Bevezetés a biomatematikába. Jelölések, fogalmak

Bevezetés a biomatematikába Jelölések, fogalmak N = {0,,, 3,...} a természetes számok halmaza. N + = {,, 3,...} a pozitív egész számok halmaza. Z = {. {.., 3,,, 0,, }, 3,...} = {m n m, n N} az egész számok halmaza m Q = m, n Z, n 0 a racionális számok halmaza n Minden ralcionális szám felírható véges vagy szakaszos végtelen tizedes tört formájában 7 és minden véges vagy szakaszos végtelen tizedes tört benne van Q-ban. Például: 6 =, 666..., 57 40 =, 48574857... = 0, 5. Ha S =, 5633..., akkor 0000S 00S = 563 56 = 5476, amelyből (0000 00)S = 5476, 9900S = 5476, S = 5476 9900. Az olyan végtelen tizedes törtek is számokat jelölnek, amelyek nem szakaszos vagy véges törtek. Ilyen például a 0, 0000000000000000... szám, vagy a =, 44356... szám is. Az ilyen számokat irracionális számoknak nevezzük. A racionális és az irracionális számok halmazának egyesítését R-vel jelöljük és a valós számok halmazának nevezzük. Használjuk még az R + = { R, 0}, R = { R, 0}, [a, b] = { R, a b}, a, b R, a < b, (a, b) = { R, a < < b}, a, b R, a < b, [a, b) = { R, a < b}, a, b R, a < b, (a, b] = { R, a < b}, a, b R, a < b, (, a) = { R:<a}, a R,

(, a] = { R: a}, a R, (a, ) = { R:a<}, a R, [a, ) = { R:a }, a R. halmazokat is.. Sorozatok Ha minden természetes számhoz hozzárendelünk egy valós számot, akkor sorozatot kapunk. Az n N-hez rendelt valós számot a n -vel jelölve a sorozatot az {a 0, a, a,...} alakban, vagy röviden az a n, n 0 formában írjuk fel. a n -et a sorozat n-edik tagjának nevezzük. Például az {,, 3, } 4,... sorozat n-edik tagja a n = n +, a {0,,, 3,, 5,...} sorozat n-edik tagja a n = n. Kényelmi okok miatt a számozást nem mindig 0-val kezdjük, N elejéről véges sok tagot elhagyva, az így kapott pozitív egész számokhoz rendelt valós számokat is sorozatnak nevezzük. Például a, 3, 4,... számokhoz rendelve az, 3, 4,... számokat, ez is sorzatot alkot. Ennek általános tagja a n = n, n. A sorozatokat ábrázolhatjuk is a derékszögű koordináta rendszerben, ha ponttal jelöljük az (n, a n ) pontpárokat. Az alábbi grafikon az a n = ( ) n +, n sorozatot ábrázolja. n a n 3 4 5 6 n

Az a n sorozatot felülről korlátosnak mondjuk, ha van olyan K R, hogy minden n esetén a n K. Az a n sorozat alulról korlátos, ha van olyan K R, hogy minden n-re a n K. Az a n sorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos. Az a n sorozat monoton növő, ha a n a n+ minden n-re a n monoton csökkenő, ha a n a n+ minden n-re. Az a n sorozat monoton, ha monoton növő, vagy monoton csökkenő. Az {a, a,...} sorozatot akkor nevezzük konvergensnek, ha van olyan A Rszám, hogy n növekedésével az a n számok egyre közelebb kerülnek A-hoz. Az A számot ilyenkor a sorozat határértékének nevezzük. Ezek jelölése a n A, ha n vagy lim a n = A. n Vannak olyan sorozatok is, amelyek nem konvergensek. Az ilyeneket divergensnek hívjuk. Az a n A, ha n tulajdonság pontos ellenőrzéséhez meg kell keresni az olyan n N számokat, amelyre a a n A < ε egyenlőtlenség teljesül. Itt ε tetszőleges pozitív valós szám lehet. Az a n A, ha n határérték akkor lesz igaz, ha a megoldások halmaza [N, ) N alakú valamilyen N R + számra. Például az n n egyenlőtlenséget kell vizsgálni. Mivel, ha n reláció belátáshoz az n n < ε n n >, ezért n n n = n < ε, n < ε, ε < n + ε < n 3

n Így n, ha tényleg igaz. n n, ha n viszont nem lesz igaz, n mert az n < ε egyenlőtlenséget ha meg akarjuk oldani, akkor n n < ε, n n + n > ε n + n < ε n + n < ε + n < ε következik, amely csak ε > esetén oldható meg, mivel n > 0. A fenti eljárás azonban sokszor nehéz, néha meg lehetetlen, így a gyakorlatban nehezen alkalmazható. Könnyebben alkalmazható, ha műveleti szabályokkal ismert határértékre vezetjük vissza a feladatot. Nevezetes határértékek ) lim c = c, ahol c R n ) lim n n = 0 3) lim n qn = 4) lim n 5) lim n a n 6) lim n n! 0, ha q <, ha q = divergens, különben n a =, ha a > 0 n n =, = 0, ha a > 0 4

( lim + n is létezik, de ez nem racionális szám. e-vel szoktuk jelölni. n n) Határátmeneti szabályok Ha Akkor ) a n a, c R, ca n ca ) a n a, b n b a n + b n a + b 3) a n a, b n b a n b n ab 4) a n a, b n b, b 0 a n a b n b 5) a n a, b n b, a > 0 a b n n a b 6) a n a, b n b és a n b n a b 7) a n a, b n a és a n c n b n c n a n + 3n + 5 ) lim n n n + =? n + 3n + 5 n n n + = Példák ( + 3n + 5n ) n ( + n + n ) = ( + 3n + 5n ) n + n Mivel n 0, ezért 3) szerint n = n n 0, innen )-ből 3 n 0, n 0, 5 n 0, n 0 )-ből + 3 n + 5 n, n + és így n 4) szerint + 3 n + 5 n n + n, ami a keresett határérték. ) limn n 5 n + n + =? Mivel 5 n 5 n + n + 5 n +5 n +5 n = 3 5 n így 5 n 5 n + n + n 3 5 n = 5 n 3. 5

Legyen a n = 5, b n = 5 n 3 és c n = n 5 n + n +. Mivel a n 5 és n 3 nevezetes határértékek és ) szerint 5 n 3 5 így 7)-ből adódik. 3) lim n ezért ( n) n =? Mivel ( n = n n n n lim n n 5n + n + = 5 n = n n = n + n ) n = A nevezetes határértékek alapján n + n ) n ( ) ( + n + n = n n = = + n ( + n +, n ) n ( + n ( + ) n ( e, + ) n e, n n n 0, így a határátmeneti szabályok alapján ( lim ) n = n n e e = e. ). A határérték legfontosabb tulajdonságai ) Konvergens sorozatnak pontosan egy határértéke létezik. ) Konvergens sorozat mindig korlátos. 3) Van olyan korlátos sorozata, ami nem konvergens (például a n = ( ) n ). 4) Ha egy sorozat monoton növő és felülről korlátos, akkor konvergens. 5) Ha egy sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 6) Van olyan sorozat, ami konvergens, de nem monoton (például ( )n n ). 6

Rekurzív sorozatok Ha k N +, a 0, a,..., a k adottak és tetszőleges n N-re az a n+k tag az a n+k, a n+k,..., a n tagok segítségével van meghatározva, akkor az a n sorozatot k-ad rendű rekurzív sorozatnak nevezzük. Például: a 0 =, a n+ = a n elsőrendű a 0 =, a n+ = 4 a n + 3 elsőrendű a 0 =, a =, a n+ = a n+ a n másodrendű a 0 =, a n+ = a n+ +a n másodrendű rekurzív sorozatok. Az utolsó a híres Fibonacciféle számsorozat. Először ennek a tárgyalását nézzük meg. A Fibonacci-féle sorozat A neves olasz matematikus Fibonacci 8-ban kiadott Könyv az abakuszról című művében található az azóta híressé vált következő példa: Vizsgáljuk meg, mennyivel szaporodik egy pár ma született nyúl egy év alatt a következő feltételek mellett: a) Minden nyúlpár minden hónap végén egy párral szaporodik. b) A nyulak kéthónapos korukban ivarérettek. (Tehát ekkor hoznak elő első ízben utódokat). Jelölje a n az n-edik hónap végén a nyúlpárok számát. Így egy sorozatot kapunk, amelyre a 0 =, a = hiszen a nyulak a -ik hónap végén hoznak elő először utódot. Az n+-ik hónap végén az egyhónapos nyúlpárok száma annyi, mint ahány az n+- edik hónap végén született nyúlpárok száma (a n+ a n ) meg még kétszer annyi, mint a legalább hónaposok száma pedig a n. Tehát a n+ = a n a n + a n = a n+ + a n n N esetén. Látható, hogy Fibonacci példája egy másodrendű rekurzív sorozatra vezet. Ennek egyértelmű a megoldása, az első tizenkét tagja,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44. 7

