Foglalkoztatáspolitika. Modellek, mérés.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Foglalkoztatáspolitika. Modellek, mérés."

Átírás

1 Foglalkoztatáspoltka. Modellek, mérés. Galas Péter Budapest, 20 Galas Péter, 20 Kézrat lezárva: 20. júnus

2 Bevezetés A tananyag célja a foglalkoztatáspoltka közgazdaságtan szempontú elemzésében és értékelésében használatos legfontosabb elmélet modellek, a modellek emprkus megformulázására alkalmas eszközök, mérés módszerek, valamnt aktuáls mérés eredmények bemutatása. Az lyen jellegű elemzőértékelő tevékenység és szakrodalom a fejlett országokban (EU, USA, Kanada) az elmúlt mntegy másfél évtzedben ugrásszerű fejlődést mutat, s vélhetőleg hozzájárul hatékonyabb szakpoltka tevékenységek kalakításához, ugyanakkor a magyar közgazdászképzésben ez az smeretanyag kevéssé van jelen. A tananyag mesterszntű közgazdaságtan képzésben résztvevő hallgatók számára készült. A kfejtés erőteljesen algebra, nagymértékben támaszkodk a haladó (mesterszntű) munkagazdaságtan modelljere és eljárásara különösen az alkalmazott mkroökonóma tudásanyagra. A mérés, emprkus becsléseket tartalmazó részek feltételezk a haladó (mesterszntű) statsztka és ökonometra ezen belül hangsúlyosan a mkroökonometra fejezetek smeretét. A tananyag jelentős részben kínálat szempontú elemzést, lletve kínálat modelleket tartalmaz. Ezért az elmélet modellek közül a klasszkus munkakínálat modellek és az álláskeresés modellek az adott problémára alkalmazott különböző változatat vszonylag nagy terjedelemben vzsgáljuk. A tananyagban szereplő smeretek brtokában a hallgatók képessé válnak a munkaerőpaccal összefüggő szakpoltka problémák modellezésére, a problémák emprkus megformulázására, végül a szakpoltka hatásanak mérésére és értékelésére. A foglalkoztatáspoltka fogalmát - a munkagazdaságtanban újabban használatos sztenderdeknek megfelelően - kterjesztően alkalmazzuk, azaz mnden olyan beavatkozást-szabályozást-ntézkedéstntézményt beleértünk, am a munkaerőpacot érnthet. Ezek közül azonban csak azokra térünk k, amelyekkel kapcsolatban kellő mennységű smeretanyag, kdolgozott modellek és emprkus eredmények állnak rendelkezésre. Öt fontos témakört tárgyalunk: oktatás és bérhozam; transzferek és munkakínálat; aktív-passzív munkaerő-pac eszközök és aktválás; mnmálbér; munkaerő-pac ntézmények. Az egyes témakörökön belül először bemutatjuk a probléma vzsgálatára kdolgozott legfontosabb elmélet modelleket, másodszor rövden áttekntjük az elmélet modellek emprkus becslésekor többnyre felmerülő ökonometra problémákat, harmadszor emprkus példákkal llusztráljuk a modellek és becslés modellek működését, végül az emprkus becslés eredmények természetesen nem teljeskörű összegzésére teszünk kísérletet. Az oktatás hozama, túlképzés - alulképzés Az első fejezetben az oktatáspoltka értékeléséhez és alakításához esetleg felhasználható elemzés eszközöket és emprkus eredményeket mutatjuk be. A vzsgálódás ugyanakkor korántsem fogja át a problémakör mnden vonatkozását. Kzárólag a kereset hozamokról, s az ezzel kapcsolatos becslés, mérés kérdésekről, emprkus eredményekről lesz szó. A fejezet első pontjában bemutatjuk a kereset függvényt, amely a bérhozamok becslésének alapvető eszköze, a másodk pontban kterjesztjük az elemzést a függvény túl- és az alulképzés elemzésére alkalmas változatára. A harmadk pontban a kereset hozamok emprkus becslésének legfontosabb torzító tényezőjére, az önszelekcóra térünk k. A negyedk és az ötödk pontban először - a regresszós becslésekre koncentrálva- rövden áttekntjük az okság emprkus becslés legfontosabb fogalmat és eszközet, majd több emprkus példát mutatunk be... A kereset függvény Az ember tőkével kapcsolatos kutatások egyk legfontosabb célktűzése az oktatás belső megtérülés rátájának a mérése. Az emprkus kutatások mndegyke valamlyen, a rendelkezésre álló adatokon mérhető kereset függvényből ndul k. A függvényben valamlyen kereset változó a függő, és a kereseteket meghatározó tényezők a magyarázó változók. A magyarázó változók között természetesen az skola végzettség s szerepel. Általános alakban a kereset függvény a következőképpen fest: 2

3 W W ( S, Z), ahol W az -edk egyén éves keresete, S elvégzett osztályanak száma vagy az skola végzettség szntjét jelző dchotóm változók, Z a keresetet befolyásoló egyéb változók vektora (életkor, nem, lakóhely stb.). A függvényt sokféleképpen lehet felírn. Célszerű azonban az előző pontban tárgyalt modellek valamelyk változatából knduln. Problémát okoz, hogy méréskor számos egyszerűsítő feltevéssel kell éln, s ematt az eredmények értelmezése gyakran nehézségekbe ütközk. Az alábbakban néhány olyan emprkus specfkácót mutatunk be, amelyek vszonylag könnyen mérhetők, ematt vszont az elmélet modellt még az tt smertetetteknél s egyszerűbben kell felírn. Nézzünk meg először egy olyan emprkus kereset függvényt, amely az skolarendszerű képzés révén szerzett ember tőkével foglalkozk! Egyelőre mnd a munka mellett tanulás, mnd a család háttér és az öröklött képesség problémáját fgyelmen kívül hagyjuk. A kérdésünk, mekkora adott egyén ember tőkébe történő beruházásának hozadéka, vagys az skolázás belső megtérülés rátája. Ha feltesszük, hogy az egyén megfgyelt jövedelme az ember tőkébe történt beruházás, tehát ebben az esetben az skolába járás függvénye, akkor a megfgyelt jövedelem az skolába járás nélkül elérhető jövedelem (Y 0 ), valamnt a tovább beruházások értékének (H h, h- adk év skolába járás, beruházás értéke) és hozadékuk (r h, a h-adk év beruházás megtérülés rátája) szorzatának az összege. Y Y m 0 r h H h. h Vagys a fent összefüggés természetesen csak bzonyos megszorításokkal gaz. Fel kell tennünk, hogy a megfgyelt keresetekben az ember tőkébe történt beruházás maradéktalanul megjelenk, hogy az ember tőke nem értéktelenedk el, hogy az ember tőkébe történő beruházás nncs hatással az egyén háztartás termelés függvényére, valamnt munkadejének hosszára, végül hogy nncs munkadő mellett tanulás, lletve méréskor az ember tőkébe történő beruházás szünetel. Mármost, ha a fent egyenlőséget mérhető formába kívánjuk hozn, akkor mnthogy a beruházás értékét és többnyre közvetlen költséget sem tudjuk megfgyeln, hszen csak a tényleges keresetekről van nformácónk tovább feltevésekre van szükség. Ha kkötjük, hogy az oktatás költsége éppen egyenlő az skolába járás matt kesett jövedelemmel, akkor vlágos, hogy azok az egyének, akk adott deg skolába jártak, meg kell kapják legalább azt a jövedelmet, amhez azok az egyének jutnak hozzá, akk egy évvel rövdebb deg jártak skolába. Továbbá ha feltesszük, hogy az utolsó évny beruházás többlettőkét hoz létre, és ez az érték kfejezhető az elszalasztott jövedelem és az utolsó skolában töltött év megtérülés rátájának a szorzatával, akkor az egyén megfgyelhető keresete S egységny beruházás (S évny skolába járás) esetén 2 : Az alábbakban elsősorban Mncer (974) modelljere támaszkodunk. 2 Ha az egyén csak a kötelező skolákat végz el, akkor jövedelme Y 0, ha egy évet jár skolába, akkor ezalatt éppen Y 0 jövedelmet veszít, az első év értéke pedg r Y 0, ahol r az első év megtérülés rátája. Ekkor a keresete Y Y ry Y ), ( r Ha két évet jár skolába, akkor elszalasztott jövedelme Y, a 2. év skolába járás jövedelemben kfejezett értéke pedg r 2 Y. Jövedelme tehát: Y Y r ( )( ) 2 2Y Y r r 0 2, S évny skolázás esetén az elszalasztott jövedelemben mért költség Y S, az S-edk év értéke pedg r Y S S kereset tehát Y Y r Y Y r )( r )...( r ) S ( S S S 0 2 S.. A 3

