. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk össze és ezt vizsgáljuk. Ez vezet el a következő fogalomhoz:. defiíció. Legyeek f (x), =,,... olya függvéyek, amelyek közös értelmezési tartomáya I. Ekkor a belőlük képzett függvéysoro az f (x) + f (x) + + f (x) +... kifejezést értjük, ahol x I. Egy kokrét x I értéket behelyettesítve a következő végtele sort kapjuk: Ha cos x <, akkor a vizsgált függvéysor abszolút koverges, tehát koveges. Tudjuk, hogy cos x. Külö meg kell vizsgáli a cos x = és a cos x = eseteket. Ha cos x =, akkor a függvéysor a következő végtele sort adja: + + 3 + + +..., ami egy diverges sor. A cos x = egyelet potosa az x = kπ eseté teljesül (k egész szám). Ha cos x =, akkor a függvéysor a következő alteráló sort adja: + 3 + 4 + + ( ) +..., ami egy koverges sor a Leibiz-kritérium alapjá. A cos x = egyelet potosa az x = π + kπ eseté teljesül (k egész szám). Összefoglalva kapjuk, hogy a kovergeciatartomáy a valós számok halmaza kivéve a kπ alakú számokat. f (x ) + f (x ) + + f (x ) +.... Ez vagy koverges vagy diverges.. defiíció. Azo x I számok halmazát, amelyekre koverges sor, az f (x ) + f (x ) + + f (x ) +.... f (x) + f (x) + + f (x) +... függvéysor kovergeciatartomáyáak modjuk. Példák:. Határozza meg az e x = e x + e x + e 3x + + e x +... = függvéysor kovergeciatartomáyát! Megoldás: A feti függvéysor egy e x háyadosú mértai sor, ami potosa akkor koverges, ha e x <. Ez pedig potosa akkor teljesül, ha x <, tehát a kovergeciatartomáy a egatív számok halmaza.. Határozza meg az = cos x = cos x+ cos x + cos3 x 3 függvéysor kovergeciatartomáyát! Megoldás: A gyökkritériumot alkalmazzuk: cos x = cos x + cos x +.... Hatváysorok Ebbe a fejezetbe egy speciális, de alkalmazás szempotjából alapvető fotosságú függvéysort tárgyaluk. 3. defiíció. Az x = hely körüli hatváysorak evezzük a c x = c + c x + c x + + c x +... = alakú függvéysort. Az x = a körüli hatváysor: c (x a) = = c + c (x a) + c (x a) + + c (x a) +.... Itt az a számot a hatváysor középpotjáak, a c, c, c valós számokat pedig a hatváysor együtthatóiak evezzük. Példa. Határozza meg az 3 (x 3)+ 9 (x 3) + + ( 3) (x 3) +... hatváysor kovergeciatartomáyát és adja meg a feti sor által defiiált függvéyt a kovergeciatartomáyba! Megoldás: A feti hatváysor egy olya mértai sor,
amelyek első eleme és háyadosa x 3 3. Ez potosa akkor koverges, ha x 3 3 < < x < 6. Ekkor az előállított függvéy a mértai sor összegképlete szerit: ( ) x 3 = 3 x. 3. Határozza meg a = x! hatváysor kovergeciatartomáyát! Megoldás: Az x valós szám akkor lesz bee a kovergeciatartomáyba, ha a = x! végtele sor koverges. Alkalmazzuk a háyados kritériumot a kovergecia eldötésére: x + = x + = <, (+)! x! mide valós x eseté koverges sort kapuk, tehát a kovergeciatartomáy a valós számok halmaza. 