Nemlineáris programozás: algoritmusok
|
|
- Zsuzsanna Péter
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Nemlineáris programozás: algoritmusok Operációkutatási Tanszék Budapest I. félév
2 Feltétel nélküli optimalizálási feladat Feltétel nélküli optimalizálási feladat: Legyen adott az f : IR n IR folytonosan differenciálható függvény. Keressük a globális minimumhelyét, azaz oldjuk meg a feladatot. min x IR n f(x) Feltétel nélküli optimalizálás keretalgoritmus Bemenő adatok: f : IR n IR függvény, x 0 IR n induló megoldás, ε > 0 pontossági paraméter, k := 0 számláló Begin while megállási feltétel nem teljesül do begin Keressünk egy csökkenési irányt, s k, azaz s k IR n : δf(x k, s k ) < 0 if nem létezik csökkenési irány then x k optimális megoldása a feladatnak else iránymenti minimalizálás: λ k := argmin λ f(x k + λ s k ) endif x k + λ k s k, k := k + 1 endwhile ε-optimális megoldást állítottuk elő end.
3 Keretalgoritmus elemzése Megállási feltétel Nem lehet eléggé javítani a célfüggvény értékét f(x k ) f(x k+1 ) 1 + f(x k ) ε Iterációk túl közel esnek egymáshoz Gradiens normája kicsi Newton lépés hossza kicsi Csökkenési irány Legyen x, s IR n, f : IR n IR adott és λ IR. Az f függvény x pontbeli s irányú iránymenti deriváltját δf(x, s) jelöli, ahol a létezik és véges. δf(x, s) = lim λ 0 f(x + λs) f(x) λ Az s irányt csökkenési iránynak nevezzük, ha δf(x, s) < 0.
4 Iránymenti minimalizálás Legyen adott az f : IR n IR folytonosan differenciálható függvény, egy x megoldás és egy hozzátartozó s csökkenési irány. Legyen a φ : IR IR függvény a következő képlettel adott, azaz φ(λ) := f(x + λ s). Ekkor a φ függvény is folytonosan differenciálható. Iránymenti minimalizálás: intervallum felezéssel Bemenő adatok: φ : IR IR függvény konvex a [λ 1, λ 2 ] intervallumon, ahol φ (λ 1 ) < 0 és φ (λ 2 ) > 0; ε > 0 pontossági paraméter; Begin while λ 1 λ 2 > ε do begin legyen λ = 1 2 (λ 1 + λ 2 ) if φ (λ) < 0 then λ 1 := λ else λ 2 := λ endif endwhile λ [λ 1, λ 2 ] end. Megjegyzés: Az algoritmus λ 1 λ 2 log 2 ε a kezdeti λ 1, λ 2 értékekkel. Az algoritmus nem differenciálható függvényekre is működik.
5 Iránymenti minimalizálás: aranymetszéssel Jelölje F n az n. Fibonacci számot, amelyre F n = F n 1 + F n 2, F 0 = F 1 = 1 Iránymenti minimalizálás: α k paraméterrel Bemenő adatok: φ : IR IR függvény konvex a [λ 1, λ 2 ] intervallumon; ε > 0 pontossági paraméter; lépéshossz paraméter: 0 < α k < 1; k = 2 számláló; Begin while λ 1 λ 2 > ε do begin legyen 1 α k = F k 1 F k számoljuk ki β 1 = λ 1 + α k (λ 2 λ 1 ), β 2 = λ 1 + (1 α k ) (λ 2 λ 1 ) (és β 1 < β 2 ) if φ(β 1 ) < φ(β 2 ) then λ 1 := β 1 else λ 2 := β 2 endif k := k + 1 endwhile λ [λ 1, λ 2 ] end. Megjegyzés: Ha az 1 α k = akkor az aranymetszéses módszerről beszélünk.
6 Iránymenti minimalizálás: Newton módszerrel Legyen adott az f : IR n IR kétszer folytonosan differenciálható függvény, egy x megoldás és egy hozzátartozó s csökkenési irány. Legyen a φ : IR IR függvény a következő képlettel adott, azaz φ(λ) := f(x + λ s). Ekkor a φ függvény is kétszer folytonosan differenciálható. A φ(λ) függvény másodrendű közelítését valamely λ 0 pontban a következő módon adhatjuk meg q(λ) = φ(λ 0 ) + φ (λ 0 ) (λ λ 0 ) φ (λ 0 ) (λ λ 0 ) 2. A q(λ) függvény minimum helye ekkor a λ = λ 0 φ (λ 0) φ (λ 0). Iránymenti minimalizálás: Newton módszerrel Bemenő adatok: λ 0 kezdőpont; k = 0 számláló; ε > 0 pontossági paraméter; Begin while λ k+1 λ k > ε do legyen λ k+1 = λ k φ (λ k ) φ (λ k ) és k := k + 1 endwhile λ k+1 közelítő megoldás end.
7 Newton módszer: variánsai Két ponttal indítjuk el a Newton módszert, azaz adottak λ 0, λ 1, φ(λ 1 ), φ (λ 1 ), φ (λ 0 ) és ekkor a kvadratikus közelítés Ekkor az új közelítő megoldás a lesz. q(λ) = φ(λ 1 ) + φ (λ 1 ) (λ λ 1 ) + φ (λ 0 ) φ (λ 1 ) (λ λ 1 ) 2. λ 0 λ 1 2 λ = λ 1 φ (λ 1 ) λ 0 λ 1 φ (λ 0 ) φ (λ 1 ) Newton módszer, harmadrendű közelítés esetén λ 0, λ 1, φ(λ 0 ), φ(λ 1 ), φ (λ 0 ), φ (λ 1 ) és ekkor az új közelítő megoldás a λ = λ 1 (λ 1 λ 0 ) φ (λ 1 ) + α 2 α 1 φ (λ 1 ) φ (λ 0 ) + 2 α 2, ahol α 1 = φ (λ 0 ) + φ (λ 1 ) 3 φ(λ 0) φ(λ 1 ) és α 2 = α λ 0 λ 1 2 φ (λ 0 ) φ (λ 1 ). 1 Ezek alapján hatékonyabb Newton algoritmus variánsokat lehet készíteni!
