DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS

Átírás

1 DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS JENEI ÁRPÁD SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI ÉS INFORMATIKAI KAR BOLYAI INTÉZET MATEMATIKA- ÉS SZÁMÍTÁSTUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA SZEGED 29

2 KÉTÁLTOZÓS PERIODIKUS FÜGGÉNYEK FOURIER- ÉS KONJUGÁLT SORAINAK KONERGENCIÁJA DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS JENEI ÁRPÁD TÉMAEZETŽ: DR. MÓRICZ FERENC professzor emeritus Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI ÉS INFORMATIKAI KAR BOLYAI INTÉZET MATEMATIKA- ÉS SZÁMÍTÁSTUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA SZEGED 29

3 Tartalomjegyzé Bevezetés 2 1. Ismert tétele egyváltozós függvényere Deníció, jelölése Dini, Pringsheim, Bojani és Telyaovsii tételei Új eredménye étváltozós függvényere Deníció, jelölése Dini onvergencia-ritériumána étváltozós iterjesztése Pringsheim onvergencia-ritériumána étváltozós iterjesztése Telyaovsii tételéne étváltozós iterjesztése Új eredménye bizonyítása Dini típusú tétele bizonyítása Pringsheim típusú tétele bizonyítása Telyaovsii típusú tétel bizonyításához szüséges segédtétele Telyaovsii típusú tétel bizonyítása Irodalomjegyzé 44 Összefoglaló 47 Summary 54 1

4 Bevezetés A matematiai analízis módszereit már az óori görög matematiuso is alalmaztá egyes geometriai problémá megoldására. Pl. Arhimédesz (i.e ) a parabolaív alatti területet és a gömb térfogatát olyan módszereel határozta meg, amelyeet ma az integrálszámítás módszerei özé sorolun. Ezután egy hosszú szünet övetezett az analízis fejl désében. Majd csa a XII. században apott újabb lendületet, f leg a mechania által felvetett problémá megoldása apcsán, Newton ( ) és Leibniz ( ) munássága révén. A XIII. században és a XIX. század elején az analízis gyors fejl désne indult. iszont ezzel egyid ben a nem ellégé precíz, egzat tárgyalás öveteztében ellentmondáso is megjelente. Például Cauchynál ( ), a sorelmélet egyi megalapozójánál is találhatun néhány hamis állítást. Ž azt állította, hogy folytonos függvénye onvergens sorána összegfüggvénye is folytonos ban Abel ( ) adott erre egy ellenpéldát, egy olyan trigonometrius sort, amelyne összegfüggvénye nem folytonos. Ezt az ellentmondást és bb az egyenletes onvergencia fogalma oldotta fel. Az analízisen belül a Fourier-soro elméleténe ialaulása a XIII. században indult el. Már csillagászati számításonál is felbuanta trigonometrius soro periodiusságu miatt. De a trigonometrius soro elméleténe létrejötte egy mechaniai probléma örül ialault vitána öszönhet, amely D'Alembert ( ), Euler ( ) és Daniel Benoulli (171782) özött alault i a XIII. század özepén. Ez a probléma a rezg húr problémája volt. Bernoulli ban a húr alajána leírására trigonometrius sort apott eredményül. Ezzel az állítással Euler nem értett egyet. Szerinte ugyanis a húr ezdeti alaja nemcsa analitius függvény lehet, hanem olyan mechaniai görbe is, amelyne egyes darabjai özött semmilyen szerves összefüggés nincs, és így egész menetében ugyanazzal a trigonometrius sorral nem írható le. D'Alembert pedig azt is étségbe vonta, hogy bármely analitius függvény trigonometrius sorba fejthet. Fordulatot jelentette a probléma megoldásában Fourier ( ) 187- t l megjelen dolgozatai, amelye a h vezetés elméletével foglalozta. Ezeben új- 2

5 ból felmerült a tetsz leges függvénye trigonometrius soroal történ özelítéséne érdése. Fourier azt állította, hogy ilyen el állítás lehetséges. Eze az eredménye olyan jelent se és a tapasztalattal egyez e volta, hogy a or legiválóbb matematiusai inább arra összpontosította, hogy ezeet a feltevéseet bizonyítsá, mintsem megcáfoljá. A Fourier-soro elméleténe els mély, teljes matematiai precízséggel bebizonyított eredménye Dirichlet ( ) 1829-ben megjelent dolgozatában olvasható. Ez a tétel a véges so monoton darabból álló függvénye Fourier-soraina onvergenciájára vonatozi. Ezt az eredményt Jordan ( ) iterjesztette orlátos változású függvényere 1881-ben. Azóta számos matematius utatta és utatja még ma is a matematiána ezt az ágát. Érteezésün els fejezetét a lasszius (egyváltozós) Fourier-soro elméleténe tanulmányozásához szüséges deníció és jelölése bemutatásával ezdjü. Deniálju többe özött a Fourier- és onjugált soroat, megadju a Lipschitzés Zygmund-osztályo, valamint a orlátos változású függvénye osztályána denícióját. Majd ismertetün ét lasszius és ét újabb eredményt. El bbie: Dini ( ), olasz matematiusna a Fourier-soro pontonénti onvergenciájára vonatozó ritériuma, valamint enne analogonja Pringsheim ( ), német matematiusna a onjugált soro pontonénti onvergenciájára vonatozó ritériuma. Itt utalun ezen tételene a Lipschitz-, valamint Zygmund-osztályoal való apcsolatára is. Az újabb tétele: a orlátos változású függvényere ismert DirichletJordan-tételne Bojani által idolgozott vantitatív változata [2], valamint enne Telyaovsii [18] általi továbbfejlesztése. A másodi fejezetben áttérün étváltozós függvényere. El ször ismertetjü az els fejezetbeli egyváltozós fogalma és deníció étváltozós iterjesztését. Többe özött deniálju a ett s Fourier- és onjugált soroat, a multipliatív Lipschitz-, Zygmund-, LipschitzZygmund- és ZygmundLipschitz-osztályoat, valamint a HardyKrause értelemben orlátos változású függvénye osztályát. Eze után megfogalmazzu az els fejezetben ismertett tétele étváltozós függvényere vonatozó általánosításait (Bojani tételéne ivételével, amelyet Móricz [14, 3. Tétel] már orábban általánosított). A harmadi fejezetben ezen új eredménye bizonyítása, valamint néhány, a bizonyítás során felhasznált segédtétel szerepel. 3

6 1. fejezet Ismert tétele egyváltozós függvényere Ebben a fejezetben el ször felsorolju az egyváltozós függvénye Fouriersorána vizsgálata során használt jelöléseet és szüséges denícióat. Majd ismertetjü (bizonyítás nélül) Dini, Pringsheim, Bojani és Telyaovsii tételeit Deníció, jelölése Fourier- és onjugált soro Komplex érté, 2 szerint periodius f L 1 (T) függvényeet teintün, ahol T := [, ) az egydimenziós tórusz. Az (1.1) f(x) Z ˆf()e ix Fourier-sor pontonénti onvergenciáját vizsgálju, ahol ˆf() := 1 f(u)e iu du, Z 2 T az f függvény Fourier-együtthatói. Ezene egy egyszer tulajdonsága adódi a RiemannLebesgue-lemma alapján (lásd pl. [19, ol. I, p. 48]): ˆf(), ha. Az (1.1)-ben szerepl sor nemszimmetrius részletösszegeit az S m,n (f; x) := n ˆf()e ix, m, n Z, m n 4

7 összeggel deniálju. Az m = n speciális esetben szimmetrius részletösszegr l beszélün, és a rövidebb S n (f; x) := S n,n (f; x), n N jelölést használju. sort, a (1.2) Az (1.1)-ben szerepl Fourier-sor onjugált sorát, vagy röviden: a onjugált ix ( i sign ) ˆf()e Z összeggel deniálju, amelyne nemszimmetrius, valamint szimmetrius részletösszegeit S m,n (f; x)-szel, illetve S n (f; x)-szel jelöljü. Emléeztetün, hogy az f függvény onjugált függvényét, vagy röviden: az f onjugált függvényt, Cauchy f érté integrálént deniálju: f(x) := (P..) 1 { f(x u) f(x u) 1 2 tan 1u du = lim ε 2 Jól ismert, hogy az f(x) függvény majdnem minden x T pontban létezi, valahányszor f L 1 (T), de általában f / L 1 (T). izsgálatain során szüségün lesz még a ε }. D n (u) := 1 2 n e iu = 1 n 2 cos u, = n n N Dirichlet-magfüggvényre, illetve a D n (u) := 1 2 n ( i sign )e iu = = n n sin u, n N onjugált Dirichlet-magfüggvényre. alamint használni fogju a (1.3) ϕ x (u) := f(x u) f(x u) 2f(x), u [, ] jelölést. Függvényosztályo A fejezet másodi részében ismertetésre erül tétele özül ett jól alalmazható Lipschitz-, illetve Zygmund-osztályobeli függvényre; ett pedig orlátos változású függvénye Fourier-sorára vonatozó állítást tartalmaz. Ezért most ezen függvényosztályo özismert deníciói övetezne. 5

