KÉTVÁLTOZÓS PERIODIKUS FÜGGVÉNYEK FOURIER- ÉS KONJUGÁLT SORAINAK KONVERGENCIÁJA

Átírás

1 KÉTÁLTOZÓS PERIODIKUS FÜGGÉNYEK FOURIER- ÉS KONJUGÁLT SORAINAK KONERGENCIÁJA DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI JENEI ÁRPÁD TÉMAEZETŽ: DR. MÓRICZ FERENC professzor emeritus Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI ÉS INFORMATIKAI KAR BOLYAI INTÉZET MATEMATIKA- ÉS SZÁMÍTÁSTUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA SZEGED 2009

2

3 A matematikai analízisen belül a Fourier-sorok elméletének kialakulása a XIII. században indult el. Az els mély, teljes matematikai precízséggel bebizonyított eredmény Dirichlet ( ) 1829-ben megjelent dolgozatában olvasható. Ez a tétel a véges sok monoton darabból álló függvények Fourier-sorainak konvergenciájára vonatkozik. Ezt az eredményt Jordan ( ) kiterjesztette korlátos változású függvényekre ben. Az irodalomban ezt szokták DirichletJordan-tételként említeni. Értekezésünket az egyváltozós Fourier-sorok elméletének két klasszikus és két újabb eredményének ismertetésével kezdjük. El bbiek: Dini ( ), olasz matematikusnak a Fourier-sorok pontonkénti konvergenciájára vonatkozó kritériuma, valamint ennek analogonja Pringsheim ( ), német matematikusnak a konjugált sorok pontonkénti konvergenciájára vonatkozó kritériuma. Az újabb tételek: a jól ismert DirichletJordantételnek Bojani által kidolgozott kvantitatív változata [2], valamint ennek Telyakovskii [18] általi továbbfejlesztése. A disszertáció további részében ezen tételeket általánosítjuk kétváltozós függvényekre, illetve vizsgáljuk az általánosított Dini- és Pringsheim-kritériumok alkalmazhatóságát multiplikatív Lipschitz-/Zygmund-osztályokbeli függvényekre. 1. Ismert tételek egyváltozós függvényekre Dini konvergencia-kritériuma Komplex érték, 2π szerint periodikus f L 1 (T) függvényeket tekintünk, ahol T := [ π, π) az egydimenziós tórusz. Az (1) f(x) k Z ˆf(k)e ikx Fourier-sor pontonkénti konvergenciáját vizsgáljuk, ahol ˆf(k) := 1 f(u)e iku du, k Z 2π T az f függvény Fourier-együtthatói. Ezen együtthatóknak egy egyszer tulajdonságát a RiemannLebesgue-lemma biztosítja (lásd pl. [19, ol. I, p. 48]): ˆf(k) 0, ha k. Az (1)-ben szerepl sor nemszimmetrikus részletösszegeit az S m,n (f; x) := n k=m ˆf(k)e ikx, m, n Z, m n összeggel deniáljuk. Az m = n speciális esetben szimmetrikus részletösszegr l beszélünk, és a rövidebb S n (f; x) (n N) jelölést használjuk. Dini konvergencia-kritériuma a következ képpen fogalmazható meg. 1

4 1.1. Tétel. Legyen f L 1 (T). (i) Ha valamely x 0 T-re (2) akkor S n (f; x 0 ) f(x 0 ), ha n. (ii) Ha valamely x 0 T-re f(x 0 u) + f(x 0 + u) 2f(x 0 ) u L 1 (T), (3) f(x 0 + u) f(x 0 ) u akkor S m,n (f; x 0 ) f(x 0 ), ha m és n. L 1 (T), Az (i) állítás bizonyítása jól ismert (lásd pl. [19, ol. I, p. 52] abban az esetben, amikor x 0 := 0). Ez a RiemannLebesgue-lemmán és a következ el állításon alapul: S n (f; x 0 ) f(x 0 ) = 1 [f(x 0 u) + f(x 0 + u) 2f(x 0 )]D n (u) du, 2π T ahol D n (u) a Dirichlet-magfüggvény. A (ii) állítás bizonyítása kevésbé ismert (lásd pl. [3]-at). A (3) feltétel nyilvánvalóan teljesül minden x 0 T-re, ha f valamely α > 0 esetén a periodikus Lip(α) Lipschitz-osztály eleme. Hasonlóképpen, a (2) feltétel is teljesül minden x 0 T-re, ha f a periodikus Zyg(α) Zygmund-osztály eleme valamely α > 0-ra. Pringsheim konvergencia-kritériuma (4) Az (1)-ben szerepl Fourier-sor konjugált sorát, vagy röviden: a konjugált sort, a ikx ( i sign k) ˆf(k)e k Z képlettel deniáljuk, amelynek nemszimmetrikus, valamint szimmetrikus részletösszegeit S m,n (f; x)-szel, illetve S n (f; x)-szel jelöljük. Emlékeztetünk, hogy az f függvény konjugált függvényét, vagy röviden: az f konjugált függvényt, Cauchy f érték integrálként deniáljuk: f(x) := (P..) 1 π { f(x u) f(x + u) 1 π 2 tan 1u du = lim ε 0+0 π 2 0 Jól ismert, hogy az f(x) függvény majdnem minden x T pontban létezik, valahányszor f L 1 (T), de általában f / L 1 (T). A következ tétel (i) állítása mint Pringsheim konvergencia-kritériuma ismert (lásd pl. [19, ol. I, p. 52]). π ε }. 2

