Jelek 1/44 1. JELEK 2

Átírás

1 Jelek /44. JELEK 2. Jelek rerezetácó, a rerezetácók traszformácó 2.. Absztrakt matematka modellek 2..2 Az dő-, frekveca- és oerátor-tartomáyba értelmezett rerezetácók 3..3 Jel rerezetácók traszformácó 4.2 Idő- és frekvecatartomáybel leírás: valós függvéyta modellek, Fourer traszformácó 6.2. Sorozatok és függvéyek evezetes osztálya, halmaza Műveletek valós modellekkel A Fourer traszformácók sokfélesége: FI, FS, DF, DFS, DF A komlex értékű sektrum valós értékű részfüggvéye A Fourer traszformácók tulajdosága A Fourer traszformácók egységes leírása Jelműveletek összefoglalása 3.3 Oerátor tartomáy leírás: Komlex függvéyta modellek, Z-traszformácó A Z-traszformácó A Z-traszformácó tulajdosága Az verz Z-traszformácó Racoáls tört verz Z-traszformácója 38 JELEK verzó: 204. február 28.

2 Jelek 2/44. Jelek.. Jelek rerezetácó, a rerezetácók traszformácó.. Absztrakt matematka modellek Jelek kvattatív leírására matematka modelleket haszáluk, ezek a jelek rerezetácó. A matematka modellek általáos értelembe vett függvéyek, azaz adott struktúrájú ut halmazak adott struktúrájú outut halmazba törtéő lekézése: Függvéy: Iut halmaz Outut halmaz A szóba jövő lehetséges ut és outut halmaz tíusokat az alább táblázatba foglaljuk össze. Szürkével emeltük k a továbbakba részletese tárgyaladó értelmezés tartomáy és értékkészlet tíusokat. Oututtérek (értékkészletek) a tovább alaértelmezés szert mdg a komlex számok halmazát tektjük. Iut halmaz Értelmezés tartomáy véges szmbólum halmaz (esméytér, abc, kód, stb.) véges számhalmaz {0,,... (-)} megszámlálhatóa végtele számhalmaz (egész számok) valós számegyees komlex számsík Outut halmaz Értékkészlet véges szmbólum halmaz (esméytér, abc, kód, stb.) véges számhalmaz {0,,... (-)} megszámlálhatóa végtele számhalmaz (egész számok) valós számegyees komlex számsík Az ut halmazok külöböző matematka szerkezete léyeges következméyel jár a külöböző rerezetácó tíusok tulajdoságat lletőe. Ezzel szembe a legáltaláosabba komlex számértékűek tektett értékkészletbe beletartozak az egyszerűbb secáls esetek (l. kézetes rész ulla: valós szám). Mvel a jelrerezetácók értékkészletét mdg komlex számak tektjük, ezért a rerezetácók tíusat az értelmezés tartomáy tíusa szert külöböztethetjük meg. Jel rerezetácókkét haszált evezetes matematka modelleket az alábbakba foglaljuk össze. JELEK verzó: 204. február 28.

3 Jelek 3/44 Modell Jelölés Iut tér Outut tér Dszclía Vektor (dexelt tömb) x0 x. x =,.. x - X véges számhalmaz tkusa: {0,,... (-)} komlex számsík Sorozat (dszkrét függvéy) x, X, x(), X (), megszámlálhatóa végtele számhalmaz (egész számok) komlex számsík valós aalízs x(), X (F)) Valós függvéy Komlex függvéy = -... x(t), X (f) valós számegyees komlex számsík X (s), X(z) komlex számsík komlex számsík komlex aalízs..2 Az dő-, frekveca- és oerátor-tartomáyba értelmezett rerezetácók Az eddgekbe absztrakt matematka modellekről volt szó abba az értelembe, hogy az értelmezés tartomáyokak az elvot matematka szerkezeté túl más értelmezést em adtuk. A jeleket leírhatjuk, azaz rerezetálhatjuk, az dő-, a frekveca- és az oerátor-tartomáyba s. Ezekbe az esetekbe a leírására haszált modellek értelmezés tartomáya már matematka szemoto túl értelmezéssel s redelkezek: dőt, vagy frekvecát, vagy (valamlye, de egyelőre em tsztázott módo) "oerácót" jeleteek (az s komlex változó a derválást, z az eltolást). Az dőtegely és a frekveca tegely egyarát valós számegyeesek - -től + -g, mértékük fzka egységbe ( sec, Hz) mérhetőek. Az oerátortartomáybel jelrerezetácók értelmezés tartomáya az s vagy z változójú komlex sík. Az alább táblázatba összefoglaltuk, hogy mely tartomáyba, mlye tíusú rerezetácók (matematka modellek) jöek szóba és egyúttal bevezetjük a tkus jelöléseket. JELEK verzó: 204. február 28.

4 Jelek 4/44 matematka modell Időtartomáy Frekvecatartomáy Oerátor tartomáy Vektor x X - Sorozat x vagy x X vagy X - F valós függvéy x(t) X (f) - komlex függvéy - - X (s) vagy X (z) A továbbakba alkalmazadó jelölésredszer egyk ala megállaodása: egy "ksz" jel dőtartomáy rerezetácóját ks x-szel, frekveca tartomáy rerezetácóját dőlt, agy X-szel és az oerátortartomáy rerezetácót edg álló, vastag agy X-szel jelöljük...3 Jel rerezetácók traszformácó Egy jel külöböző tartomáyokba haszált matematka modellje között közlekedés eszközöket a rerezetácók traszformácóak evezzük. Az alább táblázatba és ábrá összefoglaljuk az dő-, frekveca-, és oerátor-tartomáybel jel rerezetácók között összes lehetséges közlekedés utat, azaz az összes rerezetácó-traszformácót. raszformácó Iut tartomáy Outut tartomáy Dszclía Fourer tr. Idő Frekveca Valós Iverz Fourer tr. Frekveca Idő Függvéyta Lalace tr. Z tr. Idő Oerátor Iverz Lalace tr. Iverz Z tr. Oerátor Idő Komlex Függvéyta Kotúr függvéy Oerátor Frekveca Aaltkus kterjesztés Frekveca Oerátor Aaltkus lekézés Oerátor Oerátor Jelek elméletéek tovább tárgyalását az alkalmazadó matematka aarátus szert csoortosítva folytatjuk. Először a valós függvéyta lletőség körébe tartozó dő- és frekveca tartomáy modelleket (vektorok, sorozatok, valós függvéyek) és ezek traszformácót (Fourer JELEK verzó: 204. február 28.

5 Jelek 5/44 traszformácók) részletezzük, majd az ezt követő fejezetbe foglaljuk össze a komlex függvéyta aarátussal kezeledő oerátortartomáy modelleket és a velük kacsolatos traszformácókat (Lalace traszformácó, Z traszformácó). Fourer Iverz Fourer t dő f frekv. Lalace traszf. Iverz Lalace tr. Z traszform. s dfferecálás Kotúr függvéy: s = j2πf Aaltkus kterjesztés a kézetes tegelyről Iverz Z tr. z = e s z késleltetés -vel s=s(z) Kotúr függvéy: z = e j2πf Aaltkus kterjesztés az egységkörről JELEK verzó: 204. február 28.

6 Jelek 6/44.2 Idő- és frekvecatartomáybel leírás: valós függvéyta modellek, Fourer traszformácó.2. Sorozatok és függvéyek evezetes osztálya, halmaza Először (függetleül attól, hogy az dő- vagy a frekveca tartomáybel leírásról va-e szó) tektsük át a sorozatok és függvéyek usztá matematka szemotból megevezhető azo osztályat, mely osztályok fotos jelelmélet értelmezést s fogak a későbbekbe hordoz. Az áttektés térkée az alább ábra. valós modellek Vektorok D0: Sorozatok DE DA DV D DS DP F0: Függvéyek FE FA FV F FS FP JELEK verzó: 204. február 28.