8 Deníció (Lispchitz-osztály). Egy 2 szerint periodius f függvény aor tartozi a Lip(α) (α > ) Lischitz-osztályba (másént: α-rend Lipschitz-feltételne tesz eleget), ha létezi olyan C = C(f) onstans, hogy (1.4) f(x u) f(x) C u α minden x, u esetén Deníció (Zygmund-osztály). Egy folytonos, 2 szerint periodius f függvény aor tartozi a Zyg(α) (α > ) Zygmund-osztályba, ha létezi olyan C = C(f) onstans, amelyre (1.5) f(x u) f(x u) 2f(x) C u α minden x, u esetén. Megjegyzése. 1. Ha f Lip(α) valamely α > 1-re, aor f állandó. 2. Ha f Zyg(α) valamely α > 2-re, aor f lineáris függvény. Ha f még periodius is, aor f állandó. 3. Ha < α < 1, aor ha pedig α = 1, aor Lip(α) = Zyg(α), Lip(1) Zyg(1). Ez utóbbi megjegyzés a magyarázata anna, hogy [19, ol. I, pp ]-ben a Λ jelölést használjá Zyg(1)-re Deníció (Korlátos változású függvénye osztálya). Az [a, b] intervallumon értelmezett f(x) függvényt orlátos változásúna nevezzü, ha az [a, b] intervallum tetsz leges a = x < x 1 < x 2 <... < x n = b beosztásaihoz tartozó n f(x ) f(x 1 ) összege az osztóponto számától és eloszlásától független orlát alatt maradna. Ezen összege halmazána fels határát (szuprémumát) az f függvényne az [a, b] intervallumon való teljes változásána nevezzü, és (f, [a, b])-vel jelöljü. Megjegyzés. Ha az f függvényr l feltesszü, hogy orlátos változású, aor az általánosság megszorítása nélül feltehetjü azt is, hogy az f függvényre minden x esetén igaz az (1.6) f(x) = 1 (f(x ) f(x )) 2 egyenl ség. 6

9 1.2. Dini, Pringsheim, Bojani és Telyaovsii tételei Ebben a részben ismertetjü a fent említett matematiuso tételeit, valamint utalun arra, hogy ezen tétele mely függvényosztályo esetén alalmazható eredményesen. Az érteezés másodi részében ezeet a tételeet terjesztjü i étváltozós függvényere (Bojani tételéne ivételével, amelyet Móricz [14, 3. Tétel] már orábban általánosított). Dini onvergencia-ritériuma Dini onvergencia-ritériuma a Fourier-soro szimmetrius, illetve nemszimmetrius részletösszegeine pontonénti onvergenciájára ad elegend feltételt Tétel. Legyen f L 1 (T). (i) Ha valamely x T-re és A onstansra (1.7) aor f(x u) f(x u) 2A u L 1 (T), S n (f; x ) A, ha n. (ii) Ha valamely x T-re (1.8) aor f(x u) f(x ) u L 1 (T), S m,n (f; x ) f(x ), ha m és n. Az (i) állítás bizonyítása jól ismert (lásd pl. [19, ol. I, p. 52] abban az esetben, amior x := és A := f(x )). Ez a RiemannLebesgue-lemmán és az (1.9) S n (f; x ) A = 1 [f(x u) f(x u) 2A]D n (u) du 2 el állításon alapul, ahol D n (u) a Dirichlet-magfüggvény. T A (ii) állítás bizonyítása evésbé ismert (lásd pl. [3] abban az esetben, amior x := és A := ). Ha a tétel és a függvényosztályo apcsolatát vizsgálju, aor láthatju, hogy az (1.8) feltétel nyilvánvalóan teljesül minden x T-re, ha f valamely α > esetén a periodius Lip(α) Lipschitz-osztály eleme. Hasonlóéppen, az (1.7) feltétel is teljesül az A := f(x ) onstanssal minden x T-re, ha f a periodius Zyg(α) Zygmund-osztály eleme valamely α > -ra. 7

10 Megjegyezzü, hogy a (i) állítás alalmazható a szaadási helyenél is. Például, tegyü fel, hogy f-ne létezne a bal és jobb oldali határértéei az x pontban, jelöljü ezeet f(x )-val és f(x )-val. Tegyü fel még, hogy f-ne létezne a féloldali dierenciálhányadosai x -ban, azaz létezi a övetez ét féloldali határérté: (1.1) f(x u) f(x ) u és f(x u) f(x ), ha u. u Eor az (i) állítást alalmazva az A := [f(x ) f(x )]/2 onstanssal, (1.8) alapján apju, hogy S n (f; x ) 1 2 [f(x ) f(x )], ha n. A dierenciálhatósági feltételt jelent sen lehet enyhíteni. Elegend megövetelni, hogy (1.1)-ben mindét hányados integrálható legyen Lebesgue értelemben. Pringsheim onvergencia-ritériuma A övetez tétel a onjugált sor részletösszegeine onvergenciájára ad elegend feltételt. A tétel (i) állítása mint Pringsheim onvergencia-ritériuma ismert (lásd pl. [19, ol. I, p. 52]) Tétel. Legyen f L 1 (T). (i) Ha valamely x T-re (1.11) f(x u) f(x u) u L 1 (T), aor f(x ) létezi mint Lebesgue-integrál, és S n (f; x ) f(x ), ha n. (ii) Ha valamely x T-re (1.12) f(x u) f(x ) u L 1 (T), aor S m,n (f; x ) f(x ), ha m és n. Az (i) állítás bizonyítása a RiemannLebesgue-lemmán és a övetez el állításon alapul: (1.13) Sn (f; x) = 1 T f(x u) D n (u) du = 1 [f(x u) f(x u)] 2 D n (u) du, T 8

11 ahol D n (u) a onjugált Dirichlet-magfüggvény. A evésbé ismert (ii) állítás bizonyítása megtalálható például Cherno ciében [3]. Az Tételne a függvényosztályoal való apcsolatáról elmondhatju, hogy az (1.11) és az (1.12) feltétel nyilvánvalóan teljesül minden x T pontban, ha f a Lip(α) periodius Lipschitz-osztály eleme valamely α > esetén. Bojani és Telyaovsii tételei A jólismert DirichletJordan-tétel szerint a orlátos változású, periodius f függvény Fourier-sora, ha feltesszü (1.6)-ot is, aor minden x pontban az f(x) értéhez onvergál, azaz lim [f(x) S n(f, x)] =. n Ezen onvergencia sebességére Bojani [2] a övetez becslést adta Tétel. Ha a 2 szerint periodius f függvény orlátos változású a [, ] intervallumon, aor minden x és n = 1, 2,... esetén igaz a övetez becslés: (1.14) S n (f, x) f(x) 3 n n ϕ x,, ]). Megjegyezzü, hogy a ϕ x (t) függvény is orlátos változású, valamint (1.6) öveteztében folytonos a t = pontban, ezért a (ϕ x, [, t]) változásfüggvény szintén folytonos a t = pontban, övetezéséppen ϕ x,, ]),. Ebb l pedig övetezi, hogy az (1.14) egyenl tlenség jobb oldalán álló ifejezés nullához onvergál, miözben n, azaz az Tétel a DirichletJordan-tétel élesítése. Az Tétel eredményét Telyaovsii [18] fejlesztette tovább a övetez éppen Tétel. Legyen m 1 = 1 < m 2 < < m p <... a természetes számo olyan sorozata, amely ielégíti a (1.15) p=p 1 m p A m p, p = 1, 2,... 9

12 feltételt, ahol A > 1 állandó. Ha az f függvény orlátos változású, aor minden µ és x esetén érvényes a övetez becslés: f(x) S µ (f, x) = ˆf()e ix =µ1 m p 1 ˆf()e ix =µ1 CA µ1 µ 1 p=p ϕ x,, ]), m p1 1 p ix ˆf()e ahol m p 1 µ < m p és A az (1.15) feltételbeli onstans. Telyaovsii bizonyításána sémája alapján, ha felhasználju a Lemmáat (lásd 3.3. rész), a tételben szerepl egyenl tlenség icserélhet egy er sebbre: (1.16) m pmm<m p1 p=p M ˆf()e ix ( 4)A m p m p ϕ x,, ]). Az állításna ezt az alaját fogju majd iterjeszteni étváltozós függvényere. 1

