ORSZÁGOS MAGYAR MATEMATIKA OLIMPIA XXVIII. EMMV Szováta, január 31. február 4. V. osztály

Átírás

1 V. osztály. feladat Árgyélus királyfi a hétfejű sárkáyal küzd. Ha levágja a sárkáy egy fejét, három fej ő helyette. Első ap a királyfi fejet vág le, második ap fejet, harmadik ap 3 fejet és így tovább. a. Háy feje lesz a sárkáyak a 7. ap végé? b. Háyadik vágás utá lesz potosa 08 feje a sárkáyak?. feladat A 08 egy olya égyjegyű természetes szám, amelyek számjegyei között a -es és a 8-as számjegy potosa egyszer szerepel. a. Számítsd ki a legagyobb és a legkisebb ilye típusú égyjegyű szám külöbségét! b. Háy ilye égyjegyű szám va? 3. feladat A hódok kiszámították, hogy a család 0 tagja 8 api keméy mukával tudja megépítei a hódvárukat védő gátat. A második ap végé észrevették, hogy már csak két apjuk maradt a mukára, mert jö az ár. Háy hódot hívjaak segítségül, hogy a még hátralevő két ap alatt elkészüljeek a gáttal? 4. feladat Rosszcsot Peti összetörte malacperselyét. Háromszor ayi 5 lejest talált bee, mit lejest, és ötször ayit, mit 50 baist. lejesekből kétszer ayi va, mit 0 baisokból, és az 5 lejesekből kevesebb, mit 50 darab. Meyi megspórolt péze volt Rosszcsot Petiek a perselybe? 5. feladat Egy égyzet oldalhossza 6 egység. A égyzetet az oldalakkal párhuzamos vágásokkal kilec téglalapra vágtuk az alábbi ábra szerit. A téglalapok kerületeiek agyságát sorba redezve kilec egymást követő számot kapuk. Mekkora a legagyobb kerület? 6. feladat Frédi és Béi, a két kőkorszaki szaki, eddig ismeretle kőtáblára bukkat, amelye a összeg utolsó éháy számjegye szerepelt. Miközbe a kőtáblával a helyi múzeum felé száguldottak, a kőtábla egyik sarka letörött, így az utolsó számjegy elveszett. Határozd meg az utolsó számjegyet, hogy restaurálhassák a táblát! Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

2 VI. osztály. feladat Határozd meg az a, b és c számjegyeket úgy, hogy ab, ba, számtai közepe legye. c0c számok közül az egyik a másik kettő. feladat Egy motorkerékpáros és egy kerékpáros egyidőbe idult el egymás felé két helységből. A találkozás pillaatába a motorkerékpáros 60 km-rel többet tett meg, mit a kerékpáros. A találkozás utá a motorkerékpáros a távolság 3. feladat 5 4 -ed részét kell még megtegye. a) Számítsd ki a két helység közötti távolságot! b) Háyszorosa a motorkerékpáros sebessége a kerékpáros sebességéek? Adottak az A x x 3 és B y y 3 halmazak va több eleme? halmazok. Melyik 4. feladat Neveics király udvarába három almafa va: egy arayalmafa, egy ezüstalmafa és egy brozalmafa. Az almafák apota teremek egy-egy almát. Az almafákat a tolvajok elle három királyfi védi meg, a agyobbik mide ötödik, a középső mide hatodik, a kisebbik pedig mide hetedik éjszaka őrzi. A király a következőképpe jutalmazza meg őket: amikor az almafákat egy királyfi őrzi, akkor ad eki egy arayalmát, amikor kette őrzik, akkor midkettőek ad egy-egy ezüstalmát, amikor pedig midhárma őrzik, akkor midegyik egy-egy brozalmát kap. Háy almával jutalmazza meg a király a királyfikat a 08-as évbe, midegyik almafajtából? 5. feladat Egy égyzet oldaláak hossza 06. A égyzetet az oldalakkal párhuzamos egyeesekkel az ábrá látható módo 9 téglalapra osztottuk. A téglalapok kerületeiek agyságát sorba redezve kilec egymást követő számot kaptuk. a) Mekkora a legagyobb kerület? b) Számítsd ki a 9 téglalap területéek számtai közepét! Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

3 6. feladat Adottak az A, O és E kollieáris potok, ebbe a sorredbe. Vedd fel az AE egyees ugyaazo oldalá az (OB, (OC és (OD félegyeeseket úgy, hogy maoc 40 szög szögfelezője. a) Számítsd ki az AOB, BOC, COD és DOE szögek mértékeit. m BOD 50és (OD a COE, b) Határozd meg az AOB és COD szögek szögfelezői által közrezárt szög mértékét. c) Legye F egy olya pot, amelyre a B és F potok az AE egyees külöböző oldalá vaak. Tudva azt, hogy az AOF szög mértékéek fele egyelő az (OC és (OF elletétes félegyeesek. FOE szög mértékéek hetedével, igazold, hogy Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

4 XXVIII.EMMV VII. osztály. feladat Egy 4x4-es égyzetrács első soráak mide égyzetébe beírtam egy-egy pozitív egész számot, a második sor égyzeteibe pedig az első sor bármelyik három számáak összegét. Hasolóképpe töltöttem ki a harmadik és egyedik sor égyzeteit, midig az előző sor bármelyik három számáak összegét írva az egyik égyzetbe. Így a egyedik sorba a 3, 33, 37 és 38 számok kerültek. Melyek az első sorba írt számok?. feladat Adott az M x x x,,..., valós számokból álló halmaz, melyek elemeire feáll a következő összefüggés: x x x x x3... x x x3... x x x... x Határozd meg az M halmaz elemeiek a számát. 3. feladat a) A gyökvoás elvégzése élkül igazold, hogy b) Bizoyítsd be, hogy létezik végtele sok olya y, amelyre y. c) Mutasd ki, hogy létezik olya x \, amelyre x \. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

5 XXVIII.EMMV 4. feladat Az ABC háromszögbe mbˆ 90 D (AC), a (CG szögfelező metszi a BD magasságot ( G (AB), ) és az EF középvoalat ( E (BC), F (AB) ) a H illetve I potokba. A BI egyees J potba metszi az AC oldalt. a) Mutasd ki, hogy CJ CB. b) Igazold, hogy a BHJG égyszög rombusz. 5. feladat Egy buszo az utasok közül bármelyik potosa 4 másikat em ismer a többiek közül, és bármely két ismerősek potosa egy közös ismerőse va. Melyik az a legkisebb számú utas, amely eseté teljesülek ezek a feltételek, ha tudjuk, hogy vaak az utasok között ismerősök? Miért em lehet kevesebb? (Az ismeretségek kölcsöösek, azaz ha Marci ismeri Mátét, akkor Máté is ismeri Marcit.) 6. feladat Az ABC háromszögbe a BC oldal tetszőleges D potjá át párhuzamosokat húzuk az AB illetve AC oldalakkal, melyek az AC oldalt az F, az ABoldalt az E potokba metszik. a) Igazold, hogy ha EF párhuzamos BC vel, akkor T EDF = 4 T ABC b) Mutasd ki, hogy a D pot bármely helyzetére, EDF háromszög területe egyelő az EBD és FDC háromszögek területeiek mértai közepével. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

6 VIII. osztály. feladat Darabolj fel egy kockát 5 síkkal (vágással) em feltétleül egybevágó részre! Háy olya sík va, amely az adott kocka csúcsai közül legalább háromra illeszkedik?. feladat Felírtuk a táblára külöböző pozitív egész számokat úgy, hogy közülük bárhogya választuk három számot, azok között va két olya szám, melyek összege prímszám. Legfeljebb háy számot írhattuk a táblára? 3. feladat Határozd meg azokat a kétjegyű természetes számokat, amelyekek a harmadik hatváya ugyaazzal a kétjegyű számmal végződik, mit maga a szám! 4. feladat a) Igazold, hogy ha * m, N és m, akkor b) Bizoyítsd, hogy összetett szám! 4 4 m 4 em lehet prímszám! 5. feladat Igazold, hogy:. ab a ab b bármely a b 6. feladat. ab bc ca a b b c c a 3 a,b bármely pozitív számra! a, b, c pozitív számra! Az ABCD paralelogramma átlóira megszerkesztjük az ACM és BDN egyelő oldalú háromszögeket. a) Ha Més N az (ABC) síko kívüli potok, igazold, hogy MN szakasz hossza akkor a lehető legkisebb, vagy a lehető legagyobb, ha MN merőleges az (ABC) síkra! b) Bizoyítsd, hogy ha M, N (ABC), akkor MN merőleges a paralelogramma egyik oldalára! Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

7 IX. osztály I. forduló. feladat Adott A x R [ x] { x} halmazt, ahol [ ] természetes szám eseté értelmezzük az valós szám egész részét, {} a) Határozd meg az x A pedig a tört részét jelöli. halmaz elemeit b) Igazold, hogy ha és m külöböző természetes számok, akkor A Am x az x. feladat Igazold, hogy az értelmezett a és... a, bármely a a a a a a 3 a pozitív tagú sorozat teljesíti az összefüggést. a a k k k, összefüggésekkel 3. feladat Az ABC háromszög köré írt körö jelölje M, N, P az AB, illetve C csúcsok átmérőse elletett potjait. Igazold, hogy az ABC háromszög akkor és csakis akkor egyelő oldalú, ha AM BN CP feladat Az ABC háromszög oldalaiak hossszúságai az AB, BC, CA sorredbe egy övekvő számtai haladváy egymásutái tagjai. A BC oldalo felvesszük a következő potokat: M az oldal felezőpotja, D a BAC szög szögfelezőjéek és a BC oldalak a metszéspotja, E a háromszögbe írt kör és BC oldal éritési potja, F az A csúcsból húzott magasság talppotja. Igazold, hogy az MD, ME és az MF szakaszok hosszai mértai haladváyt alkotak! Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

8 IX. osztály I. forduló Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

9 Szováta, 08 jauár 3. február 4. X. osztály I. forduló. feladat Határozd meg az x, y, zvalós számhármast úgy, hogy:. feladat 3 x y 3z 4 y z 5 8 x z 50. a) Oldd meg a komplex számok halmazá a következő egyeletet: z z z z z 0. b) Igazold, hogy tetszőleges z, z, z 3 C eseté feáll a következő egyelőtleség: z + z + z 3 Re(z z + z z 3 + z z 3 ) 3. feladat Az ABCD kovex égyszögbe jelölje G az ABD háromszög súlypotját, valamit H az ABC háromszög magasságpotját. Mutasd ki, hogy H, G, D, C potok (ebbe a sorredbe) egy paralelogramma csúcsai akkor és csakis akkor, ha G megegyezik az ABC háromszög köré írt kör középpotjával! 4. feladat O Legye az ABC háromszög egy tetszőleges belső potja, valamit M, P AB, S, Q BC és N, T AC potok úgy, hogy MN BC, PQ AC, ST AB és MN PQ ST O. Jelölje R A, R B,, redre az AMN, BPQ, CST és ABC háromszögek köré írt körök sugarait. Igazold, hogy R C R R R R R. A B C Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

