Feladatgyûjtemény. Matematika I-II. Sáfár Zoltán

Átírás

1 Feldtgyûjtemény Mtemtik I-II. Sáfár Zoltán NyME-SEK 22

2 Trtlomjegyzék. Komplex számok 2. Számsoroztok és számsorok Soroztok Sorok Elemi függvények függvénytrnszformációk 7 4. Függvények htárértéke 5. Függvények folytonosság 6. Differenciálszámítás L Hospitl-szbály Függvénydiszkusszió Tylor-polinom 7 8. Horner-elrendezés 8 9. Lgrnge-interpoláció 2.Newton-Rphson módszer és húrmódszer 2.. Newton-Rphson módszer Húrmódszer Htároztln integrálás 22.. Helyettesítéssel vló integrálás Prciális integrálás Rcionális törtfüggvények Trigonometrikus integrálás Vegyes feldtok Htározott integrálás Improprius integrál Terület- térfogt- és felszínszámítás Numerikus integrálás Newton-Cotes formul Érintõ-formul i

3 . Komplex számok.. Definíció. Legyen és b vlós szám (b R) és i :=. Ekkor z = + ib számot komplex számnk z = Re z-t z vlós részének b = Imz-t pedig képzetes részének nevezzük. Jelölés. A komplex számok hlmzát C-vel jelöljük. Megjegyzés. A kompex számokt komplex számsíkon ábrázolhtjuk. A z = + ib komplex szám ezt z lkot hívjuk lgebri (vgy knonikus) lknk helyét z ( b) ponttl djuk meg ( derékszögû koordinátrendszerrel ellátott vlós síkon). Egy ilyen pontot más dtokkl is megdhtunk például z origótól vló távolsággl (r) és pozitív vlós félegyenes (vízszintes tengely jobb oldli fele) áltl bezárt szögével (α)..2. Definíció. A z komplex szám trigonometrikus lkj: z = r(cosα+isinα) vgy rövidebben h hsználjuk z Euler-Moivre összefüggést z = re iα hol r-et z komplex szám bszolútértékének z α szöget pedig z rgumentumánk nevezzük..3. Definíció. A z komplex szám konjugáltj: z = ib(= re iα ) szemléletesen z-t tükrözni kell vlós tengelyre. Megjegyzés. A konjugált következõ tuljdonságok mitt fontos: z z = z 2 = r 2 z + z = 2. Megjegyzés. Mûveletek komplex számokkl: + / elvégeztehõ lgebri lkbn. A htványozást és gyökvonást zonbn célszerû trigonometrikus lkbn elvégezni: Legyen n N kkor z n = r n e inα n ( z = n r cos α+2kπ n +isin α+2kπ ) k =...n. n A fenti összefüggésbõl már látjuk hogy minden z számnk pontosn n drb n-edik gyöke vn melyek szemléletesen egy origó középpontú szbályos n-szöget lkotnk.. Ábrázoljuk következõ komplex számokt: + 4i 2 + 3i. 2. A komplex sík mely ponthlmzát htározz meg < z < 2 illetve z z+i feltétel? 3. Adjuk meg konjugáltkt! z := 8 z 2 := 5i és z 3 := 2+7i. 4. Igzoljuk hogy tetszõleges z komplex szám esetén: () z +z R (b) zz =: z 2 R.

4 5. Számítsuk ki és djuk meg z eredményt knonikus lkbn: () (6+2i)+(8 4i) (b) (5+2i) 2 (c) 5 2i i (d) 3+2i 3 2i (e) (3+4i)(2+i) (+2i)(4+3i) ; (f) z := 5i z 2 := 3+4i esetén z z 2 (g) eiπ 6 +i. z z 2 z z 2 ( z z 2 ) z z 2 6. Írjuk át trigonometrikus lkb: z = 3 z 2 = +i és z 3 = 4 3 4i. 7. Alkítsuk lgebri lkr: () 5(cos6 +isin6 ) (b) 3(cos π 4 +isin π 4 ) (c) 2(cos 3π 2 +isin 3π 2 ). 8. Hogyn néz ki z = + 3i szám exponenciális lkj? 9. Htározzuk meg következõ mûveletek értékét z = 5(cos4 + isin4) z 2 = 3(cos8+isin8) esetén: () z +z 2 (b) z z 2 (c) z z 2.. Htározzuk meg következõ komplex számok szorztát szorztuk lgebri lkját és lgebri lkjuk szorztát is: z = 3(cos π 4 +isin π 4 ) z 2 = 2(cos 3π 2 +isin 3π 2 ).. Adjuk meg z összes gyököt: () 4 (b) 4 (c) Htározzuk meg z összes (komplex) zérushelyét z () x 2 +8x+7 (b) x x 2 (c) x polinomoknk. 2

5 2. Számsoroztok és számsorok Ismétlés: Tetszõleges vlós számokr ( b R) ( b)(+b) = 2 b 2 ( b)( 2 +b+b 2 ) = 3 b 3. Áltlánosbbn bármely természetes kitevõ esetén (n N) 2.. Soroztok n b n = ( b)( n + n 2 b+ n 3 b 2 + +b n ). 2.. Definíció. Sorozt: természetes számok hlmzán értelmezett függvény Definíció. Egy { n } sorozt konvergál -hoz h elég ngy indexre tetszõlegesen közel kerül hozzá zz ε > n N n n : n < ε. Jelölés. H z { n } sorozt htárértéke kkor következõ jelölést hsználjuk: lim n =. n Jelölés. Az elem ε(> ) sugrú környezetét következõképp jelöljük: G(ε) = { n : n < ε} Definíció. Egy { n } sorozt monoton növõ (csökkenõ) h n ( ) n zz n n ( ) vgy n n ( ) Definíció. Egy { n } sorozt felülrõl (lulról) korlátos h vlmely értéknél nem vesznek fel ngyobb (kisebb) értéket zz K R : n K ( k R : n k). A sorozt korlátos h felülrõl és lulról is korlátos: k n K Definíció. Egy { n } sorozt vlódi divergens h htárértéke vgy. Nem vlódi divergens h korlátos de nincs htárértéke. 2.. Tétel (Mûveletek és htárérték). Tegyük fel hogy c R tetszõleges szám és lim n limb n < kkor lim( n ±b n ) = lim n ±limb n lim(c n ) = clim n lim( n b n ) = lim n limb n 3