A Fibonacci-sorozat fontos szerepet játszik a matematika számos területén, szoros kapcsolatban áll a természetes növekedés törvényszerűségeivel, felfedezhetjük különböző növények mintázatában és a természeti jelenségek tükröződéseképpen számos művészeti alkotás szerkezetében, a nevezetes aranyszabály arányaiban. Érdekes megfigyelni különböző növényeknél a közös ágon elhelyezkedő levelek helyzetét. Ezek a levelek általában nem pontosan egymás felett vannak, tehát nem egy egyenes mentén helyezkednek el, hanem kicsit elcsavarodva, egy szabályos csigavonal mentén. Botanikusok úgy találták, hogy létezik egy - az egyes növényfajtákra jellemző - tört, melynek számlálóját úgy kapjuk, hogy megnézzük, egy levél és egy pontosan felette elhelyezkedő másik levél közé a csigavonal hány periódusa esik (hányszor csavarodik körül a száron), nevezőjét pedig úgy, hogy megszámoljuk, a csigavonal vizsgált részét az ezen belül elhelyezkedő levelek hány részre osztják. Ezt a tört a hársfa és szilfa esetén, éger és bükk esetén, tölgy, sárgabarack 3 és cseresznyefa esetén 5, jegenye, nyár és körtefa esetén 3 5, fűz és mandula esetén 8 3. Szembeötlő, hogy az összes felsorolt szám a Fibonacci-sorozat tagjainak hányadosa. Egy másik szép példa a Fibonacci-számok felbukkanására a fenyőtoboz vagy az ananász pikkelyeinek, a napraforgó magjainak elrendeződése, amelyekhez hasonló termésszerkezet egy egész csomó növényen megfigyelhető (bogáncsok, fészkesek, kelfélék, kőrózsafélék, kaktuszok, kalászosok stb.). Ezeken a terméseken a magok (vagy pikkelyek) különböző spirálvonalak mentén helyezkednek el, és ha megszámoljuk, hogy a spirálisból hány darab van, akkor a Fibonacci féle sorozat valamelyik tagját kapjuk. Felmerül az a kérdés, hogy nagy n-re ki lehet-e számolni az n-edik tagot anélkül, hogy ki kellene számolni az összes előtte lévőt. Vagyis az a feladat, hogy adjuk meg az a n tagot az n függvényében, amelyre a 0 =, a = és a n+ = a n+ + a n, n 0. A feladat megoldásához először csak az a n+ = a n+ + a n képzési szabályt kielégítő sorozatokat keressünk a 0 = és a = -et hagyjuk figyelmen kívül. Könnyen észrevehető, hogy a n = q n típusú megoldás létezik, hiszen ha ezt behelyettesítjük q n+ = q n+ + q n -et kapunk, amelyben q n -el lehet egyszerűsíteni, azaz q = q + adódik. Ez q-ra -od fokú 8

egyenlet, amely megoldása q = ± 5. ( + 5 ) n ( 5 ) n Tehát az a n+ = a n+ +a n egyenletet a n = is, és an = is kielégíti. ( + 5 ) n ( 5 ) n Ha A, B R tetszőlegesek, akkor a n = A + B is megoldás, mert ( + 5 ) n+ ( 5 ) n+ a n+ = A + B = ( + 5 ) n ( + 5 ) ( = A + B ) n ( 5 5 ( + 5 ) n 3 + 5 ( 5 ) n 3 5 = A + B ( + 5 ) n = A ( + + 5) ( + B 5 ) ) n ( + 5) ( + 5 ) n ( + 5 ) n+ ( 5 ) n ( 5 = A + A + B + B = a n + a n+. Válasszuk úgy a A, B valós számokat, hogy a 0 = ; a = is teljesüljön, azaz A + B = ) n+ A + 5 + B 5 =. Innen A = + 5 5, B = 5 adódik. Mivel a Fibonacci számsorozat tagja egyértelműen adott, a 5 fentiekből a n = 5 (( + 5 ) n+ ( 5 ) n+ ) adódik. Ennek az az érdekessége, hogy benne 5 irracionális szám, és mégis a n egész szám. Megjegyezzük, hogy hasonlóan vizsgálható az a n+ = αa n+ + βa n 9

képlettel megadott rekurzív sorozat is, ahol α, β R, β = 0, ha a q = αq +β egyenletnek q-ra különböző megoldása van. A β = 0 esetben a n+ = αa n -re redukálódik a képzési szabály. Nyílvánvaló, hogy ekkor elegendő a 0 -t megadni, ez már egyértelműen megadja a n -t. a = αa 0, a = αa = α a 0, a 3 = α 3 a 0 és általában, a n = α n a 0 adódik ebben az esetben. Ha α =, akkor a n = a 0 minden n-re Ha α <, akkor α n 0 és a n 0 Más esetben α n divergens és így a n is. Ha a q = α+q +β egyenletnek egyetlen megoldása van csak, akkor a másodfokú egyenlet diszkriminánsa zérus α + 4β = 0 és q = α az egyetlen megoldás. Ekkor az a n+ = αa n+ +βa n egyenletnek a n = q n (A+Bn) megoldása tetszőleges A, B R esetén. Ugyanis A n+ = q n+ (A + B(n + )) = q n (Aq + Bqn + Bq) és így αa n+ + βa n = q n (Aαq + Bαqn + Bαq + q n (βa + βbn) = = q n (A(αq + β) + Bn(αq + β) + Bαq) = q n (Aq + Bnq + B q ) = = Aq n+ + Bq n+ (n + ) = a n+. Tágabb értelemben vett határérték A divergens sorozatok között is vannak olyanok, amelyek egyre nagyobb és nagyobb értékeket vesznek fel, ha n növekszik. Akkor teljesül, ha tetszőleges K R számra az a n K egyenlőtlenség n-re való megoldásainak halmaza tartalmazza az {N, N +, N +,...} halmazt valamilyen N természetes számra. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a n a plusz végtelenbe divergál, vagy hogy a plusz végtelenbe tart. Jelölése: lim n a n =, vagy a n, ha n. Analóg módon definiáljuk az a n a mínusz végtelenbe divergál (vagy tart) tulajdonságot is. Ennek jelölése lim n a n =, vagy a n, ha n. Ez a tulajdonság akkor 0

teljesül, ha tetszőleges K R esetén a n K megoldásainak halmaza tartalmazza a {N, N +, N +,...} halmazt valemilyen N N esetén. Függvények általában Ha a H Rhalmaz minden pontjához hozzá rendelünk egy valós számot, akkor függvényt kapunk. A H halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük, ennek jelölése D f. A sorozatok is függvények, ezek értelmezési tartományanvagy egy {N, N +, N +,...} halmaz valamilyen N Nesetén. A továbbiakban főleg olyan függvényekről lesz szó, amelyek esetén az értelmezési tartomány intervallum, vagy ezek egyesítése. Az ilyen függvények jelölésére általában az f, g, h betűk valamelyikét használjuk, de használhatunk mást is. Az f függvény esetén f()-el jelöljük a D f -hez hozzárendelt értéket. Ezek összessége a függvény érték készlete, ennek jelölése R f. R f = {f() D f }. Az {(, f()) D f } halmazt a függvény grafikonjának nevezzük. Ezt a Descartes-féle koordináta rendszerben szoktuk szemléltetni. A következő függvényeket elemi függvényeknek nevezzük. f f() D f R f grafikon y állandó c ( R) R {c} C y identitás R R y szinusz sin R [, ] π π y eponenciális e R (0, )