13 2. fejezet Új eredménye étváltozós függvényere Ebben a fejezetben ismertetjü az el z fejezetben szerepl deníció, jelölése étváltozós megfelel it, valamint megfogalmazzu az 1. fejezetbeli tétele étváltozós általánosításait Deníció, jelölése Kett s Fourier-soro és marginális függvénye A omplex érté, mindét változójában 2 szerint periodius f L 1 (T 2 ) függvény ett s Fourier-sorát az (2.1) f(x, y) Z l Z ˆf(, l)e i(xly) ett s sorral értelmezzü, ahol ˆf(, l) := 1 f(u, v)e i(ulv) du dv, (, l) Z T 2 az f függvény Fourier-együtthatói. L 1 (T 2 ), aor A RiemannLebesgue-lemma (lásd pl. [19, ol. II, p. 31]) alapján, ha f ˆf(, l), ha {, l }. Ez a tény alapvet fontosságú lesz tételein bizonyítása során. A (2.1)-ben szerepl sor nemszimmetrius téglányösszegeit a övetez módon deniálju: S m1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y) := n 1 1 n 2 l=m 2 ˆf(, l)e i(xly), m j, n j Z, m j n j, j = 1, 2. 11

14 Abban a speciális esetben, amior m j = n j, a rövidebb S n1,n 2 (f; x, y) := S n1,n 1 ; n 2,n 2 (f; x, y), n j N, j = 1, 2 jelölést használju; és ezt az összeget a (2.1)-ben szerepl ett s sor szimmetrius téglányösszegéne nevezzü. A (2.1)-ben szerepl Fourier-sor szimmetrius, valamint nemszimmetrius téglányösszegeine egy adott (x, y ) T 2 pontbeli onvergenciájána vizsgálata során iderül, hogy ez a onvergencia lényegében az f(x, y ), x T, és f(x, y), y T (x := x és y := y rögzített), úgynevezett marginális függvénye egyváltozós Fourier-sora onvergenciájána viseledését l függ. Ezere az egyváltozós Fouriersorora, valamint Fourier-együtthatóira a övetez jelöléseet használju: (2.2) f(x, y ) f(, y ) ()e ix, Z ahol és analóg módon f(, y ) () := 1 f(u, y )e iu du, Z; 2 T (2.3) f(x, y) l Z f(x, ) (l)e ily, ahol f(x, ) (l) := 1 f(x, v)e ilv dv, l Z. 2 T A ett s onjugált soro (lásd alább) onvergenciájánál viszont a (2.2) és a (2.3) Fourier-soro onjugált sorai játszana fontos szerepet: (2.4) ( i sign )f(, y ) ()e ix, Z valamint (2.5) ( i sign l)f(x, ) (l)e ily. l Z Konjugált soro Amior az egyváltozós (1.2) onjugált sor étváltozós megfelel jét eressü, az egyváltozós esett l eltér en a (2.1)-beli ett s sorból többféle módon is épezhetün onjugált sort, attól függ en, hogy az els, a másodi vagy mindét változóra vonatozóan onjugálun. Az els változóra vonatozó onjugált sort a (2.6) ( i sign ) ˆf(, l)e i(xly) Z l Z 12

15 ett s összeggel deniálju, a másodi változóra vonatozó onjugált sor alaja: (2.7) ( i sign l) ˆf(, l)e i(xly), Z l Z végül a mindét változó szerinti onjugált sor a övetez : (2.8) ( i sign )( i sign l) ˆf(, l)e i(xly). Z l Z A (2.6)(2.8) onjugált soro nemszimmetrius téglányösszegeire rendre az S (1,) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y), S(,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y) és S(1,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y) jelöléseet használju, a szimmetrius téglányösszegere pedig a övetez, egyszer bb jelöléseet alalmazzu: S (1,) n 1,n 2 (f; x, y), S(,1) n 1,n 2 (f; x, y) és S(1,1) n 1,n 2 (f; x, y). égül megadju az (1.3)-ban deniált ϕ x (u) függvény étváltozós megfelel jét, amelyre a ϕ xy (u, v) jelölést használju: (2.9) ϕ xy (u, v) = f(x u, y v) f(x u, y v) f(x u, y v) f(x u, y v) 4f(x, y), ahol (u, v) [, ] [, ]. Megjegyezzü, hogy ϕ xy (, ) = 2ϕ x (f(, y)), mivel ϕ xy (u, ) = f(x u, y ) f(x u, y ) f(x u, y ) f(x u, y ) 4f(x, y) = = 2[f(x u, y) f(x u, y) 2f(x, y)] = = 2ϕ x (f(, y); u). Hasonlóan bizonyítható a ϕ xy (, ) = 2ϕ y (f(x, )) egyenl ség is. Függvényosztályo Most megadju az 1.1. részben ismertetett egyváltozós függvényosztályo étváltozós megfelel it. Érdees megjegyezni, hogy a Lipschitz- és Zygmund-osztályo iterjesztésénél, a változóra ülön-ülön Lipschitz-, illetve Zygmund-feltételt szabva, négyféle iterjesztés lehetséges. Emléeztetün arra, hogy Móricz vezette be a (periodius) multipliatív Lipschitz-osztályo [7], a (periodius) multipliatív Zygmund-osztályo [6], valamint a (periodius) LipschitzZigmund- és ZygmundLipschitz-osztályo [11] fogalmát. 13

16 El ször az (1.4) és (1.5) bal oldalán az abszolútérté jele özött álló ifejezése étdimenziós megfelel jét adju meg. Ha mindét változó szerint Lischitzfeltételt szeretnén megövetelni, aor (1.4) iterjesztéseént a övetez, 1,1 -gyel jelölt ifejezést apju: (2.1) 1,1 (f; x, y; u, v) := f(x u, y v) f(x, y v) f(x u, y) f(x, y). Ha mindét változó szerint Zygmund-feltételt szeretnén el írni, aor (1.5) általánosításaént a 2,2 -vel jelölt ifejezést apju: (2.11) 2,2 (f; x, y; u, v) := f(x u, y v) f(x u, y v) f(x u, y v) f(x u, y v) 2f(x u, y) 2f(x u, y) 2f(x, y v) 2f(x, y v) 4f(x, y). Az (1.7) bal oldalán álló számlálóna megfelel en a módosított 2,2 (f; x, y; u, v; A) jelölést abban az általánosabb értelemben fogju használni, amior a (2.11) jobb oldalán f(x, y)-t az A onstanssal helyettesítjü. égül megtehetjü azt is, hogy az egyi változó szerint Lipschitz-, a mási változó szerint pedig Zygmund-feltételt írun el. Ezeben az eseteben a övetez ifejezéseet fogju használni (1.4) és (1.5) általánosításaént: 1,2 (f; x, y; u, v) := f(x u, y v) f(x u, y v) 2f(x u, y) f(x u, y v) f(x u, y v) 2f(x u, y), valamint 2,1 (f; x, y; u, v) := f(x u, y v) f(x u, y v) 2f(x, y v) f(x u, y v) f(x u, y v) 2f(x, y v). Ezen el észülete után rátérhetün a függvényosztályo deniálására Deníció (Multipliatív Lipschitz-osztály). Egy mindét változójában periodius, folytonos f(x, y) függvény aor tartozi a multipliatív Lip(α, β) (α, β > ) Lipschitz-osztályba, ha létezi egy C = C(f) állandó úgy, hogy 1,1 (f; x, y; u, v) C u α v β minden (x, y)-ra és (u, v)-re Deníció (Multipliatív Zygmund-osztály). Egy mindét változójában periodius, folytonos f(x, y) függvény aor tartozi a multipliatív Zyg(α, β) (α, β > ) Zygmund-osztályba, ha létezi egy C = C(f) onstans úgy, hogy 2,2 (f; x, y; u, v) C u α v β minden (x, y) és (u, v) esetén. 14

