Nemlineáris programozás: algoritmusok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Nemlineáris programozás: algoritmusok"

Átírás

1 Nemlineáris programozás: algoritmusok Operációkutatási Tanszék Budapest I. félév

2 Feltétel nélküli optimalizálási feladat Feltétel nélküli optimalizálási feladat: Legyen adott az f : IR n IR folytonosan differenciálható függvény. Keressük a globális minimumhelyét, azaz oldjuk meg a feladatot. min x IR n f(x) Feltétel nélküli optimalizálás keretalgoritmus Bemenő adatok: f : IR n IR függvény, x 0 IR n induló megoldás, ε > 0 pontossági paraméter, k := 0 számláló Begin while megállási feltétel nem teljesül do begin Keressünk egy csökkenési irányt, s k, azaz s k IR n : δf(x k, s k ) < 0 if nem létezik csökkenési irány then x k optimális megoldása a feladatnak else iránymenti minimalizálás: λ k := argmin λ f(x k + λ s k ) endif x k + λ k s k, k := k + 1 endwhile ε-optimális megoldást állítottuk elő end.

3 Keretalgoritmus elemzése Megállási feltétel Nem lehet eléggé javítani a célfüggvény értékét f(x k ) f(x k+1 ) 1 + f(x k ) ε Iterációk túl közel esnek egymáshoz Gradiens normája kicsi Newton lépés hossza kicsi Csökkenési irány Legyen x, s IR n, f : IR n IR adott és λ IR. Az f függvény x pontbeli s irányú iránymenti deriváltját δf(x, s) jelöli, ahol a létezik és véges. δf(x, s) = lim λ 0 f(x + λs) f(x) λ Az s irányt csökkenési iránynak nevezzük, ha δf(x, s) < 0.

4 Iránymenti minimalizálás Legyen adott az f : IR n IR folytonosan differenciálható függvény, egy x megoldás és egy hozzátartozó s csökkenési irány. Legyen a φ : IR IR függvény a következő képlettel adott, azaz φ(λ) := f(x + λ s). Ekkor a φ függvény is folytonosan differenciálható. Iránymenti minimalizálás: intervallum felezéssel Bemenő adatok: φ : IR IR függvény konvex a [λ 1, λ 2 ] intervallumon, ahol φ (λ 1 ) < 0 és φ (λ 2 ) > 0; ε > 0 pontossági paraméter; Begin while λ 1 λ 2 > ε do begin legyen λ = 1 2 (λ 1 + λ 2 ) if φ (λ) < 0 then λ 1 := λ else λ 2 := λ endif endwhile λ [λ 1, λ 2 ] end. Megjegyzés: Az algoritmus λ 1 λ 2 log 2 ε a kezdeti λ 1, λ 2 értékekkel. Az algoritmus nem differenciálható függvényekre is működik.

5 Iránymenti minimalizálás: aranymetszéssel Jelölje F n az n. Fibonacci számot, amelyre F n = F n 1 + F n 2, F 0 = F 1 = 1 Iránymenti minimalizálás: α k paraméterrel Bemenő adatok: φ : IR IR függvény konvex a [λ 1, λ 2 ] intervallumon; ε > 0 pontossági paraméter; lépéshossz paraméter: 0 < α k < 1; k = 2 számláló; Begin while λ 1 λ 2 > ε do begin legyen 1 α k = F k 1 F k számoljuk ki β 1 = λ 1 + α k (λ 2 λ 1 ), β 2 = λ 1 + (1 α k ) (λ 2 λ 1 ) (és β 1 < β 2 ) if φ(β 1 ) < φ(β 2 ) then λ 1 := β 1 else λ 2 := β 2 endif k := k + 1 endwhile λ [λ 1, λ 2 ] end. Megjegyzés: Ha az 1 α k = akkor az aranymetszéses módszerről beszélünk.

6 Iránymenti minimalizálás: Newton módszerrel Legyen adott az f : IR n IR kétszer folytonosan differenciálható függvény, egy x megoldás és egy hozzátartozó s csökkenési irány. Legyen a φ : IR IR függvény a következő képlettel adott, azaz φ(λ) := f(x + λ s). Ekkor a φ függvény is kétszer folytonosan differenciálható. A φ(λ) függvény másodrendű közelítését valamely λ 0 pontban a következő módon adhatjuk meg q(λ) = φ(λ 0 ) + φ (λ 0 ) (λ λ 0 ) φ (λ 0 ) (λ λ 0 ) 2. A q(λ) függvény minimum helye ekkor a λ = λ 0 φ (λ 0) φ (λ 0). Iránymenti minimalizálás: Newton módszerrel Bemenő adatok: λ 0 kezdőpont; k = 0 számláló; ε > 0 pontossági paraméter; Begin while λ k+1 λ k > ε do legyen λ k+1 = λ k φ (λ k ) φ (λ k ) és k := k + 1 endwhile λ k+1 közelítő megoldás end.

7 Newton módszer: variánsai Két ponttal indítjuk el a Newton módszert, azaz adottak λ 0, λ 1, φ(λ 1 ), φ (λ 1 ), φ (λ 0 ) és ekkor a kvadratikus közelítés Ekkor az új közelítő megoldás a lesz. q(λ) = φ(λ 1 ) + φ (λ 1 ) (λ λ 1 ) + φ (λ 0 ) φ (λ 1 ) (λ λ 1 ) 2. λ 0 λ 1 2 λ = λ 1 φ (λ 1 ) λ 0 λ 1 φ (λ 0 ) φ (λ 1 ) Newton módszer, harmadrendű közelítés esetén λ 0, λ 1, φ(λ 0 ), φ(λ 1 ), φ (λ 0 ), φ (λ 1 ) és ekkor az új közelítő megoldás a λ = λ 1 (λ 1 λ 0 ) φ (λ 1 ) + α 2 α 1 φ (λ 1 ) φ (λ 0 ) + 2 α 2, ahol α 1 = φ (λ 0 ) + φ (λ 1 ) 3 φ(λ 0) φ(λ 1 ) és α 2 = α λ 0 λ 1 2 φ (λ 0 ) φ (λ 1 ). 1 Ezek alapján hatékonyabb Newton algoritmus variánsokat lehet készíteni!