8 Newton módszer: variánsai (folytatás) Egy érdekes modell, amelyik esetén az eredeti függvény differenciálhatóságát nem is kívánjuk meg, a következő: legyen ismert három pont λ 0, λ 1, λ 2 és a hozzá tartozó függvény értékek φ 0 = φ(λ 0 ), φ 1 = φ(λ 1 ), φ 2 = φ(λ 2 ). Ekkor a három pontra illeszkedő másodrendű (közelítő) modellt tudunk konstruálni 3 j i q(λ) = φ (λ λ j) i j i (λ i λ j ) ekkor az új közelítő megoldás λ = 1 2 ahol α ij = λ i λ j és β ij = λ 2 i λ2 j. i=1 β 23 φ 1 + β 31 φ 2 + β 12 φ 3 α 23 φ 1 + α 31 φ 2 + α 12 φ 3, Megjegyzés. Az előző harmadrendű közelítéses modell esetén a Newton módszer konvergenciájának a nagyságrendje 2,0 míg a deriváltakat nem igényelő másodrendű közelítésé 1,3.
9 Gradiens módszer Gradiens módszer. Legyen adott az x 0 IR n tetszőleges pont és számítsuk ki k = 0, 1, 2,... esetén az x k+1 IR n pontokat az alábbi képlettel ahol x k+1 = x k α k g k, α k = arg min α f(x k α g k ) és g k = f(x k ). Állítás. Legyen adott az f : IR n IR folytonosan differenciálható függvény és az x 0 IR n tetszőleges pont. Ekkor a gradiens módszerrel előállított x k pontsorozat lokális minimumba tart. Megjegyzés. nevezni. A gradiens módszert szokás még a legmeredekebb csökkenés módszerének is Legyen adott az f : IR n IR kétszer folytonosan differenciálható függvény. A keresési irány meghatározása az optimalizálási feladat célfüggvényének a másodrendű közelítésén alapul, azaz q(x) = f(x k ) + f(x k )(x x k ) (x x k) T 2 f(x k ) (x x k ).
10 Newton-módszer Erre a közelítésre alkalmazzuk a gradiens módszert, azaz q(x) = 0 az elsőrendű optimalitási feltétele a min x IR q(x) n szélsőérték feladatnak. Az optimalitási kritériumot felhasználva 0 = q(x) = f(x k ) + 2 f(x k ) (x x k ), és ebből kiszámítható, az x = x k ( 2 f(x k )) 1 f(x k ). Newton módszer. Legyen adott az x 0 IR n tetszőleges pont, és számítsuk ki k = 0, 1, 2,... esetén az x k+1 IR n pontokat az alábbi képlettel x k+1 = x k ( 2 f(x k )) 1 f(x k ), ahol 2 f(x k ) az f függvény Hesse-mátrixa. Megjegyzés. 1. Ha a 2 f(x k ) pozitív definit mátrix bármely k index esetén akkor a minimum egyértelműen vétetik fel. 2. A klasszikus Newton-módszer esetén nem alakalmazunk iránymenti minimalizálást. Ha messze vagyunk a megoldástól, akkor szükséges iránymenti minimalizálást alkalmazni és ekkor un. tompított Newton-módzsert alkalmazunk. 3. A Newton-módszer alkalmazásának a legszámításigényesebb lépése a Hesse-mátrinverzének a kiszámítása.
11 Newton-módszer tulajdonságai Tétel. Legyen adott az f : IR n IR kétszer folytonosan differenciálható függvény, és M = ( 2 f(x)) 1 IR n n pozitív definit mátrix. Ekkor s = M f(x) is csökkenési irány. Állítás. Legyen adott az f : IR n IR kétszer folytonosan differenciálható függvény és az x 0 IR n tetszőleges pont. Ekkor a Newton-módszerrel előállított x k pontsorozat lokális minimumba tart, ha a 2 f(x) IR n n Hesse-mátrix, pozitív definit mátrix. Megjegyzés. Ha az f függvény nem szigorúan konvex, vagy a Hesse-mátrixa rosszulkondícionált, λ max( 2 f(x k )) λ min( 2 f(x k nagy, akkor a Hesse-mátrix nehezen invertálható. )) Trust region módszer. Legyen adott az f : IR n IR kétszer folytonosan differenciálható függvény, és adott az x 0 IR n tetszőleges pont, és számítsuk ki k = 0, 1, 2,... esetén az x k+1 IR n pontokat az alábbi képlettel x k+1 = x k ( 2 f(x k ) + α I) 1 f(x k ), ahol 2 f(x k ) az f függvény Hesse-mátrixa és α IR. Megjegyzés. Ha az α = 0, akkor a Newton-módszert kapjuk vissza, míg, ha az α, akkor a csökkenési irányunk párhuzamos lesz a gradiens módszer csökkenési irányával.
12
13
14 Nem szimmetrikus, konvex kvadratikus programozási feladatpár Konvex kvadratikus programozási feladat: (QP) { min q(x) = c T x xt Qx Ax = b, x 0 ahol a Q IR n n szimmetrikus pozitív szemidefinit mátrix, az A IR m n adott mátrix és rank(a) = m, b IR m, c IR n, x IR n vektorok. Duál feladat: (QD) max d(x, y) = b T y 1 2 xt Qx A T y Qx + s = c, s 0 ahol az y IR m vektor. Ekkor a primál és duál megengedett megoldások halmaza P = { x IR n : Ax = b, x 0 } és D = { y IR m, x, s IR n : A T y Qx + s = c, s 0 }, továbbá jelölje a (QP ) és a (QD) feladatok optimális megoldás halmazát a P = { x P : q(x ) q(x), x P } illetve a D = { (y, x, s ) D : d(x, y ) d(x, y), (y, x, s) D } halmazok. Kérdés. Hogyan állítottuk elő a primál feladatból a duál feladatot? Feladat. Bizonyítsa be a (QP ) és (QD) feladatok között fennálló gyenge dualitás tételt és mutassa meg, hogy az optimalitás szükséges és elégséges feltétele a komplementaritás: x T s = 0.