10 XI. osztály I. forduló. feladat a a a,, Adott az a a) Igazold, hogy! k ak. ak b) Számítsd ki lim értékét! a k k összefüggéssel értelmezett sorozat.. feladat Adott két, AB mátrix, amelyekre A B B A a) Igazold, hogy det A 08 det B., b) Ha det és A B AB, bizoyítsd be, hogy det A 08A B B osztható det B -tel. 3. feladat Az x sorozatot az x, x x x x x 4. feladat a) Igazold, hogy lim x. x b) Számítsd ki a lim határértéket. x lim k c) Határozd meg a határértéket, ahol * k. rekurzióval értelmezzük. Adottak az A, B M mátrixok és 0 valós szám. Igazold, hogy: a) Bármely X, Y M eseté det X Y det X Y det X det Y. b) det A B det AB BA det A B det A B és det A B det AB BA det A B det A B c) det A B det AB BA det A det B det A B det AB BA.. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

11 XII. osztály I. forduló. feladat Egy egyelő oldalú ABC háromszög midhárom csúcsa rajta va az grafikus képé.. feladat f :, f x függvéy x a) Határozd meg az ABC háromszög területét, ha súlypotjáak koordiátái b) Ha az ABC háromszög két csúcsa az első egyedbe, harmadik csúcsa pedig a harmadik egyedbe va, akkor igazold, hogy a háromszög súlypotja midig az f függvéy grafikus képé va. Számítsd ki az I tg arccos si arctg dx és I tg arcsi cos arcctg dx itegrálokat, ha x 0,. 3. feladat G a, a a,, a 0 halmazo adott a összetevési szabály, amelyre feáll: A logb x y a logb x alogb y a, b0,,, x, y G. a) Igazold, hogy G, Abel-féle csoport. b) Legyeek az xk a, k,,..., számok és jelölje,,..., x x x halmazak egy permutációját.,,..., Igazold, hogy b xk yk a b xk a log log. k k y y y az,. 4. feladat Oldd meg a valós számok halmazá a 3 x 4x 6x x cos egyeletet! Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

12 V. osztály Javítókulcs. feladat Árgyélus királyfi a hétfejű sárkáyal küzd. Ha levágja a sárkáy egy fejét, három fej ő helyette. Első ap a királyfi fejet vág le, második ap fejet, harmadik ap 3 fejet és így tovább. a. Háy feje lesz a sárkáyak a 7. ap végé? b. Háyadik vágás utá lesz potosa 08 feje a sárkáyak? a) 4p Nap Fejek 7+=9 9+4=3 3+6=9 9+8=7 7+0=37 37+= =63 b) Mide ap az adott ap sorszámáak kétszeresével ő a sárkáyfejek száma, vagyis midig páros számmal ő. 3p Mivel kezdetbe 7 fej volt, ezért sosem lesz páros számú fej, így 08 sem. p. feladat A 08 egy olya égyjegyű természetes szám, amelyek számjegyei között a -es és a 8-as számjegy potosa egyszer szerepel. a. Számítsd ki a legagyobb és a legkisebb ilye típusú égyjegyű szám külöbségét! b. Háy ilye égyjegyű szám va? a).. A legagyobb ilye égyjegyű szám a 998, p a legkisebb 08, p így a külöbség p b).. abc alakúak 8 b c, a 8 c, a b 8 formájúak, melyekből 3x64=9 db va p abc alakúak 8 b c, a 8 c, a b 8 formájúak, melyekből 64+x56=76 db va p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

13 abc alakúak 8 a c, a 8 c, a b 8 formájúak, melyekből 64+x56=76 db va p abc alakúak 8b c, a 8 c, a b 8 formájúak, melyekből 64+x56=76 db va p Így összese 70 ilye égyjegyű szám va. p 3. feladat A hódok kiszámították, hogy a család 0 tagja 8 api keméy mukával tudja megépítei a hódvárukat védő gátat. A második ap végé észrevették, hogy már csak két apjuk maradt a mukára, mert jö az ár. Háy hódot hívjaak segítségül, hogy a még hátralevő két ap alatt elkészüljeek a gáttal? Mivel a hódok a 8 api mukából már api mukát elvégeztek, ezért megépítették a gát egyed részét, így megmaradt a muka háromegyed része. 4p Ezt a háromegyed részt szité két ap alatt kell elvégezzék, ezért háromszor ayi hódra va szükség, mit ameyi eddig dolgozott, azaz 30-ra. 4p Tehát még 0 hódot kell hívi segítségül. p 4. feladat Rosszcsot Peti összetörte malacperselyét. Háromszor ayi 5 lejest talált bee, mit lejest, és ötször ayit, mit 50 baist. lejesekből kétszer ayi va, mit 0 baisokból, és az 5 lejesekből kevesebb, mit 50 darab. Meyi megspórolt péze volt Rosszcsot Petiek a perselybe? Mivel háromszor ayi 5 lejes va, mit lejes, és ötször ayi 5 lejes, mit 50 bais, ezért az 5 lejesek száma 5 többszöröse. De kevesebb, mit 50, így 5, 30 vagy 45 darab. 3p Mivel lejes kétszer ayi va, mit 0 bais, ezért az lejesek száma páros, így az 5 lejeseké is az, így 30 darab 5 lejes va. 3p Így 0 db lejes, 6 db 50 bais és 5 db 0 bais va. p Tehát összese 63 lej 50 bai volt Peti perselyébe. p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

14 5. feladat Egy égyzet oldalhossza 6 egység. A égyzetet az oldalakkal párhuzamos vágásokkal kilec téglalapra vágtuk az alábbi ábra szerit. A téglalapok kerületeiek agyságát sorba redezve kilec egymást követő számot kapuk. Mekkora a legagyobb kerület? Legyeek az oldalako keletkező szakaszok hosszai x, y, z, illetve abc.,, (Lásd az ábrá.) A kilec téglalap kerületéek kiszámításakor a égyzet oldalai levő szakaszok hosszát egyszer, míg a belső szakaszok hosszát kétszer számoljuk. Ezért a kerületek összege 6 x y z 6 ( a b c ) 6 p Másrészt a 9 téglalap kerületéek mérőszámai egymásutái számok, így összegük 9m. p Tehát 9m 6, ahoa m 88. p A legagyobb kerület egység. p 3p 6. feladat Frédi és Béi, a két kőkorszaki szaki, eddig ismeretle kőtáblára bukkat, amelye a összeg utolsó éháy számjegye szerepelt. Miközbe a kőtáblával a helyi múzeum felé száguldottak, a kőtábla egyik sarka letörött, így az utolsó számjegy elveszett. Határozd meg az utolsó számjegyet, hogy restaurálhassák a táblát! Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

15 Taulmáyozzuk 08 külöböző hatváyaiak utolsó számjegyét. k u 08 k Látható, hogy az utolsó számjegyek égyesével ismétlődek, 08 a 08 4-gyel való osztási maradéka, ezért u u 08 u 08 u u (8 4 6) (8 4 6) 8 4 3p u. p u p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

16 . feladat: VI. osztály Javítókulcs Határozd meg az a, b és c számjegyeket úgy, hogy ab, ba, számtai közepe legye. c0c számok közül az egyik a másik kettő Hivatalból... p A számtai közép em lehet a legagyobb szám, c0c háromjegyű, ezért csak ab és ba felel meg... I. 0 ma ab ba c c... p 0a b 0b a 0c... 9a 8b 0c p b 0c 00 c... p 9a 8b 0 a páratla a 7;9... p Ha a 7 b = 4 és c... p Ha a 9 8b =70 ics megoldás... p II. ab c0c ma ba b =7; a = 4 és c =... p Polcz Zita, Szatmárémeti p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

17 . feladat: Egy motorkerékpáros és egy kerékpáros egyidőbe idult el egymás felé két helységből. A találkozás pillaatába a motorkerékpáros 60 km-rel többet tett meg, mit a kerékpáros. A találkozás utá a motorkerékpáros a távolság 5 4 -ed részét kell még megtegye. a) Számítsd ki a két helység közötti távolságot! b) Háyszorosa a motorkerékpáros sebessége a kerékpáros sebességéek? Simo József, Csíkszereda a. b. Hivatalból...p A motorkerékpáros a találkozásig megtette az út A kerékpáros megtette az út ét. részét... A 60 km-es külöbség egyelő az út részével... p Az út 7 része 60: 30 km.. p Az egész út hossza egyelő km.. p A sebességek aráya egyelő a megtett utak aráyával. p p p :,8... p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

18 3. feladat: Adottak az A x x 3 és B y y 3 halmazak va több eleme? 4. feladat: halmazok. Melyik Hivatalból...p Az A halmaz elemeiek száma A B halmaz elemeiek száma Igazoljuk, hogy 4 37 a... p b... p a b...,5p p p p Az A halmazak va több eleme 0,5p Mátéfi Istvá, Marosvásárhely Neveics király udvarába három almafa va: egy arayalmafa, egy ezüstalmafa és egy brozalmafa. Az almafákapota teremek egy-egy almát. Az almafákat a tolvajok elle három királyfivédi meg, a agyobbik mide ötödik, a középső mide hatodik, a kisebbik pedig mide hetedik éjszaka őrzi. A király a következőképpe jutalmazza meg őket: amikor az almafákat egy királyfi őrzi,akkor ad eki egy arayalmát, amikor kette őrzik, akkor midkettőek ad egy-egy ezüstalmát, amikor pedig midhárma őrzik, akkor midegyik egy-egy brozalmát kap. Háy almával jutalmazza meg a király a királyfikat a 08-as évbe, midegyik almafajtából? Hivatalból.. p A 08-as év 365 apból áll.. 0,5p A agyobbik királyfi 365:5 = 73 ap őrködött.. A középső királyfi 365:6 = 60, m=5, így 60 ap őrködött A kisebbik királyfi 365:7 = 5, m=, így 5ap őrködött Zajzo Csaba, Barót p 0,5p 0,5p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

19 A agyobbik és a középső királyfi 365:30 =, m=5, így ap őrködtek együtt. A agyobbik és a kisebbik királyfi 365:35 = 0, m=5, így 0 ap őrködtek együtt. A középső és a kisebbik királyfi 365:4 = 8, m=9, így 8 ap őrködtek együtt... Midhárma 365:0 =, m=55, így ap őrködtek együtt... Brozalma jutalmat kapak ap. Ezüstalma jutalmat kapak (-)+ (0-)+ (8-)=+9+7=7 ap Arayalma jutalmat kapak (73--9-)+ (60--7-)+ (5-9-7-)= =5+4+35=8 ap. p p p 0,5p 0,5p p p Arayalma: 8, ezüstalma: 7 54, brozalma ,5p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

20 5. feladat: Egy égyzet oldaláak hossza 06. A égyzetet az oldalakkal párhuzamos egyeesekkel az ábrá látható módo 9 téglalapra osztottuk. A téglalapok kerületeiek agyságát sorba redezve kilec egymást követő számot kaptuk. a) Mekkora a legagyobb kerület? b) Számítsd ki a 9 téglalap területéek számtai közepét! Hivatalból...p a. A téglalapok kerületei x, x+,,x+8. p x x... x 8 06 p... 9x p x p x p b. A 9 téglalap területéek összege A 9 téglalap számtai közepe p p Róka Sádor, Nyíregyháza Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