7 Jelek 7/44 égyzetese összegezhető (tegrálható) sorozatok, függvéyek (DE, FE): DE: y, = - 2 y = E < FE: y(x), y(x) 2 dx = E < Megjegyzések: - az (dőtartomáy) valós tegely felett y valós szám a llaaty amltúdó - 2 y llaaty teljesítméy - teljesítméy összegezése, tegrálása eerga - ezek a modellek a véges eergájú modellek - a véges eergájú modellek -be és -be s elhalóak, értékük ullához tart, egyszer és em edg mdg zajló vagy smétlődő "törtéetet" írak le (em stacoer jeleségek). - Ezeket az osztályokat (a fukcoál aalízsbe) L2 térek s hívják égyzetese átlagolható sorozatok, függvéyek (D, F): D: y, lm 2 + = - y 2 = P, 0 < P < F: y(x), lm X 2X X X y(x) 2 dx = P, 0 < P < Feladat: - Lássuk be, hogy DE és D (ll. FE és F) dszjukt halmazok, azaz egy sorozat vagy függvéy egydejűleg em lehet véges eergájú és véges (agyobb mt ulla) teljesítméyű! Megjegyzések: - Adott (dő)tervallum felett összegezett (tegrált) llaaty teljesítméy ormálva az tervallum hosszával az átlag teljesítméyt adja. - Ezek a véges teljesítméy modellek - A véges teljesítméyű modellek a végtelebe sem halhatak el, álladóa zajló, esetleg végteleszer smétlődő "törtéeteket" írak le (stacoer jelleg). Abszolút összegezhető (tegrálható) sorozatok, függvéyek (DA, FA): DA: y, = - y = A < FA: y(x), y(x) dx = A < Feladatok: - Lássuk be, hogy DA valód részhalmaza DE-ek. - Lássuk be, hogy ha egy függvéy korlátos és abszolút tegrálható, akkor égyzetese s JELEK verzó: 204. február 28.

8 Jelek 8/44 tegrálható, de fordítva em gaz. - Adjuk éldát égyzetese összegezhető, de abszolút em összegezhető sorozatra! Megjegyzések: - Ezeket a halmazokat L térek s hívják Véges tartójú (véges tervallumo kívül ullával azoos) sorozatok, függvéyek (DV, FV): DV: y, létezk m < max, melyre gaz, hogy ha < m vagy > max akkor y = 0. FV: y(x), létezk X m < X max melyre gaz, hogy ha x < X m vagy x > X max akkor y(x) = 0. Megjegyzések: - Az dőtegely felett véges tartójú modellel leírt jeleket véges dejűekek evezzük. - A frekvecategely felett véges tartójú modellel leírt jeleket sávhatároltakak evezzük. Feladatok: - Lássuk be, hogy DV valód részhalmaza DA-ek. - Lássuk be, hogy ha egy függvéy korlátos és véges tartójú, akkor abszolút tegrálható s. Stacoer és ergodkus folyamatok realzácó (DS, FS): DS: FS: y, dszkrét, stacoer, ergodkus folyamat egy lehetséges realzácója. y(x), folytoos, stacoer, ergodkus folyamat egy lehetséges realzácója Megjegyzések: - A sztochasztkus folyamatokról később lesz szó. Perodkus sorozatok, függvéyek (DP, FP): DP: FP: y, létezk, melyre gaz, hogy y +k = y. mde egész k-ra. y(x), létezk X, melyre gaz, hogy y(x+kx) = y(x) mde egész k-ra. Feladatok: - Lássuk be, hogy DP valód részhalmaza D-ek. - Lássuk be, hogy véletle fázsú szusz stacoer véletle folyamat Műveletek valós modellekkel Az alábbakba lstaszerűe összeszedjük azokat a fotosabb műveleteket, melyeket akár dő- akár frekveca tartomáy vektoroko, sorozatoko és függvéyeke végezhetük. JELEK verzó: 204. február 28.

9 Jelek 9/44 Művelet egy oeradus több oeradus Skalárral szorzás c Összeadás, leár kombácó c, c 2,... c araméteres tíus váltó tovább megjegyzés Szorzás Eltolás d Megfordítás Kovolúcó Perodkus kterjesztés P Ablakolás w(x), w Mtavételezés D Iterolálás s(x) A továbbakba a felsorolt műveletekkel kacsolatba (ott, ahol az adott művelet fogalma ezt egy kcst s szükségessé tesz) defáló, értelmező és részletező megjegyzések következek Ahol szükséges ott majd külö felhívjuk a fgyelmet a secáls jelfeldolgozás meggodolásokra. Szorzás: Vektorokál elemekét szorzást jelet. Eltolás: Függvéyél, sorozatál evdes. Vektorál cklkus (crkulárs) eltolás x 0 x (0-m)mod x x (-m) mod x = vektor m-el eltoltja y = x x (-m) mod x - x (--m) mod Cklkus eltolásál tehát az dexfüggvéybe a moduló függvéyt kell alkalmaz, így em léük k a {0,,...(-)} értelmezés tartomáyból. JELEK verzó: 204. február 28.

10 Jelek 0/44 A moduló függvéy defícója: és ábrája: y = x mod a = y(x) x: valós, a: oztív valós, y: 0 y < a és x = ka +y, ahol k egész y = x mod a a x -2a -a a 2a Megfordítás: x(t) jel megfordítottja x(-t); x sorozat megfordítottja x - vektorok eseté az ( mod ) átdekszelést jelet (a vektor elemek egy secáls átredezése, ermutácója). A megfordítás kacsá hívhatjuk fel a fgyelmet a voatkozó objektumok áros, áratla tulajdoságára: Párosság: az objektum azoos a megfordítottjával. Függvéy: x(t) = x(-t), t = - Sorozat: x = x -, = - Vektor: x = x (- mod ), = 0 (-) Páratlaság: az objektum azoos a megfordítottja verzével. Függvéy: x(t) = -x(-t), t = - Sorozat: x = -x -, = - Vektor: x = -x (- mod ), = 0 (-) Páros-áratla dekomozícó: mde objektum (függvéy, sorozat, vektor) egyértelműe felbotható áros és áratla része összegére: x(t) = x (t) + x (t) x e(t) = 2 x e(t) = 2 ( x(t) + x( t) ) ( x(t) + x( t) ) JELEK verzó: 204. február 28. e o

11 Jelek /44 Kovolúcó: Külöböző tíusú modellekre külöböző formulákkal defált a kovolúcó művelete. Az alább öt kovolúcó tíust vezetjük be: Folytoos leárs kovolúcó Folytoos erodkus kovolúcó Dszkrét leárs kovolúcó Dszkrét erodkus kovolúcó Cklkus (crkulárs) kovolúcó A defícók: Folytoos leárs kovolúcó: y(x)*v(x)=w(x), w(x) = y(u) v(x - u) du Folytoos erodkus kovolúcó: u + P (x)* v (x) w 0 y P P = P (x), w P (x) = y P u0 P (u) v P (x - u) du Megjegyzés: A tldával és a P dexszel a függvéyek P szert eródusos voltát hagsúlyozzuk Dszkrét leárs kovolúcó: y *v = w, w = yk v k k =, = Dszkrét erodkus kovolúcó: m0 + y * v = w = y m v m, =. m= m0 Cklkus (crkulárs) kovolúcó: y * v = z, ahol z = yk v( k)mod, =0,,...(-) k = 0 A kovolúcó műveletét szemléletese az alább műveletek egymásutájáak eredméyekét s felfoghatjuk: az egyk oeradus megfordítása (tükrözése v(-x))majd eltolása ( v(-(x-u))= v(u-x) ) és a két oeradus skalár szorzata (szorzás és összegezés, tegrálás) adja a kovolúcó eredméyét az eltolás számértékéél. JELEK verzó: 204. február 28.

12 Jelek 2/44 A fet kovolúcó tíusokál azoosak voltak a jeltíusok. Defálhatók olya kovolúcók s, amelyekél a két bemet jel külöböző tíusú. etszőleges jeltíusok között kovolúcókat az alább táblázatba lehete összefoglal, ahol függőlegese az egyk vízsztese a másk bemeőjelet tütetjük fel: y(t) y (t) y y y v(t) v (t) v v v A kovolúcók több ráyú általáosításáak legfotosabb esetere a későbbekbe vsszatérük. A kovolúcó értelmezéséhez tektsük át az alább tulajdoságokat és elem feladatokat. A kovolúcó éháy elem tulajdosága: Lássuk be - a folytoos leárs kovolúcó esetére megfogalmazott, de általáosa s érvéyes - alább állítások gazságát:. y(x)*v(x)= y(u) v(x - u) du = y( x 2 x + u) v( u) du 2 2. y(x)*v(x) = v(x)*y(x) (kommutatvtás) 3. (y(x)*v(x))*z(x) = y(x)*(v(x)*z(x)) (asszocatvtás) 4. y(x)*(v(x)+z(x)) = y(x)*v(x) + y(x)*z(x) (dsztrbutvtás) 5. Ha y(x)*v(x) = z(x), akkor y(x)*v(x-u) = z(x-u), y(x-u)*v(x) = z(x-u), y(x-u )*v(x-u 2 ) = z(x-u -u 2 ) (eltolás tulajdoságok). A kovolúcóval kacsolatos éháy elem feladat: Godoljuk végg a következő egyszerű éldákat (vektorokkal, sorozatokkal, és erodkus változatokkal s)!. Két azoos szélességű mulzus kovolúcója: 2. Két külöböző szélességű mulzus kovolúcója: JELEK verzó: 204. február 28.

