S 05 ROBOTOK ÉS VIZSGÁLATUK I. ÉAÜLT ROBOT1 S 05 SEGÉDLET Dr. Pápai Ferenc KOORDINÁTA TRANSZFORMÁCIÓK

Átírás

1 S 5 OBOOK ÉS VIZSGÁAUK I. ÉAÜ OBO S 5 SGÉ r. Páai Feren. KOOINÁA ANSZFOMÁCIÓK BM ÉAG KOOINÁA ANSZFOMÁCIÓK.... FOGAÁS... A elemi rotáió mátriok invere:.... -P-Y SZÖGK.... OMOGÉN ANSZFOMÁCIÓK... A homogén tranformáió orat alakja é invere...5 A CP PON YÉNK SZÁMÍÁSA...6. A OBO KANSZ NAVI-ANBG MÁIXAI:...6 IOAOM...8 KOOINÁA ANSZFOMÁCIÓK A robotok mogáát felfoghatjuk úg i mint a robotkarokho rögített koordinátarenderek frame koordinátarenderek relatív heletének váltoáát. nnek megfelelően a CP ont világkoordinátarenderbeli helete a karokho rögített koordinátarenderek tranformáiójával előállítható ha imerjük a koordinátarenderek relatív heletét meghatároó időfüggvéneket. A továbbiakban a robot-eifiku koordináta tranformáiókat tekintjük át.. Forgatá A koordinátageometriából imert módon a tengel körüli forgatát 5.. ábra a o in ot in o 5. mátri egítégével írhatjuk le. ábra :\_ajáttárgak\_robot-\_egédletek\obo S 5 ranformáiók.do

2 in o ~ e -in e o e aonló mátriok kéehetők a é tengelek körüli forgatára i ahol é a koordináta tengelek körüli elforduláok öge íg o in ot o in ot. 5. in o in o -nál ügeljen a negatív előjel helére! a bármelik két mátriot öeorouk akkor a két tengel körüli egütte forgatá mátriáho jutunk: o ot ot in in o o in o in in o in o o o in in in o in. 5. o A forgatá orrendje nem köömbö. A fenti ot ot forgatá előör eg tengel körüli öggel való forgatát majd máodik léében a eredménnek a tengel körüli öggel való elforgatáát jelenti. A három forgatái mátri öeoráából három tengel körüli egidejű forgatá mátria adódik: o ot ot ot in in o. o in o in. o in in o 5.5 o in o in in o in in o o o in in o in o o o in in in in o o in in in o in o o oin o o in in o in o oin in oo A forgatá orrendje itt em köömbö a fenti forgatá előör tengel majd tengel végül tengel körüli forgatát jelent. A elemi rotáió mátriok invere: A elemi rotáió mátriok inverei tranonáltjukkal egenlő ekintük a tengel körüli forgatá mátriát: OBO S 5 ranformáiók

3 o in ot in o o in nnek invere in o llenőriük le hog a rotáió mátri é inverének orata valóban egégmátriot eredméne. o in o in o in in o in o o in a a inver-mátri erkeetét megfigeljük belátható hog a inver-mátri uganaon tengel körüli de ellenkeő iránú forgatának felel meg.. -P-Y ögek ; A orientáió jelleméének eg máik módja a avará oll billenté Pith é forgatá Yaw ögek hanálata. A 5.. ábrán lévő ögjelöléeket alkalmava é a -P-Y orrendnek megfelelően öeorova mátriokat; β; P α; Y ábra OBO S 5 ranformáiók

4 o PY ot ot ot in in o o in in o o in in o o o in o in o o in o in in o in o in in o o in in o o in in o o in in in o in in o in in o in o o in in in o o o 5.6 forgató mátriho jutunk amel a 5.5. ábra erinti forgatát eredménei. β β α α β. omogén tranformáiók ekintük a ábrán lévő ; ; é ; ; ; koordinátarender P P ; P ; P é P P ; P ; P ontja köötti öefüggét a alábbi báifüggetlen alakban: P r P r r P e r P P r r A P ont koordinátái a koordinátarenderben A P ont koordinátái a koordinátarenderben A koordinátarender origójának helvektora a -e koordinátarenderben e e P ábra OBO S 5 ranformáiók