17 Deníció (Multipliatív LipschitzZygmund-osztály). Egy mindét változójában periodius, folytonos f(x, y) függvény aor tartozi a multipliatív LZ(α, β) (α, β > ) LipschitzZygmund-osztályba, ha létezi egy C = C(f) onstans úgy, hogy 1,2 (f; x, y; u, v) C u α v β minden (x, y) és (u, v) esetén Deníció (Multipliatív ZygmundLipschitz-osztály). Egy mindét változójában periodius, folytonos f(x, y) függvény aor tartozi a multipliatív ZL(α, β) (α, β > ) ZygmundLipschitz-osztályba, ha létezi egy C = C(f) onstans úgy, hogy 2,1 (f; x, y; u, v) C u α v β minden (x, y) és (u, v) esetén. Megjegyezzü, hogy a multipliatív Lipschitz/Zygmund-osztályo denícióját, valamint a p1,p 2 (f; x, y; u, v) jelölést (p j {1, 2}, j = 1, 2) a övetez egyszer ténye motiváltá. Abban a speciális esetben, amior f(x, y) = g(x)h(y), aor a p1,p 2 (f; x, y; u, v) mennyiségeet a övetez éppen írhatju fel: 1,1 (f; x, y; u, v) = [g(x u) g(x)][h(y v) h(y)], 1,2 (f; x, y; u, v) = [g(x u) g(x u)][h(y v) h(y v) 2h(y)], 2,1 (f; x, y; u, v) = [g(x u) g(x u) 2g(x)][h(y v) h(y v)], 2,2 (f; x, y; u, v) = [g(x u) g(x u) 2g(x)][h(y v) h(y v) 2h(y)]. Ezeb l pedig nyilvánvalóan övetezi, hogy ha g Lip(α) és h Lip(β), aor f Lip(α, β); ha g Lip(α) és h Zyg(β), aor f LZ(α, β), stb. Megvizsgálva a p1,p 2 (f; x, y; u, v) mennyiségeet, a tago alalmas csoportosításával a övetez összefüggéseet fedezhetjü fel. Minden (x, y)-ra és (u, v)-re igaza a övetez : 2,2 (f; x, y; u, v) = [f(x u, y v) f(x, y v) f(x u, y) f(x, y)] (2.12) [f(x, y v) f(x u, y v) f(x, y) f(x u, y)] [f(x u, y) f(x, y) f(x u, y v) f(x, y v)] [f(x, y) f(x u, y) f(x, y v) f(x u, y v)] = = 1,1 (f; x, y; u, v) 1,1 (f; x u, y; u, v) 1,1 (f; x, y v; u, v) 1,1 (f; x u, y v; u, v), 15

18 valamint 2,2 (f; x, y; u, v) = [f(x u, y v) f(x u, y v) 2f(x u, y) f(x, y v) f(x, y v) 2f(x, y)] [f(x, y v) f(x, y v) 2f(x, y) f(x u, y v) f(x u, y v) 2f(x u, y)] = ( = 1,2 f; x u 2, y; u ) ( 2, v 1,2 f; x u 2, y; u ) 2, v, hasonlóan ( 2,2 (f; x, y; u, v) = 2,1 f; x, y v 2 ; u, v ) ( 2,1 f; x, y v 2 2 ; u, v ), 2 végül 1,2 (f; x, y; u, v) = [f(x u, y) f(x u, y) f(x u, y v) f(x u, y v)] illetve analóg módon [f(x u, y v) f(x u, y v) f(x u, y) f(x u, y)] = = 1,1 (f; x u, y v; 2u, v) 1,1 (f; x u, y; 2u, v), 2,1 (f; x, y; u, v) = 1,1 (f; x u, y v; u, 2v) 1,1 (f; x, y v; u, 2v). Ezen összefüggése felhasználásával az alábbi, tetsz leges α, β > esetén érvényes relációat nyerjü: Lip(α, β) LZ(α, β) Zyg(α, β), Lip(α, β) ZL(α, β) Zyg(α, β). égül megvizsgálju azt a speciális esetet, amior az f x és (f x ) y parciális deriválta valamely (x, y ) T 2 pont örnyezetében létezne, és (f x ) y orlátos is itt. Eor ebben a örnyezetben (2.13) p1,p 2 (f; x, y ; u, v) = O(uv), p j {1, 2}, j = 1, 2. alóban, ez az állítás özvetlenül igazolható a lasszius özépértététel alalmazásával. Például, teintsü a p 1 = 1 és p 2 = 2 esetet. Bevezetve az e(w) := f(w, y v) f(w, y v) 2f(w, y ) jelölést az állításban szerepl (x, y ) pont örnyezetében, apju, hogy 1,2 (f; x, y ; u, v) = e(x u) e(x u) = 2ue (ξ) = = ( 2u)[f x (ξ, y v) f x (ξ, y v) 2f x (ξ, y )] = = ( 2u)[(f x ) y (ξ, η 1 )( v) (f x ) y (ξ, η 2 )v] = O(uv), 16

19 ahol (ξ, y v), (ξ, y v), (ξ, y ), (ξ, η 1 ), és (ξ, η 2 ) a fenti állításban adott örnyezet megfelel pontjai. Így (2.13) alapján, ha az f x, (f x ) y parciális deriválta létezne, és ez utóbbi orlátos az egész étdimenziós T 2 tóruszon, aor f eleme a Lip(1, 1), LZ(1, 1), ZL(1, 1) és Zyg(1, 1) függvényosztályo mindegyiéne. Most a Lipschitz/Zygmund-osztályo bevezetése és vizsgálata után a orlátos változású függvénye étváltozós iterjesztésével folytatju Deníció (HardyKrause értelemben orlátos változású függvény). Az f(x, y) függvényt orlátos változásúna nevezzü az [a, b] [c, d] téglalapon Hardy Krause értelemben, ha a övetez három feltétel teljesül (ld. [8] és [9, Section 254]). 1. Az f(x, y) függvény (f; [a, b] [c, d]) teljes változása az [a, b] [c, d] téglalapon véges. Ezt a teljes változást a övetez szuprémummal deniálju: sup m j=1 n f(x j 1, y 1 ) f(x j, y 1 ) f(x j 1, y ) f(x j, y ), amelyet az [a, b] és [c, d] intervallumo minden a = x < x 1 < < x m = b és c = y < y 1 < < y n = d beosztására iterjesztün. 2. Az f(, c) marginális függvény, mint az els változó függvénye, orlátos változású az [a, b] intervallumon. 3. Az f(a, ) marginális függvény, mint a másodi változó függvénye, orlátos változású a [c, d] intervallumon. Megjegyezzü, hogy ha csa az els feltétel teljesül, aor az f(x, y) függvényt itali értelemben nevezzü orlátos változásúna (lásd [4]). Az egyváltozós esethez hasonlóan, ha az f(x, y) függvény orlátos változású az [a, b] [c, d] téglalapon HardyKrause értelemben, aor az úgynevezett vadrantius határérté: f(x, y ) := lim x x y y f(x, y) létezi minden (x, y ) [a, b] [c, d] pontban (lásd [15, 3. Tétel]). Ezen ívül f(x, y ) megapható mint iterációs határérté, azaz f(x, y ) = lim y y f(x, y) = lim x x f(x, y ), 17

20 ahol és f(x, y ) hasonlóan deniált. f(x, y) := lim x x f(x, y) A három mási vadrantius határérté: f(x, y ) := lim x x y y f(x, y), f(x, y ) és f(x, y ) szintén létezi. alamint eze is iszámíthatóa iterációs határértéént: ahol f(x, y ) = lim y y f(x, y) = lim x x f(x, y ), f(x, y ) := lim y y f(x, y), stb. Mivel azo a ponto, ahol az f(x, y) HardyKrause értelemben orlátos változású függvény nem folytonos, megszámlálható so, a oordináta tengelyeel párhuzamos egyeneseen helyezedne el (lásd pl. [1]), ezért a továbbiaban az általánosság megszorítása nélül feltesszü, hogy az ilyen f függvényre igaz az f(x, y) = 1 {f(x, y ) f(x, y ) f(x, y ) f(x, y )} 4 egyenl ség minden (x, y) pontban Dini onvergencia-ritériumána étváltozós iterjesztése Els tételünben [1, 1. Tétel] elegend feltételt adun a (2.1)-beli Fourier-sor szimmetrius téglányösszegeine adott pontbeli onvergenciájára Tétel. Legyen f L 1 (T 2 ), A, A 1, A 2 C, és valamely (x, y ) T 2 -re (2.14) u 1 v 1 2,2 (f; x, y ; u, v; A 1 A 2 A) L 1 (T 2 ). Ha a (2.2)-ben és a (2.3)-ban szerepl egyváltozós Fourier-soro szimmetrius részletösszegei A 1 -hez és A 2 -höz overgálna az x := x, illetve az y := y pontoban, aor (2.15) S n1,n 2 (f; x, y ) A, ha n j, j = 1, 2. Fordítva, ha (2.15) teljesül, és ha a (2.2)-ben és a (2.3)-ban szerepl Fouriersoro egyiéne szimmetrius részletösszegei onvergense, aor a mási Fouriersor szimmetrius részletösszegei is onvergense. 18

