Mtemtik összefoglló A középiskoli tg vázltos áttekitése, gkorló feldtok Összeállított: Deák Ottó mestertár Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
A emuttó vázlt Bemuttkozás, kozultáció célj Tpsztltok mtemtik középiskoli okttásáról A középiskoli tg vázltos és gors áttekités A Mtemtik Tszék mitdolgozták megoldás Továi mitpéldák megoldás Tácsok mtemtik tulásához Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Bemuttkozás Deák Ottó mestertár, BME Építőméröki Kr, Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék ELTE TTK Mtemtikus diplom év egetemi okttói tpsztlt K. év mtemtik korrepetálás középiskolásokk Az I. évf. 7. tkör osztálfőöke /. téve Segítőim z évfolm metori (diák ptróusi) Letöltés: http://www.gt.me.hu/stff_h/dek Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Tpsztltok I. A BME- mtemtik kiemelt fotosságú lptárg A felvételi dötő jeletősége v Mide műszki szktárg rá épül Alpkészségeket és godolkodásmódot tít Az egik első szűrő mérökké válás folmtá Szerepe és súl középiskolá Megövekedett tg Csökkeő követelméek Az érettségi szerepe tudás kotrolljá Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Tpsztltok II. Az elmúlt évek tpsztlt z egetemi okttás: egre lcso szitű mtemtik-ismeretekkel érkezek hllgtók z I. évre; leikális ismeretek g része hiázik ( ee v függvé-tálá!); gege számolási készség (számológépek hszált); feldt-megoldási ruti hiá (időhiá, más elfoglltság mitt); felvételiél em követelmé z emelt szitű mtemtik érettségi. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
Következméek Az elő felsorolt téezők htás z egetemi okttásr: z lpozó tárgk mgs ukási rá; z egeteme gkr középiskoli got is títi kell; em kimodott mtek-lpú tárgk is g lemorzsolódás (pl. geodézi). Védekezési mechizmusok z egetem részéről: mtemtik-felmérő írtás; felzárkózttó mtemtik-okttás (középiskolás g megtítás). Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
Mtemtik összefoglló Temtikus összeállítás A középiskoli tg fotos fejezetei Alpfoglmk, defiíciók, fő képletek, fotos tételek Nem pótolj tköveket! Szerepe: godoltéresztés, hiá-feltárás, figelmeztetés Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
Mtemtiki jelölések z g Szimolikus jelölések z g: : megdott értékek közelítőe egelőek : mide ol elem, mel : létezik ol elem, mel : z előzőekől következik : eleme mgdott hlmzk : em eleme hlmzk : megdott hlmz részhlmz (vlódi) : hlmzok egesítése (uiój) : hlmzok közös része (metszete) : megdott elemek összege Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 8
Algeri kifejezések I. Algeri kifejezés foglm, elemei Számok Változók Prméterek Műveleti jelek Zárójelek Számok kifejezéseke, számítási élesség Természetes számok Egész számok Rcioális számok Vlós számok (irrcioális szám foglmávl) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 9
Mtemtik kozultáció z I. évfolmk Algeri kifejezések II. Műveletek lgeri kifejezésekkel Zárójelek szerepe, felotás Rcioális kifejezések, műveletek törtekkel Kiemelés, összevoás, egemű kifejezés foglm Fotos lgeri zoosságok pártl N páros N N,,,,,
Mtemtik kozultáció z I. évfolmk Htváozás Ismételt szorzás, egszerű jelölés Azoosságok defiíció lpjá, kiterjesztése m m m m m m m q p q p
Gökvoás Négzetgök, -dik gök foglm Műveletek gökös kifejezésekkel m m Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Mtemtik kozultáció z I. évfolmk Törtek gökteleítése Azoos átlkítások, tört értéke em változik c c c c c c c c c c c c c c c
