### walszam07-jav-80.doc, ### 08.0.3., :00' http://math.ui-pao.hu/~szalkai/walszam07.pdf Valószíűségszámítás alapjai szemléletese /Kézirat, 08-0-3. / dr.szalkai Istvá Pao Egyetem, Veszprém Matematika Taszék http://math.ui-pao.hu/~szalkai szalkai@almos.ui-pao.hu
Bevezetés Ez csak egy agyo vázlatos, félkész kézirat, segítség az előadáshoz. A kisebb egységek végét jelzi. További ayagok találhatók még a holapomo: http://math.ui-pao.hu/~szalkai dr. Szalkai Istvá Veszprém, 08.0.3. szalkai@almos.ui-pao.hu Tartalom Bevezetés. Eseméyek és eseméytér. A relatív gyakoriság és a valószíűség 3. A valószíűség kiszámítása 4. Feltételes valószíűség, eseméyek függetlesége 5. Valószíűségi változók és jellemzőik 6. Várható érték és szórás 7. Nevezetes diszkrét eloszlású valószíűségi változók 8. Nevezetes folytoos eloszlású valószíűségi változók 9. Normális eloszlású valószíűségi változók 0. Nagy számok törvéyei Függelék Valószíűségszámítás - Matematika szótár A stadard ormális eloszlású változó eloszlásfüggvéyéek () táblázata Irodalom
. Eseméyek és eseméytér.. Alapfogalmak (Defiíciók): Kísérlet: egy jeleség aktív vagy passzív megfigyelése Determiisztikus (=meghatározott) kísérlet: mideképpe csak egy lehetséges kimeetele (végeredméye) lehet. Sztochasztikus (=véletle) kísérlet: több kimeetele va Példák: érme-, kockadobás, két kocka, izzó élettartama, fizikai meyiségek mérése, vízállások, lottóhúzás, miőségelleőrzés, stb. Elemi eseméyek: A kísérlet lehetséges, tovább már em botható kimeetelei. Az összes lehetséges elemi eseméy halmazát (összességét) eseméytérek evezzük, mi -val jelöljük. (Más köyvekbe eltérő jelölés is lehet). A kísérlet egy elemi eseméye -ak egy eleme: ω vagy x. Matematikailag egy tetszőleges, em üres halmaz lehet! Példák: "hatost dobtam", "3V", "kg",... Eseméy (általáosa): bármely részhalmaza: A. Példák: "páros számot dobtam", "0V és 0V között va",... Az elemi eseméyeket tehát egyelemű részhalmazaiak kell (illik) tekiteük: ω helyett ikább {ω} íradó. Az eseméyek összessége (halmaza) yilvávalóa hatváyhalmaza (power set), amiek jól ismert jele ). A kísérlet (vég)eredméye tehát midig egy eleme: ω. Azt modjuk, hogy egy A eseméy egy kísérlet (elvégzése) sorá bekövetkezik, ha ωa. Az alábbi fogalmak szemléletesek, de meg kell godoluk matematikai hátterüket. (Ezeket a fogalmakat a későbbiekbe még általáosítjuk.) Biztos eseméy, ami midig bekövetkezik tehát az egész alaphalmaz. Lehetetle eseméy, ami em következhet be, tehát az üres halmaz. Egymást kizáró eseméyek csak diszjuktak lehetek, vagyis AB=. Az A eseméyből következik a B eseméy, vagy más szóval A maga utá voja B -t, ha mide ω eseté ωa -ból ωb következik. Ez pedig éppe azt jeleti, hogy AB, vagyis A részhalmaza B -ek... Műveletek eseméyekkel (eseméyalgebra) Mivel az eseméyek valójába részhalmazai, ezért a szokásos halmazműveletekről va szó: úió, metszet, komplemeter, külöbség. A valószíűségszámítás elméletébe más elevezések és jelölések haszálatosak: eseméyek összege A+B = AB = úió, eseméyek szorzata AB = AB = metszet, eseméyek külöbsége A-B = A\B = külöbség, A eseméy tagadása A = A = komplemeter. Mi legtöbbször a hagyomáyos, halmaz- elevezéseket haszáljuk..3. A műveletek tulajdoságai A fetiek alapjá a halmazműveletek (Boole-algebrák) jól ismert tulajdoságairól va szó. Taácsoljuk az Olvasóak az egyelőségeket a valószíűségszámítás yelvére lefordítai. 3
A feti axiómák következméyei például az alábbiak: De Morga-azoosságok: A B A B és A B A B.. A relatív gyakoriság és a valószíűség.0. Ha egy kísérletet a gyakorlatba -szer elvégzük, és egy A eseméy k -szor következett be (gyakorisága k), akkor a k/ háyadost relatív gyakoriságak hívjuk. Tapasztalatok alapjá hihető, hogy ha vagy, akkor a k/ háyados egy bizoyos, az A eseméyre jellemző p szám körül igadozik. (Ezt az összefüggést a Nagy számok törvéyei fejezetbe Beroulli tétele igazolja.) Ezt a p számot hívjuk az A eseméy valószíűségéek, és A) -val jelöjük... Defiíció: A valószíűség Kolmogorov-féle axiómái: P (egy) valószíűség az eseméytére, ha (o) P : ) R, vagyis A eseté A)R valós szám, (i) 0 A), (ii) )=0, )=, (iii) P Ai Ai ) ha az A i -k egymást párokét kizárják, vagyis ha A i A j = i i.. A feti axiómák következméyei:. tetszőleges A,B eseméyekre A A) A,. ha A és B kizárják egymást, akkor A = A)+ (additivitás), 3. A) A), 4
4. tetszőleges A,B eseméyekre A\ A) A, 5. ha B A, akkor A\ A), 6. ha B A, akkor A) (mootoitás), 7. tetszőleges A,B,C eseméyekre A B C) A) C) A B C) AC) A B C) (logikai szitaformula), 8....3. Vegyük észre, hogy P feti tulajdoságai agyo hasolítaak a síkbeli halmazok területé-ek tulajdoságaival (ami em meglepő, mert midkettő additív halmazfüggvéy). Tehát tauláskor yugodta olvashatuk A) helyett T A -t. Az..Defiíció általáosításakét modjuk az alábbiakat:.4. Defiíció: Tetszőleges A,B eseméyekre: A biztos eseméy, ha A)=, A lehetetle eseméy, ha A)=0, A és B egymást kizáró eseméyek, ha A=0..5. Megjegyzés: Általáosa az "esély" és "valószíűség" szavak egymás szioímái, de egyes statisztikai művek az "esély" fogalom alatt mást (p/q) érteek. 3. A valószíűség kiszámítása Most csak a két legegyszerűbb módszert ismertetjük, hisze az egész ayag célja végig a valószíűség kiszámítása! 