21 6. feladat: Adottak az A, O és E kollieáris potok, ebbe a sorredbe. Vedd fel az AE egyees ugyaazo oldalá az (OB, (OC és (OD félegyeeseket úgy, hogy maoc 40, szögfelezője. a) Számítsd ki az AOB, BOC, COD és DOE szögek mértékeit. m BOD 50és (OD a b) Határozd meg az AOB és COD szögekszögfelezői által közrezárt szög mértékét. c) Legye F egy olya pot, amelyre a B és F potok az AE egyees külöböző oldalá vaak. Tudva azt, hogy az AOFszög mértékéek fele egyelő az igazold, hogy (OC és (OF elletétes félegyeesek. FOE COE szög szög mértékéek hetedével, Simo József, Csíkszereda Hivatalból... p a. mcoe 80 maoc p mcod mdoe 0... p m p m p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

22 b. (OM az AOB és (ON az COD szögfelezője m MOB 5és m CON 0... p m MON p c. maof mfoe maof mfoe... 7 maof 80 maof... maof mfoc OC ésofelletétes félegyeesek 0,5p 0,5 p 0,5p 0,5 p... p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

23 XXVIII.EMMV VII. osztály Javítókulcs. Egy 4x4-es égyzetrács első soráak mide égyzetébe beírtam egy-egy pozitív egész számot, a második sor égyzeteibe pedig az első sor bármelyik három számáak összegét. Hasolóképpe töltöttem ki a harmadik és egyedik sor égyzeteit, midig az előző sor bármelyik három számáak összegét írva az egyik égyzetbe. Így a egyedik sorba a 3, 33, 37 és 38 számok kerültek. Melyek az első sorba írt számok? Császár Sádor - Csíkmadaras Hivatalból... pot Jelöljük a égyzet első égy számát a, b, c, d-vel. Négy számot hármasával 4 féle módo tuduk csoportosítai. A számhármasok összege külöböző az utolsó sorba, tehát ics az előző sorba levő számok között két egyforma. (Négy szám a, b, c, d eseté, ha ugyaazt a számhármast veszem kétszer: a + b + c = a + b + c, két egyelő számot kapok; ha a égy szám közül kettő egyelő, például a és b, akkor a + c + d = b + c + d) Általáosítva az előző sorokra is, elmodhatjuk, hogy a égyzetekbe írt számok külöbözőek. Ez arra is következtet, hogy ugyaak a számhármasak az összegét em írtuk kétszer be valamelyik sorba.... pot Jelöljük a égyzet első égy számát a, b, c, d-vel. Ekkor az első sorba levő számok összege: a + b + c + d, a második sorba levő számok összege (a + b + c) + ( a + b + d) +(a + c + d)+ (b + c + d) = 3(a + b + c + d)... pot Hasolóa a harmadik sorba levő számok összege 3 3(a + b + c + d)... pot A egyedik sor számaiak összege pedig 7(a + b + c + d), ahoa a + b + c + d = ( ): 7 = 540: 7 = 0. (lásd az ábrát)...pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

24 XXVIII.EMMV Tehát elmodhatjuk, hogy az első sor számaiak összege 0, a másodiké 60, a harmadiké 80. Ha a harmadik sor számjegyeiek összegéből kivoom a egyedik sor számait, sorra megkapom a harmadik sorba levőket, (80-38=4, 80-37=43, 80-33=47, 80-3=48), hisz a egyedik sorba levő számok a harmadikba levők hármasával vett összegei.... pot Hasoló módo eljárva kapjuk meg a égyzetbe írt összes számot. Növekvő sorredbe redezve őket:. Adott az M x x x...pot,,..., valós számokból álló halmaz, melyek elemeire feáll a következő összefüggés: x x x x x3... x x x3... x x x... x Határozd meg az M halmaz elemeiek a számát. Oláh Miklós - Krasza Hivatalból... pot Mide evezőt közös evezőre hozva és az emeletes törtet átalakítva kapjuk, hogy: x x3... x x x3... x x x... x x x x... x x x x... x x x x... x ()... 4 pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

25 XXVIII.EMMV Haszálva az S x x x3... x jelölést, az ()-es összefüggés S x S x S x alakba írható pot S S S S S S pot S S 3. a) A gyökvoás elvégzése élkül igazold, hogy: a) b) Bizoyítsd be, hogy létezik végtele sok olya c) Mutasd ki, hogy létezik olya x \ y, amelyre y., amelyre x \. Becze Mihály - Bukarest Hivatalból... pot pot b) 0809 k 0809 y k... pot Tehát az összes y k k alakú szám megoldás, ahol pot Például k y 09 y k x l c) a Jelöljük: x b a k b l... pot b 08 b 08 a k. Egy lehetséges megoldás, ha b l l bésb 08 b 08 a k Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

26 XXVIII.EMMV Keressük egy k b08 a alakú számot k b 08 a k k k b 08 a b 08 a b 08 a b08 b a 08 a, ahoa a b 08 b 08 b 4 b b a b a x... pot \ pot 4. Az ABC háromszögbe mbˆ 90, a (CG szögfelező metszi a BD magasságot ( G (AB), D (AC) ) és az EF középvoalat ( E (BC), F (AB) ) a H illetve I potokba. A BI egyees J potba metszi az AC oldalt. a) Mutasd ki, hogy CJ CB. a) Igazold, hogy a BHJG égyszög rombusz. Zajzo Csaba - Barót Hivatalból... pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

27 XXVIII.EMMV a) ABC be EF AC EF középvoal ABJ be FI AJ JI BI... pot AF FB JBC be (CI szögfelező JBC egyelő szárú CI oldalfelező()... pot CJ... pot CB b) JBC egyelő szárú CI BJ 3 3 GH a BJ felezőmerőlegese BH HJ4 és BG GJ5... pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

28 XXVIII.EMMV CHD be m DCH mdhc 90 6 m CDH 90 CGB be m BCG mcgb 90 7 m CBG pot m DCH m DHC 90 6 m BCG m CGB 90 7 DHC CGB 8 DCH BCG F... pot GHB CGB BGH egyelő szárú BG BH9... pot GHBcsúcsszögek DHC CGB 8 DHC BH HJ4 BG BH9 BG GJ 5 BH HJ BG GJ BHJG paralelogramma 3 BHJG rombusz... pot 5. Egy buszo az utasok közül bármelyik potosa 4 másikat em ismer a többiek közül, és bármely két ismerősek potosa egy közös ismerőse va. Melyik az a legkisebb számú utas, amely eseté teljesülek ezek a feltételek, ha tudjuk, hogy vaak az utasok között ismerősök? Miért em lehet kevesebb? (Az ismeretségek kölcsöösek, azaz ha Marci ismeri Mátét, akkor Máté is ismeri Marcit.) Róka Sádor - Nyíregyháza Hivatalból... pot Mivel bármely két ismerősek potosa egy közös ismerőse va, ezért az egymást ismerők hármas csoportokat alkotak. Va két ismerős az utasok között, ezért va 3 ember, akik ismerik egymást. Tudjuk, hogy mideki 4 másikat em ismer. Tehát va még legalább 4 utas, összese legalább utas.... pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

29 XXVIII.EMMV Ha az utasok száma 7, akkor mideki a többiek közül 4-et em ismer, -t ismer, és ez a két ismerős ismeri egymást, együtt egy háromszöget alkotak.... pot Az utasokat most fel lehete osztai hármas (egymást ismerő) csoportokba, ahol két csoportak ics közös tagja. Ezt a felosztást 7 utas eseté em tehetjük meg... pot Az utasok száma legalább 8. Ha 8 utas va, akkor midegyikük 4-et em ismer, és 3-at ismer a jelelévők közül. Egy utasak em lehet 3 ismerőse, hisze tudjuk, hogy az ismerősök hármas csoportokat alkotak. Ha erre figyelük, láthatjuk, hogy midekiek páros számú ismerőse va, tehát - ismerőse va egy-egy olya háromszögbe, melyek ő az egyik csúcsa.... pot Emiatt az utasok száma legalább 9. Az ábra mutatja, hogy ez lehetséges. Az utasokat megszámoztuk az,, 3,, 9 számokkal, és ha két utas ismeri egymást, akkor őket összekötöttük. Mideki 4 másik utast em ismer, és 4 utast ismer. Ha két utas ismeri egymást, akkor va egy és csak egy közös ismerősük pot 6. Az ABC háromszögbe a BC oldal tetszőleges D potjá át párhuzamosokat húzuk az AB illetve AC oldalakkal, melyek az AC oldalt az F, az AB oldalt az E potokba metszik. a) Igazold, hogy ha EF párhuzamos BC vel, akkor T EDF TABC. 4 b) Mutasd ki, hogy az EDF háromszög területe egyelő az EBD és FDC háromszögek területeiek mértai közepével. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

30 XXVIII.EMMV Hivatalból... pot a) ha EF BC BEFD, DEFC paralelogrammák,... pot BD EF DC, tehát D a BC középpotja, ahoa következik, hogy EF, FD és DE középvoalak.... pot A középvoalak égy kogrues háromszöget határozak meg: T EDF TABC... pot 4 b) Meghúzzuk a EDF háromszög m és m magasságait. E két magasság az BED és DFC háromszögek egy-egy magasságával megegyezik, tehát felírható: TEBD EB m EB illetve T FD m FD FED TFCD FC m FC T ED m ED FED... pot ED AF és FD AE AEDF paralelogramma ED AF (3) és FD AE (4)... pot (4) () T EBD (5) T FED EB AE TFCD FC (3) () (6)... pot T AF FED ED BE BD AC EA DC (Thalesz tétele alapjá) (7) Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

31 XXVIII.EMMV FD CD CF BD AF AB (8)... pot BD FA CD FC TEBD BD (5),(7) T DC (9) EDF (6),(8) T FCD (0)... pot T EDF DC DB (9),(0) T T EBD EDF TEDF TEBD TFDC TEDF TEBD TFDC T EDF T... pot FDC Császár Sádor - Csíkmadaras Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

32 VIII. osztály Javítókulcs. Feladat. Darabolj fel egy kockát 5 síkkal (vágással) em feltétleül egybevágó részre!. Háy olya sík va, amely az adott kocka csúcsai közül legalább háromra illeszkedik? Kovács Lajos, Székelyudvarhely Róka Sádor. 4 db, az egyik alap síkjára merőleges síkkal a kocka feldarabolható részre. pot Ha például az ötödik síkot ugyaezzel az alappal párhuzamosa fektetjük, megduplázzuk ezzel a részek számát. Így egy kockát 5 síkkal részre daraboltuk. pot.felülézet. térbe pot Megoldás(). A térbe 3 em egy egyeese fekvő pot felfeszít (meghatároz) egy síkot, azt a síkot, amely erre a három potra illeszkedik. A kocka 8 csúcsa közül hármat 56-féleképpe tuduk Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