15 Logaritmikus barrier függvény A P + = P IR n + = { x IR n : Ax = b, x > 0 } pozitív (primál) megoldások (belsőpontok) halmazához hasonlóan, bevezethetjük a pozitív (duál) megoldások halmazát D + = { y IR m, x, s IR n : A T y Qx + s = c, s > 0 } D. Tekintsük az f : IR n+1 + IR képező függvényt f(x, µ) := 1 µ q(x) n j=1 ln x j = ct x xt Qx µ n ln x j, ahol µ > 0 barrier paraméter és x P +. Az f függvényt a (QP ) feladathoz tartozó logaritmikus barrier függvénynek nevezzük. Az f függvény x szerinti első és második deriváltja g = f(x, µ) = c + Qx µ ahol az X = diag(x), f(x, µ) IR n és 2 f(x, µ) IR n n. j=1 X 1 e, H = 2 f(x, µ) = 1 µ Q + X 2, Feltevés: (i) a P korlátos halmaz, és (ii) létezik x P : x > 0. Az (ii) feltételt, úgy is kifejezhetjük, hogy P +. Ezt nevezzük belsőpont feltételnek. Tekintsük a min x P + f(x, µ) } (QP (µ)) konvex programozási feladatot, rögzített µ > 0 barrier paraméter esetén.
16 Feladatok, centrális út Feladat. Tegyük fel, hogy a P Bizonyítsa be, hogy az f függvény a P + halmazon szigorúan konvex függvény, és a P + halmaz határán, végtelen. Igazolja továbbá azt is, hogy az f logaritmikus barrier függvény, a minimumát egyértelműen veszi fel. 2. Bizonyítsa be, hogy a lim f(x, µ) = q(x), bármely x P + esetén. µ Jelölje az x (µ) az f logaritmikus barrier függvény minimumhelyét rögzített µ esetén. Bizonyítsa be, hogy a lim µ 0+ f(x (µ), µ) = q(x ), ahol x P Feladat. Bizonyítsa be, hogy a (QP (µ)) konvex programozási feladatnak, az egyértelmű minimum, elsőrendű szükséges és elégséges optimalitási feltételei az alábbiak A T y Qx + s = c, s 0 (1) Ax = b, x 0 (2) Xs = µe (3) Vezessük be a primál- és a duál centrális utat a (QP (µ)), µ > 0 feladatok optimális megoldásainak a segítségével C P = { x(µ) IR n + : az (x(µ), y(µ), s(µ)) kielégíti az (1) (3) feltételeket }, C D = { (y(µ), s(µ)) IR m+n : az (x(µ), y(µ), s(µ)) kielégíti az (1) (3) feltételeket és s(µ) > 0 }. Ekkor nyilván a C P P + és C D D + teljesül.
17 Monotonitás a centrális út mentén Feladat. Bizonyítsa be, hogy a C P és C D egy paraméteres (µ > 0) görbék, a µ paraméter szerint végtelen sokszor differenciállható görbék. Dualitás rés: q(x) d(x, y) = x T s Dualitás rés a centrális utak mentén pedig q(x(µ)) d(x(µ), y(µ)) = x(µ) T s(µ) = n µ. Lemma. A (QP ) primál feladat q(x(µ)) célfüggvénye csökken, a (QD) duál feladat d(x(µ), y(µ)) célfüggvénye pedig nő, ha µ csökken. Bizonyítás. Az x(µ) és az y(µ) kielégíti az (1)-(3) egyenleteket, ezek µ szerinti deriváltja: Az (1) és (5) egyenletek felhasználásával: A T y (µ) Qx (µ) + s (µ) = 0 (4) Ax (µ) = 0 (5) X(µ)s (µ) + S(µ)x (µ) = e (6) c T x (µ) = (s(µ) Qx(µ) + A T y(µ)) T x (µ) = s(µ) T x (µ) x(µ) T Qx (µ). (7) Az egyszerűbb jelölés érdekében hagyjuk el a µ paraméter feltüntetését. A (7), (6) és (3) egyenleteket használtuk fel. Az utolsó egyenlőség pedig a (4) és (5) egyenletekből adódik, figyelembe véve az s = Q x A T y összefüggést is. q(x) = c T x + x T Qx = s T x = e T Sx = (Sx + Xs ) T Sx = x T S 2 x + µ (s ) T x = (x ) T S 2 x + µ (x ) T Qx 0.
18 Összegezve az előző számítást azt kapjuk, hogy Lemma bizonyítása q(x(µ)) = (x(µ)) ) T S 2 x(µ)) + µ (x(µ)) ) T Qx(µ)) 0, hiszen S = diag(s) pozitív diagonális és a Q pedig pozitív szemidefinit mátrix, valamint a µ pozitív valós szám. Tehát a primál célfüggvény monoton nő, ha µ monoton nő, ez pedig pontosan azt jelenti, hogy ha a µ tart a nullához, akkor a primál célfüggvény monoton csökken. A lemma második felének bizonyításához szorozzuk meg a (6) egyenletet az AS 1 mátrixszal: AS 1 Xs + Ax = AS 1 e az (5) összefüggésből AS 1 Xs = AS 1 e adódik, azaz Xs = e. Ez alapján pedig következik és ekkor a (8), (4) és (6) egyenletek alapján b = Ax = AXe = AX 2 s (8) b T y = (A T y ) T X 2 s = (x ) T QX 2 s (s ) T X 2 s = (x ) T QX(e Sx ) (s ) T X 2 s. Tehát a (3) összefüggést is alkalmazva d (x(µ), y(µ)) = b T y (x ) T Qx = (x ) T QXSx (s ) T X 2 s = µ (x ) T Qx (s ) T X 2 s 0, adódik, hiszen a Q pozitív szemidefinit és az X 2 pozitív diagonális mátrixok.