21 Az Tételbeli (i) állítást a Tétellel ombinálva abban a speciális esetben, amior A = A 1 = A 2 := f(x, y ), apju az alábbi övetezményt [1, 1. Korollárium] Korollárium. Legyen f L 1 (T 2 ), f(, y ) L 1 (T) és f(x, ) L 1 (T) valamely (x, y ) T 2 -re. Ha (2.16) u 1 v 1 2,2 (f; x, y ; u, v) L 1 (T 2 ), u 1 [f(x u, y ) f(x u, y ) 2f(x, y )] L 1 (T), és v 1 [f(x, y v) f(x, y v) 2f(x, y )] L 1 (T), aor (2.17) S n1,n 2 (f; x, y ) f(x, y ), ha n j, j = 1, 2. Másodi tételünben [1, 2. Tétel] a (2.1)-beli Fourier-sor nemszimmetrius téglányösszegeine adott pontbeli onvergenciájára adun elégséges feltételt Tétel. Legyen f L 1 (T 2 ) és valamely (x, y ) T 2 -re (2.18) u 1 v 1 1,1 (f; x, y ; u, v) L 1 (T 2 ). Ha a (2.2)-beli és a (2.3)-beli egyváltozós Fourier-soro nemszimmetrius részletösszegei f(x, y )-hoz onvergálna, aor (2.19) S m1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) f(x, y ), ha m j és n j, j = 1, 2. Fordítva, ha (2.19) teljesül, és ha a (2.2)-beli és a (2.3)-beli Fourier-soro egyiéne nemszimmetrius részletösszegei f(x, y )-hoz onvergálna, aor a mási Fourier-sor nemszimmetrius részletösszegei is ehhez onvergálna. Ha az Tétel (ii) állítását ombinálju a Tétellel, aor az alábbi övetezményhez [1, 2. Korollárium] jutun Korollárium. Legyen f L 1 (T 2 ), f(, y ) L 1 (T) és f(x, ) L 1 (T) valamely (x, y ) T 2 -re. Ha a (2.18) feltétel, valamint az alábbi ét iegészít feltétel fennáll: u 1 [f(u, y ) f(x, y )] L 1 (T) és v 1 [f(x, v) f(x, y )] L 1 (T), aor (2.19) is teljesül. 19

22 Ha a (2.16) és a (2.18) feltételene a függvényosztályoal való viszonyát vizsgálju, aor nyilvánvaló, hogy ha f L 1 (T 2 ) Zyg(α, β) valamely α, β > esetén, aor a (2.16) feltétel teljesül minden (x, y ) pontban. Hasonlóan, ha f L 1 (T 2 ) Lip(α, β) valamely α, β > esetén, aor a (2.18) feltétel minden (x, y ) pontban teljesül. alamint a (2.12) összefüggés felhasználásával nyerjü, hogy a (2.18) feltétel fennállása maga után vonja (2.16) teljesülését is; így nyilvánvaló, hogy a (2.17) öveteztetés gyengébb, mint (2.19). égül utalva a 2.13-nál leírtara, ha az (x, y ) T 2 pontna létezi olyan örnyezete, hogy az f x és (f x ) y parciális deriválta létezne ezen örnyezet minden pontjában és (f x ) y orlátos itt, aor f Lip(1, 1). Ebb l pedig övetezi, hogy ilyen f függvényre a (2.18) feltétel is teljesül Pringsheim onvergencia-ritériumána étváltozós iterjesztése Els tételünben [11, 1. Tétel] a (2.6) onjugált sor szimmetrius téglányösszegeine onvergenciájára adun szüséges és elegend feltételt Tétel. Legyen f L 1 (T 2 ). Ha valamely (x, y ) T 2 -re (2.2) u 1 v 1 1,2 (f; x, y ; u, v) L 1 (T 2 ), aor az S (1,) n 1,n 2 (f; x, y ) szimmetrius téglányösszegene aor és csa aor létezi határértée n j (j = 1, 2) esetén, ha a (2.4) onjugált sor szimmetrius részletösszegei onvergense az x := x pontban. Ebben az esetben a ét határérté megegyezi. A Tételne a (2.7) onjugált sorra vonatozó szimmetrius megfelel je a övetez éppen hangzi [11, 2. Tétel] Tétel. Legyen f L 1 (T 2 ). Ha valamely (x, y ) T 2 -re (2.21) u 1 v 1 2,1 (f; x, y ; u, v) L 1 (T 2 ), aor az S (,1) n 1,n 2 (f; x, y ) szimmetrius téglányösszegene aor és csa aor létezi határértée n j (j = 1, 2) esetén, ha a (2.5) onjugált sor szimmetrius részletösszegei overgense az y := y pontban. Ebben az esetben a ét határérté megegyezi. 2

23 Er sebb feltételt megadva, a (2.6)(2.8) onjugált soro nemszimmetrius téglányösszegeine onvergenciájára is öveteztethetün [11, 3. Tétel] Tétel. Legyen f L 1 (T 2 ), és tegyü fel, hogy valamely (x, y ) T 2 -re (2.22) u 1 v 1 1,1 (f; x, y ; u, v) L 1 (T 2 ). (i) Az S (1,) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) nemszimmetrius téglányösszegene aor és csa aor létezi határértée m j és n j (j = 1, 2) esetén, ha a (2.4) onjugált sor nemszimmetrius részletösszegei onvergense az x := x pontban. Ebben az esetben a ét határérté megegyezi. (ii) Az S (,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) nemszimmetrius téglányösszegene aor és csa aor létezi határértée m j és n j (j = 1, 2) esetén, ha a (2.5) onjugált sor nemszimmetrius részletösszegei onvergense az y := y pontban. Ebben az esetben a ét határérté megegyezi. (iii) Az S (1,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) nemszimmetrius téglányösszegene létezi határértée m j és n j (j = 1, 2) esetén. Ha a tételeben szerepl feltételene a függvényosztályoal való apcsolatát vizsgálju, adódi, hogy a Tételben szerpel (2.2) feltétel biztosan teljesül minden (x, y ) T 2 pontban, ha f LZ(α, β) valamely α, β > -ra; a Tételben lév (2.21) feltétel teljesül minden (x, y ) T 2 pontban, ha f ZL(α, β) valamely α, β > -ra; és a Tételben szerepl (2.22) feltétel teljesül, ha f Lip(α, β) valamely α, β > -ra. Ha a fenti Tételeet ombinálju az egyváltozós függvényere érvényes az Tétellel, aor a övetez orolláriumoat [11, 1-3. Korollárium] apju Korollárium. Tegyü fel, hogy f L 1 (T 2 ) és a (2.2) feltétel valamely (x, y ) T 2 -re teljesül. Ha f(, y ) L 1 (T) és u 1 [f(x u, y ) f(x u, y )] L 1 (T), 21

24 aor S (1,) n 1,n 2 (f; x, y ) f(, y ) (x ), ha n j, j = 1, Korollárium. Tegyü fel, hogy f L 1 (T 2 ) és a (2.21) feltétel valamely (x, y ) T 2 -re teljesül. Ha f(x, ) L 1 (T) és v 1 [f(x, y v) f(x, y v)] L 1 (T), aor S (,1) n 1,n 2 (f; x, y ) f(x, ) (y ), ha n j, j = 1, 2. Probléma. Nem találtun olyan, a 1,2 (f; x, y ; u, v), a 2,1 (f; x, y ; u, v) és a 2,2 (f; x, y ; u, v) segítségével, valamint az f(, y ) és az f(x, ) marginális függvénye egyváltozós Fourier-soraina onjugált sorával ifejezhet, a (2.22)-nél gyengébb elegend feltételt, amely bizosítaná a (2.8) ett s onjugált sor szimmetrius téglányösszegeine onvergenciáját egy adott (x, y ) T 2 pontban Korollárium. Tegyü fel, hogy f L 1 (T 2 ) és a (2.22) feltétel valamely (x, y ) T 2 -re teljesül. aor (i) Ha f(, y ) L 1 (T) és u 1 [f(x u, y ) f(x, y )] L 1 (T), S (1,) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) f(, y ) (x ), ha m j és n j, j = 1, 2. aor (ii) Ha f(x, ) L 1 (T) és v 1 [f(x, y v) f(x, y )] L 1 (T), S (,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) f(x, ) (y ), ha m j és n j, j = 1, Telyaovsii tételéne étváltozós iterjesztése Telyaovsii tételéne iterjesztéseor az (1.16) egyenl tlenséget fogju általánosítani étváltozós függvényere. Itt attól függ en, hogy a ett s szummában mindét vagy csa az egyi összegezési index szerint adun össze végtelen so tagot, az alábbi tételben [12, 3. Tétel] szerepl három egyenl tlenséget aphatju. 22

25 Tétel. Legyene m 1 = 1 < m 2 < < m p <... és n 1 = 1 < n 2 < < n q <... a természetes számona olyan sorozatai, amelye ielégíti a (2.23) és a (2.24) p=p 1 m p A m p, p = 1, 2,... q=q 1 n q B n q, q = 1, 2,... feltételeet, ahol A, B > 1 állandó. Ha az f függvény orlátos változású Hardy Krause értelemben, aor minden p, q esetén és minden (x, y) pontban igaza a övetez becslése: (2.25) M N m pmm<m p1 n qnn<n q1 p=p q=q =m l =n ( 4)2 AB m p n q m p n q ϕ xy,, ] [, ]), l ˆf(, l)e i(xly) (2.26) és (2.27) M n q 1 m pmm<m p1 p=p =m l = ( 4)A m p ( 4)2 AB m p n q m p n qnn<n q1 q=q ( 4)B n q ( 4)2 AB m p n q m p n q n q ˆf(, l)e i(xly) ϕ x (f(, y)),, ]) m p 1 = m p n q ϕ xy,, ] [, ]) l N l =n ˆf(, l)e i(xly) ϕ y (f(x, )),, ]) l ϕ xy,, ] [, ]), l ahol A és B a (2.23) és a (2.24) becslésebeli onstanso. A Tételb l özvetlenül adódi a övetez állítás [12, Követezmény]. 23

