GYAKORLAT. félév I. Bevezető.. Egyváltozós függvények deriválása (ismétlés). Jelölés: f (x) helyett néha kényelmesebb ( f(x) ) -t írni, pl. (e x ) = e x. (Bár a függvényt és nem a függvényértéket deriváljuk.). A derivált jelentése (tanultuk): pl. a pillanatnyi változás. Ennek gyakori megfogalmazása: ha y = f(x), akkor f y (a) = lim x a Szimbóluma: formalizmus, azaz "y-t deriváljuk x szerint". a dy dx Példák: ha y = x, akkor dy = x (azaz, dx x deriváltja x szerint: x). Ez ugyanazt jelenti, mint hogy az f(x) := x függvény deriváltja f (x) = x. Más változókkal (fizikai példák): s = 5t, így ds dt = t; állandó T hőmérséklet esetén p = c V (ahol c = nrt ), így dp dv x. = c V. 3. Alapderiváltak: konstans deriváltja, elemi függvényeké a táblázatból. II. Szorzat, hányados deriválása (f g) = f g + fg, Vigyázat! f g ( f g ) = f g fg (ha g ),... f g g III. Kompozíció deriválása.. Szabály: (f g) = (f g) g ( pontonként: (f(g(x)) = f (g(x)) g (x) ). [ Vigyázat! Sem f g, sem f g nem jó! ] Példák: (e sin x ) = e sin x cos x. [ Rossz válaszok: e sin x vagy e cos x.] Megj.: itt fontos látni, hogy g(x) = sin x a belső és f(x) := e x a külső függvény, hiszen x sin x e sin x. ( tg (e x ) ) = cos (e x ) ex = ex, cos (e x ) itt g(x) = ex a belső, f(x) := tg x a külső függvény.. A dy dx formalizmus alkalmazása a kompozícióderiváltra. Legyen y := f(g(x)). Ha z := g(x), akkor formálisan dy = dy dz. dx dz dx Példa: y = ln(sin x). Az eddigi jelölésekkel: f(z) := ln z és g(x) = sin x komp.-jára ( ) ln(sin x) = ln (sin x) (sin x) = cos x cos x =. sin x sin x A dy formalizmussal: dx dy = dy dz = cos x = dx dz dx z sin x y = ln z, ahol z = sin x, így cos x = cos x sin x. (Nem kötelező így csinálni: igény szerint használható, akinek így könnyebb.)
3. Fontos speciális esetek: (g α ) = αg α g pl. (g ) = g g, ( g ) = (g ) = g g = g g. (Vigyázat, itt g hatvány és nem inverz!) (Itt a külső függvény f(z) := z α, pl. f(z) := z vagy f(z) := z.) Példák: (sin x) = sin x cos x [tipikus hiba: sin x], ( ) ( e x + = (e x + ) ) = (e x + ) e x = ex, (e x +) ( ) (ln x) 3 = 3(ln x), ( + x x ) = ( ( + x ) /) = ( + x ) / (x) = x +x. (ln g) = g g (ún. logaritmikus derivált). (Itt a külső függvény f(z) := ln z.) Példák: (ln(sin x)) = cos x sin x [tipikus hiba: sin x ], (ln(x 4 + x )) = 4x3 +x x 4 +x, (ln( + 5x)) = 5 +5x. ( f(cx) ) = c f (cx), pl. ( f( x) ) = f ( x). (Itt a belső függvény g(x) := cx.) Példák: (sin 3x) = 3 cos 3x, (e x ) = e x. [tipikus rossz válaszok: cos 3x, e x ] ( f(x ) ) = f (x ) (x). (Itt a belső függvény g(x) := x.) Példa: ( sin(x ) ) = cos(x ) (x). Általánosabban: ( f(x + k) ) = f (x + k) (x), ahol k állandó. Példa: ( + x ) = ( ( + x ) /) = ( + x ) / (x) = x +x. 4. Több tagra: ( f(g(h(x))) ) = f (g(h(x)) g (h(x)) h (x) (láncszabály), dy formalizmussal: dy = dy dv dz. dx dx dv dz dx (Még több tagra hasonlóan.) Példa: ( (e sin x ) ) = e sin x e sin x cos x. 5. Még egy fontos példa: (ln x) =, ha x >, de minek a deriváltja, ha x <? x x Ha x <, akkor x = x, így (ln x ) = (ln( x)) = ln ( x) = x = x. Másrészt x > esetén x = x, így a fenti is ugyanezt adja. A kettőből együtt: (ln x ) = x x. Köv.: g belső függvénnyel (ln g ) = g g. 6. Más változó. Ha más betű jelöli a független változót, akkor is ugyanúgy deriválunk,
mint amikor x volt. Pl.: ha f(t) := t, akkor f (t) = t stb. IV: A L Hospital-szabály. (A deriválás alkalmazása.) Határértékszámítási probléma: " Tétel: Legyen lim a f = lim a g =. Ekkor lim a f g = lim a e típusú" limesz, pl. lim x =? x x f g, ha az utóbbi értelmes. Példák: e (i) lim x x x = lim x e x = e =. Felhasználtuk: x e x folytonossága miatt lim x e x = e =. (ii) Ha a szabályt használva is e lim x x x x e = lim x x x = lim x e x = e =. típusú marad, akkor alkalmazzuk újból: pl. Házi feladatok.. Deriváljuk az alábbi függvényeket: f(x) :=... sin x cos x, x ln x, x x, (x + ) sh x, e x, x 3 cos x e cos x, ctg (e x ), sin x, ( + 3x) 6, 3x, sin x e x, ln cos x, sin x, e x, (x+) 3, cos(x 3 ), ( + e x ) 3/, x, (x + cos 4x + ) 3, x x,, +x +x +x, x, ( x ) 3/. Számítsuk ki az alábbi deriváltakat! sin x, e x x+3, x+ x 4, sin(x ), sin x, ln( + x ), ln( 4x), ln x + 3x 4, e x e, x, e x +,, x shx, x + x cos x +x x, 3/ x, ( x ) 5/, +x 4,, ( x) x ln, xe x. +x +x (a) ds, ha s = 3 dt t ; (b) dt du, ha T = V ; (c), ha u = dv dt e T. 3. Számítsuk ki az alábbi határértékeket! sin x lim, x 3x lim cos x x sin x, lim, lim x x x x 3 ex x x. x x 3 3
. Szélsőértékszámítás és függvényvizsgálat/. I. Lokális szélsőérték és monotonitás.. A fogalmak felidézése (rajzokkal!). Egy függvény lehet szigorúan növő/csökkenő egy intervallumon (ismert korábbról); lokális minimumhelye van a-ban, ha a egy környezetére nézve itt legkisebb értéke van. (Környezet: a-t tartalmazó nyílt intervallum.) Azaz, ha f(a) f(x) x I. Hasonlóan: lokális maximumhely, ha helyett van. Lokális szélsőértékhely: lok. min. vagy max.-hely. Lokális minimum nem feltétlenül globális minimum (lehetnek kisebb függvényértékek).. Tételek (mindig feltesszük, hogy f differenciálható egy I intervallumon): Ha f (x) > ( x I) f szigorúan növő I-ben. Ha f (x) < ( x I) f szigorúan csökkenő I-ben. Ha f-nek lokális szélsőértékhelye van a-ban f (a) =. Szemléletes jelentés az érintők meredekségével (rajz). 