OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ Etapa locală Clasa a V-a

Átírás

1 Clasa a V-a FELADAT Öt, párokét külöböző, természetes szám összege 575 Tudva, hogy ezek közül a legagyobb szám és midegyik másik számmal vett külöbségek összege 0, számítsátok ki az öt számot FELADAT Határozzátok meg azokat az x természetes számokat amelyekre igaz, hogy x - et összeadva az x számjegyei összegével 08 -at kapuk 3 FELADAT Egy képeryő egy természetes szám va kiírva Lépés alatt a következőt értjük: a képeryő kiírt számot kicseréljük a szám számjegyei szorzatáak és a 3-ak az összegével Tudjuk, hogy a képeryő kiírt első szám a 3 a) Határozzátok meg 0 lépés utá a képeryő látható számot b) Határozzátok meg a képeryő kiírt 08 -adik számot 4 FELADAT Adottak az a és b számok, a b a) Határozzátok meg a b a szám utolsó számjegyét b) Mutassátok ki, hogy az ab08 szám em teljes égyzet (em égyzetszám)

2 Clasa a VI-a 30 Feladat Határozzátok meg azokat az xyz,,, z 0 számokat, amelyekre x y 3 z Feladat Adottak a következő természetes számok: a 5 6, b 4 5 és c, ahol Mutassátok ki, hogy: a) bc, b c; b) ab, ac, páros szám y, ( x, y az x és számok legkisebb közös többszöröse, illetve legagyobb közös osztója ) x y az x és y számok 3 Feladat Legye ABC egy általáos háromszög A háromszögö kivül megszerkesztjük az egyelőszárú háromszögeket, NAC AB [ AM] Bizoyítsátok be, hogy BAM CAN MAB és és [ AC] [ AN] úgy, hogy [ MC] [ BN] 4 Feladat Egy O pot körül adottak a következő szögek AOA, AOA 3,, AOA, A OA úgy, hogy m( AOA, m( A OA ), m( A OA ) 3,, ), ) m( A OA ahol Ha ma ( OA) 9, határozzátok meg az számot

3 Clasa a VII-a Feladat Határozzátok meg azokat az, a b A természetes szám ab ab természetes számpárokat, a b, amelyekre az Feladat a) Ha a és b két pozitív racioális szám a b, akkor igazoljátok, hogy ; b ab a 6 b) Igazoljátok, hogy Feladat Az ABC háromszögbe legye D az ( AC ) oldal felezőpotja, (DE és (DF pedig az ADB, illetve CDB szögek szögfelezői E A B, FBC Ha EF DB {M}, akkor mutassátok ki, hogy EF MD 4 Feladat Adott az ABC egyelőszárú háromszög, amelybe AB AC Legye D a BC oldal felezőpotja, M az AD szakasz felezőpotja, N pedig a D potból a BM -re húzott merőleges talppotja és E a B pot szimmetrikusa az M potra ézve Bizoyítsátok be, hogy: a) ADCE téglalap ; b) m( ANC) 90

4 Clasa a VIII-a FELADAT a) Igazoljátok, hogy x y z 9, x y z bármely xyz,, (0, ); b) Legyeek x, yz, valós számok úgy, hogy x yz 6 Mutassátok ki, hogy x 3 y 3 z 3 3 3x 3y 3z 3 FELADAT Adott az Ex ( ) 3x9x 6x kifejezés, ahol x a) Igazoljátok, hogy bármely x természetes szám eseté az három egymásutái természetes szám szorzatakét 3 x 3x x kifejezés felírható b) Bizoyítsátok be, hogy em létezik x amelyre E( x ) köbszám (teljes köb) 3 FELADAT Legye VABCD egy szabályos gúla, VO AB cm, ahol O az alaplap középpotja Legye az M pot az O potak CV -re eső vetülete, az N pot a [ BC ] szakasz felezőpotja, a G pot pedig a VAD háromszög súlypotja VM a) Igazoljátok, hogy MC b) Számítsátok ki az M pot távolságát a (VBD) síktól c) Bizoyítsátok be, hogy az M, NG, és A potok koplaáris potok AB 4 FELADAT Adott az ABCD trapéz, AB CD, 3 CD és { Q } AD BC Az ( ABC ) síkra emeljük a o Q potba az MQ merőlegest Tudva, hogy m( (( MAB),( ABC))) 30, számítsátok ki m( (( MAB), ( MCD)))