13 Jelek 3/44 3. M törték, ha az előbb éldába az δ szélességű mulzus em az x= δ/2-től, haem a x= δ/2-től kezdődk? 4. M az eredméye a z(t)=y(t)*v(t) műveletek, ha A kovolúcóval kacsolatos éháy secáls sorozat, függvéy: A függvéyek terébe létezk-e e(x) egység elem az alább értelembe: Bármely y(x)-szel kovolválva y(x)-et kauk: y(x)*e(x) = y(x), e(x)=? (megoldás: e(x)= δ(x). Ez a δ(x) Drac delta függvéy egyk fajta defálása.) És a sorozatok terébe? Létezk-e olya függvéy, melyet ömagával kovolválva ömagát kajuk: e(x)*e(x) = e(x) =? (segítség: godoljuk arra, hogy valószíűség változók összegéek együttes eloszlását úgy kajuk meg, ha kovolváljuk az eredete eloszlások sűrűségfüggvéyét. ovábbá ormáls eloszlású valószíűség változó összege szté ormáls eloszlást követ.) A kovolúcó segítségével defálhatjuk a korrelácó műveletét: : y(x) corr v(x) = c yv (x) = y(u) v(x + u) du. c yv (x) kovolúcó kézéssel s megadható: c yv (x) = y(x)*v(-x). Az y(x) függvéy autokorrelácós függvéye: c yy (x) = y(x)*y(-x), azaz a egy függvéy autokorrelácója ömaga és megfordítottjáak kovolúcója. A kovolúcóval kacsolatba végezetül megjegyezzük, hogy a leárs traszformácókak agyo JELEK verzó: 204. február 28.

14 Jelek 4/44 fotos osztálya egy-egy rögzített függvéyel (sorozattal, vektorral) végzett kovolúcóval defálható: Például az y(x) függvéy H{y(x)}=z(x) Hlbert traszformáltjáak, az /x függvéyel vett kovolócóját evezzük: y(t) H{ y(x) } = z(x) = y(x) = dt c. x x t Godoljuk végg, hogy az x sorozat mdekor utolsó L mtájáak átlagolásakét kaott y sorozatott az x sorozatak mely sorozattal vett kovolúcójakét írhatjuk fel! Egy vektor elemeek cklkus ermutácóját mely vektorral vett kovolúcó adja? Perodkus kterjesztés: Aerodkus x(t) függvéyt ll. x sorozatot a ll. araméter szert erodkussá alakítja. Defícó : x(t) x (t) = x(t ), a eródusdő ll. = m= x x = x ( ) = x, a eródusszám, Ha l. x(t) az alább függvéy m amelyek erodkus kterjesztése: Megjegyzések: A erodkus kterjesztés létezéséek szükséges feltétele, hogy az eredet jel a végtelebe elhaló legye ( lm x(t) = 0 ll. lm = 0 ). t x Ha a jel em véges tartójú, akkor a erodkus kterjesztés mdekée átlaolódásos. JELEK verzó: 204. február 28.

15 Jelek 5/44 (Am azt eredméyez, hogy x ( t) -ből általába em állítható vssza az eredet x(t) jel). - Ha a jel véges tartójú és a tartóhossz ksebb, mt a eródusdő, akkor a erodkus kterjesztés átlaolódás metes (azaz cs formácóvesztés) Ablakolás: Véges tartójú függvéyel (vagy sorozattal) való szorzást jelet. A művelet aramétere a véges tartójú w (t) ablakfüggvéy. Az x(t) folytoos jel w (t) szert ablakoltja: x(t) x w (t) = x(t) w (t) Az ablakolás az x sorozatra s értelmezhető: x x w, = x w, vagy l. Megjegyzések: Ha az ablakfüggvéy (ahol em 0 ott) egységy, akkor az ablakolt jel egy véges dejű megfgyelést jelet. (A fet ábrá a másodk eset: égyszögletes ablakolás.) Az ablakolás emcsak az dőtegelye, haem a frekvecategelye s értelmezhető. Ekkor az ablakolást szűrések s evezhetjük. Ha az eredet x(t) v. x jel em véges tartójú, akkor az ablakolás veszteséges. Ha az eredet x(t) v. x jel véges tartójú és a véges tartó beleesk az ablakba, akkor az ablakolás veszteségmetes. Az átlaolódás metes erodkus kterjesztés verze a veszteség metes ablakolás égyszögletes ablak alkalmazásakor. Mtavételezés: Valós függvéye értelmezett művelet, amely egy számsorozatot eredméyez. Paramétere a mtavétel dő, vagy az F frekveca mtavételezés raszter. Folytoos rerezetácóról JELEK verzó: 204. február 28.

16 Jelek 6/44 dszkrét rerezetácóra való áttérést jelet: x(t) x =x() vagy F X(f) X =X(F) Megjegyzés: A mtavételezés művelete emcsak az dőtegely felett, haem a frekvecategelye s értelmezett. Ekkor egy folytoos sektrumból egyelő frekvecaközű mtákat állítuk elő. Iterolálás: Dszkrét rerezetácóról folytoos rerezetácóra való áttérést jelet a művelet s(.) elm jelalak aramétere szert: x X F s ( t ) x(t) : x(t) = x s( t t) vagy = S( f ) X(f) : X (f) = X S( f f) = Megjegyzés: Md a mtavételezés, md az terolálás a modell tíusát váltó művelet. (x(t) x ) Az terolálás egy számsorozat és egy folytoos függvéy kovolúcója. JELEK verzó: 204. február 28.

17 Jelek 7/ A Fourer traszformácók sokfélesége: FI, FS, DF, DFS, DF Egy jelet az dőtartomáyba az x(t) vagy x törtéete írja le, a frekvecatartomáyba edg az X(f) sektruma, mely szert a jel az f frekvecájú harmokus rezgésekek az X(f) szert súlyakét rakható össze. A jel dőbel és frekvecatartomáybel leírása között a Fourer traszformácó teremt kacsolatot. Attól függőe, hogy adott esetbe mlye tíusú matematka modellre alkalmazzuk (vektor; aerodkus- vagy erodkus sorozat; aerodkus- vagy erodkus függvéy), a Fourer traszformácó kokrét formájába agyo külöböző lehet: - Fourer tegrál (FI) - Fourer sor (FS) - Dszkrét dejű Fourer traszformácó (DF) - Dszkrét Fourer sor (DFS) - Dszkrét Fourer traszformácó (DF). Az alább ábrá tekthetjük át az egyes secáls traszformácók helyét és szereét. dő tartomáy Vektorok D0: Sorozatok DE DA DV FOURIER RASF. DF DF frekveca tartomáy Vektorok D0: Sorozatok DE DA DV D DS DP DFS D DS DP F0: Függvéyek FE FA FV FI F0: Függvéyek FE FA FV F FS F FS FP FS FP JELEK verzó: 204. február 28.

18 Jelek 8/44 A Fourer traszformácóak a külöböző tíusú bemeet (dő tartomáy) és kmeet (frekveca tartomáy) matematka modelljehez tartozó esetet az alább táblázatba foglaltuk össze, majd smertetjük a kokrét formáls defícókat. Fourer tegrál (FI) x(t) X(f) Fourer sor Dszkrét dejű (FS) Fourer tr. (DF) x (t) X X (f ) x Dszkrét Fourer sor (DFS) x X x X Dszkrét Fourer traszformált (DF) Fourer-tegrál (FI): Bemeő adat :x(t) legalább égyzetese tegrálható Kmeő adat :X(t) legalább égyzetese tegrálható Defícó : F {x(t),f} = X (f) = j2πft x(t) e dt Iverz traszf. : F { X (f), t} = x(t) = j2πft X (f) e df Megjegyzések: x(t)-ek legalább égyzetese tegrálhatóak kell lee; ekkor a hozzá tartozó X(f) sektrum s égyzetese tegrálható. Ha x(t) FA (abszolút tegrálható), akkor X (f) folytoos és akárháyszor derválható (cs bee ugrás). Ha x(t ) FV (véges tartójú), akkor bztos, hogy X (f) em véges tartójú. (A fet állítások természetese az verz-traszformácóra s érvéyesek a be- és kmeet jeleket megcserélve.) Ala feladatok: rektagulárs ablak Fourer traszformáltja, rektagulárs ablak verz Fourer traszformáltja, abszolút tegrálhatóság, folytoosság, égyzetese tegrálhatóság összefüggése az dő és a frekveca tartomáyba. Lássuk be, hogy az verz Fourer-traszformácó valóba a verz árja F { x( t), f }-ek.? x t X f x t ( ( ) ( ) ( )) Fourer-sor (FS): JELEK verzó: 204. február 28.