5 1.2. Tétel. Legyen f L 1 (T). (5) (i) Ha valamely x 0 T-re f(x 0 + u) f(x 0 u) u L 1 (T), akkor f(x 0 ) létezik mint Lebesgue-integrál, és S n (f; x 0 ) f(x 0 ), ha n. (6) (ii) Ha valamely x 0 T-re f(x 0 + u) f(x 0 ) u akkor S m,n (f; x 0 ) f(x 0 ), ha m és n. L 1 (T), Az (i) állítás bizonyítása a RiemannLebesgue-lemmán és az S n (f; x) = 1 f(x u) π D n (u) du = 1 [f(x u) f(x + u)] 2π D n (u) du T el állításon alapul, ahol Dn (u) a konjugált Dirichlet-magfüggvény. A kevésbé ismert (ii) állítás bizonyítása megtalálható Cherno cikkében [3]. Az (5) és a (6) feltételek nyilvánvalóan teljesülnek minden x 0 T pontban, ha f a Lip(α) periodikus Lipschitz-osztály eleme valamely α > 0 esetén. T Bojani és Telyakovskii tételei A jólismert DirichletJordan-tétel szerint a korlátos változású, periodikus f függvény Fourier-sora minden x pontban az 1 [f(x 0) + f(x + 0)] értékhez konvergál, azaz 2 lim S n(f, x) = 1 [f(x 0) + f(x + 0)]. n 2 Ezen konvergencia sebességére Bojani [2] a következ becslést adta abban az esetben, ha feltesszük, hogy f(x) = 1 [f(x 0) + f(x + 0)] Tétel. Ha a 2π szerint periodikus f függvény korlátos változású a [ π, π] intervallumon, akkor minden x és n = 1, 2,... esetén igaz a következ becslés: (7) S n (f, x) f(x) 3 n ϕ x, 0, π ]), n k ahol ϕ x (u) := f(x + u) + f(x u) 2f(x), u [0, π]. Megjegyezzük, hogy a ϕ x (t) függvény is korlátos változású és folytonos a t = 0 pontban, ezért a (ϕ x, [0, t]) változásfüggvény szintén folytonos t = 0-ban, következésképp ϕ x, 0, π ]) 0, k. k Ebb l pedig következik, hogy a (7) egyenl tlenség jobb oldalán álló kifejezés nullához konvergál, miközben n, azaz az 1.3. Tétel a DirichletJordan-tétel élesítése. Az 1.3. Tétel eredményét Telyakovskii [18] fejlesztette tovább a következ képpen. 3