3.. Kombiatorikus (klasszikus) valószíűségi mező Ameyibe véges elemszámú halmaz, és mide ω elemi eseméyek ugyaakkora a valószíűsége (pl. szabályos kockával dobás), akkor egyrészt ) mide elemi eseméy eseté, A kedvez ő másrészt tetszőleges A eseméyre A) : összes 3.. Geometriai valószíűség: Ameyibe a halmaz a számegyees, a sík vagy a tér valamely olya részhalmazával reprezetálható (modellezhető, megjeleíthető), amely eseté mide ω elemi eseméyek ugyaakkora a valószíűsége, akkor tetszőleges A eseméyre ( A) P ( A) (aráyos a halmaz hosszával/területével/térfogatával), ( ) ahol értelemszerűe (A) és ( ) a halmazok hosszát, területét vagy térfogatát jelöli 3.3. Például: buszra várok (de csak véletleszerűe metem ki a megállóba), célbadobás (de csak véletleszerűe célzok, em vagyok profi, és mide lövésemmel legalább a céltáblát eltalálom). Érdemes még a "Radevú a köyvtárba" -típusú feladatokat us taulmáyozi. A "célbadobás" -ál kihagsúlyozott feltételeket mide esetbe alaposa elleőrizi kell! 5
4. Feltételes valószíűség, eseméyek függetlesége Ha már tudjuk, hogy valami bekövetkezett (egy B eseméy), akkor ez meyire befolyásolhatja az általuk vizsgált A eseméy bekövetkezését? A relatív gyakoriság elemzésével kapjuk a következő képletet: 4.. Defiíció: Ameyibe a B eseméy em lehetetle, vagyis >0, akkor A -ak B bekövetkezése utái valószíűsége A. A Tehát A az A eseméy valószíűsége, feltéve, hogy B már bekövetkezett, ezért hívjuk feltételes valószíűségek 4.. Megjegyzések: A feltételes valószíűség teljesíti a valószíűség axiómáit, ha a B feltétel rögzített. Ez azt jeleti, hogy a.fejezet képletei mid igazak maradak, ha...) helyett mideütt... -t íruk. Természetese merül fel a kérdés: B hogya befolyásolja A -t (erősíti, gyegíti vagy em befolyásolja). Ezt alább, a Függetleség alfejezetbe vizsgáljuk. A 4..Defiíció képletéek átszorzása utá kapjuk a következő egyszerű, de fotos összefüggést: 4.3. Szorzás Tétel: A A 4.4. Defiíció: A B, B, B3,..., B eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, ha egymást párokét kizárják, és uiójuk a biztos eseméy, vagyis B i B j =, és B B... B = (Általáosabba: B i B j )=0 és B B...B )=.) A feti tulajdoságú halmazredszereket általába partícióak (felosztásak) evezük, lásd az alábbi ábrát. 4.5. Teljes valószíűség tétele: Ha { B, B, B3,..., B } teljes eseméyredszer és B i )>0 mide i-re, akkor bármely A eseméyre A) A Bi ) Bi ) Bizoyítás: A Szorzás Tétel alapjá a feti képlet így írható: ami yilvá igaz, hisze i P ( A) i i A B i B i A A A godolatmeetet szemléltetik az alábbi ábrák (P helyett godoljuk ismét a területre): ) 6
Teljes eseméyredszer (partíció) Teljes valószíűség 4.6. Példa: Egy gyárba 3 műszakba gyártaak termékeket. Az I. műszak az összes termék 40%-át, a második az összes termék 35%-át, a harmadik műszak az összes termék 5%-át gyártja. Az első műszak által gyártott termékek midegyike 0.05, a második műszak által gyártott termékek midegyike 0.06, a harmadik műszak által gyártott termékek midegyike 0.07 valószíűséggel selejtes. Kiválasztva egy akármilye terméket, meyi az esélye, hogy selejtes? Megoldás: Legyeek B,B, B 3 redre azo eseméyek, hogy a kiválsztott terméket melyik műszak gyártotta, és jelölje S azt, amikor a termék selejes. A feltételek szerit B )=0.4, B )=0.35, B 3 )=0.5, (elleőrzés: B )+B )+B 3 )= 0.4+0.35+0.5=). Továbbá S B )=0.05, S B )=0.06, S B )=0.07. A teljes valószíűség tétele szerit S) = S B )B ) + S B )B ) + S B 3 )B 3 ) = = 0.05*0.4 + 0.06*0.35 + 0.07*0.5 = 0.0585. Megfordítás: Ha a kiválasztott termék selejtes, meyi az esélye, hogy az első (vagy a második, vagy a harmadik) műszak gyártotta? Kit szidjuk (legagyobb eséllyel)? Mert ugye a harmadik műszak termékei között va a legtöbb selejt, de ugyaekkor a harmadik műszak állítja elő a legkevesebb terméket.... Az alábbi tétel erre a kérdésre válaszol: 4.7. Bayes tétele (Megfordítási tétel): Ha B, B, B3,..., B teljes eseméyredszer és B i )>0 mide i-re, akkor bármely A eseméyre (ha A)>0) A B j ) B j ) B j A) A) A tétel köye következik a Szorzás Tételből. A 4.6.Példa folytatása: B S) = S B )B )/S) = 0.05*0.4 /0.0585 0.34 880, B S) = S B )B )/S) = 0.06*0.35/0.0585 0.358 974, B 3 S) = S B 3 )B 3 )/S) = 0.07*0.5/0.0585 0.99 45, tehát (kis eltéréssel) a selejtes darabok legagyobb része a második műszaktól származik. (Elleőrzés: B S)+B S)+B 3 S)=.) Eseméyek függetlesége Felmerül a kérdés, hogy a már bekövetkezett B meyire befolyásolja A -t? Nyilvá három eset lehetséges: A < A), vagyis B gyegíti A -t, A > A), vagyis B erősíti A -t, A = A), vagyis B em befolyásolja A -t. 7