Oszthtóság I. Az egész számok körée értelmezzük: Osztdó, osztó, hádos, mrdék foglm Mrdék élküli és mrdékos osztás Összetett és prím szám Az lger lptétele Mide egész szám (sorredtől eltekitve) egértelműe othtó fel prímszámok szorztár Prímfelotás előállítás p k p k p k r r, prímszám Leggo közös osztó, legkise közös töszörös p i Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Oszthtóság II. Oszthtósági szálok : páros számok : számjegek összege oszthtó -ml : utolsó két jeg oszthtó -gel 5: utolsó számjeg vg 5 6: páros és oszthtó -ml 7: -s csoportok váltkozó előjelű összege oszthtó 7-tel 8: utolsó három jege oszthtó 8-cl 9: számjegek összege oszthtó 9-cel : utolsó jege : páros heliérték összege pártl heliérték összege oszthtó -gel Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
Függvéek I. Kpcsolt hlmz elemei között f : A B; f ( ),hol A, B Áltlá számhlmzok közötti művelet Alphlmz, képhlmz Értelmezési trtomá D f A, zo A-eli potok hlmz, hol z f értelmezhető Értékkészlet R f B, zo B-eli potok hlmz, meleket z f z R f -eli potok felvesz értékkét Függvé iverze (megfordítás) f : A B f : B A Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
Függvéek II. Függvéek tuljdosági Mootoitás Szigorú mooto övő, mooto övő, Df, f ( ) f ( ), illetve f ( ) f ( Szigorú mooto fogó, mooto fogó, D, f ( ) f ( ), illetve f ( ) f ( f Korlátosság Felülről korlátos K, D Alulról korlátos K, D Korlátos K K f ( ) f K f ( ) f K,, Df K f ( ) K ) ) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
Függvéek III. Függvéek tuljdosági Pritás Páros f : Pártl f : Htárérték lim Foltoosság Az f : függvé foltoos z Df pot, h, lim f ( ) f f ( ) Periodikusság,, A A D D f f, f f Mtemtik kozultáció z I. évfolmk f, f D f, f ( ) A 8
Függvéek IV. Függvéek megjeleítése, grfikoj f :, D f f ( ) P(, f ( )) Függvéek megdás tálázttl kifejezéssel egelettel grfikol Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 9
Függvéek V. Függvéek trszformációj f(λ ) - széthúzás λ-szorosr z X tegel iráá f(+) - eltolás lr -vl z X tegel iráá c f() - széthúzás c-szeresre z Y tegel iráá f() + t - eltolás t-vel z Y tegel iráá Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Elemi függvéek Tuljdoságok ismerete: korái foglmk értelmezése z dott függvére Fotos függvéek: Kosts függvé; Lieáris függvé; Aszolutérték függvé; Másodfokú (prol) függvé; Egészrész, törtrész függvé; Lieáris törtfüggvé; Logritmikus, epoeciális függvéek; Trigoometrikus függvéek. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Elsőfokú (lieáris) egeletek Ol lgeri kifejezések, meleket = jel kpcsol össze, és ee etűvel jelzett meiségek is szerepelek. Ezek lehetek prméterek és ismeretleek is. Az egelet megoldás z ismeretle(ek) zo értékéek meghtározás, meleket z egelete helettesítve, z egelőség két oldl zoosságot fejez ki. A megoldást mérleg-elv segítségével kpjuk meg (mi z?). Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Lieáris egelőtleségek Megoldásuk: mit z egeletekél Eltérés: h egtív számml osztuk vg szorzuk, z egelőtleség irá megváltozik A megoldás áltlá eg hlmz (itervllum) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Töismeretlees egeletek Megoldási módszerek: kiküszööléssel helettesítéssel Lehetek elletmodásosk (ics megoldásuk) vg összefüggőek (végtele sok megoldásuk v). Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Áltláos lkjuk: Másodfokú egeletek c Megoldásukhoz mérleg-elv em elegedő Megoldóképlet:, c Összefüggések (Viéte-formulák, göktéező): c Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
Epoeciális egeletek Az ismeretle kitevőe tlálhtó Azoosságok hszáltávl: kifejezés átlkítás kifejezés lkr, miől z fv szigorú mooto tuljdoság mitt kifejezés kifejezés következik, mi megoldhtó; új ismeretle evezetésével visszvezetés másodfokú egeletre, miek megoldás utá kpjuk meg z eredeti egelet gökeit. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