4 Y S S Y0 r j ) j (. Ha a fenteken túlmenően azt s feltesszük, hogy a belső megtérülés ráta konstans, akkor a következő alakot kapjuk: YS Y0 ( r). S A fent összefüggés már csaknem olyan formában van felírva, amely egyszerű legksebb négyzetek módszerén alapuló regresszóval megmérhető. Ha természetes alapú logartmusát vesszük, akkor lnys lny0 S ln( r), ha pedg úgy gondoljuk, hogy r értéke vszonylag alacsony (mondjuk 0 és 0.3 között van), akkor, mnthogy ks r érték mellett ln( r) r, a végső alak lny lny rs S 0. Az egyenletet megbecsülhetjük a legksebb négyzetek módszere segítségével. Két megfgyelt változóból (aktuáls kereset, skola végzettség) megkapjuk az skolába járás nélkül elérhető jövedelmet, valamnt a belső megtérülés rátát. A regresszós becslés konstansa ugyans éppen az a jövedelem (lletve annak természetes alapú logartmusa), amt az egyén zérus skolába járás mellett érhet el, r pedg S regresszós együtthatója, am nem más, mnt egységny ember tőkébe történő többletberuházás révén elérhető, százalékban kfejezett keresetnövekmény (r d ln YS / ds ). Ez a specfkácó ugyanakkor ellentétben áll elmélet modelljenkkel. Nemcsak azért, mert fgyelmen kívül hagyja a munka mellett képzést, hanem még az alapmodellben a belső megtérülés ráta alakulásával kapcsolatban tett megállapításanknak s ellentmond. Ott ugyans azt állítottuk, hogy a megtérülés ráta nem konstans. Ha a ráta alakulásában az öröklött képességek játsszák a döntő szerepet, akkor az skolázottság hozadéka növekvő, ha a család háttér hatása domnáns, akkor csökkenő. Ezt a problémát vszonylag egyszerűen kezelhetjük. A változó megtérülés rátára vonatkozó feltevés helyességét az skolázottság négyzetének az egyenletben való szerepeltetésével vzsgálhatjuk meg. Ekkor a következő alakot kapjuk: ln Y S 2 ln Y0 S 2S. A megtérülés ráta ekkor nemcsak az skolázottság, hanem az skolázottság négyzetének s a függvénye, hszen r d ln Y / S ds = S 2 2. Ha és 2 előjele egyaránt poztív, akkor a belső megtérülés ráta növekszk az skola végzettséggel, ha vszont poztív, 2 pedg negatív előjelű, akkor az ember tőkébe történő beruházás hozadéka csökkenő. Az egyenlet emprkus becslésre s alkalmas, pusztán arra kell ügyeln, hogy a mnta olyan egyéneket tartalmazzon, akk megközelítőleg azonos mennységet ruháztak be munka mellett ember tőkéjükbe (mondjuk, nagyjából azonos gyakorlattal rendelkeznek), akk egyéb jegyeket tekntve sem túlságosan különböznek egymástól. Heterogén mnta esetén pótlólagos változókat s be kell vonn a becslésbe. Az egyenletekkel általában csökkenő belső megtérülés ráta mutatható k. Mncer például a már hvatkozott tanulmányában a következő együtthatóértékeket becsülte: =0.42, 2 =.0.0. Tehát r d ln Y / S ds = ( 0.0) S = S. Ekkor a nyolcadk osztály megtérülés rátája 0.26, a tzenkettedké 0.8, a tzenhetedké 0.8. Ez azt s jelent, hogy ném támpontot kapunk az alapmo- 4

5 dellben a belső megtérülés ráta nagyságát befolyásoló tényezők relatív súlyára nézve: a belső megtérülés ráta alakulásában nagyobb szerepe van a család háttérnek, mnt az öröklött képességeknek. Térjünk át most egy olyan emprkus modellre, amely a munka mellett képzés révén felhalmozódó ember tőke problémáját s kezeln tudja, de továbbra s tekntsünk el az öröklött képességek és a család háttér hatásanak közvetlen elemzésétől! Ha feltesszük, hogy a megtérülés ráta konstans, továbbá hogy az skolázás közvetlen költsége elhanyagolhatóak (ezt fentebb úgy fogalmaztuk meg, hogy az skolába járás deje alatt keresett jövedelem egyenlő az skolába járás közvetlen költségével), ha emellett az dőtáv elég hosszú (valójában végtelen), akkor a belső megtérülés ráta a következőképpen írható fel: Y r h. t Y t Amennyben az egyén skolába járás révén halmoz fel ember tőkét, és mnden dejét ennek szentel, akkor h t, és t = S, S elvégzett skola után a jövedelme pedg YS Y0 rs e. Az egyén azonban munka mellett s beruház, s ha (amnt ezt az elmélet modell tárgyalásakor s feltettük) a munka mellett tanulásba történő beruházás a gyakorlat dő, lletve az életkor csökkenő függvénye, továbbá ha feltesszük, hogy a csökkenés lneárs, akkor h t h h 0 t T 0, ahol h 0 az aktív életpálya kezdetén a munka mellett képzésre fordított dő, T pedg az aktív életpálya hossza. A munka mellett betanulásra fordított dő tehát a gyakorlat dő függvénye, a jövedelem pedg az skolázottság és a gyakorlat révén beruházott ember tőke függvénye. Adott (x) gyakorlat dővel és skolázottsággal rendelkező egyén potencáls keresete tehát r 0 Y Y e x S x h t dt. Ha a fent kfejezést kntegráljuk 3, és a kfejezés logartmusát vesszük, akkor lny x rh 2T 0 2 lnys rh0 x x. Tudjuk továbbá, hogy ln Y S lny0 rs, tehát ln rh 2T 0 2 Y x lny0 rs rh0 x x. x 3 A h t dt 0 ntegrál értéke h0 h o x x 2T 2 5

6 A megfgyelt (W x ) és a potencáls (Y x ) jövedelem között összefüggés: W x h ). ( x Ezt behelyettesítve megkapjuk a kereset függvényt: lnw x rh ln 0 2 Y0 rs rh0 x x ln( hx). 2T A függvény az egyszerű legksebb négyzetek módszerével becsülhető. Mncer a következő eredményre jutott lnw = S 0.08x x 2. R 2 = (72.3) (73.5) (55.8) Az együtthatókból a kérdéses paraméterek könnyen kszámolhatók: r=0.07, h 0 = 0,76, T = 34. Vagys: az átlagos (reprezentatív) egyén számára a belső megtérülés ráta tíz százalék, az aktív életpálya hossza 34 év, az egyén az életpálya kezdetén ember tőkébe történő beruházással tölt potencáls munkadejének mntegy háromnegyedét. Ez a modell ugyancsak számos vonatkozásban krtzálható. Mndenekelőtt a konstans megtérülés ráta kérdőjelezhető meg. Ezen túlmenően a modell eddgekben nem említett (részben hallgatólagos) előfeltevésenek következménye közül példaként említjük a következőket: nem képes az skolák mnőségében mutatkozó különbségek modellezésére, holott feltehető, hogy jobb skola magasabb megtérülés rátát jelent; az ember tőkébe történő beruházásnak csak pénzben kfejezett hozadékát ragadja meg, holott feltehető, hogy a nem pénzbel hozadék s lényeges (jobb munkakörülmények, kellemesebb foglalkozás, több szabaddő stb.), és ha a nagyobb ember tőkével rendelkezők számára a nem pénzbel előnyök fontosabbak, akkor a modell alábecsül az ember tőke hozadékát. Végül, az öröklött képességek és a család háttér szerepének vzsgálatára sem alkalmas..2. Túlképzés és bérhozam Az egyszerű kereset függvény több rányban fejleszthető tovább. Az egyk gyakor alkalmazás amnek aktualtását elsődlegesen a fejlettebb vlágban az elmúlt negyven évben negfgyelt felsőoktatás expanzó adja a munkavállaló/munkahely lleszkedés keresetre gyakorolt hatásának elemzése. 4 Egészen pontosan az skola végzettség és a munkahely skola végzettség követelményenek lleszkedését, és az lleszkedés kereset hozamokban megjelenő következményet vzsgálják. Ha amnt ez emprkusan bzonyosan fennáll a munkahelyek különböző skola végzettsége követelményeket támasztanak, ugyanakkor adott skola végzettség követelményekkel rendelkező munkahelyeken különböző skola végzettségű egyének helyezkednek el, akkor lehetséges, hogy az egyének keresetét nemcsak skola végzettségük, hanem skola végzettségük munkahely követelményeknek való megfelelése s befolyásolja. Ekkor egyes egyének éppen az skola végzettségüknek megfelelő skola végzettség követelményeket támasztó munkahelyeken, mások olyan munkahelyeken dolgoznak, ahol a munkahely követelmények skola végzettségüknél alacsonyabbak vagy magasabbak. Az első esetíben a munkavállaló lleszkedése tökéletes, a másodk esetben munkavállalónk túlképzett, a harmadkban alulképzett. A probléma sztenderd megfogalmazása egy olyan egyszerű modell, am lehetővé tesz, hogy az lleszkedéssel kapcsolatos bérhozamokat tanulmányozhassuk. A megfgyelt skola végzettség (S) három elemre bontható fel: a munkahely követelmények által meghatározott (szükséges) skola végzettség (R), a túlképzés mértéke (O), az alulképzés mértéke (U) - általában mndegyket az elvégzett skola osztályok számával közelítk. A felbontás: S = R + O - U. Ha ez egyén éppen a 4 A probléma összefoglaló tárgyalása: Hartog (2000) 6