Függvény műveletek Ezek egyrésze a sorozatokra ismert műveletek kiterjesztése (+,, /, hatv.), de az összetett függvény inverz függvény képzést, megszorítást nem szoktuk sorozatokra értelmezni. Legyen f, g két függvény értelmezési tartományuk D f és D g és legyen c R. művelet jele értéke értelmezési tartománya konstanssal való szorzás cf cf() D f összeadás f + g f() + g() D f D g szorzás fg f()g() D f D g osztás f g f() g() D f { D g g() 0} hatványozás f g f() g() D f { D g f() > 0} összetett függvényképzés f g f(g()) { D g g() D f } megszorítás H D f -re f H f H () = f() H inverz függvény, ha f(y) = egyértelműen ˆf ˆf() = y megadható akkor és csakis akkor, R f y-ra minden R f ha = f(y) esetén Az elemi függvényekből a felsorolt műveletek segítségével további függvényeket kapunk. Az így kapott függvényeket is elemi függvényeknek nevezzük. A legfontosabbak ezek közül

f f() D f R f grafikon y parabola a, a > 0 R [0, hiperbola R\{0} R\{0} y y koszinusz cos R [, ] π π y négyzetgyök [0, ) [0, ) R\{ π + λπ, tangens tg R λ=0, ±, ±,...} π y π R\{µπ, kotangens ctg R µ=0, ±, ±,...} π y π y arkusz szinusz arcsin [, ] [ π, π ] π arkusz koszinusz arccos [, ] [0, π] y - y arkusz tangens arctg R [ π, π ] arkusz kotangens arcctg R [0, π] y logaritmus (e alapú) log (0, ) R y 3

Függvények tulajdonságai f monoton növő, ha minden, D f, < esetén f( ) f( ) f monoton csökkenő, ha minden, D f, < esetén f( ) f( ). f monoton, ha monoton növő, vagy monoton csökkenő. f monoton növő a H D f halmazon, ha minden, H, < esetén f( ) f( ). f monoton csökkenő, a H D f halmazon, ha minden, H, esetén f( ) f( ). f monoton a H D f halmazon, ha f monoton növő, vagy monoton csökkenő a H D f halmazon. f felülről korlátos, ha van olyan K R, hogy minden D f esetén f() K. f alulról korlátos, ha van olyan K R, hogy minden D f esetén f() K. f függvénynek lokális helyi maimuma van, ha van olyan δ > 0, hogy (a δ, a+δ) D f és minden (a δ, a) (a, a + δ) esetén f() f(a) teljesül. f-nek lokális helyi minimuma van a-ban, ha van olyan δ > 0, hogy (a δ, a+δ) D f és minden (a δ, a) (a, a + δ) esetén f(a) f() teljesül. f-nek szélsőéréke van a-ban, ha ott lok. helyi maimuma vagy lok. helyi minimuma van. f korlátos, ha alulról, vagy felülről korlátos. f periódikus és periódusa T (0, ), ha D f esetén + T, T D f és f( + T) = f(). f páros, ha D f esetén D f és f() = f( ) f páratlan, ha D f esetén D f és f() = f( ) f konve az [a, b] D f intervallumon, ha minden [a, b]-re f() az (a, f(a)) és (b, f(b)) pontokat összekötő egyenes alatt marad, azaz minden [a, b]-re f() f(a) + f(b) f(a) ( a) b a f konkáv az [a, b] D f intervallumon, ha minden [a, b]-re f() az (a, f(a)) és (b, f(b)) pontokat összekötő egyenes felett marad, azaz minden [a, b]-re f() f(a) + f(b) f(a) ( a) b a 4

Függvények határértéke A továbbiakban D f torlódási pontjainak a halmazát is használjuk, ezt D f jelöljük. a D f, ha van olyan n D f sorozat, hogy n a, n a, ha n. Például az f() =. D f = (, 0) (0, )-el adott függvény értelmezési tartományának a 0 torlódási pontja. 3 4 Például a függvény nincs értelmezve az = helyen, R\{} az értelmezési tartománya. A függvény határértéke megmutatja, hogy hogyan viselkedik a függvény az ilyen pontok környezetében. A másik fontos információ a függvényről a nagyon nagy -ek való viselkedésére. Ezt a végtelenbe vett határérték mutatja. A fenti függvényünket az 4 = ( 3 ) = ( 3 +) ( 3 ) = ( 3 +) (( 3 ) ) = ( 3 +)( 3 +) ( 3 ) = ( 3 + )( 3 + )( ) ( 3 ) + 3 + azonosság felhasználásával f() = 3 4 = ( 3 + )( 3 + ) ( 3 ) + 3 + alakban is felírhatjuk. Innen leolvasható hogy, ha közel van -hoz, akkor az értéke 4 3 -hoz lesz közel. Egészen pontosan ezt a sorozatok határétékére fogjuk visszavezetni, úgy, hogy veszünk olyan n sorozatokat, amelyekre n, n és ezekre vizsgálják az f( n ) sorozatot. A sorozatokra tanultak alapján tényleg látszik, hogy lim n f( n) = 4 3. Itt fontos még, hogy az n sorozat bármilyen lehet, csak az n és n kell, hogy teljesüljön. Nagy -ekre pedig úgy kapjuk meg a függvény határértékét, hogy tetszőleges olyan sorozatot veszünk, amelyre n teljesül és vizsgáljuk az f( n ) határértékét. A jelen esetben f() = ( 3 4 ( 3 4 ) ) = 3 5 ( ) 3 4

és így mivel 3 n és 3 n n f( n ) = 3 n. ( ) 3 n n A függvényekre vonatkozó különféle határértékeket egy táblázatban foglaljük össze. A táblázat sémája a következő olvasási sémát követi. Ha minden olyan sorozat esetén, amelyre doboz. oszlop az f( n ) sorozat doboz. oszlop, akkor az f() függvénynek létezik a doboz 3. oszlop. Ennek jelölése doboz 3. oszlop. 6

Ha minden olyan n az f( n ) akkor az f() Jelölés sorozat esetén, amelyre sorozat függvénynek létezik a n a (a D f ) konvergál határértéke a-ban lim f() = A a n D f, n a A-hoz n a (a D f ) konvergál jobboldali határértéke lim a+ n D f, n > a A-hoz a-ban n a (a D f ) konvergál baloldali határértéke lim a n D f, n < a A-hoz a-ban n a (a D f ) divergál tágabb értelemben vett lim f() = a n D f, n a végtelenbe határértéke n a (a D f ) divergál tágabb értelemben vett lim a+ n D f, n > a végtelenbe jobboldali határértéke n a (a D f ) divergál tágabb értelemben vett lim a n D f n < a végtelenbe baloldali határértéke n a (a D f ) divergál minusz tágabb értelemben vett lim f() = a n a, n D f végtelenbe határértéke n a (a D f ) divergál minusz tágabb értelemben vett lim f() = a+ n D f, n > a végtelenbe jobboldali határértéke n a (a D f ) divergál minusz tágabb értelemben vett lim f() = a n D f, n < a végtelenbe baloldali határértéke n konvergál határértéke lim n D f A-hoz végtelenben n divergál tágabb értelemben vett lim n D f végtelenbe határértéke n divergál minusz tágabb értelemben vett lim f() = n D f végtelenbe határértéke n konvergál határértéke a lim n D f A-hoz végtelenben mínusz n divergál a tágabb értelemben vett lim a+ n D f végtelenbe határértéke n divergál minusz tágabb értelemben lim f() = n D f végtelenbe határértéke 7

Nevezetes határértékek függvényekre lim =, lim lim 0 lim 0 = 0, sin e lim =, lim =, lim =, lim =, sin e lim 0+ = 0, lim =, lim 0 =, sin =, lim = 0, e = 0. Folytonos függvények Az f() függvényt folytonosnak nevezzük az 0 D f pontban, ha lim 0 f() = f( 0 ). Az f() függvényt folytonosnak nevezzük a H D f halmazon, ha H minden pontjában folytonos. Az f() függvényt folytonosnak nevezzük, ha D f minden pontjában folytonos. A folytonos függvénynek grafikonját folytonos vonallal lehet megrajzolni az értelmezési tartomány bármely részintervallumán. Minden elemi függvény folytonos. A nem elemi függvények közül folytonos az f() = függvény, ennek grafikonja: f() Nem folytonos viszont az f() = [] egészrész függvény. [] azt a lehető legnagyobb egész számot jelenti, amely az -nél nem nagyobb. Például [, 3] =, [5] = 5, [0, 5] = 0, [, 38] = 3, [ 0, 44] =. 8

[] grafikonja: f() - - 0 - - Az [] függvény nem folytonos az = n N helyeken, viszont minden (n, n + ) (n N) intervallumon folytonos. Hasonló tulajdonságokkal bír a törtrész függvény is, f() = {} = []. Például: {, 3} = 0, 3; {5} = 0, {0, 5} = 0, {, 38} = 0, 6, { 0, 44} = 0, 59. Grafikonja: f() -3 - - 0 3 Ez sem folytonos függvény, nem folytonos az N helyeken, de folytonos bármely (n, n+) intervallumon. 9