33 kiválasztai. A síkok száma eél kevesebb. Ha például a kocka valamelyik oldallapjáak síkját ézem, azo 4 kockacsúcs va, ezért ezt a síkot 4-szer vettem számításba (ebből a 4 csúcsból hármat 4-féleképp választhatuk) amikor 56 lehetőséget számoltam. pot Az olya síkok száma, amelye 4 csúcs va, legye x. Vaak olya síkok, amelye csak 3 csúcs va, ilye például az, amelyik az A, B, C csúcsokra illeszkedik. Az A, B, C és D csúcsokból hármat választva, olya síkot kapuk, melye csak 3 kockacsúcs va. Ez 4 sík. Ha a kocka másik égy (az A, B, C és D csúcsoktól külöböző) csúcsát választom, azokra is 4 olya sík illeszkedik, melyeke csak 3 csúcs va. Összese 8 olya sík va, amely potosa 3 csúcsot tartalmaz. pot Ez a kétféle sík lehetséges: vagy 3, vagy 4 csúcsot tartalmaz egy sík. Az 56 lehetőség így, ie. (Ezt a db 4 potot tartalmazó síkot megszámolhatom úgy is, hogy tekitem a kocka 6 oldallapjáak síkját, és azokat a síkokat, melyek a kocka két szemközti élére illeszkedek. A kocka éléből 6 pár képezhető így, tehát ez 6 síkot jelet. 6 6 ilye sík va.) 8 4 x x ( pot) Azokak a síkokak a száma, melyek a kockáak legalább 3 csúcsára illeszkedek: 8 0. pot Megoldás(). A kocka hat lapja pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

34 A kocka átlós metszetei, melyből hat külöböző va Potosa három csúcso áthaladó külöböző metszete, melyből összese 8 darab va. Összese: 6+6+8=0 pot pot pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

35 . Feladat Felírtuk a táblára külöböző pozitív egész számokat úgy, hogy közülük bárhogya választuk három számot, azok között va két olya szám, melyek összege prímszám. Legfeljebb háy számot írhattuk a táblára? Megoldás Öt szám között midig va vagy három páros szám, vagy három páratla szám. Róka Sádor 3 pot Ebből a három számból bármely két szám összege -él agyobb páros szám, azaz összetett szám. 4 pot Tehát a táblára legfeljebb égy számot írhatuk, eyit lehet is, például írhatjuk az,, 3, 4 számokat. Ezek teljesítik a feltételt, mert ha választuk közülük három számot, akkor a három szám között ott va vagy az és 4, vagy a és 3, és a két szám összege prímszám: 4 5, 3 5. pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

36 3. Feladat Határozd meg azokat a kétjegyű természetes számokat, amelyekek a harmadik hatváya ugyaazzal a kétjegyű számmal végződik. Kovács Béla, Szatmárémeti A feladat olya számokat kér, amelyek köbéből kivova az eredeti számot, 00-zal osztható lesz. Vagyis: 3 ab ab, ahol a, b számjegyek és a 0 00 pot 3 ab ab 000a 00 0a 3a 3 300a b 30ab 00 3ab a b b b b 3 0a b pot Először b b kell osztható legye 0 el. pot ha b 0, akkor em kapuk megfelelő számot. ha b, akkor 3 ab ab 0a a a 0, ie kapjuk, hogy a 5 és a keresett szám: 5. ha b 4, akkor szám: 4 3 ab ab 0a 00 3 a 47a 0 6 0, ie kapjuk, hogy a és a keresett ab ab ha b 5, akkor 0a 00 keresett számok: 5 és a 74a 0 0, ie kapjuk, hogy a vagy a 7 és a Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

37 ha b 6 szám: 76, akkor 3 ab ab 0a a 07a, ie kapjuk, hogy 0 0 a 7 és a keresett ab ab ha, akkor 0a 00 a keresett számok: 49 és 99. b a 4a 7, ie kapjuk, hogy 0 0 a 4 vagy a 9 4 pot és Több lehetőség ics. Tehát összese 7 ilye szám va: 4, 5, 49, 5, 75, 76 és 99. pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

38 4. Feladat a) Igazold, hogy ha * m, N és m, akkor b) Igazold, hogy összetett szám. 4 4 m 4 em lehet prímszám. Becze Mihály, Bukarest a) m 4 m 4m 4 4m de m m m m mm m b) Ha m m m és m m akkor 3 4 m m m m 5. Feladat. Igazold, hogy: ab a ab b bármely a b. Igazold, hogy: ab bc ca a b b c c a 3 a,b bármely pozitív számra! a, b, c pozitív számra! 3 pot pot 4 pot Igazold, hogy: ( a b ) 0 a + b ab 0 () Polcz Zita és Kocziger Éva, Szatmárémeti (a + b) ab ab Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

39 ab ab (a + b) ()-ből következik, hogy (a+b) ab. Bármely Hasolóa a, b 0 bc b c eseté az. alapjá () és ca c a ab a b (3) () = a b ( pot) Az (), (), (3) egyelőtleségeket összeadva, következik az.-be kért egyelőtleség. (3 pot) 3. Az összeg tagjaira alkalmazva az () összefüggést, következik: = 08darab 009 Nem áll fe egyelőség, mert (4 pot) Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

40 6. Feladat Az ABCD paralelogramma átlóira megszerkesztjük az ACM és BDN egyelő oldalú háromszögeket. a) Ha Més N az (ABC) síko kívüli potok, igazold, hogy MN szakasz hossza akkor a lehető legkisebb, vagy a lehető legagyobb, ha MN merőleges az (ABC) síkra! b) Bizoyítsd, hogy ha M, N (ABC), akkor MN merőleges a paralelogramma egyik oldalára! Megoldás Császár Sádor, Csíkmadaras Rajz: pot b) Legye AC DB = {O}. Ekkor MO AC, NO DB. Megszerkesztjük az MON háromszöget. MN a lehető legkisebb, ha m(mon ) =0, vagy a lehető legagyobb, ha m(mon ) =80. Ekkor az M,N és O potok kollieárisak, MO = NO tehát MO DB, mivel MO AC (felt.), MO (ABC). pot c) Ha M, N (ABC). Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

41 I. eset, ha M, Naz ACegyees ugyaazo félsíkjába helyezkedek. Legye BC MN = {P} Az AOD = 90 DOM = MON, valamit a AOMés DON háromszögek hasolóságából: AO = MO AO, ahoa = DO. Az első hasolósági esetből, (OSZO), AOD DO NO MO NO és MON háromszögek hasoló háromszögek. Tehát OCB + OCP = OMN + OCP = 80. MOCP égyszög körbeírható, tehát m(mpc )=m(moc )=90 (vagy csak simá MOC + MCP = MCP = 80. MOC = 90 ) 3 (++) pot II. eset, ha M, N az ACegyees két külöböző félsíkjába helyezkedek. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

42 Legye O az (ABC) egy olya potja, melyre AOMO égyszög téglalap, valamit Legye AB MN = {T}. Az AOB = 90 + MOB = MON, mivel MO és NO merőlegesek az AC, illetve DBátlókra. valamit a AOMés BON háromszögek hasolóságából: AO = BO MO NO, ahoa az első hasolósági esetből AOB és MON háromszögek hasoló háromszögek. Ie: OAT OMT, Az ATMO égyszögbe a szembe fekvő szögek összege, O MT + O AT = 90 + OMT + 90 OAT = 80, valamit AO M = 90, ahoa ATM = (++) pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

43 IX. osztály Javítókulcs. feladat Adott [ x] az x Hivatalból pot. a) A x R [ x] { x} halmazt, ahol természetes szám eseté értelmezzük az valós szám egész részét, {} a. Határozd meg az A x halmaz elemeit. pedig a tört részét jelöli. b. Igazold, hogy ha és m külöböző természetes számok, akkor A Am. Ha [ x]{ x}, akkor [ x] 0 és { x} [0,), tehát x[ x] és [ x] [ x] [ x] Legye [ x] k, ahoa következik, hogy. x k, ahol k, k, k mely értékek teljesítik a megadott feltételeket, tehát A k k, k k p 3p b) Tegyük fel, hogy m és A Am. Akkor létezik x A Amvagyis m létezik kl, úgy, hogy k x l k l és k, lm Ahoa azt kapjuk, hogy m m k l. De (,), tehát kl 0, l k l k azaz k l, tehát m, ami elletmodás. p p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

44 . feladat Igazoljuk, hogy az a és összefüggésekkel értelmezett összefüggést.... a, bármely a a a a a a 3 a pozitív tagú sorozat teljesíti az a a k k k, Megoldás. Hivatalból p. a a a a a 0 a a a a a a a a 3 a3 a3 a a a a3 p Észrevesszük, hogy a, p Igazoljuk a matematikai idukció módszerével a sejtésüket: Nyilvávaló, hogy eseté az állítás igaz. Feltételezzük, hogy k : a k k. Igazoli kell, hogy k eseté a k k. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

45 a k... a a k k a a a a3 ak ak ak ak k ak a a k k k ak k a k 4p Ie kifejezve az ak -et azt kapjuk, hogy a k k a a k( k ) k k k k k k k p 3. feladat Az ABC háromszög köré írt körö jelölje elletett potjait. Igazold, hogy az ABC ha AM BN CP 0. M, N, P az AB, illetve C csúcsok átmérőse háromszög akkor és csakis akkor egyelő oldalú, Hivatalból pot. A Sylvester tétele alapjá OH OA OB OC, ahol a O és H a háromszög magasságpotja. a köré írt kör középpotja 3p AM BN CP OA OB OC. 3p A feltétel alapjá azt kapjuk, hogy OH 0, vagyis az O csak az egyelőoldalú háromszögbe igaz. és H egybeeső potok, ami 3p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

46 4. feladat Az ABC háromszög oldalaiak hossszúságai AB, BC, CA sorredbe egy övekvő számtai haladváy egymásutái tagjai. A BC oldalo felvesszük a következő potokat: M az oldal felezőpotja, D a BAC szög szögfelezőjéek és a BC oldalak a metszéspotja, E a háromszögbe írt kör és BC éritési potja, F az A csúcsból húzott magasság talppotja. Igazold, hogy az MD, ME és MF szakaszok hosszai mértai haladváyt alkotak! Hivatalból pot. A c AB, a BC, b CA jelölésekkel a feltétel alapjá c a b és bc a. p A szögfelező tételéből (). b c BD ac ac c a c, c b c MD MB BD b c a 4 p A körhöz valamely külső potból húzott éritők egyelőségéből levezethető, hogy a c b a a c b b c BE, ME MB BE (). p a ac a c a c MD BM BD b c. Az ABD háromszögbe BI szögfelező, következik, hogy c ID BD. IA BA c Az AFD háromszögbe IE AF következik, hogy DE EF. b c a c Következik, hogy EF ED b a. 3p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

47 b c FM FE EM b a b c. (3) (), () és (3)-ból következik, hogy MD, ME és MF mértai haladváyt alkot. p Megjegyzés: A kövekező képpe is okoskodhatuk: az ABF derékszögű háromszögbe a c b a c b BF c cos B c, (3). ac a (), () és (3)-ból következik, hogy MD, ME és MF mértai haladváyt alkot. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

48 XXVIII.EMMV. feladat Határozd meg az x, y, z X. osztály I. forduló valós számhármast úgy, hogy: 3 x y 3z 4 y z 5 8 x z 50. Mátéfi Istvá, Marosvásárhely. Legye a x y 3 z, b y z, c 8 x z, az adott egyeletet átírva kapjuk, hogy: 3a 4b 5c 50. Kiszámítva az ahoa a b c 3a 4b 5c 50. Vagyis a a b b c c a b c a b c kapjuk, hogy: a 3, b 4, c 5. Tehát x y 3z 9, y z 3 x z 3 x y. Legye z. Így y és z 3. 3x 3z 9 z 3 x Tehát x, y, z,,3. A kapott x, y, z teljesíti a feltételeket. a b c 50, 4p 3p p. Cauchy-Bujakovszkij-féle egyelőtleség alapjá: x y + x y + x 3 y 3 x + x + x 3 y + y + y 3. Egyelőség csak akkor állhat fe, ha y x = y x = y 3 x 3. Alkalmazva a feladatra, azt kapjuk, hogy 3 x + y + 3z + 4 (y + z) (x + z) (x + y + 3z) + ( y z) + (8 x z) = 50. p 4p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