7 szükséges skola végzettséggel rendelkezk: S = R, ha túlképzett: S = R + O (O > 0), ha alulképzett: S = R U (U > 0). Adott populácóra ennek alapján megbecsülhető egy-egy osztályny szükséges, túlés alulképzés átlagos bérhozama. Lnearzált specfkácó esetén: w 0 RR OO UU, ahol w a kereset természtes alapú logartmusa, R w R, o w O, U w U a háromfajta bérhozam. Elméletleg a bérhozamok sokféleképpen alakulhatnak. Egymáshoz vszonyított nagyságuk megmutatja, hogy a jobb és a rosszabb lleszkedés a munkaerőpacon keresetben mérve mennyt ér. Egy lehetséges (emprkusan gyakor) eredmény, am egybevág azzal a várakozással, hogy a tökéletes lleszkedés a több állapothoz képest kereset nyereséggel jár együtt, továbbá keresetmaxmalzáló munkavállaló magatartással s összefér: > 0, > 0, < 0, >, >. Ekkor a munkahely követelményeknek éppen megfelelő skola végzettséggel rendelkező munkavállalók bérhozama a legmagasabb, ugyanakkor mnd a túlképzett, mnd az alulképzett munkavállalók magasabb keresethez jutnak, mnt amhez akkor jutnának, ha az skola végzettségüknek megfelelő munkahely követelményekkel jellemezhető állásokban helyezkednének el. A túlképzett munkavállaló keresete tökéletes lleszkedés mellett R S lenne. Mnthogy túlképzett, ezért keresete: R ( S O) OO RS ( R O ) O. Az adott együttható-értékekre vonatkozó feltevés ( > O ) matt: < S ( O vagy ( O > 0. R S R R O ) R O ) volna. Alulképzett- Az alulképzett munkavállaló keresete tökéletes lleszkedés esetén ugyancsak R S ként azonban R ( S U) UU RS ( R U ) U R R O U R O R U keresethez jut. Mvel R > U, ezért < S ( U vagy ( U > 0. R S R R U ) R U ).3. Önszelekcó: llusztratív példa A megfgyelt skolázottság bérhozamok torzítanak, egyebek mellett mert meg nem fgyelt tényezők hatásat s tartalmazzák. Az önszelekcó és az ematt a modellek emprkus becslésekor felmerülő szelekcós torzítás problémája elvleg mnden munka-gazdaságtan mkromodell mérésekor jelen lehet, egyszerűen abból az okból, hogy a rendelkezésre álló adatok nem tükrözk a döntésekkor az egyének számára rendelkezére álló lehetőségek teljes halmazát, és hogy a teljes halmaznak csupán egy szsztematkusan torzított részét fgyelhetjük meg (például az egyének bérajánlata közül csak azokat tudjuk megfgyeln, amk a rezervácós bérnél magasabbak, tehát az elfogadott bérajánlatokat). Emellett számos olyan tényező lehet, amt nem tudunk megfgyeln (khagyott magyarázó változó problémája), s ematt a megfgyelt adatokon mért kereset hozamok nem jól tükrözk a tényleges hozamokat. 7

8 Az alább egyszerű példán megmutatjuk, hogy ha van olyan meg nem fgyelt tényező, am befolyásolja a kereseteket, akkor az adott tényező önszelekcót eredményez, s ematt a megfgyelt kereset különbségek nem tükrözk helyesen az skolázás gaz bérhozamát. 5 Tegyük fel, hogy egyénenk keresetmaxmalzálók, és hogy döntés problémájuk az, hogy meglévő skola végzettségük mellé szerezzenek-e újabb (magasabb) skola végzettséget. Tegyük fel, hogy egyénenk z meg nem fgyelt képességekkel rendelkeznek ( z (0, )), hogy a meg nem fgyelt képességek javítják az egyén munkaerő-pac teljesítményét, ezért jobb képességek magasabb bérekkel járnak együtt. Tegyük fel, hogy e képességek egyenletesen oszlanak meg az adott populácóban. Tegyük fel végül, hogy ha egyénünk a magasabb skola végzettség mellett dönt, akkor ez c költséget jelent számára. Ha z készségek mellett nem jár skolába, akkor keresete w0 ( z) z, ha vszont vállalja a többlet skolázást, akkor w ) 0 ( z z keresethez jut. Tegyük fel, hogy 0 0 és! 0 az skolázás hatása, pedg a készségek hatása. Az első tényező független az egyén készségetől (az skolázás tszta hatása), a másodk az egyén készségenek bérhozadéka. A két hatás ebben a felírásban egymást erősít. Ezért az adott feltevések mellett a jobb képességű egyének várhatóan nkább választják az skolába járást. Keresetmaxmalzáló egyénünk akkor dönt az skolába járás mellett, ha a költség legfeljebb akkora, mnt a kereset többlet: w w 0 c. Tegyük fel, hogy egyénünk az egyenlőséggel s beér. Ekkor (z-re kfejezve) ( 0 z) z c, azaz z ) c. 0 ( Ez meghatározza a készség/képességnek azt a krtkus szntjét ( z z * ), am alatt az egyén nem jár skolába (am felett vszont skolába jár): * c 0 z. Tegyük fel, hogy egyénenk egyenlő (fele-fele) arányban oszlanak meg a többlet skolázást nem vállalók, valamnt a többlet skolázást vállalók között. Ekkor a gazdaság béreloszlása a következőképpen fest: () ábra helye Képességek, önkválasztás és kereset Az átlagos bérek a következőképpen alakulnak. Az skolába nem járó egyedek esetében: 5 A modell első részletes kfejtését lásd: Wlls Rosen (979). 8

9 c 0 w ( ) Az skolába járó egyének átlagos bére: c 0 w ( ) Mvel > 0 és c 0 > 0, ezért w w0 0, tehát a két csoport között átlagos bérkülönbség nagyobb, mnt amekkora akkor lenne, ha csak az skolázás közvetlen hatása érvényesülne. A megfgyelt kereset különbség két tényezőnek tudható be. Egyrészt a többlet skolázás nem csupán 0 többlet keresetet produkál, hanem mnt említettük a képességeknek/ készségeknek s van kereset hozadéka. Egy átlagos képességű ( z ) egyén, ha elvégz az skolát, akkor ahhoz az állapothoz képest, amkor nem jár skolába w z) w ( z) ( ) z ( 0 0 kereset többlethez jut. Másrészt: a két csoport átlagos képessége nem azonosak a jobb képességű egyének számára előnyös a többlet skolázás -, a jobb képességűek választják a többlet skolába járást, am növel a bérkülönbségeket. Hogy ezt beláthassuk, írjuk fel az átlagos bérkülönbségeket: c 0 w w0 0 ( ). 8 2( ) 2 A jobb oldal első két tagja az skolába nem járó átlagos képességű egyén többlet skolázásának hozadéka. Azaz: ez az a kereset többlet, amhez az átlagos képességű, skolába nem járó egyén hozzájutna, ha skolába járna (tulajdonképpen: válasz a tényellentétes állításra), a harmadk tag pedg azt a hatást mutatja meg, am abból adódk, hogy a két csoport átlagos képessége/készsége nem azonosak ez tehát az önszelekcó hatása. Megfordítva: ha az skolázás többlet hozamát a két csoport képességeben 6 A mnmáls bér 0 ( * c w 0 w z 0) 0; a maxmáls bér: w ( ) 0 0 w0 z, * w0( z 0) w0( z ) w * c A mnmáls bér w ( ) 0 w z 0 ; a maxmáls bér w w ( z ) 0. * w ( ) ( ) Az átlagos bér: z w z 0 c 0 0 c = = ( ) 2 2 = 2( ) 2 c ( ) 2( ) c 0 c 0 c 0 c w 0 w ( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 8 c ( ) ( ) 9