19 Vetített Newton-lépés A vetített Newton-lépés az f(x, µ) függvény kvadratikus közelítésének f 2 (x, µ) = f( x, µ) + g T (x x) (x x)t H(x x) a minimalizálásának felel meg az A x = b affin altéren, azaz p = x x helyettesítéssel az iránykereső feladat a következő lesz (NI) { min 1 2 pt Hp + g T p A p = 0, x + p 0 Vezessük be az (NI) iránykereső feladat Lagrange-függvényét L(p, u) = 1 2 pt Hp + g T p u T Ap, ahol u IR m, és írjuk fel a Karush-Kuhn-Tucker optimalitási kritériumokat, ekkor p L(p, u) = Hp + g u T A = 0, (9) u L(p, u) = Ap = 0. (10) Ez azt jelenti, hogy valamely x P + és µ > 0 esetén a Newton-irányt p = p( x, µ) IR n a következő egyenletrendszer megoldásával állíthatjuk elő H p + A T u = g, A p = 0. (11)
20 Newton irány kiszámítása A (11) egyenletrendszer megoldását két különböző alakban írhatjuk fel: 1. képtér formula (explicit alak): p(x, µ) = H ( I A T (AH 1 A T ) 1 AH 1) g 2. nulltér formula (implicit alak): p(x, µ) = Z(Z T HZ) 1 Z T g, ahol Z IR n (n m) mátrix, amelynek az oszlopai lineárisan függetlenek, és ortogonálisak az A mátrix sorterére azaz A Z = 0. Feladat. Bizonyítsák be, hogy a p IR n csökkenési iránya az f függvénynek az x P + pontban, azaz f( x + α p, µ) < f( x, µ) és x + α p P +, α (0, 1]. Az α (0, 1] lépéshossznak ki kell elégíteni az x + α p > 0 belsőpont feltételt, amelyet az (NI) feladat megoldásakor elhanyagoltunk.
21 Centralitás mértéke Centralitás mértéke: δ(x, µ) := X µ s e = min X µ (c + Qx AT y) e ahol x P + és (y, x, s) D +. Nyilvánvaló, hogy x C P és x = x(µ) δ(x, µ) = 0 (y, x, s) C D és y(x, µ) = y(µ). Vezessünk be további mértékeket, amelyek a centrális úttól való távolságot mérik: X 1 p(x, µ) és p(x, µ) 2 H(x,µ) := p(x, µ)t H(x, µ) p(x, µ), azaz egyszerűsítve a jelöléseket és a nulltér képletet használva p 2 H = gt Z(Z T HZ) 1 Z T g = p T g adódik. Az általánosság korlátozása nélkül, feltehetjük, hogy X 1 Z ortonormált mátrix, azaz (X 1 Z) T (X 1 Z) = I. Feladat. Bizonyítsa be a következő állításokat 1. Az (X 1 Z) (X 1 Z) T mátrix, az A X IR m n mátrix nullterére való vetítés. 2. Az (X 1 Z)v = v bármely v IR k vektor esetén, ahol Z IR n k mátrix. 3. A (X 1 Z) T w w bármely w IR n vektorra, és egyenlőség teljesül, ha w vektor eleme az A X mátrix nullterének. y
22 Centralitás mértékek összehasonlítása Lemma. Legyen x P + és µ > 0, ekkor X 1 p 2 p 2 H = pt g δ(x, µ) 2. Bizonyítás. Mivel a Q pozitív szemidefinit mátrix és µ > 0, ezért p 2 H = pt H p = p T (X µ Q) p pt X 2 p = X 1 p 2. Másfelöl, figyelembe véve azt, hogy a Z T X 2 Z = (X 1 Z) T X 1 Z = I és λ((i + 1 µ ZT QZ) 1 ) 1, azaz a mátrix sajátértékei egynél nem nagyobbak, a nulltér formulát használva g T p = g T Z(Z T X 2 Z + 1 µ ZT QZ) 1 Z T g = g T Z(I + 1 µ ZT QZ) 1 Z T g Z T g 2 (I µ ZT QZ) 1 Z T g 2 és az AZ = 0 alapján ( ) ( ) c + Qx X Z T g = Z T X 1 e = (X 1 Z) T µ µ (c + Qx AT y) e tehát g T p Z T g 2 X 2 µ (c + Qx AT y) e bármely y vektorra.
23 A centrális út környezete Lemma. Ha X 1 p(x, µ) < 1, akkor x + = x + p(x, µ) P + és (X + ) 1 p(x +, µ) p(x +, µ) H(x+,µ) δ(x +, µ) X 1 p(x, µ) 2 p(x, µ) 2 H(x,µ) δ(x, µ)2. Bizonyítás. Egyszerű behelyettesítés alapján A x + = A (x + p) = A x + A p = b + 0 = b és az X 1 p < 1 miatt az x + = x + p > 0 teljesül, azaz x + P +. Az állítás második részének a bizonyításához elegendő azt megmutatni, hogy a p Newtonirányhoz tartozó u vektorral definiált y = µ u esetén, a (9) azonosságot, és a g vektor illetve a H mátrix definícióját is figyelembe véve, a következő összefüggések teljesülnek δ(x +, µ) ( X+ µ (c + Q x+ A T y) e c + Q (x + p) = (X + P ) 1 ) µ µ AT y e ( c + Q x (X + P ) µ P X 2 p X 1 p 2, + Q p µ g H p ) e = (X + P ) (X 1 e X 2 p) e hiszen a többi egyenlőtlenséget az előző lemmához hasonlóan lehet belátni.
24 A logaritmikus barrier függvény megváltozása Lemma. Ha p H < 1 teljesül, akkor f(x, µ) f(x(µ), µ) p 2 H. 1 p 2 H Bizonyítás. Mivel az f barrier függvény konvex és a g = f(x, µ) gradiense, ezért adódik. f(x, µ) f(x + p, µ) ( f(x, µ)) T p = g T p = p 2 H Tekintsük az Newton lépés megismétlésével előálló x 0 = x, x 1, x 2,... pontsorozatot. Ekkor f(x, µ) f(x(µ), µ) = (f(, µ) f(+1, µ)) i=0 i=0 p 2i+1 H p 2 H 1 p 2. H
25 A célfüggvény megváltozása Lemma. Ha p H < 1 teljesül, akkor q(x) q(x(µ)) p H (1 + p H ) 1 p H µ n. Bizonyítás. Mivel a q(x) konvex függvény, ezért q(x) T p q(x + p) q(x) q(x + p) T p és felhasználva a q(x) = c + Q x = µ g + µ X 1 e összefüggéseket a következő alsókorlát adódik q(x) T p = µ g T p + µ p T X 1 e µ p 2 H µ p H n p H (1 + p H ) µ n. Felhasználtuk azt is, hogy az X 1 p p H. Most pedig előállítunk egy felsőkorlátot q(x + p) T p = c T p + p T Q (x + p) = (c T p + p T Q x) + p T Q p = µ g T p + µ p T X 1 e + p T Q p = µ p T ( Hp + A T u) + µ p T X 1 e + p T Q p = p T Q p µ p T X 2 p + µ p T X 1 e + p T Q p = µ e T X 1 p µ X 1 p 2 µ e T X 1 p µ n p H. Ekkor q(x) q(x + p) p H (1 + p H ) µ n. A bizonyítás hasonlóan fejezhető be, mint az előző lemmánál, azaz tekinteni kellene egy olyan pontsorozatot, amelyet a Newton iterációl segítségével állítottunk elő.