Logritmikus egeletek Az ismeretle logritmus ltt tlálhtó Azoosságok hszáltávl: átlkítás log kifejezés log kifejezés lkr, miől log fv szigorú mooto tuljdoság mitt kifejezés kifejezés következik, mi megoldhtó; új ismeretle evezetésével visszvezetés első- vg másodfokú egeletre, miek megoldás utá kpjuk meg z eredeti egelet gökeit. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
Szögfüggvéek I. Derékszögű háromszögeke értelmezzük si cos c c tg ctg Néhá elemi összefüggés: si cos tg ctg tg si cos si cos Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 8
Szögfüggvéek II. Addíciós zoosságok: si si cos cos si cos cos cos si si tg tg tg tg tg Kétszeres szögek: si si cos cos cos si tg tg tg Egszerű átlkítások: si cos cos cos Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 9
Szögfüggvéek III. Továi összefüggések: si si si cos si si si cos cos cos cos cos cos cos si si s Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Trigoometrikus egeletek Megoldásukhoz hszáli kell trigoometrikus zoosságokt! Az egeletet átlkítjuk, hog csk eg szögfüggvé szerepelje ee. A kpott egeletet megoldjuk vg visszvezetjük új ismeretle evezetésével másodfokú egeletre. A megoldás értelmezése: periódikusság mitti dditív kostsok lklmzás; megoldás áltlá pár jeleik meg (két szögegede is zoos szögfüggvé értéke). Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Soroztok I. Számok redezett (sorszámozott) hlmz, más szóvl eg leképezés természetes számok hlmzáról vlós számok hlmzár: : N, i,i,,..., Jellemző meiségei: : sorozt első tgj : sorozt -dik tgj : z első tg összege S Defiiálás eplicit képlettel implicit (rekurzióvl) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Soroztok II. Fotos számsoroztok: Számti szomszédos tgok külösége álldó d; S Mérti szomszédos tgok hádos álldó q q ; S q Fiocci mide tg z előző kettő összege ; ; (,,...) d Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Vektorok Iráított szksz sík vg tére Jellemzői: állás (melik egeessel párhuzmos); irá (merre mutt); hossz (távolság kezdő- és végpot között). Nem jellemző: kezdő- vg támdási potják hele Műveletek vektorokkl Számml vló szorzás Összedás, kivoás Skláris szorzás (két vektor szorzt eg szám) Vektoriális szorzás (két vektor szorzt eg új vektor) Árázolás koordiátredszere helvektor (kezdőpotj z origói Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Geometri I. Fotos geometrii témák és foglmk: Síkidomok osztálozás Háromszögek tuljdosági, fotos tételei: Thlesz tétel, Pithgorsz tétel Számítási módszerek: sius- és cosius tétel si us tétel : cosius tétel : Szögfelező tétel si c si cos Derékszögű háromszöge efogó- és mgsság tétel Súlpot, mgsságpot, oldlfelező, szögfelező tuljdosági c si Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
Geometri II. A kör és fotos tuljdosági: A kör részei: középpot, sugár, átmérő, körív, körszelet, körcikk Középpoti- és kerületi szögek tétele Külső potól körhöz húzott éritőszkszok tétele Húrégszög, éritőégszög tétele Háromszöge, háromszög köré írt kör Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
Geometri III. Továi fotos foglmk és tételek: Párhuzmos szelők tételei és megfordításuk Síkidomok, háromszögek hsolóság és egevágóság Síkidomok, háromszögek kerülete, területe Szálos sokszögek tuljdosági Síkeli trszformációk Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
Koordiátgeometri I. A geometri számszerűsítése, geometrii lkztok egeletekkel törtéő megdás Alklmzásávl geometrii feldtok litikus megoldást erek (egeletek hszált, megoldás) Eg geometrii ojektum egelete eg ol zoosság, melet csk z ojektum potji elégíteek ki ( koordiátájukt z egelete helettesítve zoosságot kpuk) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 8