10 mutatkozó különbség fgyelembe vétele nélkül becsüljük meg am, tekntettel arra, hogy a képességek többnyre nem megfgyelhetők, nem rtka esemény -, akkor az skolázás hatásának tudjuk be a képességkülönbségek hatását s, azaz a tényleges bérelőnyt a valóságosnál magasabbnak gondoljuk. E mérés eredményeképpen éppen 2 -vel becsülnénk túl az skolázás bérhozamát. A példa jól llusztrálja, hogy ha csupán a megfgyelt bérekre hagyatkozunk, akkor az eredmények félrevezetőek lehetnek. Továbbá arra s utal, hogyan célszerű a szelekcós torzítás kezelése. Megjegyezzük továbbá, hogy ha, akkor a szelekcó negatív lesz, vagys a jobb képességű egyének alacsonyabb oktatás szntet választanak. Ez akkor állhat fenn, ha a jobb képességű egyének számára alacsonyabb skola végzettség s elegendő ahhoz, hogy bzonyos feladatokat elvégezzenek, vagy például az ember tőke alapmodelljében elgondolva -, ha a jobb képességű egyének leszámítolás lába (szubjektív dőpreferenca rátája) magasabb..4. Becslés megfontolások 9 Az oktatással kapcsolatos emprkus becslések legnkább az oktatás bérhozam vagy bérprémum megállapítását célozzák meg a fentebb látott kereset függvény valamely változatának segítségével. A hangsúly tt s az okság összefüggések megállapításán van rendszernt különféle regresszós technkák felhasználásával (IV és DID például). A jelenleg legnkább népszerű RCM vagy POM 0 megközelítés nyelvén fogalmazva, tsztázn kell, hogy m s az érdeklődésre számot tartó okság összefüggés, hogy mlyen kísérlettel lehetne az adott okság összefüggést megragadn, hogy mlyen dentfkácós stratégát használunk, azaz hogyan használjuk fel a nem véletlen kválasztással létre jött adatokat, végül, hogy mlyen módon értékeljük az eredményeket (a statsztka érvényesség problémája). Ha a probléma elvleg dentfkálható, akkor az deáls megoldás véletlen hozzárendeléses kísérlet lenne. Azonban mnt korábban s láttuk a társadalomtudományokban erre rtkán kerül sor. Ematt a már korábban többször s említett nehézségek lépnek fel (szelekcó, endogentás, szmultanetás, etc.). A kezelés probléma A probléma a kezelés modellek nyelvén, és kétértékű kezelés változót feltételezve (jár skolába, nem jár skolába) a következőképpen írható fel: D {0,}, = egyén, D = a kezelés változó (nem jár, jár skolába). Y., kmenet változó (egészség állapot, kereset, elhelyezkedés, stb.) Kérdés: D befolyásolja-e. Y -t? Másképpen: hogyan alakult volna adott egyén kmenet változója akkor, ha részt vett volna és akkor, ha nem vett volna részt a kezelésen. Adott egyénre a kmenet változó megfgyelt értéke: ( ) { ( ) ( ). 9 Az alfejezetben erőteljesen támaszkodunk Angrst és Pschke (2009), Cameron és Trved (2005), valamnt Wooldrdge (2002) munkájára. 0 Rubn Causal Model, Potental Outcome Model Angrst és Pschke (2009) megállapítják, hogy léteznek olyan problémák, amelyek nem dentfkálhatók (FUQ, fundamentally undentfed queston) p. 5. 0

11 A megfgyelt kmenet ( Y ) felírható a potencáls kmenet segítségével: Y Y ) D. 0 ( Y Y0 A zárójelben lévő kfejezés Y Y ) az okság hatás. Várhatóan a hatások egyénenként eltérőek ( 0 lennének. Ráadásul egyetlen egyénre sem tudjuk megfgyeln a két kmenetet (mndegyk vagy volt, vagy nem volt kezelve). Ezért valamlyen átlagos hatás mérésére törekedhetünk csupán, ráadásul olyan módon, hogy a kezelt és nem kezelt egyedek megfgyelt kmenetet vetjük össze. A megfgyelt átlagos kmenet és a kezelés a következőképpen kapcsolható össze (kezelés hatás tt: ATE = average treatment effect ont the treated): D EY D 0 EY D EY D EY D EY D 0 E Y A bal oldal a megfgyelt átlagos kmenet különbség: E Y D EY D 0 A jobb oldal első tagja a kezeltek átlagos kmenet különbsége (a kezeltek kmenetének a különbsége akkor, ha megkezelték őket mínusz ha nem kezelték volna meg őket, azaz a résztvevőkre vonatkozó kezelés hatás ATE ): Y D EY D E. 0 A jobb oldal másodk tagja a szelekcós torzítás (ha kezeltek és nem kezeltek kezelés nélkül kmenete különböznek): Y D EY D 0 E. 0 0 A jobb oldal első tagja tehát az ATE : D EY 0 D 0 E Y = Y0 D E Y Ehhez hozzáadódk (vagy ebből kvonódk) a szelekcós torzítás hatása (pl. kórház kezeléses esetben a kezeltek kezelés nélkül betegebbek, mnt a nem kezeltek, tehát nduló kmenetek mondjuk egészség állapot - rosszabbak, negatív szelekcós torzítás; vagy: skolába járók skolázás=kezelés - képessége jobbak, tehát poztív szelekcós torzítás, ha a kmenet mondjuk az skola bérhozama.) Ha az egyéneket véletlen hozzárendeléssel soroljuk be a kezeltek és a nem kezeltek közé (D = véletlen hozzárendeléssel áll elő), akkor a szelekcós probléma elvleg megoldható, hszen ekkor D független lesz a potencáls kmenettől. A véletlen hozzárendelés tehát annyt jelent, hogy a kezelt és a nem kezelt csoport kezelés nélkül átlagos kmenete egyenlő. Formálsan, az átlagos megfgyelt különbség: D EY D 0 EY D EY D 0 E Y Mvel: 0 D EY D 0 E Y ezért 0 0,..

12 D EY D 0 EY D EY D 0 EY D EY D E Y 0 0 továbbá: Y D EY D EY Y D EY Y E Mnt többször említettük, véletlen hozzárendelés a gyakorlatban rtkán lehetséges, de a kutatást célszerű úgy tervezn, hogy megkíséreljük ezt az állapotot közelíten (kváz kísérlet helyzet előállítása). A regresszó az adott esetben s hasznos eszköz lehet. Tegyük fel, hogy a kezelés hatás mnden egyénre nézve azonos, azaz konstans ( ): ( 0 Y Y ). Konstans kezelés hatás esetén a következőképpen írható fel:., Y, D ahol E( Y 0 Y ) ( Y0 ) 0 ( Y 0 Y E ). tehát a kezelés elmaradásakor várható kmenet (átlagos kmenet) pedg Y 0 véletlen (random) tagja. A feltételes várható érték kezelés státuszonként a következő: E E Y D E D Y D 0 E D 0 Ekkor a megfgyelt átlagos kmenet különbség: E Y D EY D 0 E D E D 0 ahol a kezelés hatás, E D E D 0 pedg a szelekcós torzítás..,, 2

13 A szelekcós torzítás tehát statsztkalag nem más, mnt a regresszó hbatagja és D között korrelácó. Mnthogy a hbatagok várható értékének különbsége E D E D 0 EY D EY D 0 0 0, ezért a korrelácó a nem kezelés esetén a két csoport várható potencáls kmenetenek a különbségét mutatja. Szelekcós torzítás tehát tt (s) akkor merül fel, ha a két csoport kezelés nélkül kmenete különböznek. Kórház kezeléses példában például ez azt jelent, hogy a kezeltek kezelés nélkül egészség állapota rosszabb, mnt a nem kezelteké (negatív szelekcós torzítás), munkanélkülek képzése esetén pedg a kezeltek (képzésben részt vett munkanélkülek) elhelyezkedés esélye a képzés nélkül s magasabb lehet (poztív szelekcós torzítás). Ha D esetén a véletlen hozzárendelés teljesül, akkor a szelekcós torzítás eltűnk (várható értéke zérus, a két csoport hbatagja várható értékének különbsége nulla). A regresszós elemzésbe egyéb kontrollváltozók s bevonhatók: Y D X. ' Ha a kontrollváltozók nem korrelálnak a kezelés változóval ( D ), akkor nem befolyásolják becsült értékét. Vszont javíthatják a becslés pontosságát, csökkenthetk a becslés standard hbát, és lehetséges, hogy becslés magyarázó ereje s javul. Regresszós elemzés és okság értelmezés Ha a véletlen hozzárendelés megoldható, akkor mnt láttuk a regresszós becslés okság kapcsolatként értelmezhető. Többnyre azonban a regresszót megfgyelt adatokon futtatjuk. Ekkor az okság nterpretácó nem feltétlenül áll fenn. Nézzük meg először a regresszós becslés néhány tulajdonságát. Különösen a munkagazdaságtanban rendszernt az egyén körülmények statsztka elemzésén van a hangsúly. Ezen belül azokon a különbségeken, amelyek az egyének gazdaság helyzetében mutatkoznak. Ezeknek a különbségeknek a jelentős része véletlenszerű. De az átlagos egyénre nézve mégs gyakran szsztematkus és jól magyarázható eltéréseket találhatunk. Hogy ezek az eltérések okságak-e vagy sem, az megnt más kérdés. Például ha a magasabb skola végzettség magasabb jövedelemben jelenk s meg, nem bztos, hogy az előbb okozza az utóbbt, de a statsztka predktív erő kétségtelen. Ezt az előrejelzés képességet rövden a CEF-fel feltételes várható értékek függvényével ragadhatjuk meg. Folytonos Y változó és X magyarázó változó esetén, és ha a Y feltételes sűrűsége Y t -ben: fy ( t X x), a feltételes várható érték függvénye (CEF): E Y X x tf ( t X x dt. Y ) Például ha a függő változó log kereset, a magyarázó változó az skola végzettség, akkor a CEF az egyes skola végzettség fokozatokhoz tartozó átlagos log keresetet mutatja meg. 3