Függvények differenciálhányadosa Mennyiségek időbeli változásának fontos jellemzője a változás sebessége. A sebesség szemléletes fogalom, mindenki megtudja mondani, hogy a személygépkocsi sebessége nagyobb, mint egy gyalogosé, vagy azt is tudjuk, hogy a kézen gyorsabban nőnek a körmök, mint a lábon. A mennyiségi törvények pontos megfogalmazásához azonban félreérthetetlen matematikai meghatározás kell, amit mindenki egyformán ért és használ. Tekintsünk példaként egy élőlény tömegének növekedését az idő függvényében, t m(t), t [0, T]. Ez a növekedés általában nem egyenletes, adott t 0 (0, T) esetén a t 0 -ra számított m(t) m(t 0) átlagsebesség függ t-től is. A növekedés pillanatnyi sebességének t t 0 a fogalmához, ami csak t 0 -ra jellemző adat, úgy jutunk, hogy képezzük a m(t) m(t 0 ) lim t t 0 t t 0 határértéket. Ezt a mennyiséget nevezzük az m(t) t 0 -beli sebességének, vagy a matematikában használt fogalommal: t 0 -beli differenciálhányadosnak. Ennek jelölése m (t 0 ) vagy dm(t 0 ). Ez persze nem minden t 0 D m esetén létezik. dt Ha egy f függvényre adott D f esetén létezik az f f(y) f() () = lim határérték, akkor f-et -ben differenciálhatónak mondjuk. Szoktuk még azt is mondani, y y hogy létezik a differenciálhányadosa -ben, vagy hogy deriválható -ben. Ha az f függvény egy H D f halmaz minden pontjában differenciálható, akkor differenciálhatónak nevezzük a H halmazon. Az f () függvényt differenciálhányados függvénynek szoktuk nevezni. Például f() = differenciálhányados függvényét könnyen megkapjuk. f(y) f() y = y y = (y )(y + ) y = y +. Így, ha n, n, akkor f( n ) f() n = n + azaz ( ) =. Még könnyebb az f() = c R és az f() = függvények differenciálhányadosa. f() = c esetén f(y) f() y 0 = c c y = 0

és így c = 0, ha c R. Ha f() =, akkor f(y) f() y = y y =, tehát = sin. A lim = határértéket és cos folytonosságát felhasználva a sin függvény 0 differenciálhányadosfüggvényét is megkaphatjuk, ugyanis sin y sin y = y sin cos y+ y és így ha n, n, akkor a n = n = sin y y 0 n + 0 cos y + 0, tehát sin n sin sin a n lim = lim lim n n n a cos n + 0 = cos = cos, n n azaz (sin ) = sin = cos. A e függvény differenciálhányados is következik a e lim = nevezetes határértékből. Ugyanis, ha R tetszőleges, akkor 0 és ha n 0, n 0, akkor n 0 0 azaz (e ) = e. e y e y = e ey y, e n e 0 n 0 = e 0 en 0 n 0 e 0, A differenciálhányados szemléletes jelentése Tekintsük az f függvény grafikonjának az és y ( y) abcisszájú pontján, azaz az (, f()) és (y, f(y)) pontokon áthaladó egyenest. Ezt az egyenest a grafikon e pontokhoz f(y) f() tartozó szelőjének nevezzük. A szelő meredekségét az hányados adja meg. y f() (y,f(y)) α (,f()) α y- y f(y)-f()

f(y) f() m = tgα = y Ha rögzítjük az pontot, akkor ez a meredekség általában függ az y megválasztásától, de ha f differenciálható -ben, akkor éppen f ()-hez tart, maga a szelő pedig egyre közelebb kerül a görbe (, f()) pontjához tartozó érintőjéhez. Tehát a görbe (, f()) pontjához tartozó érintő meredeksége éppen f (). A differenciálhányados műveleti szabályai A műveleti szabályokra is kiterjesztve a differenciálást, könnyen megkaphatjuk tetszőleges elemi függvény differenciálhányadosát. Ugyanis nem nehéz belátni, hogy (cf) = cf azaz (cf()) = cf (), (f + g) = f + g azaz (f() + g()) = f () + g (), (fg) = f g + fg azaz (f()g()) = f ()g() + f()g () ( f g ) = f g fg ( f() ) f ()g() f()g (), ha g 0, azaz = g g() g () (f g) = f gg azaz (f(g()) = f (g())g (), ( ˆf) = f ˆf Ezekből adódik a következő táblázat. azaz ( ˆf()) = f ( ˆf()).

Az elemi függvények deriváltjai f() D f f () D f c (c R) R 0 R n (n N) R n n R n (n = m, m N) [0, ) n n n (0, ) n (n = m +, m N) R n n n R \ {0} n (n N) R \ {0} n n+ R \ {0} α (α R) [0, ) α α (0, ) sin R cos R cos R sin R { π } tg R \ + kπ { π } cos R \ + kπ ctg R \ {kπ} sin R \ {kπ} arc sin [, ] (, ) arc cos [, ] (, ) arctg R + R arcctg R + R e R e R a (a > 0) R a log a R log (0, ) (0, ) log log a (a > 0, a ) (0, ) a e (0, ) sh R ch R ch R sh R th R ch R cth R sh R 3

Többször differenciálható függvények Legyen az f függvény valamely halmazon differenciálható és deriváltfüggvénye legyen f. Ha az f függvény egy A D f halmazon differenciálható, akkor f deriváltját a függvény második deriváltfüggvényének nevezzük. Jelölése f Példa. f() = log( + ), f () = +, f () = 4 (+). Ha f vagy d f() d. létezik egy A D f halmazon és ott f () differenciálható, akkor ennek deriváltját az f függvény harmadik deriváltjának nevezzük. Jelölése f vagy d 3 f() d 3. Hasonlóan értelmezzük f n-edik deriváltját is, ez az n -edik derivált deriváltja. n 4 esetén ennek jelölése Példa. f() = log( + ) esetén: Példa. f () = 4 (+) 3 f (4) () = 6 3 (+) 4 = 96 (+) 4 f (n) () = ( ) n+ n (n )! (+) n f() = sin f () = cos f () = sin f (4) () = cos f (5) () = sin f (n) vagy d n f() d n. sin, ha n osztható 4-el f (n) cos, ha n = 4k +, k egész () = sin, ha n = 4k +, k egész cos, ha n = 4k + 3, k egész. Ha minden n-re (n N) létezik az f függvény n-edek deriváltja, akkor f-et akárhányszor (vagy végtelen sokszor) differenciálhatónak nevezzük. 4

Folytonos és differenciálható függvények tulajdonságai Ha [a, b] D f és f folytonos [a, b]-n, akkor van olyan, [a, b], hogy f( ) f() f( ) minden [a, b] esetén azaz f() felveszi legkisebb és legnagyobb értékét is. (Weierstrass féle tétel) Ha f folytonos [a, b] D f és, [a, b] két olyan érték, amelyre f( < f( ), akkor bármely c (f( ), f( )) számhoz van olyan és közötti 3 érték, hogy f( 3 ) = c (Bolzano tétele). Ha f() differenciálható 0 D f -ben, akkor f() folytonos 0 -ban. (Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata) Ha f() folytonos [a, b] D f -en, differenciálható (a, b)-n, és f(a) = f(b) = 0, akkor van c (a, b), amelyre f (c) = 0. (Rolle-féle középértéktétel). Ha f() folytonos [a, b] D f -en, differenciálható (a, b)-n, akkor van olyan c (a, b), amelyre (Lagrange-féle középértéktétel). f () = f(b) f(a) b a Ha f() és g() folytonosak [a, b] D f D g -ben, differenciálhatóak (a, b)-n, és g () 0, ha (a, b), akkor van olyan c (a, b), hogy (Cauchy-féle középértéktétel). f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a) Ha f differenciálható (a, b) nyílt intervallumon és c (a, b)-ben szélsőértéke van f()- nek, akkor f (c) = 0. Legyen f folytonos [a, b]-n és differenciálható (a, b)-n. f akkor és csakis akkor monoton növő [a, b]-n, ha f () 0 minden (a, b) esetén. Legyen f folytonos [a, b] és differenciálható (a, b)-n. f akkor és csakis akkor monoton csökkenő [a, b]-n, ha f () 0 minden (a, b) esetén. Legyen f differenciálható (a, b)-n. Ha c (a, b), f (c) = 0, és van olyan δ > 0, hogy c δ < < c esetén f () > 0, c < < c δ esetén f () < 0 (azaz f (c) előjelet vált c-ben), akkor c-ben f-nek lok. helyi maimuma van. 5