8 Newton módszer: variánsai (folytatás) Egy érdekes modell, amelyik esetén az eredeti függvény differenciálhatóságát nem is kívánjuk meg, a következő: legyen ismert három pont λ 0, λ 1, λ 2 és a hozzá tartozó függvény értékek φ 0 = φ(λ 0 ), φ 1 = φ(λ 1 ), φ 2 = φ(λ 2 ). Ekkor a három pontra illeszkedő másodrendű (közelítő) modellt tudunk konstruálni 3 j i q(λ) = φ (λ λ j) i j i (λ i λ j ) ekkor az új közelítő megoldás λ = 1 2 ahol α ij = λ i λ j és β ij = λ 2 i λ2 j. i=1 β 23 φ 1 + β 31 φ 2 + β 12 φ 3 α 23 φ 1 + α 31 φ 2 + α 12 φ 3, Megjegyzés. Az előző harmadrendű közelítéses modell esetén a Newton módszer konvergenciájának a nagyságrendje 2,0 míg a deriváltakat nem igényelő másodrendű közelítésé 1,3.

9 Gradiens módszer Gradiens módszer. Legyen adott az x 0 IR n tetszőleges pont és számítsuk ki k = 0, 1, 2,... esetén az x k+1 IR n pontokat az alábbi képlettel ahol x k+1 = x k α k g k, α k = arg min α f(x k α g k ) és g k = f(x k ). Állítás. Legyen adott az f : IR n IR folytonosan differenciálható függvény és az x 0 IR n tetszőleges pont. Ekkor a gradiens módszerrel előállított x k pontsorozat lokális minimumba tart. Megjegyzés. nevezni. A gradiens módszert szokás még a legmeredekebb csökkenés módszerének is Legyen adott az f : IR n IR kétszer folytonosan differenciálható függvény. A keresési irány meghatározása az optimalizálási feladat célfüggvényének a másodrendű közelítésén alapul, azaz q(x) = f(x k ) + f(x k )(x x k ) (x x k) T 2 f(x k ) (x x k ).

10 Newton-módszer Erre a közelítésre alkalmazzuk a gradiens módszert, azaz q(x) = 0 az elsőrendű optimalitási feltétele a min x IR q(x) n szélsőérték feladatnak. Az optimalitási kritériumot felhasználva 0 = q(x) = f(x k ) + 2 f(x k ) (x x k ), és ebből kiszámítható, az x = x k ( 2 f(x k )) 1 f(x k ). Newton módszer. Legyen adott az x 0 IR n tetszőleges pont, és számítsuk ki k = 0, 1, 2,... esetén az x k+1 IR n pontokat az alábbi képlettel x k+1 = x k ( 2 f(x k )) 1 f(x k ), ahol 2 f(x k ) az f függvény Hesse-mátrixa. Megjegyzés. 1. Ha a 2 f(x k ) pozitív definit mátrix bármely k index esetén akkor a minimum egyértelműen vétetik fel. 2. A klasszikus Newton-módszer esetén nem alakalmazunk iránymenti minimalizálást. Ha messze vagyunk a megoldástól, akkor szükséges iránymenti minimalizálást alkalmazni és ekkor un. tompított Newton-módzsert alkalmazunk. 3. A Newton-módszer alkalmazásának a legszámításigényesebb lépése a Hesse-mátrinverzének a kiszámítása.

11 Newton-módszer tulajdonságai Tétel. Legyen adott az f : IR n IR kétszer folytonosan differenciálható függvény, és M = ( 2 f(x)) 1 IR n n pozitív definit mátrix. Ekkor s = M f(x) is csökkenési irány. Állítás. Legyen adott az f : IR n IR kétszer folytonosan differenciálható függvény és az x 0 IR n tetszőleges pont. Ekkor a Newton-módszerrel előállított x k pontsorozat lokális minimumba tart, ha a 2 f(x) IR n n Hesse-mátrix, pozitív definit mátrix. Megjegyzés. Ha az f függvény nem szigorúan konvex, vagy a Hesse-mátrixa rosszulkondícionált, λ max( 2 f(x k )) λ min( 2 f(x k nagy, akkor a Hesse-mátrix nehezen invertálható. )) Trust region módszer. Legyen adott az f : IR n IR kétszer folytonosan differenciálható függvény, és adott az x 0 IR n tetszőleges pont, és számítsuk ki k = 0, 1, 2,... esetén az x k+1 IR n pontokat az alábbi képlettel x k+1 = x k ( 2 f(x k ) + α I) 1 f(x k ), ahol 2 f(x k ) az f függvény Hesse-mátrixa és α IR. Megjegyzés. Ha az α = 0, akkor a Newton-módszert kapjuk vissza, míg, ha az α, akkor a csökkenési irányunk párhuzamos lesz a gradiens módszer csökkenési irányával.

12

13

14 Nem szimmetrikus, konvex kvadratikus programozási feladatpár Konvex kvadratikus programozási feladat: (QP) { min q(x) = c T x xt Qx Ax = b, x 0 ahol a Q IR n n szimmetrikus pozitív szemidefinit mátrix, az A IR m n adott mátrix és rank(a) = m, b IR m, c IR n, x IR n vektorok. Duál feladat: (QD) max d(x, y) = b T y 1 2 xt Qx A T y Qx + s = c, s 0 ahol az y IR m vektor. Ekkor a primál és duál megengedett megoldások halmaza P = { x IR n : Ax = b, x 0 } és D = { y IR m, x, s IR n : A T y Qx + s = c, s 0 }, továbbá jelölje a (QP ) és a (QD) feladatok optimális megoldás halmazát a P = { x P : q(x ) q(x), x P } illetve a D = { (y, x, s ) D : d(x, y ) d(x, y), (y, x, s) D } halmazok. Kérdés. Hogyan állítottuk elő a primál feladatból a duál feladatot? Feladat. Bizonyítsa be a (QP ) és (QD) feladatok között fennálló gyenge dualitás tételt és mutassa meg, hogy az optimalitás szükséges és elégséges feltétele a komplementaritás: x T s = 0.