14 A CEF fontos kegészítője, hogy adott változó feltétel nélkül várható értéke egyenlő a feltételes várható érték feltétel nélkül átlagával, azaz: Y EEY X E, ahol a külső várható értéknél az X eloszlását használjuk. A törvény fontosságát az adja meg, hogy az adott véletlen változót két részre bontja, a CEF-re és egy specáls tulajdonságokkal rendelkező rezduumra: Y X E Y, várható értéke független X től, azaz E 0, tehát korrelálatlan X bármely függ- ahol X vényével. A tétel tehát azt mondja k, hogy bármely véletlen változó két részre bontható. Egyrészt a CEF-re, tehát arra a részre, amt X megmagyaráz, valamnt egy tovább tényezőre, am X bármely függvényével korrelálatlan. E tulajdonságból fakad a CEF előrejelzés tulajdonsága. Ez nem más, mnt hogy a CEF Y legjobb előrejelzője adott X mellett, mert kelégít a MMSE (mnmáls átlagos hbanégyzet) krtérumot. Legyen m X ) ( X bármely függvénye. A CEF 2 X arg mn E( Y m( X )) E Y m( X ) tehát a CEF adott, X mellett Y MMSE predktora. A CEF utolsó tulajdonságát amely mnd a két előző tulajdonsággal összefügg az ún. ANOVA tétel tartalmazza: X ) EV ( Y X ) V( Y ) V( E Y, ahol V (.) szórás, V ( Y X ) pedg Y (adott X mellett) feltételes szórása. A tétel tehát azt mondja k, hogy Y szórása két tényező összege: a feltételes várható érték szórásáé és a feltételes szórás várható értékéé. A három tulajdonságról érdemes megjegyezn, hogy egykük teljesüléséhez sem szükséges a lneárs CEF feltevése. Lneárs regresszó és a CEF A lneárs regresszó azaz a hbák négyzetének várható értékét mnmalzáló vonal és a feltételes várható értékek függvénye között kapcsolat legalább háromféle módon értelmezhető. Az első, a lneárs feltételes várható érték függvény (CEF) tétele. Ha a CEF lneárs, akkor a népesség regresszós függvénye s az. Ez a klasszkus statsztka érvelés. A lneárs CEF tt az együttes normáls eloszlás feltevéséből következk (a függő és a magyarázó változók együttesen normáls eloszlásúak). Ez a gyakorlatban nylván rtkán teljesül, ezért a tétel emprkus relevancája korlátozott. 4

15 A másodk, a legjobb lneárs predktor tétele. Az ' ' X függvény y - adott X mellett előállítható - legjobb lneárs predktora (a MMSE a hbák négyzetének mnmáls várható értéke értelemben). Azaz ahogyan a CEF a függő változó adott magyarázóváltozó-értékek mellett előálló legjobb predktora bármely X függvényt tekntve, a népesség regresszós egyenlete a legjobb, amt előállíthatunk bármely lneárs függvényt tekntve. Végül, a regresszós CEF (feltételes várható érték függvény) tétele. Az X ' függvény a CEF (azaz: E Y X ) legjobb lneárs megközelítését adja a MMSE értelemben. Vagys: arg mn E{( E Y b 2 X ' b) } X A másodk értelmezés tehát azt mondja k, hogy a regresszó a függő változó legjobb lneárs predktora; a harmadk pedg azt, hogy még ha CEF nem lenne s lneárs, a regresszó a CEF legjobb lneárs megközelítését adja. Az utóbb megfogalmazás lehetővé tesz a lneárs regresszó alkalmazását akkor s, ha nem tudjuk a pontos statsztka kapcsolatot megfogalmazn. Ez persze azt s jelent, hogy nem a függő változó egyes értékenek előrejelzésére koncentrálunk, hanem a függő változó adott magyarázó változók mellett megvalósuló eloszlására. Telített modellek A telített (szaturált) regresszós modellek olyan regresszós modellek, amelyekben csak dszkrét magyarázó változók vannak, s amelyekben a modell jobb oldalán a magyarázó változók összes értékének egy-egy változó felel meg. Például: egy magyarázó változó: y D D = van főskola végzettsége. Lehetséges, hogy ez az egy magyarázó változó sok értéket vesz fel. Például: skola végzettség: s 0,,2,...,, azaz az egyén skola végzettsége dszkrét értéket vehet fel. Ekkor a telített regresszós modell: y... ahol d s j d 2d2 d, j, j pedg a j-edk skolázás sznt hatása, azaz y s j Ey s 0 E, és j E y s 0. A telített regresszós modell teljesen kelégít a CEF feltételet, mert a CEF a kétértékű regresszorok lneárs függvénye. (Telített modell esetén ráadásul a kétértékű függő változós modellek megbecsülhetők OLS-sel) 5

16 Ha két magyarázó változónk van egy kétértékű változó, am a főskola végzettséget, egy pedg, am a nemet jelez -, akkor a telített modell úgy írható fel, hogy jobb oldalán szerepel egy konstans, a két dummy és a két dummy szorzata. A két dummy paramétere: fő hatás, a szorzat paramétere: nterakcós hatás. Tegyük fel, hogy négy értéket vesz fel: E E E E y y y y x 0, x2 x, x2 x 0, x2 x, x2 x = főskolát végzett; 0 0 A hatások a következőképpen s felírhatók: E E E y x 0, x2 0 y x, x2 0 y x 0, x2 y x, x2 E. Azaz E y x, x x x ( x, x ) Ekkor a telített regresszós egyenlet: x 2 = nő. A CEF a két adott változó mellett a következő y ) x x2 ( x, x2. Ha az skola végzettség változója skola végzettség szntet vesz fel, akkor ebben az esetben a telített modell skola végzettség fő hatást, egy nemre vonatkozó fő hatást, valamnt nem*skola végzettség nterakcót tartalmaz y d x ( d x. j j 2 j j 2 ) j j Az nterakcós változók együtthatója ( ) azt mutatja meg, hogy mlyen mértékben befolyásolja a j nem az egyes skola végzettség szntek hatásat. A CEF ebben az esetben 2( +) értéket tartalmaz, a regresszó pedg enny paramétert. Végül, fontos megjegyezn, hogy a telített modell tökéletesen lleszkedk a CEF-hez függetlenül eloszlására. Ez egyaránt gaz lneárs valószínűség modellre, valamnt korlátozott függő változós modellekre (logt, probt). Regresszó és okság A CEF okság, ha rögzített vonatkoztatás népesség mellett az átlagos potencáls kmenetek (POM) különbséget írja le. y 6

17 Emprkus példaként megemlíthetjük a keresetek és az skolázottság között okság kapcsolatot, amely azt mutatja meg, hogy az átlagos egyén (az egyén átlagosan) mennyt keresne, ha. egy teljesen kontrollált környezetben megváltoztatnánk skola végzettségét, vagy 2. ha az egyének véletlenszerűen váltogatnák skola végzettségüket. Ezt a gyakorlatban a kísérlet bztosítja. Ahogyan korábban tárgyaltuk, a kísérletek teszk lehetővé, hogy az okság változó független legyen a potencál kmenetektől, s így a csoportok ténylegesen összehasonlíthatók lesznek. CIA a feltételes függetlenség feltevése A fenteket általánosítjuk most arra az esetre, amkor az okság változó két értéknél többet vehet fel, lletve számos kontrollváltozó szerepel a modellben. Ehhez szükséges a CIA feltevés, am lehetővé tesz, hogy a regresszós paraméterbecsléseket okságlag értelmezzük. A CIA feltevést gyakran a megfgyelt változók szernt szelekcónak (selecton on observables) s nevezk (egyéb elnevezése: gnorable treatment). Vsszatérve a POM problémára, valamnt az skolába járásra, vegyük a következő problémát: y y ha C y ha 0, 0 C ahol y a kereset C főskola vagy nem főskola. Egyénünk tehát a fent kétféle jövedelemre számíthat(ott volna), ha megy, lletve nem megy főskolára. A megfgyelt kmenet a POM megközelítést alkalmazva felírható: y ) y0 ( y y0 C. De egyszerre a két kmenet nem fgyelhető meg, vagy egyket, vagy máskat tudjuk megfgyeln. A korábban alkalmazott eljárást felelevenítve: E y C Ey C 0 Ey C Ey C Ey C Ey C Felhasználva, hogy y C Ey C Ey y C E 0 0, tehát: E y C Ey C 0 Ey y C Ey C Ey C A bal oldal: megfgyelt átlagos kmenet különbség: y C Ey C 0 E ; A jobb oldal első tagja: a kezeltek átlagos kezelés hatása (average treatment effect on the treated, ATE ): E y y C

