AZ ANALÍZIS KÖZÉPISKOLAI TANÍTÁSÁRÓL Dr.'Duró Lajosé A középfokú matematikataításak agy ledületet adott a század elejé kibotakozó ma téma ti ka-oktatási reformmozgalom, amelyek fő célja a matematika taayag korszerűsítése, a függvéy fogalmára alapozott matematikai szemlélet és godolkodás bevezetése, a differeciál- és itegrálszámítás elemeiek taitása, az oktatás gyakorlati élettel való kapcsolatáak kiépitése volt. Ezek a reformtörekvések hazákba is hatással voltak a matematika taitására. Az 1906-ba Beke Maó elökletével megalakult reformbizottság javaslataiak egyik léyeges része a függvéyszerü godolkodásmód kialakítására voatkozik. "Ez az a tegely, amely körül egész reformmozgalmuk forog. Természetfelfogásuk legléyegesebb alkotó eleme a meyiségek közötti összefüggés. Ez az a kép, mely a természetbe lefolyó dolgokat ábrázolja. Kell, hogy-e kép olvasásába mide müveit ember gyakorlott legye. A függvéyszerü godolkodás e- lőkészitését már az első osztályba meg kivájuk kezdei, ehhez szükséges a mérések gyakorlása és grafikook készitése." [1] Ez a bizottság veti fel először és' foglalja határozatba, hogy a differeciál- és itegrálszámítás elemeit taitai kell a középiskolába. Azóta, kisebb-agyobb megszakításokkal, a középiskolai matematika tatervek előirják az aalízis elemeiek taitását. Az aalizis taitása azért is fotos, mert azok a taulók, akik a középiskola befejezése utá em foglalkozak matematikával, "érzik, hogy a matematikai képzettségük em e- 35
legedő. A középiskolát végzett, müveit emberbe él az a meggyőződés, hogy eki módjába áll az emberi szellem legkülöfélébb alkotásait élvezi és megértei. A yelvi és törtéeti tudomáyokál, az irodalom és a művészet alkotásaiál ez agyjából igy is va, csak a természettudomáyok képezek kivételt. Aki öművelődés utjá akar a természettudomáyok és a techika agy alkotásaiak szellemébe behatoli, midutala érzi matematikai képzettségéek hiáyos voltát. Érzi, hogy itt olya elemek hiáyozak, amelyek ömüve'és utjá alig pótolhatók." [2] Ilye élemek a határérték, a folytoosság, a differeciálhatóság és az itegrálhatóság fogalma is. Ezekek a fogalmakak a kialakításához hosszú időre va szükség, ezért a velük való ismerkedést már a középiskola első osztályába el kell kezdei. így á matematikából felsőfokú taulmáyokat folytató taulók is köyebbe tudják majd matematikai ismereteiket szélesitei, mélyitei. Mit taítsuk az aalízis elemeiből, hogya, milye módszerrel? Ezekre"a kérdésekre a reformbizottság a következő, ma is helytálló és megszívleledő választ adta."a differeciál- és itegrálszámitásből a középiskolai taayag keretébe csak ayit illesszük belé, ameyi e agyfotosságú módszerek megismerésére, az általáos matematikai műveltség és a középiskolai taayag gazdaságosabb tárgyalása szempotjából szükséges." [1] A taitás módszerére voatkozólag általáos elvkét a következőket kell szem előtt tartai. "Jól meg kell választai az időt, amikor az absztrakt fogalom bevezetedő. Ezt a bevezetést midig előzze meg a kellő előkészítés. Adjuk meg előbb aak az absztrakt fogalomak tapasztalati, szemléleti, általába érzékelhető elemeit, kapcsoljuk erőse össze a taulóba meglévő, hasoló roko, vagy aalóg ismeretayaggal és ugy térjük rá az absztrakcióra, a fogalmak megalkotására és azokak a tauló általáos műveltsége szempotjából is értékes ayago való begyakorlására." [1] Taitási tapasztalatból tudjuk, hogy köyebb a taulók által már ismert matematikai fogalmakat a gyakorlatba alkal- 36
mázi, vagy segítségükkel állításokat igazoli, mit uj fogalmakat bevezeti, kialakitai. A fogalmakkal való első ismerkedés, a fogalmak kialakításáak kezdeti szakasza ehéz didaktikai feladat. A taulók ismeretébe tartozó problémáko keresztül kell beük felkeltei az uj fogalmakkal való megismerkedés igéyét, és azt értelmi szitjükek megfelelőe, tudomáyosa ki is elégitei. így va ez a határértékkel való ismerkedésél is. Nem a defiícióval kezdjük, em moduk midet azoal, haem pl. fizikai, geometriai problémákkal vezetjük be a sorozat fogalmát, és a sorozatok tulajdoságaiak vizsgálatával jutuk el a kovergeciához. A bevezetés kapcsá se modjuk olya állítást, amit később korrigáli kellee, a speciális esetet e vegyük általáosak. Az aalizis fogalmaiak tulajdoságait, egymással való kapcsolatát tételek formájába fogalmazzuk meg, és bizoyltjuk be. E témakörbe^ vaak olya tételek is, amelyeket esetleg időhiáy vagy kellő ismeret hiáyába a középiskolába em tuduk bebizoyítai. Ezt meg kell modai a taulókak. A kokrét példák vagy geometriai szemléltetés hihetőbbé teheti állításukat,de em bizoyltja. Á továbbiakba az aalizis fogalmai bevezetéséek,egyik lehetséges utjáak kezdeti szakaszát vázoljuk, egy matematikából általáos tatervű (egyébkét yelvi tagozatos) III.