15 Logaritmikus barrier függvény A P + = P IR n + = { x IR n : Ax = b, x > 0 } pozitív (primál) megoldások (belsőpontok) halmazához hasonlóan, bevezethetjük a pozitív (duál) megoldások halmazát D + = { y IR m, x, s IR n : A T y Qx + s = c, s > 0 } D. Tekintsük az f : IR n+1 + IR képező függvényt f(x, µ) := 1 µ q(x) n j=1 ln x j = ct x xt Qx µ n ln x j, ahol µ > 0 barrier paraméter és x P +. Az f függvényt a (QP ) feladathoz tartozó logaritmikus barrier függvénynek nevezzük. Az f függvény x szerinti első és második deriváltja g = f(x, µ) = c + Qx µ ahol az X = diag(x), f(x, µ) IR n és 2 f(x, µ) IR n n. j=1 X 1 e, H = 2 f(x, µ) = 1 µ Q + X 2, Feltevés: (i) a P korlátos halmaz, és (ii) létezik x P : x > 0. Az (ii) feltételt, úgy is kifejezhetjük, hogy P +. Ezt nevezzük belsőpont feltételnek. Tekintsük a min x P + f(x, µ) } (QP (µ)) konvex programozási feladatot, rögzített µ > 0 barrier paraméter esetén.

16 Feladatok, centrális út Feladat. Tegyük fel, hogy a P Bizonyítsa be, hogy az f függvény a P + halmazon szigorúan konvex függvény, és a P + halmaz határán, végtelen. Igazolja továbbá azt is, hogy az f logaritmikus barrier függvény, a minimumát egyértelműen veszi fel. 2. Bizonyítsa be, hogy a lim f(x, µ) = q(x), bármely x P + esetén. µ Jelölje az x (µ) az f logaritmikus barrier függvény minimumhelyét rögzített µ esetén. Bizonyítsa be, hogy a lim µ 0+ f(x (µ), µ) = q(x ), ahol x P Feladat. Bizonyítsa be, hogy a (QP (µ)) konvex programozási feladatnak, az egyértelmű minimum, elsőrendű szükséges és elégséges optimalitási feltételei az alábbiak A T y Qx + s = c, s 0 (1) Ax = b, x 0 (2) Xs = µe (3) Vezessük be a primál- és a duál centrális utat a (QP (µ)), µ > 0 feladatok optimális megoldásainak a segítségével C P = { x(µ) IR n + : az (x(µ), y(µ), s(µ)) kielégíti az (1) (3) feltételeket }, C D = { (y(µ), s(µ)) IR m+n : az (x(µ), y(µ), s(µ)) kielégíti az (1) (3) feltételeket és s(µ) > 0 }. Ekkor nyilván a C P P + és C D D + teljesül.

17 Monotonitás a centrális út mentén Feladat. Bizonyítsa be, hogy a C P és C D egy paraméteres (µ > 0) görbék, a µ paraméter szerint végtelen sokszor differenciállható görbék. Dualitás rés: q(x) d(x, y) = x T s Dualitás rés a centrális utak mentén pedig q(x(µ)) d(x(µ), y(µ)) = x(µ) T s(µ) = n µ. Lemma. A (QP ) primál feladat q(x(µ)) célfüggvénye csökken, a (QD) duál feladat d(x(µ), y(µ)) célfüggvénye pedig nő, ha µ csökken. Bizonyítás. Az x(µ) és az y(µ) kielégíti az (1)-(3) egyenleteket, ezek µ szerinti deriváltja: Az (1) és (5) egyenletek felhasználásával: A T y (µ) Qx (µ) + s (µ) = 0 (4) Ax (µ) = 0 (5) X(µ)s (µ) + S(µ)x (µ) = e (6) c T x (µ) = (s(µ) Qx(µ) + A T y(µ)) T x (µ) = s(µ) T x (µ) x(µ) T Qx (µ). (7) Az egyszerűbb jelölés érdekében hagyjuk el a µ paraméter feltüntetését. A (7), (6) és (3) egyenleteket használtuk fel. Az utolsó egyenlőség pedig a (4) és (5) egyenletekből adódik, figyelembe véve az s = Q x A T y összefüggést is. q(x) = c T x + x T Qx = s T x = e T Sx = (Sx + Xs ) T Sx = x T S 2 x + µ (s ) T x = (x ) T S 2 x + µ (x ) T Qx 0.

18 Összegezve az előző számítást azt kapjuk, hogy Lemma bizonyítása q(x(µ)) = (x(µ)) ) T S 2 x(µ)) + µ (x(µ)) ) T Qx(µ)) 0, hiszen S = diag(s) pozitív diagonális és a Q pedig pozitív szemidefinit mátrix, valamint a µ pozitív valós szám. Tehát a primál célfüggvény monoton nő, ha µ monoton nő, ez pedig pontosan azt jelenti, hogy ha a µ tart a nullához, akkor a primál célfüggvény monoton csökken. A lemma második felének bizonyításához szorozzuk meg a (6) egyenletet az AS 1 mátrixszal: AS 1 Xs + Ax = AS 1 e az (5) összefüggésből AS 1 Xs = AS 1 e adódik, azaz Xs = e. Ez alapján pedig következik és ekkor a (8), (4) és (6) egyenletek alapján b = Ax = AXe = AX 2 s (8) b T y = (A T y ) T X 2 s = (x ) T QX 2 s (s ) T X 2 s = (x ) T QX(e Sx ) (s ) T X 2 s. Tehát a (3) összefüggést is alkalmazva d (x(µ), y(µ)) = b T y (x ) T Qx = (x ) T QXSx (s ) T X 2 s = µ (x ) T Qx (s ) T X 2 s 0, adódik, hiszen a Q pozitív szemidefinit és az X 2 pozitív diagonális mátrixok.

19 Vetített Newton-lépés A vetített Newton-lépés az f(x, µ) függvény kvadratikus közelítésének f 2 (x, µ) = f( x, µ) + g T (x x) (x x)t H(x x) a minimalizálásának felel meg az A x = b affin altéren, azaz p = x x helyettesítéssel az iránykereső feladat a következő lesz (NI) { min 1 2 pt Hp + g T p A p = 0, x + p 0 Vezessük be az (NI) iránykereső feladat Lagrange-függvényét L(p, u) = 1 2 pt Hp + g T p u T Ap, ahol u IR m, és írjuk fel a Karush-Kuhn-Tucker optimalitási kritériumokat, ekkor p L(p, u) = Hp + g u T A = 0, (9) u L(p, u) = Ap = 0. (10) Ez azt jelenti, hogy valamely x P + és µ > 0 esetén a Newton-irányt p = p( x, µ) IR n a következő egyenletrendszer megoldásával állíthatjuk elő H p + A T u = g, A p = 0. (11)

20 Newton irány kiszámítása A (11) egyenletrendszer megoldását két különböző alakban írhatjuk fel: 1. képtér formula (explicit alak): p(x, µ) = H ( I A T (AH 1 A T ) 1 AH 1) g 2. nulltér formula (implicit alak): p(x, µ) = Z(Z T HZ) 1 Z T g, ahol Z IR n (n m) mátrix, amelynek az oszlopai lineárisan függetlenek, és ortogonálisak az A mátrix sorterére azaz A Z = 0. Feladat. Bizonyítsák be, hogy a p IR n csökkenési iránya az f függvénynek az x P + pontban, azaz f( x + α p, µ) < f( x, µ) és x + α p P +, α (0, 1]. Az α (0, 1] lépéshossznak ki kell elégíteni az x + α p > 0 belsőpont feltételt, amelyet az (NI) feladat megoldásakor elhanyagoltunk.