5 Clasa a IX-a FELADAT Oldjátok meg a valós számok halmazá a következő egyeleteket: a) xxx x x x x x x x b) x x x ( ahol { x } és x az x valós szám törtrésze, illetve az egész része ) FELADAT Mutassátok ki, hogy bármely x és y valós számokra teljesülek a következő egyelőtleségek: 3 FELADAT ; x y x y x y x y x y x y a) Bizoyítsátok be, hogy az ABC és ABC háromszögekek akkor és csakis akkor esik egybe a súlypotja ha AABBCC0 b) Az ABC háromszög oldalai felvesszük az M BC, N CA, P AB potokat úgy, BM CN AP hogy m,, p Legye G és G az ABC háromszög illetve az MNP BC CA AB háromszög súlypotja Mutassátok ki, hogy: i) A G pot akkor és csakis akkor va rajta az ABC háromszög A -ból kiiduló oldalfelezőjé, ha p m ii) A G és G potok akkor és csakis akkor esek egybe, ha m p 0 4 FELADAT Legye x egy sorozat, melybe x 0 0, x és Mutassátok ki, hogy bármely x 3x 5 x, 0 természetes szám eseté teljesül a következő egyelőtleség: x 3 3

6 Clasa a X-a FELADAT Oldjátok meg a következő egyeletredszert: zi z 3i zi z 3 i, ahol z FELADAT Legye M a a a,,, a a M, bármely i, j,,, eseté i j a) Mutassátok ki, hogy M U, ahol egy halmaz, azzal a tulajdosággal, hogy U z z ; b) Határozzátok meg a következő halmaz elemeiek számát: 0, f : 0,, f x a i 3 FELADAT Adott az f :, x i x f x x függvéy f x x, ahol a) Mutassátok ki, hogy az f függvéy bijektív és határozzátok meg a függvéy iverzét( f ) b) Oldjátok meg a következő egyeletet az egész számok halmazá: x x x x 4 log 4FELADAT Oldjátok meg az halmazo az a x x b, egyeletet, ahol ab, x x b a ab

7 Clasa a XI-a FELADAT Legye AB, M ( ) úgy, hogy det ( A B) det( AB 3) 0 Bizoyítsátok be, hogy: a) det A (tr A) tr( A ) ; b) det A det B; c) tr Atr Btr( A B) FELADAT Legye A M ( ),, úgy, hogy A A I O Határozzátok meg az 06 értékét tudva, hogy det( A I ) 3 FELADAT Legye a (0,) Értelmezzük az ( x) 0, sorozatot, amelybe x0 0 és x a a x a a x, Mutassátok ki hogy az ( x ) 0 sorozat koverges és határozzátok meg a határértékét 4 FELADAT a) Határozzátok meg az abc,,, a 0 paramétereket úgy, hogy lim a b c 08 b) Számítsátok ki: lim si

8 Clasa a XII-a FELADAT Legye ( G, ) egy csoport, valamit H, H és H a csoport három részcsoportja Mutassátok ki, hogy: a) A H H a G részcsoportja; b) A H H akkor és csakis akkor részcsoportja a G-ek ha H H vagy H H ; c) H H H akkor és csakis akkor, ha H H vagy H H FELADAT Legye G, egy csoport és x, y G úgy, hogy x y xy Mutassátok ki, hogy x y e, ahol e a csoport semleges eleme 3 FELADAT Számítsátok ki 3 {} x dx, ahol { x } az x valós szám törtrésze 3 si x 4 FELADAT Határozzátok meg azokat az f :[0;] itegrálható függvéyeket, amelyek redelkezek a következő tulajdosággal: f x ( x y) f( y) dy x, x[0; ] 0