Koordiátgeometri II. Az egees egeletei: Irá vektoros egelet Adott: Egelet: Normál vektoros egelet Adott: Egelet: Két potos átmeő egees egelete Adott: Egelet: Meredekségével dott egees egelete Adott: Egelet: v v A P v ;v A;B m, ; P v B,,, m P P ; P v Mtemtik kozultáció z I. évfolmk A ; ; ; v B 9
Koordiátgeometri III. A kör egelete Adott: Egelete: u A kör egeletéek áltláos lkj A A C u;v, r v B C D r Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Poliomok I. A poliom (vg tötgú lgeri kifejezés) eg ol kifejezés, mele csk számok és változók egész kitevőjű htváik szorzti illetve ileek összegei szerepelek. A poliom számokkl szorzott htvászorztokt moomokk (vg egtgokk) evezzük. A moomok lévő számszorzókt poliom egütthtóik hívjuk. A poliomokkl műveletek végezhetők összedás, kivoás, szorzás, osztás Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Poliomok II. Poliomok (mrdékos) osztás: Az osztdó legmgs htvákitevőjű tgják és z osztó legmgs htvákitevőjű tgják hádosát képezzük Ezzel hádossl megszorozzuk z osztót és z eredmét levojuk z osztdóól A kpott új poliomml megismételjük z elői eljárást A feti lépéseket ddig ismételjük, míg z osztdó lcso fokszámú lesz, mit z osztó H megmrdó osztdó em ull, kkor mrdékos osztásról eszélük Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Poliomok III. Poliomok (mrdékos) osztás: Az osztdó legmgs htvákitevőjű tgják és z osztó legmgs htvákitevőjű tgják hádosát képezzük Ezzel hádossl megszorozzuk z osztót és z eredmét levojuk z osztdóól A kpott új poliomml megismételjük z elői eljárást A feti lépéseket ddig ismételjük, míg z osztdó lcso fokszámú lesz, mit z osztó H megmrdó osztdó em ull, kkor mrdékos osztásról eszélük Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Mitzártheli A feldtlpo csk eg heles válszt lehet megdi A feldt szövegét figelmese olvssák el! Csk iztos megoldásokt írják e, e tippeljeek! A részszámításokt mide esete el kell végezi, de külö lpo. A megoldás sorredje em feltétleül számsorred. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk
Mitzártheli feldtlp Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
. feldt Megoldás: Heles válsz: B Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
. feldt Megoldás: lg5 lg5 5 Heles válsz: D Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
. feldt Megoldás: Heles válsz: C Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 8
. feldt Megoldás:. c c c.. log c log log c log c Heles válsz: D Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 9
5. feldt Megoldás: lg értelmezhető, h /, h /, h, ezért : Heles válsz: C Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
6. feldt Megoldás: si75 cos75 si75 si5 cos75 si si 75 Heles válsz: C Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
7. feldt Megoldás: f() g() h() Heles válsz: C Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5 8. feldt Megoldás: Heles válsz: B 5 5 5 T T T T T T T T T T T T T T
9. feldt Megoldás: t v s v s t 6 km km h 9 km 6 6 h 6 6 h h 9 8 t km h s v 6 6 9 68 km km h km h 6 6 75 h km h Heles válsz: A Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 5
. feldt Megoldás: 96 Heles válsz: B 96 9 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 55
. feldt Megoldás: V össz dr c össz p q c c p q m p q c Heles válsz: D p q m c m p q Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 56
. feldt Megoldás: si( ) Heles válsz: A si si si Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 57
. feldt Megoldás: 8 6 O(, ); r 6 Heles válsz: E Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 58
. feldt Megoldás: A( e : 5; ) 9 9 9 B( ; 7 ) 7 9 5 F( 5 7 ; 5 ) ( ; 9 ) Heles válsz: A Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 59
5. feldt Megoldás: Eredeti érték: Évete év Eek % csökkeés utá :, 6 e :, 6, 8, 8 Heles válsz: B Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
Továi mitpéldák Az lái feldtok megoldását külö oldlo közöljük A példák öálló megoldását jvsoljuk, kidolgozott megoldást elleőrzésre hszálják Továi feldtok megoldás segít felkészülése Ajálott segédlet: Egséges érettségi feldtgűjtemé Mtemtik (Kosept-H Kövkidó, ) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
Példák I. ) Eg mtemtik versee két feldtot tűztek ki. Az elsőt z idulók 7 %-, másodikt pedig z idulók 6 %- oldott meg. Mide iduló megoldott leglá eg feldtot, és kilece midkét feldtot megoldották. Há idultk versee? ) Számológép hszált élkül állpíts meg, melik go következő számok közül: vg 9 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
Példák II. ) Fejezze ki c-vel z lái kifejezéseket, h c log. Tege meg szükséges kikötéseket is! c log log log ( ) ) Hozz egszerű lkr következő kifejezéseket: ( ) 5 s s s s Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
Példák III. 5) Végezze el z lái poliomos osztást. Mei lesz művelet mrdék? 6 7 5 5 6) Eg háromszög egik szöge másik két szög számti közepe. A két goik szög egüttvéve kkor, mit legkise szög háromszoros. Mekkorák háromszög szögei? 7) Melik z z ötjegű szám, mel utá eg - est írv, háromszor kkor számot kpuk, mith z elejére írák eg -est? : Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 6
Példák IV. 8) Oldj meg z lái egelőtleséget: 9) Melik z legőve hlmz, mele z lái f() függvé értelmezhető? f ( ) tg( ) si( ) ) Három szám összege. Lehetek eg mérti sorozt első három tgj, vg eg számti sorozt.,. és 5. tgj is. Mel számokról v szó? Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 65
Példák V. ) Vízszites sík tljo álló m mgs felhőkrcolóól megmérjük eg egees útszksz két végpotják depressziószögét és z útszksz látószögét. A mért értékek redre,5º; 5,5 º és 75 º. Mekkor z útszksz hossz? ) Adj meg k körek z egeletét, melek középpotj C(;5) pot és ériti g : 5 9 egeest. Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 66
Megoldások ) Az egik feldtot 6%, másodikt 7% oldott meg, ezért midkét feldttl % fogllkozott. Tudjuk, hog ez 9 főt jelet, íg teljes létszám tuló. Eie idultk versee. ) Azoos átlkításokkl kpjuk: 9 9 9?? 9???? Vgis?? helére = írhtó! / " " Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 67
Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 68 Megoldások ) ) c log log ) ( log c log log log c log log
Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 69 Megoldások ) (folttás) 5 5 5 ) ( ) ( ) ( ) ( : mert s s s s,,
Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7 Megoldások 5) 5 9 6 5 5 9 6 6 5 5 7 5 5 5 6 6 :
Megoldások 6) 5 5; ; ; 5 6; 8 ; 75 8 8 7) 7 99999 857 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7 Megoldások 8) megoldás! ics 5 5 5,,,
Megoldások 9) f ( ) tg( ) si( ) tg( ) értelmezett si( ) k si( ) si( ) k 6 k 5 6 k k k Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7
Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 7 Megoldások ) 98 7 7 6 9 7 I. 7 II. I. d q d q q q q q q q q q q q q
Megoldások ) si, 5 si5, 5 t t t t 7, 55 t, 9 t t t t t t, si, 5 si5, 5 cos75 7, 55, 7, 55, cos75 Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 75
Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 76 Megoldások ) 9 5 56 96 896 5 986 6 5 986 6 5 65 5 5 9 6 5 5 9 6 5 9 5 9 5 5 : k : k r r r r D r r r r : g r : k
Tácsok mtemtik tulásához Részvétel z elődásoko Jegzet készítése h em ért vlmit, kkor is! Ór utá z g átézése és megértése Prolémás részekről kozultálás évfolmtárssl, felső évessel A gkorlto ktív részvétel (kérdezés!) A feldtok öálló megoldás z ór utá Mitpéldák megoldás (egkorlás) Zárthelire készülés (csoportos feldtmegoldás) Mtemtik kozultáció z I. évfolmk 77