59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak, rövide sorozatokak evezzük. a a sorozat -edik eleme vagy tagja), amelyet szokás a sorozat általáos eleméek is evezi. Magát a sorozatot {a }-el jelöljük.... Sorozatok megadása A sorozatokak végtele sok eleme va és ezeket külöféle módo adhatjuk meg. I. A sorozatot megadhatjuk az általáos elem képletével, vagyis az változó függvéyekét felírt képlettel, formulával... Példa. a) Ha a az általáos elem, akkor a sorozat elemei,,, 4, 5,... és ez a természetes számok sorozata. b) Ameyibe a az általáos elem képlete, akkor a sorozat elemei, 4, 8, 6,,... és most a hatváyaiak sorozatát kapjuk. c) a eseté a sorozat elemei,,, 4,,... és ez a harmoikus sorozat, mely evét 5 arról kapta, hogy a második elemtől kezdve a sorozat mide eleme a két szomszédos elem harmoikus közepe, vagyis érvéyes, hogy a a + a + ),. II. A sorozatot megadhatjuk rekurzív módo. Ez azt jeleti, hogy éháy elemet megaduk, a további elemeket pedig az előttük lévők segítségével defiiáljuk... Példa. a) Legye a és a a, ha. Ekkor a a, a a 4, a 4 a 8, a 5 a 6, és így tovább. A sorozat elemei,, 4, 8, 6,.... b) Legye a 0 és a a +, ha. Ekkor a a +, a a +, a 4 a + 7, a 5 a 4 + 5, és így tovább. A sorozat elemei 0,,, 7, 5,.... c) Legye a 0, a és a a + a, ha. Ekkor a a + a, a 4 a + a, a 5 a 4 + a 5, és így tovább. A sorozat elemei ebbe az esetbe 0,,,, 5,....
60. SZÁMSOROZATOK Ilye módo kiszámítható a sorozat bármelyik eleme, de ahhoz, hogy meghatározzuk a rekurzív módo megadott sorozat 000. elemét, ki kell számítai mid a 999 előző elemet is. Bizoyos esetekbe a rekurzív képletekkel megadott sorozatok általáos eleme is meghatározható, de erről az eljárásról a későbbiekbe lesz szó. III. Számsorozatot megadhatuk utasítással, leírással is... Példa. a) Legye {a } a prímszámok sorozata, azaz,, 5, 7,,, 7,... és így tovább. Nem létezik sem explicit, sem rekurzív formula, amely megadá az. prímszámot, de a sorozat ezzel az utasítással mégis egyértelműe meghatározott. b) Legye {a } az a sorozatot, amelyek elemei sorba a végtele tizedestört alakú felírásáak egy-, két-, háromszámjegyű, stb. racioális közelítései. A sorozat elemei,.4,.4,.44,.44,.... Ha az ezredik számjegyet kérdezék, tudjuk, hogy az egyértelműe meg va határozva, de megadása sok mukát igéyele. Megjegyzés: A számsorozatokat szokás megadi az első éháy elem felsorolásával is, de ez a defiiálás em midig egyértelmű, ezért ha lehet kerüljük ezt a megadási módot..4. Példa. Tekitsük az, 6, 8, 56,... számsorozatot, amelyet az első égy elem segítségével írtuk fel. A felsorolt elemek alapjá a sorozat általáos eleme egyrészt lehete a 4, de ugyaakkor b 0 5 + 50 4 is. A megfelelő sorozatok ötödik, hatodik elemei viszot már em egyezek meg.... Sorozatok ábrázolása 4 5 6 a 6 8 56 65 96 b 6 8 56 60 76 Az {a } sorozatot ábrázolhatjuk a számegyeese a sorozat elemeihez redelt potokkal: a, a, a,..., vagy mit olya függvéyt a valós számsíkba, melyek értelmezési tartomáyát a természetes számok alkotják, grafikoja pedig az, a ),, a ),, a ),... diszkrét potok halmaza. a 5 0 4 5 a 4.5. Példa. Az a számsorozat számegyeese való ábrázolása és síkba való ábrázolása is jó képet ad a számsorozatak megfelelő potok elhelyezkedéséről. 4 5
.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 6 a 0 5 a 5.6. Példa. Az a 0, a kezdeti elemekkel és az a a + a rekurzív képlettel megadott számsorozat esetébe a a, és ez a számegyeese azt jeleti, hogy az -be két pot va egymás tetejé, de ezt em tudjuk érzékeli. A számsíko való ábrázolás kiküszöböli ezt a problémát, hisze ott két külöböző potkét jeleik meg, a ) és, a ). 4 5 0 a a.7. Példa. Az a, a 0 kezdeti elemekkel és az a a a rekurzív formulával megadott számsorozat esetébe sem derül ki a számegyeese, hogy a a 4, hacsak em írjuk oda mide pothoz, hogy a számsorozat melyik eleméek felel meg. A számegyeese való ábrázolás azt sem teszi lehetővé, hogy képet kapjuk arról, hogy melyik pot felel meg az első elemek, melyik a másodikak, és így tovább. Mit látjuk, a síkba való ábrázolás megoldja ezeket a problémákat. 4 5 FELADATOK. Határozzuk meg az {a } sorozat első k elemét.. a, k 8 a, a 0, a 6, a 4 4 4 4, a 5 5 5 0, a 6 6 6, a 7 7 7 5 4, a 8 8 8 8,...
6. SZÁMSOROZATOK. a 5 +, k 6 a 5 +, a 5 + 5, a 5 +, a 4 4 5 4 +, a 5 5 5 5 + 7, a 6 6 5 6 + 7,.... a + ) +, k 6 a + ) 5, a + ), a + ) 4, a 4 + ) 5 4 5 4, a 5 + ) 6 5 5, a 6 + ) 7 6,... 4. a + ), k 4! a + ) 0 0!, a + )! a + )! 5. a cos + ) π, k 8, a 4 + ) 4!, 9 8,... a cos π, a cos π 0, a cos π, a 4 cos 5π 0, a 5 cos π, a 6 cos 7π 0, a 7 cos 4π, a 8 cos 9π 0,... 6. a si π, k 8 a si π, a si π 0, a si π, a 4 si π 0, a 5 si 5π, a 6 si π 0, a 7 si 7π, a 8 si 4π 0,... {, páratla; 7. a, páros., k 8 a, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8 4,...
.. Korlátos és mooto sorozatok 6 8. a { + l e, páratla; e l, páros., k 8 a, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7 4, a 8 4,... 9. a + + + +, k 4 a, a +, a + + 6, a 4 + + + 4 5,... 0. a + + + +, k a + + 4, a + + + 4 + 4 4, a + + + 4 + 5 + 6 + 0,.... a, a + 5 4a, k 5 a, a, a, a 4, a 5,.... a 4, a + a + 5, k 5 6 a 4, a 7, a 8, a 4 8 8, a 5 5400 768,.... a 0, a + a + ), k 5 a 0, a, a, a 4 8, a 5 7 6,... 4. a, a, a + a + + 5a, k 5 a, a, a, a 4 7, a 5 9,... 5. a, a, a + ) a+ + a, k 5 a, a, a, a 4 4, a 5 5 8,..... Korlátos és mooto sorozatok Mivel a sorozatok is függvéyek, ezért természetes, hogy vizsgáljuk a függvéyekre jellemző tulajdoságokat. Két ilye fotos tulajdoság a korlátosság és mootoitás... Defiíció. Az {a } sorozatot felülről alulról) korlátosak evezzük, ha megadható olya K k) szám, amelyél a sorozatak ics agyobb kisebb) eleme, azaz a K,,,... a k,,,...). A sorozatot korlátosak modjuk, ha felülről és alulról is korlátos, azaz ha mide -re k a K. Az ilye k számot alsó korlátak, a K számot pedig felső korlátak evezzük.