6 1.4. Tétel. Legyen m 1 = 1 < m 2 < < m p <... a természetes számok olyan sorozata, amely kielégíti a (8) p=p 0 1 m p A m p0, p 0 = 1, 2,... feltételt, ahol A > 1 állandó. Ha az f függvény korlátos változású, akkor minden µ és x esetén érvényes a következ becslés: f(x) S µ (f, x) = k =µ+1 m p0 1 k =µ+1 CA µ+1 µ + 1 ˆf(k)e ikx ˆf(k)e ikx + p=p 0 ϕ x, 0, π ]), k m p+1 1 k=m p ikx ˆf(k)e ahol m p0 1 µ < m p0 és A a (8) feltételbeli konstans. Telyakovskii bizonyításának sémája alapján, ha felhasználjuk az alábbi 1.5. Lemmát (lásd [12, 1-2. Lemma]), a tételben szerepl egyenl tlenség kicserélhet egy er sebbre: M m max ˆf(k)e ikx (π + 4)A p0 ϕ m pmm<m p+1 x, 0, π ]). πm p0 k p=p 0 k=m Az állításnak ezt az alakját terjesztjük ki kétváltozós függvényekre Lemma. Ha a természetes számok m 1 = 1 < m 2 <... < m p <... sorozata kielégíti a (8) feltételt, akkor igazak a következ becslések: M sin ku max m pmm<m p+1 k πa, ha 0 < u π, m p=p p0 u 0 k=m M sin ku max (π + 2)A, ha u R. m pmm<m p+1 k p=1 k=m 2. Új eredmények kétváltozós függvényekre Dini konvergencia-kritériumának kétváltozós kiterjesztése A komplex érték, mindkét változójában 2π szerint periodikus f L 1 (T 2 ) függvény kett s Fourier-sorát a következ képpen értelmezzük: (9) f(x, y) k Z l Z 4 ˆf(k, l)e i(kx+ly),

7 ahol ˆf(k, l) az f függvény Fourier-együtthatói: ˆf(k, l) := 1 f(u, v)e i(ku+lv) du dv, (k, l) Z 2. 4π 2 T 2 A RiemannLebesgue-lemma (lásd pl. [19, ol. II, p. 301]) alapján, ha f L 1 (T 2 ), akkor ˆf(k, l) 0, ha max { k, l }. Ez a tény alapvet fontosságú tételeink bizonyítása során. A (9)-ben szerepl sor nemszimmetrikus téglányösszegeit így deniáljuk: S m1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y) := n 1 k=m 1 n 2 l=m 2 ˆf(k, l)e i(kx+ly), m j, n j Z, m j n j, j = 1, 2. Az m j = n j speciális esetben a rövidebb S n1,n 2 (f; x, y) := S n1,n 1 ; n 2,n 2 (f; x, y), n 1, n 2 N jelölést használjuk, és szimmetrikus téglányösszegr l beszélünk. Els tételünkben [10, 1. Tétel] elegend feltételt adunk a (9)-beli Fourier-sor szimmetrikus téglányösszegeinek adott (x 0, y 0 ) T 2 pontbeli konvergenciájára. Ez a konvergencia az f(x, y 0 ), x T, és f(x 0, y), y T (x := x 0 és y := y 0 rögzített), úgynevezett marginális függvények egyváltozós Fourier-sora konvergenciájának viselkedését l is függ. Ezekre az egyváltozós Fourier-sorokra a következ jelöléseket használjuk: (10) f(x, y 0 ) k Z f(, y 0 ) (k)e ikx, ahol és analóg módon f(, y 0 ) (k) := 1 f(u, y 0 )e iku du, k Z; 2π T (11) f(x 0, y) l Z ahol f(x 0, ) (l)e ily, f(x 0, ) (l) := 1 f(x 0, v)e ilv dv, l Z. 2π T 2.1. Tétel. Legyen f L 1 (T 2 ), A, A 1, A 2 C, és valamely (x 0, y 0 ) T 2 -re u 1 v 1 2,2 (f; x 0, y 0 ; u, v; A 1 + A 2 A) L 1 (T 2 ). Ha a (10)-ben és a (11)-ban szerepl egyváltozós Fourier-sorok szimmetrikus részletösszegei A 1 -hez és A 2 -höz kovergálnak az x := x 0, illetve az y := y 0 pontokban, akkor (12) S n1,n 2 (f; x 0, y 0 ) A, ha n j, j = 1, 2. Fordítva, ha (12) teljesül, és ha a (10)-ben és a (11)-ban szerepl Fourier-sorok egyikének szimmetrikus részletösszegei konvergensek, akkor a másik Fourier-sor szimmetrikus részletösszegei is konvergensek. 5