Legyen f differenciálható (a, b)-n. Ha c (a, b), f (c) = 0 és van olyan δ > 0, hogy c δ < < c esetén f () < 0; c < < c + δ esetén f () > 0, akkor f- nek c-ben lok. helyi minimuma van. Legyen f kétszer differenciálható (a, b)-n, f () folytonos. Ha c (a, b) f (c) = 0 és f (c) > 0, akkor c-ben f-nek lok. helyi minimuma van. Ha f (c) = 0 és f (c) < 0, akkor c-ben f-nek lok. helyi maimuma van. Ha f kétszer differenciálható (a, b)-n és f () > 0, akkor f() konve (a, b)-n, ha f () < 0, akkor f() konkáv (a, b)-n. (L Hospital szabály). Legyen f(a) = g(a) = 0, de van olyan δ > 0, hogy g() 0 a δ < < a, a < < a + δ esetén. Legyen f és g differenciálható (a δ, a + δ)-n és g () 0, a δ < < a, a < < a + δ esetén. Végül tegyük fel, hogy f () lim a g () létezik. Ekkor lim a f() g() is létezik, és f() lim a g() = lim f () a g (). Legyen f és g differenciálható az a Rpont esetleges kivételével annak egy környezetében úgy, hogy g és g is nullától különböző, továbbá lim f() = lim g() = 0 vagy a a lim f() = lim g() =. a a f() f Ekkor lim a g() = lim () a g (), feltéve, hogy ez az utóbbi határérték létezik, vagy tágabb értelemben létezik. Ha f és g differenciálhatók (a, )-n, g() 0, g () 0 (a, )-én és lim f() = lim g() = 0 vagy lim f() = lim g() =. Ekkor f() lim g() = lim f () g () 6

feltéve, hogy ez utóbbi létezik, vagy tágabb értelemben létezik. A függvényvizsgálat általános menete ) D f meghatározása, zérushelyek megkeresése, ha lehet, parititás megállapítása. ) A függvény határérték tulajdonságai a D f -et alkotó intervallumok végpontjaiban, ill., vagy -ben, ha D f nem korlátos. 3) Monoton növekedés, csökkenés megállapítása 4) Szélsőérték helyek megkeresése 5) Konve, konkáv görbedarabok keresése 6) A függvény grafikonjának megrajzolása Példa f() = e. ) D f =R, zérushely nincs, a függvény páros. ) lim e = 0, lim e = 0 3) f () = e ( ) f () = 0, ha = 0. Ha < 0 f () > 0, ha > 0 f () < 0. Tehát a függvény monoton nő (, 0), monoton csökken (0, )-n. Tehát 0-ban lok. helyi maimuma van. 4) f () = e (4 ) = e ( )( + ) 7

< < < 0 = 0 0 < < = < f () + 0 0 + f () + + + 0 - f() ma + + + + + + f() Az e függvény grafikonját haranggörbének szoktuk nevezni, ami fontos szerepet játszik a normális eloszlásban. Példa f() = log ) D f = (0, ), f() = 0 log = 0 = ) (L Hospitált alkalmazzuk.) log lim log = lim 0 0 lim log =, mert és log. 3) f () = + log = + log f () = 0, log =, = e 8 = lim 0 = lim( ) = 0 0

4) f () = > 0 minden -re 5) 0 < e < lim 0 0 < < e = e e < < = < lim f () + + + + + 0 f () 0 + + f 0 f() = e min 0 f() e Függvénydiszkusszió 6 + ; 3 3 3 + 8; e ; ( + ) ( ), ; + sin ; ( e ); + 4 ; + ; 3 3 ;, + ; + ; e, e e ; log( + ); e e, + 5 9

log( + 6 + 7); sin ; + +, 3 5 + 4; 3 9 + 4 + 7 ( ) ( + ); ( ) ; 6( ) 3 ; arcsin( 3 ); arctg log ; 3 6 + 3 e + ; ( + )e ; log, log( + ); ( )e ; log arctg; cos cos ; 3 3 + ; sin Végtelen sorok Legyen adott egy a 0, a, a,... sorozat és képezzünk ebből egy újabb sorozatot s 0 = a 0, s = a 0 + a, s = a 0 + a + a,..., s n = a 0 + a +... + a n = n a k,... Ezt a s n sorozatot az a n sorozatból képzett sornak nevezzük. A végtelen sor (vagy röviden csak sort) a a n vagy az a 0 + a +... + a n +... szimbólummal jelöljük, a n a végtelen k=0 sor általános tagja, s n = n a k a sor n-edik részletösszege. A a k sort konvergensnek k=0 mondjuk, ha az s n sorozat konvergens. Ilyenkor az s n sorozat határértékét is el jelöljük, lim n s n = k=0 k=0 k=0 k=0 a k - k=0 a k. Ha az s n sorozat divergens, akkor a k=0 a k sor is divergensnek nevezzük, vagy azt mondjuk, hogy nem létezik. Tekintsük például a 3 k sort. Mivel s n = n 3 k = + 3 + 3 +... + 3 n k=0 3 s n = 3 + 3 + 3 3 +... + 3 n+, 30

így s n 3 s n = n+, amelyből 3 s n = 3 n+ 3 = 3 ( 3 n+ ) 3, ezért k=0 3 k = 3. Ez a példa általánosítható a aq k sorra (a, q R), amit geometriai k=0 sornak nevezünk. A geometriai sor akkor és csakis akkor konvergens, ha < q <, ilyenkor aq k = k=0 a q. Más esetekben a geometriai sor divergens. A k=0 k sor divergens, mert s n = 0 + + 4 + 9 + 6 +... + n felülről nem korlátos és így nem is konvergens. Adott a R és egy c n sorozat mellett vizsgáljuk a k=0 c k ( a) k sort. Minden olyan R-hez, amelyre ez a sor konvergens, hozzárendelhetjük a c k ( a) k összeget, így egy függvényt kapunk. Ezt a függvényt is c k ( a) k -val jelöljük, értelmezési tartománya k=0 azon -ek halmaza, amelyre a a sor konvergens. Ezt a függvényt hatványsornak szoktuk nevezni. Be lehet bizonyítani, hogy az alábbi esetek valamelyike mindíg igaz. ) A hatványsor minden -re konvergens. ) Van olyan R Rvalós szám, hogy (a R, a+r) esetén a hatványsor konvergens, a > R esetén divergens. 3) A hatványsor csak = a esetén konvergens. Mindegyik esetben definiálhatunk egy konvergenciasugarat, ez a ) esetben R, )-ben, a 3)-ik esetben pedig 0. Ha a ρ-val jelölt, ρ = lim n akkor R =. Ha n c n nem korlátos sorozat, akkor R = 0. k=0 n cn határérték létezik és 0 < ρ, akkor R =, ha ρ = 0, ρ 3

Belátható az is, hogy az ) és ) esetben egy hatványsor végtelen sokszor differenciálható az (a R, a + R) intervallumban, valamint használva az f() = c k ( a) k jelölést, f () = c k k( a) k k= k=0 f =. c k k(k )( a) k k= f (n) () =. c k d(k )...(k n + )( a) k n k=n Vegyünk most egy tetszőleges, az a pontban végtelen sokszor differenciálható f függvényt és képezzük a T n () = f(a) + f (a)! ( a) +... + f(n) (a) ( a) n n! polinomot amelyet ay f függvény a-hoz tartozó n-ed rendű Taylor polinomjának nevezünk. Az a = 0 esetben szokásos még az n-ed rendű MacLaurin polinom elnevezés is. A Taylor polinomok sorozatát, vagyis a f (k) ( a) k hatványsort az f függvény a-hoz tartozó k=0 k! Taylor sorának nevezzük. A 0-hoz tartozó Taylor sort is szoktuk MacLauris sornak nevezni. Mivel e bármelyik differenciálhányados e és e 0 = ezért e MacLaurin sora n=0 n n! = + +! +... + n n! +.... n Mivel lim n = 0, ezért ez minden -re konvergens, konvergencia sugara végtelen. n! Ha f() = log( + ), akkor (, ) esetén f () = +, f () = ( + ), f () = ( + ) 3, f (n) n+ (n )! () = ( ) ( + ) n, 3

