NTEGRÁLÁS HELYETTESÍTÉSSEL ntegrálás helyettesítéssel az alapötlet Az integrálszámitás egyik leghatékonyabb módszere a helyettesítéses módszer Több hasznos helyettesítés létezik, amit integrálok kiszámitására használhatunk A legfontosabbak közül néhányat bemutatunk a következő fejezetekben A helyettesitők használatának legfőbb célja az, hogy találjunk egy másik integrált, ami könnyebben megoldható Az alapötlet, hogy kicseréljük az független változót az f ( ) d integrálban egy új t változóra a következő egyszerű formula ϕ t Ebből következik: segitségével ( ' ) ϕ ( t ) ' t d ϕ ' ( t ) és f ϕ( t) Következésképpen ϕ ϕ f d f t ' t amit remélhetőleg könnyebben tudunk megoldani Bizonyos esetekben hasznosabb a t ψ ( ) helyettesítést használni Algoritmus a f helyettesítéssel történő megoldására lépés A problémától függően legalkalmasabb helyettesítő formula meghatározása Step Helyettesitsük t-re az -et az integrálandó függvényben, számoljuk ki d-et a helyettesítő formula segitségével és f t ' t Step 3 Számoljuk ki az integrált F t eredményt alakitsuk át az változónak határozzuk meg az új integrált ϕ ϕ Step 4 Az megfelelően Maple parancsok >:int(f,); >nt(f,); Az f függvény integráljának meghatározása, ahol egy változó; >with(student):changevar(t^,);
A t változó helyettesítése el a képletben (jelen esetben t integrálban >:value(%); A végeredmény kiszámitása ahogy a Maple program használja d 0 + A helyettesítés t > 0 t d t Ebből t 0 arctgt+ C arctg C t + t t + + Megoldás a Maple segitségével >0:int(/(*(+)*sqrt()),); 0 : arctg ) az integrál definiálása a STUDENT programba: >with(student): >0:nt(/(*(+)*sqrt()),); 0 : d + ) helyettesítsük t -el -et: >changevar(t^,0); t t + t 3) számoljuk ki az uj integrált: >0:value(%); tarctan() t 0 t 4) alakitsuk vissza -re: >0:subs(tsqrt(),0); ) az
0 ntegrálás helyettesítéssel arctan d 4 A helyettesítés d Ebből t t t 4 4 4 4 t t t t 4 t t t arcsint + C arcsin + C >restart: with(student): >:nt(/(*sqrt(^-4)),): >changevar(/t,); :value(%); >:subs(t/,); : arcsin 3 e d e A helyettesítés { e t 0 } integral legyen > annak érdekében, hogy szabad 3
t Ebből ln( t ) d t 3ln( t ) e t ( t ) 3 t t t ( t ) 3 t t t + + C 3 3 e e + e + C 3 >:nt(ep(3*)/sqrt(-ep()),); >changevar(sqrt(-ep())t,); >:value(%); >:subs(tsqrt(-ep()),); ( / ) 4 ( 3 / : e e + e ) 3 sin cos 3 d 4 cos A helyettesítés { cos t} Ebből cos sin d 3 arct gt + C t arctg cos + C >3:nt(*sin()*cos()/(cos()^4-),); >changevar(cos()^t,3); >3:value(%); >3:subs(tcos()^,3); ( ) 3 : arctanh cos 4
4 sin d 4 4 3 4 t Ebből A helyettesítés { } 3 4 3 t,d 4t sint 4t 4 4 sint 4cost C 3 t 4 4cos + C + >4:nt(sin(^(/4))/()^(3/4),); >changevar(^(/4)t,4); 4:value(%); >4:subs(t^(/4),4); ( / 4) 4: 4cos A f ( ) ( a +b+ ) függvény integrálása helyettesítéssel A következő tipusú integral megoldását mutatjuk be helyettesítéssel: M + N J d, a + b + c M + N J d a + b + c Ebből b c b a + b + c + + a a 4a b b a helyettesítés + t vagy t és d a a
d + t Ebből + t + és A helyettesítés { } ( t + ) t d t + t + t + ( ) t + ln t + + C ln + + C >:nt((*-)/(^-*+),); >changevar(-t,); :value(%); >:subs(t-,); ( ) : ln + >simplify(); : ln( +) d 6 + 4+ 8 + t Ebből + 4+ 8 t + 4 és A helyettesítés { } t + 6 arctg + C arctg C + t + 4 >6:nt(/(^+4*+8),); >changevar(+t,6); 6:value(%); >6:subs(t+,6); 6
6: arctan + 3 7 d + 4+ + t Ebből + 4+ t + és A helyettesítés { } 3t 7 t 7 3 7 t + t + t + 3 ( ) 7 t d t + + arctgt 3 ln t 7arctgt C + + 3 ln 4 7arctg ( ) C + + + + >7:nt((3*-)/(^+4*+),); >simplify(changevar(+t,7)); >7:value(%); >7:simplify(subs(t+,7)); 3 7: ln( + 4+ ) 7arctg( + ) 7 8 8 d 3+ A helyettesítés 3 t 4 Ebből 3+ t 6 7
8t 8t 8 8 t 6t 6 t 8 84 4t 4t 4 3 6 ( 4 ) d t t t 4t ln ln 6t + C 4t + ln 4t ln 4t + ln 4t ln 4t + + C ln 4t 3ln 4t + + C ln 4 4 3ln 4 + C ln4 ln 3ln 3ln + C ln ln 3ln + C >8:nt((7-8*)/(*^-3*+),); >8:simplify(changevar(-3/4t,8)); >8:value(%); >8:simplify(subs(t-3/4,8)); 8: ln 3ln ln 9 d + t Ebből + t + és A helyettesítés { } ( t + ) t 9 d t + t + t + ( ) t + t + + C + +C 8
>9:nt((*-)/sqrt(^-*+),); >9:simplify(changevar(-t,9)); >9:value(%); >9:simplify(subs(t-,9)); 9: + 3 0 d 9+ 6 3 A helyettesítés { t} Ebből 9 6 3 3( 4 t ) + és 0 3t 3 t 3 3 4 4 3 t t 4 t 3 t d( 4 t ) arcsin + C 4 t 3 t 34 ( t ) arcsin + C 3 9+ 6 3 arcsin + C 3 >0:nt((3*-)/sqrt(9+6*-3*^),); >0:simplify(changevar(-t,0)); >0:value(%); >0:simplify(subs(t-,0)); 0 : 3 arcsin 9 + 6 3 3 9
3 Gyakorlás Oldja meg a következő integrálokat helyettesítéssel: e d, 4 e + 9 e Megoldás arctg + C, 6 3 d, 3 3 3 3 Megoldás ln + C d 3, helyettesítés a ( t ), a a Megoldás 3 ± arccos + C a e + 4 d, e Megoldás ln e + C 4 4 + 3 d, + + ln + + + arctg + + C d, + 4+ 6 ln + 4 + 9arctg + + C Megoldás ( ) 6 Megoldás + 7 d, 3 + 6+ Megoldás 7 ln + + + C, 6 3 0
+ 8 d 3 + 6+ Megoldás 8 ln + + + arctg ( 6 3 3 3 + 3) + C 9 d 3 Megoldás 3 9 ln + ln + C 3 3 0 4 d, + 3+ 3 Megoldás 0 + 3+ 7ln + + + 3+ +C + 3 d, + 3+ Megoldás + 3+ +C 4 + d, + Megoldás 3 + + ln + + + C 4 3 d, 4 3 Megoldás 3 ln + + 4 3 + C 4 Gyakorló teszt
Oldja meg a következő integrálokat: co s d 4, 4 sin4d, cos + 4 sind 6, 4 cos + 4 7 8 3 e d, 3 d, 0 3 + 3 d, 3 d + 3 9 30 Gyakorló kérdések ) Magyarázza el a helyettesítéssel történő integrálás módját ) Mutasson példát a helyettesítéssel történő integrálásra 3) Magyarázza meg a következő Maple parancsok jelentését: with(student), changevar(t^,), simplify(changevar(t^,)), :value(%),:subs(tsqrt(),), :simplify(subs(tsqrt(),))