19 Jelek 9/44 Bemeő adat : x (t) FP (-re erodkus jel) Kmeő adat : X DE (legalább égyzetese összegezhető) t0 + j 2 t F Defícó : {x t = X = x ( π F ( ), F} t) e dt, F=/, =... t 0 Iverz traszf. : j 2 F t F x (t) π {, t} F X = = X e = Megjegyzések: Ha x (t) legalább égyzetese tegrálható egy eródusa fölött; akkor a hozzá tartozó X Fourer-sor s égyzetese összegezhető. (Az állítás megfordítása s gaz.) Ha x (t) égyzetese tegrálható egy eródusdőre, de em folytoos, akkor az X sorozat égyzetese összegezhető, de em abszolút összegezhető. Feladat: A Fourer sor defícóját gyakra az /-s kostas élkül adják meg. Számítsuk k, hogy /-vel vagy e élkül leszek-e a megadott FS egyeletek traszformácós árok. Dszkrét dejű Fourer-traszformált (DF): Bemeő adat : x DE ( legalább égyzetese összegezhető sorozat, a mtavétel dő) Kmeő adat : X ( f ) FP (erodkus függvéy, F=/ eródussal) f j2π Defícó : F F {x, f } = X F ( f ) = x e, F = = f 0 + F 2 Iverz traszf. : = = F F f j π F { X ( f ),} x X ( f )e df F f 0 Megjegyzések: x sorozatak égyzetese összegezhetőek kell lee; a hozzá tartozó X F ( f ) Fourer traszformált s égyzetese tegrálható egy F eródusa fölött.. Ha x abszolút összegezhető, akkor X F ( f ) folytoos és akárháyszor dfferecálható.. (Értelemszerűe az állítások fordítottja s gaz.) Feladat: A DF defícóját gyakra az /F-es kostas élkül adják meg. Számítsuk k, hogy /F-fel vagy e élkül leszek-e a megadott traszformácók traszformácós árok. JELEK verzó: 204. február 28.

20 Jelek 20/44 Dszkrét Fourer-Sor ( DFS): Bemeő adat : x DP (-re erodkus sorozat) 2 m Defícó : {x 0 + j π F,m} = X = x e, m=... Iverz traszf. : F Kmeet adat : X { X F mf,m} = x m = 0 = 0 + = 0 X DP (-re erodkus sorozat) F e j 2πm Feladat: Lássuk be, hogy a megadott DFS egyeletek valóba traszformácós árok, és szükség va /-es kostasra az verz traszformácóál. Dszkrét Fourer-traszformált (DF): Bemeet adat : x ( dmezós vektor) Defícó : F {x} = X = W x, ahol W k = { w = e, k, = 0,..., } Iverz traszf. : F * { X} = x = W X = Kmeet adat : X ( dmezós vektor) W 2π jk X, ahol * a kojugálást jelet. Megjegyzések: Mvel a DF két vektor között teremt kacsolatot, ezért felfogható vektorterek leárs traszformácójakét, ahol a traszformácós mátrx: W. W eleme az egységkörö helyezkedek el (-edfokú egységgyökök). Az általáosa elterjedt FF és IFF elevezés mögött a DF-ek egy secáls algortmussal törtéő számolása rejlk. Ezekre később vsszatérük. Feladat: * Lássuk be, hogy W vertálható (determása em 0) és W = W..2.4 A komlex értékű sektrum valós értékű részfüggvéye Az X(f) komlex értékű sektrumhoz több valós értékű rész-sektrum s redelhető. Az X(f)-et valósés kézetes részre botva X ( f) = R(f) + ji (f), JELEK verzó: 204. február 28.

21 Jelek 2/44 kajuk az R(f) valós rész és I(f) kézetes rész sektrumokat. Az X(f) komlex értékű függvéyt az jϕ (f) a( f ) jϕ (f) X (f) = A(f)e = e, exoecáls alakba írva kajuk az A(f) amltúdó-sektrumot, az a(f) logartmkus abszolút értéksektrumot és a ϕ(f) fázs-sektrumot. Az A(f) amltúdó-sektrum és a hozzátartozó ϕ(f) fázs-sektrum többféle értelmezése s haszálatos: Valós, előjeles A(f) sektrum, a hozzá tartozó ϕ(f)-be cseek π értékű ugrások. A(f) abszolút érték sektrum, ϕ(f)-be π értékű ugrások léek fel ott, ahol az előjeles amltúdó előjelet váltaa. Belaolt ϕ(f) fázs-sektrum, értéke csak π ( vagy -π... +π ) között lehetséges, 2π értékű ugrások vaak bee. Folytoos, em korlátos ϕ(f) fázs-sektrum, értéke 2π agyságú ugrások élkül változk (uwra). A folytoos és dfferecálható fázskaraktersztka alajá értelmezhető a futás dő sektrum: d τ ( f ) = - ϕ(f). 2π df 2 2 Az X ( f ) A( f ) E( f). = = függvéyt eergasűrűség-sektrumak evezzük..2.5 A Fourer traszformácók tulajdosága A tulajdoságokat a Fourer-tegrálra vzsgáljuk részletese. Ezek jórészt értelmezhetők a több 4 Fourer-traszformácó tíusra s. A legfotosabb eltérésekre ktérük. Iverz-szmmetra: F - {F{x(t), f}, t} = x(t) F{F - {X(f), t}, f} = X(f) Feladat: A Fourer-traszformácó és az verz traszformácó kfejezésébe csak egy egatív előjel eltérés va. Mt kauk, ha egy égyzetese tegrálható x(t) jel X(f) sektrumát véletleül verz traszformácó helyett újból Fourer-traszformáluk? Megoldás: F - {F{x(t), f}, t} = x( t) Megjegyzés: A vektorokra értelmezett DF-t ha kétszer egymás utá elvégezzük, akkor a kaott x (W ) 2 vektorba otosa az x eleme szereelek, de fordított sorredbe. Mvel a (W ) 2 mátrx az x vektor elemsorredjét megfordítja, Kojugált komlex szmmetra: JELEK verzó: 204. február 28.

22 Jelek 22/44 Ha x(t) X(f) Fourer traszformált ár, akkor F{x * (t), f} = X * ( f), ahol * a kojugálást jelöl. Feladat: Bzoyítsuk be az állítást! Következméyek: Legye x(t) = r(t) + j (t) és X(f) = R(f) + j I(f), ahol r(t), (t), R(f) és I(f) valós függvéyek. Mde valós y(x) függvéy felbotható egy y e (x) áros és egy y o (x) áratla függvéy összegére: y(x) = y e (x) + y o (x), ahol y e (x) = 2 (y(x)+y( x)) és yo (x) = (y(x) y( x)). 2 Ezzel mde x(t) és X(f) komlex függvéy az alább alakba írható föl (valós-kézetes, áros-áratla dekomozícó). A ylak azt szemléltetk, hogy a kojugált-komlex szmmetra következtébe mely függvéykomoesek között va Fourer-traszformácós kacsolat. x(t) = r e (t) + r o (t) + j o (t) + j e (t) X(f) = R e (f) + R o (f) + j. I o (f) + j I e (f) A fetekből kolvasható, hogy ha x(t) valós ((t)=0), akkor az R(f) valósrész-sektrum, az A(f) abszolútérték-sektrum és a τ(f) futás dő-sektrum áros lesz; az I(f) kézetesrész-sektrum, és a ϕ(f) fázs sektrum áratla függvéy lesz. Megjegyzések: A árosság és áratlaság fogalma sorozatokra s egyértelmű: x áros, ha x - =x ll. áratla, ha x - = -x. Egy vektort akkor tektük árosak, ha x - mod = x és áratlaak, ha x - mod = -x (=0,,...,-). Eltolás, modulácó: Ha x(t) X(f) = A(f). e jϕ(f) Fourer traszformált ár, akkor F{x(t t o ), f} = e j2 π ft 0. X(f). Az eltolt jel amltúdó-karaktersztkája em változk: A elt. (f) = A(f). Az eltolt jel fázs- és futásdő-karaktersztkája: d df ϕ elt. (f) = ϕ(f) + 2πt o f τ elt. (f) = τ(f) + t o. A komlex harmokus jellel való szorzás a sektrum f 0 -lal való eltolását jelet. F{ e j2 π f 0 t. x(t), f} = X (f f 0 ) JELEK verzó: 204. február 28.