tehát f(n) (0) n! = ( )n+ n és így log( + ) MacLauren sora ( ) n=0 n+ n n lim = ezért a konvergencia sugár. Hasonlóan egyszerűen kiszámítható a sin és n n a cos függvény MacLauren sora is. Nyílvánvaló, hogy tetszőleges f() függvény Taylor sora az = a pontban konvergens és megegyezik f(a)-val. Fontos kérdés az is, hogy a konvergencia intervallum mely pontjaiban lesz még a Taylor sor összege f(). Belátható, hogy ha az f() függvény deriváltjai egy, az a pontot tartalmazó [c, d] intervallumon közös korlát alatt maradnak, azaz van olyan K R, hogy n. f (n) () K, [c, d], n N, akkor Speciálisan f() = n=0 f (n) (a) ( a) n, [c, d]. n! e = +! +! +... + k k! +... = k=0 k k!, R sin =! 3 3! + 5 5! +... + k ( )k+ (k )! +... = ( ) k k+ (k + )!, R cos =! + 4 4! 5 5! log( + ) = + 3 3 4 4 k=0 k +... + ( )k (k)! +... = k=0 k +... + ( )+ k + = k= ( ) k k ( ) k+k (k)!, k R, (, ) 33

Integrálás Legyen adott az f() függvény. Egy F() függvényt a f() primitív függvényének nevezzük az I intervallumon, ha I D f és F () = f() minden I-re. Nyílvánvaló, hogy ha F() primitív függvénye f()-nek I-n, akkor F() +c is primitív függvénye f()- nek ugyanazon az I intervallumon. Egy f() függvény primitív függvényeinek a halmazát határozatlan integrálnak nevezzük. Ennek jelölése: f()d. Könnyen beláthatjuk, hogy ha F() primitív függvénye f()-nek I-n, akkor f()d = {F() + c : c R}. (Megjegyzés. Az {F() + c : c R} halmazt a rövidség kedvéért sokszor F() + c-nek írjuk). Ugyanis azt kell belátnunk, hogy ha F() és G() is primitív függvénye f()-nek I-n, akkor van olyan c R, hogy F() = G() + c. Tekintsük a h() = F() G() függvényt. Erre h () = F () G () = 0 minden F-re. Belátjuk, hogy h() állandó I-n. Az ellenkező esetben ugyanis lenne olyan, I, amelyre h( ) h( ), <. h() differenciálható (, )-n, folytonos [, ]-n, hiszen a differenciálhatóságból következik a folytonosság. Így a középértéktétel alapján van olyan 3 (, ), amelyre h ( 3 ) = h( ) h( ) 0, ami ellentmond annak, hogy h () = 0 minden I-re. Ezzel beláttuk, hogy h() állandó. Közvetlen ellenőrzéssel, vagy a 3. oldali táblázat felhasználásával kapjuk, hogy α d = α+ + c α, α R, [0, ) α + d = log + c 0 sin d = cos + c cos d = sin + c cos d = tg + c sin d = ctg + c e d = e + c a d = a + c a > 0, a, log a 34

Integrálási szabályok Ha f-nek g-nek az I intervallumon létezik a primitív függvénye, akkor αf + βg-nek is bármely α, β R esetén és (αf() + βg())d = α f()d + β g()d. Ha f-nek és g-nek F és G a primitív függvényük I-n, akkor f()g()d = F()G() F()g()d + c (parciális integrálás) Ha g differenciálható az I intervallumon, f-nek F a primitív függvénye a {g() I} halmazon, akkor f(g()g ()d = F(g() + c helyettesítéssel való integrálás, ami g() = u, g ()d = du-vel f(g())g ()d = f(u)du = F(u) + c = F(g()) + c alakban is írható. Mintapéldák integrálásra ) tg d =? Mivel tg = + tg = cos, ezért ) e d =? tg = cos d d = tg + c. Legyen f () = e, g() = és alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát. Mivel e d = e + c, ezért f() = e alkalmas f()-nek, e d = e e d = e e d = e e + c. 35

3) log d =? Ismét a parciális integrálást alkalmazva 4) tgd =? Az log d = log f() =, u = cos g() = log d = log du = sin d d = log + c. helyettesítéssel tgd = 5) ctgd =? sin cos d = du u = du u = log u + c = log cos + 0. 6) 3 + 5 d =? ctgd = u = sin, du = cos d cos du sin d = = log u + c = log sin + c u u = 3 + 5, du = 3 + 5 3d = 3 u d = u 5, d = udu 3 3 u 5 udu d = = (u 5)du = 3 + 5 3u 3 9 9 7) sin(3 + 5)d =? u 9 = u3 7 9 5u + c = 7 ( 3 + 5) 3 0 3 + 5 + c. 9 5du = sin(3 + 5)d = n = 3 + 5 du = 3d, d = du 3 sin u du 3 = + 5) ( cos u) + c = cos(3 + c 3 3 36

5 ; sin( 3), Gyakorló feladatok Határozatlan integrál 3 3, e cos ; e sin ; ( + + 3) cos,, sin ; ( ) 0 ; e e + ; arctg, tg, ( ) (3 + 5) 4, cos(4 ); sin 4 + 3 ; 5 + ; e ; log ; ; 4 8 ; sin cos ; e 3 ; sin; + 5 ; 3 3 ; 7 + ; ; 3 + ; ; Szétválasztható típusú differenciálegyenletek Legyen g(t) egy folytonos függvény az I = (a, b), a < b nyílt intervallumon, h() pedig folytonosan differenciálható függvény, D h =Rés h() > 0 minden Resetén. Keressük azt az : I R differenciálható függvényt, amelyre (t) = g(t)h((t)) minden t I esetén. Ez egy egyenlet az ismeretlen (t) függvényre, mégpedig olyan, amelyik (t) és (t) között teremt összefüggést. Az ilyen egyenleteket differenciálegyenleteknek szokás nevezni. A fenti differenciálegyenletet azért nevezzük szétválaszthatónak, mert benne a g(t) és a h() függvények szorzata szerepel, ami lehetőúvé teszi azt, hogy az ismeretlen (t) függvényt tartalmazó tagok az egyik oldalra legyenek rendezhetők. Ugyanis, ha (t) megoldása a fenti differenciálegyenletnek I-n, akkor Innen (t) h((t)) = g(t) minden (t)dt h((t)) = 37 I re. g(t)dt.

Ha F () = h(), R és G (t) = g(t) t I, akkor F((t)) = G(t) + c h() > 0 miatt F () > 0 is teljesül, tehát F() szigorúan monoton növő, így létezik az ˆF() inverz függvénye. Tehát (t) = ˆF(G(t) + c) t I. Az ˆF függvényt nem mindíg könnyű kifejezni elemi függvényekkel. Ha ˆF nem elemi függvény, vagy túl bonyolult, akkor magából az F((t)) = G(t) + c összefüggésből vizsgáljuk a keresett (t) függvény tulajdonságait. Példa. A Victoria Regia kör alakú levele területének növekedési sebessége arányos a levél sugarával és a napsugárzásból időegység alatt felvett energiával. Ez utóbbi energia a levél területével és a napsugár beesési szögének cosinusával arányos. Tegyük fel, hogy a nap reggel 6-kor kel és este 6-kor nyugszik, továbbá a napsugarak beesési szöge a függőlegeshez viszonyítva π és π között változik, délben ez a szög nulla. (A nap a zeniten delet) Ekkor éjféltől számítva az időt a beesési szög t órakor π t π. A levél (t) területe és r(t) sugara közötti összefüggés r (t)π = (t). Tehát (t)-re a következő egyenlet adódik: (t) = k (t) ( π ) (t) cos π π, ahol k egy arányossági tényező. Határozzuk meg az (t) függvényt, ha a mérések alapján tudjuk, hogy (6) = 00(cm ), (8) = 400(cm ). Ez egy szétválasztható típusú differenciálegyenlet, ennek megoldási szabályát követve (t)dt 3 (t) = (t) = u, (t)dt = du, du u 3 = k π k ( π ) cos π t π dt 38 π t π = v, dt = π dv cos v π dv

u k = π ( sin v) + c π = k ( π ) (t) π π sin t π + c = 6k ( π ) (t) π π sin t π + c = 6k ( π ) (t) π π sin t π + c A k, c állandókat az (6) = 00, (8) = 400 feltételekből határozhatjuk meg. Innen c = + 3 40, 6k π π = 5, tehát 0 = 6k ( π π sin π ) + c = 6k π π + c 0 = 6k ( π ) π π sin + c = 6k π π + c (t) = ( ( )). 3 40 5 sin π t π Lineáris differenciálegyenletek Ha p() és q() adott folytonos függvények az I = (a, b) intervallumon, akkor az y() ismeretlen függvényre az y () + p()y() = q() egyenletet lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Ha q() 0, akkor inhomogén, ha q() = 0, akkor homogén lineáris differenciálegyenlet a neve. Az ismeretlen y() függvényt a következő módon kereshetjük meg. ) Keressük meg először az úgynevezett homogén y 0 () + p()y 0() = 0 39

egyenlet y 0 megoldásait. Ez szétválasztható típusú egyenlet, így ) y 0 () = p()y 0(), y 0 () y 0 () = p(), (log y 0 ()) = p(), log y 0 () = p()d + c, Írjunk a fenti megoldásban a konstans helyére egy f() függvényt és keressünk megoldását y() = f()e p()d alakban az eredeti inhomogén egyenletnek. y () = f ()e p()d f()p)e p()d, amelyből f ()e p()d f()p()e p()d + p()f()e p()d = q() f ()e p()d = q(), f () = q()e p()d, f() = q()e p()d d + c, tehát y() = e p()d q()e p()d d + ce p()d. 3) Belátható, hogy az inhomogén egyenlet összes megoldását ez a képlet adja meg. Példa. Kapilláris érben oldott anyag koncentrációjának változását vizsgáljuk. A koncentráció nyilván függ a megtett úttól és az intersticiális folyadéktér koncentrációjától, ami az idő függvénye, jelöljük ezt c(t)-vel. A kapilláris vér áramlási sebessége legyen v = állandó. y() jelentse a kapillárisban áramló vér koncentrációját út megtétele után. Ha a t 0 időpillanatban kezdük el vizsgálni a folyamatot = v(t t 0 ), ahonnan t = v + t 0, c(t) = c( v + t 0 ). 40

Tételezzük fel, hogy y(0) = y 0 Radott. Mivel az oldott anyag átáramlása a kapillárisból az intersticiális folyadéktérbe, egyenesen arányos a két koncentráció különbségével, azt kapjuk, hogy ) y () = k(c( v + t 0 y()). Keressük az y() függvényt, ismerve, hogy y( 0 ) = y 0 = adott. Az egyszerűség kedvéért ) tételezzük fel, hogy c( v + t 0 = a + b ahol a, b adott valós számok. k-t is tekintsük adottnak. Így az y lineáris differenciálegyenletet kapjuk. () = ky() + ak + bk Vizsgálva először az y () = ky() egyenletet, megoldására a következőt kapjuk y () y() = k y () d = k + c y() log y() = k + c y() = e c e k y() = Ae k, ahol A R. Egyenletünk megoldását y() = A()e k alakban keresve azt kapjuk, hogy y () = A ()e k ka()e k = ka()e k + ak + bk, amelyből A () = (ak + bk)e k adódik. Innen parciálisan integrálva A() = (ak + bk)e k d = ak + bk e k k ak ek k d = Tehát (a + b)e k aek k + c = (a + b a k )ek + c. y() = a + b a k + ce k. 4

Felhasználva, hogy y(0) = y 0 amelyből c = ( y 0 b + a k) és így y 0 = b a k + c, y() = a + b a k + (y 0 b + a k e k. 4

3n 3 n + ) lim n n 3 + ) lim n 3) lim n 4) lim n 5) lim n 6) lim n 7) lim n 8) lim n 9) lim n 0) lim n ) lim n ) lim n 3) lim n 4) lim (5n )(5n + ) n 3n + n n + 5 n(n )(n )(n 3) n 4 + 3n n + n n + 6n 3n + n ( n + n + n n + ) 3n + n + n n + n n + n + 3n 5n + 6 n 3n n 5n + 3 n n 3n n n 3 n n 5 3n 4 n n ( 5) lim 5 ) n n n ( ) n + n 6) lim n n 3 ( ) n 3 + n 7) lim n n tg 8) lim n 0 sin 9) lim n 0 sin 3 cos 0) lim n 0 ) lim n 0 sin tg 3 Gyakorló feladatok 43

tg ) lim n 0 sin 3) ( sin ) ( ) sin 4) 5) ( log ) 6) (sin + sin ) 7) (sin ) 8) (log sin) 9) (sin log ) 30) ( e 3 ) ( e ) 3) Függvénydiszkusszió 6 + ; 3 3 3 + 8; e ; ( + ) ( ), ; + sin ; ( e ); + 4 ; + ; 3 3 ;, + ; + ; e, e e ; log( + ); e e, + 5 log( + 6 + 7); sin ; + +, 3 5 + 4; 3 9 + 4 + 7 44

( ) ( + ); ( ) ; 6( ) 3 ; arcsin( 3 ); arctg log ; 3 6 + 3 e + ; ( + )e ; log, log( + ); ( )e ; log arctg; cos cos ; 3 3 + ; sin Megoldások ) 3 ) 5 3) 3 4) 5) 6) 0 7) 8) 3 + 3 + 5 9) + 0) ) 5 ) 3 3) 4) 3 5) e 5 45

6) e 5 7) e 0 8) 9) 3 0) ) 6 ) 3) sin + cos cos sin 4) 5) + log 6) cos + cos 7) sin 8) ctg cos log 9) 30) ( + 3 )e 3 3) 3 e Gyakorló feladatok differenciálegyenletek ) y y = ) y + y = 3) ( + )y + y = 0 4) y = ( y)y 5) yy = 6) y y = + 7) y = 3 + y 8) y + y = e 9) Tegyük fel, hogy egy populáció tömegének változási sebessége a pillanatnyi tömeggel és egy a > 0 felső határtól való eltéréssel egyaránt arányos. A tömeget az idő 46

függvényében megadó függvényre tehát valamilyen pozitív konstanssal: ẋ = c(a ). Határozzuk meg a t = 0 időponthoz tartozó 0 (0, a) kezdőtömeg esetén a populáció tömegét az idő függvényében! Megoldások ) ce ( + ) ) ce + 3) ce arctg ce 4) ce 5) log + c 6) c + log 7) ce 8) e ( + c ) 9) a 0 e act 0 e act 0 + a 47

A határozott integrál Tekintsük az f() = függvényt a [0, ] intervallumon és határozzuk meg ezen görbe és az tengely közti területet. 0 Közelítsük először ezt a területet úgy, hogy kitöltjük egymást át nem fedő téglalapokkal minél pontosabban. Osszuk [0, ]-et n egyenlő részre és vegyük a következő kitöltést: 0 3 Legyen 0 = 0, k = k n (u =,,...). A kitöltő téglalapok összterülete t n = n k= n k = n 3 + (n )n +... + n3 n 3 = n(n )(n ) 6n 3. Vehetünk úgy is téglalapokat, hogy teljesen fedjék le a kívánt területet. 48

0 3 Ezek összterülete T n = n k= n k = n 3 ( + +... + n ) = n(n + )(n + ) 6n 3. A kívánt terület t n és T n közé esik t n T T n és mivel t n 3, T n 3 amint n, T = 3 adódik. Tekintsünk most egy tetszőleges folytonos függvényt az [a, b] (a < b) intervallumon. Járjunk el ugyanúgy, mint az előbb. Legyen és k,n = b a k + a k = 0,,,...n n m k,n = min{f() : k,n k+,n } M k,n = ma{f() : k,n k+,n } k = 0,..., n t n = n k=0 n b a n m b a k,n, T n = n M k,n. k=0 Nyílvánvaló, hogy t n T n. De azt is be lehet látni, hogy a lim t n = lim T n határértékek n n léteznek és megegyeznek. A függvény görbe és az tengely között elhelyezkedő területet ez a közös határérték definiálja. Ennek szokásos neve a függvény határozott integrálja a és b között, jelölése b a f()d = ( lim n t n = lim n T n). 49