49 XXVIII.EMMV Egyelőség csak akkor állhat fet, ha x+y+3z 3 = z y 4 = 8 x z 5 = = = Tehát x y 3z 9, y z 3 xz3 Így y és z 3 Tehát x, y, z,,3.. A kapott x y 3x 3z 9 z 3 x x, y, z teljesíti a feltételeket.. Legye z. 3p. feladat a) Oldd meg a komplex számok halmazá a következő egyeletet: z z z z z 0. b) Igazold, hogy tetszőleges z, z, z 3 C eseté feáll a következő egyelőtleség: z + z + z 3 Re(z z + z z 3 + z z 3 ) Bíró Béla, Sepsiszetgyörgy dr. Becze Mihály, Bukarest a) A z z (ahol z ) képlet felhaszálásával, az adott egyelet így alakul: z z z z z z 0, vagyis z z zz z () Az () be vegyük midkét oldal modulusát: z z z z z ie pedig z z 0 z z 0 () vagy z (3) p p i 3 A () es egyelet gyökei az () ek is gyökei, ezek pedig z,. A továbbiakba keressük az adott egyelet azo megoldásait, melyekre z azaz megoldjuk a z z egyeletredszert, ami egyeértékű a redszerrel 3 z z z 0 z z z 0 p p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

50 XXVIII.EMMV z I. vagy II. redszerekkel. z z 0 Az I. es redszerek a megoldása, míg a II. es redszer ugyaazokat a z z 0 z 3 megoldásokat adja, mit a () es egyelet. Következésképpe az adott egyelet megoldásai : i 3 i 3 z ; z és z3. b) Ismeretes, hogy Re(z) = z + z, ha z C () Másrészt: 0 z z + z z 3 + z 3 z = (z z )(z z ) + (z z 3)(z z 3 ) + (z 3 z )(z 3 z ) = (z z + z z z z z z ) + (z z + z 3 z 3 z z 3 z z 3) + (z 3 z 3 + z z z z 3 z z 3 ) = z + z + z 3 [z z + z z 3 + z z 3 + () (z )] = ( z + z + z 3 ) Re(z z + z z 3 + z z 3 ), ahoa p p z + z + z 3 Re(z z + z z 3 + z z 3 ) 3. feladat Az ABCD kovex égyszögbe jelölje G az ABD háromszög súlypotját, valamit H az ABC háromszög magasságpotját. Mutasd ki, hogy H, G, D, C potok (ebbe a sorredbe ) egy paralelogramma csúcsai akkor és csakis akkor, ha G megegyezik az ABC háromszög köré írt kör középpotjával! Zákáy Móika, Nagybáya Megválasztjuk a koordiáta redszer kezdőpotjáak az ABC háromszög köré írt köréek középpotját. Jelölje a, b, c, d, g, h a feladatba szereplő agybetűvel jelölt potok affixumait. A súlypot, illetve az ortocetrum affixumáak képleteit alkalmazzuk: a b d () g,. 3 p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

51 XXVIII.EMMV h a b c p HGDC égyszög akkor és csakis akkor, paralelogramma ha feáll: g c d h g c d a b c Ez egyeértékű azzal, hogy: g a b d. () Az () és () összefüggésből kapjuk: g 3g g 0 Ez azt jeleti, hogy G megegyezik az ABC háromszög köré írt kör középpotjával. p 3p 4.feladat O az ABC háromszög egy tetszőleges belső potja, valamit,, Legye N, T AC potok úgy, hogy MN BC, poto. Jelölje R A, R B, R C, R Igazold, hogy R R R R. A B C PQ AC ST AB M P AB S, Q BC, és ezek a párhuzamosok átmeek az O redre az AMN, BPQ, CST és ABC háromszögek köré írt körök sugarait. és dr. Becze Mihály, Bukarest Rajz p Az oldalak párhuzamosságából következik, hogy AMN Δ ~ABC D AM Hasolóa BQP Δ ~BCA Δ BP BA = PQ AC = BQ BC, illetve CTS Δ~CAB Δ CT CA = TS AB = CS CB. = MN = AN AB BC AC 3p MN BC + PQ AC + TS AB = MN BC + BQ BC + CS BC BSOM és QCNO paralelogrammák MO = BS; ON = QC. Tehát MN = BS + QC () BS+QC BC + BQ + CS = BS+SC + BQ+QC = BC = BC BC BC BC BC () p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

52 XXVIII.EMMV. Alkalmazzuk a sziusztételt az AMN, BQP, CTS és ABC háromszögekbe. MN = R A si(a ) ; PQ = R B si(b ) ; ST = R C si(c ) valamit BC = R si(a ) ; AC = R si(b ) ; AB = R si(c ) p R A si(a ) R si(a ) + R B si(b ) R si(b ) + R C si(ĉ) R si(ĉ) = R A + R B + R c = R. p Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

53 XI. osztály I.forduló Javítóklucs a a a,,. Adott az a ) Igazold, hogy! k ak. ) Számítsd ki lim a értékét! k k ak összefüggéssel értelmezett sorozat. dr. Becze Mihály, Bukarest ) A megadott összefüggés az ekvivales alakra hozható, tehát: a a a a a3 a... a a. pot Ezeket összeadva kapjuk: a () pot Ie írhatjuk, hogy: k k! pot a k k k Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

54 ) Az () összefüggésből írhatjuk: a a k k k ak a k k pot pot Ie következik, hogy:. Adott két, lim k ak a k lim AB mátrix, amelyekre igaz, hogy A B B A ) Igazold, hogy det A 08 det B. AB, bizoyítsd be, hogy det A 08A B B ) Ha, pot det és A B osztható det B -tel. Pálhegyi-Farkas László, Nagyvárad és Mészár Juliaa, Nagyszalota ) A B A B A B A B A B A B vagy A B det 08 0 det det 08 det 08 0 det 08 0 det 08 0 Ha A B det 08 0, alkalmazva a pot det A x B det B x x det A (*) összefüggést, x eseté, AB ), ( mivel, következik, hogy det B08 08 det A 0 08 det B det A pot 08 det Bdet A0 det A 08 det B 0 (**) Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

55 Hasoló következtetésre jutuk, ha A B ) Szorzattá alakítva az A 08A B B kifejezést, kapjuk det pot A 08A B B A x B A x B A x x A B x x B xx 08 és xx, tehát x, x az x 08x 0 egyelet valós gyökei pot A (*) összefüggésbe behelyettesítve 0 értéket, majd haszálva a (**) t, következik det A x B det B x det A det B x Tehát det A 08A B B det A x B A x B 08det B det B x 08. pot det B x 08 x 08 B x x B det det det B det A 08A B B. pot 3. Az x sorozatot az x, x x x x x ) Igazold, hogy lim x. x ) Számítsd ki: lim. 3) Ha x lim k * k, határozd meg a határértéket! rekurzióval értelmezzük. dr. Szász Róbert, Marosvásárhely ) Matematikai idukcióval köye igazolható, hogy x * 0, és így yilvávalóa az sorozat szigorúa övekvő.... pot A rekurzióból x x x x x Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár. x, ezt beszorozva x x -el:

56 x x x x x x, azaz... pot x x x x x x x x x x x x 3. Mivel lim 3 x és pozitív tagú, a feti egyelőtleség alapjá lim x.... pot ) A Cesaro-Stolz tételt kétszer alkalmazva x x x lim lim lim lim lim x x x x x x x lim pot x 3) Szité a Cesaro-Stolz tétel alapjá: k k x x x lim k lim k k lim k k x x x k k p p p x x x x x x p k lim lim p.... pot Másrészt - k p p k 0 lim lim lim lim 0 x x x x x x x x x x Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

57 Tehát: x lim k pot 0 4. Legyeek A, B M mátrixok és valós szám. Igazold, hogy: ) X, Y M eseté det X Y det X Y det X det Y. ) det A B det AB BA det A B det A B és A B AB BA A B A B det det det det 3) det A B det AB BA det A det B det A B det AB BA. dr. Becze Mihály, Bukarest a b u v ) Legye X és Y. Akkor c d w t a u b v det( X Y) ad at ud ut bc cv wb wv c w d t a u b v det( X Y) ad at ud ut bc cv wb wv, tehát c w d t det X Y det X Y ad ut bc vw (det X det Y)... pot ) Az első potba szereplő egyelőségbe végezzük el a következő helyettesítéseket: Y AB BA. Kapjuk, hogy A B AB BA A B AB BA det det det A B AB BA det A A B B A B det A B det A B. X A B, det A A B B A B det A B A B det A B A B det. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

58 azaz A B AB BA A B A B det det det det ()...3 pot Az első potba szereplő egyelőségbe legye most:, Y AB BA X A B det és akkor kapjuk, hogy A B AB BA det A B AB BA det A B AB BA, ie det A B AB BA det A B AB BA det A B AB BA det A A B B A B det A A B B A B A B A B det det ()...3 pot 3) Ha det A B u és det det det A B AB BA uv és u v, A B det AB BA det A B v, akkor a (). és (). összefüggésekből u v u v másrészt ismert, hogy uv, u, v egyelőtleségeket kapjuk: amelyet átírva a bizoyítadó A B AB BA A B A B AB BA det det det det det det.... pot Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

59 XII. osztály Javítókulcs.feladat Egy egyelő oldalú ABC háromszög midhárom csúcsa rajta va az f :, f x x függvéy grafikus képé. a) Határozd meg az ABC háromszög területét, ha súlypotjáak koordiátái,. b) Ha az ABC háromszög két csúcsa az első egyedbe, harmadik csúcsa pedig a harmadik egyedbe va, akkor igazold, hogy a háromszög súlypotja midig az f függvéy grafikus képé va. Zsombori Gabriella, Csíkszereda Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

60 függvéy páratla, szimmetriategelye az egyeletű első x lim f x, lim f x 0, ezért a koordiáta-tegelyek aszimptotái. Így f grafikus a) Az f :, f x szögfelező, x 0 x y x képéek egyik ága az első egyedbe, másik ága pedig a harmadik egyedbe va. Mivel az ABC háromszög G, súlypotja rajta va a függvéy grafikus képé, ezért a háromszög midhárom csúcsa em lehet f-ek ugyaazo ágá, sőt két csúcspot azo az ágo kell legye, amelyike a G pot va. Legyeek ezek A és B. Mivel GA GB és a G pot rajta va az első szögfelező, ezért az A pot tükörképe az első szögfelezőre ézve a B pot. Így, ha például Ax0, x 0, akkor B, x 0,0 x 0. Viszot így a C pot rajta kell legye az első szögfelező x0 C,. x0 xa xb xc x0 Mivel G súlypot xg x0 4x0 0 x0 3, 3 3 mivel 0 x0. Tehát A 3, 3, B 3, 3...(3p) Ekkor TABC D, ahol x A A 3 3 D x y 3 3 3, x B C y y B C tehát TABC (p) Megjegyzés: Nyilvá a csúcsok koordiátáiak ismeretébe a területet többféleképpe is ki lehet számítai. b) Legyeek az A, B, C potok affixumai redre z j x j i, j,,3. x j Mivel az ABC háromszög egyelő oldalú, ezért z z z z z z z z z...(p) Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