23 Jelek 23/44 Megjegyzés: A műveletet frekvecaáttevések, keverések vagy modulácóak evezzük. Valós harmokus jellel való szorzás felfogható egy kojugált-komlex harmokus jelárral való szorzásak: F{cos(2πf 0 t). x(t),f}=f{ ( ) 2 e j2πf0t + e j2π f0t. x(t),f} = 2 (X (f+f 0) + X (f f 0 )). (Ez a kétoldalsávos amltúdómodulácó.) Szorzás, kovolúcó: Legye x (t) X (f) és x 2 (t) X 2 (f) Fourer traszformácós ár. A a két dőfüggvéy szorzatáak Fourer traszformáltja a két sektrum leárs folytoos kovolúcója lesz: F{x (t). x 2 (t)} = X (f) * X 2 (f) A két dőfüggvéy leárs folytoos kovolúcója a két sektrum szorzata lesz: F{x (t) * x 2 (t)} = X (f). X 2 (f). Létékváltás: Ha x(t) X(f) = x(at) F x(t) e j2 π ft π x( at) e j2 ft dt = τ = at a dt= dτ a dt és a > 0 valós szám, akkor a x( ) e j2 π f τ τ dτ x(at) F a X f a. A kaott eredméy jeletőségét az alább ábrá llusztráljuk: JELEK verzó: 204. február 28.

24 Jelek 24/44 Ha a>, akkor összezsugorítjuk az dőtegelyt, azaz felgyorsítjuk a jel lefolyását, ezáltal a sektrum kszélesedk. Ha a<, lelassítjuk a jel lefolyását, a sektrum keskeyebbé válk. em lehet egyszerre gyors lefutású és keskey sávszélességű egy jel! A Parseval-tétel: Ha x (t) X (f) és x 2 (t) X 2 (f) Fourer traszformált ár, akkor * * x ( t) x ( t) dt = X ( f) X ( f) df 2 2. Eek fotos esete, amkor x (t) = x 2 (t) = x(t); lyekor a fet tegrál a jel eergáját adja meg: 2 2 E = x( t) dt = X ( f ) df (eerga tétel). Az eerga egy varás jellemzője a Fourer traszformácóak. Dervált: Ha x(t) X (f) Fourer-traszformácós ár, és létezk az x(t) jel -edk derváltja, akkor d x(t) (j2πf) X( f ). dt Itegrál: Ha x(t) X (f) Fourer-traszformácós ár, és az x(t) függvéy tegrálható, akkor t x'(t) = x( τ )dτ (f) + F X X (0) δ(f). j2πf 2 Megjegyzés: Dszkrét sorozatokál a dfferecálás egy külöbségkézést jelet: JELEK verzó: 204. február 28.

25 Jelek 25/44 x d = (x x -) (hátra dffereca) x d = (x + x ) (előre dffereca) Dszkrét sorozatokál az tegrálás akkumulálást, összegzést jelet: x' = x m. m= Egyéb: Ha x(t) X (f) Fourer-traszformácós ár, akkor x(t) és X(f) em lehet egydejűleg véges tartójú. Máskée fogalmazva véges tartójú függvéy Fourer-traszformáltja sohasem véges tartójú ll. sávhatárolt x(t) függvéy sem lehet véges tartójú A Fourer traszformácók egységes leírása A Drac delta defálása: Olya valós és tegrálható függvéy, amely mdehol 0 kvéve a 0 helye, ahol em korlátos. Jelölése: A Drac-delta olya függvéy, amely tegrálható és tegrálja: c ; ha a < b < c δ (x - b)dx = vagy δ(x)dx 0; egyébkét =. a A δ(x) függvéy mtavételező tulajdosága: y(x) δ(x-c) = y(c) δ(x-c) azaz függvéyel szorozva egy Drac-deltát egyelő egy számmal (mtával) szorozva a Drac-delta. Leárs folytoos kovolúcó tulajdosága alajá: y(x)* δ(x-c) = y(x-c) azaz függvéy eltolása egyelő az eétolt Drac-deltával vett kovolúcóval.. A δ(x) erodkus kterjesztése, a Drac delta sorozat: δ (x) = δ(x - P), amely P szert erodkus. P =- JELEK verzó: 204. február 28.

26 Jelek 26/44 Megjegyzések: Az y(x) függvéy erodkus kterjesztése megadható a Drac delta sorozattal vett kovolúcóval s: y(x)* δ P (x) = y P (x). A mtavételezés művelete megadható a Drac delta sorozattal törtéő szorzáskét: y(x) δ (x) = y(p) δ( x P), amely kölcsööse egyértelműe megfeleltethető P = (zomorf) az y P = y(x=p) számsorozattal. ( y(x) δp (x) y P ) A Drac delta függvéy és a Fourer traszformáltak tulajdosága: Ídőfüggvéy: Időtartomáy leírás és tegrál előállítása Sektrum: Frekvecatartomáy leírás és tegrál előállítása j2πft x(t) = X(f) e df j2πft δ (t) = e df = j2π (t t 0 )f = e df j2πft X(f) = x(t) e dt δ (t)e - j2πft - j2πft 0 - j2πft δ (t - t 0 ) e = δ (t - t 0 )e dt e j2πf 0 t + j2πft (f - f 0 )e j2π (f -f0 )t = δ df δ (f - f 0 ) = e dt δ δ F (f) = e = t - j2π j2 tf (t) = e = e π = = dt j2πf A Fourer-tegrál segítségével az x(t) égyzetese tegrálható jelet elő tudtuk állíta tegrál alakba és ugyaígy a sektrumot s: JELEK verzó: 204. február 28.

27 Jelek 27/44 j2πft x(t) = X(f) e df j2πft X(f) = x(t) e dt Ugyaígy a δ(t) s előállítható: j2πft δ (t) = e df = - - δ (t)e ehát az dőbel Drac delta függvéy (δ(t)) a frekvecategely fölött. (Így az egységfüggvéy verz Fourer-traszformáltja δ(t) lesz.) Az eltolás tétel alajá: - j2πft - j2πft 0 j2πft - j2πft 0 - j2πft δ (t - t 0 ) = e e df e = δ (t - t 0 )e dt Az dőtartomáyba komlex harmokus jel a frekvecatartomáyba Drac delta lesz: e j2πf 0 t + j2πft (f - f 0 )e j2πf 0t j2πft = δ df δ (f - f0) = e e dt = dt j2π (f -f0 )t = e dt A erodkus jelek megadhatók a Fourer-sorukkal, így a szert erodkus δ ( t) Drac delta sorozatak s megadható a Fourer-sora: Ezzel t -j2 δ (t) = ce π =, ahol t t - j2π j2 δ (t) = e = e π = = c 2 t = - j2π = (t) e dt δ. 2, azaz komlex harmokus jelek összege. Mvel a komlex harmokus jel a frekvecategely fölött Drac delta, ezért a δ ( t) Drac delta sorozat Fourer-tegrálja s Drac delta sorozat lesz. { δ (t), f} = ( f) F δ F δ (t) F δ F ( f), ahol =/F. Megjegyzés: A δ(t) függvéyt gyakra defálják más egységy területű függvéyek határfüggvéyekét. Pl.: JELEK verzó: 204. február 28.

28 Jelek 28/44 A több Fourer-traszformácó vsszavezetése a Fourer-tegrálra: I. A Fourer-sor vsszavezetése Vegyük egy x (t) erodkus függvéyt. égyszögletes ablakolással válasszuk k egy eródusát. Ezt a véges tartójú jelet jelöljük x (t)-vel. Az ( t) x ( t) = x ( t) * ( t) x erodkus kterjesztésével vsszakajuk az eredet x (t) erodkus jelet: δ. x (t) -ek ez az előállítása már Fourer-tegrálható, felhaszálva, hogy a Drac delta sorozat Fourer-tegrálja szté Drac delta sorozat, és hogy az dőtartomáyba elvégzett kovolúcó a frekvecatartomáyba szorzás: F { x (t)} = X (f) δ (f) = X (F) δ (f F, amely egyértelműe megfeleltethető az X F F ) = zomorfa X (F) X δ (f - F). sorozattal: Megjegyzés: JELEK verzó: 204. február 28.