21 Centralitás mértéke Centralitás mértéke: δ(x, µ) := X µ s e = min X µ (c + Qx AT y) e ahol x P + és (y, x, s) D +. Nyilvánvaló, hogy x C P és x = x(µ) δ(x, µ) = 0 (y, x, s) C D és y(x, µ) = y(µ). Vezessünk be további mértékeket, amelyek a centrális úttól való távolságot mérik: X 1 p(x, µ) és p(x, µ) 2 H(x,µ) := p(x, µ)t H(x, µ) p(x, µ), azaz egyszerűsítve a jelöléseket és a nulltér képletet használva p 2 H = gt Z(Z T HZ) 1 Z T g = p T g adódik. Az általánosság korlátozása nélkül, feltehetjük, hogy X 1 Z ortonormált mátrix, azaz (X 1 Z) T (X 1 Z) = I. Feladat. Bizonyítsa be a következő állításokat 1. Az (X 1 Z) (X 1 Z) T mátrix, az A X IR m n mátrix nullterére való vetítés. 2. Az (X 1 Z)v = v bármely v IR k vektor esetén, ahol Z IR n k mátrix. 3. A (X 1 Z) T w w bármely w IR n vektorra, és egyenlőség teljesül, ha w vektor eleme az A X mátrix nullterének. y

22 Centralitás mértékek összehasonlítása Lemma. Legyen x P + és µ > 0, ekkor X 1 p 2 p 2 H = pt g δ(x, µ) 2. Bizonyítás. Mivel a Q pozitív szemidefinit mátrix és µ > 0, ezért p 2 H = pt H p = p T (X µ Q) p pt X 2 p = X 1 p 2. Másfelöl, figyelembe véve azt, hogy a Z T X 2 Z = (X 1 Z) T X 1 Z = I és λ((i + 1 µ ZT QZ) 1 ) 1, azaz a mátrix sajátértékei egynél nem nagyobbak, a nulltér formulát használva g T p = g T Z(Z T X 2 Z + 1 µ ZT QZ) 1 Z T g = g T Z(I + 1 µ ZT QZ) 1 Z T g Z T g 2 (I µ ZT QZ) 1 Z T g 2 és az AZ = 0 alapján ( ) ( ) c + Qx X Z T g = Z T X 1 e = (X 1 Z) T µ µ (c + Qx AT y) e tehát g T p Z T g 2 X 2 µ (c + Qx AT y) e bármely y vektorra.

23 A centrális út környezete Lemma. Ha X 1 p(x, µ) < 1, akkor x + = x + p(x, µ) P + és (X + ) 1 p(x +, µ) p(x +, µ) H(x+,µ) δ(x +, µ) X 1 p(x, µ) 2 p(x, µ) 2 H(x,µ) δ(x, µ)2. Bizonyítás. Egyszerű behelyettesítés alapján A x + = A (x + p) = A x + A p = b + 0 = b és az X 1 p < 1 miatt az x + = x + p > 0 teljesül, azaz x + P +. Az állítás második részének a bizonyításához elegendő azt megmutatni, hogy a p Newtonirányhoz tartozó u vektorral definiált y = µ u esetén, a (9) azonosságot, és a g vektor illetve a H mátrix definícióját is figyelembe véve, a következő összefüggések teljesülnek δ(x +, µ) ( X+ µ (c + Q x+ A T y) e c + Q (x + p) = (X + P ) 1 ) µ µ AT y e ( c + Q x (X + P ) µ P X 2 p X 1 p 2, + Q p µ g H p ) e = (X + P ) (X 1 e X 2 p) e hiszen a többi egyenlőtlenséget az előző lemmához hasonlóan lehet belátni.

24 A logaritmikus barrier függvény megváltozása Lemma. Ha p H < 1 teljesül, akkor f(x, µ) f(x(µ), µ) p 2 H. 1 p 2 H Bizonyítás. Mivel az f barrier függvény konvex és a g = f(x, µ) gradiense, ezért adódik. f(x, µ) f(x + p, µ) ( f(x, µ)) T p = g T p = p 2 H Tekintsük az Newton lépés megismétlésével előálló x 0 = x, x 1, x 2,... pontsorozatot. Ekkor f(x, µ) f(x(µ), µ) = (f(, µ) f(+1, µ)) i=0 i=0 p 2i+1 H p 2 H 1 p 2. H

25 A célfüggvény megváltozása Lemma. Ha p H < 1 teljesül, akkor q(x) q(x(µ)) p H (1 + p H ) 1 p H µ n. Bizonyítás. Mivel a q(x) konvex függvény, ezért q(x) T p q(x + p) q(x) q(x + p) T p és felhasználva a q(x) = c + Q x = µ g + µ X 1 e összefüggéseket a következő alsókorlát adódik q(x) T p = µ g T p + µ p T X 1 e µ p 2 H µ p H n p H (1 + p H ) µ n. Felhasználtuk azt is, hogy az X 1 p p H. Most pedig előállítunk egy felsőkorlátot q(x + p) T p = c T p + p T Q (x + p) = (c T p + p T Q x) + p T Q p = µ g T p + µ p T X 1 e + p T Q p = µ p T ( Hp + A T u) + µ p T X 1 e + p T Q p = p T Q p µ p T X 2 p + µ p T X 1 e + p T Q p = µ e T X 1 p µ X 1 p 2 µ e T X 1 p µ n p H. Ekkor q(x) q(x + p) p H (1 + p H ) µ n. A bizonyítás hasonlóan fejezhető be, mint az előző lemmánál, azaz tekinteni kellene egy olyan pontsorozatot, amelyet a Newton iterációl segítségével állítottunk elő.