3. Vigyázat: A fenti utolsó tétel visszafelé nem igaz! Vagyis, ha f (a) =, akkor a nem feltétlenül lokális szélsőértékhely. Ez attól függ, milyen f előjele a előtt és után. Példa: az a = pont milyen helye az alábbi függvényeknek? (Mindegyikre f () =.) Megoldás: írjuk fel f előjelét előtt és után, és ebből rajzoljuk fel f-et! (i) f(x) := x : előtt csökken, után nő lokális minimum (ii) f(x) := x : előtt nő, után csökken lokális maximum (iii) f(x) := x 3 : előtt és után is nő -ban nincs lokális szélsőérték, f végig növő (iv) f(x) := x 3 : előtt és után is csökken -ban nincs lok. széls., f végig csökken 4. Általános módszer: mint a fenti példában, f előjeléből leolvasható f növekedése, csökkenése és lokális szélsőértékei. Példa: legyen f(x) := x 3 3x (x R). Keressük meg f lokális minimum- és maximumhelyeit, ill. hogy mely intervallumokon növő/csökkenő! Megoldás: deriválni kell, f (x) = 3x 3 = 3(x ). Ebből minden leolvasható: Ha x < : f (x) >, így f szig. növő. Ha < x < : f (x) <, így f szig. csökken. Ha x > : f (x) >, így f szig. növő. Továbbá: előtt növő, utána csökken a - lok. maximumhely; előtt csökken, utána növő az lok. minimumhely. Megj.: ezekből és néhány függvényértékből (pl. x =,, ) f grafikonja elég jól felrajzolható x nem nagy értékeire. Ha viszont x tart ± -hez, akkor tudnunk kell, f mit csinál (limeszvizsgálat), a II. részben ezzel foglalkozunk. 5. Lokális szélsőérték. deriválttal (monotonitások nélkül). Tétel: Legyen f (a) =. Ha f (a) > a-ban lok. min. van, ha f (a) < a-ban lok. max. van. 4
Példák. (i) f(x) := x, ekkor f () = és f () =, így -ban lok. min. van. (ii) f(x) := x, ekkor f () = és f () =, így -ban lok. max. van. (iii) f(x) := x 3 3x (az előbbi), ekkor f (x) = 3x 3 = 3(x ) és f (x) = 6x. Így f ( ) = és f ( ) = 6 < ( )-ben lok. max., f () = és f () = 6 > -ben lok. min. Fontos megj.: Ismerjük az első derivált jelentését (érintő meredeksége; ha a derivált + vagy -, akkor a függvény nő/csökken). A fentiekből látszik a. derivált jelentése: ha ez + vagy -, akkor a függvény grafikonja úgy görbül, mint egy felfelé/lefelé álló parabola. II. Globális függvényvizsgálat R-en. Alapelv: globális grafikon = a fenti növekedési vizsgálat + határértékek. (Az utóbbi van hátra. Ismétléssel kezdjük.). x n grafikonja (n N + ). (Rajz is!) Ha n páros: előtt szig. csökken, utána növő; lim x + xn = Ha n páratlan: végig szigorúan növő; lim x xn =,. Polinomok határértéke ± -ben. Módszer: a főegyüttható kiemelése. Példa: lim x + (x3 3x ) = lim x + x3 ( 3 ) = +. x x 3 Tehát csak a főegyüttható előjele számít. 3. Polinomok globális grafikonja. Alkalmazzuk a fenti alapelvet. Példák: (i) A korábbi: f(x) := x 3 3x (x R). Növekedési vizsgálat (láttuk): lim x xn = +. lim x + xn = +. előtt szig. nő, majd -ig csökken, utána nő, a - lok. maximumhely, az lok. minimumhely. Határértékek: a főegyüttható előjele pozitív, így f limeszei megegyeznek x 3 limeszeivel: lim f =, lim f = +. + (Részletezve: ) lim x (x3 3x) = lim x3( 3 x x = ( ) =, ) lim x + (x3 3x) = lim x3( 3 x + x = (+ ) = +.) Rajzoljuk fel a grafikont! (Néhány függvényértékből pontosítható, pl. x =,,.) (ii) f(x) := x 4x + 3 (x R). Növekedési vizsgálat: f (x) = x 4 = (x ) negatív előtt és pozitív után, így f szig. csökken előtt és szig. nő után, a lok. minimumhely. (Lok. max.