18 A jobb oldal másodk és harmadk tagja a szelekcós torzítás (ez nulla lenne, ha a két csoporthoz tartozók ugyanannyt keresnének, ha csak a középskolát végezték volna el): y C Ey C 0 E 0 0. Ha a szelekcós torzítás poztív, akkor a megfgyelt kmenetek különbsége túlbecsülk az skolázás tényleges hatását. A CIA lényege, hogy feltesszük, a megfgyelt változókra kondconálva a szelekcós torzítás eltűnk: y y 0, C X. Ekkor adott (kondconáló) magyarázó változók mellett a megfgyelt átlagos keresetek skola végzettség szernt különbsége okságlag értelmezhetőek. Azaz ekkor azt gondoljuk, hogy az alább összefüggés egyúttal okság összefüggés (és nncs jelen szelekcós torzítás) s: y X, C Ey X, C 0 Ey y X E 0. Általánosabban, ha ( ), ahol y azt a potencáls keresetet jelz, amt egyén s skola végzettség mellett elérhet, és ha bármely s mellett, akkor X -re kondconálva egy évny skolázás átlagos okság hatása [ ( ) ( ) ], négy évny skolázottságé [ ( ) ( ) ]. Noha csak az aktuáls skola végzettségek kmenetet tudjuk megfgyeln, a CIA feltevés következtében ez okság hatásként értelmezhető. Azaz bármely s = s -re fennáll, hogy [ ] [ ] [ ( ) ( ) ]. A fent formulával jellemzett probléma egyszerű regresszóval mérhető. Vagy feltesszük, hogy s lneárs függvénye, és hogy egy addtív hbatagot leszámítva azonos mndenk esetében, s ekkor a függvény egyszerű lneárs regresszóval becsülhető. Egy másk lehetséges eljárás, hogy feltesszük, nem azonos mnden egyénre nézve, és hogy s-nek nem lneárs függvénye. Ekkor s lehetséges, hogy a problémát lneárs regresszóval becsüljük, és az eredményt úgy nterpretáljuk, mnt a specfkus egyén eltérések súlyozott átlagát. Az első eljárást követve, a lneárs és konstans okság hatást mérő modellünk például a következőképpen festhet: ( ), ahol s-nél azért hányzk az ndex, mert az egyenlet azt mutatja meg, mennyt keresne egy-egy egyén s bármely értéke mellett (nem csak a megfgyelt s mellett). Ha a fent egyenletbe behelyettesítjük a megfgyelt skola végzettséget, akkor 8

19 . Ha a CIA feltevés fennáll megfgyelt magyarázó változók esetén, akkor - a potencáls kereset véletlen tagja két részre bontható: a megfgyelt változókra és a hbatagra (v ):. ahol a népességre jellemző regresszós együtthatók vektora, amelyre gaz, hogy [ ]. A CIA feltevés következtében: [ ( ) ] [ ( ) ] [ ]. A lneárs okság modell rezduuma ( ) a fentek matt nem korrelál sem s-sel, sem az X-ekkel, ezért regresszós együttható okság hatásként értelmezhető. Az egyenletünk: Instrumentáls (IV) becslés. Mnthogy az nstrumentáls változókkal összefüggő statsztka technológa ma már mnden bevezető jellegű ökonometra tankönyvben szerepel, ezért az IV eljárást, valamnt a hozzá kapcsolódó 2sls becslőfüggvényt smertnek vesszük, s tt csak rövden felelevenítjük azt a néhány sajátosságot, amelyek az okság hatás dentfkácójához szükségesnek tűnnek. Induljunk k smét abból, hogy a potencáls kereset az skola végzettség függvényében a következőképpen Tegyük fel továbbá, hogy van olyan változónk, amt képességnek nevezünk, A-val jelölünk, és am lehetővé tesz az okság összefüggés dentfkácóját a CIA (elhanyagolható kezelés, megfgyelt változók szernt szelekcó) keretben. írható fel: és hogy ( ) Ekkor ( ),, ahol a népességre vonatkozó regresszós együtthatók vektora, és pedg defnícó szernt nem korrelálnak. Feltesszük, hogy a képesség az egyetlen ok, am matt és az skola végzettség ( ) korrelál, következésképpen [ ]. Ha -t bellesztjük a kereset egyenletbe, akkor, 9

20 így smét lneárs okság modellt kapunk. Az egyenlet hbatagja a potencáls kmenet véletlen tagja, és feltettük, hogy a hba nem korrelál az skola végzettséggel. Ha a feltevés helyes, akkor a fent egyenletet a népességre becsülve, megkapjuk a megfelelő és okságlag értelmezhető paramétereket. A becslés nehézség elsődlegesen amatt jelentkezk, hogy a képességeket nem tudjuk megfgyeln. Ekkor szükséges egy olyan változó (nstrumentum, nstrumentáls változó, ), amely korrelál az skola végzettséggel, de nem korrelál a függő változót (kereset) meghatározó egyéb tényezőkkel. Másképpen: szükség van egy olyan nstrumentumra, amely sem a fent egyenlet hbatagjával, sem pedg a képességekkel nem korrelál. Ezt a feltételt kzárás korlátozásnak nevezzük, mert az nstrumentum az adott okság modellből k van zárva. A kzárás korlátozást fgyelembe véve: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Szavakkal: a keresett együttható nem más, mnt két, a népességre értelmezett regresszó hányadosa. A számlálóban az függő változót és magyarázó változót magában foglaló regresszó (ezt redukált formának s nevezk), a nevezőben pedg az függő változót és magyarázó változót magában foglaló regresszó (első fokozatnak s nevezk) szerepel. Az IV esztmátor a fent kfejezés mntákra értelmezett változata. Másképpen, ahhoz hogy -t okság hatásként értelmezhessük az adott kontextusban, két feltétel fennállása szükséges. Először: gyakoroljon egyértelmű hatást -re (első fokozat). Másodszor, és között csak az első fokozatban álljon fenn összefüggés (kzárás korlátozás). A probléma megoldásának technológája nem bonyolult. Együtthatóban lneárs modellek esetén a klasszkus becsléskor feltesszük, hogy a magyarázó változók exogének, azaz nem korrelálnak a hbataggal. Ha ez nem így van, akkor a modellben endogentás lép fel az okság összefüggés nem dentfkálható. A probléma többféleképpen kezelhető, az egyk éppen az nstrumentáls változós (IV) becslés. Általános eset: Y X. Ahol függő változó az eredményváltozó (kereset). Tegyük fel, hogy egy vagy több magyarázó változó korrelál a hbataggal. Például ha logbér = f(skola végzettség), akkor a hbatag a meg nem fgyelt képességek hatását s tükröz, am nem független az skola végzettségtől, ezért az ols-sel becsült együttható értéke torzított lesz. Ebben az esetben tehát az skola végzettség endogén. Az eljárás lényege olyan változó(k) (nstrumentáls változó(k)) alkalmazása, amely(ek) nem korrelálnak a hbataggal, korrelálnak az endogén regresszorral, és nncsenek közvetlen hatással a kmenet (eredmény) változóra. Azaz Z nstrumentáls változóra fennáll, hogy: Z és Z korrelál X vel. Tegyük fel, hogy az egyenlet jobb oldalán egyetlen endogén regresszor található, továbbá van egy vagy több nstrumentumunk. Az egyenlet: Y 0 X X. Tegyük fel továbbá, hogy van egy másk egyenletünk, amelynek függő változója az endogén regresszor, jobb oldal változó pedg az nstrumentumok X 0 Z 2Z2 Z. 20

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

7.2. A készségek és az oktatás jövedelemben megtérülő hozama

7.2. A készségek és az oktatás jövedelemben megtérülő hozama 7.2. A készségek és az oktatás jövedelemben megtérülő hozama A neoklasszikus közgazdasági elmélet szerint a termelés végső értékéhez jobban hozzájáruló egyének számára elvárt a magasabb kereset. Sőt, mi

Részletesebben

Az aktív foglalkoztatási programok eredményességét meghatározó tényezõk

Az aktív foglalkoztatási programok eredményességét meghatározó tényezõk Az aktív foglalkoztatás programok eredményességét meghatározó tényezõk GALASI ÉTER LÁZÁR GYÖRGY NAGY GYULA Budapest Munkagazdaságtan Füzetek BW. 1999/4 1999. máus 1 Budapest Munkagazdaságtan Füzetek.1999/4.