61 Ekkor pedig x x x 6i x x x x x x x x x3 xx xx3 x3x x x x x x x i. 3 3 x x x3 x x x3 Tehát egyrészt x x x x 3 x3 x 6. x x x x x x 3 3 Másrészt, ha G rajta lee f grafikus képé, akkor y G y y y3, azaz x 3 G x x x 3 3, így pedig x x x3 9, tehát x x x3 x x x x 3 x3 x 6...(3p) x x x x x x 3 3 Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

62 . feladat Számítsd ki az I tg arccos si arctgx dx és I tg arcsi cos arctgx dx itegrálokat, ha x 0,. Dr. Becze Mihály, Bukarest I. Módszer: I tg arccos siarctgxdx tg arcsi siarctgxdx..(3p) tg arctgx dx tg arcctgx dx dx l x c x...(p) I tg arcsi cos arcctgx dx tg arccos cos arcctgx dx.....(p) x tg arcctgx dx tg arctgxdx xdx c...(p) II.Módszer: Legye arccossiarctgx t siarctgx cost si t arctgx t x tg t ctgt dx dt si t Tehát I tg arccos siarctgxdx tgt dt ctgt ' dt l ctgt c l x c si t ctgt Hasolóa számítjuk ki az I itegrált is.. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

63 3.feladat A G a, a a,, a 0 logb x y a logb x alogb y a, b0,,, x, y G. a) Igazold, hogy Abel-féle csoport. b) Legyeek az xk a, k,,..., számok és jelölje,,..., x x x halmazak egy permutációját. halmazo adott a összetevési szabály, amelyre feáll:,,..., G, Igazold, hogy b xk yk a b xk a log log. k k a) ) logb x y a logb x alogb y a x y a x a ahol y y y az Dr. Becze Mihály, Bukarest logb y a, x y a és x y x y G, x, y G.(p) ) Mivel 3) logb ya logb xa x y a x a a y a y x, x, y G, ezért a művelet kommutatív. logb za x y z a x a a x a a x a...(p) log log log b b za za b ya logb ya logb za x y z a x y a a a x a a a x a logb y z a logb a ya a logb ya logb za x y z x y z, x, y, z G ezért a művelet asszociatív....(p) 4) logb e a x e x, x G x a x a, x G e a bg semleges elem a műveletre voatkoztatva.....(p) 5) log b x a x x' a b log x a log x' a x' a b G, x G...(p) b b) Az adott feltételek mellett a logaritmusos kifejezések értelmezettek. Alkalmazva a Cauchy-Schwarz egyelőtleséget kapjuk, hogy: b Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

64 x y a x a y a log log log b k k b k b k k k...(p) logb xk alogb yk a logb xk alogb xk a k k k k...(3p) log b xk a. k 4.feladat Oldd meg a valós számok halmazá a 3 x 4x 6x x cos egyeletet! Oláh-Ilkei Árpád, Barót cos Alkalmazva a cos képletet kapjuk, hogy...(p) cos 3 cos x x x x x x x x. Belátható, hogy x, x 3, x3 megoldásai az egyeletek...(3p) Igazolom, hogy ics több valós megoldás. 3 x Legye az f :, f x 4x 6x x cos függvéy. Feltételezem, hogy az f függvéyek va legalább 4 valós gyöke. Alkalmazva Rolle tételét, és azt egymásutá megismételve, következik, hogy az függvéyek va legalább 3 valós gyöke, az f '' függvéyek legalább valós gyöke és az f ''' függvéyek legalább valós gyöke va (3p) f ' De 3 f ''' x 4 si x 0, x, így elletmodáshoz jutuk. Tehát a megoldáshalmaz: 3 M,, (p) Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

65 Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

66 IX. osztály II. forduló. feladat Íjászok lőek egy m sugarú céltáblába. Mivel kedvelik a mágikus számokat, mide alkalommal hét vessző kilövése utá értékelik az eredméyt. Profik lévé az összes vessző beletalál a táblába, és hosszú gyakorlás sorá figyelek fel rá, hogy midig va két olya találat, amelyek közt a távolság em haladja meg az métert. Arra kérik matematikus barátjukat, hogy állapítsa meg, midig lesz-e ilye találatpár, vagy csak esetlegesség a megfigyelésük. Az is érdekelé őket, hogy lehet-e úgy lői, hogy bármely két találat közti távolság legalább méter legye. Adj választ az íjászok kérdéseire!. feladat Igazold, hogy em létezek olya a, b, c, * számok, amelyekre az a b c a b c szám égyzetszám legye! 3. feladat Adott az ABCD égyzet, F a CD oldal felezőpotja, H a BC oldalak B -hez közelebb eső harmadoló potja. Legye P az AF és BD egyeesek metszéspotja. Igazold, hogy PH AF! 4. feladat Egy derékszögű háromszög oldalaiak mértékszámai kétjegyű egész számok. Az átfogó mértékszáma ugyaazo számjegyekkel írható, mit az egyik befogóé, csak fordított sorredbe. Meyi lehet a mértékszáma egy ilye háromszög oldaláak? 5. feladat Az A -ba derékszögű ABC háromszögbe AD BC, D BC. Az AD átmérőjű kör az AB befogót K -ba, az AC befogót M -be metszi, és az L a KM és az AD metszéspotja. Tudva, hogy az AL szakasz hossza az AK és az AM szakaszok hosszáak mértai középaráyosa, határozd meg az ABC háromszög szögeiek mértékét! 6. feladat Müchhause báróak volt yolc darab azoos külsejű golyója, amelyek súlyai gramm, gramm, 3gramm,, 8gramm. Ezek egyikét gróf Szkleróz kölcsökérte, de elfelejtette visszaadi. Egy kétkarú mérlege egy méréssel a báró rájött, hogy melyik golyó hiáyzik. Vajo melyik golyó va Szkleróz grófál? Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

67 Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

68 X. osztály II. forduló feladat a) Határozd meg az összes p prímszámot, amelyre b) Határozd meg az összes q prímszámot, amelyre. feladat p 4, p 6 q 4, 4, q is prímek. q 0, q 34 is prímek. Etele és Márk kavicsozak. Ez a játék abból áll, hogy a kezdőjátékos feltesz valaháy kavicsot az asztalra, majd elvesz legalább egyet, de em többet, mit a kavicsok felét; aztá a másik játékos vesz el az asztalo maradt kavicsok közül éháyat, az előbbi szabály szerit. A játék addig tart, amíg el em fogyak a kavicsok az asztalról. Az veszít, aki az utolsó kavicsot veszi el. Va-e olya stratégia, amellyel Márk, a kezdőjátékos biztosa yeri fog? 3. feladat Adottak az ABC és ABC háromszögek úgy, hogy m(b A C ) = m(b A C ) = 90 0, valamit D (B C ), D (B C ) úgy, hogy A D B C, A D B C. Igazold, hogy A D A D A B A B + A C A C. 4. feladat Oldd meg a valós számok halmazá az c 4bc b c 4 a 3b c 4a b egyeletredszert! Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

69 5. feladat Egy táblára felírjuk az összes a k k számot, ahol k,,3,, k. A felírt a k számokból ab letörlük tetszőlegese kettőt, az a illetve b számokat, és visszaírjuk a táblára az x a b, illetve ab y a b számokat. Igazold, hogy az eljárás 08-szoros megismétlése utá a táblá maradt számok reciprokaiak összege kisebb, mit. 6. feladat Egy ABC háromszögbe legyeek redre talppotjai. Igazold, hogy : BC TBRP a) AC T ARS BC BR RP b). AC AR RS S, P, R az A, B, C csúcsokból húzott magasságok Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

70 XI-XII. osztály II. forduló. feladat Helyezz el egymás mellé valaháy üveggolyót. Tekitsd ezt első sorak. Alakíts ki belőlük párokat, így golyó pár élkül marad. Ezt a pár élküli golyót helyezd a. sorba, majd helyezd mellé az előző sor mide párjáak egy-egy golyóját. Majd csoportosítsd a. sorba levő golyókat hármasával, ekkor golyó megmarad. Ezt a kettőt helyezd a harmadik sorba, majd helyezd melléjük az előző sor mide hármasáak egy-egy golyóját. Így folytatva az eljárást, a k. sorba a csoportosítás utá éppe k darab golyó marad meg, és a 08. sorba potosa 08 üveggolyó lesz. Határozd meg az üveggolyók számát!. feladat Egy p 5 prímszámot pitagoraszi prímszámak evezük, ha felírható két égyzetszám összegekét. Igazold, hogy ha p, p,, p pitagoraszi prímszámok, akkor égyzetszám! p p p em 3. feladat Az ABC háromszög belsejébe adott egy P pot. Az AP egyees a BC oldalt D-be, a BP egyees az AC oldalt E-be, és a CP egyees az AB oldalt F-be metszi. Ha PD PE PF 3, és PA PB PC 43, meyi a PAPB PC szorzat értéke? 4. feladat Egy méter oldalhosszúságú szabályos hatszög belsejébe található egy 50 oldalú K kovex sokszög. Igazold, hogy a K csúcsai közül kiválasztható három úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög területe legfeebb 7 égyzetcetiméter! 5. feladat Adott az 00 páros természetes szám. Egy vágj le egy-egy 5 -es téglalapot. Lefedhető-e az így kapott alakzat 5 -ös téglalappal, tudva azt, hogy a téglalapok em forgathatók el? 0 -es tábláak bal felső és jobb alsó sarkából darab 5 -es és darab 6. feladat Az ABC hegyesszögű háromszög köré írt körö jelölje M, illetve N az AC és AB körívek felezőpotját. Igazold, hogy az MN szakasz akkor és csakis akkor ériti a háromszögbe írt kört, ha az A szög mértéke 60. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

71 Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

72 IX. osztály Javítókulcs, II. forduló. feladat Íjászok lőek egy m sugarú céltáblába. Mivel kedvelik a mágikus számokat, mide alkalommal hét vessző kilövése utá értékelik az eredméyt. Profik lévé az összes vessző beletalál a táblába, és hosszú gyakorlás sorá figyelek fel rá, hogy midig va két olya találat, amelyek közt a távolság em haladja meg az métert. Arra kérik matematikus barátjukat, hogy állapítsa meg, midig lesz-e ilye találatpár, vagy csak esetlegesség a megfigyelésük. Az is érdekelé őket, hogy lehet-e úgy lői, hogy bármely két találat közti távolság legalább méter legye. Adj választ az íjászok kérdéseire! Hivatalból A kört osszuk fel 6 egyelő körcikkre. A skatulyaelv alapjá biztosa lesz olya körcikk, melybe két vessző kerül. Ezek távolsága em lehet agyobb m-él, hisze a cikkek kerületi potjai közt is maximum m a távolság Tegyük fel, hogy az AOB körcikkbe található két pot. Jelöljük ezeket. G -vel és H - val. G és H a körcikk belsejébe vagy legfeljebb a határá található. A GOH háromszögbe GOH szög mértéke em agyobb 60 -ál, így az OGH vagy az OHG szögek közül az egyikek a mértéke, a agyobbikak, em kisebb 60 -ál. Mivel egy háromszögbe a agyobb szöggel szembe fekvő oldal hossza agyobb, mit a kisebb szöggel szembe fekvő, ezért max( OH, OG) HG Megvalósítható a potosa m-es távolság, hisze ehhez az kell, hogy valamely beírható pot. 3 pot pot pot pot

73 szabályos hatszög csúcsaiba és a céltábla közepébe lőjük.. feladat Igazold, hogy em létezek olya a, b, c, * számok, amelyekre az a b c a b c szám égyzetszám legye! Megoldás. Hivatalból Észrevehető, hogy pot 4 pot a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c. a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c. Tehát az a b c a b c szám két egymásutái égyzetszám között va, ezért em lehet égyzetszám. 3pot pot 3. feladat Adott az ABCD égyzet, F a CD oldal felezőpotja, H a BC oldalak B -hez közelebb eső harmadoló potja. Legye P az AF és BD egyeesek metszéspotja. Igazold, hogy PH AF!