Ha az f függvény nem folytonos [a, b]-n, de korlátos, akkor is képezhetők a fenti t n és T n összegek. Az f függvényt [a, b]-n integrálhatónak mondjuk, ha lim t n = lim T n. Az n n integrál jelölésére az b f()d szimbólumot használjuk, ami most is a közös határérték, a b a f()d = lim n t n = lim n T n. A fentiekben láttuk, hogy folytonos függvény mindig integrálható. Igaz a következő is: Ha f monoton és korlátos [a, b]-n, akkor integrálható. Határozott integrál tulajdonságai a < b esetén b f()d-et az előbbi szakaszban definiáltuk integrálható f() esetén. Definiáljuk most a a b f()d-et is a b f()d = b f()d-vel, valamint a a integrálokat. a a f()d = b b f()d = 0 ) Ha f integrálható I R-en, és a, b I, akkor b f()d is létezik. a ) Ha α, β R, f és g integrálhatóak I-n, a, b I, akkor b a b b (αf() + βg())d = α f()d + β g()d a a 3) Ha f() integrálható I-n, a, b, c I, akkor b a f()d = c a f()d + b c f()d 4) Ha f() és g() integrálható I-n, a, b I, a < b és f() g() [a, b] esetén, akkor b a f()d b 5) Legyen m f() M [a, b]-n, ahol a < b. Ekkor m(b a) ami a definíció alapján nyílvánvaló. b a 50 a g()d f()d M(b a),

6) Legyen f() folytonos [a, b]-n, ahol a < b. Ekkor van olyan c (a, b), amelyre (Integrál középérték tétele). f(c) = b f()d. b a a 7) Ha f() integrálható [a, b]-n, a < b, akkor f(t) is integrálható és b a f(t) dt b a f(t)dt Az integrálfüggvény és tulajdonságai Legyen a < b és a b. f() integrálható [a, b]-n.!kkor értelmezhetjük az F() = f(t)dt függvényt [a, b]-n. Ezt nevezzük f() integrálfüggvénynek. Erre a következő a állítások az érvényesek. Ha f() integrálható [a, b], akkor integrálfüggvénye folytonos [a, b]-n. Ha f(t) folytonos [a, b]-n, akkor a f()dt differenciálható (a, b)-n és ( a f(t)dt ) = f(). Tétel. Ha f() folytonos [a, b]-n, F() primitív függvénye f()-nek (a, b)-n és F() folytonos [a, b]-n, akkor (Newton-Leibnitz formula) b a f()d = F(b) F(a) Példa. Mekkora területet zár be egy színusz hullám és az tengely, azaz π sin d =? 0 sin d = cos + c, azaz sin -nek cos primitív függvénye, tehát π 0 sin d = cos π ( cos 0) = + =. Példa. Hogyan számolható ki az r sugarú körlap területe? Tekintsük a negyed kört, azaz az y = r függvényt az 0 r szakaszon. 5

y Ezen görbe és az tengely között a negyed kör terül el, tehát a körlap területe 4 r 0 r d r d =? = r sin ϕ tehát = r d = r cos ϕdϕ r d = r r sin ϕ cos ϕdϕ = cos ϕdϕ = r + cos ϕ = r ϕ r 4 0 + rsin ϕ 4 cos ϕ dϕ = r dϕ + r dϕ = ( ) arc sin r + r arc sin r = rsin r = 4 r (arcsin arcsin 0)+ + r (sin(arcsin ) sin(arcsin 0)) = 4r 4 π = r π. 4 5

Improprius integrál Ha lim A Legyen f() integrálható a [a, A] intervallumon, bármilyen a-nál nagyobb A esetén. A a f()d létezik, akkor definiálhatjuk az a A f()d = lim f()d A a improprius integrált. Ha a fenti határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f()d improprius integrál nem létezik. Legyen [a, b] adott, a < b, f integrálható [a + a ε, b]-n minden 0 < ε b a esetén. Ha lim ε 0+ az b a f()d improprius integrál létezik és b a b a+ε b f()d = lim f()d. ε 0+ a+ε Ha ez a határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az nem létezik. Hasonlóan definiálható a a ha f()b környezetében nem integrálható. f()d létezik, akkor azt mondjuk, hogy b a f()d improprius integrál f()d, vagy az b f()d típusú improprius integrál is, a Példa. tehát Példa. I I d =? d =. I 0 A I d A = d = I A + d = lim a 0 ε d = lim ε 0 ( ε) =. 53

Gyakorló feladatok ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9 4 + d ( + 3 )d 0 0 π 4 0 d tgd (e ) 4 e d 0 e d log log log d e e +e d 0 e log d + d 0 log d 0 π sin d 0 π 4 0 0 d sin cos d e 3 d arctg d 0 d 3 log d 0 54

9) 0 d log Komple számok Az a + ib kifejezést hívjuk komple számnak, ahol a, b R és i az u.n. komple egység. Az a + ib kifejezés a komple szám algebrai alakjának is nevezzük, a a valós rész, b pedig a képzetes rész. Az a + ib komple számot az (, y) derékszögű koordinátarendszer (a, b) pontjával azonosíthatjuk, hasonlóan mint a valós számokat, mint a számegyenes egy pontja. Azonosítható az origóból az (a, b) pontba mutató vektorral is. a + ib = 0 akkor és csakis akkor, ha a = b = c b y a + i b a Műveletek komple számokkal Legyenek z = a + ib, z = a + ib komple számok. z + z = (a + a ) + i(b + b ) z z = (a a ) + i(b b ) z z = a a b b + i(a b + b a ) z = a a + b b i a +, ha z 0. b Speciálisan a b = b = 0 esetben a valós számokon végzett műveleteket nyerjük. A szorzás ismételt elvégzésével nyerhetjük a komple számok természetes számokkal képzett 55

hatványait, z 0 =, z z, z = z z, z n+ = z n z. Speciálisan i = i, i =, i 3 = i, i 4 =, i 5 = i. Az így bevezetett műveletek ugyanazokkal tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a valós számokon végzett műveletek. Szemléletesen az összeadás a paralelogramma szabály szerint történik. y Z Z + Z Z A szorzás szemléletes jelentése az u.n. geometriai alakkal mutatható meg, ezért előtte ezt mondjuk meg, hogy mit jelent. A z = a + ib komple szám abszolut értékén értjük a z = a + b kifejezést, ennek szemléletes jelentése a komple számot ábrázoló vektor hossza. A z argumentumán értjük az tengely és a z-t ábrázoló vektor szögét a ( π, π] intervallumból. Egész pontosan arctg b, ha a > 0, b > 0 a π, ha a = 0, b > 0 π arctg b a, ha a < 0, b > 0 π, ha a < 0, b = 0 argz = π + arctg b a, ha a < 0; b < 0 π, ha a = 0; b < 0 arctg b a, ha a > 0, b < 0 0, ha a > 0, b = 0 A z = a + ib komple szám esetén vezessük be az r = z, ϕ = argz jelöléseket. Ekkor a a = r cos ϕ, b = r sin ϕ és így z = r cos ϕ + i r sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ). Ezt az utóbbi alakot nevezzük a komple szám geometriai alakjának. Szoktuk használni a z = a ib jelölést is, z-t a t komple szám konjugáltjának hívjunk. Ez z-nek az tengelyre 56

való tükörképét jelenti. Nyílvánvaló, hogy z = zz. Innen z = z is adódik, amit az z osztás algebrai alakon történő elvégzését segíti. Legyenek adva a z, z komple számok, abszolut értéküket és argumentumukat jelölje r, r és ϕ, ϕ. Ekkor z, z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) r (cos ϕ + i sin ϕ ) = = r r [(cos ϕ cos ϕ sin ϕ ϕ ) + i(sin ϕ ϕ + cos ϕ sin ϕ) = = r r (cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )). Innen leolvasható a szorzás szemléletes jelentése. A szorzat hossza a szorzandók hosszának a szorzata, irányát pedig úgy kapjuk, hog az egyik vektort a másik argumentumával az óramutató járásával ellentétes irányban elforgatjuk. Nyílvánvaló, hogy minden n természetes számra z n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) is teljesül, ami megkönnyíti a nagy számokkal való hatványozást. Foglalkozzunk most n z értelmezésével természetes n számokra. Ezt úgy lehet értelmezni, mint azon w komple számok halmaza, amelyre w n = z. Legyen z = r(cosϕ + i sin ϕ), w = ρ(cos ψ + i sin ψ). Ekkor w n = ρ n (cos(nψ) + i sin(nψ)). A w n = z egyenletből ρ n cos(nψ) = r cos ϕ ρ n sin(nψ) = r sin ϕ. Innen ρ n = r, azaz ρ = n r és sin(nψ) = sin ϕ cos(nψ) = sin ϕ adódik. Tehát nψ = ϕ + kπ valamilyen k-ra innen ψ = ϕ n + kπ n. 57