26 Korollárium. Ha a mindét változója szerint 2-periodius f(x, y) függvény orlátos változású a [, ] [, ] téglalapon, aor minden m, n esetén S m,n (f; x, y) f(x, y) C m1 1A m 1 C 2B n1 n 1 C 3 AB (m 1)(n 1) ϕ x (f(, y)),, ]) ϕ y (f(x, )),, ]) l m1 n1 ϕ xy,, ] [, ]). l Nyilvánvaló, hogy a Tétel er sebb, mint ez a orollárium. Megjegyezzü, hogy Móricz [13, 3. Tétel] más módszere felhasználásával szintén bizonyította a orolláriumban szerepl egyenl tlenséget, a onstansoat is megadva: C 1 = C 2 = 2(1 1/) és C 3 = 4(1 2/ 1/ 2 ). Megjegyezzü még, hogy a Korollárium tulajdonéppen Bojani tételéne ( Tétel) iterjesztése étváltozós, HardyKrause értelemben orlátos változású függvényere. égül utalun arra, hogy Hardy tétele [8], amely a DirichletJordan-tételne (lásd pl. [19, ol. I, p. 57]) a iterjesztése étváltozós, HardyKrause értelemben orlátos változású függvényere, megapható a fenti övetezményb l Tétel (Hardy). Ha a mindét változója szerint 2-periodius f(x, y) függvény orlátos változású a [, ] [, ] téglalapon, aor Fourier-sora minden (x, y) pontban az f(x, y) értéhez onvergál. 24

27 3. fejezet Új eredménye bizonyítása Ebben a részben a 2. fejezetben ismertett tétele bizonyításait özöljü. A Dini típusú, valamint a Pringsheim típusú tétele bizonyításánál a Fourier-, valamint a onjugált soro téglányösszegeine Dirichlet-, illetve onjugált Diricletmagfüggvénye segítségével történ el állításából indulun. Majd felhasználva a étváltozós RiemannLebesgue-lemmát, bizonyítju tételeinet. Ezután ismertetün és bizonyítun néhány, a Telyaovsii típusú tétel bizonyításához szüséges segédtételt. égül bizonyítju Telyaovsii tételéne étváltozós megfelel jét Dini típusú tétele bizonyítása A Tétel bizonyítása Az S n1,n 2 szimmetrius téglányösszeg övetez, jól ismert el állításából (lásd pl. [19, ol. II, p. 32]) indulun i: S n1,n 2 (f; x, y ) = 1 f(x T 2 u, y v)d n1 (u)d n2 (v) du dv, 2 ahol D n (u) a Dirichlet-magfüggvény. Mivel D n (u) páros, adódi, hogy S n1,n 2 (f; x, y ) A = = 1 [f(x 4 2 u, y v) f(x u, y v) f(x u, y v) T 2 f(x u, y v) 4A]D n1 (u)d n2 (v) du dv. Felhasználva 2,2 (2.11)-beli denícióját az x := x, y := y esetben azzal a 25

28 módosítással, hogy f(x, y) helyén (A 1 A 2 A) áll, apju a övetez t: S n1,n 2 (f; x, y ) A = = ,2 (f; x, y ; u, v; A 1 A 2 A)D n1 (u)d n2 (v) du dv T 2 1 [f(x u, y ) f(x u, y ) 2A 1 ]D n1 (u) du 2 T 1 [f(x, y v) f(x, y v) 2A 2 ]D n2 (v) dv. 2 T Figyelembe véve (1.9)-et, az el z ifejezést a övetez alaban írhatju fel: (3.1) S n1,n 2 (f; x, y ) A = = ,2 (f; x, y ; u, v; A 1 A 2 A)D n1 (u)d n2 (v) du dv T [ 2 n1 ] [ n2 ] f(, y ) ()e ix A 1 f(x, ) (l)e ily A 2. = n 1 l= n 2 Ebb l az alaból már látszi, hogy a Tétel bizonyításához elegend azt megmutatnun, hogy a (3.1) jobb oldalán álló ett s integrál nullához onvergál, ha n j, j = 1, 2. Hogy ezt belássu, vezessü be a övetez éppen deniált g segédfüggvényt: g(u, v) := (e iu 1) 1 (e iv 1) 1 2,2 (f; x, y ; u, v; A 1 A 2 A), u, v. A (2.14) feltétel öveteztében apju, hogy g L 1 (T 2 ). Ebb l pedig övetezi, hogy I n1,n 2 := 1 (3.2) 4 2 2,2 (f; x, y ; u, v; A 1 A 2 A)D n1 (u)d n2 (v) du dv = T 2 = 1 g(u, v)(e iu 1)(e iv 1)D 4 2 n1 (u)d n2 (v) du dv. T 2 Könny belátni, hogy (e iu 1)D n1 (u) = e i(n 11)u e in 1u. Ezen észrevétel alapján (3.2)-b l nyerjü, hogy I n1,n 2 = 1 g(u, v)[e i(n11)u e in1u ][e i(n21)v e in2v ] du dv = 4 2 T 2 = ĝ( n 1 1, n 2 1) ĝ(n 1, n 2 1) ĝ( n 1 1, n 2 ) ĝ(n 1, n 2 ). Mivel g L 1 (T 2 ), így a étváltozós RiemannLebesgue-lemma szerint adódi, hogy (3.3) I n1,n 2, ha n j, j = 1, 2. Ezzel a fenti állítást igazoltun. Most már, összevetve (3.1)-et, (3.2)-t és (3.3)-at, adódi, hogy a Tétel bizonyítása teljes. 26

29 A Tétel bizonyítása A tétel bizonyítását egy segédfüggvény bevezetésével ezdjü. égezzü el (2.1)-ben az x := x u és y := y v helyettesítést. A rövidség edvéért jelöljü ezt F (x, y)-nal, azaz (3.4) 1,1 (f; x, y ; u, v) = f(x, y) f(x, y) f(x, y ) f(x, y ) =: F (x, y). Majd vezessün be egy további segédfüggvényt; nevezetesen, legyen g(x, y) := (e i(x x ) 1) 1 (e i(y y ) 1) 1 F (x, y). A (2.18) feltétel szerint, (3.4)-et is gyelembe véve, adódi, hogy g L 1 (T 2 ). alamint nyilvánvaló, hogy (3.5) F (x, y) = (e i(x x ) 1)(e i(y y ) 1)g(x, y). Könnyen ellen rizhetjü, hogy F Fourier-együtthatóit minden (, l) Z 2 -re a övetez éppen írhatju fel: (3.6) ˆf(, l), ha és l, ˆf(, ) f(, y ) ˆF (), ha és l =, (, l) = ˆf(, l) f(x, ) (l), ha = és l, ˆf(, ) f(, y ) () f(x, ) () f(x, y ), ha = és l =. Legyen m j, n j Z, m j < < n j (j = 1, 2). Eor a (3.4) jobb oldalán deniált F függvény ett s Fourier-sorána nemszimmetrius téglányösszegei az (x, y ) pontban (3.6) alapján a övetez alaban írhatóa: S m1,n 1 ;m 2,n 2 (F ; x, y ) = S m1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) n 1 (3.7) f(, y ) ()e ix 1 n 2 l=m 2 f(x, ) (l)e ily f(x, y ). Ebb l már látszi, hogy a Tétel bizonyításához elegend azt megmutatnun, hogy a (3.7) bal oldala nullához onvergál, miözben m j és n j (j = 1, 2). Ehhez el ször fejezzü i az F függvény Fourier-együtthatóit g Fourieregyütthatóina segítségével a övetez éppen (vö. (3.5)): ˆF (, l) := 1 g(x, y)(e i(x x) 1)(e i(y y) 1)e i(xly) dx dy = 4 2 T 2 = e i(x y )ĝ( 1, l 1) e ixĝ( 1, l) e iyĝ(, l 1) ĝ(, l), (, l) Z 2. 27