64. SZÁMSOROZATOK A defiícióból következik, hogy ha létezik egy felső alsó) korlát, akkor végtele sok felső alsó) korlát is va. A valós számok teljességi axiómájából következik, hogy a felső korlátok között va legkisebb és az alsó korlátok között va legagyobb... Defiíció. Felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját a sorozat felső határáak vagy szuprémumáak; alulról korlátos sorozat legagyobb alsó korlátját a sorozat alsó határáak vagy ifimumáak evezzük. Jelölésük: sup{a }, illetve if{a }. A fetiek szerit felülről alulról) korlátos sorozatak va felső alsó) határa. Korlátos sorozatak va felső és alsó határa is. A sorozat felső alsó) határa em feltétleül eleme a sorozatak. a.8. Példa. Az a sorozat alulról korlátos, mert, így egy alsó korlátja k. Felülről em korlátos a sorozat, mert bármely K számot is vesszük, va a sorozatak olya eleme, mely K-ál agyobb, ugyais a > K, ha > K +. A grafiko szempotjából ez azt jeleti, hogy a számsorozat potjai vagy az y egyeese vaak vagy pedig az y egyees felett. 4 5 y a.9. Példa. Az a ) + sorozat korlátos, mert a + ) a 5 4 y + + +, tehát a mide -re, vagyis a sorozat egy alsó korlátja k, egy felső korlátja pedig K. A számsorozat potjai az y és az y egyeesek között helyezkedek el, legfeljebb maguko az egyeeseke vaak rajta. 6 5 4 4 5 a ) + y.0. Példa. Az a ) sorozat sem alulról, sem felülről em korlátos, mert a > K, ha > K. Ez egy oszcillálló sorozat, amelyél övekedésével a megfelelő a értékek abszolút értékbe mid agyobbak és agyobbak, s így a ekik megfelelő potok mid távolabb és távolabb vaak az x-tegelytől.
.. Korlátos és mooto sorozatok 65 a 4 4 5 5 a ).4. Defiíció. Az {a } sorozat szigorúa mooto övekvő csökkeő), ha a < a + a > a + ) mide N eseté. Az {a } sorozat mooto emcsökkeő emövekvő), ha a a + a a + ) mide N eseté. Eze tulajdoságok valamelyikével redelkező sorozatot mooto sorozatak evezzük... Példa. Az a a a + sorozat szigorúa mooto övekvő, mivel + + ) azaz a < a + mide természetes szám eseté. ) + ) + ) + ) < 0,
66. SZÁMSOROZATOK Az a sorozat első éháy eleme 0.5 a 0,,, 4, 4 5,.... 4 5 a.. Példa. Az a pozitív elemű) sorozat szigorúa mooto csökkeő, mivel a a + + + azaz a > a + mide természetes szám eseté. + >, a Az a sorozat első éháy eleme,,, 4, 0.5 5,.... 4 5 a.. Példa. Az a ) sorozat em mooto sorozat, hisze az a a + ) ) + ) + ) ) kifejezés em álladó előjelű. Mivel a sorozat elemei váltakozva egatívak és pozitívak, ezért azt modjuk rá, hogy oszcilláló, első éháy eleme pedig,,,,,.... a 4 5 a ) Vegyük észre, hogy ha az a ) számsorozatot számegyeese ábrázoltuk vola, akkor csak két pot lee a grafikoo, a -él és az -él. Midkettő esetébe viszot végtele sok pot lee egymás tetejé, csak az egyeese ezt em lehet érzékelteti.
.. Korlátos és mooto sorozatok 67 FELADATOK. Vizsgáljuk ki a következő sorozatok mootoitását és korlátosságát.. a + Vizsgáljuk ki a sorozat mootoitását. E célból két szomszédos elem külöbségéek előjelét kell meghatározi. a + a + + + ) + + ) + ) < 0. Mivel a + a < 0 mide N eseté, ezért a + < a érvéyes mide N eseté, vagyis a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Mivel a sorozat szigorúa mooto csökkeő, ezért az első elem a egybe a sorozat legkisebb felső korlátja is, azaz K eseté a K mide N eseté. Mivel > 0 mide N eseté, ezért a + > mide N eseté, ezért a sorozat egy alsó korlátja lehet k. A sorozat tehát korlátos és mide természetes számra < a.. a A mootoitási tulajdoság meghatározásához vizsgáljuk most ki az a + a külöbség előjelét. Mivel a + a + ) ) + < 0, ezért a + < a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Így a sorozat felülről korlátos, egy felső korlátja K a. Ha k alsó korlátja lee, akkor erre k < kellee, hogy teljesüljö, viszot ez csak < k idexekre lee igaz, em pedig mide természetes számra. Most ugyais miél agyobb, aál kisebb a, tehát a sorozat alulról em korlátos.. a + A mootoitást az a + a külöbség előjeléből állapítjuk meg. Mivel a + a + ) + + ) + + > 0 mide természetes számra, így a + > a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto övekvő. A sorozat első eleme egybe a sorozat egy alsó korlátja is, tehát k a. Ha léteze olya K szám, amelyre + < K, akkor ez a tulajdoság csak az < K + idexű elemekre lee igaz, tehát a sorozat felülről em korlátos. Valóba, ez egy olya sorozat, hogy egyre agyobb természetes számok eseté a + még gyorsabba ő. A sorozat tehát szigorúa mooto övekvő és alulról korlátos.
68. SZÁMSOROZATOK 4. a Vizsgáljuk ki az a + a külöbséget. a + a + + ) + ) + + + ) ) ) + ) + ) + ) > 0, ezért a + > a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto övekvő. A sorozat első eleme egybe a sorozat egy alsó korlátja is, tehát k a, illetve k. Mivel > 0 mide N eseté, ezért < 0 és < mide N eseté, ezért a sorozat egy felső korlátja lehet k, hisze mide N-re a <. A sorozat tehát korlátos és mide természetes számra a. 5. a + + Vizsgáljuk most is az a + a külöbséget. a + a + ) + + ) + + + + + + + + + + + ) + ) + ) + + ) + + ) + ) 4 + + + + + 4 4 4 + + ) + ) + ) + + ) + ) < 0, mide természetes számra, így a + < a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto csökkeő. A sorozat első eleme egybe a sorozat egy felső korlátja is, tehát K a. Vegyük észre, hogy a + + + +. Mivel > 0, ezért + + + >, tehát k a sorozat egy alsó korlátja. A sorozat tehát korlátos és mide természetes számra < a.
.. Rekurzív sorozatok 69.. Rekurzív sorozatok A rekurzív sorozatok közül éháy sorozat gyakorlati alkalmazása, felhaszálhatósága miatt ayira jeletős, hogy érdemes velük külö foglalkozi. Ezekből éháyat defiiáluk, megmutatjuk jellegzetes tulajdoságaikat és érdekes alkalmazásaikat.... Számtai aritmetikai) sorozat.5. Defiíció. Azt a számsorozatot, amelybe mide elemet tagot) az őt megelőzőből egy d álladó hozzádásával kapuk, számtai vagy aritmetikai) sorozatak evezzük. A d szám a sorozat külöbsége vagy differeciája). A defiíció alapjá felírhatjuk a számtai sorozat rekurzív képzési szabályát: Ebből adódik, hogy a a + d, illetve a a d,. a) ha d > 0, a számtai sorozat mooto övekvő és alulról korlátos, b) ha d < 0, a számtai sorozat mooto csökkeő és felülről korlátos, c) d 0 eseté is beszélhetük számtai sorozatról, amely emövekvő, emcsökkeő és korlátos sorozat. Elemei: a, a, a,...,a,... Az ilye sorozatot álladó vagy kostas) sorozatak evezzük. A számtai sorozat megadásához elég két adat. Legegyszerűbb meghatározó adatai a és d. Az egyszerű képzési szabályból adódik, hogy a és d ismeretébe a számtai sorozat bármelyik elemét felírhatjuk a következőképpe: a a + d, a a + d, a 4 a + d, Ezt az eljárást folytatva és általáosítva kimodható a következő tétel:... Tétel. Ha az {a } számtai sorozat első eleme a és külöbsége d, akkor mide természetes számra érvéyes, hogy a a + )d. Bizoyítás. A bizoyítás a matematikai idukció módszerével törtéik. o eseté a a + )d a + 0 d a. o Tegyük fel, hogy az állítás igaz k-ra, vagyis, hogy a k a + k )d. o Igazoljuk az állítás helyességét k + -re. Ekkor a k+ a k + d a + k )d + d a + k + )d a + kd.