8 Az 1.1. Tételbeli (i) állítást a 2.1. Tétellel kombinálva abban a speciális esetben, amikor A = A 1 = A 2 := f(x 0, y 0 ), kapjuk az alábbi következményt [10, 1. Korollárium] Korollárium. Legyen f L 1 (T 2 ), f(, y 0 ) L 1 (T) és f(x 0, ) L 1 (T) valamely (x 0, y 0 ) T 2 -re. Ha (13) u 1 v 1 2,2 (f; x 0, y 0 ; u, v) L 1 (T 2 ), u 1 [f(x 0 u, y 0 ) + f(x 0 + u, y 0 ) 2f(x 0, y 0 )] L 1 (T), és v 1 [f(x 0, y 0 v) + f(x 0, y 0 + v) 2f(x 0, y 0 )] L 1 (T), akkor S n1,n 2 (f; x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ), ha n j (j = 1, 2). Második tételünkben [10, 2. Tétel] a (9)-beli Fourier-sor nemszimmetrikus téglányösszegeinek adott pontbeli konvergenciájára adunk elégséges feltételt Tétel. Legyen f L 1 (T 2 ) és valamely (x 0, y 0 ) T 2 -re (14) u 1 v 1 1,1 (f; x 0, y 0 ; u, v) L 1 (T 2 ). Ha a (10)-beli és a (11)-beli egyváltozós Fourier-sorok nemszimmetrikus részletösszegei f(x 0, y 0 )-hoz konvergálnak, akkor (15) S m1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ), ha m j és n j, j = 1, 2. Fordítva, ha (15) teljesül, és ha a (10)-beli és a (11)-beli Fourier-sorok egyikének nemszimmetrikus részletösszegei f(x 0, y 0 )-hoz konvergálnak, akkor a másik Fourier-sor nemszimmetrikus részletösszegei is ehhez konvergálnak. Ha az 1.1. Tétel (ii) állítását kombináljuk a 2.2. Tétellel, akkor az alábbi következményhez [10, 2. Korollárium] jutunk Korollárium. Legyen f L 1 (T 2 ), f(, y 0 ) L 1 (T) és f(x 0, ) L 1 (T) valamely (x 0, y 0 ) T 2 -re. Ha a (14) feltétel, valamint az alábbi két kiegészít feltétel fennáll: u 1 [f(u, y 0 ) f(x 0, y 0 )] L 1 (T) és v 1 [f(x 0, v) f(x 0, y 0 )] L 1 (T), akkor (15) is teljesül. Nyilvánvaló, hogy ha f L 1 (T 2 ) Zyg(α, β) valamely α, β > 0 esetén, akkor a (13) feltétel teljesül minden (x 0, y 0 ) pontban. Hasonlóan, ha f L 1 (T 2 ) Lip(α, β) valamely α, β > 0 esetén, akkor a (14) feltétel minden (x 0, y 0 ) pontban teljesül. 6

9 Pringsheim konvergencia-kritériumának kétváltozós kiterjesztése Az egyváltozós (4) konjugált sor általánosításaként a (9)-beli kett s sorból többféle módon is képezhetünk konjugált sort. Az els változóra vonatkozó konjugált sort a (16) ( i sign k) ˆf(k, l)e i(kx+ly) k Z l Z kett s összeggel deniáljuk, a második változóra vonatkozó konjugált sor alakja: (17) ( i sign l) ˆf(k, l)e i(kx+ly), k Z l Z végül a mindkét változó szerinti konjugált sor a következ : (18) ( i sign k)( i sign l) ˆf(k, l)e i(kx+ly). k Z l Z A (16)(18) konjugált sorok nemszimmetrikus téglányösszegeire rendre az S (1,0) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y), S(0,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y) és S(1,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x, y) jelöléseket használjuk, ugyanezen sorok szimmetrikus téglányösszegekre pedig az egyszer bb S n 1,n 2 (f; x, y), S n 1,n 2 (f; x, y) és S n 1,n 2 (f; x, y) jelöléseket (1,0) (0,1) (1,1) alkalmazzuk. A kett s konjugált sorok konvergenciájánál a (10) és a (11) Fourier-sorok konjugált sorai szintén fontos szerepet játszanak: (19) (20) ( i sign k)f(, y 0 ) (k)e ikx, k Z ( i sign l)f(x 0, ) (l)e ily. l Z Következ tételünkben [11, 1. Tétel] a (16) konjugált sor szimmetrikus téglányösszegeinek konvergenciájára adunk szükséges és elegend feltételt Tétel. Legyen f L 1 (T 2 ). Ha valamely (x 0, y 0 ) T 2 -re (21) u 1 v 1 1,2 (f; x 0, y 0 ; u, v) L 1 (T 2 ), akkor az S (1,0) n 1,n 2 (f; x 0, y 0 ) szimmetrikus téglányösszegeknek akkor és csak akkor létezik határértéke n j (j = 1, 2) esetén, ha a (19) konjugált sor szimmetrikus részletösszegei konvergensek az x := x 0 pontban. Ebben az esetben a két határérték megegyezik. A 2.3. Tételnek a (17) konjugált sorra vonatkozó szimmetrikus megfelel je a következ képpen hangzik [11, 2. Tétel]. 7

10 2.4. Tétel. Legyen f L 1 (T 2 ). Ha valamely (x 0, y 0 ) T 2 -re (22) u 1 v 1 2,1 (f; x 0, y 0 ; u, v) L 1 (T 2 ), akkor az S (0,1) n 1,n 2 (f; x 0, y 0 ) szimmetrikus téglányösszegeknek akkor és csak akkor létezik határértéke n j (j = 1, 2) esetén, ha a (20) konjugált sor szimmetrikus részletösszegei kovergensek az y := y 0 pontban. Ebben az esetben a két határérték megegyezik. Er sebb feltételt megadva, a (16)(18) konjugált sorok nemszimmetrikus téglányösszegeinek konvergenciájára is következtethetünk [11, 3. Tétel] Tétel. Legyen f L 1 (T 2 ), és tegyük fel, hogy valamely (x 0, y 0 ) T 2 -re (23) u 1 v 1 1,1 (f; x 0, y 0 ; u, v) L 1 (T 2 ). (i) Az S (1,0) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x 0, y 0 ) nemszimmetrikus téglányösszegeknek akkor és csak akkor létezik határértéke m j és n j (j = 1, 2) esetén, ha a (19) konjugált sor nemszimmetrikus részletösszegei konvergensek az x := x 0 pontban. Ebben az esetben a két határérték megegyezik. (0,1) (ii) Az S m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x 0, y 0 ) nemszimmetrikus téglányösszegeknek akkor és csak akkor létezik határértéke m j és n j (j = 1, 2) esetén, ha a (20) konjugált sor nemszimmetrikus részletösszegei konvergensek az y := y 0 pontban. Ebben az esetben a két határérték megegyezik. (1,1) (iii) Az S m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x 0, y 0 ) nemszimmetrikus téglányösszegeknek létezik határértéke m j és n j (j = 1, 2) esetén. Megjegyezzük, hogy a 2.3. Tételben szerpel (21) feltétel biztosan teljesül minden (x 0, y 0 ) T 2 pontban, ha f LZ(α, β) valamely α, β > 0-ra; a 2.4. Tételben lév (22) feltétel teljesül minden (x 0, y 0 ) T 2 pontban, ha f ZL(α, β) valamely α, β > 0-ra; és a 2.5. Tételben szerepl (23) feltétel teljesül, ha f Lip(α, β) valamely α, β > 0-ra. Ha a fenti Tételeket kombináljuk az egyváltozós függvényekre érvényes az 1.2. Tétellel, akkor a következ korolláriumokat [11, 1-3. Korollárium] kapjuk Korollárium. Tegyük fel, hogy f L 1 (T 2 ) és a (21) feltétel valamely (x 0, y 0 ) T 2 - re teljesül. Ha f(, y 0 ) L 1 (T) és u 1 [f(x 0 + u, y 0 ) f(x 0 u, y 0 )] L 1 (T), akkor S (1,0) n 1,n 2 (f; x 0, y 0 ) f(, y 0 ) (x 0 ), ha n j (j = 1, 2). 8

11 2.4. Korollárium. Tegyük fel, hogy f L 1 (T 2 ) és a (22) feltétel valamely (x 0, y 0 ) T 2 - re teljesül. Ha f(x 0, ) L 1 (T) és v 1 [f(x 0, y 0 + v) f(x 0, y 0 v)] L 1 (T), akkor S (0,1) n 1,n 2 (f; x 0, y 0 ) f(x 0, ) (y 0 ), ha n j (j = 1, 2) Korollárium. Tegyük fel, hogy f L 1 (T 2 ) és a (23) feltétel valamely (x 0, y 0 ) T 2 - re teljesül. (i) Ha f(, y 0 ) L 1 (T) és u 1 [f(x 0 + u, y 0 ) f(x 0, y 0 )] L 1 (T), akkor S (1,0) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x 0, y 0 ) f(, y 0 ) (x 0 ), ha m j és n j (j = 1, 2). (ii) Ha f(x 0, ) L 1 (T) és v 1 [f(x 0, y 0 + v) f(x 0, y 0 )] L 1 (T), akkor S (0,1) m 1,n 1 ;m 2,n 2 (f; x 0, y 0 ) f(x 0, ) (y 0 ), ha m j és n j (j = 1, 2). Telyakovskii tételének kétváltozós kiterjesztése Telyakovskii tételének kiterjesztésekor az alábbi tételt [12, 3. Tétel] kapjuk Tétel. Legyenek m 1 = 1 < m 2 < < m p <... és n 1 = 1 < n 2 < < n q <... a természetes számoknak olyan sorozatai, amelyek kielégítik a következ két feltételt: (24) 1 A, m p=p p m p0 0 p 0 = 1, 2,..., (25) 1 B, n q=q q n q0 0 q 0 = 1, 2,..., ahol A, B > 1 állandók. Ha az f függvény korlátos változású HardyKrause értelemben (lásd [4]), akkor minden p 0, q 0 esetén és minden (x, y) pontban igazak a következ becslések: M N (26) max max m pmm<m p+1 n qnn<n q+1 ˆf(k, l)e i(kx+ly) (27) p=p 0 q=q 0 (π + 4)2 AB m p0 n q0 m p0 n q0 l=1 max k =m l =n ϕ xy, 0, π ] [ 0, π ]), k l M n q0 1 m pmm<m p+1 p=p 0 k =m l =0 (π + 4)A m p0 + (π + 4)2 AB m p0 n q0 m p0 m p0 n q0 ˆf(k, l)e i(kx+ly) ϕ x (f(, y)), 0, π ]) + k l=1 9 ϕ xy, 0, π ] [ 0, π ]) k l

12 és (28) max n qnn<n q+1 q=q 0 (π + 4)B n q0 + (π + 4)2 AB m p0 n q0 n q0 m p0 1 k =0 l=1 m p0 n q0 N l =n ˆf(k, l)e i(kx+ly) ϕ y (f(x, )), 0, π ]) + l l=1 ϕ xy, 0, π ] [ 0, π ]), k l ahol A és B a (24) és a (25) becslésekbeli konstansok, valamint ϕ xy (u, v) := f(x + u, y + v) + f(x u, y + v) + +f(x + u, y v + f(x u, y v) 4f(x, y), (u, v) [0, π] [0, π]. A 2.6. Tételb l közvetlenül adódik a következ állítás [12, Következmény] Korollárium. Ha a mindkét változója szerint 2π-periodikus f(x, y) függvény korlátos változású a [ π, π] [ π, π] téglalapon és (29) f(x, y) = 1 [f(x 0, y 0) f(x 0, y + 0) f(x + 0, y 0) + f(x + 0, y + 0)], 4 akkor minden m, n 0 esetén S m,n (f; x, y) f(x, y) C m+1 1A m C 2B n+1 n + 1 l=1 C 3 AB + (m + 1)(n + 1) ϕ x (f(, y)), 0, π ]) + k ϕ y (f(x, )), 0, π ]) + l m+1 n+1 l=1 ϕ xy, 0, π ] [ 0, π ]). k l Nyilvánvaló, hogy a 2.6. Tétel er sebb, mint ez a korollárium. Megjegyezzük, hogy Móricz [13, 3. Tétel] más módszerek felhasználásával szintén bizonyította a korolláriumban szerepl egyenl tlenséget, a konstansokat is megadva. Megjegyezzük, hogy a 2.6. Korollárium tulajdonképpen Bojani tételének (1.3. Tétel) kiterjesztése kétváltozós, HardyKrause értelemben korlátos változású függvényekre. égül utalunk arra, hogy Hardy tétele [8], amely a DirichletJordan-tételnek (lásd pl. [19, ol. I, p. 57]) a kiterjesztése kétváltozós, HardyKrause értelemben korlátos változású függvényekre, megkapható a fenti következményb l Tétel (Hardy). Ha a mindkét változójában 2π szerint periodikus f(x, y) függvény korlátos változású a [ π, π] [ π, π] téglalapon és kielégíti a (29) feltételt, akkor Fouriersora minden (x, y) pontban az f(x, y) értékhez konvergál. 10