-hely nincs.) Határértékek: a főegyüttható előjele pozitív, így f limeszei megegyeznek x limeszeivel: lim f = lim f = +. + (Részletezve: lim x (x 4x + 3) = lim x( 4 + ) 3 x x x = (+ ) = +, és pont ugyanez + -ben.) Rajzoljuk fel ezekből a grafikont! (Pontosítás: parabola, + a zérushelyek és 3.) 5
Házi feladatok.. Keressük meg az alábbi f : R R függvények lokális minimum- és maximumhelyeit, valamint hogy mely intervallumokon növők/csökkenők! Határozzuk meg a limeszüket ± -ben, végül rajzoljuk fel a grafikonjukat! (a) f(x) := x 3 3x + 5; (b) f(x) := x 4 x ; (c) f(x) := 5x x 5 ;. Igaz-e, hogy az alábbi f : R R függvények lokális maximumhelye egyben globális maximumhely is? (a) A fenti.(b) pontbeli f(x) := x 4 x ; (b) f(x) := x e x. (Útmutatás: itt is először keressük meg a lokális minimum/maximumhelyeket a tanult módszerrel.) 3. Keressük meg az alábbi f : R R függvények lokális minimum- és maximumhelyeit! (. deriválttal.) (a) f(x) := x 6 + 6x +, (b) f(x) := 4 + 3x x 3. 6
3. Szélsőértékszámítás és függvényvizsgálat/. I. Globális függvényábrázolás R-en (folytatás).. Néhány elemi függvény grafikonja, határértéke ± -ben (nagyrészt ismétlés). (a) Hatványfüggvények grafikonja: x α. (Az α = n N + esetekre múltkor rajzoltuk fel, most további példákat nézünk.) Rajzoljuk fel: f(x) := x, f(x) := x (x ). (Ugyanilyen általában f(x) := x n, ha n páratlan/páros.) Rajzoljuk fel: f(x) := x 3/, f(x) := x, f(x) := x = x (/) (x > ). (Ugyanilyen általában x α az α >, < α <, α < esetekben.) Szemléltessük a limeszeket a rajzokon! (b) Exponenciális és logaritmusfüggvények. Rajzoljuk fel az a > és < a < eseteket (4 rajz)! (Ezt már nagyon jól kell tudni...) (c) Helyettesítés. Példa: lim x + e x =? Itt ha x +, akkor x, és akkor e x. (Hiszen az e alapú exp függvény -ben -hoz tart.). Példák. Rajzoljuk fel az alábbi grafikonokat! (Alapelv, mint múltkor.) (a) f(x) := e x. Növekedési vizsgálat: f (x) = x e x pozitív előtt és negatív után, Határértékek: f szig. nő előtt és szig. csökken után, a lok. maximumhely. ha x + : előbb láttuk, hogy lim x + e x =. ha x : hasonlóan helyettesítünk. Ekkor is x, és akkor e x. (Az indoklás ugyanaz.) Ezekből és f() = -ből kb. felrajzolható a grafikon. (b) f(x) := e 4x. Kétféleképp is megoldható.. Az "alapelvvel". Növekedési vizsgálat: f (x) = 4 e 4x <, így f szig. csökken. Határértékek (helyettesítéssel): ha x +, akkor 4x, így e 4x. (Hiszen az e alapú exp függvény -ben -hoz tart.) ha x, akkor 4x +, így e 4x +. (Hiszen az e alapú exp függvény + -ben + -hez tart.) Ezekből felrajzolható a grafikon.. Közvetlen megoldás: e 4x = ( e 4 ) x = a x, ahol a := e 4 7 <. Így tudjuk a grafikont.