és IV. osztályba végzett taítási kísérlet alapjá. Ebbe a feldolgozásba a számsorozatokra, a számsorozatok kovergeciájára alapozva vezetjük be a függvéy folytoosságát, határértékét, differeciálháyadosát. Az aalizis taításáak előkészítése Az aalízis taítását em a középiskola harmadik osztályába kell elkezdei, haem már az első osztályba, godosá megtervezve az egyes fogalmak kialakításáak folyamatát. Eek a folyamatak első szakasza az előkészítés, amelyet a következő főbb területeke végzük. 37
a) Bővitjük a valós számokról való ismereteket. b) Készség szitjére emeljük az aalizis fogalmai értelmezéséhez szükséges algebrai müveletek végzését. c) Elmélyitjük a függvéy fogalmát, és értelmezzük a leírásához szükséges fogalmakat. d) Az aalizis már megismert fogalmai segítségével további uj fogalmak értelmezését és állitások igazolását készitjük elő. Nézzük meg kissé részletesebbe, éháy kokrét példával is alátámasztva az előkészítés egyes területeit. a) A valós szám fogalmáak kialakítása hosszú folyamat, - a matematika tagozatos, vagy a matematiká tatárgy blokkos osztályoktól eltekitve - be sem fejeződik a középiskolába. De sokat tehetük aak érdekébe, hogy taulóik egyre több, a valós száigokkal kapcsolatos ismerethez jussaak. Például már a középiskolai taulmáyok elejé,első osztályba kapcsolatot teremthetük a racioális számok 2. (p,q& GZ, q $ 0) alakja, és a tizedestört alakja között. Mide racioális szám felírható véges vagy szakaszos tizédestört a- lakba. Eek az állitásak a megfordítását később bizoyltjuk be. így jutuk el az irracioális számak, mit végtele emszakaszos tizedestörtek az értelmezéséhez. Ez a bevezetés ige természetes, kézefekvő a tauló számára.az irracioális számok ilye értelmezése eseté, aak racioális alsó,- felső közelitőértékeivel a végtele sok egymásba skatulyázott itervallumokról is képet alkotak a taulók. Megvizsgáljuk, hogy az irracioális és a racioális számok és összege vagy szorzata racioális, vagy irracioális szám lesz-e. Két irracioális szám összege és szorzata lehet racioális és irracioális is. Ezeket az állításokat kokrét példákkal látták be a taulók. Éritjük a racioális és irracioális számhalmazok számosságáak a kérdését is. Például a 0 és 1 közötti raci- 1 1 2 12 3 oális számokat sorozatba tudjuk szedi: j, -j, j,, 38
T' T' J' J' í>' ' ' ' ' Most m 9 csak utaluk arra, hogy az irracioális számok em redezhetők sorozatba. Nyilvávaló a taulók számára, hogy bármely valós számál végtele sok,ála agyobb természetes szám va. Kokrét feladatok, például egyelőtleségek megoldásáál megvizsgáljuk, hogy egy végtelé sok elemből álló számhalmazak va-e. legagyobb vagy legkisebb eleme. b) A határérték algebrai alakjáak felhaszálásához, pl. egy számsorozat, vagy egy függvéy adott helye vett határértéke létezéséek igazolásához elegedhetetle az \x-a\ < b (\a ~a\ < e, vagy /7 I - 4 < e) alakú egyelőtleség megoldása, és vele ekvivales egyelőtleségpárrá való átirása. c) A régebbi és a jelelegi középiskolai matematika taterv lehetőséget biztosit már első és második osztályba arra, hogy miél több függvéyt ismerjeek meg a taulók. A függvéyekkel való ismerkedés első szakaszába a grafikojuk segitségével, szemlélet alapjá vezetjük be a jellemzésükhöz felhaszált fogalmakat, mit például a zéróhely, a mootoság, a helyi szélsőérték, a korlátosság, a töréspot,a folytoosság, vagy ikább a "emfolytoosság",a szakadási hely fogalmát.. Néháy esetbe, például az elsőfokú függvéyekél, a mootoságot vagy a korlátosságot emcsak a szemléletből fogadjuk el, haem be is bizoyltjuk. A függvéy folytoosságáak és differeciálhatóságáak köyebb les-z az értelmezése, ha már több olya függvéyt is ismerek a taulók, amely valamely helye em folytoos vagy töréspotja va. Ilye tulajdoságú függvéyeket már az első-, és másodfoka függvéyek segitségével is kostruálhatuk. Például: I 2., x * x -41 39