30 Az F függvény Fourier-sorána téglányösszegében végrehajtva a ett s Abel-átrendezést, nyerjü, hogy S m1,n 1 ;m 2,n 2 (F ; x, y ) := = n 1 1 n 2 n 1 1 n 2 l=m 2 ˆF (, l)e i(xly) = l=m 2 { e i[( 1)x(l 1)y]ĝ( 1, l 1) e i[x (l 1)y ]ĝ(, l 1) e i[( 1)x ly ]ĝ( 1, l) e i(x ly )ĝ(, l) } = { n1 } 1 n 2 1 n 1 n 2 1 n 1 1 n 2 n 1 n 2 = e i(x ly )ĝ(, l) = 1 1 l=m l=m l=m 2 1 l=m 2 = e i[(m 1 1)x (m 2 1)y ]ĝ(m 1 1, m 2 1) e i[n 1x (m 2 1)y ]ĝ(n 1, m 2 1) e i[(m 1 1)x n 2 y ]ĝ(m 1 1, n 2 ) e i(n 1x n 2 y )ĝ(n 1, n 2 ). Ebb l pedig, mivel g L 1 (T 2 ), a RiemannLebesgue-lemma alapján adódi, hogy (3.8) S m1,n 1 ;m 2,n 2 (F ; x, y ), ha m j és n j, j = 1, 2; ahogyan azt fentebb állítottu. Most összehasonlítva (3.7)-et és (3.8)-at, adódi, hogy a Tétel bizonyítása teljes Pringsheim típusú tétele bizonyítása A Tétel bizonyítása A tétel bizonyítását az els változó szerinti onjugált sor téglányösszegeine övetez, jól ismert el állításána felírásával ezdjü: S (1,) n 1,n 2 (f; x, y ) = 1 f(x T 2 y, y v) D n1 (u)d n2 (v) du dv = 2 = 1 [f(x 4 2 u, y v) f(x u, y v) T 2 f(x u, y v) f(x u, y v)] D n1 (u)d n2 (v) du dv, ahol (n 1, n 2 ) N 2. Ezt 1,2 (f; x, y ; u, v) deníciója, valamint az (1.13) el állítás alapján a övetez alaban is írhatju: (3.9) S (1,) n 1,n 2 (f; x, y ) = = Ĩ(1,) n 1,n = Ĩ(1,) n 1,n = Ĩ(1,) n 1,n 2 T n 1 T 2 [f(x u, y ) f(x u, y )] D n1 (u)d n2 (v) du dv = [f(x u, y ) f(x u, y )] D n1 (u) du = = n 1 ( i sign )f(, y ) ()e ix, 28

31 ahol (3.1) Ĩ (1,) n 1,n 2 := Most vezessü be a g segédfüggvényt: T 2 1,2 (f; x, y ; u, v) D n1 (u)d n2 (v) du dv. g(u, v) := (e iu 1) 1 (e iv 1) 1 1,2 (f; x, y ; u, v), u, v. A (2.2) feltételb l övetezi, hogy g L 1 (T 2 ); valamint (3.1) alapján nyilvánvaló, hogy (3.11) Ĩ (1,) n 1,n 2 = Könnyen ellen rizhetjü, hogy T 2 g(u, v)(e iu 1)(e iv 1) D n1 (u)d n2 (v) du dv. (3.12) (e iu 1)(e iv 1) D n1 (u)d n2 (v) = { = 1 n1 4i (eiu 1) 1 = n 1 } e iu (e iv 1) n 2 l= n 2 e ilv = 1 4i [ei(n 11)u e iu 1 e in 1u ][e i(n 21)v e in 2v ]. (3.11)-et és (3.12)-t összevetve, majd a RiemannLebesgue-lemmát alalmazva, adódi, hogy (3.13) Ĩ (1,) n 1,n 2 = 1 4i [ĝ( n 1 1, n 2 1) ĝ( n 1 1, n 2 ) ĝ( 1, n 2 1) ĝ( 1, n 2 ) ĝ(, n 2 1) ĝ(, n 2 ) ĝ(n 1, n 2 1) ĝ(n 1, n 2 )], ha n j, j = 1, 2. Most már (3.9)-b l és (3.13)-ból övetezi a Tétel onlúziójában szerepl állításo evivalenciája. Ezzel a Tételt bebizonyítottu. A Tétel bizonyítása S (,1) Ezúttal a tétel bizonyítását az alábbi el állítás felírásával ezdjü: n 1,n 2 (f; x, y ) = 1 f(x T 2 u, y v)d n1 (u) D n2 (v) du dv = 2 = 1 [f(x 4 2 u, y v) f(x u, y v) T 2 f(x u, y v) f(x u, y v)]d n1 (u) D n2 (v) du dv. Majd, felhasználva (1.13)-at és (2.21)-et, a bizonyítás hasonlóéppen történi, mint a Tétel esetében. 29

32 A Tétel bizonyítása A tétel bizonyítását ét segédfüggvény bevezetésével ezdjü. Legyen x := x u, y := y v, és eor legyen F (x, y) := 1,1 (f; x, y ; u, v) = f(x, y) f(x, y) f(x, y ) f(x, y ), valamint g(x, y) := (e i(x x ) 1) 1 (e i(y y ) 1) 1 F (x, y). Nyilvánvaló, hogy a (2.22) feltétel evivalens azzal, hogy g L 1 (T 2 ), ezenívül (3.14) F (x, y) = (e i(x x ) 1)(e i(y y ) 1)g(x, y). Könnyen ellen rizhetjü, hogy F Fourier-együtthatóit minden (, l) Z 2 esetén a övetez éppen írhatju fel: (3.15) ˆf(, l), ha és l, ˆf(, ) f(, y ) ˆF (), ha és l =, (, l) = ˆf(, l) f(x, ) (l), ha = és l, ˆf(, ) f(, y ) () f(x, ) () f(x, y ), ha = és l =. Legyen m j, n j Z, m j n j (j = 1, 2). Négy esetet fogun megülönböztetni aszerint, hogy [m j, n j ] vagy / [m j, n j ] (j = 1, 2). (a) eset: [m j, n j ] (j = 1, 2). Eor (3.15) alapján az F függvény ett s Fourier-sorána nemszimmetrius téglányösszegeit az (x, y ) pontban a övetez alaban írhatju: S m1,n 1 ;m 2,n 2 (F ; x, y ) = S m1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) n 1 f(, y ) ()e ix 1 (b) eset: [m 1, n 1 ] és [m 2, n 2 ]. Eor n 2 S m1,n 1 ;m 2,n 2 (F ; x, y ) = S m1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) (c) eset: [m 1, n 1 ] és [m 2, n 2 ]. Eor S m1,n 1 ;m 2,n 2 (F ; x, y ) = S m1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) (d) eset: [m j, n j ] (j = 1, 2). Eor l=m 2 f(x, ) (l)e ily f(x, y ). n 1 1 f(, y ) ()e ix. n 2 S m1,n 1 ;m 2,n 2 (F ; x, y ) = S m1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ). 3 l=m 2 f(x, ) (l)e ily.

33 Másrészt, (3.14)-b l övetezi, hogy ˆF (, l) = ĝ( 1, l 1)e i(x y ) ĝ( 1, l)e ix ĝ(, l 1)e iy ĝ(, l), (, l) Z 2. Elvégezve a ett s Abel-átrendezést, nyerjü, hogy S m1,n 1 ;m 2,n 2 (F ; x, y ) = ĝ(m 1 1, m 2 1)e i[(m 1 1)x (m 2 1)y ] ĝ(m 1 1, n 2 )e i[(m 1 1)x n 2 y (3.16) ] ĝ(n 1, m 2 1)e i(n 1x (m 2 1)y ] ĝ(n 1, n 2 )e i[n 1x n 2 y ]. Ezen el észülete után a Tétel (i)(iii) állításai a RiemannLebesguelemma segítségével bizonyítható. Most eze részletezése övetezi. Az (i) állítás bizonyítása Tegyü fel, hogy m j < és n j > (j = 1, 2). A onjugált sor deníciója alapján írhatju, hogy { 1 S m (1,) 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) = i n 2 n 1 n 2 1 l=m 2 l=m 2 A (b) esetet étszer alalmazva, nyerjü, hogy (3.17) S (1,) } ˆf(, l)e i(x ly ). m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) = is m1, 1;m 2,n 2 (F ; x, y ) is 1,n1 ;m 2,n 2 (F ; x, y ) 1 n 1 i f(, y ) ()e ix i f(, y ) ()e ix. 1 A (3.17) jobb oldalán álló els és másodi tag nullához onvergál, miözben m j és n j (j = 1, 2). Ez önnyen belátható (3.16) (el ször n 1 := 1-re, majd m 1 := 1-re alalmazva) és a RiemannLebesgue-lemma segítségével. Továbbá, észrevehetjü, hogy (3.17) jobb oldalán a harmadi és a negyedi tag együtt a övetez alaban írható: n 1 1 ( i sign )f(, y ) ()e ix, amely éppen a (2.4) onjugált sor nemszimmetrius részletösszege. Most, összevetve (3.17)-et az iménti észrevételeel, apju az (i) állításban szerepl soro evionvergenciáját. Az (ii) állítás bizonyítása Ez az (i) állítás szimmetrius megfelel je, és bizonyítása is az (i) állítás bizonyításához hasonló módon történi (miözben étszer alazzu a (c) esetet). 31