II. Globális szélsőértékszámítás I = [a, b] intervallumon. Ez egyszerűbb, mint a fenti, ui. nem kell limesz. Észrevételek:. Az I-beli maximum az I-be eső lokális maximumértékek és a végpontbeli értékek közül a legnagyobb. Hasonló igaz a minimumra.. Ha f (u) =, akkor az u pontot mindenképp bevehetjük a vizsgálatba. (Ha a-ban nincs lok. szélsőérték, akkor legfeljebb fölöslegesen.) Így viszont megússzuk a monotonitásvizsgálatot. Így adódik az új alapelv: globális szélsőértékvizsgálat I-ben = f zérushelyei + végpontok. Azaz, ezen pontbeli függvényértékek közül kiválasztjuk a legnagyobbat és legkisebbet. Példák:. Keressük meg f(x) := x 4x + 3 minimumát és maximumát az I := [, 5] intervallumon! (i) f (x) = x 4 = (x ) = x =, ez beleesik I-be, és itt f() =. (ii) Végpontok: f() = 3, f(5) = 8. Összesítve: max f = 8, min f =. (Érdemes felrajzolni az f I függvényt.) I I. Keressük meg f(x) := x 3 3x minimumát és maximumát az I := [, ] intervallumon! (i) f (x) = 3x 3 = 3(x ) = x = vagy. Ezekből esik I-be, itt f() =. (ii) Végpontok: f() =, f( ) =.4. Összesítve: max f =, min f =. I I 3. Az egységkörbe írható, origóra szimmetrikus téglalapok közül melyiknek legnagyobb/legkisebb a területe? Itt T = 4xy, ahol (x, y) a jobb felső csúcs koordinátái (x, y ). Mivel x + y = és x, y, így T = f(x) := 4x x, melynek az I := [, ] intervallumon keressük a minimumát és maximumát. (i) f (x) = 4 x + 4x ( x ) / ( x) = ) 4( x x x = (rendezve:) x = x x = ±, amiből I-be esik x =. Erre f( ) =. Itt y = x =, azaz a vizsgált téglalap épp négyzet. (ii) Végpontok: f() = f() =. Itt, ha x =, akkor y =, vagy fordítva: ezek elfajuló esetek (szakaszok). Összesítve: a négyzet területe a legnagyobb, T =, ill. az elfajuló esetek (szakaszok) területe a legkisebb (T = ), azaz a valódi téglalapok közt nincs legkisebb területű. (Rajz!) 8
Házi feladatok.. Rajzoljuk fel az alábbi függvények grafikonját! (a) f(x) := x 4 (x ), (b) f(x) := x 3 (x ), (c) f(x) := x 5/ (x > ), (d) f(x) := x 3/ (x > ), (e) f(x) := ln x (x > ).. Rajzoljuk fel az alábbi, egész R-en értelmezett függvények grafikonját! (a) f(x) := e x, (b) f(x) := e x, (c) f(x) := e (x 3). 3. Keressük meg az alábbi függvények minimumát és maximumát a megadott intervallumon! (a) f(x) := x x, I = [, 3], (b) f(x) := x x 3, I = [, 3], (c) f(x) := x 5 5x, I = [, ]. 4. (a) Egy őszi napon a hőmérséklet 8 és óra között a T (t) = t t képlet szerint 6 alakult, ahol a t időt órákban, a hőmérsékletet C fokokban mérjük. Hány órakor és hány fokos volt a legmagasabb, ill. legalacsonyabb hőmérséklet a vizsgált időintervallumban? (b) Mekkora az a maximális területű téglalap alakú telek, amely m kerítéssel bekeríthető? (c) Ábrázoljuk egy lebomlási folyamatban az izotópok számát időben leíró N(t) = N e λt függvény grafikonját, ahol N > és λ > állandók, és t a [, + ) intervallumban mozog! 9