4.8. Speciális esetek: Az.Fejezetbe megismert speciális BA ("B -ből következik A") esetbe a 4..Defiíció képlete szerit A P ( A, vagyis ekkor B -ből valóba következik A. Ha pedig kizárják egymást (a.4.defiíció szerit), akkor A 0 P ( A 0, vagyis B valóba kizárja A -t. 4.9. Nyilvávaló követelméy, hogy az A és B eseméyek akkor lehetek függetleek, ha egyik sem befolyásolja a másikat, vagyis A = A) és B A) =. Kis számolás utá (a Szorzás tétel segítségével) kapjuk, hogy a feti két követelméy ekvivales (azoos értékű) a következő, egyetle összefüggéssel: 4.0. Defiíció: Az A és B eseméyek egymástól függetleek, ha A A) Hagsúlyozzuk, hogy a feti egyelőség em érvéyes tetszőleges eseméyekre!!! 4.. Állítás: Ha 0 P ( A), 0 P ( és A és B függetleek egymástól, akkor A és B is, A és B is, valamit A és B is függetleek egymástól 5. Valószíűségi változók és jellemzőik A legtöbb kísérletél em csak "eseméy"-t észlelük (piros, sikerült, stb.), haem mérük is (valamit). Általába többször megmérve "ugyaazt" a jeleséget (pl. testtömeg), midig más eredméyt kapuk, véletleszerűe váltakozva. 5.. Defiíció: Az olya függvéyeket, amelyek elemi eseméyekhez redelek valós számokat, azaz : R, valószíűségi változókak (v.v.) evezzük (Köye megjegyezhető: "val.vált." = "a kísérlet számszerű végeredméye".) A valószíűségi változók alábbi két típusáak megkülöböztetése léyeges az ayag további részébe: mide defiícióál, tételél léyeges, hogy az milye típusú val.vált.-ra érvéyes! 5.. Defiíció: A valószíűségi változó diszkrét (elkülöült), ha csak véges vagy megszámlálhatóa (felsorolhatóa) sok lehetséges értéke va, tehát értékkészlete Im()= {x, x,..., x,... } alakba írható. A valószíűségi változó folytoos, ha értékkészlete tartalmaz egy itervallumot: Im()(a,b) 5.3. Defiíció: A diszkrét valószíűségi változó eloszlásá értjük a lehetséges értékeiek halmazát a hozzájuk tartozó valószíűségekkel: {x, x,..., x,... } és {p, p,..., p,... } ahol p i := =x i ) Nyilvá és -ak akkor va azoos eloszlása, ha {x, x,..., x,... } és {p, p,..., p,... } ugyaazok. 5.4. Állítás: Egy {p, p,..., p,...} számsorozat akkor és csak akkor egy diszkrét valószíűségi változó eloszlása, ha az alábbi axiómákat teljesíti: (i) 0p i, (ii) p +p +...+p +... = 8
5.5. Defiíció: Egy tetszőleges (akár diszkrét, akár folytoos) valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F : R R, ahol F( x) : x) 5.6. Tétel: Az eloszlásfüggvéy alaptulajdoságai (axiómák): ) 0 F ( x), ) F(x) mooto ő, 3) F(x) balról folytoos ("teli karika" a jobb végé), 4) lim F( x) és lim F( x) 0 x x Mire való az eloszlásfüggvéy? Segítségével az alábbi kérdésekre tuduk gyors választ adi: 5.7. Tétel: a) F( a) a) F( a) a) F( a) a) a) F( a) a) a b) F( b) F( a) a b) F( b) F( a) b) a b) F( b) F( a) a) a b) F( b) F( a) b) a) a) lim F( x) F( a) xa Az 5..Defiíció helyett matematikailag az alábbi követelméy potosabb: 5.8. Defiíció: folytoos, ha létezik egy olya f : RR folytoos függvéy, amelyre (legfeljebb véges sok pot kivételével) Ekkor f(x) -et sűrűségfüggvéyéek evezzük. t F ( t) f ( x) dx. A és v.v. azoos eloszlásúak, ha sűrűségfüggvéyeikre f (x)=f (x) véges sok xr pot kivételével A "sűrűségfüggvéy" elevezést az 5.5. megjegyzésbe világítjuk meg. 5.9. Állítás: A sűrűségfüggvéy alaptulajdoságai (axiómái): 0) f : RR ) f ( x) 0 ) f (x) 5.0. Állítás: ha az f : R R (legfeljebb véges sok pot kivételével) folytoos függvéy redelkezik a feti tulajdoságokkal, akkor va olya valószíűségi változó, amiek f a sűrűségfüggvéye 5.. Állítás: (i) Ha folytoos, akkor eloszlásfüggvéye (F(x)) mide potba folytoos. (ii) Ha F(x) folytoos és véges sok pot kivételével folytoosa differeciálható, akkor va folytoos eloszlású valószíűségi változó, amelyek F(x) eloszlásfüggvéye. ' (iii) Ahol F deriválható, ott F ( x) f ( x) 5.. Állítás: Ha F(x) folytoos x -be, akkor x) 0 Mire való az f(x) sűrűségfüggvéy? Segítségével az alábbi kérdésekre tuduk gyors választ adi: 5.3. Állítás: ha folytoos eloszlású, akkor a b) a b) a b) a b) F( b) F( a) 9
Most összefoglaljuk a fejezet legfotosabb képleteit: 5.4. Tétel: "Tipikus" kérdések (és a válaszok) ξ<b) a ξ) a ξ<b) b = f(x)dx = F(b) = f(x)dx = -F(a) = - ξ<a) a = b a f(x)dx = F(b)-F(a) (Newto-Leibiz szabály) ξ=b) = 0 (ha ξ folytoos v.v.) ξ c) = ξ-c <ε) = c-ε<ξ<c+ε) = F(c+ε)-F(c-ε). 5.5. Miért evezzük f(x) -et sűrűségfüggvéyek? A Newto-Leibiz szabály alapjá: a a a) vagy másképpe: lim f ( a) a 0 a Hisztogram (oszlopdiagram) és sűrűségfüggvéy kapcsolata: 0
Valószíűségi változók függetlesége 5.6. Defiíció: A és valószíűségi változókat függetleek evezzük, ha bármely x,y R valós számok eseté x és y) x) y) 5.7. Állítás: Ha és diszkrét v.v., és lehetséges értékeik Im()={ x, x,... } illetve Im()= { y, y... }, akkor : és potosa akkor függetleek, ha P x, y ) x ) y ) ( i j i j 5.8. Tétel: Ha : és folytoos eloszlásúak, sűrűségfüggvéyük f (x) illetve g (y) x, y) potosa akkor függetleek, ha f ( x) g( y) x y, akkor: és 6. Várható érték és szórás Egyetle mérés helyett általába többször szoktuk méri, és a méréseket utáa átlagoljuk, ismétlődő értékek eseté súlyozzuk az értékeket. 6.. Defiíció: Ha diszkrét v.v., lehetséges értékei { x,... } és eloszlása {p,...}, akkor várható értéke vagy átlaga - ha -ek véges sok lehetséges értéke va, akkor M ( ) E( ) x i p, - ha -ek végtele sok lehetséges értéke va, akkor feltéve, hogy i i M ( ) E( ) x i p 6.. Defiíció: Ha folytoos v.v., sűrűségfüggvéye f(x), akkor várható értéke vagy átlaga ameyibe az i i i x i p M ( ) E( ) x f ( x) dx x f ( x) dx improprius itegrál koverges 6.3. Megjegyzések: (i) E() a régebbe haszált agol "expected value" (várt érték) kezdőbetűje, újabba ikább az M() jelölést haszáljuk, ami az agol "mea" (átlag!) szót jelöli. (ii) Úgy tapasztaljuk hogy a meyiség többszöri mérésekor kapott értékek az M() átlag körül igadozak. Ezt a Nagy számok gyege törvéye (Csebisev-alak) tétel igazolja a Nagy számok Fejezetbe. i 6.4. Tétel: A várható érték tulajdoságai:. Ha c, akkor M ( ) c ("beragadt a mérőműszer").. Ha létezik M ( ), akkor M( a b) am ( ) b (pl. o C helyett o F).