3. Határozza meg a = x hatváysor kovergeciaratomáyát! Megoldás: Az x valós szám akkor lesz bee a kovergeciatartomáyba, ha a x = végtele sor koverges. Alkalmazzuk a gyökkritériumot a kovergecia eldötésére: x = x = +, ha x, mide x eseté diverges sort kapuk, tehát a kovergeciatartomáy a {} halmaz. Az alábbiakba azt mutatjuk meg, hogy éz ki egy kovergeciatartomáy és hogya lehet egyszerűe meghatározi azt.. tétel (Hatváysorok kovergeciatétele).. Ha a = a x hatváysor koverges valamely x = c szám eseté, akkor abszolút koverges mide x eseté, ha x < c.. Ha a = a x hatváysor diverges valamely x = d szám eseté, akkor diverges mide x eseté, ha x > d. Bizoyítás:. Ha = a c koverges, akkor tudjuk, hogy a c =, létezik N egész, hogy N eseté a c <, a < c. Ie kapjuk, hogy ha x < c, akkor N eseté a x < x. c Ezért a = a x végtele sorból formált s részletösszegre felső becslés (feltehető, hogy N): a + a x + a x + + a N x N + a N x N + a N+ x N+ + + a x a + a x + a x + + a N x N + x N + x N+ +... c c koverges végtele sor.. Ha valamely x eseté x > d és = a x koverges lee, akkor a Tétel első (már bizoyított fele) szerit = a d is koverges lee, ami elletmodás. A feti tétel alapjá már köyű leíri a = a x hatváysor kovergeciatartomáyát: Ha létezik olya c valós szám, amelyre = a c koverges végtele sor és létezik d valós szám, amelyre = a d diverges végtele sor, akkor R-rel jelölve a { c : a c = koverges} halmaz legkisebb felső korlátját kapjuk, hogy olya x-re, amelyre x < R a a x = koverges lesz, mivel R defiíciója szerit va olya c valós szám, amelyre x < c < R és = a c koverges végtele sor, de ekkor az előző tétel. szerit = a x is koverges lesz. Másrészt, ha valamely d valós szám eseté x > R, akkor R defiíciója miatt = a x diverges lesz.
Ha em létezik olya c, amelyre = a c koverges, akkor ez azt jeleti, hogy a kovergeciatartomáy a {} halmaz; míg ha olya d em létezik, amelyre = a d diverges, akkor a kovergeciatartomáy a valós számok halmaza. Összefoglalva és most már a középpotú hatváysorokra kimodva kapjuk, hogy:. tétel. A a (x a) = hatváysor kovergeciatartomáya következőképpe ézhet ki:. Létezik R >, hogy ha x a < R, akkor koverges a hatváysor, míg ha x a > R, akkor koverges. Külö kell meggodoli az x = a±r számok eseté a kovergeciát; eszerit a kovergeciatartomáy egy yílt vagy félig yílt, félig zárt vagy egy zárt itervallum lehet.. A sor csak az x = a eseté koverges, egyébkét diverges. 3. A sor mide valós szám eseté koverges. A feti tételbe szereplő R-et kovergeciasugárak hívjuk. Ha létezik a a határérték, akkor a kovergeciasugarat köyű meghatározi: 3. tétel.. Ha létezik a < harérérték, akkor. Ha R = a. a < a =, akkor a kovergeciatartomáy a valós számok halmaza. 3. Ha a =, akkor a kovergeciatartomáy az {a}, a hatváysor csak x = a eseté koverges. Bizoyítás: Csak.-et bizoyítjuk: Ha a = a (x a) koverges, akkor a x a = x a a, x a a. Ha a = a (x a) diverges, akkor a x a = x a a, Ie kapjuk, hogy x a x a < a. a eseté koverges a = a (x a) végetele sor, míg ha x a > a, akkor diverges. Ez mutatja, hogy a kovergeciasugár Az előző tétel mitájára meg lehet mu- Megjegyzés: tati, hogy R = a. R = a a +, ha ez a határérték létezik (végtele is lehet). Összefoglalva: A a (x a) = hatváysor kovergeciatartomáyáak meghatározása a következőképpe törtéik: Kiszámoljuk a R kovergeciasugarat: Ez alapjá R = a = a a +. ha R =, akkor a kovergeciartamáy a {a} halmaz, csak x = a-ba koverges a sor;. ha R = +, akkor a kovergeciartamáy a valós számok halmaza (mideütt koverges a hatváysor); 3. ha R pozitív valós szám, akkor a hatváysor koverges az ]a R, a + R[ yílt itervallumba és diverges a ], a R[ és ]a + R, [ yílt félegyeeseke. Az x = a R potról a a ( R) végtele sor kovergeciája, míg az x = = a + R potról a döt. a R végtele sor kovergeciája = 3