6 h limb n kkor lim n b n = limn limb n 2.2. Tétel (Mjoráns-minoráns kritérium). Legyenek{ n }{b n }{c n } nemnegtív soroztok. (i) H lim n < és vlmely indextõl kezdve b n n kkor limb n <. (ii) H limc n = és vlmely indextõl kezdve b n c n kkor limb n = Tétel (Rendõrelv). Tegyük fel hogy lim n = = limc n és elég ngy indexekre n b n c n. Ekkor limb n = Tétel. Nevezetes htárértékek: (i) sint lim t t =. (ii) Jelölje e természetes logritmus lpját ekkor 2.2. Sorok ( lim + k ) n = e k n n 2.6. Definíció. Sor: formális végtelen összeg Definíció. Legyen { n } R. A n sor konvergens h z s n := n n részletösszegek sorozt konvergens. Konvergencikritériumok: 2.5. Tétel (Szükséges feltétel). H n konvergens kkor lim n = Tétel (Cuchy-féle belsõ). Egy n sor pontosn kkor konvergens h végszeletek összege tetszõlegesen kicsi zz n+k ε > n n n k N : s n+k s n = l < ε Tétel (D Almbert-féle hánydos). Legyen n >. H { < kkor sor konvergens n+ lim = q = nem tudjuk hsználni ezt kritériumot n n > kkor sor divergens Tétel (Cuchy-féle gyök). Legyen n >. H lim n n n = q l=n { < kkor sor konvergens = nem tudjuk hsználni ezt kritériumot > kkor sor divergens. k= 4

7 2.9. Tétel (Leibniz). H n váltkozó elõjelû éslim n = kkor n sor feltételesen konvergens. 2.. Tétel. Nevezetes sorösszegek: (i) Mértni sor összege: h q < kkor n= q n = q. (ii) n= n! = e. 3. A konvergenci definiciój lpján bizonyítsuk be hogy megdott { n } sorozt - hoz konvergál (djunk meg n küszöbindexet). Hánydik elemtõl (n ) kezdve esnek sorozt elemei z szám r sugrú környezetébe? () n = 2n 2n+ = r = 2 (b) n = 4n 3 4 n + = 3 r = 3 (c) n = n2 n+ = r = Vizsgáljuk meg következõ soroztokt monotonitás korlátosság és konvergenci szempontjából: () n = 2n+4 3n 3 (b) b n = 3n+ n (c) c n = n 5n+ (d) d n = 2n2 +3 2n 2 n 2 (e) e n = (+ 2 n ). 5. Igzolj hogy c n = n 5n+ 6. Igzoljuk hogy soroztnk nem htárértéke! n+ n és n( n+ n) 2 mint n trt végtelenbe. 7. Htározzuk meg htárértékeket: () lim 2n 2 +2 n 3 n 3n 2 +2n + n (b) lim n (c) lim n ( 3 n+ 3 n ) 5

8 n (d) lim 8 n n 2 (e) lim n n n 2 + (f) lim n n( (n+)(n+b) n) (g) lim n n n 3 +3n (h) lim n n 3 n +2 n (i) lim n (+ 2n )n (j) lim n ( n 2 ) n (k) lim n ( n 2 ) n (l) lim n ( n2 + n 2 2 )n2 8. Bizonyítsuk be hogy z lábbi sorok konvergensek és htározzuk meg sorok összegét! () + ( )n n (b) n(n+) (c) (d) (e) (f) (g) k= k= k= k 2 k 5 2k+ ( 5 k k= k= k(k+). 5 k+ ) 9. Konvergensek-e következõ sorok: () (b) (c) (d) (e) k= k= k k! k ( ) k k= k= k= 2k 2k k 6

9 (f) (g) (h) (i) (j) (k) k=2 k=2 lnk k 2 ( k )k k= ( k+ 3k )k k= ( 2k+ 3k+ )4k+ k= k= +( ) k 2 k. 3. Elemi függvények függvénytrnszformációk Ismételjük át z elemi függvények (htvány- gyök- exponenciális logritmus és trigonometrikus függvények) grfikonját! 3.. Definíció. Az f függvény értelmezési trtomány (jelölése: D f ) zon x R pontok hlmz melyek z f függvénybe helyettesíthetõk. Megjegyzés. "Kikötést" vgy "feltételt" kkor kell tenni h látunk törtet: -vl nem osztunk páros kitevõs gyökjelet: 2n x esetén x lehet csk logritmus függvénynél: log x esetén x > és < szögfüggvényeknél: tnx esetén x π/2+kπ cotx esetén x kπ hol k Z rkusz függvényeknél: rcsin x rccos x esetén x. Megjegyzés. Függvénytrnszformációk: legyen dott z f(x) függvény grfikonj és c R ekkor f(x)+c grfikonj: f(x) függvény grfikonját toljuk c-vel z y-tengely mentén f(x+c) grfikonj: f(x) függvény grfikonját toljuk c-vel z x-tengely mentén cf(x) grfikonj: f(x) függvény grfikonját nyújtuk c-szeresre z y-tengely mentén f(cx) grfikonj: f(x) függvény grfikonját nyújtuk /c-szeresre z x-tengely mentén /f(x) grfikonj: f(x) függvény grfikonját tükrözzük z y = -re ( < x képe x és fordítv) 7

10 f(/x) grfikonj: f(x) függvény grfikonját tükrözzük z x = -re ( < y képe y és fordítv) 3.2. Definíció. Az f függvény inverzfüggvénye g h D g = R f hol R f z f függvény értékkészlete R g = D f x D f : g(f(x)) = x és x D g : f(g(x)) = x. Megjegyzés. Szemléletesen ez zt jelenti hogy z f függvény grfikonját tükrözni kell z y = x egyenesre. Meghtározás: z y = f(x) egyenletbõl kifejezzük x-et Definíció (Pritás). Azt mondjuk hogy z f függvény páros h f( x) = f(x) grfikonon ez zt jelenti hogy z f szimmetrikus z y-tengelyre. Az f pártln h f( x) = f(x) z f z origór szimmetrikus. 2. Htározzuk meg z f( )f( π 2 )f(2π )f(4) és f(6) helyettesítési értékeket h 3 f(x) = { 3 x x < ; tn x 2 x < π; x x 2 2 π x A 2 oldlú ABCD négyzetet messük el z AC átlór merõleges e egyenessel. Legyen zacsúcs és zeegyenes távolságx. Írjuk fel zacsúcsot is trtlmzó lemetszett síkidom területét x függvényeként. Htározzuk meg területet h x = 2 illetve 2 x = Htározzuk meg z f(x) = x 3 +bx 2 +cx+d rcionális egész függvény együtthtóit h f( ) = f() = 2f() = 3 és f(2) = Milyen érték mellett lesz z f(x) = x3 +x 2 +2x 2x egyenlõ egy másodfokú függvénnyel? függvény z x = 2 hely kivételével 24. Htározzuk meg z lábbi függvények értelmezési trtományát: () x 2 +x (b) 5 2x 3 2x (c) x 2 2x+2 (d) log 2 log 3 log 4 x 8