3. Ha M ( ) és M ( ) létezik, akkor M( ) M( ) M( ). 4. Ha a b, akkor a M( ) b. 5. Ha 0, akkor 0 M ( ). 6. Ha és függetleek, akkor M( ) M( ) M( ). 7. Ha,,... függetle azoos eloszlású valószíűségi változók, akkor i M ( i ) M ( ) és M i M ( ) i 8. Ha g : H R R folytoos függvéy, akkor diszkrét eloszlás eseté M ( g( )) g( x i ) p i i folytoos eloszlás eseté M ( g( )) g( x) f ( x) dx. 9. Speciálisa: g( x) x eseté M ) x i pi i ( illetve M ( ) x f ( x) dx A szórás Többször tapasztalhattuk (pl. iskolai dolgozatok osztályzataiál), hogy az átlagtól való szóródás éha kicsi, éha agy. Ezeket az eltéréseket yilvá átlagoluk kell. Ha -ek va várható értéke, akkor M ( M( )) 0. M ( M ( ) ) sem jó, em köyű számoli. De ( M ( )) a kis eltéréseket még kisebbé, a agyokat még agyobbá teszi, ezért a M(( M( )) ) meyiséget haszáljuk az igadozás mérésére. 6.6. Defiíció: A v.v. szóráségyzete D ( ) M M ( ) szórása D( ) M M ( ) (ameyibe ez a kifejezés véges), 6.7. Állítás: A feti, gyök alatti meyiség emegativitása biztosított a várható érték 6.4. Tétel 5) tulajdosága miatt, tehát gyököt lehet voi 6.8. Állítás: Ha ( M ) véges, akkor létezik a szóráségyzet és D ( ) M( ) M ( ). Bizoyítás: A 6.4.Tétel potjait alkalmazva D ( ) M M ( ) M M ( ) M M ( ) M ( ) ( ) M ( ) M ( ) M ( ) M ( ) 6.9. Következméy: A várható érték (6.4.Tétel 9.) tulajdosága miatt a szóráségyzetre a következő számolási képleteik vaak: diszkrét valószíűségi változó eseté: D ( ) xi pi xi pi, i i folytoos valószíűségi változó eseté: D ( ) x f ( x) dx ( ) xf x dx
6.0. Tétel: A szóráségyzet és a szórás tulajdoságai:. c akkor és csak akkor, ha D ( ) D( ) 0. ("Beragadt a mérőműszer".). D ( a b) a D ( ) és D( a b) a D( ). 3. CSAK Ha és függetleek, akkor D ( ) D ( ) D ( ) és D( ) D ( ) D ( ). 4. Ha,,... függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók, akkor D ( i ) D ( ) D i ( i i ) D( ),, D D ( ) i i D i i D( ), 6.. Defiíció: Diszkrét valószíűségi változó módusza a legvalószíűbb x k érték (vagyis amelyre p k =x k ) a legagyobb). Folytoos valószíűségi változó módusza a sűrűségfüggvéy lokális maximumhelye 6.. Defiíció: Diszkrét valószíűségi változó mediája a következő mr valós szám: - ha az F(x) függvéy sehol sem veszi fel az ½ értéket, akkor m legye a legkisebb olya xr amelyre F(x)> ½. - ha va olya xr valós szám, amelyre F(x)= ½, akkor eze x számok egy itervallumot alkotak, és legye m az itervallum közepe. Folytoos valószíűségi változó mediája az F(x)= ½ egyelet megoldása, ha pedig több ilye szám va, akkor m az itervallum közepe A mediá tehát léyegébe azo x érték, aki a agyság szeriti sorba középe áll. 7. Nevezetes diszkrét eloszlású valószíűségi változók Az alábbikba Im()={x,...,x } vagy Im()={x,...,x,...} és haszáljuk a p k := =x k ) rövidítést ahol kn tetszőleges természetes szám. Diszkrét egyeletes eloszlású valószíűségi változók 7.. Defiíció: diszkrét egyeletes v.v., ha Im()={x,...,x } egy tetszőleges véges halmaz és midegyik x i értéket ugyaakkora valószíűséggel veszi fel, azaz p i ==x i ) = / mide i=,..., eseté 7.. Például szabályos dobókockával dobuk, a fizetedő összeg utolsó számjegye, véletleül moduk egy számot és között, a dobozba levő db (külöböző) tombolajegyek számai {x,...,x }, szabályos sokszög alapú egyees hasáb (majdem heger) alakú ceruza oldalaira külöböző számokat íruk és a ceruzát elgurítjuk, stb. xi i 7.3. Állítás: M() = = x x... x és D( ) M( ) M ( ) = (Ez léyegébe csak a defiíció felírása, tehát elleőrzése em ehéz házi feladat. i x i i x i 3
Hipergeometrikus eloszlású valószíűségi változók 7.4. Defiíció: Legyeek N,S,N rögzített természetes számok, N, 0 S N, S, 0 N S. Ekkor hipergeometrikus eloszlású v.v. az S,N, paraméterekkel, ha lehetséges értékei Im() = {0,,,} és S N S p k = k k P ( k). N ahol...... természetese biomiális együtthatókat jelöl. 7.5. Állítás: Az alábbi típusú kísérletek, melyeket visszatevés élküli mitavételekek evezük, hipergeometrikus eloszlásúak. Tegyük fel, hogy egy halmazba N db elem va, amelyek között S db másmilye, mit a többi (például selejt). Visszatevés élkül, akár egy marokkal kiveszük közülük -et. Legye a kivett elemek között a másmilyeek (S-beliek) száma. Ekkor hipergeometrikus v.v. Az állítás belátása em ehéz, házi feladat. 7.6. Példák: S 7.7. Tétel: M ( ) ( p) és D( ) p( p) ahol N N ( A N szorzótéyezőt korrekciós téyezőek hívjuk.) 7.8. Tétel: Ha és k álladó, S, N, p álladó N S N S k k N p k S, akkor S p. N k k ( p) 7.9. Magyarázat: A feti tétel szerit a hipergeometriai eloszlású v.v. hoz tartozó valószíűségek határértékbe a biomiális eloszláshoz (lásd köv. fejezet) tartozó valószíűségekhez tartaak. Ez összhagba azzal a tapasztalati téyel és elméleti meggodolással, hogy agy elemű sokaság (alaphalmaz) eseté majdem midegy, hogy visszatevéssel vagy visszatevés élkül választuk ki elemeket. Biomiális vagy Beroulli eloszlású valószíűségi változók 7.0. Defiíció biomiális vagy Beroulli eloszlású v.v. az,p paraméterekkel, ha N tetszőleges emulla természetes szám és 0<p< tetszőleges szám, továbbá ha lehetséges értékei (!) Im() = {x 0,x,...,x } = {0,,,} és eloszlása: tetszőleges k=0,,, eseté ahol k a biomiális együttható. k p k = k) p ( p) k k 4
7.. Tétel: A következő típusú kísérletek, melyeket visszatevéses mitavételekek evezük, biomiális eloszlásúak. Rögzítsük egy kísérletet () és egy A eseméyt, rögzítsük egy tetszőleges N, 0 tetszőleges természetes számot, és legye p=a). Most végezzük el a kísérletet -szer egymás utá, teljese azoos körülméyek között, egymástól függetleül, és jelölje (számolja) azt, hogy az kísérlet alatt háyszor következett be az A eseméy. Ekkor biomiális eloszlású v.v. az,p paraméterekkel. Eek belátása em ehéz, házi feladat. Hagsúlyozzuk, hogy a feti tételbe említett feltételek ("teljese azoos körülméyek között, egymástól függetleül") em midig teljesülek maradéktalaul a gyakorlatba, az ilye kísérletsorozatok tehát em teljese biomiális eloszlású v.v. -k. 7.. Példák: a) 0-szer gurítuk egy kockával, a dobott hatosok száma, ekkor biomiális eloszlású az =0 és p=/6 paraméterekkel. Azoos feladat: egyszerre gurítuk 0 szabályos kockát, amik em akadályozzák (befolyásolják) egymást. b) 7-szer feldobuk egy szabályos érmét, a dobott fejek száma. biomiális eloszlású az =7, p=0.5 paraméterekkel. c) Visszatevéses mitavételek: visszatevéssel (=egyesével) választuk rögzített N elem közül -szer. Az összes elem között S db selejtes va. Legye a kivett elemek közt a selejtes elemek száma. Ekkor biomiális eloszlású az és a p=s/n paraméterekkel. d) Visszatevéssel választuk a magyar kártyából 5-ször, a kivett lapok közt a pirosak száma. Ekkor biomiális eloszlású az =5 és p=8/3 paraméterekkel. 