26 Logaritmikus barrier módszer Bemenő adatok: ɛ pontosságot ellenörző paraméter, τ a centralitást felügyelő paraméter, µ 0 a kezdeti barrier paraméter érték, θ a barrier paraméter csökkentését meghatározó érték, 0 < θ < 1 x 0 P +, amelyre p(x 0, µ 0 ) H(x0,µ 0) 2 1 begin x := x 0 ; µ := µ 0 while µ > 4n ɛ do begin (külső lépés) while p H τ do begin (belső lépés) α := arg min α>0 { f(x + α p, µ) : x + α p P + } x := x + α p end (belső lépés) µ := (1 θ) µ end (külső lépés) end. Tétel. Legyen τ = 1 2. A logaritmikus barrier módszer legfeljebb 1 θ log 4nµ0 ɛ külső iteráció után leáll egy x P +, primál megoldással, amelyre q(x) z ɛ, ahol z a feladat optimumértékét jelöli.
27 A logaritmikus barrier módszer komplexitás vizsgálata Lemma. Legyen ᾱ := (1 + p H ) 1. Ekkor f := f(x, µ) f(x + ᾱ p, µ) p H log(1 + p H ). Bizonyítás. Az f barrier függvény Taylor-féle sorfejtése az α lépéshosszra nézve, f(x + α p, µ) = f(x, µ) + α g T p α2 p T Hp + k=3 ( α) k k n ( pi i=1 ) k. A k. tagját (k 3) a sorfejtésnek az alábbi módon becsülhetjük meg ( α) k k n i=1 ( pi ) k αk k n ( ) k pi αk k i=1 ( n i=1 ( pi ) 2 ) k 2 Az első és másodrendű tagokra korábban kapott összefüggések alapján ( 1 ) f(x + α p, µ) f(x, µ) + 2 α2 α p 2 H + k=3 = αk k X 1 p k αk k p k H. α k k p k H = f(x, µ) α p 2 H log(1 α p H) α p H. Tehát f α ( p 2 H + p H) + log(1 α p H ). Elvégezve az α = ᾱ = (1 + p H ) 1 helyettesítést, kapjuk a kívánt állítást.
28 Belső iterációk száma Tétel. A logaritmikus barrier módszer, minden külső iterációban legfeljebb 11θ (1 θ) 2 (θn n) belső iteráció van. Bizonyítás. Jelölje a belső iterációban a µ paraméter értékét µ +, amíg az azt megelőző érték pedig µ, akkor µ + = (1 θ) µ. Minden iterációban p H τ = 1 2 tehát minden belső iterációban f 1 ( 2 log ) > Másfelöl jelölje a belső iterációk számát K, ekkor K 11 < f(x, µ+ ) f(x(µ + ), µ + ) = F (x, µ + ). A Lagrange-féle középérték tétel alapján létezik µ (µ +, µ) intervallumban, amelyikre F (x, µ + df (x, µ) ) = F (x, µ) + dµ (µ + µ). Felhasználva a µ= µ df (x, µ) dµ = q(x) µ 2 és df (x, µ) dµ df (x(µ), µ) dµ = µ= µ = q(x(µ)) µ 2 összefüggéseket azt kapjuk, hogy q(x) q(x(µ+ )) µ= µ (µ + ) 2, q(x) q(x(µ)) µ 2
29 Belső iterációk száma (folytatás) ahol az utolsó egyenlőtlenség, azért teljesül, mert µ + < µ. Ezek alapján F (x, µ + ) F (x, µ) + q(x) q(x(µ+ )) (µ + ) 2 (µ µ + ) F (x, µ) + Mivel p H 1 2, ezért egy korábbi lemma alapján ( q(x) q(x(µ)) µ + + q(x(µ)) q(x(µ+ )) µ + ) µ µ + µ +. p 2 H F (x, µ) = f(x, µ) f(x(µ), µ) 1 p 2 1 3, másfelöl H q(x) q(x(µ)) p H (1 + p H ) µ n 3 1 p H 2 µ n és a célfüggvények centrális út menti monotonitását kihasználva q(x(µ)) q(x(µ + )) q(x(µ)) d(x(µ), y(µ)) + d(x(µ + ), y(µ + )) q(x(µ + )) = n(µ µ + ) = θ n µ. Ezeket a felsőkorlátokat felhasználva f(x, µ + ) f(x(µ + ), µ + ) = F (x, µ + ) 1 ( 32 n θ + θ n ) θ 1 θ 1 θ = 1 ( 3 + θ 3 ) n + θ n (1 θ) 2. 2 Következmény. Felsőkorlát az összes Newton-iterációra a logaritmikus barrier algoritmus esetén [ 11 (1 θ) 2 ( 3 2 ) n + θ n + 11 ] 3 θ log 4 nµ0. ɛ
30 További lemmák Lemma. Legyen x + = x + p(x, µ). Ha p(x, µ) H (x, µ) 1 akkor δ := δ(x +, µ) 1 és y := y(x +, µ) duál megengedett megoldás. Továbbá, a dualitás résre a következő egyenlőtlenség teljesül µ (n δ n) q(x + ) d(x +, y) µ (n + δ n). Bizonyítás. Egy korábbi lemma alapján δ(x +, µ) p(x, µ) 2 H (x, µ) 1. A duál eltérés változó definíciója alapján s(x, µ) = c + Q x A T y(x, µ). Ekkor a δ(x +, µ) = X+ s(x +, µ) e µ 1. Ebből következik, hogy s(x +, µ) 0, ezért az y(x +, µ) duál megengedett megoldás. Továbbá, ( (x+ ) T s(x +, µ) n X µ = e T + s(x +, µ) e) e µ X+ s(x +, µ) e µ = δ n. Figyelembe véve, hogy (x + ) T s(x +, µ) = q(x + ) d(x +, y), adódik a lemma állítása. Lemma. Legyen µ + := (1 θ) µ ekkor δ(x, µ + ) 1 1 θ (δ(x, µ) + θ n).