11 (e) lg x2 5x+6 x 2 +4x+6 (f) ln(sin(ln x)) (g) cotx (h) 3x x 3 (i) rcsin 2x +x (j) lg(sin π x ). 25. Mi z értelmezési trtomány következõ függvényeknek h D f = []? () f(x 5) (b) f(4x) (c) f( x) (d) f(sinx) (e) f(tnx). 26. A függvénytrnszformációk segítségével ábrázoljuk z lábbi függvényeket! () f(x) = (b) sin 2 x (c) 2x+5 x+ (d) 3cosx 3sinx (e) x. { sinx π x 2 < x x < x Htározzuk meg zokt z x értékeket melyekre f(x) = f(x) > és f(x) < : () x x 3 (b) (x+ x )( x) (c) sin π x. 28. Htározzuk meg z f(x) függvényt h f(x+ x ) = x2 + x Keressük meg z lábbi függvények monotonitási trtományit: () x+b (b) x 2 +bx+c (c) x+b cx+d (d) x ( > ). 3. Lehet-e egyenlõtlenséget logritmálni? 9

12 3. Htározzuk meg z lábbi függvények inverzét megdott intervllumokon. () 2x+3 ( ) (b) x 2 ( ) (c) x +x x. 32. Adjuk meg következõ függvények pritását. () 3x x 3 (b) ln x +x (c) x + x ( > ). 33. Rjzoljuk fel z ln( x) és ln x függvények grfikonját! 4. Függvények htárértéke 4.. Definíció. Az f függvénynek x -bn c htárértéke h z x elég közel vn x -hoz kkor z f(x) függvényértékek tetszõlegesen közel kerülnek c-hez vgyis ε > δ(εx ) xx x G(x δ) : f(x) G(cε). Megjegyzés. Mûveleteket rendõrelvet és további tuljdonságokt lásd és... Tételekben. 34. Definíció szerint htározzuk meg z dott függvény htárértékét z dott helyen! Adjunk δ-t z ε értékhez! () x x = ε = 4 (b) x 2 x = ε > tetszõleges (c) x x 2 = 2 ε > tetszõleges (d) x x 2 = ε > tetszõleges 4x+2 (e) x x 3 +2x 2 +7x = ε > tetszõleges. 35. Számítsuk ki következõ htárértékeket: () lim x 8 x2 +3x+2 (b) lim x x 2 2x 2 x 4x (c) lim 2 +3x x 2x 2 x+ (d) lim x x x 2 + x (e) lim 3 x 2 x+ x x 3 +x 2 x (f) lim 2 2x 3 x 3 x 2 5x+6

13 x (g) lim 4 3x+2 x x 5 4x+3 (h) lim x x n x (i) lim x (j) lim x 5 (k) lim +x 2 2x x 2 x 5 2 x x 5 x 2 25 (l) lim x cosx x 2 (m) lim x sin3x x (n) lim x sin2x 3x (o) lim x tnx x (p) lim x xcot3x (q) lim x ( x+2 x )+2x (r) lim( 2x+3 x +2x )x+2 (s) lim(+3tnx) cotx x (t) lim xsin π x x (u) lim x (v) (w) x+ 3 x+ 4 x 2x+ lim x 2/(x+) lim x + 2/(x+) (x) lim x x 2 x sinx sin (y) lim. x x 5. Függvények folytonosság 5.. Definíció (Cuchy-féle). Azt mondjuk hogy z f függvény folytonos z x pontbn h ε > δ(εx ) x G(x δ) : f(x) G(f(x )ε). Az f függvény folytonos (b) intervllumon h folytonos minden x (b) pontbn. 5.. Tétel. Az f függvény pontosn kkor folytonos z x pontbn h lim x x f(x) = f(x ).

14 5.2. Definíció. Az f függvény blról (jobbról) folytonos z x pontbn h lim f(x) = f(x ). x x (+) 5.3. Definíció. H z f függvény nem folytonos x pontbn kkor szkdási helye vn. Ezek típus: megszûntethetõ h lim f(x) lim f(x) de lim f(x) lim f(x) x x x x + x x x x + elsõrendû pólus h leglább z egyik féloldli htárérték nem létezik lényeges szingulritás h egyik féloldli htárérték sem létezik. 36. Az értelmezési trtományuk mely pontjábn folytonosk z lábbi függvények? { 2x x () f(x) = x 2 5x x > { sinπx x < 2 (b) f(x) = 2 x = 2 x > 2 x 2 (c) f(x) = lim x n +x n (d) f(x) = (e) f(x) = (f) f(x) = {sinx x x x = { sinx x x x = { x +ex tetszõleges x =. 37. Htározzuk meg h lehetséges z ésbprméterek értékét úgy hogy függvény mindenütt folytonos legyen. { x 2 x+4 x < 2 () f(x) = 6 x = 2 2x+b x > 2 { x 2 6x+4 x < 2 (b) f(x) = x+b 2 x 3 2x+3 x > 3 (c) f(x) = (d) f(x) = { xsin x x x = { cosx x (x ) x. 38. Lehetséges-e hogy nem folytonos függvények összege illetve szorzt folytonos? 2

15 Adjunk olyn függvényt mely sehol sem folytonos négyzete zonbn mindenütt z R vlós számegyenesen. Igz-e hogy h f folytonos g nem folytonos kkor f +g és fg biztosn nem folytonos? 39. Vizsgáljuk meg következõ függvényeket hogyn viselkednek szkdási helyek környezetében és végtelenben. (Számítsuk ki megfelelõ féloldli htárértékeket!) Osztályozzuk szkdási helyek típusát! () x2 +2x 3 x 2 +5x+6 (b) x 2 9 (c) 3 x (d) 3 /(x+) (e) x 3 x 3 (f) (g) (x 2) 2 x 2 5x+6 sin2x x (h) sinx (i) rctn. x 4. Vn-e vlós megoldás sinx x+ = egyenletnek? Bizonyítsuk be hogy vn leglább egy vlós megoldás z x 2n+ + x 2n + + 2n x+ 2n+ = egyenletnek hol k R. 6. Differenciálszámítás Ismétlés: Negtív- és törtkitevõ: Legyen q R ekkor q = / q A logritmus függvény egy zonosság: Legyen < bc ekkor log b = log cb log c. Az e x és lnx függvények egymás inverzei zz és q = /q. q = e lnq q >. 6.. Definíció. Egy vlós f függvény (f : R R) differenciálhánydosát egy x ( D f ) pontbn f(x ) f(x) lim x x x x = lim h f(x +h) f(x ) h htárértékkel definiáljuk és f (x )-ll jelöljük. Az f függvény deriváltfüggvényét minden olyn pontbn értelmezzük hol f (x ) és értékének f (x )-ll djuk meg. 3