7.3. Állítás: Ha biomiális v.v., akkor M( ) p és D( ) p( p) 7.4. Állítás: Ha biomiális v.v., akkor legvalószíűbb értéke (modusza) : m = ( ) p akkor, ha ( ) p em egész szám, m = (+)p és m = (+)p-, akkor, ha ( ) p egész szám, ahol [x] az x valós szám egész részét (lefelé kerekítés vagy csokítás) jeleti. 7.5. Tétel: Ha biomiális eloszlású val. változó az és p paraméterekkel, biomiális eloszlású val. változó az és (ugyaazo!) p paraméterekkel, valamit és függetleek, akkor is biomiális eloszlású valószíűségi változó az és p paraméterekkel 7.6. Tétel: Ha és p 0 úgy, hogy p = álladó, akkor p k k k k ( p) e A legutolsó eredméy, többek között, segítségükre va p k kiszámolásába. Ugyais agy, k és kis p eseté a biomiális együttható agyo agy míg p k agyo kicsi, és ezek szorzata agy potatlaságot okoz a számológépeke. A Poisso-eloszlások alapja a feti 7.6.Tétel. k! Poisso eloszlású valószíűségi változók 7.7. Defiíció: A v.v. Poisso eloszlású a >0 valós paraméterrel, ha lehetséges értékei Im() = N = {0,,,,,...} az összes természetes szám, és eloszlása (e,788 az Euler-féle szám) k p k = k) e k! 5
7.8. Alkalmazás: A Poisso eloszlások egyik alkalmazása, mit az előző fejezetbe említettük, a biomiális eloszlások közelítése agy és kis p eseté. Erre egy mitapéldát a 0. fejezet végé mutatuk. A gyakorlatba a következő típusú kísérletekek va Poisso eloszlása: rögzítük egy "fizikai halmazt", ami lehet térbeli (vagy sík- vagy egyeesbeli) halmaz vagy időitervallum, ezt a fizikai halmazt a továbbiakba egységese "V térfogatak" hívjuk. Tegyük még fel, hogy eze a halmazo belül sok, egymástól függetle jeleség léphet fel, melyek egyszerre törtéő megjeleése égyzetese csökke. Ekkor bebizoyított tétel, hogy, a fellépett jeleségek száma, Poisso v.v. Ebből a megfogalmazásból ugye érezhető a Poisso és biomiális eloszlások hasolósága, amit a 7.6. Tétel igazol. 7.9. Példák: "egységyi" területe/hosszo/térfogatba keletkezett ayaghibák száma (textil/cső/agyag), adott időitervallumba a hívások / ügyfelek száma, sajtóhibák száma egy köyvbe. 7.0. Tétel: Ha Poisso v.v. >0 paraméterrel, akkor M( ) és D ( ) 7.. Tétel: legvalószíűbb értéke (modusz): ha em egész szám, és ha egész szám 7.. Tétel: Ha Poisso eloszlású val. változó a paraméterrel, Poisso eloszlású val. változó a paraméterrel, valamit és függetleek, akkor is Poisso eloszlású valószíűségi változó az paraméterrel. Következméy: Ha Poisso eloszlású a V térfogato paraméterrel és tr + tetszőleges pozitív szám, akkor leszűkítése/kiterjesztése a V/t térfogatra szité Poisso eloszlású /t paraméterrel. Ezt a jeleséget rövide úgy hívjuk, hogy a Poisso eloszlások korlátlaul oszthatók. Geometriai eloszlású valószíűségi változók 7.3. Defiíció: geometriai eloszlású v.v. a p ( 0 p ) paraméterrel, ha lehetséges értékei Im() = N = {,,,,...} az összes pozitív természetes szám, és eloszlása: k p k = k) p ( p) Megjegyzés: szokás a q:=-p rövidítést haszáli, ekkor p k képlete: p k = pq k-. Ezért hívják -t mértai (geometriai) eloszlásak, hisze ekkor a p, p,... egy mértai sorozat. 7.4. Tétel: A gyakorlatba a következő kísérletek mértai eloszlású v.v.-k. Egymástól függetleül végezzük ugyaazt a kísérletet, és legye A egy rögzített eseméy, amelyek valószíűségét jelölje p:=a) és legye 0<p<. Ha a kísérletet addig ismételgetjük, teljese azoos körülméyek között, egymástól függetleül, amíg az A be em következik, és azt a legkisebb természetes számot jelöli, aháyadik kísérletél A legelőször bekövetkezett ("addig, amíg"), akkor eloszlása geometriai, a p paraméterrel. Eek belátása em ehéz, házi feladat. 7.5. Példák: addig jár a korsó a kútra, amíg el em törik, addig járuk vizsgázi, amíg végre sikerül a vizsga, addig ütük a dióra kalapáccsal amíg meg em reped, addig lövük az elleségre amíg el em találjuk, addig ugruk árkot, amíg végre száraz ruhával megússzuk, addig voulak el a háremhölgyek Szidbád előtt, amíg Szidbád em választ,.... 6
Megjegyezzük, hogy a valódi, gyakorlati életbe em midegyik feti példába illetve em midig teljesülek maradéktalaul a feltételek ("teljese azoos körülméyek között, egymástól függetleül"). Godoljuk csak a vizsgákra vagy a diókra: a következő vizsgára már jobba készülük, vagy éppe idegesebbek vagyuk, jobba izguluk vagy puskázuk, o és ki hallott már a 8 645 -dik vizsgáról? Ide kapcsolódik még a 8.4. Tétel is. 7.6. Tétel: Ha geometriai eloszlású v.v. p pararméterrel, akkor M ( ) és p Gyakorlati feladatokál gyakori a "háy kísérlet lesz elég?" kérdés: 7.7. Állítás: k) = - (-p) k. p D( ) p Bizoyítás: (ezt a számolást feladatak is kitűzheték, tehát kivételese haszos lesz átolvasuk): k) = =) + =) +... + =k) = p + pq + pq +... + pq k- q k q k = p = p = -q k q p 7.8. Tétel: Ha geometriai eloszlású valószíűségi változó, akkor m m) ), vagyis, az eddigi kísérletek em befolyásolják a továbbiakat (" em fiatalodó"). i k k Bizoyítás: k) i) p( p) p( p) ( p). m m miatt ik ik ( p) m m ) m m) m ) ( p), így P ( m m) ( p) m) 8. Nevezetes folytoos eloszlású valószíűségi változók Folytoos egyeletes eloszlású valószíűségi változók 8.. Defiíció Tetszőleges rögzített a,br valós számok, a<b eseté folytoos egyeletes eloszlású v.v. az a,b paraméterekkel, ha sűrűségfüggvéye c ha a x b f ( x) 0 külöbe Ebbe a fejezetbe agyo egyszerűe bizoyítható (kiszámolható) állítások vaak, a számolások elvégzése midegyik esetbe haszos házi feladat. 8.. Állítás: c= b a és 0 ha x a x a F( x) ha a x b b a ha x b 8.3. Állítás: a b M ( ) és b a D( ) 7