31 További lemmák (folytatás) Bizonyítás. A δ centralitás mértéke alapján δ(x, µ + ) = X s(x, µ+ ) µ + X s(x, µ) µ + = 1 1 θ 1 1 θ (δ(x, µ) + θ n). ( ) X s(x, µ) e + µ ( 1 1 θ 1 ) e Lemma. Legyen x + = x + p(x, µ) és µ + := (1 θ) µ, ahol θ = 1 9 n. Ha δ(x, µ) 1 2 akkor δ(x +, µ + ) 1 2. Bizonyítás. Az előző lemma alapján δ(x, µ + ) n ( ) Alkalmazzuk a kvadratikus konvergenciára vonatkozó eredményt, azaz δ(x +, µ + ) δ(x, µ + ) < 1 2.
32 Jelölések, definíciók
33 Lineáris feltételes konvex optimalizálási feladat Adott a következő lineáris feltételes konvex optimalizálási feladat, (P ) min {f (x) A x = b, x 0}, ahol f : IR n IR konvex függvény, A IR m n teljes sorrangú mátrix és x IR n, b IR m. Jelölje P = {x IR n A x = b, x 0} illetve P + = {x P x > 0} a megengedett megoldások illetve a belsőpontok halmazát. Feltesszük, hogy 1. P +, sőt ismerünk egy x 0 P + pontot; 2. a P korlátos halmaz; 3. az f függvénynek létezik a második deriváltja a P + halmazon. Definíció. Legyen az f : IR n IR függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény kielégíti a skálázott Lipschitz feltételt, ha adott 0 < β < 1 esetén létezik M > 0, amelyre [ X f (x + x) f (x) 2 f (x) x ] M x T 2 f (x) x, ahol x > 0 X = diag(x) és X 1 x β. Zhu-tétel. A konvex függvények osztálya kielégíti a skálázott Lipschitz feltételt (slf), az M 1, konstanssal, amely független a feladat változóinak a számától, azaz M = O(1). Vezessük be, a következő lineáris feltételes logaritmikus büntetőfüggvényes feladatot, (P µ ) { } f (x) n min µ log A x = b, ahol µ > 0. i=1
34 Paraméteres centrális út Definíció. Legyen x P +. Azt mondjuk, hogy az x pont, a µ paraméterű α úton van, ha létezik az s = f(x) A T y, valamely y IR m esetén úgy, hogy x s µ e α µ, ahol 0 < α < 1. Algoritmus (rövid lépéses). Bemenő adatok: ε > 0 számítási pontosság, 0 < α, γ < 1 paraméterek, x 0 P +, µ 0 < 1 (1+α) n ε és x 0 s 0 µ e α µ 0, Begin x := x 0, µ := µ 0 while µ ε (1+α) n x := x + x; µ := (1 γ)µ; endwhile end. do
35 Az algoritmus komplexitása Definíció. Ha egy (nemlineáris optimalizálási) algoritmusnak egy ε-optimális megoldás előállításához szükséges számítási igénye, a változók számának, n és a pontossági paraméter logaritmusának, az log ε a polinomjával korlátozható felülről, akkor az algoritmust polinomiális algoritmusnak nevezzük. Tétel. Legyen adott a (P ) feladat és tegyük fel, hogy az f függvény kielégíti a skálázott Lipschitz feltételt. Egy ε > 0 pontosságú megoldás eléréséhez O( n log ε) számú iterációra van szükség. Bizonyítás. Igazoljuk, hogy 1. µ k ε (1+α) n elérésehez O( n log ε ) iterációra van szükség, 2. ha x ε a (P ) feladat optimális megoldása, és x a µ k (1+α) n akkor az f(x ) [f(x) ε, f(x)]. Először belátjuk az első állítást. Mivel µ k = µ 0 (1 γ n ) k, és (1 γ n ) < 1, azért log µ 0 + k log ( paraméterű α úton van, 1 γ n ) = log µ k log ε log(1 + α) n átalakítva és felhasználva a µ 0 definícióját k log ε log (1 + α) n log µ 0 log ε log (1 + α) n + log ((1 + α) n ε) 2 log ε ( ) ( ) = ( ). log 1 γ n log 1 γ n log 1 γ n Igaz továbbá, hogy k 2 log ε ( ) 2 n ( log ε). log 1 γ γ n
36 Komplexitás bizonyítása Legyen s = f(x) A T y 0, x IR n, úgy, hogy A x = b és y IR m. Ekkor igaz az alábbi: f (x) f (x ) f (x) x T s. Az első egyenlőtlenség nyilvánvaló, a második az alábbiakból következik: f (x ) f (x) x T s = b T y x f (x), figyelembe véve azt, hogy az f(x) konvex függvény, így f (x ) f (x) (x x) T f (x), ezért annyi kell, hogy x T f (x) b T y ami következik abból, hogy s 0, azaz x T f (x) x T A T y = b T y Feltettük, hogy az x pont a µ paraméterű α úton van, ezért s i (1 + α) µ és így x T s (1 + α) nµ, amiből következik, hogy a µ-re tett feltétel miatt f (x) f (x ) f (x) (1 + α) nµ, f (x) f (x ) f (x) ε.
37 Jelölések, definíciók
38 Geometriai programozási feladat Tekintsük a következő nemlineáris programozási primál duál feladatpárt max b T y e a T i y c i 1, k = 1, 2,..., r (P ) ahol A IR n m mátrix és az b IR m, c IR n, y IR m vektorok és I = {1, 2,..., n} olyan index halmaz, amelyre I = I 1 I 2 I r diszjunkt felbontás. x r min c T i i I x + log k ( ) k=1 i I x k i (D) x T A = b, x 0 A (P ) és (D) feladatokat primál- és duál geometriai programozási feladatnak nevezzük. A primálés a duál megengedett megoldás halmaz legyen rendre { } P = y IR m : e a T i y c i 1, k = 1, 2,..., r és D = { x IR n : x T A = b, x 0 }. Kérdés. Konvex halmaz-e a P?