29 Jelek 29/44 Az dőtartomáybel erodkus kterjesztés mtavételezések felel meg a frekvecatartomáyba. A erodkus jelek voalas dszkrét sektruma va. Ezzel az x ( t) jel Fourer-sorát az x ( t) véges tartójú jel sektrumáak mtavételezésével yerjük. II. A dszkrét dejű Fourer-traszformácó vsszavezetése A dszkrét dejű Fourer-traszformácó az x sorozat és X F ( f ) sektrum között teremt DF kacsolatot: x X F ( f). Az x számsorozat zomorf a következő jellel: * x (t) = x δ (t - ). = x * (t) amely már Fourer-tegrálható egyértelműe meghatározza az x számsorozatot. Mthogy F{δ(t t 0 ), f}= e j2π ft 0, F{ x * (t), f}= X ( f) = x e F = állíta a Fourer-tegrállal. j2π f A DF-hez szorosa kacsolódk az alább ge fotos tétel. Shao mtavétel tétele:, ahol F=/. Ezzel a DF defícóját s elő tudtuk Legye az x(t) egy Fourer-tegrálható, folytoos dejű jel. F{ x(t), f}= X(f) Mtavételezzük x(t)-t mtavétel dőközzel: x * (t) = x(t) δ ( t). A mtavételezett jel Fourer-tegrálja: F{ x * (t), f}= X * (f) = X(f)* δ F ( f ), mvel az dőtartomáybel szorzás a frekvecategely fölött kovolúcóak felel meg, és a Drac delta sorozat Fourer tegrálja szté Drac delta sorozat. (Vagys X * (f) em más, mt az eredet x(t) jel X(f) sektrumáak erodkus kterjesztése.) JELEK verzó: 204. február 28.

30 Jelek 30/44 : Ha az x(t) jel sávkorlátozott, azaz X ( f ) = 0, ha f B, és a mtavétel frekveca F = / 2B, akkor az x*(t) mtavételezett jelből egyértelműe vsszaállítható az eredet x(t) jel. Ugyas, ha X ( f ) = 0, ha f B és F = / 2B, akkor az X(f) F szert erodkus kterjesztése veszteségmetese megy végbe. Így az X * (f)-ből egyszerű ablakolással vsszaállítható X(f). (Ez a frekvecatartomáybel ablakolás deáls B törésot frekvecájú aluláteresztő szűrést jelet.) III. A dszkrét Fourer-sor vsszavezetése A dszkrét dejű Fourer-sor az x erodkus sorozat és az X dszkrét sektrum között teremt DFS kacsolatot: x X. Vegyük egy véges tartójú x (t) dőfüggvéyt, amelyek sektrumát jelöljük X(f)-fel és erodkus kterjesztését x (t) -vel: F{ x(t), f}= X(f), x (t) = x (t)* δ (t). Mtavételezzük x (t) -t t s = / mtavétel dővel: x* (t) = x (t) δ / (t) = (x (t)* δ (t) ) δ / (t). Az így kaott x* (t) jel kölcsööse zomorfa * egyértelműe megfeleltethető az x számsorozattal: x x (t). Most vegyük x* (t) Fourer-tegrálját: F{ x* (t), f}= F{(x (t)* δ (t) ) δ / (t), f}= (X(f) δ / (f ))* δ / (f ). Perodkus sorozatok Fourer-traszformáltja erodkus sorozat. IV. A dszkrét Fourer-traszformácó vsszavezetése DF A DF az x dővektor és az X frekvecavektor között teremt kacsolatot: x X. A DF vsszavezethető a DFS-re ugyas az x vektor az x erodkus számsorozat egy JELEK verzó: 204. február 28.

31 Jelek 3/44 eródusát, az X vektor edg az X számsorozat egy eródusát tartalmazza. Vagys a DF vektorok erodkus kterjesztésével kajuk a DFS számsorozatokat. Mvel a DFS-t már vsszavezettük a Fourer-tegrálra, így a DF s kéezhető vele..2.7 Jelműveletek összefoglalása Művelet a jele Leár kombácó Modulálás, keverés Ablakolás (dőbe) Szűrés Mtavételezés Sektrum mtavételezés Iterolálás Időtartomáybel művelet Leár kombácó szorzás szorzás vvővel szorzás ablakolás kovolúcó kovolúcós torzítás, trazes torzítás mtavételezés szorzás (Drac delta sorozattal) erodkus kterjesztés átlaolódás kovolúcó (teroláló jelalakkal) Frekvecatartomáybel művelet Leár kombácó kovolúcó eltolás a vvőfrekvecával kovolúcó kovolúcós torzítás, elkeődés, áttevődés szorzás ablakolás erodkus kterjesztés kovolúcó (Drac delta sorozattal) átlaolódás mtavételezés szorzás, sektrum ablakolás JELEK verzó: 204. február 28.

32 Jelek 32/44.3 Oerátor tartomáy leírás: komlex függvéyta modellek, Z-traszformácó A jelek oerátortartomáybel leírásához a komlex függvéyta legfotosabb elemevel kell megsmerkedük. Folytoos jelek oerátortartomáybel kééhez a Lalace-traszformácóval juthatuk el. Mvel a dgtáls jelfeldolgozás sorá legtöbbször dszkrét dejű jelek kerülek előtérbe, amelyek oerátortartomáybel leírása a Z-traszformácóval adható meg, a Lalace traszformácóval tt em foglalkozuk..3. A Z-traszformácó Legye adott egy x számsorozat, amelyek Z-traszformáltja a z komlex változóak egy gyűrű felett aaltkus függvéye, melyek formáls defícója egy hatváysor: x z-traszformácó X(z) Z {x, z} = X(z),z R, ahol - X(z) = x z, =- X(z) komlex függvéy, és R a kovergeca gyűrűt jelöl. Vzsgáljuk meg, mkor létezk egy sorozat Z-traszformáltja, azaz a formáls Z-traszformácó mkor állít elő létező (komlex) függvéyt. Ehhez smételjük át éháy de tartozó matematka fogalmat. Defícó: Az a végtele sorozat elemeek összegzésével kaott végtele sor akkor koverges, ha a részletösszegek sorozatáak határértéke véges. Ezt a határértéket a végtele sor összegéek evezzük. 0 = a = Ha a = 0 a =0 lm = S. a sor s koverges, akkor azt modjuk, hogy az a abszolút koverges. Kérdés, hogy ha átdexeljük az a végtele számsorozatot, azaz az elemet más sorredbe adjuk össze, akkor ugyaahhoz az S összeghez jutuk-e. étel: Ha a a sor abszolút koverges, akkor az elemek tetszőleges átredezésével yert sor s = 0 JELEK verzó: 204. február 28.

33 Jelek 33/44 abszolút koverges és a sor összege az összeadás sorredjétől függetle. étel: (Rema-féle átredezés tétel) Ha a koverges sor, de em abszolút koverges, akkor mdg átredezhető úgy, hogy = 0 összege egy előre meghatározott tetszőleges véges szám legye, lletve a sor +-hez, vagy hez dvergáljo. ehát csak az abszolút összegezhető sort tekthetjük olyaak, mely az összeadás sorredjétől függetle összeget állít elő, tehát létező függvéyt hoz létre. A defícó alajá csak rtká döthető el egy sorról, hogy koverges-e. Ezért a kovergeca eldötésére külöböző krtérumokat haszáluk, mt l. a majorás, morás krtérumot, a gyök- és háyadoskrtérumot, vagy az tegrálkrtérumot. Ezek közül most csak a gyökkrtérumot smételjük át. étel: Ha a lm a = C, ahol C<, határérték létezk, akkor a = 0 0 = a sor koverges. Ha C> vagy a határérték em létezk, akkor a sor dverges. (Ha C=, akkor em döthető el, hogy koverges-e a sor.) Most a gyökkrtérum felhaszálásával elleőrzzük, hogy botsuk fel X(z)-t két sorra: =- =- - X(z) = x z sor koverges-e. Ehhez = m - X(z) = x z = x z + x z = x z + x z. =0 Ha mdkét sor abszolút összegezhető, akkor létezk a Z-traszformált és az egyértelmű.? lm - x z = z lm x - x z akkor koverges, ha z > lm x = a +. = 0 (Az a + az x aszmtotkus jövőbe vselkedésétől függő szám.)? lm m m x z z lm m m -m = x -m x -mz akkor koverges, ha < z = a. m m m= lm m x m= -m =0 m Ebből adódóa X(z) akkor létezk, ha z az r = a + és az r 2 = a sugarú körökkel határolt kovergecagyűrűbe va. -m JELEK verzó: 204. február 28.