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre 1. Bevezetés A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

Heckman modell. Szelekciós modellek alkalmazásai.

Heckman modell. Szelekciós modellek alkalmazásai. Heckman modell. Szelekciós modellek alkalmazásai. Mikroökonometria, 12. hét Bíró Anikó A tananyag a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítvány támogatásával készült

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar Üzlet Informácógazdálkodás és Módszertan Intézet Üzlet Statsztka és Előrejelzés Tanszék STATISZTIKA III. Oktatás segédlet 003. MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar

Részletesebben

Kísérlettervezési alapfogalmak:

Kísérlettervezési alapfogalmak: Kísérlettervezés alapfogalmak: Tényező, faktor (factor) független változó, ható tényező (kezelés, gyógyszer, takarmány, genotípus, élőhely, stb.) amnek hatását a kísérletben vzsgáln vagy összehasonlítan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

11.3. A készségek és a munkával kapcsolatos egészségi állapot

11.3. A készségek és a munkával kapcsolatos egészségi állapot 11.3. A készségek és a munkával kapcsolatos egészségi állapot Egy, a munkához kapcsolódó egészségi állapot változó ugyancsak bevezetésre került a látens osztályozási elemzés (Latent Class Analysis) használata

Részletesebben

11. előadás PIACI KERESLET (2)

11. előadás PIACI KERESLET (2) . előadás PIACI KERESLET (2) Kertes Gábor Varan 5. feezete erősen átdolgozva . Állandó rugalmasságú kereslet görbe Olyan kereslet görbe, amt technkalag könnyű kezeln. Ezért szeretk a közgazdászok. Hogyan

Részletesebben

PhD értekezés. Gyarmati József

PhD értekezés. Gyarmati József 2 PhD értekezés Gyarmat József 2003 3 ZRÍNYI MIKLÓS NEMZETVÉDELMI EGYETEM Hadtechnka és mnõségügy tanszék PhD értekezés Gyarmat József Többszempontos döntéselmélet alkalmazása a hadtechnka eszközök összehasonlításában

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

ERP beruházások gazdasági értékelése

ERP beruházások gazdasági értékelése Rózsa Tünde 1 ERP beruházások gazdaság értékelése 1 DE ATC AVK Gazdaság- és Agrárnformatka Tanszék, Debrecen, Böszörmény u. 138 Absztrakt. Egy ERP rendszer bevezetése mnden esetben nagy anyag megterhelést

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet Hálózat gazdaságtan jegyzet Kss Károly Mlós, adcs Judt, Nagy Dávd Krsztán Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszé 0. EVEZETÉS... 3 I. HÁLÓZTOS JVK KERESLETOLDLI JELLEMZŐI HÁLÓZTI EXTERNÁLIÁK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK...

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

1. Holtids folyamatok szabályozása

1. Holtids folyamatok szabályozása . oltds folyamatok szabályozása Az rányított folyamatok jelentés részét képezk a lassú folyamatok. Ilyenek például az par környezetben található nagy méret kemencék, desztllácós oszlopok, amelyekben valamlyen

Részletesebben

Pénzügyi menedzsment

Pénzügyi menedzsment Pénzügy menedzsment Várható hozam és kockázat mérése uvárható hozam mérése számtan átlag mértan átlag medán módusz ukockázat mérése medán abszolút eltérés szórás ferdeség Egy portfóló hozamanak torzult

Részletesebben

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:

Részletesebben

Keresztkorreláció vizsgálata statisztikai teszttel

Keresztkorreláció vizsgálata statisztikai teszttel SZAKDOLGOZAT Keresztkorrelácó vzsgálata statsztka teszttel Készítette: Balogh Bertalan kéma BSc szakos hallgató Témavezető: Tóth Gergely egyetem docens Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudomány

Részletesebben

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája HAVRAN DÁNIEL Pénzgazdálkodás szokások haása a működőőkére. A Magyar Posa példája A hálózaos parágakban, ahogy a posa szolgálaásoknál s, a forgalomban lévő készpénz nagyméreű működőőké jelenhe. A Magyar

Részletesebben

HIBAJEGYZÉK az Alapvető fizikai kémiai mérések, és a kísérleti adatok feldolgozása

HIBAJEGYZÉK az Alapvető fizikai kémiai mérések, és a kísérleti adatok feldolgozása HIBAJEGYZÉK az Alapvető fzka kéma mérések, és a kísérlet adatk feldlgzása címü jegyzethez 2008-070 Általáns hba, hgy a ktevőben lévő negatív (-) előjelek mndenhnnan eltűntek a nymtatás srán!!! 2. Fejezet

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

3. Pénzpiac. 3.1. A pénz szerepe. 3.2. A pénzpiac

3. Pénzpiac. 3.1. A pénz szerepe. 3.2. A pénzpiac 3. Pénzpac A pénzpac összefüggések: pénzkereslet, pénzkínálat, kamatláb meghatározása. Az L görbe levezetése. 3.1. A pénz szerepe Az előző fejezetben az árupac működését mutattuk be. A modell lényege az

Részletesebben

Kétértékű függő változók: alkalmazások Mikroökonometria, 8. hét Bíró Anikó Probit, logit modellek együtthatók értelmezése

Kétértékű függő változók: alkalmazások Mikroökonometria, 8. hét Bíró Anikó Probit, logit modellek együtthatók értelmezése Kétértékű függő változók: alkalmazások Mikroökonometria, 8. hét Bíró Anikó Probit, logit modellek együtthatók értelmezése Pˆr( y = 1 x) ( g( ˆ β + x ˆ β ) ˆ 0 β j ) x j Marginális hatás egy megválasztott

Részletesebben

Makroökonómiai eszközök a gazdaságpolitika alkalmazásában: Monetáris és fiskális politika

Makroökonómiai eszközök a gazdaságpolitika alkalmazásában: Monetáris és fiskális politika Makroökonóma eszközök a gazdaságpoltka alkalmazásában: Monetárs és fskáls poltka 2011.05.09. A kétszntű bankrendszer JB = jegybank Jegybankpénz kbocsátásának joga Bankok bankja Monetárs poltka Árfolyam

Részletesebben

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád BALOGH DEZSŐ BHG BEVEZETÉS A BHG Híradástechnka Vállalat kutató és fejlesztő által kdolgozott napjankban gyártásban levő tárolt programvezérlésű elektronkus

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Réthy Zsolt GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK. Doktori (PhD) értekezés

Réthy Zsolt GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK. Doktori (PhD) értekezés Réthy Zsolt GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK FELHASZNÁLÁSÁVAL Doktor (PhD) értekezés Témavezető: Dr. Erdély József DSc. egyetem tanár Nyugat-Magyarország

Részletesebben

Forgácsolási paraméterek mûvelet szintû optimalizálása

Forgácsolási paraméterek mûvelet szintû optimalizálása Gépgyártástechnológa 2000/3, pp. 9 15. Forgácsolás paraméterek mûvelet szntû optmalzálása Mkó Balázs 1 - Szánta Mhály 2 - Dr Szegh Imre 3 1 - udományos segédmunkatárs, 2 - Egyetem hallgató, 3 Egyetem docens

Részletesebben

Makroökonómia A gazdaságpolitikai beavatkozások hatása

Makroökonómia A gazdaságpolitikai beavatkozások hatása Makroökonóma A gazdaságpoltka beavatkozások hatása 9-10. előadás 2010. áprls A kormányzat beavatkozás vzsgálata Az alkalmazott eszköz alapján: költségvetés poltka monetárs poltka az elérendő cél szernt:

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Környezetvédelmi analitika

Környezetvédelmi analitika Az anyag a TÁMOP-4...A/- /--89 téma keretében készült a Pannon Egyetemen. Környezetmérnök Tudástár Sorozat szerkesztő: Dr. Domokos Endre XXXIV. kötet Környezetvédelm analtka Rezgés spektroszkópa Blles

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

MŰSZAKI-, GAZDASÁGI FOLYAMATOK ELEMZÉSE KERESKEDELMI ÉRTÉKESÍTÉS ELEMZÉSE

MŰSZAKI-, GAZDASÁGI FOLYAMATOK ELEMZÉSE KERESKEDELMI ÉRTÉKESÍTÉS ELEMZÉSE MŰSZAKI-, GAZDASÁGI FOLYAMAOK ELEMZÉSE KERESKEDELMI ÉRÉKESÍÉS ELEMZÉSE A fentek mellett, amelyek már hagyományosnak számítanak, működnek az újabb értékesítés hálózatok: - csomagküldő - multlevel marketng