4. Integrálszámítás/: határozatlan integrál (primitív függvény). I. Elméleti háttér.. Alapgondolat: eddig megtanultunk deriválni: f f. Most visszafelé csináljuk: adott függvény minek a deriváltja?. (a) Def.: f-nek F primitív függvénye, ha F = f. Példák primitív függvényre: cos x-nek sin x; e x -nek önmaga; -nek ln x (ha x > ), általában ln x (ha x ). x (b) Alaptétel. Intervallumon a primitív függvény additív konstans erejéig egyértelmű. (Megj.: ha D f nem egy intervallum, pl. f(x) =, akkor c függ az intervallumtól is.) x Def.: f(x) dx az általános primitív függvény (határozatlan integrál). Azaz, ha F egy primitív függvény, akkor f(x) dx = F (x) + c Példák: cos x dx = sin x + c, II. Elemi primitív függvények. e x dx = e x + c, (c R). dx = ln x + c. x. Hatványfüggvények: x α dx = xα+ α + + c, ha α ; az α = esetben dx = ln x + c. x Példák: (a) Egész kitevő: x dx = x + c, x dx = x3 3 + c, dx = x + c, x dx = x dx = x ( ) + c = x + c. (b) Gyökös kifejezések: dx = x pl. x dx = x / dx = x/ / + c = x + c.. Elemi trigonometrikus függvények: cos x dx = sin x + c, sin x dx = cos x + c. 3. Integráltáblázat: x α, e x, a x,, sin x, cos x integrálja. x x / dx = x3/ 3/ + c = 3 x3/ + c, III. Kiszámítás a definíció alapján: további fontos típusok.. Műveletek: összeg és k-szoros kiemelhető, pl. (e x + cos x) dx = e x + sin x + c. (Megj.: Általában (f g) f g, és hányadosra sem!) Példa: polinomok. Pl. (x 4 + 7x 3x) dx = x5 5 + 7x3 3 3x + c.
. Kompozícióderivált integrálja. (f g) g = (f g) + c, de csak spec. esetekben szokott fellépni ilyen alakú integrál. (a) Logaritmikus integrál: Példák: cos x dx = ln sin x +c; sin x A fentire visszavezethető: x x + dx = g g g = (ln g ) + c, azaz (x) dx = ln g(x) + c. g(x) ha más a konstans szorzó, pl. x x + dx = ln(x + ) + c. x x + dx = ln x + +c = ln(x +) +c. (b) Belső konstans szorzó. Ha f(x) dx = F (x) + c, és k állandó, akkor f(kx) dx = F (kx) + c. k [ Tipikus hiba: ha lemarad az k szorzó! Azaz Ellenőrzés: Fontos eset: ( F (kx) ) = kf (kx) = kf(kx), így kell az k f( x) dx = F ( x) + c. f(kx) dx F (kx) + c, ha k.] szorzó a k eltüntetéséhez. Példák: cos x dx = sin x + c ( sin x + c!); e 3x dx = 3 e3x + c, cos x dx = sin x + c, e x dx = e x + c, e x dx = e x + c. Általánosabban: f(kx + b) dx = F (kx + b) + c. k Pl. cos(x + ) dx = sin(x + ) + c, x dx = ( x) / ( x)3/ dx = + c = 3/ 3 ( x)3/ + c.
IV. Racionális törtfüggvények integrálása: p(x) dx, ahol p, q polinomok. q(x) Néhány fontos esetet nézünk meg.. Elsőfokú nevező. ax + b dx = a ln ax + b + c (ahol a, b R állandók). (Megj.: Példák: fontos az abszolút érték, mert ax + b negatív értékeire csak így értelmes.) 3x dx = 3. Résztörtekre bontás. ln 3x + c, Megoldási módszer: ún. résztörtekre bontás. dx = ln x + c. x dx =?, ha a nevezőnek két valós gyöke van. x + rx + s Legyen x + rx + s = (x a)(x b), itt a b. Ekkor! olyan k R, hogy (x a)(x b) = k ( x a ). x b Éspedig, közös nevezőre hozás után a számlálókra = k(a b), azaz k = a b. Ebből x + rx + s dx = ( a b x a ) ( ) dx = ln x a ln x b +c = x b a b a b ln x a +c. x b Példák: ( x 5x + 6 dx = x 3 ) x 3 dx = ln + c. x x x x dx = ( x x dx = x ) x dx = ln + c. x x Megj.: a módszert és nem a képletet célszerű használni! 3. Valós gyök nélküli másodfokú nevezők. Példák: (a) Ha k : dx = arc tg x + c x + x + k dx = k (b) Logaritmikus integrálra visszavezethető: x x + k dx = (táblázatból; rajzoljuk fel az arc tg függvényt!) ( x k ) + dx = k k arc tg x k + c = k arc tg x k + c. pl. x x + k dx = ln(x + k) + c.