34 Az (iii) állítás bizonyítása Tegyü fel, hogy m j < és n j > (j = 1, 2). A onjugált sor deníciója alapján írhatju, hogy S (1,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) = { = 1 1 n n 2 1 l=m 2 l=m 2 1 } n 1 n 2 ˆf(, l)e i(x ly ). Négyszer alalmazva a (d) esetet, apju, hogy (3.18) S (1,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) = S m1, 1;m 2, 1(F ; x, y ) S 1,n1 ;m 2, 1(F ; x, y ) S m1, 1;1,n 2 (F ; x, y ) S 1,n1 ;1,n 2 (F ; x, y ). (3.16) és (3.18), valamint a RiemannLebesgue-lemma alapján, azt apju, hogy S (1,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y ) ĝ( 1, 1)e i(x y ) ĝ(, 1)e iy ĝ( 1, )e ix ĝ(, ), ha m j és n j, j = 1, 2. Ez bizonyítja az (iii) állítást. Ezzel a Tétel bizonyítása teljes Telyaovsii típusú tétel bizonyításához szüséges segédtétele A étváltozós Telyaovsii típusú tétel bizonyításához szüségün lesz néhány segédtételre. Az els ét lemma a sin u sor becsléséhez apcsolódi, ezeet bizonyítju is. A mási három lemma pedig a étváltozós RiemannStieltjesintegrálhoz öt di. Ezeet bizonyítás nélül özöljü. alaja. Az els lemma a [17, 1. Lemma]-ben bizonyított becslés továbbfejlesztett Lemma. Ha a természetes számo m 1 = 1 < m 2 <... < m p <... sorozata ielégíti az (1.15) feltételt, aor minden < u esetén igaz a M sin u m pmm<m p1 A m p u becslés. p=p 32

35 Bizonyítás. ilágos, hogy u = esetén a becslés igaz, elegend tehát az u (, ) esetet vizsgálni. Rögzítsün egy ilyen u-t és használju a övetez jól ismert becslést: tetsz leges r, s N, r s és u (, ) esetén igaz a övetez becslés: s sin u ru. =r Ezen becslés alapján minden m p m M < m p1 esetén írhatju, hogy M sin u mu, ebb l pedig övetezi, hogy M (3.19) m pmm<m p1 sin u m pmm<m p1 mu m p u. Összegezve ezeet a imumoat és felhasználva (1.15)-öt, apju, hogy M sin u m pmm<m p1 m p u A m p u. p=p Ezzel a Lemmát bebizonyítottu. A övetez segédtételben a [16]-beli 1. Tételt fejlesztjü tovább. Így a övetez, u-ban egyenletes becslést apju Lemma. Ha a természetes számo m 1 = 1 < m 2 <... < m p <... sorozata p=p ielégíti az (1.15) feltételt, aor minden u esetén igaz a M sin u (3.2) ( 2)A m pmm<m p1 becslés. p=1 Bizonyítás. A periodicitás és a függvény párossága miatt elegend a lemmát a [, ] intervallumon bizonyítani. Az u = és az u = eseteben az állítás özvetelenül ellen rizhet. Rögzítsün tehát egy u-t, amelyre u (, ). alamint válasszu meg a µ = µ(u) természetes számot úgy, hogy teljesüljön a (3.21) µ 1 u < µ, egyenl tlenség, és eressü meg azt a p = p (u) indexet, amelyre (3.22) m p µ < m p 1. 33

36 A (3.2)-ban szerepl szummát darabolju fel a övetez éppen: M sin u p 1 m pmm<m p1 M sin u m pmm<m p1 p=1 p=1 M sin u m p mmµ n sin u µ1mm<m p 1 =µ1 M sin u m pmm<m p1. p=p 1 Az els és másodi szumma becslésénél a minden pozitív u-ra fennálló sin u < u egyenl tlenséget használju fel: p 1 M sin u p 1 (3.23) m pmm<m p1 illetve (3.24) p=1 m p mmµ M sin u = M m pmm<m p1 j=1 p 1 j=1 u = m pmm<m p1 (M m 1)u = p 1 = (m p1 m p )u = j=1 = (m p m 1 )u = (m p 1)u, m p mmµ M u = = m p mmµ (M m 1)u = (µ n p 1)u. (3.23) és (3.24), valamint (3.21) felhasználásával nyerjü, hogy p 1 M sin u m pmm<m p1 M sin u (3.25) m p mmµ p=1 (µ n p 1)u (n p 1)u = µu <. A harmadi szumma becslése során a (3.19) és a (3.21) egyenl tlenségeet használju fel: (3.26) µ1mm<m p 1 M sin u (µ 1)u 1. A negyedi szumma becsléséhez felhasználju a Lemmát és a (3.21) (3.22) egyenl tlenségeet: (3.27) M m pmm<m p1 p=p 1 sin u 34 A m p 1u A (µ 1)u A.

37 Felhasználva most a (3.25)(3.27) részeredményeet, adódi a övetez becslés: M m pmm<m p1 p=1 Ezzel a Lemmát bebizonyítottu. sin u 1 A ( 2)A. A fenti lemmáon ívül szüség lesz még a övetez három, a étváltozós RiemannStieltjes-integrálra vonatozó segédtételre. A Lemma bizonyítása megtalálható [5]-ben Lemma. Ha a g(x, y) függvény folytonos az [a, b] [c, d] téglalapon, és az f(x, y) függvény itali értelemben orlátos változású ugyanitt, aor a g(x, y) függvény RiemannStieltjes-integrálható az f(x, y) függvényre vonatozóan az [a, b] [c, d] téglalapon. A övetez lemmában a RiemannStieltjes-integrálra vonatozó parciális integrálás szabályána étváltozós függvényere történ iterjesztése található [14, 2. Lemma] Lemma. Ha a g(x, y) függvény folytonos az [a, b] [c, d] téglalapon és az f(x, y) függvény orlátos változású HardyKrause értelemben, aor f(x, y) integrálható a g(x, y) függvényre vonatozóan az [a, b] [c, d] téglalapon HardyKrause értelemben és b d a c g(x, y) d x d y f(x, y) = b d a c b a d c f(x, y) d x d y g(x, y) f(x, d) d x g(x, d) f(b, y) d y g(b, y) b a d f(b, d)g(b, d) f(a, d)g(a, d) f(b, c)g(b, c) f(a, c)g(a, c). c f(x, c) d x g(x, c) f(a, y) d y g(a, y) Az utolsó lemma a étváltozós RiemannStieltjes-integrál iszámítását vezeti vissza Lebesgue-integrálra [14, 3. Lemma] Lemma. Ha az f(x, y) függvény orlátos változású az [a, b] [c, d] téglalapon HardyKrause értelemben, és a g(x, y) függvény abszolút folytonos ugyanitt, azaz g(x, y) = x y a c h(x, y) dx dy C, (x, y) [a, b] [c, d] valamely h(x, y) L 1 ([a, b] [c, d]) függvényre és C onstansra, aor b d a c f(x, y) d x d y g(x, y) = b d a c f(x, y)h(x, y) dx dy. 35

38 3.4. Telyaovsii típusú tétel bizonyítása A (2.25) egyenl tlenség bizonyítása Felhasználva a Fourier-együttható denícióját, el ször alaítsu át a (2.25)- ben szerepl bels ett s szummát a övetez módon: (3.28) M N =m l =n = M =m l =n = = ˆf(, l)e i(xly) = N ( f(u, v) f(u, v) M ) f(u, v)e i(ulv) du dv e i(xly) = =m l =n M =m N e i((u x)l(v y)) du dv e i(u x) N l =n e il(v y) du dv = (itt felhasználju az f(x, y) függvény 2 szerinti periodicitását) = = = 1 2 [f(x u, y v) f(x u, y v) f(x u, y v) M N f(x u, y v)] e iu e ilv du dv = =m l =n [f(x u, y v) f(x u, y v) f(x u, y v) ( ) ( ) M N f(x u, y v) 4f(x, y)] 2 cos u 2 cos lv du dv = ( M ) ( N ) ϕ xy (u, v) cos u cos lv du dv, l=n ahol ϕ xy a (2.9)-ben deniált függvény. Ebb l a Lemmá segítségével apju, hogy M N =m l =n ˆf(, l)e i(xly) = 1 2 = 1 2 l=n ( M ) ( N ) sin u sin lv ϕ xy (u, v) d u d v = l l=n ( M ) ( N ) d u d v ϕ xy (u, v). sin u l=n sin lv l Felhasználva ezt az eredményt, becsülhetjü a (2.25) egyenl tlenség bal ol- 36