26 Logaritmikus barrier módszer Bemenő adatok: ɛ pontosságot ellenörző paraméter, τ a centralitást felügyelő paraméter, µ 0 a kezdeti barrier paraméter érték, θ a barrier paraméter csökkentését meghatározó érték, 0 < θ < 1 x 0 P +, amelyre p(x 0, µ 0 ) H(x0,µ 0) 2 1 begin x := x 0 ; µ := µ 0 while µ > 4n ɛ do begin (külső lépés) while p H τ do begin (belső lépés) α := arg min α>0 { f(x + α p, µ) : x + α p P + } x := x + α p end (belső lépés) µ := (1 θ) µ end (külső lépés) end. Tétel. Legyen τ = 1 2. A logaritmikus barrier módszer legfeljebb 1 θ log 4nµ0 ɛ külső iteráció után leáll egy x P +, primál megoldással, amelyre q(x) z ɛ, ahol z a feladat optimumértékét jelöli.

27 A logaritmikus barrier módszer komplexitás vizsgálata Lemma. Legyen ᾱ := (1 + p H ) 1. Ekkor f := f(x, µ) f(x + ᾱ p, µ) p H log(1 + p H ). Bizonyítás. Az f barrier függvény Taylor-féle sorfejtése az α lépéshosszra nézve, f(x + α p, µ) = f(x, µ) + α g T p α2 p T Hp + k=3 ( α) k k n ( pi i=1 ) k. A k. tagját (k 3) a sorfejtésnek az alábbi módon becsülhetjük meg ( α) k k n i=1 ( pi ) k αk k n ( ) k pi αk k i=1 ( n i=1 ( pi ) 2 ) k 2 Az első és másodrendű tagokra korábban kapott összefüggések alapján ( 1 ) f(x + α p, µ) f(x, µ) + 2 α2 α p 2 H + k=3 = αk k X 1 p k αk k p k H. α k k p k H = f(x, µ) α p 2 H log(1 α p H) α p H. Tehát f α ( p 2 H + p H) + log(1 α p H ). Elvégezve az α = ᾱ = (1 + p H ) 1 helyettesítést, kapjuk a kívánt állítást.

28 Belső iterációk száma Tétel. A logaritmikus barrier módszer, minden külső iterációban legfeljebb 11θ (1 θ) 2 (θn n) belső iteráció van. Bizonyítás. Jelölje a belső iterációban a µ paraméter értékét µ +, amíg az azt megelőző érték pedig µ, akkor µ + = (1 θ) µ. Minden iterációban p H τ = 1 2 tehát minden belső iterációban f 1 ( 2 log ) > Másfelöl jelölje a belső iterációk számát K, ekkor K 11 < f(x, µ+ ) f(x(µ + ), µ + ) = F (x, µ + ). A Lagrange-féle középérték tétel alapján létezik µ (µ +, µ) intervallumban, amelyikre F (x, µ + df (x, µ) ) = F (x, µ) + dµ (µ + µ). Felhasználva a µ= µ df (x, µ) dµ = q(x) µ 2 és df (x, µ) dµ df (x(µ), µ) dµ = µ= µ = q(x(µ)) µ 2 összefüggéseket azt kapjuk, hogy q(x) q(x(µ+ )) µ= µ (µ + ) 2, q(x) q(x(µ)) µ 2

29 Belső iterációk száma (folytatás) ahol az utolsó egyenlőtlenség, azért teljesül, mert µ + < µ. Ezek alapján F (x, µ + ) F (x, µ) + q(x) q(x(µ+ )) (µ + ) 2 (µ µ + ) F (x, µ) + Mivel p H 1 2, ezért egy korábbi lemma alapján ( q(x) q(x(µ)) µ + + q(x(µ)) q(x(µ+ )) µ + ) µ µ + µ +. p 2 H F (x, µ) = f(x, µ) f(x(µ), µ) 1 p 2 1 3, másfelöl H q(x) q(x(µ)) p H (1 + p H ) µ n 3 1 p H 2 µ n és a célfüggvények centrális út menti monotonitását kihasználva q(x(µ)) q(x(µ + )) q(x(µ)) d(x(µ), y(µ)) + d(x(µ + ), y(µ + )) q(x(µ + )) = n(µ µ + ) = θ n µ. Ezeket a felsőkorlátokat felhasználva f(x, µ + ) f(x(µ + ), µ + ) = F (x, µ + ) 1 ( 32 n θ + θ n ) θ 1 θ 1 θ = 1 ( 3 + θ 3 ) n + θ n (1 θ) 2. 2 Következmény. Felsőkorlát az összes Newton-iterációra a logaritmikus barrier algoritmus esetén [ 11 (1 θ) 2 ( 3 2 ) n + θ n + 11 ] 3 θ log 4 nµ0. ɛ

30 További lemmák Lemma. Legyen x + = x + p(x, µ). Ha p(x, µ) H (x, µ) 1 akkor δ := δ(x +, µ) 1 és y := y(x +, µ) duál megengedett megoldás. Továbbá, a dualitás résre a következő egyenlőtlenség teljesül µ (n δ n) q(x + ) d(x +, y) µ (n + δ n). Bizonyítás. Egy korábbi lemma alapján δ(x +, µ) p(x, µ) 2 H (x, µ) 1. A duál eltérés változó definíciója alapján s(x, µ) = c + Q x A T y(x, µ). Ekkor a δ(x +, µ) = X+ s(x +, µ) e µ 1. Ebből következik, hogy s(x +, µ) 0, ezért az y(x +, µ) duál megengedett megoldás. Továbbá, ( (x+ ) T s(x +, µ) n X µ = e T + s(x +, µ) e) e µ X+ s(x +, µ) e µ = δ n. Figyelembe véve, hogy (x + ) T s(x +, µ) = q(x + ) d(x +, y), adódik a lemma állítása. Lemma. Legyen µ + := (1 θ) µ ekkor δ(x, µ + ) 1 1 θ (δ(x, µ) + θ n).

31 További lemmák (folytatás) Bizonyítás. A δ centralitás mértéke alapján δ(x, µ + ) = X s(x, µ+ ) µ + X s(x, µ) µ + = 1 1 θ 1 1 θ (δ(x, µ) + θ n). ( ) X s(x, µ) e + µ ( 1 1 θ 1 ) e Lemma. Legyen x + = x + p(x, µ) és µ + := (1 θ) µ, ahol θ = 1 9 n. Ha δ(x, µ) 1 2 akkor δ(x +, µ + ) 1 2. Bizonyítás. Az előző lemma alapján δ(x, µ + ) n ( ) Alkalmazzuk a kvadratikus konvergenciára vonatkozó eredményt, azaz δ(x +, µ + ) δ(x, µ + ) < 1 2.

32 Jelölések, definíciók

33 Lineáris feltételes konvex optimalizálási feladat Adott a következő lineáris feltételes konvex optimalizálási feladat, (P ) min {f (x) A x = b, x 0}, ahol f : IR n IR konvex függvény, A IR m n teljes sorrangú mátrix és x IR n, b IR m. Jelölje P = {x IR n A x = b, x 0} illetve P + = {x P x > 0} a megengedett megoldások illetve a belsőpontok halmazát. Feltesszük, hogy 1. P +, sőt ismerünk egy x 0 P + pontot; 2. a P korlátos halmaz; 3. az f függvénynek létezik a második deriváltja a P + halmazon. Definíció. Legyen az f : IR n IR függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény kielégíti a skálázott Lipschitz feltételt, ha adott 0 < β < 1 esetén létezik M > 0, amelyre [ X f (x + x) f (x) 2 f (x) x ] M x T 2 f (x) x, ahol x > 0 X = diag(x) és X 1 x β. Zhu-tétel. A konvex függvények osztálya kielégíti a skálázott Lipschitz feltételt (slf), az M 1, konstanssal, amely független a feladat változóinak a számától, azaz M = O(1). Vezessük be, a következő lineáris feltételes logaritmikus büntetőfüggvényes feladatot, (P µ ) { } f (x) n min µ log A x = b, ahol µ > 0. i=1

34 Paraméteres centrális út Definíció. Legyen x P +. Azt mondjuk, hogy az x pont, a µ paraméterű α úton van, ha létezik az s = f(x) A T y, valamely y IR m esetén úgy, hogy x s µ e α µ, ahol 0 < α < 1. Algoritmus (rövid lépéses). Bemenő adatok: ε > 0 számítási pontosság, 0 < α, γ < 1 paraméterek, x 0 P +, µ 0 < 1 (1+α) n ε és x 0 s 0 µ e α µ 0, Begin x := x 0, µ := µ 0 while µ ε (1+α) n x := x + x; µ := (1 γ)µ; endwhile end. do

35 Az algoritmus komplexitása Definíció. Ha egy (nemlineáris optimalizálási) algoritmusnak egy ε-optimális megoldás előállításához szükséges számítási igénye, a változók számának, n és a pontossági paraméter logaritmusának, az log ε a polinomjával korlátozható felülről, akkor az algoritmust polinomiális algoritmusnak nevezzük. Tétel. Legyen adott a (P ) feladat és tegyük fel, hogy az f függvény kielégíti a skálázott Lipschitz feltételt. Egy ε > 0 pontosságú megoldás eléréséhez O( n log ε) számú iterációra van szükség. Bizonyítás. Igazoljuk, hogy 1. µ k ε (1+α) n elérésehez O( n log ε ) iterációra van szükség, 2. ha x ε a (P ) feladat optimális megoldása, és x a µ k (1+α) n akkor az f(x ) [f(x) ε, f(x)]. Először belátjuk az első állítást. Mivel µ k = µ 0 (1 γ n ) k, és (1 γ n ) < 1, azért log µ 0 + k log ( paraméterű α úton van, 1 γ n ) = log µ k log ε log(1 + α) n átalakítva és felhasználva a µ 0 definícióját k log ε log (1 + α) n log µ 0 log ε log (1 + α) n + log ((1 + α) n ε) 2 log ε ( ) ( ) = ( ). log 1 γ n log 1 γ n log 1 γ n Igaz továbbá, hogy k 2 log ε ( ) 2 n ( log ε). log 1 γ γ n

36 Komplexitás bizonyítása Legyen s = f(x) A T y 0, x IR n, úgy, hogy A x = b és y IR m. Ekkor igaz az alábbi: f (x) f (x ) f (x) x T s. Az első egyenlőtlenség nyilvánvaló, a második az alábbiakból következik: f (x ) f (x) x T s = b T y x f (x), figyelembe véve azt, hogy az f(x) konvex függvény, így f (x ) f (x) (x x) T f (x), ezért annyi kell, hogy x T f (x) b T y ami következik abból, hogy s 0, azaz x T f (x) x T A T y = b T y Feltettük, hogy az x pont a µ paraméterű α úton van, ezért s i (1 + α) µ és így x T s (1 + α) nµ, amiből következik, hogy a µ-re tett feltétel miatt f (x) f (x ) f (x) (1 + α) nµ, f (x) f (x ) f (x) ε.

37 Jelölések, definíciók

38 Geometriai programozási feladat Tekintsük a következő nemlineáris programozási primál duál feladatpárt max b T y e a T i y c i 1, k = 1, 2,..., r (P ) ahol A IR n m mátrix és az b IR m, c IR n, y IR m vektorok és I = {1, 2,..., n} olyan index halmaz, amelyre I = I 1 I 2 I r diszjunkt felbontás. x r min c T i i I x + log k ( ) k=1 i I x k i (D) x T A = b, x 0 A (P ) és (D) feladatokat primál- és duál geometriai programozási feladatnak nevezzük. A primálés a duál megengedett megoldás halmaz legyen rendre { } P = y IR m : e a T i y c i 1, k = 1, 2,..., r és D = { x IR n : x T A = b, x 0 }. Kérdés. Konvex halmaz-e a P?

39 A feladatpárban szereplő függvények tulajdonságai Definíció. Legyen az A IR m konvex, nem üres halmaz és g : A IR adott függvény. A g függvényt logaritmikusan konvex függvénynek nevezzük, ha bármely y 1, y 2 A és λ [0, 1] esetén g (λ y 1 + (1 λ) y 2 ) (g(y 1 )) λ (g(y 2 )) 1 λ. Lemma. Legyen a g k : IR m IR + függvény a következő képlettel adott g k (y) := e a T i y c i. A primál feladat feltételében szereplő g k függvények logaritmikusan konvexek. Továbbá a logaritmikus konvexitás feltételében szereplő egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül egyenlőséggel, ha bármely i, j k esetén (a i a j ) T (y 1 y 2 ) = 0 teljesül, feltéve, hogy 0 < λ < 1. Lemma. Legyen a h k : D IR, függvény a következő képlettel adott h k (x) = log ( x xi i ), (k = 1, 2,..., r) ekkor a h k függvényeknek a következő tulajdonságaik vannak: (i) h k (x) 0 (ii) h k (λ x) = λ h k (x) ha λ 0 (pozitív homogén) (iii) h k (x + x) h k (x) + h k ( x) (szubadditív) és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha bármely i I k esetén az =.

40 Geometriai egyenlőtlenség és következménye Geometriai egyenlőtlenség. Legyen a, b IR m, akkor m i=1 m a i b i i=1 m b i i=1 m ( ai b i i=1 ) bi, teljesül, ahol a, b IR esetén ( a b ) 0 = 1. Gyenge dualitás tétel. Legyen y P és x D ekkor p b T y x T c + log( és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha k=1 ) e at i y c i = bármely i I k, és k = 1, 2,..., p. Bizonyítás. Mivel y P, ezért 0 e a T i y c i 1, k = 1, 2,..., r

41 A geometriai programozás gyenge dualitás tétele és az x D miatt x 0. Alkalmazzuk a geometriai egyenlőtlenséget, ekkor e a T i y c i ( e at i y c i ) xi egyszerű átalakítások után kapjuk, hogy 1 ( e at i y c i ) ( e at i y c i ) xi ( ) = ( ) e ( a T i y c i ) ahol k = 1, 2,..., p. Felhasználva az előző egyenlőtlenséget egyszerűen adódik az p 1 k=1 ( ) e ( a T i y c i ) = i I ( ) i I x k p i = x i e k=1 ( ) p k=1 i I x T A y x T c e bt y x T c.

42 A gyenge dualitás tétel bizonyítása Vegyük az előző egyenlőtlenség mindkét oldalának a logaritmusát és a logaritmus függvény monotonitása miatt ( ) i I x k p i 0 b T y x T c + log x i, k=1 melyet átrendezve kapjuk a gyenge dualitás tétel egyenlőtlenségét. Az első egyenlőtlenségben egyenlőség van, ha = 0 vagy e at i y c i = e a T i y c i amiből e at i y c i e a T i y c i = 1 és = adódik, bármely i I k esetén, azaz e at i y c i = teljesül, bármely i I k esetén, mert x = 0 nem lehetséges, ha b 0.

43 Slater-féle regularitási feltétel Következmény (Gyenge equilibrium tétel). Legyen ȳ P, x D és x > 0, amelyre e at i ȳ c i = teljesül, bármely i I k, indexre, ahol k = 1, 2,..., p. Ekkor bármely x D vektorra x p xi i b T ȳ = x T c + log( ) k=1 i I x k i teljesül. Slater-féle regularitási feltétel: Legyenek adottak a (P ) és (D) geometriai programozási feladatok. Ha létezik ỹ P vektor, amelyre e a T i ỹ c i < 1, teljesül k = 1, 2,..., p indexek esetén.

44 Dualitás tétel Dualitás tétel. Tegyük fel, hogy a primál feladat teljesíti a Slater-feltételt és a célfüggvénye felülről korlátos a P halmazon. Ekkor létezik x D duál optimális megoldás és c T x + p log ( k=1 x i x x i i ) x i = sup y P b T y Bizonyítás. A tétel feltételei miatt létezik µ : sup y P b T y = µ véges szám. Ekkor a µ b T y < 0 e a T i y c i 1 0 rendszer nem oldható meg. Vezessünk be új változókat a T i y c i ε i, ahol az i = 1, 2,..., I k indexek és így azt kapjuk, hogy a µ b T y < 0 a T i y c i ε i 0 e εi 1 0 rendszer sem oldható meg, ahol y IR n, (ε 1, ε 2,..., ε m ) IR m. Alkalmazzuk a konvex Farkas tételt, ekkor létezik λ k, x i 0 számok úgy, hogy

45 Dualitás tétel bizonyítása p µ b T y + ( ) λ k e εi 1 + k=1 i=1 m x i (at i y c i ε i ) 0 teljesül, bármely y IR n, (ε 1, ε 2,..., ε m ) IR m esetén. Átrendezve az előzőt ( m ) ( ) p m µ + y T x i a i b + λ k e ɛi 1 x (c i + ε i ) 0 i=1 i=1 Ha a m x i a i b 0 i=1 k=1 akkor y megválasztható lenne úgy, hogy az előző egyenlőtlenség ne teljesüljön, tehát (x ) T A = b és x 0 miatt x D, és így ( ) p m µ + λ k e ɛi 1 x i (c i + ε i ) 0 teljesüljön. i=1 k=1 1. eset: Ha az x i > 0 teljesül bármely i indexre, akkor legyen ε i = log x i Behelyettesítve az ε i értékeket az előzőbe p µ + x m i 1 + ci log x i 0 k Ik λ k x k=1 i x i x i=1 i x i i I k esetén. vagyis

46 Dualitás tétel: 1. eset µ c T x + p log ( k=1 x i x x i i ) x i A gyenge dualitás tétel miatt a fordított irányú egyenlőtlenség is igaz. Ebben az esetben tehát igaz az állítás. 2. eset: Ha léteznek olyan i indexek, amelyekre x i = 0 akkor a ( ) p m µ + λ k e ɛi 1 x i (c i + ε i ) 0 egyenlőtlenség miatt k=1 i=1 p µ + λ p k e εi 1 + λ k e εi + x i ( c i ε i ) 0, x i >0, x i =0 x i >0 k=1 k=1. Ha x i > 0 akkor legyen ε i = log x i x i és ha x i = 0 akkor a ε i értékét válasszuk meg úgy, hogy p λ k k=1, x i =0 e εi θ, θ > 0 teljesüljön. Ekkor

47 Dualitás tétel: 2. eset µ + θ x i c i + i:x i >0 p log ( k=1 x i x, x i >0 i ), x i >0 x i, x i >0 x i = c T x + p log ( k=1 x i x x i i ) x i. teljesül bármely θ > 0 esetén. Tehát a gyenge dualitás tételt is felhasználva, a fordított egyenlőtlenség is teljesül. Lemma. 1. Legyen y P és ȳ IR m : A ȳ 0. Ekkor (y + θ ȳ) P teljesül, bármely θ 0 esetén. 2. Ha y P, akkor A y c. Következmény. Legyen P ω := {y P : b T y ω}, felső szinthalmaza a (P ) feladatnak. 1. Legyen P. A P pontosan akkor korlátos, ha C(a 1, a 2,..., a m ) = IR n. 2. Legyen P és korlátos, akkor az x T A = 0 egyenletrendszernek létezik x > 0 megoldása. 3. Ha P és korlátos, továbbá D, akkor D nem korlátos. 4. A P ω, pontosan akkor korlátos halmaz, ha C(a 1, a 2,..., a m, b) = IR n. 5. Ha a P ω korlátos halmaz, akkor az x T A = b egyenletrendszernek létezik x > 0 megoldása.

48 Duál oldali dualitás tétel Slater-feltétel a (D) feladatra: létezik x D : x > 0. Fordított dualitás tétel. Ha a (D) feladat teljesíti a Slater-feltételt és célfüggvénye alulról korlátos a D halmazon, akkor létezik y P optimális megoldás, amelyre x p i b T y = inf c T x + log ( ). x D k=1 qmedskip Állítás. Legyen P halmaz. A primál célfüggvény pontosan akkor korlátos felülről, ha a D. Állítás. Legyen A i = {e at i y c i : y P}, és A ω,i = {e at i y c i : y P ω }. 1. A 0 / A i pontosan akkor, ha az x T A = 0 x 0 megoldható és > Legyen P ω. A 0 / A ω,i pontosan akkor, ha az x T A θ b = 0, x 0, ahol θ 0 megoldható és > 0.

49 Lemmák Lemma. Legyen D h = {x IR n : x T A = 0, x 0}, és D + h = {x D h : x > 0}. Ha D + h és bármely x D + h : ct x + p k=1 h k(x) 0, akkor létezik ȳ IR m úgy, hogy e a T i ȳ c i 1, k = 1, 2,..., p, azaz P. Lemma. Legyen D + = {x D : x > 0}. Ha D + és c T x + p k=1 h k(x) alulról korlátos, akkor P és létezik ȳ P úgy, hogy b T ȳ = inf x D {ct x + p h k (x)}. k=1 Következmény. 1. Ha D + és P, akkor létezik ȳ P úgy, hogy b T ȳ = sup y P 2. Legyen D +. A c T x + p k=1 h k(x) pontosan akkor korlátos alulról, ha a P. b T.

50 Tételek Dualitás tétel. 1. Ha P és D, akkor sup y P b T y = inf x D {ct x + 2. Ha P és létezik ȳ P úgy, hogy b T ȳ = sup y P p h k (x)}. k=1 b T y, akkor D és a b T ȳ = inf x D {ct x + p h k (x)}. k=1 Tétel. Ha D = és létezik µ IR szám, amelyre µ = inf x D {ct x + p k=1 h k(x)}, akkor bármely ε > 0 esetén, létezik y IR m úgy, hogy e a T i y c i 1 + ε, k = 1, 2,..., p és lim sup b T y = µ. ε 0 y P

51 Lagrange függvény: geometriai programozás Definíció. Legyen a Φ : IR m IR n IR Lagrange-függvény a következő összefüggéssel adott x p i Φ(x, y) := c T x b T y x T A y + log ( ), ahol I 1, I 2,..., I p Az x IR m, y IR n k=1 halmazok az I indexhalmaz partícióját alkotják. pontpárt nyeregpontnak nevezzük, ha Φ(x, y) Φ(x, y ) Φ(x, y ) bármely x 0, y IR n. Tétel. Az x IR m, y IR n pontpár pontosan akkor optimális megoldása a primál és duál geometriai programozási feladatnak, ha nyeregpontja a Φ Lagrange-függvénynek. Bizonyítás. Bizonyítsa be a tételt közvetlenül, általánosabb eredmény felhasználása nélkül.

52

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét

Részletesebben

Nemlineáris programozás 2.

Nemlineáris programozás 2. Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,

Részletesebben

4. Előadás: Erős dualitás

4. Előadás: Erős dualitás Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d

Részletesebben

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/ Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és

Részletesebben

Konjugált gradiens módszer

Konjugált gradiens módszer Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Részletesebben

11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás

11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek

Részletesebben

Lineáris programozás belsőpontos

Lineáris programozás belsőpontos Lineáris programozás belsőpontos módszerei illes@math.elte.hu Operációkutatási Tanszék Budapest 2007. február - április Speciális lineáris programozási feladat (példa) Legyen adott a következő lineáris

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 14. Előadás

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 14. Előadás Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 14. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2012. Nem maradt rá idő 1. Feltétel nélküli optimalizálás 1.1. Az eljárások alapjai A feltétel nélküli

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

Az ellipszoid algoritmus

Az ellipszoid algoritmus Az ellipszoid algoritmus Csizmadia Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem Bevezető Az ellipszoid módszert a nemlineáris porgramozásra Shor [1970,0977] illetve Yudin és Nemirovskiî [1976] feljlesztették ki.

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások

Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A

Részletesebben

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26. Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Illes, Tibor (2014) Lineáris optimalizálás : elmélete és belsőpontos algoritmusai. [Report], / Strathprints

Illes, Tibor (2014) Lineáris optimalizálás : elmélete és belsőpontos algoritmusai. [Report], / Strathprints Illes, Tibor (2014) Lineáris optimalizálás : elmélete és belsőpontos algoritmusai. [Report], 10.13140/2.1.5086.4004 This version is available at https://strathprints.strath.ac.uk/55708/ Strathprints is

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Nem-lineáris programozási feladatok

Nem-lineáris programozási feladatok Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Differenciálegyenlet rendszerek

Differenciálegyenlet rendszerek Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Numerikus módszerek beugró kérdések

Numerikus módszerek beugró kérdések 1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

A lineáris programozási feladat optimális bázismegoldásának el állítása polinom id ben

A lineáris programozási feladat optimális bázismegoldásának el állítása polinom id ben Eötvös Loránd Tudományegyetem A lineáris programozási feladat optimális bázismegoldásának el állítása polinom id ben diplomamunka Majoros Csilla Témavezet : Illés Tibor egyetemi docens ELTE-TTK Operációkutatási

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Haladó lineáris algebra

Haladó lineáris algebra B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc

Részletesebben

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

1 Lebegőpontos számábrázolás

1 Lebegőpontos számábrázolás Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs

Részletesebben

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar

Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Gauss-Seidel iteráció

Gauss-Seidel iteráció Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben