Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Végtelen sorok konvergencia kritériumai BSc szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Bogye Tamara Szentmiklóssy Zoltán Matematika BSc adjunktus Matematika tanári Analízis szakirány Tanszék Budapest 20

Tartalomjegyzék Bevezetés 4. Végtelen sorok története 5.. Ókor..................................... 5.2. Közép és koraújkor............................. 7 2. Alapok 0 2.. Alapfeltételek és deffiníciók........................ 0 2.2. Végtelen sorok és műveletek........................ 2 3. A legismertebb kritériumok 4 3.. Cauchy - kritérium............................. 4 3.2. Minoráns kritérium............................. 4 3.3. Majoráns kritérium............................. 4 3.4. Leibniz - kritérium............................. 5 3.5. Cauchy-féle Gyökkritérium......................... 5 3.6. d Alambert féle hányadoskritérium.................... 7 4. Kevésbé ismert kritériumok 9 4.. Hányados-minoráns kritérium....................... 9 4.2. Hányados-majoráns kritérium....................... 9 4.3. Raabe kritérium............................... 20 4.4. Kummer kritérium............................. 22 4.5. Bertrand - kritérium............................. 23 4.6. Gauss - kritérium.............................. 24 2

4.7. Integrálkritérium.............................. 25 4.8. Kondenzációs kritérium........................... 26 4.9. Dirichlet I. kritériuma............................ 27 4.0. Dirichlet II. kritériuma........................... 27 4.. Abel - kritérium............................... 28 5. További néhány kritérium 30 5.. Jermakov - kritérium............................ 30 5.2. Jame - kritérium............................... 30 5.3. Logaritmikus kritérium........................... 3 6. Végtelen sorok a középiskolában 32 6.. Számsorozatok............................... 32 6.2. Végtelen sorok............................... 35 Köszönetnyilvánítás 36 3

Bevezetés Szakdolgozatom témájaként a végtelen sorok konvergencia kritériumait választottam. Fontosnak tartottam, hogy olyan területét mutassam meg a matematikának, mely hozzám is közel áll. A tudományra fogékony embereket mindig is foglalkoztatta az a gondolat, hogy vajon mi lehet egy - egy végtelen sor összege, és ezt hogyan számolhatjuk ki. E, korokon átívelő problémára szeretnék néhány megoldást mutatni munkám során. http://de.inforapid.org/index.php5?search=konvergenzkriterium 4

. fejezet Végtelen sorok története.. Ókor Az ókorban is gyakran voltak olyan problémák, feladatok, melyek megoldásához bizonyos sorozatok, sorok ismerete elengedhetetlen volt, ezért már az akkori tudósokat is mélyen foglalkoztatták. A babilóniai aritmetika foglalozott először a mértani sorozattal és a négyzetszámok sorozatával. Külön táblázatokon vezették az + 2 2 + 2 3 + 2 4 +... + 2 9 és az + 2 2 + 3 2 +... + 0 2 sorokat, melyekről elmondható, hogy általánosságban is ismert volt előttük első n elemeiknek összege és maga a kiszámítási folyamat is. Ám az egyiptomiaktól sem álltak távol ezen ismeretek. Ők a felezés, vagy ahogyan hívták kettőzés műveletével kapták az,, 8, 6, 32... mértani sorozatot. Ezt főleg a gabonamennyiségek bizonyos törtrészeinek kiszámításakor hasznosították. Ismerték tehát a mértani és a számtani sorozat fogalmát is. Ezekre példát az Ahmesz-papirusz két feladata ad : 5

. 00 cipót 5 felé kell osztani, úgy, hogy a részek számtani sorozatot alkossanak, és a 3 nagyobb rész összegének a hetede legyen akkora, mint a két legkissebb rész összege. Megoldásnak a következőt adták: ( 2, 0 5, 20, 29, 38 ) 3 6 6 3 2. 7 ház mindegyikében 7 macska lakik, amelyek közül mindegyik megevett fejenkét 7 egeret, és minden egér 7 kalászt, és minden kalászban volt 7 szem búza. Mennyi ezek összege? Megoldásuk: 7 ház 49 macska 343 egér 240 kalász 6807 búzaszem 9607 A lapon tehát egy mértani sorozat első 5 eleme, melynek hányadosa 7, és maga az összeg fedezhető fel. Az ókori görögöknél pedig már felmerül a végtelen sok szám összegének a gondolata is. A leghíresebb feltevések a végtelen sorok összegével kapcsolatban Zénonhoz köthetőek, és az Ő paradoxonjaihoz. Ilyen ellentmondások, például, hogy a kilőtt íj sosem ér célba, ugyanis hiába cézunk például egy almára a nyíl először megteszi az almáig tartó távolság felét, majd a maradék távolság felét, majd a hátralévőnek a felét és így tovább. Ekkor ugyan azt az eredményt kapjuk, mint amikor megpróbálunk elindulni A pontból B pontba a fentiekhez hasonló módon. Illetve, hogy Akhilleusz akármennyire is gyorsabban tud futni a teknősnél sosem fogja utolérni. Persze Zénon még nem tudta, hogy végtelen sok szakaszt egymás után téve egy véges szakaszt kaphatunk. Ma már ezt is tudjuk, de ehhez még rengeteget kellett fejlődnie a tudománynak. Először majd 00 évvel Zénon után, Arisztotelész fedezte fel, hogy az egynél kisebb kvóciensű mértani soroknak véges összege van. Ő az a, a 2, a 3,...a n mértani sorozatot vizsgálta, melynek hányadosa. 4 6

.2. Közép és koraújkor A középkorban csak a fizikai problémákkal kapcsolatban merültek fel a végtelen sorok és azok összegei. Ám az elkövetkezendő korokban óriási fejlődésnek indult a tudomány ezen ága. A XVI. században Francois Viete megadta a mértani sor összegének képletét. A XVII. században Gregory De Saint Vincent Zenon paradoxonjait vizsgálta. Ő mutatta meg, hogy, ha egy mértani sor kvóciense -nél kisebb, akkor is véges az összege. Még Newton előtt alkalmazta a binomiális tételt, és ismerte az arctan x hatványsorát is. Tudta ugyanis, hogy y = +x 2 görbe alatti terület [0, x] intervallum felett épp arctan x, az +x 2 osztásból kapta: Ebből = x 2 + x 4 x 6 +... +x 2 Tehát x 0 dx. = x +x 2 0 ( x2 + x 4 x 6...) dx. arctan x = x x3 3 + x5 5 x7 7 +... Ez az úgynevezett Gregory sor, ami azonos arctan x Taylor-sorával (40 évvel Taylor előtt). Ugyan ebben a században Nicolaus Mercator hasonlóan nyerte az ln( + x) Mercator sorát. Az ezt követő időkben két kivánló tudós egymással párhuzamosan fedezte fel a differenciál, és integrál számítást, mely nagy előrelépés volt a végtelen sorok fejlődésében is. Ezen tudósok Sir Isaac Newton és Gottfried Wilheim Leibniz voltak. Newton kezdte el alkalmazni azt a módszert, hogy az integrálandó függvényt először hatványsorba fejtette, majd ezt integrálta. Sorbafejtési eljárásához használta a binomiális tételt, racionális függvényeknél a Gregory eljárás, határozatlan együtthatók módszerét, új változók bevezetését. Eleinte azt hitte minden függvény hatványsorba fejthető, ezáltal az integrlás könnyed eljárássá válik majd. Csak később jött rá, hogy ez koránt sincs így. Ezzel szemben Leibniz nem akart minden függvényt sorba fejteni, inkább zárt alakkal szeretett dolgozni. Többek között előállították a már emlegetett ln( + x)-et, de a sin x és cos x is az Ő munkásságuk gyümölcse. Brook Taylor Newton interpolációs képletét áltlánosítva kapta a Taylor-sort. Ennek egyik speciális alakját később, de Taylortól eltérő 7

módon állította elő Maclaurin. A XVIII. század nagy alakjai, Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, és Pierre Simon Laplace munkásságát is rendkívül fontos megemlíteni. 797-ben Lagrange megjelentette Théorie des fonctious analytiques ( Az analitikus függvények elmélete) című könyvét. Ebben a differenciálás algebrai módszereit részletezi. Többek között bizonyította, hogy előállítható minden f(x + h) = f(x) + a h + a 2 h 2 +... + a n h n + R n alakú Taylor - sorral csak algebrai úton, majdnem mindenütt. A differenciál hányadosokat Taylor sor együtthatóiént értelmezte. Így a határérték fogalmát kikerülte. Fő hibája, hogy csak az analitikus függvényekre érvényes. Elsőként határozta meg a (R n ) maradéktagot konkrét függvényeknél, és először állította elő a Taylor - sor maradéktagját integrál alakban. Ő használta először a középértéktételt, a derivált kifejezést, és az f (x) illetve az f (n) (x) jelöléseket. A XVIII. században meghatározták a konvergencia pontos fogalmát, feltételét, és a végtelen sorok összegét helyesen értelmezték. A nagy áttörést a XIX. században Augustin Louis Cauchy felfedezései hozták meg. Meghatározta, hogy egy végtelen sor összege részletösszegek sorozatának hatátértéke, tehát egy sor akkor konvergens, ha ez a határérték létezik. A váltakozó előjelű sorokra bevezette az abszolút konvergencia fogalmát. Összefüggést adott az abszolútértékű tagok álltal alkotott sor konvergenciája és az eredeti sor konvergenciája között. Konvergencia vizsgálati eredménye - képpen megfogalmazott több konvergencia kritérimot is. Ezek közül a leghíresebb a Róla elnevezett Cauchy-féle konvergencia kritérium. Bevezette a komplex változójú hatványsoroknál a konvergencia kör fogalmát, amely kiszámítható az r = lim sup n a n Ez az úgy nevezetett Cauchy-Hadamard formula. A függvény hatványsorának konvergenciája nem feltétlenül jelenti azt, hogy a sor az alapfüggvényhez tart. Észrevette, hogy ha két sor abszolút konvergens, akkor direkt szorzatuk is konvergens. És a határértéke az alapsor határértékeinek szorzata. Ezután Peter Gustav Lejenue Dirichlet, német matematikus, akinek a nevéhez fűződik az előírt peremértékű harmonikus függvények problémája. Ő fedezte fel, hogy az 8

a, a + b, a + 2b, a + 3b... a + nb számtani sorozatban végtelen sok prímszám van, ha a, b-nek nincs közös osztója, kivéve az egyet. A tudomány további fejlődését olyan kiemelkedő matematikusok segítették, mint Georg Friedrich Bernhard Riemann, Simeon Devis Poisson, Moritz Cantor, Georg Gaberiel Stokes, Karl Teodor Wilhelm Weierstrass, Karl Fridrich Gauss, Jean Baptiste Joseph Fouier, Henry Louis Lebesgue, Haar Alfréd, Fehér Lipót, Riesz Frigyes, Ernst Fischer. Természetesen napjainkban is vannak akik e tudományág elkötelezett hívei. 9

2. fejezet Alapok 2.. Alapfeltételek és deffiníciók Ebben a fejezetben bevezetem a végtelen sor fogalmát, a konvergenciáját, és a sorokkal való néhány műveletet. 2... Definíció. []A a n végtelen sor részletösszegein az s n = n a i, n Z + számokat értjük. Ha a részletösszegekből képzett (s n ) sorozat konvegens és határértéke A, akkor azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor konvergens és az összege A. Ennek jelölése a n = A. Tehát s 0 = 0 a k = a 0 k=0 s = a k = a 0 + a k=0 s n = n a k = a 0 + a +...a n k=0 Amennyiben az (s n ) sorozat divergens akkor azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor divergens. Ha lim n s n = (vagy ) akkor azt mondjuk, hogy a n végtelen sor összege (vagy ). Ennek jelölése a n = (illetve ). 2..2. Példa. []+ + + +... sor n-dik részletösszege s 2 4 8 n = n igaz, hogy lim n s n = 2 ezért a sor konvergens és összege 2. i= i=0 2 i = 2 2 n. Mivel 0

2..3. Tétel. []Ha (a n ) sor konvergens, akkor lim n a n = 0. Bizonyítás. A sor összege legyen A. Mivel a n = (a +... + a n ) (a +... + a n ) és (a +... + a n ) = s n (a +... + a n ) = s n igaz, ezért a n = s n s n Tehát a n A A = 0. Ám ez a tételben szereplő feltétel a konvergenciához szükséges, de nem elégséges feltétele. Erre jó példa a következő: 2..4. Példa. []Vegyük a úgynevezett végtelen harmonikus sort. n Bizonyítás. Nézzük a sor s n, n-ik részletösszegét, amely ( + 2 +... + n ) és s 2n-t. s 2n s n = ( + 2 +... + 2n ) ( + 2 +... + n ) = ( n+ + n+2 +... + 2n ) 2n n = 2 n-re. Tegyük fel, hogy a harmonikus sor konvergál A-hoz. Ekkor, ha n akkor s 2n s n A A = 0, ami nem lehet. Tehát a sor divergens. 2..5. Tétel. []. Egy nem negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens ha részletösszegeinek sorozata korlátos felölről. 2. Ha egy nem negatív tagú sor divergens akkor az összege végtelen. Bizonyítás. A sor tagjai nem negatívak, akkor a sor részletösszegeinek sorozata monoton nő. Ha ezen sorozat korlátos felülről, akkor konvergens, ha viszont nem korlátos akkor a végtelenhez tart. Tehát a végtelen sor vagy konvergens, vagy divergens és az összege végtelen. Így a végtelen harmonikus sor is divergens és az összege. 2..6. Tétel. []Cauchy - kritérium A a n végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha ɛ > 0 - hoz N index, hogy n N és bármely m n -re a n+ + a n+2 +... + a m < ɛ.

2.2. Végtelen sorok és műveletek 2.2.. Tétel. []Ha a n sor konvergens és összege A, valamint n=0 és összege B akkor (a n ± b n ) sor is konvergens és összege A ± B. n=0 b n sor is konvergens 2.2.2. Tétel. []Adott a a n sor, mely konvergens és összege A, valamint a c R szám. n=0 Akkor a c a n sor is konvergens és összege c A. n=0 2.2.3. Tétel. []Konvergens sorba tetszőleges számú zárójelet beiktatva, nem változik a konvergencia ténye és a sor összege. 2.2.4. Tétel. []Bármely a n végtelen sornak elhagyva valahány véges számú tagját, n=0 sor konvergenciája illetve divergenciájának ténye nem változik. 2.2.5. Tétel. []Bármely a n végtelen sorhoz hozzáadva valahány véges számú tagot, a n=0 sor konvergenciájának illetve divergenciájának a ténye nem változik. 2.2.6. Definíció. []A a n konvergens sor első n (n Z + ) tagjának elhagyásával nyert h n = n =n+ n=0 a n konverges sor összegét az eredeti sor maradékösszegének hívjuk. 2.2.7. Tétel. [] a n konvergens sor maradékösszegeinek h n (n Z + ) végtelen sorozata nullsorozat. n=0 2.2.8. Definíció. []A a n végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a a n sor konvergens. n=0 n=0 n=0 2.2.9. Tétel. []. Minden abszolút konvergens sor konvergens. 2. Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezettje is abszolút konvergens, és összege megegyezik az eredeti sor összegével. n=0 2.2.0. Definíció. []A a n végtelen sort feltételesen konvergensnek mondjuk, ha konvergens, de nem abszolút konvergens. 2

2.2.. Definíció. []Az (a n ) számsorozatot akkor nevezzük korlátos változásúnak, ha (an+ a n ) sor abszolút konvergens. 2.2.2. Tétel. []Riemann átrendezési tétele Ha (a n ) sor feltételesen konvergens akkor az átrendezettjei között van olyan amelyiknek az összege, van amelyiknek, minden A R számra van olyan amelyik konvergens és az összege A, és olyan is van amelyik divergens és nincs összege. 3

3. fejezet A legismertebb kritériumok 3.. Cauchy - kritérium 3... Tétel. []A a n végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha ɛ > 0 - hoz N index, hogy n N és bármely m n -re a n+ + a n+2 +... + a m < ɛ. 3.2. Minoráns kritérium 3.2.. Tétel. []Ha 0 a n,b n és N, hogy az a n b n n > N-re valamint a n divergens, akkor a b n is divergens. 3.2.2. Példa. [] Tudjuk, hogy n kérdéses sort. Tehát a konvergens - e vagy divergens? 2n+ divergens és 3n < 2n+. Tehát a sor divergens. 2n+ = 3n 3 n sor minorálja a 3.3. Majoráns kritérium 3.3.. Tétel. []Ha 0 a n,b n és N, hogy az a n b n n > N-re valamint b n konveges, akkor a a n is konvergens. 3.3.2. Példa. []Konvergens - e vagy divergens az alábbi sor? 4

. létezik egy n 4 +5n 25 n úgy, hogy n < n. Például konvergens sor majorálja az eredeti sort. Tehát sor konvergens. n 4 +5n 25 n=n 2 n 4 3.4. Leibniz - kritérium 3.4.. Tétel. []Ha az (a n ) sorozat monoton csökkenő és nullához tart, akkor ( ) n a n sor konvergens. Bizonyítás. A sor n-ik részletösszege legyen s n. A feltételből következik, hogy s 2 s 4... s 2n s 2n s 2n 3... s 3 s n-re. Így (s 2n ) sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, míg az s 2n sorozat monoton növő és felülről korlátos. Ebből következően mind kettő konvergens. Mivel igaz, hogy s 2n s 2n = a 2n 0 lim n s 2n = lim n s 2n Amiből következik, hogy az (s n ) sorozat konvergens. 3.4.2. Példa. []Döntsük el a következő sorról, hogy konvergens - e vagy divergens? ( ) n n+. Az n+ sorozatról tudjuk, hogy monoton fogyó nullsorozat, ezért n (n+2) n (n+2) a sor a Leibniz - kritérium szerint konvergens. Az n+ n (n+2) = n+2 n (n+2) = n+2 n (n+2) n (n+2) = n n (n+2) n. 3.5. Cauchy-féle Gyökkritérium 3.5.. Tétel. []. Ha olyan q < szám, hogy n a n < q teljesül elég nagy n esetén, akkor a n sor abszolút konvergens. 2. Ha lim n n a n <, akkor a n sor abszolút konvergens. 3. Ha végtelen sok n index esetén n a n akkor a a n sor divergens. n=0 5

Bizonyítás.. feltétel szernt a n < q n minden elég nagy n esetén. A q n geometriai sorról tudjuk (q R). Ha q, akkor [2.3 Tétel] szerint a sor divergens mivel a konvergenciához szükséges feltétel nem teljesül: lim q k 0. Ugyanis ha q < akkor ugyanis lim n q n+ = 0. s n = q k = qn+ q és q k = lim s n = q 3.5.2. Példa. []Konvergens vagy divergens a ( ) n5 sor? n 4 A fenti tételt alkalamazva: Tudjuk, hogy lim n ( n n ) nn e Megjegyzés n ( ) n 4 n5 = ( ) n4. n 4 <. Tehát az eredeti sor konvergens.. A gyökritérium feltételei, nem szükségesek ahhoz, hogy egy sor konvergens legyen. n Például: konvergens, pedig lim n 2 n = n 2 3. 2. lim n n (a n ) = feltételből sem a sor konvergenciájára, sem pedig a divergenciájára vonatkozólag semmit sem következtethetünk. Például: sor konvergens, míg divergens, n 2 n n n pedig lim n = lim n 2 n = n a n sor konvergenciájához nem elég, hogy elég nagy n-re n a n <. Mert ebből csak az következik, hogy a n < elég nagy n-re, és nem az, hogy a n 0 ami a konvergenciához lenne szükséges feltétel. 6

3.6. d Alambert féle hányadoskritérium 3.6.. Tétel. []Legyen a n, a n > 0 n Z + sor konvergens, ha q R, melyre fennáll: n=0 A sor divergens ha a n+ a n. Bizonyítás. qk+ q k q k, k=0 a n+ a n q < n Z +. 0 < q < konvergens sor két egymást követő tagjának hányadosa = q. Tudjuk, hogy igaz, ha a a k, a k > 0 konvergens (ahol a k melynek tagjai véges sok tag kivételével a k sor tagjait minorálják) és a k, igaz, hogy a k+ a k a k+ a k tagjának hányadosa, így ha a k, hogy a k+ a k a k+ a k Megjegyzés: k=0 a k is konvergens. k=0 a k divergens. k=0 a k > 0 tagjaira divergens sor két egymást követő k=0 a k > 0 divergens és a k, k=0 a k > 0 tagjaira igaz,. A hányadoskritérium feltételei nem szükségesek, hogy egy sor konvergens legyen. n Például sor konvergens, annak ellenére, hogy lim 2 n 2 n =. (n+) 2 Tehát nem létezik olyan q <, hogy igaz lenne n 2 (n+) 2 n Z +. < q minden elég nagy 2. Ha lim n a n+ a n = feltételből sem a konvergenciára sem a divergenciára nem lehet következtetni, például divergens, konvergens, n n 2 pedig lim n n n+ = lim n n2 (n+) 2 =. 3.6.2. Következmény. []Ha a n > 0 akkor a n konvergens. n=0 lim n a n+ a n < és 0 lim k a k+ a k < 3.6.3. Példa. []Konvergens - e az a n = 2n n! n n végtelen sor? a n+ 2 n+ (n+)! (n+) n+ 2 = n n! n n a n = Mivel tudjuk, hogy 2 n 2 (n+)! (n+) n (n+) 2 n n! = 2 n n n = n+ n+ n = + n n+ 2n (n+)! n 2 n n! (n+) n. Ezért a fenti egyenlet tovább egyenlő: n n = 2 n n 7

Tehát a n konvergens. 2 2 <. (+ n )n e 3.6.4. Állítás. []Ha (a n ) sorozat tagjai különböznek 0-tól, akkor lim sup a n+ a n < akkor lim sup n a n <. 3.6.5. Következmény. []Ha (a n ) sorozat tagjai nullától különböznek és a n sorról a hányadoskritériummal eldönthető, hogy konvergens-e, akkor a gyökritériummal is. De fordítva sajnos ez nem igaz. 3.6.6. Példa. [] n x n sor abszolút konvergenciája x < esetén a hányados kritériummal: n=0 (n+) x n+ = x n+ n x n n x <, ha n. Gyökkritériummal: n n x n = n n x n = n n x x 3 n ha n páros 3.6.7. Példa. []Adott (a n ) = n=0 5 n ha n páratlan Gyökitériummal: Hányadoskritériummal: aa n+ a n = Tehát: lim sup a n+ a n lim n 2n a 2n = 3 lim n 2n+ a 2n+ = 5 sup n a n = 3 konvergens. ( 3 5 5 )n ha n páros ( 5 3 3 )n ha n páratlan = gyökkritériummal könnyedén míg hányadoskritériummal nem dönthető el ez esetben a konvergencia. 8

4. fejezet Kevésbé ismert kritériumok 4.. Hányados-minoráns kritérium Ha (z n ) pozitív tagú sor divegens, N Z + pedig olyan, hogy ettől kezdve k egészre a k > 0 és a k+ a k z k+ z k akkor (a k ) sor is divergens. Bizonyítás. A fenti feltételben szereplő egyenlőtlenséget N < n mellett k = N-re, k = N + -re...,k = n indexre felírva majd összeszorozva őket kapjuk, hogy N < n a n a N zn z N 4.2. Hányados-majoráns kritérium Ha (z n ) pozitív tagú konvergens sor, N Z + pedig olyan, hogy ettől kezdve k Z a k+ a k z k+ z k akkor (a n ) abszolút konvergens sor. Bizonyítás. A fenti feltételben szereplő egyenlőtlenséget N > n melett k = N-re, k = N + -re...,k = n indexre felírva majd összeszorozva őket kapjuk, hogy N < n a n a N zn z N 9

4.3. Raabe kritérium Tegyük fel, hogy pozitív egész n-re az a n > 0 sorozat, és legyen R n = n ( an a n+ ). Ha lim inf R n > (a n ) sor konvergens. 2. Ha R n egy indextől kezdve (a n ) sor divergens. Bizonyítás.. A feltétel szerint olyan pozitív r és olyan pozitív egész N index melytől teljesül a következő egyenlőtelenség: n ( an a n+ ) > + r Ha ezt a kövezkező módon átrendezzük: n a n (n + ) a n+ > r a n+, n N majd N, N +,..., n indexekre alkalmazzuk: N a N (N + ) a N+ > r a N+ (N + ) a N+ (N + 2) a N+2 > r a N+2. n a n (n + ) a n+ > r a n+ majd az egyenlőtlenségeket összeadva, a bal oldalt felülről becsülve: adódik. Ezt átalakítva N a N > N a N (n + ) a n+ > r N a N r > n+ e=n+ a e. n+ a e e=n+ 20

Majd mindkét oldalhoz hozzáadjuk a N a e -t. e= N a N r + N e= a e > n+ e= a e. A bal oldalon álló szám a jobb oldali részletösszegek felső korlátja, így ebből következik, hogy a e konvergens. 2. Az előzőekhez hasonlóan adódik, csak itt n ( an a n+ ), n N összefüggést alakítjuk át és írjuk fel N, N +,...,n indexekre. Majd az így nyert egyenlőtlenségeket összeadva, (n + )-el elosztva N a N n+ a n+ kapjuk. Itt már minoráns kritériumot alkalmazva kiderül, hogy a e divergens sor. 4.3.. Példa. []Döntsük el a következő sorról, hogy konvergens - e vagy sem! n ( α n) = an sorozatból képzett végtelen sor. Ha α 0 akkor a n pozitív tagú sorozat. Alkalmazzuk a Raabe - kritériumot: R n = n (( Kis trükkel átalakítjuk: α! n! (α n)! α! (n+)! (α (n+)!) ) ) = n ( n+ α n ). R n = n ( n α+α+ ) = n ( + α+ n ) = (α + ) α +. n α n α n α 2

4.4. Kummer kritérium Tegyük fel, hogy pozitív egész n-re a n melyre igaz, hogy =. Ekkor c n. Ha lim inf(c n a n a n+ c n+ ) > 0 (a n ) konvergens. > 0, és c n pozitív tagú segédsorozat, 2. Ha egy indextől nézve c n a n a n+ c n+ 0 a n divergens. Bizonyítás.. lim inf(c n a n a n+ c n+ ) > 0 feltételből következik, hogy létezik olyan ɛ R +, hogy egy N indextől kezdve Ebből következik, hogy c n a n a n+ c n+ ɛ. c n a n c n+ a n+ ɛ a n+. Tehát (c n a n ) egy indextől monoton csökkenő pozitív tagú sorozat így konvergens. cn a n c n+ a n+ konvergens sor, mert n esetén s n = n c k a k c k+ a k+ = c a c n a n c a lim n c n a n. k= Alkalmazzuk a majoránskritériumot így ɛ a n konvergens. Tehát a n is konvergens. 2. A feltétel szerint létezik olyan N index, amelytől kezdve Tehát akkor az Mivel c n hogy a n divergens. c n a n a n+ c n+ 0 a n a n+ c n c n+ = cn c n+. = ezért a hányados - minoráns kritériumot alkalmazva kapjuk, 22

4.5. Bertrand - kritérium Tegyük fel, hogy pozitív egész n-re a n > 0 sorozat és B n = (n ( an a n+ ) ) ln n, n Z +.. Ha lim inf B n > konvergens a a n sor 2. Ha egy indextől kezdve B n a n divergens. Bizonyítás.. A Kummer kritériumot alkalmazzuk c n = n ln n, n Z +, n 2 segédsorozattal. lim inf(n ln n a n a n+ (n + ) ln(n + )) > 0 átalakítjuk: lim inf(ln n (n ( an a n+ ) ) + (n + ) ln n n+ ) > 0 majd a következő összefüggés: (n + ) ln n n+ = (n + ) ln( + n ) = ln( + n )(n+) segítségével kapjuk: lim inf ln n(n ( an a n+ ) ) <, ami a kritérium feltétele a konvergenciához. 2. Itt ugyanúgy a Kummer kritériumot alkalmazzuk a c n = n ln n, n 2 segédsorozattal. Azaz, ha: (n ln n a n a n+ (n ) ln(n + )) 0 Akkor átrendezve: ln n (n ( an a n+ ) ) + (n + ) ln n n+ ) 0 23

kapjuk. Az (n + ) ln n vizsgálva kapjuk, hogy egyenlő n+ ln( + n )(n+) - hez. Tehát (n + ) ln n n+ <. így kapjuk, hogy: ln n (n ( an a n+ ) ). Tehát a végtelen sor divergens. 4.5.. Példa. [] n 2 ln n n 2 konvergens. 4.5.2. Példa. []További pédák divergens sorokra: vagy a n 2 ln n n n 2 n ln n 4.6. Gauss - kritérium Tegyük fel, hogy pozitív egész n-re a n > 0 sorozat, és olyan α, β R +, γ R és (b m ) korlátos sorozat, hogy an a n+ = α + γ n + bn n +β, n Z + akkor, ha. α > esetén konvergens, α < esetén pedig divergens a (a n ) végtelen sor. 2. Ha α = és γ > akkor konvergens. Ha pedig α = és γ akkor (a n ) végtelen sor divergens. Bizonyítás. 2. α = esetén a Raabe - kritériumot alkalmazva lim n n ( an a n+ ) = lim n γ + bn n β = γ. Ekkor γ > esetben (a n ) konvergens, γ < esetén deivergens. Amennyiben γ = Bertrand - kritériummal belátható, hogy divergens. Ugyanis lim n n ( an a n+ ) ln n = lim bn ln n n β = 0, ami kisebb mint. 24

. Ha α >, akkor hányadoskritériummal lim n a n+ a n = lim n α+ γ n + bn n +β = α ami kisebb, mint, tehát a (a n ) sor konvergens. Ha az α < akkor értelemszerűen adódik, hogy α > tehát a sor divergens. 4.7. Integrálkritérium 4.7.. Tétel. []Legyen a Z és f : [a, ] R félegyenesen monoton csökkenő és nem negatív függvény. f(n) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens (illetve divergens), ha a 4.7.2. Példa. [] n=0 n=a f(x)dx improprius integrál konvergens (divergens). n konvergens -e? n 2 +2 x dx = lim y x 2 +2 n x dx = x 2 +2 lim y [ 2 ln(x2 + 2)] y = lim y ( 2 ) ln(y2 + 2) 2 ) ln(2 + 2) = Tehát a sor divergens. lim y ( 2 ) ln(y2 + 2) 2 ) ln(3) = lim y 2 ln( y2 +2 3 ). 4.7.3. Példa. [] n α α > hiperharmonikus sor konvergens -e? y dn = lim n α y n α dn = lim n [ n α+ α+ ]y = lim n ( y α ). α α Tehát az intergrál konvergens, ebből következően a hiperharmonikus sor is könvergens. 25

4.8. Kondenzációs kritérium 4.8.. Tétel. []Legyen (a n ) sorozat monoton csökkenő és nem negatív, akkor (a n ) és (2n a 2 n) végtelen sorok egyszerre konvergensek, vagy egyszerre divergensek. Bizonyítás. A fenti két sor mindeggyike nem negatív tagú, tehát a konvergencia attól függ, hogy a részletösszeg - sorozat korlátos - e felülről. Ehhez kellenek s n = n a k illetve S n = n 2 k a 2 k k= k= sorok részletösszegei. Illetve s 0 = 0 és S 0 = 0. Mivel ezen felül a 2n a i i > 2 n így S n S n = 2 n a 2 n s 2 n+ s 2 n S n = n (S k S k ) n (s 2 k+ s 2 k) = s 2 n+ s 2. k= k= Tehát ha (S n ) felülről korlátos, akkor (s 2 n+) is. monoton növő, korlátos felülről, ugyanis a 2 n a i amiből adódik (a n ) sor (s n ) részletösszeg - sorozat i 2 n így S n S n = 2 n a 2 n 2 (s 2 n s 2 n ) S n = (S k S k ) 2 (s 2 n s ). Tehát, ha (s n ) felülről korlátos akkor (S n ) is az. 4.8.2. Példa. []Konvergens vagy divergens a A kondenzációs kritérium alapján Mivel tudjuk, hogy e 2n 2n x 2 n = n e n 2 n 2 n e 2n = végtelen sor?. e 2n konvergens, ezért az erederi sor is konvergens. 4.8.3. Definíció. []Az (a n ) számsorozatot, akkor nevezzük korlátos változásúnak, ha n (a n+ a n ) sorozatból képzett végtelen sor abszolút konvergens. Egy számsorozat pontosan akkor korlátos változású, ha előállítható két konvergens monoton növő sorozat különbslge ként. 26

4.9. Dirichlet I. kritériuma 4.9.. Tétel. []Ha (b n ) sorozat (s n ) részéletössezeg - sorozata korlátos, és (a n ) korlátos változású nullsorozat, akkor a sn (a n a n+ ) és a (a n b n ) sor is konvergens, összegeik pedig egyenlőek. Bizonyítás. s n (a n a n+ ) sor abszolút konvergens, ugyanis ha a tagok abszolútértékét nézzük, akkor a belőlük képzett sor a részletösszegeinek alapján korlátos. n s k (a k a k+ ) = n n s k a k a k+ sup{ s k } a k a k+ k= k= k= ahol k, n Z +. A s n (a n a n+ ) abszolút konvergens sor, így konvergens is. Vezessük be az s 0 = 0 jelöléssel k Z + -ra y k = s k s k -et, így: n a k y k = n a k (s k s k ) = n a k s k n a k s k = k= k= k= k= n a k s k n a k+ s k = a n s n + n s k (a k a k+ ). k= k= k= Mivel (s n ) korlátos sorozat, (a n ) pedig nullsorozat, ezért (a n s n ) nullsorozat. Ha nézzük a két sor határértékét, akkor n a k y k = lim n a n s n + (a k a k+ ) s k = s k (a k a k+ )-et k= k= k= kapjuk, amit bizonyítani is szerettünk volna. 4.0. Dirichlet II. kritériuma 4.0.. Tétel. []Tegyük fel, hogy (b n ) sorozat részletösszegeinek sorozata korlátos, és az (a n ) monoton csökkenő és nullához tart. Ekkor a n b n végtelen sor konvergens. Bizonyítás. Kell, hogy ha (a n ) monoton csökennő nullsorozat, akkor korlátos változású. (an a n+ ) állandó előjelű, nem negatív előjelű tagú sorra: n a k a k+ = n (a k a k+ ) = a n a n+ a k= ha n. Majd Dirichlet I. tétele alapján (a n b n ) konvergens. k= 27

Megjegyzés. Dirichlet I. kritériumának következménye Dirichlet II. kritériuma. 2. Dirichlet II. kritérium speciális esete a Leibnzt - kritériummal egyezik meg. Méghozzá (b n ) = ( ) n illetve (b n ) = ( ) n esetekben. 4.0.2. Példa. []Nézzük a cos n. A (b n n) = (cos n) sorozat részletösszegei korlátosak az (a n ) = pedig monoton csökkenő nullsorozat. Belátni az s n n = sorról kell azt, hogy valóban korlátos. Ötlet: szorozzunk sin 2. s n sin = n cos k sin = cos sin +... + cos(n ) sin + cos n sin = 2 2 2 2 2 k= ( sin( ) + sin( + )... sin((n ) ) + sin((n ) + ) 2 2 2 2 2 sin(n 2 ) + sin(n + 2 )) = 2 (sin(n + 2 ) sin 2 ). így s n = sin(n+ 2 ) sin 2 2 sin, tehát tényleg korlátos az s n. Ebből következően 2 cos n n konvergens. 4.. Abel - kritérium 4... Tétel. []Ha b n sor konvergens, az (a n ) pedig korlátos változású sorozat, akkor a n b n sor konvergens. Bizonyítás. Mivel (a n ) korlátos változású, ezért konvergens. részletösszegeinek sorozata korlátos. k= b n sor konvergens, akkor lim n a n s n = lim n a n lim n s n = lim n a n így a n b n konvergens, és a n b n = lim n a n b n + s n (a n a n ). (Dirichlet I. konvergenciájának bizonyítása alapján) b n 28

4..2. Példa. []Döntsük el, hogy konvergens - e a 9 2 n n! = 9 9 2 n n! sorozat? n! ( 2 )n sor konvergens az Abel - kritérium szerint, ugyanis a n = n! monoton csökkenő nullasorozat, és ( 2 )n konvergens mértani sor. 29

5. fejezet További néhány kritérium 5.. Jermakov - kritérium 5... Tétel. []Tegyük fel, hogy f : [0, ] R + monoton csökkenő függvény, és lim n e n f(e n ) f(n) λ > akkor f(n) sor divergens. 5..2. Példa. []Döntsük el, hogy a = λ. Amennyiben λ < akkor f(n) sor konvergens, ha pedig n=2 (n 2) konvergens-e vagy sem! n ln n A jermakov kritériumot alkalmazva f(x) =, x [2, ] függvényre: x ln x f(e x ) e x f(x) = e x x ex x ln x Tehát a feltételek alapján a sor divergens. = ln x 5.2. Jame - kritérium 5.2.. Tétel. []Adott (a n ) nem negatív tagú sor és J n = ( n a n ) n lnn.. Amennyiben lim inf J n > akkor (a n ) végtelen sor konvergens. 2. Ha egy indextől kezdve a J n, akkor (a n ) divergens. 30

5.3. Logaritmikus kritérium 5.3.. Tétel. []Adott (a n ) pozitív tagú sor és L n = ln an ln n, (n 2, n Z+ ).. Ha lim inf L n > akkor a n konvergens 2. Ha egy indextől kezdve L n akkor (a n ) divergens. 5.3.2. Példa. []Döntsük el, hogy a n=3 (ln ln n) ln n A logaritmikus kritérium alapján a ( ) ln (ln ln n) L n = lnn ln n = ln(ln ln n)ln n ln n Tehát a feltétel szerint a sor konvergens. = konvergens-e vagy sem! ln n ln ln ln n lnn = ln ln ln n. 3

6. fejezet Végtelen sorok a középiskolában 6.. Számsorozatok A középiskolában a diákok először a számsorozat fogalmával és tulajdonságaival ismerkednek meg. A függvényekre vonatkozó ismereteikből kiindulva a valós értékű függvények értelmezési tartományának vizsgálatával jutnak el a valós számsorozat fogalmához. 6... Példa. [Számsorozatra], 5, 7, 9, 3... Ez f(x) függvény szerint: f() a = f(2) 5 a 2 = 5 f(3) 7 a 3 = 7. Az a i a sorozat i. eleme, az a n pedig az n. tag (álltalános tag). Ezek után a hozzárendelési módból kiindulva tárgyaljuk a sorozat megadási lehetőségeit. Ez történhet a tagok felsorolásával, vagy szövegesen, képlettel esetleg rekurzívan - megtudjuk az első néhány elemet, majd képletet adunk a további elemek kiszámítására. 32

6..2. Példa. [Szöveges megadás] A 2 számjegyeinek sorozata. 6..3. Példa. [Felsorolással való megadás] Ez a prímszámok sorozata. 6..4. Példa. [Képlettel való megadás] 6..5. Példa. [Rekurzív megadás] a = a 2 = 4 a 3 = a 4 = 4 a 5 = 2 2 3 5 7 3... {a n } = 2 n+ 3 a = a 2 = a 3 = 2... a n = a n 2 + a n Fibonacci-sorozat. A könnyebb átláthatóság és szemléltetés érdekében megmutatunk kétféle ábrázolási módot. Az egyik, mely szerint koordináta-rendszerben bejelöljük a sorozat néhány elemét, majd levonjuk a következtetést, hogy a grafikon diszkrét pontokból áll. A másik ábrázolási mód pedig, hogy számegyenesen szemléltetjük a sorozat tagjait. A következőkben a függvénytani tulajdonságok állnak az óra középpontjában. Tanult függvénytulajdonságok alapján értelmezzük a korlátosság, monotonitás, határérték fogalmait. 6..6. Példa. [] sorozatot tekintve {a n } = n 2 n+2 < n 2 n+2 = n+2 4 n+2 = 4 n+2 < Ezen a pélán keresztül a diákok maguk tapasztalhatják és fogalmazhatják meg, hogy a sorozat korlátos és monoton növő. Rájönnek, hogy a korlátosság vizsgálata az értékkészletre vonatkozik, a monotonitásnál pedig az értelmezési tartományon vizsgáljuk az értékkészlet elemeit.több példán keresztül szemléltetés és ábrázolás útján a konvergencia és a határérték fogalmát is megtaníthatjuk. Ezután pontos definíciót is adhatunk ezekre a fogalmakra. 33

6..7. Definíció. []Egy sorozat konvergens és határértéke az A valós szám, ha bármely ɛ > 0 számhoz N pozitív egész küszöbindex, hogy bármely n N + esetén igaz, hogy a n A < ɛ. Azt is mondhatnánk, hogy a sorozatnak csak véges sok tagja van a határérték tettszőlegesen kis környezetén kívül. Ez a fogalom a diákok számára nehéznek és emészthetetlennek bizonyul. Ezért rengeteg példa gyakorlásával érhetünk el sikert. Ezen példák megoldása közben jön elő a divergens sorozat elnevezés is. Ezzel párhuzamosan fedezik fel, hogy:. Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. 2. Minden konvergens sorozat korlátos. 3. Minden monoton korlátos sorozat konvergens. 4. Vannak olyan sorozatok, amelyek nem konvergensek, de van konvergens részsorozatuk. Minezdek áttekintése után a sorozatokkal végzett műveletek tárgyalásába kezdünk.a függvények kapcsán már tanulták a műveleteket ezért egy művelet megadása után mintaszerűen végezhetik a többit. Az összeg -, különbség -, szorzat - és a hányados sorozat határértékére vonatkozó szabályokat illetve a rendőr szabályt mondjuk ki és bizonyítjuk. Legvégül a majdani könnyebb számítások érdekében tárgyaljuk néhány nevezetes sorozat hatáértékét. Ilyan sorok például az. a n = sorozat, melynek konvergenciáját az arkhimédészi - axióma alapján vezetjük n le. 2. A mértani sorozat melyet megvizsgálunk a kvóciens nagyságának szempontjából. 3. a n = n a 4. a n = n n 5. a n = an n! 6. a n = ( + n ) n 7. Számtani sorozatok Végül rengeteg gyakorló feladattal sajátítjuk el a határértékek kiszámítását. 34

6.2. Végtelen sorok A végtelen sorokat Zenon paradoxonjai alapján játékosan vezetjük be és vetjük fel az összegzés problémáját. A konklúzió levonása után pontos definíciót adunk a végtelen sorokra, melyet a számsorozatból vezetünk le. Mindezek után a mértani sor részletösszegsorozatát a sor összegét és a konvergencia fogalmát tisztázzuk. Tárgyaljuk a nevezetes végtelen sorok határértékét. Levezetjük az összehasonlító (hányados, majoráns), hatvány illetve gyökkritériumot. Gyakorlásra kíválóak az alábbi példák: Döntsük el, hogy az alábbi sorok konvergensek - e vagy divergensek? ( n+ ) 3n ( n(n+2) ) ( x n n! n=0 ) 0 n 42 + 2 0, 5 + 5, 25 +... Egy 24 cm oldalú négyzet alakú papírlapot négy kisebb négyzetre vágunk, melyek oldala 2 cm. Három négyzetet oldalaikkal egymás melléhelyezünk. A negyediket négy kisebb négyzetre vágjuk, melyek oldalai 6 cm-esek. Ezek közül hármat a nagyobb négyzetek mellé teszünk. A negyedik négyzetet ismét négy kisebb négyzetre vágjuk, és az eljárást a végtelenségig folytatjuk. Határozza meg az egymás melletti négyzetek oldalainak együttes hosszát! 35

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Szentmiklóssy Zoltánnak, aki türelmével, tudásával, szakmai tapasztalatával segítette munkámat. Hálával tartozom még évfolyamtársamnak, Szabó Dávidnak, aki bevezetett a L A TEX rejtelmeibe. Végül de nem utolsó sorban szüleimnek, akik mindvégig mellettem álltak, támogattak, és akik nélkül mindez sosem sikerült volna. 36

Irodalomjegyzék [] CSÁSZÁR ÁKOS, Végtelen sorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 979. [2] DR. SZARKA ZOLTÁN, Végtelen sorozatok és sorok I. és II. kötet. Magas szinten könnyedén sorozat. LSI Alkalmazástechnikai Tanácsadó Szolgálat, Budapest, 988. [3] FARKAS MIKLÓS - HOFFMAN TIBORNÉ, Matematika IV. kötet - Végtelen sorok. Műegyetemi Kidaó, 994. [4] LACZKOVICH MIKLÓS - T. SÓS VERA, Analízis II. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2007. [5] URBÁN JÁNOS, Határérték - számítás. Műszaki kiadó, Budapest, 2006. [6] SZILÁGYI TIVADAR, Végtelen sorok, hatványsorok. http://www.cs.elte.hu/ sztiv/5vs.pdf [7] SZILÁGYI TIVADAR, Végtelen sorok, hatványsorok. http://www.cs.elte.hu/ sztiv/5vs.pdf [8] HTTP://MATHWORLD.WOLFRAM.COM/TOPICS/CONVERGENCE.HTML [9] SDT.SULINET.HU 37