5 OBO S 5 ranformáiók 5 egenek továbbá e ; e ; e a ; ; koordinátatengel iránú egégvektorok a i; j; k báiában. A fenti báifüggetlen alak e ; e ; e imeretében a alábbi formában írható fel: e e e 5.8 Írjuk fel a fenti mátriegenletet a alábbi alakban: A e e e 5.9 amelből megállaíthatjuk hog a elő három egenlete aono a előőeken felírt mátriegenlettel a utoló egenlete edig a aonoág íg a két mátriegenlet ekvivalen. A fentiek alaján a vektor homogén koordinátá alakjának a értékű negedik koordinátával kiegéített vektort neveük. A homogén tranformáió orat alakja é invere Amenniben a homogén tranformáió A-val jelölt minora eg forgató mátri akkor a homogén tranformáió a követkeő alakban írható fel:. Ahol a forgató mátri méretű eltolávektor méretű edig méretű orvektor éruvektor. A mátri orat alakban: A elő téneő tranláiót a máodik téneő rotáiót feje ki. A hiermátriok orái abálát alkalmava látható hog a orat alak valóban viaadja a eredeti mátriot: A orat mindkét téneője nemingulári. A homogén tranformáió inverének meghatároááho hanáljuk fel a orat alakot: gerű viaoráal ellenőrihető hog a homogén koordinátákkal kifejeett elemi rotáió é a elemi eltolá invere valóban eg ellenkeő iránú forgatá illetve eg ellenkeő iránú eltolá.

6 ábláatoan öefoglalva: 6 redeti alak Inver otáió ltolá otáió+eltolá Sorat alak A CP PON YÉNK SZÁMÍÁSA A robot CP ontja helének ámítáára legélraveetőbb a homogén tranformáiók hanálata. ekintük a alábbi ábrán látható két abadágfokú íkbeli robotot.. A robot karrender enavit-artenberg mátriai: A robot karrender enavit-artenberg mátriait továbbiakban: -vel jelöljük. A enavit-artenberg mátriok a tranformáiókat a homogén koordinátákkal írják le továbbá at a konveniót tartják hog két egmát követő abadági fok köötti tranformáió mindig úg történik hog a ukló által bitoított forgatái abadági fok a tengel körüli oitív iránú forgatá legen. o in in o o in in o a o b in in o o o in in in o in o a o bin ain bo Itt a robot abadági foka miatti tranformáió mátria homogén koordinátákkal kifejeve a theta váltoó függvéne. C a kontrukió tranformáió mátria tengel körüli forgatá é eltolá e ak kontan adatokat tartalma. A feladatban erelő robot eetében a CP erámontra vonatkoó eredő mátri eg hat téneő orat: CCC A kontrukió é robotukló forgatái mátriok: A theta váltoók inuait -el koinuait -vel jelöljük. OBO S 5 ranformáiók

7 OBO S 5 ranformáiók 7 A.-ből a. koordinátarenderbe való tranformáió mátria tengel körüli: 9 -o forgatá é iránban -gel való eltolá. Cuklóforgatá tengel körül : C A.-ből a. koordinátarenderbe való tranformáió mátri iránban -al való eltolá: C A.-ból a. koordinátarenderbe való tranformáió mátria iránban -gel való eltolá: C A eredő mátri 6 mátri orata.: lvégeve a beorát X

8 OBO S 5 ranformáiók 8 a a. koordinátarenderben adott v vektornak a. koordinátarenderbeli v koordinátáit kívánjuk meghatároni akkor a v v kifejeét kell kiértékelni. Itt terméeteen a íületi koordináták függvéne. Amenniben a kereett vektor éen a robot CP ontja mel a. koordinátarender origójában van vagi helvektora itt v CP akkor úg kajuk meg a CP ont világkoordináta-renderbeli ontjait hog a v v CP CP mátri-vektor oratot értékeljük ki e edig a v CP eiáli értéke miatt erámont a. koordinátarender origójában van nem má mint a mátri utoló oloa. CP CP v v bből a CP ont koordinátái: in in o o in o in in o o in o in in o o o Megjegé: Amenniben a CP ontho tartoó orientáiókat i figelembe kívánjuk venni akkor a v CP vektort -e egégmátriá kell bővíteni é a eredménül kaott mátri bal felő minora fogja tartalmani a orientáiót kifejeő egégvektorokat. IOAOM [] Kulár Béla: obottehnika [] Beni G. - akwood S.: eent Advane in oboti. John Wile & Son 985. [] óa Pál: ineári algebra é alkalmaáai. Műaki Könvkiadó Budaet