Példa: Határozza meg a = x = x + x + x3 3 +... hatváysor kovergeciatartomáyát! Megoldás: Nyilvá a középpot a = és az együtthatók a =. Emiatt R = =, a hatváysor koverges a ], [ yílt itervallumba és diverges a ], [ és ], [ félegyeeseke. Ha x =, akkor a = = + + 3 +... harmoikus sort kapjuk, amiről tudjuk, hogy diverges. Ha x =, akkor a ( ) = + 3 +... = alteráló sort kapjuk, ami a Leibiz-kritérium alapjá koverges. Így a kovergeciatartomáy a [, [ balról zárt, jobbról yílt itervallum. A következő tétel azt modja, hogy egy hatváysor által megadott függvéy deriválása és itegrálása a hatváysor tagjaiak deriválását és itegrálását jeleti. 4. tétel.. Ha a c (x a) = hatváysor a R < x < a + R eseté koverges, akkor meghatároz egy ]a R, a+r[ yílt itervallumo lévő f(x) függvéyt, amelyre f(x) = c (x a). = Eek a függvéyek mide -re létezik a deriváltja, amit az eredeti sor tagjaiak deriválásával kapuk meg: f (x) = c (x a) stb. f (x) = = c ( )(x a) =. A ]a R, a + R[ yílt itervallumo a = c (x a) + + hatváysor szité koverges lesz és mide a R < x < a + R egyelőtleségek eleget tevő x eseté f(x)dx = = c (x a) + + Példa: f(x) = arctgx hatváysora: + C. f (x) = + x = ( x ) = x + x 4 x 6 +..., de így f (x)dx = x + x 4 +... dx x x3 3 + x5 5 x7 7 + + C, = arctg = 3 3 + + C = C, arctx = x x3 3 + x5 5 x7 7 +..., ha x <, < x <. 3. Taylor-sorok Az f(x) függvéyt akarjuk hatváysorkét felíri, rögzített a mellett olya a -eket keresük, amelyekre f(x) = a (x a) = = a + a (x a) + a (x a) + + a (x a) +... Tegyük fel, hogy f(x) végtele sokszor differeciálható az a egy köryezetébe. Ekkor f (x) = f (x) = f (x) = a (x a) = ( )a (x a) = ( )( )a (x a) 3 =3 stb. Behelyettesítve a-t kapjuk, hogy f(a) = a 4
és általába f (a) = a f (a) = a f (a) = 3a 3 f () (a) =!a, a = f () (a).! és ez akkor teljesül, ha x <, < x < 4. A következőkbe arra keressük a választ, hogy a Taylorsor mikor állítja elő a függvéyt. Ehhez az. félévbe tault Taylor-tétel yújtja az alapot: 4. defiíció. Legye f(x) egy olya függvéy, amelyik végtele sokszor differeciálható egy olya itervallumba, amelyek belső potja a. Az f(x) függvéy által geerált Taylor-sor az x = a helye: k= f (k) (a) (x a) k = k! f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + +! f () (a) (x a) +....! Az f(x) függvéy által geerált Maclauri-sor az x = helye vett Taylor-sor: k= f() + f ()x + f ()! f (k) () x k = k! x + + f () () x +....! Példa: Határozza meg az f(x) = x függvéy a = -beli Taylor-sorát! Megoldás: Nyilvá és általába f (x) = x f (x) = ( )( )x 3 f (x) = ( )( )( 3)x 4 f () (x) = ( )!x (+). Ezért f () () = ( )! (+)!! tehát a Taylor-sor: = ( ) +, x (x ) (x )3 + 3 4 +..., ami egy egy x első tagú, háyadosú mértai sor. Ez yilvá megfelelő, mivel ( x ) = x, 5. tétel (Taylor-tétel). Ha az f(x) függvéy az a I itervallumo akárháyszor differeciálható, akkor mide pozitív egész és x A eseté ahol f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) +...! egy a és x közötti c-vel. + f () (a) (x a) + R (x),! R (x) = f (+) (c) (x a)+ ( + )! Példa: Bizoyítsuk be, hogy mide valós x eseté e x = = x! = + x + x! + x3 3! + + x! +... Megoldás: Írjuk fel az f(x) = ex függvéy Maclaurisorát! Ekkor a Taylor-tétel szerit ahol f () (x) = e x f () () =, e x = + x + x! + + x! + R (x), R (x) = egy és x közötti c-vel. Ezért, ha x <, akkor Ha x >, akkor R (x) x + ( + )! R (x) e x x + ( + )! Ezért tetszőleges valós x eseté e c ( + )! x R (x) =,, ha, ha. 5
ahoa már következik az állítás. Következméy: Ha x = az előző példába, akkor azt kapjuk, hogy e = e = + +! + 3! + +! + = =! A feti godolatmeetből adódó állítás a következő tételbe fogalmazható meg: 6. tétel. Ha létezik M kostas, amellyel x és a közötti valameyi t eseté f (+) (t) M, akkor a Taylor-tételbe szereplő R (x) maradéktag kielégíti az x a + R (x) M ( + )! egyelőtleséget. Ameyibe ez a feltétel teljesül mide -re, akkor f(x) Taylor-sora f(x)-et állítja elő. Példa:. Mide valós x eseté Megoldás: Legye si x = x x3 3! x5 5! + x7 7! +.... f(x) = si x f() = f (x) = cos x f () = f (x) = si x f () = f (x) = cos x f () = f (4) (x) = si x f (4) () = f (5) (x) = cos x f (5) () = stb. Ie a Taylor sor: Mivel x x3 3! x5 5! + x7 7! +.... f (+) (x) = ± si x vagy ± cos x, ami bizoyítja az állítást. f (+) (t),. Hasolóa bebizyítható, hogy mide valós x eseté cos x = x! + x4 4! x6 6! x8 8! +..., de úgyaez következik abból is, hogy és (si x) = cos x (x x3 3! x5 5! + x7 7! +... ) = x! + x4 4! x6 6! +..., 3. A cos x Taylor-sorából, már a cos x Taylor-sorát köyű meghatározi, csak a cos x Taylor-sorába az x-et x-re kell cseréli: cos x = (x)! + (x)4 4! (x)6 6! +... 4. Határozzuk meg az f(x) = (+x) m Taylor-sorát, ahol m valós szám. Megoldás: Köye igazolható, hogy tetszőleges pozitív egész eseté f () (x) = m(m )... (m + )( + x) m, f () () = m(m )... (m + ), ahoa a Taylor sor + mx + m(m ) x + + m(m )... (m + ) x +....! Ha m emegatív egész, akkor a Taylor-sor m + darab emulla tagot tartalmaz és biomiális tételt kapjuk vissza. Ha m em emegatív egész, akkor végtele sok tagja va a Taylor-sorak. Igazolható, hogy x < eseté koverges a sor és előállítja ( + x) m -et. Alkalmazások:. Határozza meg 3 potossággal az határozott itegrált! Megoldás: Az e x Taylor sorából kapjuk, hogy e x e x dx = = x + x4! x6 3! + x8 4! +..., e x dx x + x4! x6 3! + x8 4! x +... dx = 5! 6
[x x3 3 + x5 x7 4 + x9 6 x 3 +... ] = 3 + 4 + 6 3 +..., ahoa kapjuk, hogy egy megfelelő közelítés a 3 + 4 + 6. (Valójába a hibát potosa meg kellee becsüli de ez a következő két tagra ráézve hihető.). Határozza meg a határértéket! Megoldás: Mivel si x x x x 3 si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., si x x x x 3 = x ( ) x x3 3! + x5 5! x7 7! +... x x 3 = x3 3! + x5 5! x7 7! +... x x 3 = x 3! + x 5! x4 7! + = 6. 7