74 Hivatalból Az ábra a a Haszáljuk a következő jelöléseket: AD a, DF, BH. 3 pot pot pot a DF AB PDF PD DF PF PBA. PB AB PA a PD PD PB PD BD, hasolóa 3 PF AF 3 () Megszerkesztjük: PT DC és PS BC DS DC 3, illetve CT CB a SC, 3 3 pot De mivel mc ( ) 90, PSCT téglalap, tehát a TH BC BH TC 3 a TC ebből következik, hogy 3 A THP derékszögű háromszögbe Pitagorasz tétele alapjá képpe a HCF háromszögbe FH 5a 6 a 5 PH 3, hasoló 3 pot Az ABF háromszögbe a 5 AF és így az ()-es összefüggés alapjá a 5 PF 6 A PHF háromszögbe alapjá HP PF. 5a PF PH FH, így Pitagorasz fordított tétele 36 pot 4. feladat Egy derékszögű háromszög oldalaiak mértékszámai kétjegyű egész számok. Az átfogó mértékszáma ugyaazo számjegyekkel írható, mit az egyik befogóé, csak fordított sorredbe. Meyi lehet a mértékszáma egy ilye háromszög oldaláak? Hivatalból pot

75 Legye az átfogó mértékszáma xy 0x y,így az egyik befogóé yx 0y x, ahol x és y 0-tól és egymástól külöböző számjegyek és x > y. A másik befogó mértékszáma legye z. Nyilvá 0 z 00. Pitágorász tételét alkalmazva 0 y x z 0x y pot pot ami egyeértékű az alábbival: z x - y x yx y A jobboldal osztható a prímszámmal, ezért a z is osztható vele. Mivel égyzetszámot külöböző prímszámok hatváyaiak szorzatakét felírva, bee mide kitevő páros, ezért Azoba Ugyaakkor z osztható -gyel. Így x y x y osztható -gyel. x ylegalább és legfeljebb 8, ezért csakis x ylehet osztható -gyel. x megfelelő, tehát x y =. ylegalább 3 és legfeljebb 7 lehet, így e két határ között csak maga a Most már tudjuk, hogy z 3 x y. E szerit x y égyzetszám, éspedig páratla, mert egész számok összege és külöbsége párosságra ézve megegyező, és x ypáratla. Így csak x y = lehetséges. E két feltételből 6, 5, z= 3, tehát az oldalak mértékszámai 33, 56 és 65. x= y = másrészt 3 pot 3 pot 5. feladat Az A -ba derékszögű ABC háromszögbe AD BC, D BC. Az AD átmérőjű kör az AB befogót K -ba, az AC befogót M -be metszi, és az L a KM és az AD metszéspotja. Tudva, hogy az AL szakasz hossza az AK és az AM szakaszok hosszáak mértai középaráyosa, határozd meg az ABC háromszög szögeiek mértékét!

76 Hivatalból Az ábra AKDM égyszög körbeírható ( K és M átmérő yugvó kerületi szögek), és a égyszögbe három szög derékszög, tehát AKDM téglalap az átlók metszéspotja L a téglalap középpotja, AL LD ML LK. Legye AP MK, P MK. pot pot pot 5pot Tudjuk, hogy AL AK AM T AKM KM AP AL AP AL AP ALP P -be derékszögű háromszögbe m ALP 30 az ALK egyelő szárú háromszög külső szöge AKM -be mk mm 5, 75 ADC -be m A mc mc 5, mb 75 75, 5, ezért az ABC szögeiek mértéke: pot 6. feladat Müchhause báróak volt yolc darab azoos külsejű golyója, amelyek súlyai gramm, gramm, 3gramm,, 8gramm. Ezek egyikét gróf Szkleróz kölcsökérte, de elfelejtette visszaadi. Egy kétkarú mérlege egy méréssel a báró rájött, hogy melyik golyó hiáyzik. Vajo melyik golyó va Szkleróz grófál? Hivatalból pot Ha a megmaradó golyókat felteszi a két serpeyőbe és ics egyesúly, abból em yer haszálható iformációt Müchhause. Csak akkor jöhet rá a hiáyzó golyó súlyára, ha

77 a két tálca között egyesúly va. pot Egyesúly akkor lehet, ha a megmaradt 7 golyó összsúlya (a mérőszám) páros =36. Tehát a hiáyzó golyó súlya is páros:, 4, 6 vagy 8 gramm. Ha a grammos hiáyzik, a megmaradt golyók között egyesúly úgy lesz, ha midkét tálcá 7 gramm lesz az összsúly. Ehhez legalább 3 golyót kell tei midkét serpeyőbe, és ez megvalósítható. 3 pot Ha a 4 grammos hiáyzik, a megmaradt golyók között egyesúly úgy lesz, ha midkét tálcá 6 gramm lesz az összsúly. Ehhez is legalább 3 golyót kell tei midkét serpeyőbe. Ez is megvalósítható. Ha a 8 grammos hiáyzik, a megmaradt golyók között egyesúly úgy lesz, ha midkét tálcá 4 gramm lesz az összsúly. Ehhez is legalább 3 golyót kell tei midkét serpeyőbe. Ez is megvalósítható Ha a 6 grammos hiáyzik, a megmaradt golyók között egyesúly úgy lesz, ha midkét tálcá 5 gramm lesz az összsúly. Ez lehet úgy is, ha az egyik tálcába a 7 és 8 grammos kerül, a másikba pedig az,, 3, 4 és 5 grammos golyó. Tehát ez az egy eset olya a lehetőségek közül, amelyél csak úgy mérhető egyesúly, hogy az egyik tálcába csak két golyót teszük. Ha Müchhause szerecsés, akkor az egyik tálcába golyót, a másikba pedig 5 golyót tesz, és a mérleg egyesúlyt mutat. Ez csak a legutoljára vizsgált esetbe fordulhat elő, amikor a Szkleróz grófál lévő golyó 6 grammos. pot pot

78 XXVIII.EMMV Szováta, 08 jauár 3. február 4. X. osztály II. forduló feladat a) Határozd meg az összes p prímszámot, amelyre p 4, p 6 is prímek. b) Határozd meg az összes q prímszámot, amelyre q 4, q 4, q 0, q 34 is prímek. dr. Becze Mihály, Bukarest a) Jelölje u a az a szám utolsó számjegyét. Ha u p, akkor u p akkor u p akkor u p akkor Ha 3 Ha 7 Ha 9 u p 4 5 és így u p 6 5 és így u p 6 5 és így u p 4 5 és így p p p p 4em prím. 6 em prím. 6 em prím. 4 em prím. p Egyedüli megoldás p 5 amelyre p 4 9 és p 6 3 prímek. p a) q 7 megoldás. p Ha k természetes szám, akkor q 7k em prímszám. Ha k természetes szám, akkor a következő esetek lehetségesek: Ha q 7k akkor q 34 M 7 0, tehát em prím. Ha q 7k akkor q 0 M 7 0, tehát em prím. Ha q 7k 3 akkor q 4 M 7 0, tehát em prím. Ha q 7k 4 akkor q 4 M 7 0, tehát em prím. Ha q 7k 5 akkor q Ha q 7k 6 akkor q 0 M 7 0, tehát em prím. 34 M 7 0, tehát em prím. Egyedüli megoldás q 7, q 4, q 4 3, q 0 59, 4p q p Megjegyzések Mukaidő 4 óra; Mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

79 XXVIII.EMMV Szováta, 08 jauár 3. február 4.. feladat Etele és Márk kavicsozak. Ez a játék abból áll, hogy a kezdőjátékos feltesz valaháy kavicsot az asztalra, majd elvesz legalább egyet, de em többet, mit a kavicsok felét; aztá a másik játékos vesz el az asztalo maradt kavicsok közül éháyat, az előbbi szabály szerit. A játék addig tart, amíg el em fogyak a kavicsok az asztalról. Az veszít, aki az utolsó kavicsot veszi el. Va-e olya stratégia, amellyel Márk, a kezdőjátékos biztosa yeri fog? Komá Attila, Budapest Aki az utolsót kéytele elvei az veszít, tehát,aki akkor kerül sorra amikor kavics va az asztalo, az yer, aki előtt három kavics va, az veszít. Tehát ha elérheted, hogy a lépésed utá 3 kavics maradjo, akkor yertél. Ez utóbbi akkor lehetséges, ha 4, 5, vagy 6 kavics va az asztalo, amikor rád kerül a sor. Ha viszot 7 kavicsál kerülsz sorra, akkor lépésed utá kizárólag 4, 5 va 6 kavics maradhat az asztalo, tehát veszítei fogsz. Ha a játékos egy alakú számál következik, akkor a megtett lépés utá legtöbb, legkevesebb kavics maradhat az asztalo (mivel = 0,5, ezért legtöbb kavicsot vehet el, ez esetbe marada), a soro következő játékos viszot mideképp el tud ayit vei, hogy kavics maradjo, ami azt jeleti, hogy a két játékos együttese számú kavicsot kell elvegye egy-egy lépés sorá. ). (mivel Ezt a stratégiát folytatva a következőek midig számú kavicsból kell elveie, így jut majd 3-hoz, ami. Márk számára a yerő stratégia a következő: kezdetbe akármeyi kavicsot feltehet az asztalra, kivéve számút, aztá pedig midig ayit vegye el, hogy az asztalo Etele számára számú kavics maradjo. Tehát a k vesztes szám. 3p 4p p Megjegyzések Mukaidő 4 óra; Mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

80 XXVIII.EMMV Szováta, 08 jauár 3. február feladat Adottak az A B C és A B C háromszögek úgy, hogy = = 90, valamit ( ), ( ) úgy, hogy,. Igazold, hogy +. dr. Becze Mihály, Bukarest Vezessük be a következő jelöléseket: =, =, = h, =, =, = h, 3p Ezekkel a jelölésekkel írhatjuk, hogy: h = h = Így a bizoyítadó egyelőtleség egyeértékű a következőkkel: 3p + + ( + )( + ) + ( ) 0, ami yilvávalóa igaz. 3p Megjegyzések Mukaidő 4 óra; Mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