34 Jelek 34/44 Megjegyzés: Ha az x sorozatak csak múltja va, azaz > 0-ra x = 0, akkor az a + sugár zérus, azaz a kovergeca tartomáy egy korog. Ha az x sorozat beléő sorozat (csak jövője va, < 0-ra x = 0), akkor /a = 0, azaz a kovergeca tartomáy egy korog kvételével a teljes komlex sík. Koverges hatváysorok aaltkus függvéyt állítaak elő (folytoos, akárháyszor dfferecálható, valós és kézetes rész függvéyek kelégítk a Cauchy-féle dff. egyeleteket, stb.). ehát a dszkrét dejű jel (számsorozat) Z-traszformáltja - ha létezk, akkor - körgyűrű felett aaltkus függvéy. Másrészt mde aaltkus függvéy egyértelműe koverges hatváysorba fejthető. Az - X(z) = x z hatváysorral való előállítása a Lauret-sor. =- Az verz Z-traszformácó voltakée X(z) Lauret sora x együtthatóak a meghatározását jelet. Ez a komlex függvéyta szert: Z {X(z), z R} = x = X(z) z dz. 2πj c R JELEK verzó: 204. február 28.

35 Jelek 35/ A Z-traszformácó tulajdosága Legye x egy számsorozat, amelyek Z-traszformáltja X(z): x Z X(z).. Leárs kombácó: () Z () λ x λ X ( z). 2. Eltolás tulajdoság: Z 0 x z 0 - m 0 X(z), mert x z = x mz z. 0 =- m= 0 = m+ 0 m= 3. Exoecáls sorozattal való szorzás: a x Z z z X, mert a x z = x. a = = a 4. Leárs sorozattal való szorzás: Z dx(z) x z. dz 5. Kojugálás: * * * x Z X (z ). 6. Fordított sorozat Z-traszformáltja: Z x X( z) (Ez ayt jelet, hogy am eddg az X(z) egységkörö kívül eső otja az egységkörö belülre traszformálódak és vszot.) 7. Két sorozat kovolúcójáak Z-traszformáltja: x * y Z X(z) Y(z) (a két sorozat Z-traszformáltjáak szorzata). 8. Két sorozat szorzatáak Z-traszformáltja: Z x y X( ν ) Y(z ν ) ν dν, ahol 2πj c R x R y JELEK verzó: 204. február 28.

36 Jelek 36/44 R x az X(z) = Z{x } és R y az Y(z) = Z{y } kovergeca tartomáya. (Az összefüggés a komlex függvéyekre értelmezett kovolúcó.) 9. A Z-traszformácó és a a DF között kacsolat: Kotúrfüggvéy: F Mvel x X (f) = = x e j2πf és x Z X(z) = x = z, ezért ha a j2πf z = e helyettesítést alkalmazzuk, akkor X(z)-ből előállítható X (f ) : X (f ) = X(z). Az így kaott X (f ) függvéyt az X(z) egységsugarú körre voatkozó j2πf z= e j2πf kotúrfüggvéyéek evezzük. ( z = e = ). Ebből adódóa egy számsorozatak csak akkor va sektruma (Fourer traszformáltja), ha Z- traszformáltjáak kovergeca tartomáya tartalmazza az egységkört. (ehát va olya számsorozat, amelyek létezk a Z-traszformáltja, de Fourer-traszformáltja cs.) Aaltkus kterjesztés: Az X (f ) X(z) átmeet meghatározása rtká va szükség a mérök gyakorlatba, ezért ezzel részletese em foglalkozuk. Megjegyezzük, hogy ha a komlex sík egységkörére voatkozó kotúrfüggvéy, X (f ) adott, akkor ebből a z síkra kterjedő aaltkus függvéy, X(z), az ú. aaltkus kterjesztés határozható meg. Megjegyzés: JELEK verzó: 204. február 28.

37 Jelek 37/44 Határozzuk meg az u = x y szorzat Fourer-traszformáltját a Z-traszformáltak segítségével! U(z) = 2πj c R x R y X( ν ) Y(z ν ) ν dν és U (f ) =F {x y } = U(z). j2πf z= e Ekkor U(z) kfejezésébe a következő helyettesítéseket kell haszáluk: j2 f z = e π j2, ν = e πϕ j2 és ekkor a kotúrtegrálást elég a c = e πϕ egységkörre elvégez: z = j2 e, j2πϕ U (f ) = F {x y} = X( ν ) Y ν dν, ahol dν π dϕ 2πj j2πf j2πϕ ν c= e z= e j2πϕ ν = e / U (f ) = F {x y} = X(e 2πj = f c f c 0 X ( ϕ ) Y ( f ϕ ) 0 j2πϕ ) Y e dϕ, ahol f c = /. j2π (f ϕ ) j2πϕ j2πϕ ( ) e 2πj e dϕ = Ezzel a komlex függvéyek kovolúcójáak kotúrfüggvéyét vsszavezettük a valós függvéytaból megsmert folytoos erodkus kovolúcóra..3.3 Az verz Z-traszformácó Az verz Z-traszformácó defícó szert: x = X(z) z 2πj Eek az tegrálak a kértékelésére több módszer s yílk. Ehhez smételjük át éháy alavető komlex függvéyta fogalmat. JELEK verzó: 204. február 28. c R dz. Defícó: A H(z) komlex függvéyek a z 0 R zolált szgulárs otja, ha H(z) a z ö ot (egy "átszúrt") köryezetébe regulárs (vagys Lauret sorba fejthető). Ha létezk a lm H(z) = A < véges határérték, akkor z 0 -t a H(z) megszütethető zolált z z0 szgulartás otjáak evezzük. Defícó: A H(z) függvéy a z = z 0 zolált szgulartás otja körül Lauret soráak -edk együtthatóját a H(z) függvéy z 0 othoz tartozó resduumáak evezzük: res{ H(z) } = H(z) z=z0 2πj dz, ahol c olya oztív körüljárású rektfkálható Jorda görbe, amely c R bee va a z=z 0 ot átszúrt köryezetébe.

38 Jelek 38/44 étel: (Resduum-tétel) Ha a H(z) függvéy regulárs a oztív ráyítású c rektfkálható zárt Jorda-görbé és belsejébe a belsejébe lévő véges számú z, z 2,..., z szgulárs ot kvételével, akkor c R H(z) dz = 2π j res{ H(z) }. z=z = étel (a resduum számítására): Ha a z = z 0 ot a H(z) függvéy m-edredű ólusa, akkor m [( z z ) H z ] m res{ H(z) } = z=z 0 ( )! lm d ( ) 0. m z z m 0 dz (Pl. Ha H( z) = z 2 (z 0=2, m=) res{ H(z) }=.) z=z 0 Az verz Z-traszformácó számítása a resduum-tétellel: A resduum tétel alkalmazásával az verz Z-traszformácó formulájába szerelő tegrál már köye számítható. Ezzel x = res{ X(z) z } z=z =..3.4 Racoáls tört verz Z-traszformácója A gyakorlatba agyfotosságúak azok a jelek, melyek Z-traszformáltja két olom háyadosa: X(z) A(z) = = B(z) M M a z + a z a z + a M M z + b z b z + b 0 0 (M ). Az lye jeleket ARMA (auto-regressve movg-average) jelekek s szokták evez. Megjegyzés: Md az A(z) md a B(z) olom felírható gyöktéyezős alakba s: M A( z) = a z = a ( z z ), M M = 0 = B( z) = ( z z j ). A z = z j otok az X(z) függvéy szgulartás otja. j = JELEK verzó: 204. február 28.

39 Jelek 39/44 Az verz Z-traszformácó számítása a resduum-tétellel: Az verz Z-traszformáltat ebbe az esetbe (az -től s függő) racoáls tört ólusahoz tartozó resduumok összegekét számíthatjuk: x res A(z) = { z } z=z B(z) = ahol a z ólusok az értékétől függőe vagy a B(z), vagy a z -(-) B(z), < olomok gyöke. (egatív -ek esté az orgóba többszörös multlctású ólus keletkezk!) Megjegyezzük, hogy egyszeres ólus eseté a resduum ge egyszerűe számolható: res A(z) A(z) z=z0 B(z) = B'(z), ahol B' db( z) ( z) =. dz z=z0 Feladat: Vezessük le a fet összefüggést a resduum számításra adott általáos kéletből (m = eseté). Példa: Legye z + z + ( z ) = =. ( z 2) ( z 0,5) z 2,5z + X 2 Határozzuk meg az x = Z {X(z)} sorozatot! x = ( z + ) z ( z + ) z res = res z 2, 5z + z 2, 5z + z De melyk az a körgyűrű alakú kovergeca tartomáy, mely felett összegez kett az abba lévő ólusokhoz tartozó resduumokat? Először ézzük mely körgyűrűk felett aaltkus X(z): z = 0,5 és z 2 = 2 otba ólusa va X(z)-ek, vagys ezekbe a otokba em aaltkus. Ebből adódóa 3 olya kovergeca tartomáy adható meg, ahol X(z) Lauret-sorba fejthető: I. z < 0, 5 II. 0,5 < z < 2 III. z > 2 JELEK verzó: 204. február 28.

40 Jelek 40/44 ehát három külöböző kovergeca tartomáy lehetséges, így az verz Z-traszformáltra s három külöböző megoldás va. Első kovergeca gyűrű: I. z < 0, 5 Ebbe az esetbe csak a változó multlctású, orgóbel ólus va (az s csak < esetébe) a kovergeca gyűrű belül, tehát a fet összeg csak egy tagú: x () = 0, > z + res, 0 z= ( z 2, 5z + z) z Másodk kovergeca gyűrű: II. 0,5 < z < 2 Ekkor a kovergeca tartomáyba haladó zárt kotúro belül már két ólus va a 0 és a 0.5, (2) tehát másodk tagkét a z=0.5-höz tartozó resduumokat s fgyelembe kell ve x számításakor: x (2) x (2) = x () = x () ( z + ) z + res 3 2 z 2, 5z + z 2 2 z= 2 = x () + ( z + ) z 2 3z 5z + = z 2 Harmadk kovergeca gyűrű: III z. > 2 Most már egatív értékekél három ólus (0, 0.5, 2), oztív értékekél edg két ólus veedő fgyelembe. A megoldást most csak a gyakorlatba leggyakrabba előforduló III. esetbe adjuk meg (amkor x = 0 0-ál): JELEK verzó: 204. február 28.

41 Jelek 4/44 x (3) = = res ( z + ) z res = 3 2 z 2, 5z + z z ( z 2, 5z + z) z ( z + ) z = d ( + ) dz z 3 z 2 2, 5 z z= z ( z + ) z ( z + ) z z 5z + 3z 5z + z= 0 z= z= 2 2 egatív dexekél a három resduum összege ulla, így x (3) = , ha > 0 2 0,, ha 0 Iverz Z-traszformácó olom osztással:. Írjuk fel a X(z) ARMA jel számlálóját és evezőjét z csökkeő hatváya szert sorredbe, majd vegyük az első tagok háyadosát. Ezzel megkajuk a X(z) sorfejtéséek első tagját. Pl.: (z+):(z 2 2,5z+) z 2. A kaott eredméyt (most:z ) szorozzuk vssza az osztóval ((z 2 2,5z +) z = z 2,5+ z ) majd az így kaott eredméyt vojuk k az osztadóból. (z+ z+2,5 z = 3,5 z ) 3. Az előző ottal kaott módosított osztadóval végezzük el újra az első otot. Így megkajuk a H(z) sorfejtéséek következő tagját. (Most: (3,5 z ):(z 2 2,5z+) 3,5z 2 ) Összegezve (a éldá keresztül): X(z) = (z+):(z 2 2,5z+) = z + 3,5z 2 + 7,75z ( z 2,5+ z ) 3,5 z (3,5 (2,5 3,5)z +3,5 z 2 ) 7,75 z 3,5z Ezzel az algortmussal előállítottuk a X( z) = x z alakot, amelyből az x tagok kolvashatók. = (Mvel eek az algortmusak soscs vége log dvso-ek s szokták evez.) Megjegyzés: JELEK verzó: 204. február 28.

42 Jelek 42/44 A fet éldáál csökkeő ktevők szert redezésbe végeztük el az osztást. Ezzel a z > 2, azaz a legkülső körhöz tartozó sorfejtést állítottuk elő. Ha a sorredet felcseréljük, vagys z övekvő hatváya szert írjuk föl a olomokat, akkor az orgó körül legbelső körhöz tartozó sorfejtést állítjuk elő: X(z) = (+ z):( 2,5z+ z 2 ) = + 3,5z + 7,75z ( 2,5z+ z 2 ) 3,5z z (3,5z 8,75z 2 +3,5 z 3 ) 7,75 z 2 3,5z Iverz Z-traszformácó részlettörtekre botással: ételezzük föl, hogy az X(z) ARMA jel valód tört: X(z) = A(z) B(z) = M = 0 j= 0 a z, ahol M <. j b z j Az algebra alatétele szert a evezőek M, a számlálóak számú gyöke va, ezért X(z) felírható az alább ú. gyöktéyezős alakba: X(z) = A(z) B(z) = ( ) a z z M M = ( j ) b z j=, ahol a z -k X(z) zérusa és j -k X(z) ólusa. Egyszeres ólusok eseté X(z) arcáls törtek összegekét s felírható: X(z) = A(z) B(z) = r z = A( ) = = B'( )., ahol res{ X(z) } r z= Mvel a Z-traszformácó leárs művelet, a fet összeg tagjaak külö-külö vehetjük az verz Z- traszformáltját, és az így kaott részsorozatokat a végé összegezhetjük. Ezeket a részsorozatokat a geometra sorok összegére voatkozó tétel segítségével határozzuk meg. étel: A q sor akkor és csak akkor koverges, ha q <. Ekkor q =. = 0 = 0 q Mert: q 0 + q q +...= S / q q + q q +...= qs = q 0 + S = + S = ( q) S. JELEK verzó: 204. február 28.

43 Jelek 43/44 JELEK verzó: 204. február 28. (Ha az összegzés = -től törték: q q q = =.) x -edk összetevőjéhez ézzük meg, hogy Z r z z, R =? A megoldás két tartomáyba adható meg:. Ha z >, akkor Z r z z >, = = Z r z z z <, = r z r = = Z 0, ha > 0, ha 0 2. Ha z <, akkor Z r z z <, = = Z < r z z, = = > = r z r Z 0 0, ha 0, ha 0 Ha az orgó körül legbelső körhöz tartozó sorfejtést akarjuk meghatároz, akkor mdg a 2. eredméyt kell mde -re kszámol, ha edg a legkülső körhöz tartozót, akkor az elsőt. Az. és 2. tíusú sorfejtések külöböző kombácóval való összegzésével tetszőleges gyűrűtartomáyba meghatározható az verz Z-traszformált. Így az x = = Z r z sorozat rész exoecáls sorozatok összegéből áll. Megjegyzés:

44 Jelek 44/44 Ha X(z)=Z{x }-ek komlex ólusa, oha x valós, akkor X(z)-ek * s ólusa. (Mt lát fogjuk, máskülöbe em lehete x valós.) Ezért az előbb arcáls törtekre botáskor a kojugált-komlex ólusokhoz tartozó tört árokak együtt vegyük az verz Z-traszformáltját. étel: Ha res{ X( z)} = r, akkor res { X ( z )} = r *. * z= z= A fet tétel szert ha X(z)-ek K számú kojugált-komlex ólus árja va, akkor a arcáls törtekre botást az alább alakba adjuk meg: X(z) = A(z) 2 K K * B(z) = r r r j j + +. * = z j= z j z j A másodk összeg tagjat másodfokú arcáls törtekek evezzük. ermészetese a másodfokú arcáls törtek sorfejtése s két tartomáyba adható meg. Például a z > j tartomáyba: * * rj r j r () j rj j x z ( j ) ha > 0, j = Z * + j j j z j z > j = +,, * * 0, ha 0 Ezt közös evezőre hozva és a = a e jϕ.( * = a e jϕ ) és r = b e jγ. ( r * = b e jγ ) jelölésekkel továbbírva (a j dexeket az egyszerűség kedvéért most e írjuk k), x (), ( ) e e e e = * + * * r r ) ) ab a + ab a = 2 2 a j( γ ϕ jϕ j( γ ϕ jϕ j(ϕ ϕ+ γ ) j(ϕ ϕ+ γ ) ( e e ) 2 cos( ( ) ϕ γ) b = + = + a a ba Feladat: Határozzuk meg a másodfokú arcáls tört sorfejtését a z * (2) rj r j x, j = Z + z j z j z, < =? * j = ha >0, egyébkét 0. < j gyűrűtartomáyba. JELEK verzó: 204. február 28.