16 6.. Tétel. Alpfüggvények deriváltj: (x q ) = qx q bármely q R számr; (sinx) = cosx (cosx) = sinx (e x ) = e x (lnx) = /x Tétel (Deriváltfüggvény és mûveletek). Legyen c R és f g differenciálhtó függvény vlmely intervllumon. Ekkor (f ±g) = f ±g (cf) = c f (fg) = f g +fg (f/g) = (f g fg )/g 2 (f ) = f (f ). H g differenciálgtó x-ben és f differenciálhtó g(x)-ben kkor z összetett függvényre: (f(g(x))) = f (g(x)) g(x) láncszbály. Megjegyzés. További függvények differenciálhánydos: (rcsinx) = x 2 (rctnx) = +x 2 tipikus hib: (e f(x) ) e f(x)!!! (e f(x) ) = e f(x) f (x) tehát összetett függvényként deriváljuk (jelölés: exp(x) = e x ). 4. A definíció lpján htározz meg következõ függvények differenciálhánydosát z dott pontokbn. () f(x) = x 2 x = 2 3 (b) g(x) = x x = 2 3(> ) (c) h(x) = 2x x 3 x = 2 3( 3) (d) i(x) = x x = Htározz meg z bc prméterek értékét úgy hogy függvény mindenütt differenciálhtó legyen. { x 2 +x+b x < 2 f(x) = 2 x = 2 2x 2 2x+c x > 2. 4

17 43. Deriváljuk következõ függvényeket. () x+ x+ 3 x (b) x (c) xsinx (d) 6x+3 4x 3 (e) (2 x2 )(3 x 3 ) ( x) 2 (f) sin n xcosnx (g) ln x (h) x+ x (i) tn x 2 cot x 2 (j) sin(sin(sin x)) (k) e 3x 7 (l) 2 x+ 3x (m) x 5 5 x (n) log 3 lnx (o) x x (p) e ex +x (q) ln x (r) (sinx) cosx (s) sinx cosx (t) log sinx cosx. 6.. L Hospitl-szbály 6.3. Tétel. Legyen f és g két olyn függvény melyre lim f(x) = = lim g(x) vlmely x x x x x pontbn és g (x). Ekkor f(x) lim x x g(x) = lim f (x) x x g (x). Megjegyzés. A fenti tételt áltlábn " " típusú htárérték esetében lklmzzuk. Azonbn tétel csk hánydosr lklmzhtó! 44. Htározzuk meg következõ htárértékeket. () lim x 2 x 2 5x+6 x 3 2x 2 x+2 5

18 e (b) lim x e x x x lnx (c) lim x x (d) lim xlnx x + (e) lim x xe x (f) lim( ) x lnx x (g) lim x + xx Függvénydiszkusszió Lépései: D f ZH f és TP f pritás htárértékek ( D f htárpontjibn) f D f ZH f f D f ZH f táblázt grfikon R f 45. Ábrázoljuk következõ függvényeket. () f(x) = x 3 4x 2 +4x (b) g(x) = x +x 2 (c) h(x) = x+ x (d) i(x) = x x 2 (e) j(x) = x2 (x ) 2 (f) k(x) = xe x (g) l(x) = x 2 ln x (h) m(x) = x e x (x ) (i) n(x) = 3 (x 2) 2. 6

19 7. Tylor-polinom 7.. Definíció. Egy f függvény x pont körüli Tylor-sor: T f (x ) = n= Megjegyzés. Tylor-polinom: véges Tylor-sor. 7.. Tétel. Nevezetes -körüli Tylor-sorok: e x = n= sinx = x n n! n= cosx = n= x = n= x 2n+ (2n+)! x 2n (2n)! ln( x) = x n h x < n= x n n h x <. f (n) (x ) (x x ) n. n! 46. Adjuk meg nevezetes Tylor-sorokt! ( x ln( x)ex sinxcosx) 47. Írjuk fel P(x) = +3x+5x 2 2x 3 polinomot x+ htványi szerint (nemnegtív egész kitevõkkel). 48. Írjuk fel z lábbi függvényeket olyn kifejezések lkjábn melyek megdott fokú tgig bezárólg z x változó nemnegtív egész kitevõs htványit trtlmzzák. x () e x x4 (b) lncosx x 6 (c) tnx x 5 (d) ln sinx x x Fejezzük ki z f(x) = x függvényt x htványiból álló háromtgú összeg segítségével. 5. Számítsuk ki közelítõleg z lábbi kifejezések értékét becsüljük meg hibát is. () (b) (c) e (d) ln2 7

20 (e) rctn8 (f) Számoljuk ki megdott függvényértéket z dott pontossággl. () e 9 (b) sin 8 (c) lg Htározzuk meg htárértékeket. cosx e x 2 /2 x x 4 () lim e (b) lim x sinx x(+x) x x 3 (c) lim x x + x 2 x 2 ( > ) (d) lim x ( x sinx ) (e) lim x x ( cotx) x (cosx) (f) lim sinx. x x 3 8. Horner-elrendezés H ki krjuk számolni egy p(x) = x n + x n + + n polinom helyettesítési értékét vlmely c pontbn kkor áltlábn p(c) = (...((( c+ )c+ 2 )c+ 3 )c+ + n )c+ n módszerrel számolunk mert ez csk n szorzássl és n összedássl jár vgyis z egyik leggyorsbb. A Horner-eljárás felhsználhtó polinomok lineáris függvénnyel vló osztásár differenciálásr és polinomok átrendezésére x c htványi szerint. Ezekhez szükségünk lesz következõ tábláztr:... n 2 n n c b b... b n 2 b n b n c c c... c n 2 c n. c d d... d n 2.. c

21 A táblázt elsõ sor dott hiszen { k : k =...n} p(x) polinom együtthtói c pedig lineáris függvény zérushelye mi ismert. A táblázt elsõ oszlopát számolás nélkül kitölthetjük mert mindenhová z értéket kell írni tehát b = c = =. A b k (k = 2...n) értékek kiszámítás: b k = b k c+ k. A c k (k = 2...n ) értékek kiszámítás: c k = c k c+b k. A d k (k = 2...n 2) értékek kiszámítás: d k = d k c+c k. és így tovább... H feldtunk lineáris függvénnyel vló osztás volt kkor p(x) = q(x)(x c)+b n hol q(x) = b x n +b x n 2 + +b n. Tehát táblázt második sor hánydos polinom együtthtóit illetve z osztás mrdékát dj. A p(x) polinom x c htványi szerinti átrendezéshez úgy jutunk hogy q(x) hánydospolinomot újr elosztjuk x c-vel és ezt z eljárást folyttjuk egészen ddig míg hánydospolinom kitevõje -nál ngyobb. Azonbn fenti tábláztunkkl ez is sokkl egyszerûbb. Most már szükségünk lesz c k d k... értékekre is. A p(x) polinom lkj következõ lkot ölti átrendezés után: p(x) = b n +c n (x c)+d n 2 (x c) tehát táblázt mellékátlójábn lévõ értékeket hsználjuk. Figyeljük meg hogy z elõzõ összefüggéssel lényegében p(x) polinom Tylor-sorát kptuk mi egyértelmû és együtthtóit n p (k) (c) T p (x) = (x c) k k! k= összefüggéssel kpjuk. Most már könnyen meg tudjuk htározni p(x) polinom tetszõleges rendû deriváltjánk helyettesítési értékét c helyen: p (c) =!c n p (c) = 2!d n Legyen p(x) = 2x 4 x 3 8x 2 +3x+3. () Számítsuk ki p(x) polinom helyettesítési értékét c = és c = 2 helyeken. (b) Htározzuk meg p(x) és x illetve x 2 polinomok hánydosát és djuk meg z osztás mrdékát is. (c) Rendezzük át p(x) polinomot x illetve x 2 htványi szerint. (d) Számítsuk ki p(x) polinom elsõ négy differenciálhánydosát c = és c = 2 helyeken. 9

22 54. Legyen p(x) = 3x 4 +5x 3 2x 2 +x 2. () Számítsuk ki p(x) polinom helyettesítési értékét c = és c = 2 helyeken. (b) Htározzuk meg p(x) és x illetve x 2 polinomok hánydosát és djuk meg z osztás mrdékát is. (c) Rendezzük át p(x) polinomot x illetve x 2 htványi szerint. (d) Számítsuk ki p(x) polinom elsõ négy differenciálhánydosát c = és c = 2 helyeken. 55. Legyen p(x) = x 4 +2x 3 +2x 2 2x 3. () Számítsuk ki p(x) polinom helyettesítési értékét c = és c = 2 helyeken. (b) Htározzuk meg p(x) és x illetve x 2 polinomok hánydosát és djuk meg z osztás mrdékát is. (c) Rendezzük át p(x) polinomot x illetve x 2 htványi szerint. (d) Számítsuk ki p(x) polinom elsõ négy differenciálhánydosát c = és c = 2 helyeken. 9. Lgrnge-interpoláció Korábbn fogllkuztunk már függvények közelítésével. H zt szeretnénk hogy egy polinom függvény értelmezési trtományán belül vlmely pontbn közelítse z dott függvényünket kkor fel kell írni függvény dott pont körüli Tylor-polinomját. H zonbn olyn polinomot keresünk melynek elõre dott pontokbn meg kell egyeznie függvényértékekkel kkor már interpolálni kell függvényt. Egy ilyen minimális fokszámú polinomot kpunk Lgrnge-interpoláció segítségével. Legyen f(x) tetszõleges függvény és x x...x n D f z úgynevezett lppontok melyekben z egyenlõséget szeretnénk. Elõször olyn polinomot fogunk felírni mely pontosn z egyik lppontbn értéket vesz fel z összes többi lppontbn pedig eltûnik (vgyis értéket vesz fel): l k (x) := n j:k j= x x j x k x j k =...n hol megfelelõje összedás helyett szorzásr mit produktumnk ejtünk. Figyeljük meg hogy h x = x k kkor szorzt minden tényezõje hiszen számláló és nevezõ megegyezik h x = x l hol l k kkor lesz olyn tényezõ minek számlálój null és ezért z egész szorzt is. Ezen elõkészület után p(x) interpolációs polinom lkj: p(x) = n f(x k )l k (x). k= 2

23 56. Adjuk meg zt (legfeljebb) hrmdfokú polinomot mely megegyezik x függvénnyel 4 és 9 pontokbn. 57. Htározzuk meg zokt (legfeljebb) hrmdfokú polinomokt melyek megegyeznek sin x illetve cos x függvénnyel π/2 π és 2π pontokbn. 58. Adjuk meg zt (legfeljebb) negyedfokú polinomot mely megegyezik z rctn x függvénnyel 3 / 3/ 3 és 3 pontokbn.. Newton-Rphson módszer és húrmódszer A címben jelzett két eljárás függvények zérushelyének közelítésére szolgál. A másodfokú polinomok megoldóképletét már középiskolábn megtnulj mindenki. A hrmdés negyedfokú polinomr is ismertek megoldóképletek zonbn zt is tudjuk hogy ennél mgsbb fokszám esetében már nem létezik áltlános megoldóképlet. Tehát már polinomok esetében sem tudjuk pontosn meghtározni zérushelyeket... Newton-Rphson módszer Egy f függvény vlmely c zérushelyének közelítését így htározhtjuk meg (ε pontosággl): Kiindulv egy c számból ddig képezzük c k+ = c k f(c k) f (c k ) k = 2... számsorozt elemeit míg c k c k > ε. Szemléletesen úgy kpjuk c k pontból c k+ -et hogy függvényhez érintõt húzunk c k pontbn és ennek z egyenesnek htározzuk meg z x-tengellyel vett metszetét. H z f függvény kétszer differenciálhtó kkor meg tudjuk mondni közelítésünk hibáját is. Tegyük fel hogy f(c) = f (c k ) és f (x) c és c k pontok között ekkor c k+ c = f (ξ) 2f (c k ) (c k c) 2 hol ξ c és c k között vn. Megjegyzés. H z f függvény x n lkú kkor lényegében z n értékeit htározzuk meg z eljárásunkkl. A meglepõ hogy tetszõleges szám összes n-edik gyökét meg tudjuk htározni tehát komplexeket is. A módszer iterációs lépése ekkor következõ lkot ölti: c k+ = ( ) n c k + nc n k 59. Legyen f(x) = x 3 +3x 2 +x 4 és c =. A Newton-Rphson módszerrel htározzuk meg c és c 2 közelítéseket. Becsüljük meg c 2 hibáját. 6. Legyen f(x) = x 5 +x 5 és c = 5. Bizonyítsuk be hogy c k számsorozt függvény vlós gyökéhez konvergál. 6. Htározzuk meg z x 4 4x 3 +2x 2 7x+4 = egyenlet komplex gyökeit. Kezdõértéknek vegyük c = 4+8i és d = 4+3i komplex számokt. 2.

24 .2. Húrmódszer Tegyük fel hogy z f függvény folytonos z [ b] véges és zárt intervllumon (jelben: f C([ b])). Ekkor függvénynek vn zérushelye z dott intervllumbn mit következõ iterációvl tudunk közelíteni: c k c k c k+ = c k f(c k ) f(c k ) f(c k ) k = 2... hol kezdetben c = c = b. H meghtároztuk c 2 értékét és f(c 2 ) kkor következõ iterációhoz úgy válsztjuk meg c -et z és b közül hogy f(c ) és f(c 2 ) elõjele ellenkezõ legyen. Szemléletesen tehát úgy kpjuk c k+ értéket hogy meghtározzuk zf(c k ) ésf(c k ) pontokt összekötõ húr metszetét z x-tengellyel. 62. Legyen f(x) = x 3 + 3x 2 + x 4 és = b =. Htározzuk meg c 2 és c 3 közelítéseket. 63. Az f(x) = x 5 +x 5 polinom egyetlen vlós zérushelyét közelítsük z = b = értékekbõl kiindulv. Adjuk meg c 2 és c 3 számokt.. Htároztln integrálás A htároztln integrált gykrn nevezik ntideriváltnk is... Definíció. Egy ( b) R intervllumon értelmezett f(x) függvény primitív függvényének nevezzük zt zf(x) függvényt melyre F (x) = f(x) teljesül minden x (b) esetén. Megjegyzés. Az f függvény primitív függvényei konstnsbn térnek el..2. Definíció. Az f függvény htároztln integrálj: z F primitív függvények hlmz. Jelölés. Az f htároztln integrálj: f(x)dx = F(x)+c hol c R tetszõleges. Az f(x)-et integrndusnk nevezzük... Következmény. H egy deriváltfüggvényt htároztlnul integrálunk kkor z eredeti függvény konstnssl vló eltoltjit kpjuk: F (x)dx = F(x)+c... Tétel. Alpfüggvények integrálj: x q dx = xq+ q+ +c minden q R\{ }-re 22

25 x dx = ln x +c h x sinxdx = cosx+c cosxdx = sinx+c e x dx = e x +c x 2 dx = rcsinx+c +x 2 dx = rctnx+c Megjegyzés. H ez nem okoz félreértést kkor differenciáláshoz hsonlón z x rgumentumot és dx-et sem írjuk ki..2. Tétel (Mûveletek és integrálás). Legyen c R és f g integrálhtó függvény. Ekkor f +g = f + g c f = c f.. Helyettesítéssel vló integrálás Ezt módszert kkor lkmlzzuk h z integrndusbn egy dott függvény és nnk deriváltj is megtlálhtó. Megjegyzés. Emlékeztetünk z összetett függvény differenciálási szbályár: (f(g(x))) = f (g(x)) g (x). H most z egyenlõség mindkét oldlát integráljuk kkor megkpjuk helyettesítéssel vló integrálás szbályát: f (g(x)) g (x)dx = f (y)dy = f(y)+c hol y = g(x) dy = g (x)dx Megjegyzés. Jegyezzük meg z lábbi összefüggéseket: f q f = fq+ +c q q + f f = ln f +c 64. Htározzuk meg következõ integrálokt. () dx x+ 23

26 (b) (2x 3) dx (c) 3 3x dx (d) dx (5x 2) 5/2 (e) 5 2x+x 2 dx x (f) (e x +e 2x ) dx (g) dx cosx (h) dx +cosx (i) dx +sinx (j) dx (+x) x (k) xe x2 dx (l) dx x x 2 + (m) dx x x 2 (n) x dx (x 2 +) 3/2 (o) tnx dx (p) ln 2 x dx x (q) ln +x dx x 2 x (r) cos 3 x sinx dx. 65. Az x = sint x = tnt x = sin 2 t... trigonometrikus helyettesítések segítségével htározzuk meg következõ integrálokt: () ( x 2 ) 3/2 dx (b) x 2 x 2 2 dx (c) c 2 x 2 dx hol c > (d) (x 2 +c 2 ) 3/2 dx hol c > (e) c+xdx hol c > c x (f) (x c)(x d)dx hol cd >..2. Prciális integrálás Ezt módszert kkor hsználhtjuk h z integrndus szorzt lkú. Megjegyzés. Emlékeztetünk szorztfüggvény differenciálási szbályár: (fg) = f g +fg 24

27 Mindkét oldl integrálásávl és egy egyszerû egyenletrendezéssel kpjuk z f g = fg fg +c összefüggést. 66. Adjuk meg következõ intégrálok értékét. () lnx dx (b) x n lnx dx (c) ( lnx x )2 dx (d) xe x dx (e) xln 2 x dx (f) xcosx dx (g) x 2 sin2x dx..3. Rcionális törtfüggvények Legyen (x) és b(x) két tetszõleges polinom ekkor z (x) dx értékének meghtározás: b(x). h b kkor lklmzzunk polinomosztást ( hol z polinom fokszám) 2. h < b kkor tekintsük b polinomot () h b-nek vn zérushelye kkor hozzuk szorzt lkr ( hol tényezõk elsõfokú és vlós gyökkel nem rendelkezõ másodfokú polinomok) mjd z integrndust írjuk fel összeg lkbn (b) b = 2 és nincs vlós zérushelye. 67. Számítsuk ki következõ integrálok értékét összegre bontás segítségével. () x 2 x+ dx (b) (+x) 2 +x 2 dx (c) (x )(x+3) dx (d) dx x 2 +x 2 (e) dx (x 2 +)(x 2 +2) (f) x dx (x+2)(x+3) (g) sin 2 xcos 2 x dx (h) x x 2 +x 2 dx (i) x 3 + x 3 5x 2 +6x dx (j) x x 3 dx (k) x 4 dx. 25

28 .4. Trigonometrikus integrálás A sin(x+y) = sinxcosy +cosxsiny cos(x+y) = cosxcosy sinxsiny ddiciós képletek és sin 2 x+cos 2 x = Pitgorsz tétel segítségével egy szorztot mindig át tudunk írni összeg lkr és fordítv. Megjegyzés. Az sin m xcos n xdx integrál rekurzióvl is könnyen számolhtó..3. Tétel. Jelöljön R(uv) egy rcionális függvényt. Ekkor z R(sinxcosx)dx integrál visszvezethetõ rcionális függvény integrálásár helyettesítéssel. Megjegyzés. A fenti helyettesítés esetén tn x 2 = t sinx = 2t t2 +t2 cosx = és dx = 2 +t 2 +t dt Számítsuk ki következõ integrálokt: () cos 5 xdx (b) sin 6 xdx (c) sin 2 xcos 4 xdx (d) sin 4 xcos 5 xdx (e) sin 5 xcos 5 xdx (f) sin 3 x cos 4 x dx (g) cos 4 x sin 3 x dx (h) cos 3 x dx (i) sin 4 x dx (j) sin 4 xcos 4 x dx (k) sin 3 xcos 5 x dx (l) sin 3 xcos 5 x dx (m) tn 5 xdx (n) tn 6 x dx (o) tnx dx 26

29 (p) 3 tnx dx. 69. Az ddiciós képletek segítségével számítsuk ki z lábbi integrálokt: () sin5xcosxdx (b) cosxcos2xcos3xdx (c) sinxsin x 2 sin x 3 dx (d) cos 2 cxcos 2 dxdx hol cd R (e) sin 3 2xcos 2 3xdx. 7. Htározzuk meg következõ integrálokt: () 2sinx cosx+5 dx (b) dx (2+cosx)sinx (c) sin 2 x dx sinx+2cosx (d) sin 2 x +sin 2 x dx (e) sinxcosx dx sinx+cosx (f) sinx dx sin 3 x+cos 3 x (g) sin 4 xcos 4 x dx (h) sin 2 x cos 2 x sin 4 x+cos 4 x dx (i) sinxcosx +sin 4 x dx..5. Vegyes feldtok 7. Vezessük vissz lpintegrálokr következõ kifejezéseket. () (3 x 2 ) 3 dx (b) x 2 (5 x) 4 dx (c) ( x x )2 dx (d) x+ x dx (e) ( x 2 ) x x dx (f) x 2 +x 2 dx (g) x 2 x 2 dx (h) (2 x +3 x ) 2 dx (i) sin2x dx (j) tn 2 x dx (k) x 2 +x+ dx 27

30 (l) dx x 2 x+2 (m) x dx x 4 2x 2 (n) x+ x 2 +x+ dx (o) xe x (x+) 2 dx (p) x 5 x 6 x 3 2 dx (q) 3sin 2 x 8sinxcosx+5cos 2 x dx (r) x+x 2 dx (s) (t) x 5+x x 2 dx cosx dx. +sinx+cos 2 x 72. Egy lklms változó rcionális függvényeire visszvezetve oldjuk meg: () + x dx (b) x 3 2+x x+ 3 2+x dx (c) 3 +x + 3 +x dx (d) x+ x x++ x dx. 73. Számítsuk ki z lábbi integrálokt: () (+e x ) 2 dx (b) e 2x +e x dx (c) e x dx (d) e x e x + dx (e) x 3 e 3x dx (f) (x 2 2x+2)e x dx (g) x 5 sin5xdx (h) xe x sinxdx (i) ln n xdx (j) x 3 ln 2 xdx (k) ( lnx x )3 dx (l) xrctn(x+)dx (m) rcsin xdx (n) xln +x x dx. 28

31 2. Htározott integrálás 2.. Definíció. Egy z ( b) R intervllumon értelmezett függvény htározott integrálján görbe ltti elõjeles terültet értjük. Jelölés. Az f függvény htározott integrálj z ( b) intervllumon: b f(x)dx. 2.. Tétel (Newton-Leibniz formul). H z f függvény folytonos z ( b) intervllumon és F (x) = f(x) kkor b f(x)dx = [ ] b F(x) = F(b) F(). x= 2.2. Tétel (Prciális integrálás). H fg C(b) kkor b fg = [ ] b b fg f g 2.3. Tétel (Helyettesítéses integrálás). Tegyük fel hogy f C(b) ϕ(t)ϕ (t) C(αβ) és ϕ() = α ϕ(b) = β f(ϕ(t)) C(αβ) ekkor b f(x)dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. 74. Számítsuk ki következõ htározott integrálokt és rjzoljuk fel megfelelõ görbével htárolt területeket: () (b) (c) (d) (e) 8 3 xdx π sin xdx / 3 dx +x 2 3 /2 /2 2 x 2 dx x dx. 29

32 75. Keressük meg következõ htárértékeket: () lim ( n (b) lim ) n n 2 n 2 n 2 ( + n n+ ( n + n n n 2 + (c) lim ( (d) lim sin π +sin 2π n n n n n ) n n 2n 2 ) + +sin (n )π n ( (e) lim p +2 p + +n ) p hol p >. n n p+ 76. Prciális integrálássl számítsuk ki z lábbi integrálokt: () (b) (c) (d) (e) ln2 xe x dx π xsinxdx 2π e /e 3 x 2 cosxdx lnx dx rctn xdx. 77. Helyettesítéssel htározzuk meg z integrálok értékét: () (b) (c) (d) (e) 3/4 ln2 x 5 4x dx 78. Számítsuk ki: x 2 2 x 2 dx (x+) dx x 2 + ex dx ) +x 2 +x 4 dx (segítség: itt legyen t = x x ). () x(2 x 2 ) 2 dx 3

33 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) e 9 3 x dx x 2 +x+ (xlnx) 2 dx x 3 xdx rcsin x +x dx 2π dx (2+cosx)(3+cosx) π/2 sinxsin2xsin3xdx π (xsinx) 2 dx π e x cos 2 xdx. 2.. Improprius integrál 2.2. Definíció. H z ( b) intervllumon z f(x) függvény nem korlátos vgy z intervllum hossz végtelen esetleg mindkettõ egyszerre teljesül kkor z integrált improprius integrálnk hívjuk. b f(x)dx Megjegyzés. Kiszámítás: visszvezetjük szokásos htározott integrálr: H függvény nem folytonos z ( b)-on kkor legyen c szkdási helye és hsználjuk hogy z integrálás dditív vgyis b f = c f + ekkor jobboldlon álló két integrál értékét már meg tudjuk htározni. H z intervllum végtelen kkor z F( ) értelmetlen kifejezés helyett lim x F(x) htárértéket kell írni és kiszámolni ( hol F z f egy primitív függvénye) Definíció. H z integrál véges kkor konvergensnek h végtelen kkor divergensnek nevezzük. Megjegyzés. Az (x) dx integrál csk kkor konvergens vlmely végtelen intervllumon h b > b(x). 3 b c f

34 79. Állpítsuk meg hogy z lábbi integrálok konvergensek-e és h igen htározzuk meg z értéküket. () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) x 2 dx 5 (x+2) dx 4 3 2x /3 dx x 2/3 dx 3x 2 7(x 3 ) 2dx rcsin x x dx e x dx +x 2dx e 2x dx xe x dx ln 2 x dx +x dx (x ) 3dx x dx dx x Terület- térfogt- és felszínszámítás 2.4. Tétel. Az (y =)f (x) (y 2 =)f 2 (x) x = és x = b görbék áltl htárolt síkidom területe: T = b 32 f 2 f.

35 Megjegyzés. Szemléletesen z f 2 ltti területbõl elvesszük zt részt mi z f ltt is vn Tétel. Az y = f(x) (folytonosn differenciálhtó) görbe ívhossz (z x b intervllumon): b I = +(y ) Tétel. Tegyük fel hogy vlmely testnek létezik térfogt és legyen T(x) nnk keresztemetszetnek területe ( x b) mit z x pontbn emelt x-tengelyre merõleges sík kimetsz testbõl. Ekkor test térfogt: V = b 2.. Következmény (Forgástest térfogt). H y és y 2 nemnegtív függvény z [b] intervllumon. Az y y y 2 trtomány x-tengely körüli megforgtásávl keletkezõ test térfogt: b V = π y2 2 y Tétel. Az ÂB sim görbeív x-tengely körüli megforgtásávl keletkezõ felület felszíne: B P = 2π y ds A hol ds z ívhosszmérték. Megjegyzés. A fenti felszínt tehát 2π b T. y +(y ) 2 integrálll htározhtjuk meg. Megjegyzés. H egy függvénygrfikont z y-tengely körül forgtunk meg kkor is hsználhtók fenti összefüggések nnyi különbséggel hogy z y = f(x) összefüggésbõl ki kell fejezni x-et és megdott képletekben is el kell végezni z x y cserét. 8. Htározzuk meg z lábbi derékszögû koordinátákkl felírt görbékkel htárolt idomok területét: () x = y 2 y = x 2 (b) y = x 2 x+y = 2 (c) y = 2x x 2 x+y = (d) y = lgx y = x = x = (e) y = 2 x y = 2 x = (f) y = (x+) 2 x = sinπy y = ( y ) 33

36 (g) x2 2 + y2 b 2 = hol b > (h) y = e x sinx y = (x ). 8. Milyen ránybn osztj ketté z y 2 = 2x egyenletû prbol zx 2 +y 2 = 8 egyenletû kör területét? 82. Számítsuk ki következõ görbék ívhosszát: () y = x 3/2 ( x 4) (b) y = e x ( x x ) (c) x = 4 y2 lny ( y e) 2 (d) y = lncosx ( x < π) Forgssuk meg felsorolt görbéket megdott tengelyek körül és számítsuk ki z így keletkezõ felületekkel htárolt testek térfogtát: () y = (x/) 2/3 ( x ) x-tengely körül (b) y = 2x x 2 y = x-tengely körül (c) y = 2x x 2 y = y-tengely körül (d) y = e x y = ( x < ) x-tengely körül (e) y = e x y = ( x < ) y-tengely körül (f) y = e x sinx ( x < ) x-tengely körül. 84. Htározzuk meg z lábbi görbék megdott tengely körül vló megforgtásávl nyert felületek felszínét: () y = x x ( x ) x-tengely körül (b) y = tnx ( π x)-tengely körül 4 (c) x2 + y2 = ( < b ) x-tengely körül 2 b 2 (d) x2 + y2 = ( < b ) y-tengely körül 2 b 2 (e) x 2 +(y b) 2 = 2 (b ) x-tengely körül (f) x 2/3 +y 2/3 = 2/3 x-tengely körül. 3. Numerikus integrálás Ngyon sok függvénynek (pl. sinx/x /lnx +x3 exp(x 2 )...) nem tudjuk meghtározni primitív függvényét. Ezekben z esetekben közelítjük htározott integrálok értékét. Az numerikus integrálás z b n f c k f(x k ) k= kvdrtúr-képlettel történik hol n N c k vlós együtthtók és = x < x < < x n = b. 34

37 3.. Newton-Cotes formul Az f függvényt közelíthetjük p(x) Lgrnge-féle interpolációs polinomml. Ekkor b f vgyis kvdrtúr-képlet c k együtthtókt Lgrnge-féle interpolációs lppolinom integráljként definiáltuk: c k = hol z l k (x) polinomot 9. fejezetben definiáltuk. H z elõzõ formulát z n = esetre felírjuk kkor megkpjuk z b trpéz-formulát. H z n = 2 esetre írjuk fel kkor z b Simpson-formulát kpjuk. f b Írjuk fel Newton-Cotes formulát z () n = (b) n = 2 esetben. 86. Számoljuk ki z 2 () trpézösszegét (b) Simpson-összegét. /xdx elsõ öt b b l k p f b 2 (f()+f(b)) ( f()+4f 87. A Simpson-formul segítségével számoljuk ki () (b) (c) (d) +x3 dx e x2 dx 9 dx lnx 3 dx x +x+ integrálok közelítõ értékét. 35 ( +b ) 2 ) +f(b)

38 3.2. Érintõ-formul 3.. Definíció. Az [ b] intervllum egy beosztását ekvidisztánsnk nevezzük h z osztópontok közötti távolság állndó h = b n. Egy függvényt közelíthetünk Tylor-polinomjávl is. Ekvidisztáns beosztás és elsõrendõ Tylor-polinom esetén z érintõ-formulát kpjuk. b f h n f(x k ) k= 88. Számítsuk ki közelítõleg z lábbi integrálokt trpéz- Simpson-formulávl és z érintõ módszerrel is. (A feldt után zárójelben lévõ számok z ekvidisztáns osztópontok számát dják meg.) () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) π/3 π/3 9 dx (4) 4+x 3 +x3 dx (4) 26 x3 dx (4) x 3 4+x dx (6) x2 dx (6) x3 dx () +x4 dx () dx (6) lnx cosxdx () sinxdx () x rctn x x dx () xdx (4) 36

39 (m) (n) (o) (p) (q) π 3+cosxdx (6) π/2 x dx (6) ln(+x) dx (8) +x 4 sin2 xdx (6) dx (2). +x 3 P.S. Kérek mindenkit hogy h tlál hibát még legegyszerûbbet is jelezze sfr.zoltn@ttk.nyme.hu címemre. 37