39 A feladatpárban szereplő függvények tulajdonságai Definíció. Legyen az A IR m konvex, nem üres halmaz és g : A IR adott függvény. A g függvényt logaritmikusan konvex függvénynek nevezzük, ha bármely y 1, y 2 A és λ [0, 1] esetén g (λ y 1 + (1 λ) y 2 ) (g(y 1 )) λ (g(y 2 )) 1 λ. Lemma. Legyen a g k : IR m IR + függvény a következő képlettel adott g k (y) := e a T i y c i. A primál feladat feltételében szereplő g k függvények logaritmikusan konvexek. Továbbá a logaritmikus konvexitás feltételében szereplő egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül egyenlőséggel, ha bármely i, j k esetén (a i a j ) T (y 1 y 2 ) = 0 teljesül, feltéve, hogy 0 < λ < 1. Lemma. Legyen a h k : D IR, függvény a következő képlettel adott h k (x) = log ( x xi i ), (k = 1, 2,..., r) ekkor a h k függvényeknek a következő tulajdonságaik vannak: (i) h k (x) 0 (ii) h k (λ x) = λ h k (x) ha λ 0 (pozitív homogén) (iii) h k (x + x) h k (x) + h k ( x) (szubadditív) és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha bármely i I k esetén az =.
40 Geometriai egyenlőtlenség és következménye Geometriai egyenlőtlenség. Legyen a, b IR m, akkor m i=1 m a i b i i=1 m b i i=1 m ( ai b i i=1 ) bi, teljesül, ahol a, b IR esetén ( a b ) 0 = 1. Gyenge dualitás tétel. Legyen y P és x D ekkor p b T y x T c + log( és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha k=1 ) e at i y c i = bármely i I k, és k = 1, 2,..., p. Bizonyítás. Mivel y P, ezért 0 e a T i y c i 1, k = 1, 2,..., r
41 A geometriai programozás gyenge dualitás tétele és az x D miatt x 0. Alkalmazzuk a geometriai egyenlőtlenséget, ekkor e a T i y c i ( e at i y c i ) xi egyszerű átalakítások után kapjuk, hogy 1 ( e at i y c i ) ( e at i y c i ) xi ( ) = ( ) e ( a T i y c i ) ahol k = 1, 2,..., p. Felhasználva az előző egyenlőtlenséget egyszerűen adódik az p 1 k=1 ( ) e ( a T i y c i ) = i I ( ) i I x k p i = x i e k=1 ( ) p k=1 i I x T A y x T c e bt y x T c.
42 A gyenge dualitás tétel bizonyítása Vegyük az előző egyenlőtlenség mindkét oldalának a logaritmusát és a logaritmus függvény monotonitása miatt ( ) i I x k p i 0 b T y x T c + log x i, k=1 melyet átrendezve kapjuk a gyenge dualitás tétel egyenlőtlenségét. Az első egyenlőtlenségben egyenlőség van, ha = 0 vagy e at i y c i = e a T i y c i amiből e at i y c i e a T i y c i = 1 és = adódik, bármely i I k esetén, azaz e at i y c i = teljesül, bármely i I k esetén, mert x = 0 nem lehetséges, ha b 0.
43 Slater-féle regularitási feltétel Következmény (Gyenge equilibrium tétel). Legyen ȳ P, x D és x > 0, amelyre e at i ȳ c i = teljesül, bármely i I k, indexre, ahol k = 1, 2,..., p. Ekkor bármely x D vektorra x p xi i b T ȳ = x T c + log( ) k=1 i I x k i teljesül. Slater-féle regularitási feltétel: Legyenek adottak a (P ) és (D) geometriai programozási feladatok. Ha létezik ỹ P vektor, amelyre e a T i ỹ c i < 1, teljesül k = 1, 2,..., p indexek esetén.
44 Dualitás tétel Dualitás tétel. Tegyük fel, hogy a primál feladat teljesíti a Slater-feltételt és a célfüggvénye felülről korlátos a P halmazon. Ekkor létezik x D duál optimális megoldás és c T x + p log ( k=1 x i x x i i ) x i = sup y P b T y Bizonyítás. A tétel feltételei miatt létezik µ : sup y P b T y = µ véges szám. Ekkor a µ b T y < 0 e a T i y c i 1 0 rendszer nem oldható meg. Vezessünk be új változókat a T i y c i ε i, ahol az i = 1, 2,..., I k indexek és így azt kapjuk, hogy a µ b T y < 0 a T i y c i ε i 0 e εi 1 0 rendszer sem oldható meg, ahol y IR n, (ε 1, ε 2,..., ε m ) IR m. Alkalmazzuk a konvex Farkas tételt, ekkor létezik λ k, x i 0 számok úgy, hogy
45 Dualitás tétel bizonyítása p µ b T y + ( ) λ k e εi 1 + k=1 i=1 m x i (at i y c i ε i ) 0 teljesül, bármely y IR n, (ε 1, ε 2,..., ε m ) IR m esetén. Átrendezve az előzőt ( m ) ( ) p m µ + y T x i a i b + λ k e ɛi 1 x (c i + ε i ) 0 i=1 i=1 Ha a m x i a i b 0 i=1 k=1 akkor y megválasztható lenne úgy, hogy az előző egyenlőtlenség ne teljesüljön, tehát (x ) T A = b és x 0 miatt x D, és így ( ) p m µ + λ k e ɛi 1 x i (c i + ε i ) 0 teljesüljön. i=1 k=1 1. eset: Ha az x i > 0 teljesül bármely i indexre, akkor legyen ε i = log x i Behelyettesítve az ε i értékeket az előzőbe p µ + x m i 1 + ci log x i 0 k Ik λ k x k=1 i x i x i=1 i x i i I k esetén. vagyis
46 Dualitás tétel: 1. eset µ c T x + p log ( k=1 x i x x i i ) x i A gyenge dualitás tétel miatt a fordított irányú egyenlőtlenség is igaz. Ebben az esetben tehát igaz az állítás. 2. eset: Ha léteznek olyan i indexek, amelyekre x i = 0 akkor a ( ) p m µ + λ k e ɛi 1 x i (c i + ε i ) 0 egyenlőtlenség miatt k=1 i=1 p µ + λ p k e εi 1 + λ k e εi + x i ( c i ε i ) 0, x i >0, x i =0 x i >0 k=1 k=1. Ha x i > 0 akkor legyen ε i = log x i x i és ha x i = 0 akkor a ε i értékét válasszuk meg úgy, hogy p λ k k=1, x i =0 e εi θ, θ > 0 teljesüljön. Ekkor
47 Dualitás tétel: 2. eset µ + θ x i c i + i:x i >0 p log ( k=1 x i x, x i >0 i ), x i >0 x i, x i >0 x i = c T x + p log ( k=1 x i x x i i ) x i. teljesül bármely θ > 0 esetén. Tehát a gyenge dualitás tételt is felhasználva, a fordított egyenlőtlenség is teljesül. Lemma. 1. Legyen y P és ȳ IR m : A ȳ 0. Ekkor (y + θ ȳ) P teljesül, bármely θ 0 esetén. 2. Ha y P, akkor A y c. Következmény. Legyen P ω := {y P : b T y ω}, felső szinthalmaza a (P ) feladatnak. 1. Legyen P. A P pontosan akkor korlátos, ha C(a 1, a 2,..., a m ) = IR n. 2. Legyen P és korlátos, akkor az x T A = 0 egyenletrendszernek létezik x > 0 megoldása. 3. Ha P és korlátos, továbbá D, akkor D nem korlátos. 4. A P ω, pontosan akkor korlátos halmaz, ha C(a 1, a 2,..., a m, b) = IR n. 5. Ha a P ω korlátos halmaz, akkor az x T A = b egyenletrendszernek létezik x > 0 megoldása.