3x ha x í \ "ha x = 1 A függvéyek mootoitásáak, helyi szélsőértékéek, a- lulról vagy felülről való korlátosságáak defiiálása a "mide" és a "va olya" kvatorok haszálatát is szükségessé teszi, ezáltal is köyitve a határérték defiícióját. Két vagy több (de véges sok) függvéy összegét, szorzatát és háyadosát is értelmezzük, mielőtt eze függvéyek folytoosságáról, vagy differeciálhatóságáról beszélük. A függvéyek traszformációval törtéő ábrázolását akár az elsőfokú függvéyekkel elkezdhetjük, de a másodfokú függvéyekél mideképpe. így fokozatosa megismerkedük először a legegyszerűbb érték, - ill.változótraszformációkkal, majd a traszformációk szorzatával és a geometriai traszformációkkal való kapcsolatukkal. így a taulók köyedé ábrázolják azokat a függvéyeket, 2x+1 2 például x j ; x -* lg (x-1) ; amelyekek a végesbe vagy a végtelebe keressük a határértékét. A függvéy képéek ismerete megköyíti a határérték szemléletes grafikus d) A sorozatok taitása sorá utaluk arra, hógy a már megismert fogalmakkal vagy tételekkel hogya készíthetjük e- lö a később elsajátítadó ismereteket. A megfelelő előkészités utá a középiskola III. osztályába kezdjük el az aalizis taitását. Az aalizis fogalmaiak bevezetése többféle módo lehetséges. Mit már a bevezetőbe jeleztük, a számsorozatok bevezetését. kovergeciájára alapozva vezetjük be a függvéy folytoosságát, határértékét, differeciálháyadosát és itegrálját. E felépítési mód miatt el kellett téri a tatervi előírásoktól, 40
mert a számsorozatok vizsgálatát, kivéve a számtai és mértai sorozatot, III. osztályba végezzük el. Az aalízis taítására biztosított órakeretet em kellett módositai, talá az a- lapos előkészítés eredméyekét. A matematika egyes fejezeteiek bemutatásakor - általába bevezető óráko - igyekszük felkeltei a taulók érdeklődését az adott témakör irát, ismertetjük az adott témakör kialakulásáak matematikatörtéeti voatkozásait. Az aalízis taításáak elkezdésekor midezekre jó alkalom yílik. Olya problémákat vetük fel, amellyel a taulók például a fizika tatárgy keretébe találkoztak, sőt értelmezték is, mit a test pillaatyi sebességét, a változó sebességgel mozgó test útját. Néháy geometriai problémát sem zártuk le az előző évek sorá, igy em értelmeztük még a görbevoal éritőjét (csak a kör és a parabola éritője ismert a taulók számára), vagy em tudjuk mide sikidom területét kiszámi tai. Vázoljuk eze problémák megoldásáak útját, és rámutatuk arra, hogy a külöböző feladatok megoldásáál azoos módo járhatuk el. A közelítő értéltekkel, bizoyos feltételek teljesülése eseté megkaphatjuk a potos értékét. A számsorozatok taítása A közelitő értékek sorozatot alkotak, most már csak a feltételeket kellee megállapítai. így természetes igéy, hogy először a sorozatokkal kell megismerkedi. foglalko- A számsorozatok c. témakörbe a következőkkel zuk: A számsorozat fogalma, ábrázolása. Részsorozat, a sorozatok egyesitése. Mooto sorozatok, korlátos sorozatok. Koverges, diverges sorozatok. A koverges sorozatok éháy tulajdosága. Müveletek koverges sorozatokkal. 41
A számsorozatok (a továbbiakba sorozat) fogalmáak kialakitását a bevezető feladatok mellett kokrét sorozatok megadásával is elősegítjük. Ilye kokrét sorozatok lehetek például a következők: (1), i I 1 I I I U 2' 3' 4' 5' 6' (2) 1 I I 1 1 2' 4' 8' 16 2"" m, i,. _,, 2, I 2' _L 3' I 3»' JL '' L-l «' (4) a\ ^' 1 2 3 4 5 2' 3' 4' 5' ő'^' + l" - ' 1 1 ~ x 1 1 1 1 I A ' 2' 3' 3' 4* 4' 5» ' - ' ' ' ' A [0,1] -be lévő racioális számokak az ismert "cikk- -cakk" eljárással alkotott sorozata. 1 1 2 1 3 J_ 2 3 4 \t>) í, 2, 3, 3, 4, A, 5, 5, 5, 5,... (7) 1,2, 3, 4,5, 6,...,,... (8) 1, ~2» 2, j, 3, 4,..., w, i > (9) 2, -2, 2, -2, 2, -2,...(-1) + ' 2,... (10) 5, 5, 5,... 5,... Ezek a sorozatok előremutatók abba az értelembe, hogy a sorozatok tulajdoságaiak vizsgálatakor hivatkozhatuk e példákra. Mert például va közöttük mooto sorozat (1), (2), (4), (7), korlátos sorozat (1), (2), (3), (4), (5), (6), (9), (10). A\(2) sorozat részsorozata az (1) sorozatak, a (8) sorozat az (l)\és (7) sorozat egyesítésével jött létre. Az adott sorozatok között va koverges, (1), (2), (3), (4), (10), és diver- U2 \
ges is (5), (6), (7), (8), (9). Az (1), (2), (3), (4), (8), (10) sorozatak egy torlódási helye, az (5) és (9) sorozatak két torlódási helye, a (6) sorozatak végtele sok torlódási helye va. Ezeket a sorozatokat, illetve véges sok elemét ábrázoljuk is, de, elsősorba em derékszögű koordiáta redszerbe, mit speciális függvéyeket, haem számegyeese. A sorozatokak számegyeese való ábrázolása szemléletese előkészíti a torlódási hely és a határérték fogalmát. A sorozatok mootoságáak és korlátosságáál; értelmezését a taulók is megadják, mert a sorozatok is függvéyek. A mooto sorozatok egyik oldalról való korlátossága triviális a taulók számára. Nehezebb feladatak bizoyult egy sorozat mootoságáak vagy korlátosságáak tagadása. A részsorozat és az egyesitett sorozat bevezetése em öcélú, mert igy további koverges vagy diverges sorozatokat tuduk képezi. Az igy megalkotott sorozatokat függvéyek határértékéek vagy folytoosságáak vizsgálatakor felhaszálhatjuk. Koverges, diverges számsorozatok A torlódási hely fogalmát a sorozatok ábrázolásával,köryezetek segítségével vezetjük be. Példásul az (1) sorozat e- leme'i "egyre közelebb kerülek" a ullához, (4) sorozat elemei az egy körül "sűrűsödek", mig a (5) sorozat elemei a ulla és az egy körül is torlódak. A szemléletből kiidulva jutuk el a torlódási hely defiíciójához, azaz a torlódási hely bármely köryezetébe a sorozatak végtele sok eleme va. (Hogy a köryezetekből véges, vagy végtele sok sorozatelem marad ki, jeleleg em fotos, majd csak a határérték értelmezéséél térük ki erre. ) Torlódási hely szempotjából agyo taulságos a (6) sorozat, mert eek a sorozatak végtele sok (a sorozat elemeiél is agyobb számosságu) torlódási helye va. 43
Ha tovább vizsgáljuk azokat a sorozatokat, amelyekek csak egy torlódási helyük va, még léyeges eltérést tapasztaluk,. például az (1) és a (8) sorozat között, pedig mid a két sorozatak egy torlódási helye va. Mig a ulla bármely köryezetéből az (1) sorozatak csak véges sok tagja marad ki, végtele sok a köryezete belül va, addig a (8) sorozatak a ulla bármely köryezetéből végtele sok eleme marad ki, bár végtele sok elem va a köryezeteke belül is. így jutuk el a sorozat határértékéek bevezetéséhez, a számsorozat kovergeciájáak "geometriai", köryezetekkel törtéő értelmezéséhez. Vagyis az {asorozatak az a szám határértéke, ha az a szám bármely köryezetéből csak véges sok eleme marad ki (vagy az a szám határértéke az {a^} sorozatak, ha bármely köryezetébe bee va a sorozat "majdem mide" eleme.) A sorozatok kovergeciájáak "geometriai" értelmezése (bizoyos korlátokkal) szemléletes a taulók számára. Eek a defiicióak a segítségével látják be, hogy például a 2, -2, 2, -2,... sorozat em koverges. Ugyais ics olya szám, amelyek bármely köryezetébe beleese a sorozat majdem mide eleme, mert meg tudjuk adi bármely adott számak olya köryezetét, amelybe ics bee a sorozat majdem mide tagja. így már el is jutottuk a diverges sorozat fogalmához. Divergesek evezzük azt a sorozatot, amelyikek ics határértéke. A kovergecia "geometriai" értelmezését köye elsajátítják a taulók, és bizoyításokba alkalmazzák.az alábbi tételeket a taulók aktiv közreműködésével igazoljuk. Az álladó tagokból álló sorozat koverges, és a határértéke a sorozat elemével egyelő. Ha egy koverges sorozat tagjai közül véges sokat elhagyuk, vagy véges sokat hozzáveszük, vagy a sorozat elemeiek sorredjét felcseréljük, olya koverges sorozatot kapuk, amely az eredeti sorozat határértékéhez tart. A koverges sorozatak csak egy határértéke va. 44
A koverges sorozat részsorozata is koverges, határértéke az eredeti sorozat határértékével egyelő. Két, azoos határértékü sorozat egyesitése a közös határértékhez tartó sorozat. Két, külöböző határértékü sorozat egyesítésével diverges sorozatot kapuk. A koverges sorozat korlátos. - A tétel megfordítása em igaz. A már ismert sorozatokból is tuduk kokrét sorozatot modai, például 2, -2, 2, -2,... sorozat. Tehát a korlátosság a kovergeciáak szükséges, de em elégséges feltétele. Ha egy koverges sorozatak pozitiv (egativ) szám a határértéke, akkor a sorozat majdem mide tagja pozitiv (egativ). A függvéy differeciálháyadosa és mootosága közötti összefüggésél is felhaszáljuk ezt az állitást. Ha egy sorozat határértéke em ulla, akkor csak véges sok ulla eleme lehet a sorozatak. Ezt az állitást a koverges sorozatok háyadosára voatkozó tételél is alkalmazhatjuk, igy elég csak azt kiköti, hogy a evezőbe lévő sorozat határértéke e legye ulla. A koverges sorozatokra voatkozó egyelőtleségek közül a későbbiek sorá többször felhaszáljuk (pl. lim x x-*o meghatározásakor) a "redőr-elv"-ek evezett egyelőtleséget. Ha a < d < a majdem mide -re igaz, és a -* a, a * a, akkor b -» a. A sorozat kovergeciája "geometriai" értelmezése jól e- lőkésziti a kovergecia algebrai alakba való defiícióját is. Kokrét sorozatot, például az ^ sorozatot vizsgálva e- lőször a ulla köryezetéről a ulla ugyaolya tulajdoságú (azaz majdem mide elemet tartalmazó) szimmetrikus köryezetére térük át. Eek a szimmetrikus köryezetek a sugarát e-al (e > 0) jelöljük. Ebbe a köryezetbe "vala-
hoa" kezdve - ezt jelöli majd a küszöbszám - bee vaak a sorozat tagjai. Ezekek a tagokak a határértéktől való eltérése kisebb lesz e-ál. Tehát az {a } sorozatak az a szám a határértéke, ha bármely e > 0 -hoz va olya N küszöbszám, hogy ha > N, akkor \a ~a\ < e. Ilye bevezetés mellett a kovergecia kétféle értelmezéséek ekvivaleciája yilvávaló. Felhivjuk a taulók figyelmét arra, hogy ezzel a defiícióval em tudjuk kiszámítai a sorozat határértékét, csak bizoyítai vagy cáfoli lehet a határértékre voatkozó sejtésüket. Erre a feladatok megfogalmazásáál is godoluk, em azt modjuk,hogy számítsuk ki az sorozat határértékét, haem igazoljuk,hogy lim -+<*> -! Ilye feladatok megoldása sorá is kiderül, hogy meyire értették meg a taulók a koverges sorozat fogalmát. Nem elégedhetük meg az egyelőtleség formális megoldásával, hogy ha e > 0, akkor ^í- - 1 < e, mert > - = N, e haem elemezzük a kapott egyelőtleséget, ezáltal látjuk be az adott sorozat kovergeciáját. Ha a koverges sorozat defiicióját em teljese a taulók, akkor tévese is fogalmazzák meg. Legtöbb hiáyosság a "mide" és "va olya" kvatorok értették meg téves haszálatából fakad: "va olya e > 0,..." kezdik a defiíciót. Ilyekor egy ellepélda adása a legmeggyőzőbb a taulók számára. 46 Céltudatosa is teremthetük olya helyzeteket, adha-
tuk olya feladatokat, amelyek tovább mélyitik a koverges sorozat fogalmát. Ilyeek az alábbi kérdések is. a taulókba Mit modhatuk'az {a^} sorozatról, ha tudjuk, hogy va olya a, e > 0 és N szám, hogy ha > N, akkor a^-a < < e? A taulók egy csoportja azt állitotta az {a^} sorozatról, hogy az a-hoz kovergál. Ellepélda -a : 2, -2, 2, -2,..., sorozatál legye az a = 0, e = 4 - meggyőzte őket arról, hogy ilye feltételek mellett csak az {a^} sorozat korlátosságát állithatjuk. Adjuk meg olya {i^} sorozatot, amelyre bármely e > 0 és N > 0 mellett teljesül, hogy ha > N, akkor \b ~\\ <e. Igaz-e a következő állitás? Ha egy sorozatak egy torlódási helye va, akkor koverges. Az állitás hamis voltát a bevezető 1» f» 2 > J«4" «sorozattal is igazolhatjuk. A taulókba felmerül a kérdés, hogy milye kapcsolat va a sorozat torlódási helye, korlátossága és mootosága között. Válaszkét, de bizoyitás élkül utaluk a korlátos mooto sorozat kovergeciájára és Weierstrass-tételére, hogy mide korlátos sorozatak va koverges részsorozata. A kovergecia u.. "e-os" defiíciójával is bizoyíthatuk sorozatokra voatkozó tételeket. Például, ha la I-+0, ' 1 akkor a 0. ( I j a I - 0 < e <» la I < e I a - 0 < e ). To 11 1 1 1 1 1 1 vábbi, vagy már ismert tételek ujabb bizoyítására időhiáy miatt em került sor. A diverges sorozatokat már a koverges sorozatok bevezetéséél értelmeztük, de most lehetőségük va arra, hogy a továbbiak szempotjából fotos, speciális diverges (valódi diverges) sorozatokat is defiiáljuk. Az 1, 2, 3, 4,... sorozatot vizsgálva a taulók többféle defiícióval próbálkoztak, igy "ez a sorozat felülről em korlátos", vagy "a sorozatak ics torlódási helye", vagy "a» köryezeteibe a sorozatak majdem mide eleme bee
va". Az első két "defiició" alkalmatlaságáról ellepéldák adásával győződhetük meg. Az 1,-1,2, -2, 3, -3,... sorozat em korlátos felülről és ics is torlódási helye, mégis más tulajdoságai vaak, mit a pozitív egész számok sorozatáak. A taulók által adott "köryezetes" (a kovergecia a- alógiájára) értelmezéssel jutuk el a diverges sorozat fogalmához és irjuk fel egyelőtleséggel is. Az {a } sorozat a -be divergál, ha bármely K > 0 számhoz va olya N, hogy ha > N, akkor a > K. Hasolóa fogalmazzuk meg a -a -be divergáló sorozat defiícióját is. A» -be, ill. a -«-be divergáló sorozatokkal való ismerkedést segiti elő, éháy egyszerű állitás igazolása mit például a -be divergáló sorozat részsorozata is a oo -be divergál. A koverges és a valódi diverges sorozatok közötti kapcsolatra a következő tétellei utaluk. Ha a> -* «(vagy a -<*>), akkor -* 0. Eek a tételek'a megfor ditását az első pillaatba igazak vélték a taulók, de korábbi példára hivatkozva, j, j,... sorozat a ullához tart, a reciproksorozat pedig em valódi diverges sorozat - belátták az állitás hamis voltát. is, Ha a feltételeket bővitjük, akkor a következő, a" taulók által kimodott és igazolt állításhoz jutuk. Ha a -* 0 és a >0, akkor -»», illetve a ha a -* 0 és a <0, akkor -» -«a Ezeket a teteleket a lim, x-'o is felhaszálhatjuk. és a lim -íj meghatározásáál x-<-o x Müveletek koverges és diverges sorozatokkal koverges és diverges sorozatok ismerete utá térük át a sorozatokból alapmüveletekkel kapott sorozatok vizs- ' 48
gálatára. Az itt bebizoyitott vagy elfogadott tételek segítségével ujabb sorozatok határértékét tudjuk majd kiszámitai. A folytoos függvéyekből, a differeciálható függvéyekből alapmüveletekkel kapott függvéyek folytoosságát, ill. differeciálhatóságát is ezekre a tételekre alapozzuk. A redelkezésre álló idő rövidsége miatt em volt arra lehetőségük, hogy mide műveleti tételt igazoljuk.talá e- gyes tételek bizoyitása agy erőfeszítést is kivát vola a taulók többségétől. Csak a két koverges sorozat összegére voatkozó tételt igazoltuk, mert ehhez csak a háromszög-egyelőtleségére, és a kovergecia "e-os" defiiciójára volt szükségük. A taulók számára agyo természetesek voltak a -bizoyítás élküli kimodott műveleti tételek állitásai is. Ezek a tételek két állitást tartalmazak: az egyik, hogy a müvelettel kapott sorozat koverges, a másik, hogya számitható ki a műveletbe résztvevő sorozatok határértékével a kapott sorozat határértéke. Az aalizis bevezetése sorá is megragaduk mide alkalmat a taulók logikai készségéek fejlesztésére, kokrét példák kapcsá már utaltuk erre. Itt egy ujabb lehetőség kiálkozik. Igaz-e a koverges sorozatok összegére voatkozó tétel megforditása? A taulók többsége ugy érezte, hogy igaz. Ellepélda meggyőzte őket állitásuk hamis voltáról. Az ellepélda legye: a : 1, -1, I, -1, 1, -1,... b : -1, 1, -I, 1, -1, 1,... akkor a +b : 0, 0, 0,... ' ' és a +b 0. Az igy kapott állitást ugy is megfogalmazzuk, hogy kovergeciájáak a tagok kovergeciája elegedő az összeg feltétele. Hasoló jellegű problémát tartalmaz a következő kérdés is, I- gaz-e, hogy ha a^ b^ 0, akkor vagy a vagy? 4 9
A koverges sorozatok háyadosára voatkozó tétel segítségével olya számsorozatok határértékét is ki tudjuk számitai, amelyek -edik tagja -ek olya racioális törtfüggvéye, amelybe a számláló és a evező egyelő fokszámú, a számláló fokszáma kisebb a evező fokszámáál. A racioális törtfüggvéy.végtelebe vett határértéke kiszámításáál felhaszáljuk ezeket az ismereteket. A koverges sorozatok szorzatára voatkozó tétel kimodása utá az érdeklődőbb taulókak sikerült vagy bizoyitai a következő tételt. Ha {a^} korlátos sorozat, és a {b^} sorozat ullához tart, akkor Ez a megállapítás előkésziti a lim 8гп x kiszámitását. {a >b } sorozat is O-hoz tart. A koverges sorozatokra voatkozó műveleti tételek ismerete utá természetese adódik a kérdés, hogya végezhetük müveleteket valódi diverges sorozatokkal? Két a» -be divergáló sorozat összege - a taulók sejtése szerit - a -be divergáló sorozat lesz. Ez a sejtés igazolható, A taulók szerit két» -be divergáló sorozat külöbsége a ullához tart. Megdöbbető volt a számukra, hogy ez em midig va igy. Például: legye a^ := + а, (сед), a» és Ъ :=, b -<» akkor a -b :=(и.+ с)-п = с - a - b -+ e, Meglepő, hogy két a» -be^divergáló sorozat em szükségképpe egyhez tartozó koverges sorozat. Például, 50. ha 2 a := a, (c&r) 2 es b :=, háyadosa
akkor a F" : a 2 holott a és b vagy, ha es akkor ^ -» valódi diverges sori rozat. A -be, illetve a» -be divergáló és koverges sorozat szorzatára voatkozó tételeket a defiiciók segítségével bebizoyítják a taulók is. Ezek az ismeretek a racioális törtfüggvéy -be vett határértékéek kiszámításáál, - ha a számláló magasabb fokszámú a evezőél, - jól felhaszálhatók. A -be divergáló és a ullához tartó sorozat szorzatára voatkozó állitás szité meglepő a taulók számára. Ebbe az esetbe kokrét sorozatok vizsgálata a meggyőzés erejével hat. Például, legye a -< 0 b : = akkor u 1 2 u a b := =, a b vagy, ha a := (eei?), a -* 0 b : = akkor a b := = a a b A koverges és diverges sorozatok vizsgálatáál 51
kokrét feladatok között szerepelt a q alakú sorozat. A taulók csak kokrét q értékek segítségével [(-j) ; (-l) ; 2 M ; (-3)"] sejtik meg, hogy ezek a sorozatok milye q értékre kovergesek, ill. divergesek. Ezeket a sejtéseket - amelyek bizoyítható állitások - a mértai sor összegéek kiszámításakor felhaszálhatjuk. A taulók részéről élék érdeklődés kisérte a sorozatok taitását. Sajos a redelkezésre álló idő alatt többet em tudtuk még elmodai sem - emhogy bizoyítai - a sorozatokról. A számsorozatokról taultakat jól felhaszálhatjuk, Így el is mélyítjük az aalízis további fogalmaiak értelmezésekor. A függvéy folytoossága A taulókak már va egy szemléletes képük a függvéy itervallumo való folytoosságáról. Először a potbeli folytoosságra, vagy mégikább a potbeli "emfolytoosságra" 1- ráyitjuk a figyelmet. A "emfolytoosságról" él egy szemléletes kép a taulókba, a függvéy grafikus képe "megszakad". Erre a szemléletes képre támaszkodva, éháy kokrét függvéy segítségével vezetjük be a potbeli folytoosság fogalmát. A bevezető függvéyek között olya függvéy is va, amely az adott x helye folytoos, olya is, amelyik az x Q helye em folytoos, mert vagy ics az x^-ba értelmezve, vagy azért, mert ics az x^-ba határértéke, vagy azért, mert az x -ba a határértéke em egyelő az x -ba vett helyettesítési értékkel. Például a következő függvéyekből kiidulva, a grafikus képükre támaszkodva vizsgáljuk meg, hogy folytoosak vagy em folytoosak az x Q = 3 helye. Legye r 2x + i, ha x * 3 (11) x - 5, ha x = 3 52
(12) x 2x + 1 (13) x x - (14) x (15) X 2-9 x - 3 1, ha x "í 3 2, ha x < 3 Szemléletük alapjá a (12) és (13) függvéy folytoos az x = 3 helye. A függvéy potbeli folytoosságát a szemlélettel összhagba ugya, de attól elvoatkoztatva matematika fogalmakkal kellee értelmezi. Ezért vizsgáljuk meg, hogy mibe külöbözik a (12) és (13) függvéy a többi a- dott függvéytől. Az adott függvéyek midegyike értelmezve va az x q 3 köryezetébe, és az x Q = 3-ba is, kivéve a (14) függvéyt. Ez a feltétel csak szükséges a potbeli folytoossághoz,mert például a (12) és (15) függvéy értelmezve va X Q = 3 köryezetébe az x Q - 3 -at is beleértve, és a (15) függvéyt a szemlélet alapjá em tekitjük folytoosak. Most segítségül vesszük azokat az {x^} számsorozatokat, amelyek x + 3 és x eí/, ahol U az x = 3 olya köryezete, amelybe a függvéy értelmezve va. Képezzük az {x^} sorozatokhoz a megfelelő függvéyértékek sorozatát, és vizsgáljuk meg az igy kapott sorozatokat kovergecia szempotjából. A (12) és (13) függvéy esetébe mide x 3 sorozathoz tartozó függvéyértékek sorozata koverges és a függvéy x Q = 3 -ba felvett helyettesítési értékéhez tart. A (11); (14) és (15) függvéyekél midez em teljesül. így is eljuthatuk - a számsorozatok kovergeciájára é- pitve - a folytoosság szemléletes értelmezésétől aak ma - tematikai megfogalmazásáig. Az f függvéyt az x o ~ba folytoosak evezzük, ha f értelmezve va x q valamely köryezetébe, és ha mide. o- 53
lya {x^} sorozatra, amely x^-hoz tart, a {f(x )} függvéyértékek sorozata /(x o )-hoz tart. A függvéy potbeli folytoosságáak elmélyítését éháy kokrét függvéy, például poliomfüggvéy adott x Q helye való folytoosságát igazoljuk a defiició segitségével. Ige taulságos az x -» 1, ha x racioális 0, ha x irracioális függvéy potbeli folytoosságáak vizsgálata. Ez a függvéy egyetle x^-ba sem folytoos, mert ha {x^} olya sorozat, hogy végtele sok racioális és végtele sok irracioális számot tartalmazva tart x -hoz, akkor a megfelelő függvéyértékek sorozata diverges. Az x, ha x racioális x 2, ha x irracioális függvéy "grafikus képe" is arra eged következteti, hogy ez a függvéy sem folytoos egyetle x^-ba sem. Pedig ez a függvéy az X q = 0 és X Q = 1 helye folytoos, az adott defiició szerit. Néháy függvéy segitségével értelmezzük a függvéy egyoldali folytoosságát, ezt felhaszálva jutuk el a függvéy itervallumo való folytoosságáak defiiálásához. Folytoos függvéyekből, például alapmüveletekkel ujabb folytoos függvéyeket kapuk-. Az erre voatkozó (lokális) tételeket a számsorozatokál megismert tételekre, és a folytoosság potbeli defiiciójára hivatkozva bizoyitjuk. Ily módo a racioális törtfüggvéyek folytoosságát meg tudjuk állapitai. Ajálatos egy kis időt szái "elbeszélés szitjé", kokrét függvéyekre hivatkozva, hogy milye sok "jó tulajdosága" va a zárt itervallumo folytoos függvéyek. A későbbiek sorá a zárt itervallumo folytoos függvéy éháy tulajdoságát felhaszáljuk, például az előjeltartást a függvéyvizsgálatál, vagy korlátosságot és a szélsőérték léte- 54
zését a határozott itegrál értelmezésekor. A folytoosság értelmezésével a matematikai fogalomalkotásak egy sajátos útját mutatjuk be. A szemléletre, a függvéy grafikus képére támaszkodva olya értelmezést aduk, a- mellyel már elszakaduk a szemlélettől, és olya függvéyekről is él tudjuk dötei, hogy folytoosak-e vagy sem, amelyekek a grafikojuk fel sem.rajzolható. így a függvéy folytoosságáak fogalma a szemléletes képtől elvoatkoztatva öállóa is létezik. A függvéy folytoosságáak ismerete utá ugyacsak számsorozatok segítségével értelmezzük a függvéy adott helye vagy a -be vett határértékét. A kísérleti taítás azt igazolta, hogy az aalízis elemeiek taítása a sorozatokra támaszkodva sem tartalmába, sem formájába em megterhelő a taulók számára. Elsősorba a differeciál, - és itegrálszámítás gyakorlati alkalmazása volt meggyőző sok tauló számára, de egyes elméleti kérdések,például a koverges számsorozatok tulajdosága irát is érdeklődtek. IRODALOM [1] BEKE Maó - MIKOLA Sádor:. A középiskolai matematika taítás reformja. Frakli Társulat, Budapest, 1909. [2] MIKOLA Sádor: A középiskolai matematika oktatás reformja ügyébe keletkezett bizottság megalakulásáak és működéséek törtéete. Frakli Társulat, Budapest, 1909. [3] ALEXITS György: Taitsuk-e a középiskolába ifiitézimális számítást? Meyiségtai és Természettudomáyi Didaktikai Lapok I. évf. 5.sz.,1943. [4] BEKE Maó: Bevezetés a differeciál és itegrálszámi - - tásba. Godolat Kiadó, Budapest, 1965. [5] CSER Ador: A hazai matematikataítás vázlatos törtéete. Tatárgytörtéeti taulmáyok II., Taköyvkiadó, Budapest, 1963. 55
[6] CSER Ador: Differeciálszámítás. Kiegészítő a Matematika a gimázium III. osztálya számára c. taköyvhöz. Taköyvkiadó, Budapest, 1973. [7] CZAPÁRY Edre - HORVAY Katali - PÁLMAI Lórát: Matematika a gimáziumok és szakközépiskolák III. osztálya számára. Taköyvkiadó,Budapest,1967. [8] N. DINCULEANU - E. RADU: A matematikai aalízis elemei. Taköyv a XI. reálszakos osztály számára.taügyi és Pedagógiai Köyvkiadó, Bukarest, 1964. [9] N.K. GREBENCSA - SZ.I. NOVOSZELOV: Matematikai aalizis. Taköyvkiadó, Budapest, 1951. [10] KALMÁR László: Aalizis I. Felsőoktatási Jegyzetellátő Vállalat, Budapest, 1959. [11] KŐSA Adrás: Taitsuk-e aalizist a középiskolába? Az ELTE Természettudomáyi Karáak Szakmódszertai Közleméyei, 1974. [12] LEINDLER László: Aalizis I., Szeged, 1972. [13] RÉNYI Alfréd: Dialógusok a matematika taításáról. Magvető Kiadó, Budapest, 1973. [14]. SZÖKEFALVI-NAGY Béla: Matematika a középiskolába. Közevelés, 1973. 9.szil 5] Taterv a gimáziumok számára, 1965. [16] Algebra és az aalizis elemei. Segédköyv a középiskolák 9. és 10. osztálya számára, Kijev, 1977. 56
THE TEACHING OF ANALYSIS IN SECONDARY SCHOOLS by Mre. Lajos Durd Summary The teachig of the elemets of aalysis i secodary schools was regarded as importat ad ecessary by the mathematical educatio reform committee operatig at the begiig of the cetury. Apart from certai iterruptios, aalysis has bee taught i secodary schools sice that time. Educatio i this topic is a very beautiful,but ot easy didactic task. The preparatio ad itroductio of the cocept of aalysis is possible i various ways. The cocepts of aalysis are itroduced ito the study o the basis of umerical series ad the covergece of umerical series,with referece to school experimets. The thorough preparatio of these cocepts is cosidered to be very importat; this icludes the broadeig of the kowledge of real umbers, the applicatio of the ecessary algebraic kowledge at the level of ability, ad the deepeig of the cocept of the fuctio.examples are also give for preparatio withi the topic. The iitial stages i the teachig of aalysis are preseted, with the study of umerical series ad the itroductio of the cotiuity of a fuctio, which precedesthe kowledge of the limitig value of the fuctio. The properties of umerical series are examied i greater detail. The most difficult task is the itroductio of the covergece of series; accordigly, the evirometal (geometric) iterpretatio is give first, followed by the "e", algebraic form. Some fairly simple propositios relatig to coverget ad diverget series are similarly proved. 57