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Munkahelyi kompetencia-követelmények, iskolai végzettség és kereset

Munkahelyi kompetencia-követelmények, iskolai végzettség és kereset Munkahelyi kompetencia-követelmények, iskolai végzettség és kereset Előzetes eredmények a KTI kompetencia-adatfelvétel alapján Hermann Zoltán MTA KRTK KTI Kompetenciák, munkakínálat és foglalkoztatás Szirák,

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Diplomás pályakövetés diplomás kutatás, 2010

Diplomás pályakövetés diplomás kutatás, 2010 Diplomás pályakövetés diplomás kutatás, 2010 A jogi és igazgatási képzési terület diplomásainak munkaerő piaci helyzete Az Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft. által végzett, Diplomás pályakövetés

Részletesebben

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek Szennyvíztsztítás technológa számítások és vízmnőség értékelés módszerek Segédlet a Szennyvíztsztítás c. tantárgy gyakorlat foglalkozásahoz Dr. Takács János ME, Eljárástechnka Tsz. 00. BEVEZETÉS Áldjon,

Részletesebben

2 ADATKEZELÉS, STATISZTIKAI ÉS SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ALAPOK

2 ADATKEZELÉS, STATISZTIKAI ÉS SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ALAPOK ELTE Regonáls Földrajz Tanszék 2005. 1 2 ADATKEZELÉS, STATISZTIKAI ÉS SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ALAPOK 2.1 Terület statsztka és térelemzés A kutatás cél, a főbb vzsgálat témakörök (hpotézsek) meghatározása, a

Részletesebben

Tisztelt hallgatók! Farkas Péter egyetemi adjunktus, tananyagfejlesztõ, tutor (gyõri és pécsi csoport) egyetemi adjuntus, tutor (budapesti csoport)

Tisztelt hallgatók! Farkas Péter egyetemi adjunktus, tananyagfejlesztõ, tutor (gyõri és pécsi csoport) egyetemi adjuntus, tutor (budapesti csoport) Tisztelt hallgatók! E-LEARNING KÉZÉS Az alábbiakban a Gazdálkodási szakos, e-learning rendszerben mûködõ képzés tananyagához készült hibalistát olvashatja. A visszajelzések és az anyag folyamatos gondozása

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

2. szemináriumi. feladatok. Fogyasztás/ megtakarítás Több időszak Több szereplő

2. szemináriumi. feladatok. Fogyasztás/ megtakarítás Több időszak Több szereplő 2. szemináriumi feladatok Fogyasztás/ megtakarítás Több időszak Több szereplő 1. feladat Egy olyan gazdaságot vizsgálunk, ahol a fogyasztó exogén jövedelemfolyam és exogén kamat mellett hoz fogyasztási/megtakarítási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

A cigány foglalkoztatás leépülése és szerkezeti átalakulása

A cigány foglalkoztatás leépülése és szerkezeti átalakulása KERTESI GÁBOR A cgány foglalkoztatás leépülése és szerkezet átalakulása 1984 és 1994 között Munkatörténet elemzés A tanulmány három részbõl áll. Az elsõ rész egy kváz-keresztmetszet makromodell segítségével

Részletesebben

A sokasági értékösszeg becslése a könyvvizsgálatban

A sokasági értékösszeg becslése a könyvvizsgálatban Tanulmányok A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban Lolbert Tamás, az Állam Számvevőszék számvevője, a Budapest Corvnus Egyetem PhD-hallgatója E-mal: lolbertt@asz.hu A tanulmány célja, hogy áttekntést

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

Integrált rendszerek n é v; dátum

Integrált rendszerek n é v; dátum Integrált rendszerek n é v; dátum.) Az dentfkálás (folyamatdentfkácó) a.) elsődleges feladata absztrahált leírás fzka modell formában b.) legfőbb feladata a struktúradentfkálás (modellszerkezet felállítása)

Részletesebben

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell Szerven belül egyenetlen dózseloszlások és az LNT-modell Madas Balázs Gergely, Balásházy Imre MTA Energatudomány Kutatóközpont XXXVIII. Sugárvédelm Továbbképző Tanfolyam Hunguest Hotel Béke 2013. áprls

Részletesebben

BELSŐ GAZDASÁGOSSÁG A TERMELÉSI FOLYAMATBAN

BELSŐ GAZDASÁGOSSÁG A TERMELÉSI FOLYAMATBAN Kss Ferenc László BELSŐ GAZDASÁGOSSÁG A TERMELÉSI FOLYAMATBAN A szerzőnek a Verseny és szabályozás első kötetében 2007-ben megjelent sorozatndító ckke a szabályozás gazdaságtana történelmének és főbb témának

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Budapest Corvnus Egyetem Közgazdaságtudomány Kar Hteldervatívák árazása sztochasztkus volatltás modellekkel Bztosítás és pénzügy matematka MSc Kvanttatív

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

Diplomás pályakövetés diplomás kutatás, 2010

Diplomás pályakövetés diplomás kutatás, 2010 Diplomás pályakövetés diplomás kutatás, 2010 A természettudomány képzési terület diplomásainak munkaerő piaci helyzete Az Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft. által készített, Diplomás pályakövetés

Részletesebben

Ismételt játékok: véges és végtelenszer. Kovács Norbert SZE GT. Példa. Kiindulás: Cournot-duopólium játék Inverz keresleti görbe: P=150-Q, ahol

Ismételt játékok: véges és végtelenszer. Kovács Norbert SZE GT. Példa. Kiindulás: Cournot-duopólium játék Inverz keresleti görbe: P=150-Q, ahol 9. elõaás Ismételt játékok: véges és végtelenszer történõ smétlés Kovács Norbert SZE GT Az elõaás menete Ismételt játékok Véges sokszor smételt játékok Végtelenszer smételt játékok Péla Knulás: ournot-uopólum

Részletesebben

Varianciaanalízis. Egytényezős kísérletek (Más néven: egyutas osztályozás, egyszempontos varianciaanalízis ANOVA)

Varianciaanalízis. Egytényezős kísérletek (Más néven: egyutas osztályozás, egyszempontos varianciaanalízis ANOVA) Varancaanalízs A varancaanalízs során kettőnél több sokaság középértékenek mnta alapán történő összehasonlítása történk zért nevezk a kétmntás t-próba általánosításának A nullhpotézs eldöntéséhez használuk

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR ÚJ ELJÁRÁS AUTOKLÁV GÉPCSOPORTOK EXPOZÍCIÓJÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA PhD értekezés KÉSZÍTETTE: Szees L. Gábor okleveles géészmérnök SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI

Részletesebben

1. szemináriumi. feladatok. két időszakos fogyasztás/ megtakarítás

1. szemináriumi. feladatok. két időszakos fogyasztás/ megtakarítás 1. szemináriumi feladatok két időszakos fogyasztás/ megtakarítás 1. feladat Az általunk vizsgál gazdaság csupán két időszakig működik. A gazdaságban egy reprezentatív fogyasztó hoz döntéseket. A fogyasztó

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

IMPRESSA C5 Használati útmutató

IMPRESSA C5 Használati útmutató IMPRESSA C5 Használat útmutató Kávé Prof Kft. 1112 Budapest, Budaörs út 153. Tel.: 06-1-248-0095 kaveprof@freemal.hu A TÜV SÜD független német mnôségvzsgáló ntézet Az IMPRESSA kézkönyvének és a hozzá tartozó

Részletesebben

Makroökonómiai fogalmak, meghatározások

Makroökonómiai fogalmak, meghatározások Makroökonóma fogalmak, meghatározások Tartalom 1. A MAKROÖKONÓMIA ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI 2 2. A MAKROGAZDASÁG ÁRUPIACA 5 3. A MAKROGAZDAÁG PÉNZPIACA 6 4. A MAKROGAZDASÁGI EGYENSÚLY 8 Makrogazdaág kereslet 8

Részletesebben

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ.

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ. Termelői magatartás II. A költségfüggvények: A költségek és a termelés kapcsolatát mutatja, hogyan változnak a költségek a termelés változásával. A termelési függvényből vezethető le, megkülönböztetünk

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,

Részletesebben

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL 01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls

Részletesebben

Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján

Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján NEMZETBIZTONSÁGI SZAKSZOLGÁLAT GAZDASÁGI VEZETŐ 1399 Budapest 62. Pf.: 710/4-2. Ikt.sz.: 30700/21293- /2015. 1. számú példány Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján 1. Az ajánlatkérő

Részletesebben

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom?

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom? Index-számítás Indexszámítás során megálaszolandó kérdések Hogyan áltozott a termelés értéke, az értékesítés árbeétele, az értékesítés forgalom? Hogyan áltozott a termelés, értékesítés mennysége? Hogyan

Részletesebben