48 Duál oldali dualitás tétel Slater-feltétel a (D) feladatra: létezik x D : x > 0. Fordított dualitás tétel. Ha a (D) feladat teljesíti a Slater-feltételt és célfüggvénye alulról korlátos a D halmazon, akkor létezik y P optimális megoldás, amelyre x p i b T y = inf c T x + log ( ). x D k=1 qmedskip Állítás. Legyen P halmaz. A primál célfüggvény pontosan akkor korlátos felülről, ha a D. Állítás. Legyen A i = {e at i y c i : y P}, és A ω,i = {e at i y c i : y P ω }. 1. A 0 / A i pontosan akkor, ha az x T A = 0 x 0 megoldható és > Legyen P ω. A 0 / A ω,i pontosan akkor, ha az x T A θ b = 0, x 0, ahol θ 0 megoldható és > 0.
49 Lemmák Lemma. Legyen D h = {x IR n : x T A = 0, x 0}, és D + h = {x D h : x > 0}. Ha D + h és bármely x D + h : ct x + p k=1 h k(x) 0, akkor létezik ȳ IR m úgy, hogy e a T i ȳ c i 1, k = 1, 2,..., p, azaz P. Lemma. Legyen D + = {x D : x > 0}. Ha D + és c T x + p k=1 h k(x) alulról korlátos, akkor P és létezik ȳ P úgy, hogy b T ȳ = inf x D {ct x + p h k (x)}. k=1 Következmény. 1. Ha D + és P, akkor létezik ȳ P úgy, hogy b T ȳ = sup y P 2. Legyen D +. A c T x + p k=1 h k(x) pontosan akkor korlátos alulról, ha a P. b T.
50 Tételek Dualitás tétel. 1. Ha P és D, akkor sup y P b T y = inf x D {ct x + 2. Ha P és létezik ȳ P úgy, hogy b T ȳ = sup y P p h k (x)}. k=1 b T y, akkor D és a b T ȳ = inf x D {ct x + p h k (x)}. k=1 Tétel. Ha D = és létezik µ IR szám, amelyre µ = inf x D {ct x + p k=1 h k(x)}, akkor bármely ε > 0 esetén, létezik y IR m úgy, hogy e a T i y c i 1 + ε, k = 1, 2,..., p és lim sup b T y = µ. ε 0 y P
51 Lagrange függvény: geometriai programozás Definíció. Legyen a Φ : IR m IR n IR Lagrange-függvény a következő összefüggéssel adott x p i Φ(x, y) := c T x b T y x T A y + log ( ), ahol I 1, I 2,..., I p Az x IR m, y IR n k=1 halmazok az I indexhalmaz partícióját alkotják. pontpárt nyeregpontnak nevezzük, ha Φ(x, y) Φ(x, y ) Φ(x, y ) bármely x 0, y IR n. Tétel. Az x IR m, y IR n pontpár pontosan akkor optimális megoldása a primál és duál geometriai programozási feladatnak, ha nyeregpontja a Φ Lagrange-függvénynek. Bizonyítás. Bizonyítsa be a tételt közvetlenül, általánosabb eredmény felhasználása nélkül.
52
10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
Részletesebben4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
Részletesebben11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek
RészletesebbenLineáris programozás belsőpontos
Lineáris programozás belsőpontos módszerei illes@math.elte.hu Operációkutatási Tanszék Budapest 2007. február - április Speciális lineáris programozási feladat (példa) Legyen adott a következő lineáris
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 14. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 14. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2012. Nem maradt rá idő 1. Feltétel nélküli optimalizálás 1.1. Az eljárások alapjai A feltétel nélküli
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenNemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenAz ellipszoid algoritmus
Az ellipszoid algoritmus Csizmadia Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem Bevezető Az ellipszoid módszert a nemlineáris porgramozásra Shor [1970,0977] illetve Yudin és Nemirovskiî [1976] feljlesztették ki.
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenIlles, Tibor (2014) Lineáris optimalizálás : elmélete és belsőpontos algoritmusai. [Report], / Strathprints
Illes, Tibor (2014) Lineáris optimalizálás : elmélete és belsőpontos algoritmusai. [Report], 10.13140/2.1.5086.4004 This version is available at https://strathprints.strath.ac.uk/55708/ Strathprints is
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenNem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenA lineáris programozási feladat optimális bázismegoldásának el állítása polinom id ben
Eötvös Loránd Tudományegyetem A lineáris programozási feladat optimális bázismegoldásának el állítása polinom id ben diplomamunka Majoros Csilla Témavezet : Illés Tibor egyetemi docens ELTE-TTK Operációkutatási
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
RészletesebbenFourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
Részletesebben