81 XXVIII.EMMV Szováta, 08 jauár 3. február feladat Oldd meg a valós számok halmazá az c 4 bc b c 4 a 3b c 4a b redszert. Bíró Béla, Sepsiszetgyörgy 4 a 3b c 4a b () c 4 bc () b c (3) (3) c 0 () b 0, sőt ha c 0 vagy b 0 b 0 és c 0 esetbe kaphatuk megoldást. () c 4 0 elletmodás. Tehát csak p Az () -ből adódik, hogy ha a, b, c számhármas egy megoldás, akkor a, b, c számhármas is megoldás (4). A továbbiakba feltételezhetjük, hogy b 0 és c 0 (5). A () -es és (3) -as összefüggések felhaszálásával és a számtai mértai közepek közötti egyelőtleség alkalmazásával írhatjuk, hogy bc c 4 4c b c b (6). Másrészt: az () es egyelet átredezésével a következőhőz jutuk: a b b c 0 b c (5) b c (7). a b b c 0 azaz A (6) os és (7)-es egybevetéséből adódik, hogy b c. A b c feltétel mellett a () és (3) egyeletet csak a (, ) számpár elégíti ki. Ezt figyelembe véve az () es egyelet az a 8a 6 0 egyelethez vezet a 4 0 a. Tehát a (,, ) és (,, ) 4 számhármasok a megoldások. p 3p 3p Egy másik lehetséges megoldás: Az utolsó egyelőtleség kétszeresét hozzáadva az első két egyelethez az a b b c c 0 egyelőtleséghez jutuk, stb. Megjegyzések Mukaidő 4 óra; Mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

82 XXVIII.EMMV Szováta, 08 jauár 3. február feladat Egy táblára felírjuk az összes a k k számot, ahol k,,3,, k. A felírt ak számokból ab letörlük tetszőlegese kettőt, az a illetve b számokat, és visszaírjuk a táblára az x a b illetve ab y a b számokat. Igazold, hogy az eljárás 08-szoros megismétlése utá a táblá maradt számok reciprokaiak összege kisebb, mit. Mátéfi Istvá, Marosvásárhely A táblá található számok reciprokaiak összege p A továbbiakba igazoljuk, hogy a feltételbe leírt, művelet sorá az összeg értéke em változik. Legyeek aés b a letörölt számok, ezek a feti összegbe az összegkét jeleek meg, a b ab A táblára visszaírt x a b és ab y a b számok reciprokaiak összege a b a b a b, vagyis a visszaírt számok reciprokaiak összege x y ab ab ab a b egyelő a letörölt számok reciprokaiak összegével. Tehát a táblá található számok reciprokaiak összege változatla marad mide törlés utá. Az eljárás 08-ik megismétlése utá is a táblá található számok reciprokaiak összege változatla marad, tehát kisebb, mit. 5p p Megjegyzések Mukaidő 4 óra; Mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

83 XXVIII.EMMV Szováta, 08 jauár 3. február feladat Egy ABC háromszögbe legyeek az S, P, R potok redre az A, B, C csúcsokból húzott magasságok talppotjai. Igazold, hogy : BC TBRP a) AC T ARS BC BR RP b). AC AR RS Pálhegyi-Farkas László, Nagyvárad Rajz a) Ismert, hogy a talppoti háromszögbe az eredeti háromszög magasságai szögfelezők. Valóba, ha tekitjük a BRHS és ARHP körbeírható égyszögeket, akkor BRS BHS és ARP AHP. De AHP BHS mert csúcsszögek. Ezért BRS ARP és mivel CR magasság, következik, hogy SRH HRP. Hasolóa igazolható a többi is. Igazoljuk, hogy az ARP és ACB háromszögek hasolóak. Mivel ARHP körbeírható égyszög, ARP AHP, de AHP BHS mert csúcsszögek. BCA BHS mert merőleges szárú szögek. Hasolóa APR ABC. Ie következik, hogy az ARP és ACB háromszögek hasolóak. A többi esetbe hasoló az eljárás. Mivel az ARP és ACB háromszögek, illetve az BRS és BCA háromszögek hasolóak, AR RP BR RS következik, hogy: és. Eze relációkból kapjuk, hogy: AC BC BC AC AR BC RP AC BC BR RP, majd átredezve. AC BR BC RS AC AR RS De az előbbiekből következik, hogy BRP SRA, legye ezek mértéke. Akkor az előbbi BC BR RP si TBRP TBRP összefüggés átírható úgy, hogy:. AC AR RS si T T ARS ARS p p p p p b) Mivel BR RP BR RP következik a kért összefüggés: T BR RP T AR RS BRP p ARS Megjegyzések Mukaidő 4 óra; Mide feladat helyes megoldása 0 potot ér; Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

84 XI-XII. osztály Javítókulcs. feladat Helyezz el egymás mellé valaháy üveggolyót. Tekitsd ezt első sorak. Alakíts ki belőlük párokat, így golyó pár élkül marad. Ezt a pár élküli golyót helyezd a. sorba, majd helyezd mellé az előző sor mide párjáak egy-egy golyóját. Majd csoportosítsd a. sorba levő golyókat hármasával, ekkor golyó megmarad. Ezt a kettőt helyezd a harmadik sorba, majd helyezd melléjük az előző sor mide hármasáak egy-egy golyóját. Így folytatva az eljárást, a k. sorba a csoportosítás utá éppe k darab golyó marad meg, és a 08. sorba potosa 08 üveggolyó lesz. Határozd meg az üveggolyók számát! Mészár Juliaa, Nagyszalota, Pálhegyi-Farkas László, Nagyvárad Legye a golyók száma. Ekkor. sor: g. sor: g 3g 3. sor: g 4g sor: 06 g06 08g sor: 07 g (4p) Tehát g07. Ekkor a. sortól kezdődőe mide sorba vigyük át a baloldalról a szabadtagokat a jobb oldalra, majd ezutá a jelzett meyiséggel szorozzuk be a sorokat, a második sortól kezdve: g g 3g! g 4g 3! 3 Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

85 g g 07g 06! g 07!...(3p) Összeadva a sorok megfelelő oldalait, majd leegyszerűsítve, azt kapjuk, hogy:!! 3! 08!...(p). feladat Egy prímszámot pitagoraszi prímszámak evezük, ha felírható két égyzetszám összegekét. Igazold, hogy ha p, p,, p pitagoraszi prímszámok, akkor p 5 p p p em égyzetszám! Ha * m, akkor m M 4, M 4 a b M M M Ha, eszerit ha * ab, akkor Dr. Becze Mihály, Bukarest 4, 4, 4...(3p) p k prímszám, akkor p M4 k bármely k,,, eseté....(3p) Akkor p p p M 4 M 4 M 4, M 4 3 Ebből következik, hogy az...(3p) p p p szám em lehet teljes égyzet. 3.feladat Az ABC háromszög belsejébe adott egy P pot. Az AP egyees a BC oldalt D-be, a BP egyees az AC oldalt E-be, és a CP egyees az AB oldalt F-be metszi. Ha PD PE PF 3és PA PB PC 43, meyi a PAPB PC szorzat értéke? Róka Sádor, Nyíregyháza Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

86 Legye h és h c redre az APB háromszög P- ből húzott, illetve az ABC háromszög C-ből húzott magassága. h FP 3 hasolóak, akkor h FC 3 PC...(p) c Ekkor t t PAB ABC AB h h....(p) AB hc hc Mivel az FPM és FCN háromszögek Tehát t t PAB ABC 3. Hasolóa kapjuk, hogy: 3 PC t t PBC ABC 3 3 PA és t t PCA ABC 3....(p) 3 PB Adjuk össze az egyelőségeket:,...(p) 3 PC 3 PA 3 PB 54 9 PA PB PC PA PB. Mivel PA PB PC 43 PA PB PC (p) redezés utá: PC 4. feladat Egy méter oldalhosszúságú szabályos hatszög belsejébe található egy 50 oldalú K kovex sokszög. Igazold, hogy a K csúcsai közül kiválasztható három, úgy hogy az általuk meghatározott háromszög területe legfeebb 7 égyzetcetiméter! Dr. Becze Mihály, Bukarest Mivel a K sokszög bee va a hatszög belsejébe, a kerülete legfeebb 600 cm lehet....(p) Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

87 Legyeek a K sokszög csúcsai A, A, A50, és képezzük az A A A A, A A A A,..., A A A A, A A A A számokat....(p) Eze 50 szám összege a K sokszög kerületéek kétszerese, vagyis legtöbb 00 cm lehet,...(p) tehát va közöttük legalább egy, amely kisebb vagy egyelő, mit 4 cm (ellekező esetbe az összeg agyobb lee mit 00 cm )....(p) Legye ez Ai Ai Ai Ai, i i i i i i i TA i Ai Ai A A A A si A A A A A A A i i i i...(p), majd haszálva a mértai és számtai középaráyosok egyelőtleségét kapjuk, hogy i i i Ai Ai Ai Ai 4 TA A A 7...(p) feladat Adott az 00 páros természetes szám. Egy 0 -es tábláak bal felső és jobb alsó sarkából vágj le egy-egy 5 -es téglalapot. Lefedhető-e az így kapott alakzat darab 5 -es és -ös téglalappal, tudva azt, hogy a téglalapok em forgathatók el? darab 5 Róka Sádor, Nyíregyháza Szíezzük felváltva az alakzat sorait fehér, illetve fekete szíel, az első sor legye fehér. Így sor fekete, tehát 0 4 fekete égyzet lesz....(p) Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

88 Tegyük fel, hogy a lefedés lehetséges. Akkor egy 5 -ös téglalap midig 5 fekete égyzetet takar le, tehát az -ös téglalap összese fekete égyzetet fed...(p) darab 5 5 Másrészt egy 5 -es téglalap midig 4 vagy 6 fekete égyzetet takar, tehát az ilye típusú téglalapok által lefedett fekete égyzetek száma páros.....(p) Tehát a téglalapok által összese lefedett fekete égyzetek száma M 5( ) alakú, ami páratla figyelembe véve, hogy páros, ami elletmod aak,hogy 0 4páros...(p) Tehát a lefedés lehetetle....(p) 6.feladat Az ABC hegyesszögű háromszög köré írt körö jelölje M, illetve N az AC és AB körívek felezőpotját. Igazold, hogy az MN szakasz akkor és csakis akkor ériti a háromszögbe írt kört, ha az A szög mértéke 60. Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.

89 Bizoyítás: Dávid Géza, Székelyudvarhely Jelöljük I -vel a háromszögbe írt kör középpotját. A BI szögfelező a köré írt kört az M -be, a CI szögfelező pedig az N -be metszi. Először lássuk be, hogy és. Mivel A B IAM IAB BAM és következik, hogy az AMI háromszögbe A B AIM, tehát az....(3p) IM MA IN NA IM MA AMI C AMIN égyszög deltoid, az NM Az IN NA egyelőség hasolóa igazolható. A fetiekből következik, hogy az felezi az AI szakaszt és merőleges rá....(p) Jelöljük Q -val az NM és AI szakaszok metszéspotját. Az NM akkor és csakis akkor ériti a háromszögbe írt kört, ha IQ r, ahol r az ABC háromszögbe írt kör sugara....(p) Jelöljük L -lel a beírt kör és az AC oldal éritési potját. Tehát az NM akkor és csakis akkor ériti a háromszögbe írt kört, ha AI r, azaz ha az ALI derékszögű háromszögbe IAL 30, vagyis ha az A szög 60 -os....(p) Léyeges általáosításokért és az elsőtől külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár.