsága 9 + y, ebbôl y 9 - A szobák együttes teülete: T 8y + 8 - ( - ) T maimális, ha (m) 76 egye a levágott saokégyzet oldala, akko a doboz téfogata () ( - ) l() (8-6 + ) ( - )( - ) l(), ha ( <!); ebbe az esetbe maimális a doboz téfogata 77 Maimálisak kell leie a m ( R - m ) m téfogatak l(m) (R - m ); ez akko ulla, ha R m, m, m Ekko (m) maimális, met eze a helye övekedôbôl fogyóba (deiváltja pozitívból egatívba) megy át
Diffeeciálszámítás Meg kell még hatáozuk az a középpoti szöget: a m R m 6 Fokokba kifejezve a 9 78 Ha a csomag alapja a oldalú égyzet, magassága pedig b, akko a spága hossza: a + 6 Ebbôl b-t kiküszöbölhetjük a a b 8 egyelôség felhaszálásával A feladat megoldása ezutá má em okoz ehézséget 79 Jelölje AB a létát; az ábá éppe a maimális létát szemléltetjük fodulás közbe Az AB szakasz és y észe a-val kifejezhetô: AB, 6 +, cos a si a f(a) 79 A szélsôéték elôállítása végett deiváljuk f(a)-t: fl(a), sia 6cos, a cos a si a 8, si acos a ( si a - cos a) f l(a), ha si a cos a; tg a ; a, AB, +,,6 (m) 8 m 8 A hajó óa alatt v km-t tesz meg, ezalatt A + B Ft a kiadás A kilométeekéti költség f(v),v + f(v)-ek miimuma va, ha A+ B 8 v v J km N v K h O 8 Ha a geeda keesztmetszetéek oldalait a-val és b-vel jelöljük, a sziládság az y a b étékkel aáyos itagoasz tételébôl a d - b, ezét y d b - b, ahol d adott szám, s eek a hamadfokú függvéyek a szélsô étékét keessük 8 a) 9, tehát függôlegese felfelé kell hajítai; b) si kell legye, tehát -ba kell hajítai 8 Az elôzô példa alapjá -ba kell elidítai, és a távolság: m v si 6 d s, 8 m m g m $ 9, 8 s
6 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 8 Jelöljük az AB szakasz C potjáak A-tól való távolságát -szel Ekko C-be a megvilágítás eôssége (egy kostas szozótól eltekitve): a b -a b m() +, ml() ( d ) - + ( d ) - (legjobb a [c $ f k ()]l c $ k $ f k- () $ f l() deiválási szabályt alkalmazi) a b J d- N ml(), ha, ( d ) - K O b d b d $ a, +,, a a a + b s eze a helye m() valóba miimális 86 egye a beesô féysugá és a pálya síkjáak a szöge (választhatjuk változóak a lámpa és a sík távolságát is, de úgy a számítás valamivel boyolultabb), ekko a keesett magasság (l az ábát): O - m R $ tg ; a megvilágítás si si eôssége a potba: g() C $ C $ 86 J R N K cos O C $ si R cos (si - si R C ), ahol C kostas, aáyossági téyezô gl() R C (cos - si $ cos ), ha si, mivel hegyesszög A jelváltás elleôzése megmutatja, hogy eze a helye g() maimális Ekko cos, tg, tg, a keesett magasság pedig m R tg R 87 m 88 a (m); M (m) 89 m 9 A hege sugaa és magassága is m m S 9 6 9 m F R 9 a) m ; b) m R
Diffeeciálszámítás 7 9 Bizoyításkét az adott kúpba ít maimális téfogatú hege méeteit édemes kiszámítai [a hasolóság felhaszálásával adódik, hogy m R M (R - ), M amibôl () ( R - )], s a megoldás egyúttal az állítás igazolását is R megadja 9 a) Az ába jelöléseivel a hege felszíe: 9 F ( + h) R cos (si + cos ) Fl() R (cos - si ) Fl(), ha si cos ;,,, s ez az éték szolgáltatja a keesett maimumot b) Ee a godolatmeete épülhet a másik ész megoldása is, csakhogy itt a felszí az elôzô palásttal agyobb Ezét tg -, $ ac tg adódik eedméyül 96 R,; M m m 97 R 98 R, m 99 m - ; () ( - ) l(), ha 6, ez maimumot szolgáltat Ekko m 8 a) Ha R az adott gömb sugaa, és m a kúp magassága, akko J (m) R m N K $ O K m- RO b) A csoka kúp keesztmetszete éitôégyszög, ezét alkotója az alap- és a fedôkö sugaáak összegével egyelô Mit az ába mutatja, az AOD háomszög deékszögû, ezét R ab Eek felhaszálásával a téfogata a (b) R J R N K + R + b O függvéyt kapjuk, amely akko miimális, K b O ha a b R a),8 C; b) w(t),(t + ); c) v() C/s a) v(t) 6t + ; b) a),8t -,; b),
8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei a) v ; b) v + at Jelöljük a kédéses Q elágazási potak A-tól való távolságát -szel AD itagoasz-tétellel meghatáozható: AD m QD - QC _ - i + Fejezzük ki a vezeték áát mit függvéyét! y 9 + 6( - ) + yl 9-6 - ( - ) ( - ) + _ - i + A függvéy miimumát keessük: Hatáozzuk meg a deivált függvéy zéushelyeit, azaz oldjuk meg a - ( - ) ( - ) + egyeletet! Osszuk el midkét oldalt -zel, edezzük az egyeletet a következôképpe: ( - ) ( - ) + Midkét oldalt égyzete emeljük, majd a töteket eltávolítjuk: ( - ) 9, ( ) - + 9 $ 6( - ),! $ ( - ), iét 7 és 6 adódik Helyettesítéssel meggyôzôdhetük, hogy az 7 helye a függvéyek miimuma va Az elágazást az A pottól 7 m-e kell létesíteük, ha azt akajuk, hogy a csôvezeték áa miimális legye 6 Tekitsük függetle változóak az ODE háomszögek DE oldalát (), és legye eze oldalhoz tatozó magasság z, ekko a teületfüggvéy: T z Mivel DEA D ~ ABC D, feáll, hogy : (m - z) a : m
Diffeeciálszámítás 9 Fejezzük ki ebbôl az egyelôségbôl z-t a többi változóval! am - m z, ezt helyettesítve, a - m + am T, a m T - + m a, m m Tl - + a Keessük meg a deivált zéushelyeit! Oldjuk meg a m m - + a egyeletet! Az egyelet gyöke a, helyettesítéssel meggyôzôdhetük, hogy eze a helye maimuma va a függvéyek A DEO háomszög teülete tehát a -ig ô, a -él maimális, ekko az eedeti háomszög középvoala, majd ismét csökke A maimális teület az eedeti háomszög teületéek egyedésze 7 A teületfüggvéy: T (a-) p T T függvéy maimuma ugyaazo helye va, mit y függvéyé (T > p és p álladó) y (a - ) yl - a + a ( - a)( - a) A deivált zéushelyei a, a Az a helye yl elôjelet vált, eze a helye tehát va a függvéyek szélsôétéke, mégpedig maimuma A téglalap teülete a eseté lesz maimális 8 egye a égyzetes hasáb alapéle, testmagassága m; ekko F- F + m, ebbôl m, m, ` F - j
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei A függvéyt csak pozitív -e vizsgáljuk, tehát feltesszük, hogy F >, akko < l (F - 6 ) A függvéyek F 6 -ál helyi maimuma va Helyettesítéssel m F 6 adódik Adott felszí mellett tehát a kockáak va maimális téfogata 9 egye a kúp alapköéek sugaa, testmagassága m, a beít hege alapköéek sugaa u, a testmagasság, ekko a hege palástjáak a teülete: u Fejezzük ki u-t függvéyekét A kúp tegelymetszetét elkészítve, látható, hogy va két hasoló deékszögû háomszög (az egyik befogói és m, a másiké - u és m - ) FBC ~ EDC, tehát u : ( - u) (m - ) : m, ebbôl m u ( - ) m A vizsgáladó függvéy $ m-, m l - +, m m helye a függvéyek maimuma va Maimális palástú heget akko kapuk, ha a beít hege magassága a kúp magasságáak fele Tekitsük a Földet gömbek (középpotja O, sugaa R)! egye a kédéses szélességi kö k a hosszúsági kö k és a metszéspotok A és B! a) Az A és B potok távolsága a szélességi kö meté k kö keületéek fele, azaz R $ cos {, ahol { a Föld sugaáak az Egyelítô síkjával bezát szöge Az A és B potok távolsága a hosszúsági kö meté R - R{
Diffeeciálszámítás b) A kédés megválaszolásához vizsgáljuk a két távolság külöbségét mit { függvéyét, és keessük eze függvéy miimumát y R cos { - R + R{, dy -R si { + R d{ A függvéyek { (6 9l) eseté va maimuma, a két pot távolsága ekko a szélességi kö meté 6 km, a hosszúsági kö meté 9 km Függvéyvizsgálat a) c) másodfokú függvéyek, a vizsgálatot ismétléskét végezzük el a III fejezetbe taultak alapjá A d) f) feladatok megoldása pedig hasolóa tötéik, mit az -es kidolgozott feladaté éldául: 7 -, zéushelyei ;! ; y -, melyek zéushelyei,!, ahol a deivált elôjelet is vált -, elôtt és - utá a deivált pozitív, a függvéy ô, a deivált két zéushelye között a deivált egatív, a függvéy csökke éldául: a) yl 8-6 - < - - - < < < < > yl egatív pozitív egatív pozitív y helyi miimum 8 helyi maimum helyi miimum
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei /a /b /c /d /e /f
Diffeeciálszámítás /g /h /i /j
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei /a /b /c /d
Diffeeciálszámítás /a /b /c /d + - 6 y + - + _ - i_ - i yl!,! ( - + ) -( - )( + ) - + + ( - + ) ( )!,! - + Hatáozzuk meg a deivált zéushelyeit: yl, ha - + + és - +!, az egyelet gyökei + -, Helyettesítéssel meggyôzôdhetük aól, hogy a függvéyek midkét helye va szélsôétéke A függvéy meetét az alábbi táblázat és gafiko szemlélteti
6 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei < - - - << << + + + << > yl y egatív helyi miimum pozitív szakadás ics éték szakadás pozitív helyi maimum egatív ics éték egatív 6 A helyi miimum étéke behelyettesítéssel y -, 6 A helyi maimum étéke behelyettesítéssel y -, 6 - + A függvéy ételmezési tatomáyába és kivételével mide valós szám + beletatozik, étékkészlete y E - -, 86, vagy y F -, 6 7 -- 7 y + + A függvéy ételmezési tatomáyába mide szám beletatozik, étékkészlete: - # y # A függvéy zéushelyei: A függvéy meete: - ; + + yl ( + + ) yl y < - pozitív - helyi maimum - < < egatív - helyi miimum > pozitív
Diffeeciálszámítás 7 - + 8 yl ( ) + yl y < - pozitív - helyi maimum - < < egatív helyi miimum < < pozitív helyi maimum > egatív A függvéy ételmezési tatomáya a valós számok halmaza, étékkészlete # y # 8 - a+ 8 9 y! a - a Képezzük a függvéy elsô deiváltját - 8a+ a - 8 yl ( - a) Mooto övekvô lesz a függvéy olya a étékek eseté, amelyeke yl mide étéke mellett pozitív Mivel a deivált függvéy evezôje mide szóba jöhetô étékée pozitív, elôjele csak a számlálóba szeeplô kifejezéstôl függ Keessük azo a étékeket, amelyek mellett - 8a + a - 8 > egyelôtleség mide étékée pozitív, azaz az y - 8a + a - 8 függvéyek ics zéushelye ( együtthatója pozitív) Tekitsük a - 8a + a - 8 egyeletet! Osszuk el midkét oldalt -vel, ekko - a + a - Képezzük az egyelet diszkimiását: D 6a - a + 6 6 - a Az y függvéyek akko em lesz zéushelye, ha D <, azaz uau > a) A függvéy mooto övekvô lesz, ha uau > b) A függvéyek szélsôétéke lesz, ha uau uau < eseté hatáozzuk meg a - 8a + a - 8 függvéy zéushelyeit: - a + a -,, a! - a, a + - a, a - - a
8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Ugyaezeke válik -vá az yl függvéy is, ugyaakko elôjelet is vált, tehát az a + - a helye a függvéyek miimuma, az a - - a helye a függvéyek maimuma va izsgáljuk az y + - függvéyt yl 8 + Hatáozzuk meg a deivált zéushelyeit: (8 + ),, - 8 - -ál a deivált függvéy elôjelet is vált, itt va szélsôéték, miimum 8 A miimum étéke J N J N $ - K - 8 O K 8 O - $ 8 7 8 8 - - - - < 96 8 8 helye yl em vált elôjelet, itt ics szélsôéték A függvéy folytoos, hatáétéke a + -be is és a - -be is +, a helyi miimum étéke egatív, ebbôl következik, hogy függvéy gafikoja két helye metszi az tegelyt, azaz a + - egyeletek két valós gyöke va A hamadfokú egész függvéy általáos alakja: y a + b + c + d A feltétel szeit helye y, ebbôl következik, hogy d, helye y -, tehát a + b + c - $ és szélsôétékhelyek, ezek gyökei az yl egyeletek yl a + b + c; feti étékek helyettesítésével yejük: a + b + c A gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapjá: c a, - b a Feti két egyelethez hozzákapcsolva az elôzôleg yet a + b + c - egyeletet, a következô háomismeetlees egyeletedszee jutuk: c ba, b -9a, a + b + c -
Diffeeciálszámítás 9 Feti egyeletedsze gyökei: a -, b 6, c -8 A keesett függvéy y - + 6-8 Ételmezési tatomáya is, étékkészlete is a valós számok halmaza A függvéy ételmezési tatomáya < <, étékkészlete # y # yl cos - si A függvéyt a következô táblázattal és gafikoal jellemezzük: < < 6 6 < < 6 6 6 < < 6 6 6 < < 6 yll yl pozitív helyi maimum egatív helyi miimum - pozitív ifleiós pot pozitív A kédés második feléek megoldásához ábázoljuk a deivált függvéyt Állítsuk elô a deivált függvéy deiváltját (yll): yll - $ si - $ cos < < 6 6 < <,97 6,97,97 < < <<6, 6, 6, < < yll egatív pozitív egatív pozitív egatív yl helyi miimum - helyi maimum 9 ifleiós s pot helyi maimum 9 m csak a - # m # 9 itevallumba veheti fel étékét
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Az éitôk száma ; ; ; lehet ha m -, éitô húzható, - < m <, éitô húzható, m, éitô húzható, < m #, éitô húzható, 9 < m <, éitô húzható, m 9, éitô húzható Aak feltétele, hogy az adott függvéyek e legye szélsôétéke, az, hogy yl álladó elôjelû legye + ( m-) - ( 6m+ ) yl ( + + m) Feti kifejezés evezôje mide olya étékée, amelye az eedeti függvéy ételmezve va, pozitív Aak szükséges és elégséges feltétele, hogy yl álladó elôjelû legye, az, hogy a számlálóba levô függvéy e váltso elôjelet, azaz feálljo a következô egyelôtleség: (m - ) + (6m + ) # Szozattá alakítva: (m + ) (m + ) # Ez kétféleképpe lehet: a) m + $, és egyidejûleg m + <, azaz - # m < -; b) m + <, és egyidejûleg m + $, azaz m $ -, és m < - A megoldás m - Az adott függvéyek em lesz szélsôétéke, ha m-e a következô feltételek teljesülek: - # m # - A másodfokú egész függvéy általáos alakja: y a + b + c, f(-) -6, f() feltételekbôl adódik, hogy a - b + c -6, a + b + c b, c --a Deiváljuk a függvéyt: yl a + b
Diffeeciálszámítás b A függvéyek - helye va szélsôétéke, tehát a J b N f - K a O - 9, ebbôl a következô egyeletet kapjuk: 8 8a - a + 8, a, a 8 9 Helyettesítéssel c -, c - 8 Az adott feltételekek eleget tevô másodfokú függvéyek: y + -, y 8 9 + - 8 Deiváljuk a függvéyt: yl + a + b Szélsôéték létezéséek szükséges feltétele, hogy az adott helyeke yl a étéket vegye fel, azaz az a és b étékek gyökei legyeek a + a + b egyeletek A gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapjá ab b, a + b - a Ezekbôl a és b -9 étékek adódak J N Mivel - helye yl elôjelet vált, mégpedig a - -d ; - 9 K 9 9 O itevallumba pozitív és a - ; - +d K 9 9 O J N itevallumba egatív (d > ), azét az - helye a függvéyek maimuma va Hasoló meggodolással 9 helye a függvéyek miimuma va A keesett függvéy: y + - 9 6 Képezzük a deivált függvéyt: yl - + A - + egyeletek diszkimiása egatív, tehát az eedeti függvéyek ics szélsôéték-helye, yl mide étékée pozitív, az eedeti függ-
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei véy a (-; +) itevallumba mooto ô, s mivel folytoos függvéy, ezét gafikoja csak egy helye metszheti az tegelyt q - p + + p -q 7 yl ( + q+ ) yl, ha (q - p) + + p - q, és + q +! Az adott feltétel szeit és - gyökei a (q - p) + + p - q egyeletek Ebbôl adódik a következô egyeletedsze: p- q -, q - p - Az egyeletedsze megoldása: p -, q -6 q - p Tehát p -, q -6 eseté lesz az adott függvéyek az és - helye szélsôétéke, mégpedig az helye maimuma, és az - helye miimuma () Az elôzô potba meghatáozott függvéy - + y, - 6 + - + 8 yl - ( 6 ) - + Ételmezési tatomáy az összes valós szám és kivételével Étékkészlet y F,6 és y E - yl y < - egatív - helyi miimum, 6o -< < pozitív Y < < pozitív helyi maimum - < < egatív Y > egatív 7
Itegálszámítás Itegálszámítás 8 a) # d + c; b) # d + c; c) # d 8 + c; d) # 8 d 8 + c; d - e) # + c 7 6 7 6 9 a) # d 6 7 + c; 7 b) ugyaaz; c) # d # d # # + c ; 6 d) 6 6 d d + c; e) # d # d + c a) - $ $ # d 6 # 67 d 7-6 6 7 + c; b) y y # 9 dy y # dy 9 y + c; 9 y c) z z z - # dz z # dz z z z + c a) # ( - + -) d - + - + c; b) # ( + - + ) d + - + + c; c) # J N + + + - K d O + + - +
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei d) # ( - ) d - + 9 + c; e) # ( - ) d - + - 7 + 7 + c; f) # ( 8 - + ) d - + + c; g) # ( - + 6 - + ) d - + - + + c; 6 h) # J N - + K d - + + c 7 O ; 6 i) # J N d c K O - ; - - j) # d c # J N - - K - + + + O - a) # d # _ + i d + + c (! ); - b) - + ( -) # d # d # d - d -6 ( -) - + c, 6 ( Y ); c) # - - - - d # d+ # d + # d - - + c, ( Y ); d) # + 8 d # ` - + j d - + + c, + (! -); - 8 e) # d # ` + + j d + + + c, (! ) - a) # J N K O + d # J + - N K O K O d + + c, (! ); b) # J N K O + d + K O + c, (! );
Itegálszámítás c) # J N K O 7 + d + K O + c, (! ) 7 a) # b + lb- + ld # J N K + O d + + c ; ( + )( -) b) # d + - - # J N K O d 7 + - 6 + c, (! ); 7 a b ( - ) a- c) # a+ b- d # b- d - # d+ # d + - a b + + + + c, (! ); a + a+ b+ b + d) ( a - ) a # - a a + 6a - a + d # a a d - a # d- # J K N a+ 6 a - + K O a O d a - a+ a- + + c, (a! ) a a) # ( si + ) d - cos + c; b) # ( cos - 7, ) d si -,7 + c; c) # ( si - 8 cos ) d- $ cos - 8 $ si + c; d) # ( cos - si + ) d $ si + $ cos + 8 + c; e) cos cos -si # d # d cos + si cos + si # _ cos - si id si + cos + c; f) ( si cos si cos # + ) d - + c; si cos g) # J N cos - K d 7 O si - + c; 7 h) # J N si cos - si K d O + $ cos + c
6 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 6 a) # si cos d cos - + c; b) $ cos # si d - + c; J c) a() si + N J # K d 6 O -cos + N K 6 O + c; d) () # si ( - d ) $ cos ( - ) + c - $ cos + c; J N J e) () # cos K d - O si N - K O + c; J f) () cos + N J # K d O si + N K O + c; J N J N J g) () # si + K cos + d O K O - $ cos + N K O + c $ si + c si + cos si 7 a) # d # J N + d cos K cos O + + c; cos + cos cos b) # d # J N + d si K si si O -ctg - + c si + cos - + c; si c) # ( si + cos ) d ( si # + d ) - $ cos + c; d) d # tg + c; cos d e) # cos tg + c; f) d # tg k + c; cos k k g) d # - ctg + c; si h) d # - ctg + c si
Itegálszámítás 7 8 a) ( t - # - ) - dt + c; ( t ) - - - b) # ( t+ ) dt + c; t + c) # J N t+ K dt O ( t + ) + c; ( t + 8) d) # t+ 8 dt + c; e) # ( t- ) t- ( t + ) dt + c 9 A evezô deiváltja kostas, ezzel koigáljuk a egatív hatváyfüggvéyeket a) d # ( - ) ( ) - + c; b) d - # ( + ) 9 ( ) + + c; c) d - # ( - ) ( ) - + c; d) d # ( - ) 9 ( ) - + c; e) d d # # ( - ) ( - ) 9 ( ) - + c együk észe, hogy a evezô deiváltja vagy aak számszoosa áll a számlálóba! a) # d- + c; ( + ) ( + ) b) + + # d- ( + + + ) ( + + + ) + c; c) d # + + + c; d) d # - - - + c; e) # + + + + c + +
8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei a) # adt - t -a - t + c; b) # a- bt dt- _ a- bti c b + ; c) # tdt t + + c; t + d) # d + + + c; e) # d - - + c ; f) # d - - + c ; g) # d, - - + c ; h) # + + + d + + + c Alakítsuk összeggé a szozatokat! a) # si $ cos d # ( si 8- si ) d - $ cos 8 + $ cos + c; 6 b) si si # $ d cos d # - # cosd si - si + c; c) # cos cos d si + $ si 6 6 + c; d) # si cos d - $ cos - $ cos 6 6 + c; e) # si si d - $ si + $ si 6 6 + c együk észe, hogy a belsô függvéy deiváltja vagy aak számszoosa áll a tigoometikus függvéy elôtt! a) # si d - cos + c;
Itegálszámítás 9 b) # cos ( - ) d si ( - ) + c; 6 c) # ( + ) cos ( + -) d si ( + - ) + c; d) # ( + ) si ( + -) d - cos ( + -) + c; e) # ( + ) cos ( + - 8) d si ( + - 8) + c a, az 7 + + + függvéy 7 y - + + 6 6 y -- 9 7 y - + + 7 6 8 y - + + + 9 A pimitív függvéy éitôjéek iáytagesét egyszeûe úgy kapjuk, hogy a megadott étéket behelyettesítjük a függvéybe: a) m, a ; b) m - a 9, 7 ; c) m, a Midháom feladatba va olya függvéy a) f() si; - ; y ; éldául: F() - cos + + függvéy jó b) f() si + cos ;, ; y ; éldául: F() - cos + si + cos, -si, -cos + si -, jó c) f() + ; y cos ; y ; éldául: F() tg + megfelel -- y - J N 7 y si - + K O
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Hatáozott itegál a) # d a ; a a R a a a a a S b) a d W # ` - j - - - ; S W 6 T X c) # d ; 6 d) e) d # - < - F ; - a a d # < - a F a $ b - l - a a a R S W a) # + d + S W T X a) b) # + d 7 - - -d # G -; ( + ) ( + ) - - - ; R -d S W b) # S W ` + j S ` + j W - - T X + - - 6 a) # d # J R N S W 7 + d K O - S - W S W T X R S W b) # _ 8-7i d- _ 8-7 i S 8 W 8 T X ;
Itegálszámítás 7 a) # si d 7- cos A ; R S W b) # si d - cos ; S W T X R S W c) # cos d si ; S W T X R S W d) # si$ cos d - cos S W T X 8 a) # ( si + cos ) d + ; b) # si cos d ; c) d) cos # d cos + si 7si + cos A 8 6 d # 7tg A cos 9 a) # si d # b) cos d - - # # # 6 8 cos - si d # _ cos - si id cos + si - R - cos S cos W d - ; S W T X R + cos cos S W d + S W - T X
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Teületszámítás R S W 6 a) t # `- jd $ - ; S W T X b) t # ` + - j d 6; - c) t 6 (A b) feladat függvéye va eltolva a v (; ), és azutá az tegelye tüközve); d) t (Az a) feladat függvéye va eltolva a v (-; ) vektoal) 6 Bámely két paabola hasoló, ezét elég az y paaboláa igazoli, met egy hasolósági taszfomáció em változtatja meg két teület aáyát Messük a paabolát az y c egyeessel (c > ), ekko a paabolával való metszéspotok! c, a téglalap teülete T c c A paabola és az tegely közti teület t # d c c A két teület külöbsége c R c S W S W T X adja a paabolaszelet teületét, ezét az állítás igaz 6 Az elôzô példa eedméyét felhaszálva a kédéses teületet úgy kapjuk meg, hogy a agyobb paabolaszelet teületébôl kivojuk a kisebb paabolaszelet teületét Tegyük fel, hogy a > és c > d >, akko az y c, az y d és a megfelelô paabolaívek által hatáolt paabolaszelet teülete a t $ bc c -d dl a 6 t # si d 7- cos A 6 a) A függvéy páatla, ezét a teület R S W t # `- jd - S W T X b) A függvéy páos, ezét elég a felét kiszámoli A függvéy és az tegely metszéspotjai:! #!,! - A teület tehát # # t ` - + jd+ ` - + j d, ahoa t 8
Itegálszámítás c) Ez a függvéy -él metszi, -ál éiti az tegelyt, így a teület t #_ -i_ - i d # ` - 8 + - 8j d d) A függvéy páatla, elég a [; ] itevalluma meghatáozi a teületet T 6 6 A két függvéy külöbségét, az 7 - + - 6 függvéyt kell itegáli -tôl -ig; t 6 66 a) A göbék metszéspotjai és A kédezett teület: T, b) A göbék metszéspotjai - és - A kédezett teület: T c) A göbék metszéspotjai és 6 A kédezett teület: T 6 d) A göbék metszéspotjai és 9 A kédezett teület: T 6 e) A göbék metszéspotjai és A kédezett teület: T 8 67 Az és oldalú téglalap hamadésze a vizsgált teület: 68 A kédéses teület egy egység oldalú égyzet teületéek észe, 8 T 69 A kédéses teület egy egység oldalú égyzet teületéek észe, 8 T 7 Egy egység oldalú égyzet teületéek észe adódik: T 7 t - 7 # - + + d ; t 6 # _- + + ) d ; 6 t : t 7: 7 y + + - 6 Háom síkidom keletkezik - 7 7 t # f ; t f # ; t f # 8 -! ti i -
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 7 Az éitô egyelete: y - +, ez a koodiátategelyeket az J N A(; ), illetve a B K ; O potba metszi t 8 7 Az éitô egyelete: y - Egy olya deékszögû háomszög 9 9 teületét keessük, amelybe a befogók hossza, illetve 9 9 $ Teülete: 7 Toljuk el az adott göbét a (-; ) vektoal, ekko egyelete y ( - )( + ) - A lokális szélsôétékhelyek:! Két egybevágó síkidom adódik, közülük egyek a teülete: t # - d, 6 a két ész teületéek az összege 8 76 A két paabola az A(-; 9) és a B(; ) potba metszi egymást Az általuk hatáolt síkidom teülete: t - # - + + 7, d Az y egyeletû egyees ebbôl 6 teületû észt vág le A másik ész teülete 77 Az elôzô példából következik, hogy t 78 A (; ) pothoz tatozó éitô egyelete: y 6-7, ez az tegelyt J 7 N az A ; K 6 O potba metszi Az y - + egyeletû egyees az éitôt a J 7 N B ; K 8 O, az tegelyt a C(; ) potba metszi t $ 6 8 8 8
Itegálszámítás 79 A paabola egyelete: y - ; az éitô egyelete: y - 6 6 A keesett teület (a két lehetséges közül a kisebbik): 6 t $ $ - d # J N - 6 K 6 O 8 Zéushelyek: és a) Az éitô: y - +,7; 99 b) t ; 6 9 c) t 8 8 A paabola egyelete: - + 9y, másik zéushelye: A 6 Az oigóbeli éitô egyelete: y, az A(6, ) potbeli éitô egye- lete: y - + 8 - A két éitô metszéspotja: M(, ) - A háomszög teülete t A$ y M - Az e) feladatba keesett teület: T t - $ A $ y C - 8, 6 ahol az # J N + K 9 O d itegál kiszámítása helyett a -es példa állítását - haszáltuk fel 8 Az A(, ) potbeli éitô egyelete: y -, a B(;) potbeli éitô egyelete: y - + Ezek metszéspotja: M(, 8) - A keesett teület: $ 8 T - # (- + 6 - )d 8 A paabola egyelete: y - + + A (-; l), illetve a Q(; ) pothoz tatozó éitô egyelete y +, illetve y - + 8 Ezek metszéspotja: M(, 7) A keesett teület: T # ( + )d + # (- + 8)d - # J N - + + K O d, - - Az elsô és a második itegál helyett egy-egy tapéz teületét is kiszámíthatjuk