13 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani Dr. Móricz Ferenc professzornak, témavezet mnek önzetlen segítségéért, folyamatos támogatásáért és hasznos tanácsaiért, melyekkel jelen értekezés megírását, illetve korábbi kutatómunkámat segítette. alamint szeretném köszönetemet kifejezi S.A. Telyakovskii professzornak, a moszkvai Sztyeklov Matematikai Intézet munkatársának, aki moszkvai részképzésem alatt segítette és írányította munkámat. Hivatkozások [1] C. R. Adams and J. A. Clarkson, Properties of functions f(x, y) of bounded variation, Trans. Amer. Math. Soc., 36 (1934), [2] R. Bojani, An estimate of the rate of convergence for Fourier series of functions of bounded variation, Publ. Inst. Math. (Beograd), 26 (40) (1979), [3] P. R. Chernoff, Pointwise convergence of Fourier series. Amer. Math. Monthly, 87 (1980), [4] J. A. Clarkson and C. R. Adams, On denitions of bounded variation for functions of two variables, Trans. Amer. Math. Soc., 35 (1933), [5] M. Fréchet, Extension au cas des intégrals multiples d'une dénition de l'intégrale due à Stieltjes, Nouvelles Annales Math., 10 (1910), [6]. Fülöp, Double cosine series with nonnegative coecients, Acta Sci. Math. (Szeged), 70 (2004), [7]. Fülöp, Double sine series with nonnegative coecients and Lipschitz classes, Colloq. math., 105 (2006), [8] G. H. Hardy, On double Fourier series, Quart. J. Math., 37 (1906), [9] E. W. Hobson, The Theory of Funcitons of a Real ariable and the Theory of Fourier's Series, 3rd ed. ol. I, Cambridge Univ. Press (LondonNew York, 1927). [10] Á. Jenei and F. Móricz, Extension of the Dini test to double Fourier series, Acta Sci. Math. (Szeged), 72 (2006), [11] Á. Jenei and F. Móricz, Pointwise convergence of series conjugate to double Fourier series, Acta Sci. Math. (Szeged), 72 (2006),

14 [12] À. Éåíåè, Î ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Ôóðüå äâóìåðíûõ ôóíêöèé îãðàíè- åííîé âàðèàöèè, Anal. Math., 35 (2009), megjelen es alatt. [13] F. Móricz, A quantitative version of the DirichletJordan test for double Fourier series, J. Approx. Theory, 71 (1992), [14] F. Móricz, Order of magnitude of double Fourier coecients of functions of bounded variation, Analysis, 22 (2002), [15] F. Móricz and W. R. Wade, An analogue of a theorem of Ferenc Lukács for double WalshFourier series, Acta Math. Hungar., 95 (4) (2002), [16] Ñ.À. Òåëÿêîâñêèé, Î àñòíûõ ñóììàõ ðÿäîâ Ôóðüå ôóíêöèé îãðàíè åííîé âàðèàöèè, Òð. ÌÈÀÍ, 219 (1997), [17] Ñ.À. Òåëÿêîâñêèé, Î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Ôóðüå ôóíêöèé îãðàíè åííîé âàðèàöèè, Òð. ÌÈÀÍ, 232 (2001), [18] Ñ.À. Òåëÿêîâñêèé, Î ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Ôóðüå ôóíêöèé îãðàíè åííîé âàðèàöèè, Ìàòåì. çàìåòêè, 72 (2002), [19] A. Zygmund, Trigonometric Series, ol. I-II, Cambridge Univ. Press, U.K., (1959). 12

15 Nyilatkozat Alulírott, Dr. Móricz Ferenc professzor emeritus nyilatkozom arról, hogy az Extension of the Dini test to double Fourier series cím cikk Jenei Árpáddal közös munkánk, melyben a jelölt saját munkája hozzávet legesen 50%. Továbbá nyilatkozom arról is, hogy a Pointwise convergence of series conjugate to double Fourier series cím cikk Jenei Árpáddal közös munkánk, melyben a jelölt munkája hozzávet legesen 50%. Szeged, január 30. Dr. Móricz Ferenc professzor emeritus Nyilatkozat Alulírott, Dr. Móricz Ferenc professzor emeritus nyilatkozom arról, hogy az Extension of the Dini test to double Fourier series és a Pointwise convergence of series conjugate to double Fourier series cím cikkeket sem eddig, sem ezután nem használom fel doktori fokozat megszerzésére. Szeged, január 30. Dr. Móricz Ferenc professzor emeritus