8.4. Tétel: A gyakorlatba a következő kísérletek folytoos egyeletes eloszlású v.v.-k: véletleszerűe, mide befolyástól metese, "egyeletese" választuk az [a,b] itervallumba egy x valós számot A feti és az alábbi állítások is igazolják a folytoos egyeletes eloszlások és a geometriai valószíűség (3.fejezet második része) azoosságát! 8.5. Példák: heger alakú ceruzát elgurítva mely potjá áll meg, papírszalagot hol váguk ketté, pálcát hol törük ketté, buszmegállóba megyük ki "csak úgy", a buszok egyeletese 5 percekét jöek, stb. 8.6. Állítás: d c c d) aráyos a [c,d] itervallum hosszával. b a Expoeciális eloszlású valószíűségi változók 8.7. Defiíció Tetszőleges rögzített R + pozitív valós szám eseté expoeciális eloszlású v.v. a 0 paraméterrel, ha sűrűségfüggvéye x e ha x 0 f ( x) 0 külöbe Megjegyzés: A gyakorlatba a következő kísérletek expoeciális eloszlású v.v.-k: gépek, élettele tárgyak (pl. izzók, gumiabrocsok, stb.) élettartama, azaz a tökremeésig eltelt idő. Ez em egy elméleti tétel, haem gyakorlati tapasztalat, potosabba statisztikai módszerekkel ("illeszkedésvizsgálat") elleőrzött téy 8.8. Tétel: Ha expoeciális eloszlású v.v. a paraméterrel, akkor 8.9. Tétel: M ( ) D( ) 0 ha x 0 F( x) x e ha x 0 8.0. Tétel: Ha expoeciális eloszlású val. változó, és x 0, y 0 tetszőleges számok, akkor x y y) x). (" örökifjú, em öregedő") A feti egyelőség kiszámolása em ehéz, javasolt házi feladat. Érdemes még összehasolítai a 7.8. Tétellel is. A következő tétel kiemeli az örökifjú tulajdoság és az expoeciális eloszlás kapcsolatát. 8.. Tétel: Ha folytoos eloszlású, F(0)=0, F(x)<, F mide emegatív x -re deriválható, lim F ' ( x) 0 és örökifjú, akkor expoeciális eloszlású v.v 0 8.. Tétel: Az expoeciális eloszlás és a Poisso eloszlás kapcsolata: Legyeek,,... függetle expoeciális eloszlású v.v. azoos paraméterrel, legye T>0 rögzített, és legye a T "időpotig tökremet/kicserélt alkatrészek" száma, azaz legye Im()=N, és legye: általába 0 ha T, ha T de T, k k ha T de T. i i Ekkor Poisso eloszlású v.v. a k i i T paraméterrel 8
8.3. Példa: Egy bizoyos típusú izzó élettartama expoeciális eloszlású valószíűségi változó () 000 óra várható értékkel (M()). Ha egy izzó tökremegy, azoal kicseréljük egy ugyaolya típusú másik izzóra, amiek az élettartama függetle az előző izzó élettartamától. Meyi a valószíűsége aak, hogy 500 óra alatt izzócsere szükséges? (Azaz )=?.) 8.4. Tétel: az expoeciális eloszlás és a geometriai eloszlás kapcsolata: Ha expoeciális eloszlású v.v. a paraméterrel, akkor geometriai eloszlású v.v. a p e paraméterrel. Bizoyítás: értékei lehetek,,3,..., és k ( k) ( k) k) k k) F( k ) F( k) e ( e ) e ( e ) Magyarázat: jeletése: háy (egész) óráig működik, meddig kell még várom, hogy tökremeje, vagyis "egy-egy kockadobás" = " óráig működtetem" 8.5. Példa: Egy telefotársaság folytoos alapo számláz, 0 Ft/perc díjjal. Egy másik társaság perc alapo számláz 5 Ft/ perc illetve percdíjjal. Melyik számlázási módot érdemes választai, ha egy hívás hossza expoeciális eloszlású valószíűségi változó perc várható értékkel? Megoldás: Legye a hívás hossza, a folytoos alapo számlázott díj, a perc alapo számlázott díj. Ekkor M ( ) 0M( ) 40 Ft és M ( ) 5M ( ) 5 38. Ft. 0.5 e Tehát, ha 7 Ft a percdíj, akkor már 40 Ft felé kerül a várható érték. 9. Normális eloszlású valószíűségi változók e x 9.. Bevezetés: Nagyo sok fizikai és egyéb meyiség agyo sok egyedél törtét méréséek taulmáyozása utá jutott Gauss arra a következtetésre, hogy a meyiségek hisztogramjait (oszlopdiagramjait) jól közelítik az függvéy lieáris ("vízszites és függőleges") traszformációi. Általába olya meyiségekről va szó, amelyek agyo sok, apró +/- hatás összegeződésekét jöek létre (testmagasság, tömeg, térfogat, feszültség, stb.) Eze feltételezés szemléltetésére sok példát láthatuk: Galto deszka, több kocka dobásaiak összege (lásd a holapomo és az alábbi rajzo), stb. Ezt a jeleséget a 0.5. "Közpoti Határeloszlás Tétel" és a Statisztika tárgy "Illeszkedésvizsgálat" módszere igazolja. Hét kocka összegéek eloszlása http://math.ui-pao.hu/~szalkai/7kocka.gif 9
9.. Defiíció: stadard ormális eloszlású v.v., ha sűrűségfüggvéye f ( x) e 9.3. Tétel: M ( ) 0 és D ( ) x (xr) függvéy és lieáris traszformáltjai- 9.4. Megjegyzések: Érdemes alaposa taulmáyozuk az ak képleteit és grafikojait! x e x Liouville tétele szerit az e függvéy primitív függvéyét em lehet képlettel felíri. Ezért F(x) - re képletet em tuduk felíri, értékeit külö-külö kiszámolva táblázatba redezték a matematikusok, mi pedig az értékeket a táblázatból keressük ki. Egy kisebb táblázat a jegyzet végé található. x 9.5. Jelölés: (x) := F ( x) f ( t) dt tetszőleges xr eseté (x) yilvá a stadard ormális eloszlású v.v. eloszlásfüggvéye. 9.6. Állítás: ( x) ( x) tetszőleges xr eseté Következméy: Bizoyítás: is stadard ormális eloszlású v.v. F( x) x) x ) ( x) ( ( x)) ( x) 9.7. Defiíció: Legye stadard ormális eloszlású v.v. és legyeek m, R tetszőleges valós számok, >0. Ekkor az m valószíűségi változót m, paraméterű ormális eloszlású v.v. - ak evezzük és erre a ~ N ( m, ) jelölést haszáljuk! Az alábbi tétel ekvivales defiíciót jelet a ormális eloszlások részére: 9.8. Tétel: sűrűségfüggvéye ( xm) f ( x) e mide valós x -re 9.9. Állítás: M( ) m és D ( ) x m 9.0. Tétel: ~ N ( m, ) eseté F (x) = F m, (x) = 9.. Tétel: "k-szor szigma szabály" : Ha ~ N ( m, ) és kr + tetszőleges pozitív szám, akkor m k m k ) ( k) Jeletése: Aak a valószíűsége, hogy értéke a várható értékéek kszórása sugarú köryezetébe esik, potosa (k)-. Az egyelőség köye kiszámolható a 9.0. és 9.6. összefüggések alapjá, taulságos házi feladat A tétel speciális eseteit érdemes külö is kiszámoluk: 9.. Tétel: Speciális esetek: k= P ( m m ) 0. 68, k= P ( m m ) 0. 95, k=3 P ( m 3 m 3 ) 0. 997 9.3. Tétel: Ha ~ N ( m, ) és a b, a 0, akkor ~ N( am b, a ) 9.4. Tétel: Ha N ( m, ) és N ( m, ) függetle valószíűségi változók, akkor ~ ~ ~ N ( m m, ) 0