70. SZÁMSOROZATOK.4. Példa. Ha az 5,,, 4, 7,... számtai sorozat huszadik elemét kell meghatározi, akkor megállapíthatjuk, hogy a 5 és d, tehát a 0 a + 9 d 5 + 9 ) 5..5. Példa. Ha egy olya számtai sorozat differeciáját kell kiszámítai, melyek első tagja és tizedik tagja, akkor az a 0 a + 9d összefüggésből azt kapjuk, hogy + 9d, ahoa d. Mivel a + a + a d + a + d a a, ezért érvéyes, hogy a számtai sorozatba bármely három szomszédos elem közül a középső a két mellette levő elem számtai közepe. Erről a tulajdoságról kapta e sorozat a számtai megevezést. Hasolóa érvéyes a következő összefüggés is: a k + a +k a, k <. Az összeg kiszámításáak legegyszerűbb alapgodolata ma is az, amelyet Gauss 777-855) 9 éves korába alkalmazott, amikor taítója azt a feladatot adta az osztályáak, hogy adják össze -től 40-ig az egész számokat. Gauss egy pillaato belül felírta az összeget: 80. Taítója kérésére el is magyarázta a godolatmeetét. Elképzelte egy sorba felírva a 40 tagú összeget, majd ugyaezt a 40 tagot fordított sorredbe aláírva. Az egymás alá került két szám összege mideütt 4. 40 ilye pár va, ezért 4-et 40-el kellee szorozi, de a két sor miatt mide szám kétszer szerepel az összegbe, ezért a 40 helyett csak 0-szal szorozta az összeget. Ez a szorzat adja a potos összeget, a 80-at. Ugyaezzel a godolatmeettel lehet kiszámítai a számtai sorozat első eleméek S összegét. Kimodható a következő tétel:.. Tétel. Ha az {a } számtai sorozat első eleme a és külöbsége d, akkor az első eleméek összege S a + a +... + a a + a ) a + )d). Bizoyítás. Győződjük meg először arról, hogy mide k eseté, amelyre k érvéyes, hogy a k + a k+ a + a. Valóba, a k a + k )d, a k+ a + k)d és a a + )d, tehát Mivel a k + a k+ a + k )d + a + k)d a + a + )d a + a. és ugyaakkor így összeadva a két egyeletet adódik, hogy S a + a + + a + a S a + a + + a + a, S a + a ) + a + a ) + + a + a ) + a + a ) a + a ).
.. Rekurzív sorozatok 7 Ie következik az S a + a ) összefüggés, amelybe behelyettesítve az a a + )d kifejezést adódik, hogy S a + )d). A tétel gyakorlati alkalmazását mutatja az alábbi példa..6. Példa. Egy útszakasz javításához homokbáyából teherautóval homokot szállítaak. Az első forduló terhét a kocsi az út elejé rakja le, ez a homokbáyától 8000 m-es távolságra va. Mide további forduló terhét 5 m-rel távolabbra kell viie. A 5. fordulóál mekkora távolságra megy a kocsi, és a 5 forduló megtétele közbe háy km utat tesz meg teher alatt? a 8000, d 5, tehát 5 esetbe a 5 8000 + 5 )5 8850, vagyis a 5. fordulóál a kocsi 8850 m távolságra megy. Mivel a 5 forduló alatt teherrel megtett távolságok összege S 5 a + a +... + a 5 5 a + a 5 ) 5 8000 + 8850) 94875 m, így megállapíthatjuk, hogy a 5. forduló megtétele utá a kocsi teherrel összese 94,875 km utat tett meg. FELADATOK.. Egy számtai sorozat első és ötödik tagjáak összege 6, második és egyedik tagjáak szorzata 60. Számítsuk ki első hat tagjáak összegét. A feltételek lapjá felírhatjuk, hogy a + a 5 6 és a a 4 60. Mivel a feti összefüggésekbe szereplő tagok a -ra szimmetrikusak, fejezzük ki a megadott feltételeket a segítségével. Ekkor az összegre voatkozó feltételből következik, hogy a d + a + d 6, illetve a. Ha a feltételbe szereplő szorzat téyezőit is felírjuk a segítségével, akkor az a d)a + d) 60, illetve d 60 összefüggést kapjuk, ahoa d 9, azaz d vagy d. Ha d, akkor az a a + d összefüggésből a 7 következik, a keresett számtai sorozat pedig 7, 0,, 6, 9,... Ameyibe d, az a a + d összefüggésből a 9-et kapuk, s akkor a keresett számtai sorozat 9, 6,, 0, 7,...
7. SZÁMSOROZATOK. Határozzuk meg az összes olya kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul -et adak. Az első olya kétjegyű szám, amely 4-gyel osztva maradékul -et ad, a. Ez lehet tehát egy sorozat első eleme a ). A 4-gyel való osztás maradékosztályába az elemek sorba 4-gyel övekszeek, tehát egy olya számtai sorozatot alkotak, amelyek külöbsége d 4. Az utolsó kétjegyű szám ebbe a sorozatba a 97. A kérdés most az, hogy a 97 hayadik eleme eek a sorozatak. Mivel a a + )d, így 97 + ) 4, és ebből. A keresett összeg kiszámítható a számtai sorozat első eleméek S összegképletéből, s így S + 97) 0 0.. Egy erdőtelepítésél párhuzamos sorokba összese 660 fát ültettek el. Az első sorba 8, mide következő sorba pedig -mal több fa került, mit az előzőbe. Háy fa jutott az utolsó sorba? A külöböző sorokba ültetett fák száma olya számtai sorozatot alkot, amelybe a 8 és d. Ha sorba összese 660 fát ültettek, akkor S 660, és egyrészt ki kell számoli meyi az, másrészt pedig, hogy meyi az a. Mivel ahoa S a + )d), így 660 6 + )), 50 6 + ), illetve + 50 0. Ebből 40 és, ahol a egatív tört megoldásak ics értelme, mivel ez em lehet a sorozat tagjáak idexe. Ezek szerit 40 sor fát ültettek el és az utolsó sorba a 40 a + 9d 8 + 9 5 fa jutott. 4. Határozzuk meg a számtai sorozatba az első 9 tag összegét, ha tudjuk, hogy a 4 + a 8 + a + a 6 4. Mivel a 4 és a 6, valamit a 8 és a az a 0 elemre ézve szimmetrikusak, ezért írjuk fel a megadott feltételt a 0 és d segítségével. Ekkor a 0 6d) + a 0 d) + a 0 + d) + a 0 + 6d) 4, ahoa a 0 56. Az első 9 tag összege felírható a 0 segítségével, mit S 9 9 a + a 9 ) 9 a 0 9d + a 0 + 9d) 9 a 0 9 56 064. 5. Lehetek-e az 5 és a 5 egy olya számtai sorozat elemei, amelyek első tagja? Ha va ilye sorozat, akkor felírható, hogy 5 + )d és 5 + m )d, ahol és m külöböző természetes számok. Ekkor 5 )d és 5 m )d,
.. Rekurzív sorozatok 7 ezek háyadosa pedig 5 5 m )d )d m. Ie 5 m +, ami lehetetle, mert 5 irracioális szám, a m + kifejezés pedig racioális, tehát em lehetek egyelők. Megállapíthatjuk tehát, hogy az 5 és a 5 számok em lehetek egy olya számtai sorozat tagjai, amelyek első tagja.... Mértai geometriai) sorozat.6. Defiíció. Azt a számsorozatot, amelybe mide elemet tagot) az őt megelőzőből egy q 0 számmal való szorzással kapuk, mértai vagy geometriai) sorozatak evezzük. A q szám a sorozat háyadosa vagy kvociese). A defiícióból következik a mértai sorozat rekurzív képzési szabálya: a a q, illetve a a q,. Ebből látjuk, hogy q > 0 eseté a sorozat elemei azoos előjelűek. Ha q >, akkor a > 0 eseté a mértai sorozat szigorúa mooto övekvő, a < 0 eseté pedig szigorúa mooto csökkeő. Ha 0 < q < és a > 0, akkor a sorozat szigorúa mooto csökkeő, a < 0 eseté pedig szigorúa mooto övekvő. q -re álladó sorozatot kapuk. Ha q < 0, akkor az elemek előjele váltakozó. A defiícióból következik, hogy adott a és q eseté a mértai sorozat tagjai felírhatók a a q, a a q, a 4 a q, alakba, illetve ezt az eljárást folytatva és általáosítva kimodható a következő tétel:... Tétel. Ha a mértai sorozat első eleme a és háyadosa q, akkor mide természetes szám eseté a a q. Bizoyítás. A bizoyítást matematikai idukcióval végezzük. o eseté a a q ) a q 0 a. o Tegyük fel, hogy az állítás igaz k-ra, vagyis, hogy a k a q k. o Igazoljuk az állítás helyességét k + -re. Ekkor a k+ a k q a q k q a q k a q k+.
74. SZÁMSOROZATOK.7. Példa. Ha az a feladatuk, hogy az a mértai sorozatba meghatározzuk az első elemet és a háyadost, akkor az első elem az a. A kvociest kiszámíthatjuk bármelyik két szomszédos tag háyadosakét, például q a a..8. Példa. Állapítsuk meg, hogy a mértai sorozat háyadik tagja a 8, ha első eleme, háyadosa pedig. Mivel a a q, ezért 8, ahoa 4, illetve 5. Ezért a sorozat ötödik eleme 8. A mértai sorozatba bármely három egymást követő elemre érvéyes az a a a + összefüggés, amelyből pozitív tagú sorozat eseté felírható az a a a + képlet is. Ez azt jeleti, hogy a mértai sorozat három szomszédos eleme közül a középső a két mellette levőek mértai közepe és ebből származik a megevezésbe a mértai jelző. Hasolóa érvéyes k < eseté, hogy a a k a +k..4. Tétel. Ha az {a } mértai sorozat első eleme a és háyadosa q, akkor az első eleméek összege Ha q, akkor S a. Bizoyítás. Ha akkor S a + a +... + a a q q a q q, q. S a + a +... + a S q a q + a q +... + a q a + a +... + a +. Ha a második egyeletből kivojuk az elsőt, akkor vagyis S q S a + a +... + a + a + a +... + a ) a + a a q a, S q ) a q ), ahoa S a q q. Ha q, akkor a mértai sorozat mide tagja egyelő, így S a.
.. Rekurzív sorozatok 75.9. Példa. Ha az S x + x y + x y + + xy + y összegbe x 0 és y 0, akkor S egy olya mértai sorozat első tagjáak összege, amelybe a x és q y x. Ezért ahoa S x ) y x y x x y)s x y, x y x y, vagyis ily módo levezettük az ismert összefüggést, mely szerit x y x y)x + x y + x y + + xy + y ). A mértai sorozat -edik eleméek kiszámítása a kamatos kamatszámításba agyo fotos. Godoljuk a következő problémára..0. Példa. Valaki jauár -é 7000 diárt évi 5%-os kamatláb mellett betesz a bakba. Kamatosa kamatozva 6 év alatt mekkorára övekszik meg az összeg? A kamatos kamatozás azt jeleti, hogy az évi kamatot évekét automatikusa hozzácsatolják a lekötött pézösszeghez, és a következő évekbe már ez a megövekedett összeg kamatozik.) Általáosa fogalmazva: A T 0 összeg évi p%-os kamatlábbal kamatozva év alatt mekkorára övekszik fel? A p%-os kamattal övelt összeg év alatt az eredeti + p -szorosára övekszik. Ezért 00 p%-kal kamatosa kamatozva év alatt a T 0 összegből lesz T T 0 + p ). 00 Esetükbe ez T 6 T 0 + p ) 6 7000 + 5 ) 6 7000, 05 6 980, 67 di. 00 00 FELADATOK.. Egy övekvő mértai sorozat első és harmadik tagjáak összege 0, első három tagjáak összege pedig 6. Melyik ez a sorozat? Mivel a + a 0 és a + a + a 6, ebből yilvávaló, hogy a 6, ahoa a q 6, illetve a 6 q. Mivel a + a q 0, így a + q ) 0, illetve 6 q + q ) 0.
76. SZÁMSOROZATOK Ebből a q 0q+ 0 másodfokú egyeletet kapjuk, amelyek megoldásai q és q. Mivel a keresett sorozat övekvő kell legye, így a háyados em lehet. Ezért q és a. A feladatba megdott feltételekt kielégítő övekvő mértai sorozat tehát:, 6, 8, 54,.... Egy mértai sorozat egyedik tagja 4-gyel agyobb, mit a második tag, második és harmadik tagjáak összege pedig 6. Határozzuk meg ezt a sorozatot. A megadott feltételekből felírhatjuk, hogy a 4 a + 4 és a + a 6, a q a q 4 és a q + a q 6, illetve a q q) 4 és a q + q ) 6. Osszuk el a két egyelet megfelelő oldalait: Ekkor q q q + q 4 6. qq ) 4qq + ), ha q + q 0, ebből pedig következik, hogy q 4, ahoa q 5. Most 0 a 6, ie pedig a. Ekkor a keresett mértai sorozat 5,, 5, 5, 5,... 5 Nézzük meg ad-e további megoldást a q + q 0 eset. A mértai sorozat defiíciója szerit q 0. Ha q, akkor a második feltételből a 0 6, ami elletmodást jelet, tehát ezek az értékek em adak megoldást.. Egy pozitív tagú mértai sorozat első és ötödik tagjáak külöbsége 5, első és harmadik tagjáak összege pedig 0. Határozzuk meg a sorozat első öt tagjáak összegét. Ahhoz, hogy a mértai sorozat mide tagja pozitív legye, a és q is pozitív kell legye. A feltételek szerit a a 5 5 és a + a 0 igaz, amelyek felírhatók a és q segítségével, mit a q 4 ) 5 és a + q ) 0. Elosztva a két egyelet megfelelő oldalait kapjuk, hogy q 4 + q 4. Mivel q 4 q ) + q ) és + q 0, ezért a baloldalo egyszerűsíthetük + q -tel, s ebből az q 4, illetve q 4
.. Rekurzív sorozatok 77 egyeletet kapjuk, ahoa q vagy q. Mivel a feltételek szerit a háyados em lehet egatív, ezért q az egyetle megoldás. Ekkor a 6, a keresett mértai sorozat pedig 6, 8, 4,,,,... 4. Egy háromszög oldalaiak mérőszáma egy mértai sorozat három egymást követő eleme. Milye határok között változhat a sorozat háyadosa? Legyeek a háromszög oldalai a, b és c. Tegyük fel, hogy a a háromszög legrövidebb, c pedig a leghosszabb oldala. Mivel ezek a számok mértai sorozatot alkotak, így b aq és c aq, eami szerit q. A háromszög oldalaira voatkozó egyelőtleség szerit a + b > c, ahoa a + aq > aq. Mivel a a háromszög oldala, ezért pozitív szám, így a feti egyelőtleség osztható a-val. Ekkor q q < 0 egyelőtleséget kapjuk, ahoa q 5, + 5 ). Mivel 5 szám, ezért a q feltétel miatt a háyados határai és + 5, azaz q < + 5. egatív 5. A és 4 közé iktassuk 9 számot úgy, hogy a két megadott számmal együtt mértai sorozatot alkossaak. A -vel és a 4-gyel együtt a keresett 9 szám a sorozat elemét adja meg, vagyis a és a 4. Mivel a a q 0, így 4 q 0, ahoa q 0 következik, ugyais eek a sorozatak övekvőek kell leie, és ez csak q > eseté törtéhet meg. Így a sorozat elemei, 0, 0, 0, 0 4, 0 5, 0 6, 0 7, 0 8, 0 9, 0 0, illetve émi redezés utá, 0, 5, 0 8, 5 4, 0, 5 8, 0 8, 5 6, 0 5, 4. 6. Egy számtai és egy mértai sorozat első eleme 5 és harmadik elemük is egyelő. A számtai sorozat második eleme 0-zel agyobb a mértai sorozat második eleméél. Írjuk fel ezeket a sorozatokat. Jelölje a, a, a a számtai sorozat, b, b, b pedig a mértai sorozat első három elemét. Ekkor a b 5, a b, és a b + 0.
78. SZÁMSOROZATOK Mivel a 5 + d és a 5 + d, valamit b 5q és b 5q, így következik, hogy 5 + d 5q és 5 + d 5q + 0. A második egyeletből d 5q +5, majd ezt az elsőbe helyettesítve következik, hogy 5 + 0q + 0 5q, vagyis q q 0, amelyek megoldásai q és q. Ha q, akkor d 0, a keresett sorozatok pedig az 5, 5, 5,... számtai és az 5, 5, 5,... mértai sorozat. Ha q, akkor d 0, a keresett sorozatok pedig az 5, 5, 45,... számtai és az 5, 5, 45,... mértai sorozat. Ezért tehát két sorozatpár létezik a feladatba megadott feltételekkel, mégpedig az valamit az sorozatpár. 5, 5, 5,... és 5, 5, 5,... 5, 5, 45,... és 5, 5, 45,... 7. Négy szám egy mértai sorozat égy egymást követő elemét alkotja. Ha a második számhoz 6-ot, a harmadikhoz -at aduk, a egyedikből 6-ot elveszük, akkor az így kapott égy szám egy számtai sorozat egymást követő tagjai leszek. Melyik ez a égy szám? Legyeek a, b, c és d a égy szám, amelyek mértai sorozatot alkotak. Ekkor a feltételek szerit a, b + 6, c + és d 6 számtai sorozatot alkotak. Ezért érvéyes, hogy b ac c bd b + 6) a + c + c + ) b + 6 + d 6 A harmadik egyeletből a b c + 9, a egyedikből pedig d c b + 6. helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket az első két egyeletbe. Ekkor a b cb c + 9) c bc b + 6) egyeletredszert kapjuk. Redezzük a két egyeletet b + c bc 9c b + c bc 6d alakúra, majd vojuk ki egymásból a két egyeletet. Ekkor c 4d adódik, majd ezt behelyettesítve az a b c + 9 és d c b + 6 egyeletekbe adódak az a 9 b és d 7b + 6 összefüggések. A b ac egyeletbe helyettesítve a b 9 b) 4b egyeletet kapjuk, ahoa b 0 vagy b 4. Ha b 0, akkor c 0, a 9 és d 6, amiből a 9, 0, 0, 6 sorozatot kapák, de ez em mértai sorozat. Ha b 4, akkor c 6, a és d 64, amiből az, 4, 6, 64 mértai sorozatot kapjuk, a megfelelő számtai sorozat pedig az, 0, 9, 8. A keresett égy szám tehát, 4, 6, 64.
.. Rekurzív sorozatok 79 8. Három szám, melyek összege 76, mértai sorozatot alkot. Ezt a három számot tekithetjük egy számtai sorozat első, egyedik és hatodik tagjáak is. Melyik ez a három szám? Legyeek a, b és c a keresett számok. Mivel ezek a számok mértai sorozatot alkotak, így b aq és c aq. A számok összege a + b + c 76, illetve a + aq + aq 76. A másik feltétel szerit b a + d, illetve c a + 5d és mivel mértai sorozat elemeiről va szó, ezért felírható, hogy aq a + d, illetve aq a + 5d. ha a két egyeletet kivojuk egymásból, akkor a d aqq ) feltételt kapjuk. Az aq ) d és a aqq ) d feltételből adódik továbbá, hogy ahoa aq ) aqq ), aq ) aqq ) azaz aq ) q) 0. Ie a 0 vagy q vagy q a lehetséges megoldások. a 0 eseté b 0 és c 0 lee, ezek összege pedig em 76. Ha q, akkor a 76, b 76 és c 76. Ez a három szám kielégíti a megadott feltételeket. ha q, akkor a + + 4 ) 76, ahoa a 6, b 4 és c 6 adódik. 9 Mivel ez a három szám is kielégíti a megadott feltételeket a megfelelő számtai sorozatba d 4), ezért két olya számhármas létezik, amely eleget tesz a feladatba kitűzött feltételekek, ezek pedig a 76, 76, 76 és a 6, 4, 6. 9. Lakásvásárlásra jauárba 50000 euró kölcsöt kaptuk a baktól évi 5%-os kamatos kamatra. Mide év végé 6000 eurót kell törleszteük. Háy év múlva fizetjük vissza az adósságukat? A kölcsö összege kezdetkor T 0 50000 euró. Ha erre az összegre az év végé 5%-os kamatot fizetük és törlesztük x 6000 eurót, akkor az első év végé az adósságuk ahol q + T T 0 + p ) x T 0 q x, 00 p. A második év végé az adósságuk 00 ) T T + p 00 x T 0 q x) q x T 0 q xq + ). A harmadik év végé ez T T + p ) x T 0 q xq + )) q x T 0 q xq + q + ). 00 Folytatva ezt az eljárást azt kapjuk, hogy az. év végé adósságuk T T 0 q xq + q + + q + ) T 0 q x q q.
80. SZÁMSOROZATOK Ha adósságukat az. évbe teljese vissza akarjuk fizeti, akkor T 0 kell legye. Az a kérdés, hogy ez hayadik évbe törtéik, azaz meyi az értéke. Mivel így a keresett értéket a q + egyeletből számítjuk ki. Ie p 00 + 5 00.05, 0 50000.05 6000.05.05 0000 70000, 05, illetve.05 7. Midkét oldal logaritmálásával azt kapjuk, hogy log.05 log 7, ahoa.04, ez pedig azt jeleti, hogy az adósságot körülbelül év alatt fizetjük vissza. 0. Számítsuk ki az S 9 + 99 + 999 + + } 99 {{ 9} összeget. Először vegyük észre, hogy az összeadadók midegyike a 0 valamelyik hatváyától -gyel kisebb szám. Ezt az észrevételt felhaszálva felírhatjuk, hogy Ie az S 0 ) + 0 ) + 0 ) + + 0 ). S 0 + 0 + 0 + + 0, képletet kapjuk, amelybe felhaszálva a mértai sorozat első eleméek összegképletét adódik, hogy S 0 0 0 0 9 0 ).... A Fiboacci-féle sorozat Leoardo Pisao 70-50) olasz kereskedő-matematikust Fiboacciak Boaccio fia) is evezték. Sokat utazott és utazásai sorá sokat foglalkozott az arab matematikával. Két köyvet írt, melyekbe több saját eredméye is va. Az 8-ba kiadott köyvébe található az azóta híressé vált következő példa... Példa. Vizsgáljuk meg, meyire szaporodik egy pár maszületett yúl egy év alatt, ha mide yúlpár mide hóap végé egy párral szaporodik, a yulak pedig kéthóapos korukba ivarérettek. Ez azt jeleti, hogy akkor hozak első ízbe utódokat.) Mide hóap végé csak azok a yulak szaporodak, amelyek legalább kéthóaposak, és így az első hóap végé, illetve második hóap kezdeté ics szaporulat, marad az egy
.4. Differeciaegyeletek 8 pár yúl. A második hóap végé, azaz harmadik hóap kezdeté már va szaporulat, és így két pár a yulak száma. A harmadik hóap végé, illetve egyedik hóap kezdeté is csak az eredeti egy pár yúlak va ivadéka és így három pár yúl lesz. A következő, a egyedik hóap végé, vagyis ötödik hóap kezdeté már két pár yúl lesz kéthóapos, ezért a szaporulat két pár stb. Ha a jeleti a yulak számát az -edik hóap kezdeté és a a yulak számát a teyésztés kezdeté, akkor Az így kapott a, a, a + a + a,,,...,,,, 5, 8,,, 4, 55,... sorozatot Fiboacci sorozatak szokás evezi, amelyek általáos eleme: [ ) a ) ],,,... 5 + 5 5.4. Differeciaegyeletek Az előző fejezetekbe találkoztuk két érdekes rekurzív sorozattal. Az egyik egy mértai sorozat, a, a + a,,,..., amely általáos tagjáak képlete a, a másik a Fiboacci-sorozat amely általáos tagjáak képlete [ a + 5 5 a, a, a + a + a,,,...,.) ) ) ] 5,,,..., két mértai sorozat külöbsége. Most megmutatjuk azt az eljárást, amelyből a Fiboaccisorozat képletét yertük. Tegyük fel, hogy va olya {t } t 0) mértai sorozat, amely a.) rekurziós formulát kielégíti. Ekkor t + t + t,,,..., és így t t 0..) Ha t a.) egyeletek a megoldása, akkor {t } kielégíti a.) rekurziós formulát. Mivel a.) egyelet két gyöke t + 5) és t 5), ezért az { + ) } { 5 ) } 5 és.) geometriai sorozat midegyike megoldása a.) rekurziós formuláak. A feti két sorozat egyike sem teljesíti azoba az a a kezdeti feltételeket. Köye elleőrizhető, hogy bármely C és C álladó mellett a.) sorozatok C és C
8. SZÁMSOROZATOK álladókkal való beszorzásával kapott sorozat is kielégíti a.) rekurziós formulát, és a két sorozat összege, az + ) 5 ) 5 a C + C is. Most a C és C értékeket, a mértai sorozat kezdőértékeit úgy fogjuk megválasztai, hogy a a legye. Ez a következő egyelőségek teljesülését jeleti: + ) 5 ) 5 C + C, C + ) 5 ) 5 + C, amiből C 5 és C 5. Ezt az eljárást alkalmazi lehet a Fiboacci-sorozatál általáosabb rekurzív sorozatokra is..4.. Véges differeciák.7. Defiíció. Egy {a } valós számsorozat véges differeciájá a külöbséget értjük. a a + a,,,... Az a leképezés, amely az {a } sorozathoz hozzáredeli a { a } sorozatot, a következő tulajdosággal redelkezik: és ha λ valós szám, akkor a + b ) a + b, λa ) λ a, vagyis a az összeadással és a λ-val való szorzással felcserélhető. Ezt a tulajdoságot úgy fejezzük ki rövide, hogy lieáris. A magasabb differeciákat a következőképpe értelmezzük: a második differecia a a ) a + a + + a..4.. Álladó együtthatós lieáris differeciaegyeletek.8. Defiíció. Az ismeretle {a } számsorozat és első differeciája között feálló A a + A 0 a 0,.4) alakú lieáris összefüggést, ahol A, A 0 együtthatók adott valós számok és A 0, álladó együtthatós elsőredű lieáris differeciaegyeletek evezzük.
.4. Differeciaegyeletek 8 Behelyettesítve a véges differecia alakját, a.4) egyeletet a alakba is felírhatjuk... Példa. Tekitsük a a + qa a k alakú differeciaegyelet, ahol k álladó. A véges differecia defiícióját behelyettesítve a feti egyelet a + a k alakba írható fel. Az általáos megoldás yilvávalóa a k + C. Ez azt jeleti, hogy az a értékek olya számtai sorozatot alkotak, amelyek differeciája k... Példa. Tekitsük most a a + ba 0 differeciaegyeletet. A véges differecia defiícióját behelyettesítve ez az egyelet alakba írható, ahoa a + a + ba 0 a + a b egyelet adódik. Ebbe az esetbe tehát az a értékek mértai sorozatot alkotak. a A kezdeti érték eseté az a + qa elsőredű lieáris differeciaegyelet általáos megoldása a Aq. A megoldáshoz a következő módszerrel juthatuk: keressük a megoldást a Ct alakba, ahol C meghatározatla álladó, maga a megoldás pedig egy tetszőlegese választott kezdeti értéktől függ. Behelyettesítés utá adódik, hogy t + qt, ie pedig a t q 0 karakterisztikus egyelet megoldásakét a t q értéket kapjuk. A kezdeti érték felhaszálásával kiszámítható, hogy C A, ami a fet megadott megoldáshoz q vezet..9. Defiíció. Az ismeretle {a } számsorozat és első két differeciája között feálló A a + A a + A 0 a 0.5) alakú lieáris összefüggést, ahol A, A, A 0 együtthatók adott valós számok és A 0, álladó együtthatós másodredű lieáris differeciaegyeletek evezzük.
84. SZÁMSOROZATOK Behelyettesítve a véges differeciák megfelelő alakjait, a.5) egyeletet az a + pa + + qa.6) alakba is felírhatjuk. Iduljuk ki most a.6) egyeletből, amely az a, a + és a + ismeretleeket tartalmazza. Ha az a és a + értékeket tetszőlegese választjuk, akkor az egyelet meghatározza az a + értéket. Írjuk fel most azt az egyeletet, amelyet úgy kapuk, hogy mide idex értékét eggyel megöveljük. Az ebbe az egyeletbe előforduló ismeretleek a következők leszek: a +, a + és a +. Mivel a + és a + értéke már ismert, ezért meg tudjuk határozi a + értékét. Folytatva ezt az eljárást, belátható, hogy a és a + tetszőlegese megválasztott két kezdeti értéke a megoldást teljese meghatározza. A megoldás tehát két tetszőlegese választható kezdeti értéktől függ. Tegyük fel, hogy f és g az a + pa + + qa.7) álladó együtthatós lieáris differeciaegyelet két lieárisa függetle megoldása és midkettő egy speciálisa megválasztott kezdeti értékredszerek felel meg. Ekkor, az egyeletek lieáris jellege miatt az általáos megoldást a C f + C g alakba írhatjuk fel, ahol C és C tetszőleges álladó. A feti összefüggés megadja a.7) differeciaegyelet általáos megoldását, ha az f és g megoldások lieárisa függetleek. A.7) másodredű lieáris differeciaegyelet általáos megoldásáak előállítása végett keressük a megoldást a t t 0) alakba, ahol t egyelőre határozatla álladó. Behelyettesítve a következő.7) differeciaegyeletbe, t ismeretlees egyeletet kapjuk: amiből a t + pt + + qt,,,,...,.8) t pt + q, másodfokú algebrai egyelet adódik, a.7) karakterisztikus egyelete, amelyek t a gyöke. Fordítva, ha t a karakterisztikus egyeletek a megoldása, akkor.8) is érvéyes, vagyis t kielégíti a.7) differeciaegyeletet. Két esetet foguk tárgyali: amikor a karakterisztikus egyeletek két külöböző valós gyöke va és amikor a karakterisztikus egyeletek egy kettős valós gyöke va. I. Vegyük először a két külöböző valós gyök esetét, amikor t és t a karakterisztikus egyelet valós megoldásai, ahol t t. Ekkor, f t és g t a lieárisa függetle megoldások, s éppúgy, mit a Fiboacci-sorozat esetébe, tetszőleges C, C mellett az a C t + C t.9) sorozat általáos megoldása a differeciaegyeletek, amiből az a A, a B kezdeti értéket kielégítő megoldást úgy kapjuk, hogy a C t + C t A, C t + C t B egyeletredszert kielégítő C, C értékeket helyettesítjük a.9) képletbe.
.4. Differeciaegyeletek 85.4. Példa. Oldjuk meg az differeciaegyeletet. a + 5a + 6a,,,... a, a A karakterisztikus egyelet t 5t + 6 0, amelyek gyökei t és t. Így az egyelet általáos megoldása: a C + C,,,... A C, C értékpárra C + C, 9C + 4C, amiből C 4 és C 7. II. Kettős valós gyök eseté, amikor t t valós szám, f t és g t a lieárisa függetle megoldások, s tetszőleges C, C mellett az a C t + C t.0) sorozat általáos megoldása a differeciaegyeletek, amiből az a A, a B kezdeti értéket kielégítő megoldást úgy kapjuk, hogy a C t + C t A, C t + C t B egyeletredszert kielégítő C, C értékeket helyettesítjük a.0) képletbe..5. Példa. Határozzuk meg az a 0, a a + 4a + 4a,,,... rekurzív módo megadott számsorozat általáos elemét. A karakterisztikus egyelet t 4t + 4 0, amelyek gyökei t t. Így az egyelet általáos megoldása: a C + C,,,... A C, C értékpárra C + C 0, 4C + 8C, amiből C 4 és C. Eek alapjá az általáos elem 4 a 4 + 4 ).
86. SZÁMSOROZATOK FELADATOK.. Oldjuk meg az a + a 0 differeciaegyeletet, ha a. Keressük a megoldást a t alakba, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve kapjuk, hogy t + t 0, illetve a t 0 karakterisztikus egyeletet, amelyek megoldása t. Ekkor az általáos megoldás a C alakba írható fel, ahol C tetszőleges valós szám. Mivel a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk, hogy C, ahoa C, a kért feltételekek eleget tevő megoldás pedig a, azaz a.. Írjuk fel az a, a + 0 a rekurzív módo megadott számsorozat általáos elemét. A megoldást a t alakba keressük, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve kapjuk, hogy t + 0 t, ahoa t 0 a karakterisztikus egyeletet megoldása. Ekkor a rekurzív egyeletet kielégíti az a C ) általáos megoldás, ahol C tetszőleges valós szám. Mivel a 0 kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk, hogy C, ahoa C 0 következik, a sorozat. eleméek képlete pedig 0 a 0 ) 0, azaz a ) 0.. Oldjuk meg az a + 5a + 6a differeciaegyeletet, ha a, a. A megoldást most is a t alakba keressük, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve kapjuk, hogy t + 5t + 6t, ahoa t 5t + 6 0 a karakterisztikus egyeletet, megoldásai pedig t és t. Ekkor a differeciaegyeletet kielégíti mide a C + C alakú megoldás, amelyet általáos megoldásak evezük, ahol C és C tetszőleges egymástól függetle valós számok. Mivel a és a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk az C + C és 4C + 9C, egyeletredszert, ahoa C és C, a feladat feltételeit kielégítő megoldás pedig a.
.4. Differeciaegyeletek 87 4. Írjuk fel az a, a, a + a + + 4a rekurzív módo megadott számsorozat általáos elemét. Keressük az általáos elemet a t alakba, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve adódik, hogy t + t + + 4t, ahoa t t 4 0 a karakterisztikus egyeletet, melyek megoldásai t és t 4. Ekkor a rekurzív egyeletet kielégíti mide olya a C ) + C 4 alakú megoldás, ahol C és C tetszőleges egymástól függetle valós számok. Mivel a és a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk az C + 4C és C + 6C, egyeletredszert, ahoa C és C 0, a sorozat általáos eleméek képlete pedig a ), vagyis a ) +. 5. Oldjuk meg az a + a + a differeciaegyeletet, ha a 0, a. A megoldást a t alakba keressük, ahol t 0. Az egyeletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy t + t + t, ahoa t + t + 0 a karakterisztikus egyeletet, melyek megoldásai t t. Ekkor a differeciaegyeletet kielégíti mide a C ) + C ) alakú megoldás, amelyet általáos megoldásak evezük, ahol C és C tetszőleges egymástól függetle valós számok. Mivel a 0 és a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk az 0 C C és C + C, egyeletredszert, ahoa C és C, a feladat feltételeit kielégítő megoldás pedig a ) ), vagyis a ) ).
88. SZÁMSOROZATOK.5. Koverges sorozatok.5.. Sorozatok határértéke Tekitsük az a, b, c + ), d ) sorozatokat. számsíkba. Írjuk fel e sorozatok első éháy elemét és rajzoljuk fel grafikojaikat a a eseté a a, a, a, 0.5 a 4 4, a 5 5,... y 0 4 5 b eseté b 0, b, b, b 4 4, b 5 4 5,... 0.5 a 4 5 y c + ) eseté c 0, c +, c, a y c 4 + 4, c 5 5,... 0 4 5 a d ) eseté d, d, d, d 4, d 5,... 4 5 E sorozatokat vizsgálva észrevehető, hogy az {a }, {b }, {c } sorozatok esetébe redre va egy-egy olya szám, amelyet a sorozat elemei tetszőlegese megközelíteek valamilye módo. Az {a } sorozat elemei a 0-t, a {b } és a {c } sorozat elemei az -et. A {d } sorozat esetébe ics ilye szám.
.5. Koverges sorozatok 89 A sorozatok e tulajdoságáak potos meghatározása adja a kovergecia, illetve a határérték fogalmát. A következőkbe két egymással ekvivales defiíciót aduk meg..0. Defiíció. Az {a } sorozat koverges, ha létezik olya A szám, hogy bármely ε > 0 számhoz megadható olya N N küszöbszám vagy küszöbidex) N függ ε-tól), hogy ha N, akkor a sorozat elemeiek A számtól való eltérése kisebb mit ε, azaz a A < ε. a A ε A A ε y A ε y A y A ε 0 4 5 6 7 8.. Defiíció. Az {a } sorozat koverges, ha létezik olya A szám, hogy A bármely köryezetébe a sorozatak véges sok elem kivételével mide eleme beletartozik. 0 A ε A A ε a Az A számot az {a } sorozat határértékéek vagy eszéek evezzük jelölése pedig a A illetve a A olvasd: esz a egyelő A, illetve a tart A-hoz, vagy a kovergál A-hoz)..6. Példa. Vaak olya sorozatok, amelyekek ics határértéke, mit például a a ) +, b, c ), d )... Defiíció. Az olya sorozatokat, amelyekek ics határértékük, diverges sorozatokak evezzük. A következő tétel a határérték egyértelműségét vagy uicitását) modja ki..5. Tétel. Koverges sorozatak csak egy határértéke va. Bizoyítás. A tételt idirekt módo bizoyítjuk, azaz feltesszük, hogy legalább két határértéke va a sorozatak, például A és A A A ). Mivel A A, ezért A A ρ > 0. ρ Tekitsük az A és A sugarú köryezetét. Ezekek a köryezetekek - a sugár alkalmas 4 választása miatt - ics közös része. A határérték.. Defiíciója alapjá, ha A határértéke a sorozatak, akkor bármely, így ρ sugarú köryezetébe is, a sorozatak végtele sok 4
90. SZÁMSOROZATOK ρ eleme esik, és ebből csak véges sok marad ki. Ez azt jeleti, hogy A sugarú köryezetébe 4 csak véges sok eleme eshet a sorozatak, tehát A -ek va olya köryezete, amelyből végtele sok eleme marad ki a sorozatak, így A em lehet a sorozat határértéke. Ezzel elletmodásba kerültük a feltételezésükkel, hogy A is határértéke a sorozatak. Az alábbi tételek a koverges sorozatokak két fotos tulajdoságát modják ki..6. Tétel. Ha egy sorozat koverges, akkor korlátos is. Bizoyítás. Ha a A, akkor ε -hez is va olya N Z +, hogy N -re a A <, azaz A < a < A +. Ha vesszük az A + számot és a sorozat ála agyobb elemeit ilye csak véges sok lehet, legfeljebb N ), és ezek közül kiválasztjuk a legagyobbikat, akkor ez yilvávalóa felső korlátja lesz a sorozatak. Hasolóa adhatuk egy alsó korlátot is a sorozathoz. Vagyis, ha K max{a +, a, a,..., a N }, k mi{a, a, a,..., a N }, akkor mide -re teljesül, azaz a sorozat valóba korlátos. k a K Az állítás em fordítható meg, azaz a korlátosságból em következik a kovergecia..7. Példa. a) Az a sorozat koverges, tehát korlátos is. b) A b sorozat em korlátos, tehát em is koverges. c) A c ) sorozat korlátos, de em koverges. Ha egy sorozatból végtele sok elemet választuk ki abba a sorredbe, ahogy ezek az eredeti sorozatba szerepeltek, a sorozatuk egy részsorozatát kapjuk..8. Példa. Tekitsük az a sorozatot. Válasszuk ki eek összes páratla idexű elemét, ezzel egy új b sorozat áll elő:,, 5,.....7. Tétel. Koverges sorozat mide részsorozata koverges, és határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. A sorozatok egy másik, a határértékhez közelálló, de azzal em azoos jellemzője a torlódási pot. Az alábbiakba ezzel ismerkedük meg... Defiíció. Az a számot az {a } sorozat torlódási potjáak evezzük, ha a bármely köryezete a sorozat végtele sok elemét tartalmazza. A torlódási pot fogalmát másképpe is lehet defiiáli, s a két defiíció természetese egymással ekvivales..4. Defiíció. Az {a } sorozatak az a szám torlódási potja, ha kiválasztható az {a } sorozatból egy a-hoz kovergáló {b } részsorozat.
.5. Koverges sorozatok 9 Nyilvávaló, hogy a határérték midig torlódási pot, de ez az állítás fordítva általába em igaz..9. Példa. Vizsgáljuk meg az a ) + sorozat elemeit, felrajzolva azokat a számsíkba és a számegyeese. Ez a sorozat em koverges, mert két torlódási potja va, és. Az {a } sorozat koverges részsorozatai b + és c +, ahol b és c. 0 4 5 4 a a 4 5 6 7 8 y y Tudjuk, hogy egy sorozat korlátosságából em következik a sorozat kovergeciája, igaz viszot a következő tétel..8. Tétel. Bolzao-Weierstrass). Korlátos sorozatak va legalább egy torlódási potja. Megjegyezzük, hogy a Bolzao-Weierstrass tétel egy más megfogalmazása a következő: Korlátos sorozatból kiválasztható legalább egy koverges részsorozat..0. Példa. Az a ) sorozatból a páros idexű elemeket kiválasztva, -hez kovergáló részsorozatot kapuk. A Bolzao-Weierstrass tétel következméye az alábbi állítás..9. Tétel. Ha egy korlátos sorozatak csak egy torlódási potja va, akkor a sorozat koverges... Példa. a) Az a ) koverges. sorozat korlátos és csak egy torlódási potja va, tehát b) A jól ismert b ) sorozat ugya korlátos, de két torlódási potja va, és, ezért em koverges.
9. SZÁMSOROZATOK c) A c + ) sorozatak csak egy torlódási potja va, a 0, de em korlátos, ezért em koverges. Az előzőekbe beláttuk, hogy egy koverges sorozat midig korlátos, de az állítás megfordítása em igaz. Ha azoba a korlátos sorozat egybe mooto is, akkor már bizoyosa koverges..0. Tétel. Ha egy sorozat korlátos és mooto, akkor koverges. Ha a sorozat övekvő, akkor a felső határhoz, ha csökkeő, akkor az alsó határhoz kovergál. Bizoyítás. Legye például az {a } korlátos sorozat övekvő. Ekkor a a + mide -re teljesül. A sorozat korlátos, így va felső határa, jelöljük ezt H-val. Ekkor, egyrészt a H mide -re, másrészt tetszőleges pozitív ε számhoz megadható a sorozatak olya a eleme, amely H ε-ál agyobb, amelyre tehát H ε < a < H. Mivel a sorozat övekvő, a feti egyelőtleség a sorozat mide, az a -ot követő elemére igaz. Így a H bármely köryezetéből a sorozatak legfeljebb véges számú eleme marad ki, hisze H ε < a a < H teljesül mide -ál agyobb -re. Ez pedig éppe azt jeleti, hogy az {a } sorozat koverges, és határértéke H. Csökkeő sorozatra - a sorozat alsó határáak létezését kihaszálva - a bizoyítás hasolóa végezhető el... Példa. a) Az a + sorozat mooto csökkeő és korlátos, ezért koverges. + b) A b + sorozat mooto övekvő és korlátos, ezért koverges..5.. Nullához és végtelehez tartó sorozatok A techikai és a gyakorlati alkalmazás szempotjából redkívül fotosak azok a sorozatok, amelyek mide határo túl övekedek, illetve csökkeek. Most megadjuk eze heurisztikus fogalmak potos defiícióját..5. Defiíció. Azt modjuk, hogy az {a } sorozat plusz végtelehez tart, ha mide K valós számhoz létezik olya N N küszöbszám, hogy N eseté a > K. Ezt a téyt a következő módo jelöljük: a + vagy a +..6. Defiíció. Ha az {a } sorozat olya, hogy a ) +, akkor azt modjuk, hogy az {a } sorozat miusz végtelehez tart, és ezt a téyt a következő módo jelöljük: a vagy a.
.5. Koverges sorozatok 9 Ameyibe az {a } sorozat valamelyik végtelehez divergál, szokás azt modai, hogy tágabb értelembe koverges vagy valódi diverges sorozat. Ilye szóhaszálat eseté a + és a is tekithető valamely sorozat határértékéek, bár egyik sem szám... Példa. a) A természetes számok,,,...,,... sorozata + -be divergál. b) A egatív egész számok { } sorozata -be divergál,. c) A, 4, 8,...,,... sorozat + -be divergál,. d) A, 8,,...,,... sorozat -be divergál,. Az a sorozat a b sorozatak, a c sorozat a d sorozatak részsorozata, így a feti példák azt mutatják, hogy a valódi diverges sorozatok bizoyos tekitetbe hasolóa viselkedek, mit a koverges sorozatok. Érvéyes a következő állítás:.. Tétel. Ha {a } valódi diverges sorozat, akkor mide részsorozata is az..4. Példa. Az a sorozat 0-hoz kovergál. A b sorozat végtelebe divergál. Általáosa igaz a következő tétel... Tétel. Ha a 0 a > 0), akkor a. Ha a, akkor a 0. Bizoyítás. Tegyük fel, hogy a 0, és legye K tetszőleges adott szám. Azt kell megmutatuk, hogy elég agy -re a > K. Feltehetjük, hogy K > 0, mert ha a sorozat tagjai valahoa kezdve pozitív K-ál agyobbak, akkor ez egatív K-ra még ikább igaz. Legye tehát K > 0. Ekkor K is pozitív, és > K akkor és csak akkor áll fe, ha a < teljesül, ez utóbbi viszot az a K a 0 feltétel miatt elég agy -ekre igaz. A tétel második részéek bizoyításához iduljuk ki abból, hogy a, és legye ε tetszőlegese megadott pozitív szám. Ekkor 0 a < ε a teljesül, ha a > ε, ez pedig az a feltétel miatt elég agy -ekre teljesül, tehát a 0. Ezzel a tételt bebizoyítottuk... Tétel. Ha a és c > 0, akkor ca, míg ha c < 0, akkor ca. Bizoyítás. Először tegyük fel, hogy c > 0, és K tetszőleges szám. Ekkor ca > K mide olya -re feáll, amelyre a > K c, ez pedig elég agy -ekre az a feltevés miatt igaz. Ezzel bebizoyítottuk, hogy ca.
94. SZÁMSOROZATOK Legye most c < 0, és k tetszőleges adott szám. Ekkor a ca < k mide olya - re teljesül, amelyre a > k c, ami a miatt elég agy -ekre igaz. Ezzel a tétel bizoyítást yert. A végtelehez tartó sorozatok esetébe em fogalmazhatuk meg a határértékre voatkozó olya tételeket, amilyeeket az előzőekbe kimodtuk a végeshez kovergáló sorozatok esetébe. Így em modhatuk semmi biztosat a, 0, típusú határértékekről. Hasolóa kritikusak a, 0, 0 0 és 0 0 típusú határértékek is..5.. Műveletek koverges sorozatokkal A következő fejezetbe láti fogjuk, hogy még viszoylag egyszerű sorozat kovergeciájáak bizoyítása sem triviális. Ezért is va jeletősége a koverges sorozatok és az alapműveletek kapcsolatáak, ugyais éháy egyszerű sorozat határértékéek ismeretébe boyolultabb sorozatok határértéke is meghatározható. Most éháy olya szabályt mutatuk meg, amelyek a sorozatok határértékéek gyors kiszámítását teszik lehetővé..4. Tétel. Ha az {a } és {b } sorozatok kovergesek, akkor az {a + b } és az {a b } sorozatok is kovergesek, mégpedig úgy, hogy a + b ) a + b, a b ) a b..5. Tétel. Ha az {a } és {b } sorozatok kovergesek, akkor az {a b } sorozat is koverges, mégpedig úgy, hogy a b ) a b..6. Tétel. Ha az {a } és {b } sorozatok kovergesek, valamit b 0, akkor az { } a sorozat is koverges, mégpedig úgy, hogy b a b a b.7. Tétel. Ha az {a } sorozat koverges, akkor érvéyesek az alábbi egyelőségek:. a) C a ) C a, C kostas, b) a ) k a ) k, k N. c) k a k a, k N. d) log a a log a e) e a e a. a ), a > 0, a.