Megjegyzés: Az általáos 6.4. és 6.0. Tételekből már tudjuk, hogy + várható értéke m +m és szórása, a Tétel újdosága az, hogy: "ormális eloszlások összege is ormális eloszlás"! Az alábbi, gyakorlatba is fotos összefüggés már köye következik az előző Tételből: 9.5. Tétel: Ha,,... ~ N( m, ) függetle, azoos eloszlású ormális v.v.-k, akkor i ~ N( m, ) i és i i ~ Nm, Megjegyzés: Mit már többször említettük, a gyakorlatba egy mérés helyett többször mérük és átlagoluk, ezáltal a szórás csökke, a potosság ő. Jó tuduk azt is, hogy az öszeg és az átlag is ormális eloszlású v.v 9.6. Példa: egy felőtt tömege ormális eloszlású valószíűségi változó 75 kg várható értékkel és 5 kg szórással, egy iskolás gyerek tömege ormális eloszlású 35 kg várható értékkel és 6 kg szórással. Ha a két személy tömegét függetle valószíűségi változóak tekitjük, akkor a) mekkora valószíűséggel lesz egy felőtt tömege agyobb, mit egy gyerek tömege, b) meyi a valószíűsége aak, hogy az össztömegük 80 és 40 kg közé esik? 9.7. Példa: Egy liftet 8 felőtt személyre méretezek. A beszállók tömegét függetle ormális eloszlású valószíűségi változóak tekitjük 75 kg várható értékkel és 5 kg szórással. Meyi legye a lift teherbíró képessége, ha azt szereték, hogy 4 személy beszállása eseté 0.99 valószíűséggel e gyulladjo ki a túlterheltséget jelző lámpa? Megoldás: Tehát i ~ N(75,5), i=,...,8, m=75, =5, és legye := i. Ekkor, a 9.5. Tétel szerit ~ N(8m, 8 ) = N(875, 8 5) = N(600,4.43). 8 Olya xr valós számot kell keresük, amelyre P i x =<x)=0.99. i 600 Mivel <x)=f (x)= x 0. 99 és táblázatából tudjuk, hogy (.3)=0.99, tehát 4.43 x 600.3 ahoa x=698.5~700kg. 4.43 A következő összefüggésekre a Matematikai Statisztika tárgyba lesz majd szükségük. 8 i 9.8. Tétel: Ha ~ N(0, ) akkor 0 ha x 0 F ( x) és ( x) ha x 0 valamit várható értéke M()=. eloszlás- és sűrűségfüggvéye f x e ha x 0 ( x) x 0 külöbe, 9.9. Tétel: Ha ~ N(0, ) akkor 0 ha x 0 F ( x) és (l x) ha x 0 e (ú. "logormális eloszlás") eloszlás- és sűrűségfüggvéye f (l x) e ( x) x 0 külöbe ha x 0, valamit várható értéke M()= e A következő táblázat agy méretbe megtalálható a holapomo: http://math.ui-pao.hu/~szalkai/eloszlasok(pdf)+kezjav+.gif
0. Nagy számok törvéyei Az alábbi egyelőtleségek általáos közelítéseket adak bármely valószíűségi változó értékeiek eloszlásáról. "Természetese" a közelítések potosságát a mérések számáak övelésével javíthatjuk. 0.. Tétel: Markov-egyelőtleség Ha a valószíűségi változóak létezik M() várható értéke, akkor ar + eseté M ( ) a). a Magyarázat: A tétel szerit a mérés eredméye () egyre agyobb értéket egyre kisebb valószíűséggel vesz fel. Potosabba: bármilye agy lehet (a), de eek az eseméyek a valószíűsége legfeljebb M/a, amely korlát a eseté 0 -hoz tart. 0.. Tétel: Csebisev-egyelőtleség Ha a valószíűségi változóak létezik M() várható értéke és D() szórása, akkor kr + és R + eseté D ( ) P M ( ) kd( ), vagy máskét P M ( ), k ill. az eseméy tagadása: D ( ) P M ( ). Magyarázat: Azt várjuk, hogy a mérés () értékei az átlag (M=M()) körül igadozak, ezt igazolja a Csebisev-egyelőtleség: a mérés és az átlag eltérése (vagyis -M ) lehet ugya agy, vagyis lehetséges, hogy -M ε, de eek a valószíűsége legfeljebb D /ε. Ez a korlát pedig 0 -hoz tart ameyibe k. Természetese ez a korlát is kisebb ha a D szórás is kicsi. 0.3. Tétel: Beroulli-féle agy számok törvéye Legye A egy tetszőlege eseméy amelyre A)=p. Végezzük (függetle) kísérletet és jelölje ξ az A eseméy gyakoriságát (háyszor "sikerült" A), ekkor a relatív gyakoriság = ξ /. Ekkor tetszőleges >0 és N eseté (q=-p): pq pq P p, vagyis P p. Átfogalmazva: tetszőleges >0 és >0 eseté 0 hogy mide > 0 eseté P p, vagy máskét P p. pq (ahol = 0 ha.) Magyarázat: A tétel szerit az elméleti valószíűség (p) és a tapasztalati (gör: empirikus) relatív gyakoriság (azaz ξ /) eltérése (vagyis ξ / - p ) kicsi, sőt tetszőleges számál kisebb lehet - legalábbis majdem 00% valószíűséggel igaz a modat előző fele. Másképpe fogalmazva (jobboldali képlet): az eltérés lehet agy, de csak kis valószíűséggel. (Ez em jeleti azt, hogy a relatív gyakoriság kovergál a valószíűséghez, haem csak azt,hogy a agy eltérés valószíűsége kicsi!) Ha p em ismert, akkor a p(-p)/4 becslés alapjá /4 is írható. 0.4. Tétel: A agy számok gyege törvéye (Csebisev-alak) Legyeek,,..., függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók, amelyekek létezik (azoos) várható értékük és szórásuk: m:=m( i ) és :=D( i ), és legye S := + + +. Ekkor mide R + eseté 3
4 S P S. m, vagy máskét P m Magyarázat:,,..., ugyaazo meyiség többszöri függetle mérését jelölik (azoos eloszlásúak és függetleek), így S / éppe eze mérések (tapasztalati) átlaga. A tétel pedig azt modja ki, hogy a tapasztalati átlag (S /) és az elméleti átlag (m) eltérése (azaz S /-m ) mekkora lehet. Például tetszőleges rögzített korlát eseté az első képletbe szereplő hibatag σ /ε 0 midő, vagyis: a kísérletek számáak övelésével ( ) a tapasztalati és az elméleti átlag eltérés -ál kisebb (ill. eze állítás -hez közeli valószíűséggel igaz). E tételek speciális esete a Beroulli-féle törvéy, ugyais a 0.3.Tételbe m=p és =pq. 0.5. Tétel: Közpoti (=cetrális) határeloszlás tétel (agy számok erős törvéye) Legyeek,,,,... függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók, amelyekek létezik (azoos) várható értékük és szórásuk: M( i )=m és D( i )= (i=,,...). Ekkor összegük (potosabba: stadardizált átlaguk) közelítőleg ormális eloszlású: a... m jelöléssel lim y) ( y ). Magyarázat: Mivel midegyik,,,... mérés átlagosa m, így összegük + -be tart: lim ( + + + ) = +, ezért kell az összeg ζ (stadardizált) változatát tekiteük. Mivel a ζ y) kifejezés éppe az ζ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye és Φ a (stadard) Normális eloszlás eloszlásfüggvéye, ezért a Tétel utolsó képlete valóba azt igazolja, hogy sok azoos (apró) hatás összeg valóba a Normális eloszláshoz tart. 0.6. Moivre-Laplace tétel: Tetszőleges 0 p és u,vr valós számokra k k lim p q u k v k ( v*) ( u*) vagy egyszerűbbe k k p q ukv k ( v*) ( u*) ahol u p u m v p v m u* és v* pq pq. Magyarázat: A tétel szerit agyo sok azoos kísérletet elvégezve az, hogy a sikeres kísérletek száma u és v közé esik, ormális eloszlással közelíthető. Más szavakkal: a biomiális eloszlást agy eseté Normális eloszlással közelíthetjük. Ötlet: A második (közelítő) képlet hasolít a már "megszokott" v m u m u<<v) = F(v)-F(u) = (v*)-(u*) = - formulához! A tételt szokták a következő alakba is íri: k k lim p q kp k u* v* pq A Moivre-Laplace tétel a 0.5. Tétel speciális esete ( v*) ( u*) Megjegyzés: Mit taultuk: agy eseté a hipergeometrikus eloszlás közelíthető a biomiális eloszlással, ami pedig a Poisso eloszlással is közelíthető, és végül, a Poisso eloszlás is közelíthető a ormális eloszlással.
0.7. Mitafeladat: N=000 állat va egy farmo. Egy járváy eseté meggyógyul)=0.7. Mekkora eséllyel lesz a meggyógyult állatok száma és között? Megoldás:. rész: A feladat valójába biomiális (Beroulli) eloszlású: N=000, p=0,7, q=-p=0,3, ξ=000 állat közül meyi gyógyul meg. Biomiális eloszlás: ξ=k)= (k=0;; ;) ξ ) =.. rész: Mivel N agy, ezért a számolási ehézségek miatt közelíthetük Poisso eloszlással. Poisso-eloszlás: ξ=k)= (k=0;; ) λ = p = 0000,7 = 700 ξ ) =. 3. rész: Mivel N agyo agy, ezért a még midig feálló számolási ehézségek miatt a Moivre- Laplace tétellel kell közelíteük és számoluk. Moivre - Laplace tételt haszálata ( ) ( ), ahol: = = és = =, M=m=p= 000*0,7= 700, D=σ= = = 4,49, ξ )= ( ) ( ) = = (-,35) (-5,6) = (,35) 0 = 0,99065 = 0,00935 5
Függelék Valószíűségszámítás - Matematika szótár Valószíűségszámítás Matematika Eseméytér (=kísérlet összes lehetséges kimeetele) H ø (tetszőleges) alaphalmaz, kísérlet végeredméye x H tetszőleges elem, eseméy (=kísérlet aktuális kimeetele) A H (tetszőleges) részhalmaz, elemi eseméy {x} H egyelemű részhalmaz ("sigleto"), A eseméy bekövetkezik x A A eseméy em következik be x A biztos eseméy H H (az alaphalmaz), ill. ha A)=, lehetetle eseméy ø H (üres halmaz), ill. ha A)=0, elletett eseméy (eseméy tagadása ) A (komplemeter halmaz), eseméyek összege: A+B ("vagy") AB (úió), szorzata: A B ("és") AB (metszet), külöbsége: A-B A\B (külöbség), kizáró eseméyek AB=ø (diszjukt halmazok), ill. ha A=0, A -ból következik B (=A maga utá voja B-t) A B (A részhalmaza B -ek), valószíűség A) P:H) R tetsz. függvéy (H)=H hatváyhalmaza) a Kolmogorov axiómákkal, (pl. terület), függetle eseméyek A,B teljes eseméyredszer A=A), H egy partíciója, valószíűségi változó (mérés számszerű végeredméye) ξ : H R tetszőleges függvéy, diszkrét v.v. Im(ξ) = {x,x,...,x,...} felsorolható, - " - eloszlása { p, p,..., p,... } ahol p i =ξ=x i ) ha in folytoos v.v. va [a,b]im(ξ) itervallum, eloszlásfüggvéy sűrűségfüggvéy a ξ<b) = b f(x)dx = F(b)-F(a) a F:R R tetszőleges függvéy az axiómákkal, vagy: F(t) = ξ<t) vagy: f primitív függvéye: F(t)= f(x)dx f:r R tetszőleges függvéy az axiómákkal, vagy: F deriváltfüggvéye: f(x)=f'(x) Newto-Leibiz szabály t várható érték: M(ξ) átlag (=számtai közép, mea (agolul)) szórás: D(ξ) "szóródás" (=dispersio (lati)) 6
A stadard ormális eloszlású változó eloszlásfüggvéyéek () táblázata x (x) z (x) x (x) x (x) 0,00 0,5000 0,34 0,633 0,68 0,757,0 0,846 0,0 0,5040 0,35 0,6368 0,69 0,7549,03 0,8485 0,0 0,5080 0,36 0,6406 0,70 0,7580,04 0,8508 0,03 0,50 0,37 0,6443 0,7 0,76,05 0,853 0,04 0,560 0,38 0,6480 0,7 0,764,06 0,8554 0,05 0,599 0,39 0,657 0,73 0,7673,07 0,8577 0,06 0,539 0,40 0,6554 0,74 0,7704,08 0,8599 0,07 0,579 0,4 0,659 0,75 0,7734,09 0,86 0,08 0,539 0,4 0,668 0,76 0,7764,0 0,8643 0,09 0,5359 0,43 0,6664 0,77 0,7794, 0,8665 0,0 0,5398 0,44 0,6700 0,78 0,783, 0,8686 0, 0,5438 0,45 0,6736 0,79 0,785,3 0,8708 0, 0,5478 0,46 0,677 0,80 0,788,4 0,879 0,3 0,557 0,47 0,6808 0,8 0,790,5 0,8749 0,4 0,5557 0,48 0,6844 0,8 0,7939,6 0,8770 0,5 0,5596 0,49 0,6879 0,83 0,7967,7 0,8790 0,6 0,5636 0,50 0,695 0,84 0,7995,8 0,880 0,7 0,5675 0,5 0,6950 0,85 0,803,9 0,8830 0,8 0,574 0,5 0,6985 0,86 0,805,0 0,8849 0,9 0,5753 0,53 0,709 0,87 0,8078, 0,8869 0,0 0,5793 0,54 0,7054 0,88 0,806, 0,8888 0, 0,583 0,55 0,7088 0,89 0,833,3 0,8907 0, 0,587 0,56 0,73 0,90 0,859,4 0,895 0,3 0,590 0,57 0,757 0,9 0,886,5 0,8944 0,4 0,5948 0,58 0,790 0,9 0,8,6 0,896 0,5 0,5987 0,59 0,74 0,93 0,838,7 0,8980 0,6 0,606 0,60 0,757 0,94 0,864,8 0,8997 0,7 0,6064 0,6 0,79 0,95 0,889,9 0,905 0,8 0,603 0,6 0,734 0,96 0,835,30 0,903 0,9 0,64 0,63 0,7357 0,97 0,8340,3 0,9049 0,30 0,679 0,64 0,7389 0,98 0,8365,3 0,9066 0,3 0,67 0,65 0,74 0,99 0,8389,33 0,908 0,3 0,655 0,66 0,7454,00 0,843,34 0,9099 0,33 0,693 0,67 0,7486,0 0,8438,35 0,95 7
x (x) x (x) x (x) x (x),36 0,93,70 0,9554,08 0,98,76 0,997,37 0,947,7 0,9564,0 0,98,78 0,9973,38 0,96,7 0,9573, 0,9830,80 0,9974,39 0,977,73 0,958,4 0,9838,8 0,9976,40 0,99,74 0,959,6 0,9846,84 0,9977,4 0,907,75 0,9599,8 0,9854,86 0,9979,4 0,9,76 0,9608,0 0,986,88 0,9980,43 0,936,77 0,966, 0,9868,90 0,998,44 0,95,78 0,965,4 0,9875,9 0,998,45 0,965,79 0,9633,6 0,988,94 0,9984,46 0,979,80 0,964,8 0,9887,96 0,9985,47 0,99,8 0,9649,30 0,9893,98 0,9986,48 0,9306,8 0,9656,3 0,9898 3,00 0,9987,49 0,939,83 0,9664,34 0,9904 3,05 0,9989,50 0,933,84 0,967,36 0,9909 3,0 0,9990,5 0,9345,85 0,9678,38 0,993 3,5 0,999,5 0,9357,86 0,9686,40 0,998 3,0 0,9993,53 0,9370,87 0,9693,4 0,99 3,5 0,9994,54 0,938,88 0,9699,44 0,997 3,30 0,9995,55 0,9394,89 0,9706,46 0,993 3,35 0,9996,56 0,9406,90 0,973,48 0,9934 3,40 0,9997,57 0,948,9 0,979,50 0,9938 3,45 0,9997,58 0,949,9 0,976,5 0,994 3,50 0,9998,59 0,944,93 0,973,54 0,9945 3,55 0,9998,60 0,945,94 0,9738,56 0,9948 3,60 0,9998,6 0,9463,95 0,9744,58 0,995 3,65 0,9999,6 0,9474,96 0,9750,60 0,9953 3,70 0,9999,63 0,9484,97 0,9756,6 0,9956 3,75 0,9999,64 0,9495,98 0,976,64 0,9959 3,80 0,9999,65 0,9505,99 0,9767,66 0,996,66 0,955,00 0,977,68 0,9963,67 0,955,0 0,9783,70 0,9965,68 0,9535,04 0,9793,7 0,9967,69 0,9545,06 0,9803,74 0,9969 Irodalom - http://math.ui-pao.hu/~szalkai - Solt György: Valószíűségszámítás (példatár) 8