Házi feladatok.. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! x 4 dx, 3 x dx, (x 9 5x + ) dx, (3 cos x e x + sin x e x ) dx, + cos x e x + sin x dx x x dx, x x 3 dx, x 3 x 4 + dx, e x 4 dx, e x e x + dx cos x 3 dx, x dx, ( x 6 + x 8 3 x ) dx, (útm.: a számláló a nevező deriváltja), tg x dx, e x dx, sin x dx, (x 3) dx, (útmutatás: a számláló a nevező deriváltja-e?) e 4x dx, e x dx,. Számítsuk ki az alábbi, racionális törtfüggvényekre vonatkozó határozatlan integrálokat! 4x + 3 dx, 4 x dx, x dx, x 6x + 8 dx, x + x dx, x x dx, x dx, x + 9 dx, x x + 9 dx. 3. Adjunk megoldóképletet az alábbi integrálokra, ahol u adott állandó! dx (útm.: két valós gyök), x u (x u) dx (útm.: az f(kx + b) dx tanult típusba esik). 4. (Integrálás más változó szerint.) Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! (Útm.: ugyanúgy kell, mint x szerint: pl. cos t dt = sin t + c.) (t + e t ) dt, ( + s ) ds. 3
5. Integrálszámítás/. I. Határozatlan integrál (folytatás).. Két fontos trigonometrikus integrál: sin x és cos x. Felhasznált azonosságok: sin x és cos x is kifejezhető cos x-szel (pl. függvénytábla). Ezeket beírva: cos x dx = ( + cos x) dx = ( x + sin x) + c, sin x dx = ( cos x) dx = ( x sin x) + c.. Két integrálátalakító módszer. Ezek nem megoldóképletek, de (jó esetben) egyszerűbb alakra hozzák a feladatot. A. Parciális integrálás: f g = fg fg. Megj.: (a) Akkor jó, ha fg könnyebben integrálható, mint f g. Pl., ha g(x) = x (vagy lineáris) és f-et tudjuk integrálni, akkor g = miatt fg = f, és ez kiszámítható. (b) f g f g!! Ehelyett marad a fenti lehetőség. Példák: (i) e x x dx = e x x e x dx = e x x e x + c = e x (x ) + c. Itt f (x) = e x és g(x) = x. (ii) (x + ) cos x dx =? Vegyük most (x + )-et g(x)-nek, ekkor f (x) = cos x, így f(x) = sin x jó lesz: (cos x) (x + ) dx = (sin x) (x + ) sin x dx = (x + ) sin x + cos x + c. B. Helyettesítéses integrálás: f(x) dx = f(g(t)) g (t) dt g(t)=x ahol g szigorúan monoton, diff.-ható függvény. Szemléletesen: ez egy x = g(t) helyettesítés, azaz x helyett g(t)-t írunk, és dx helyett g (t) dt kell; az utóbbi a dx dt formalizmussal érthető meg: g (t) = dx dt, így dx dx = dt; dt az egész akkor hasznos, ha g(t) kiejti/egyszerűsíti x "csúnya" kifejezését. 4
Példák. (i) Ekkor dx dt cos x x dx =? Itt x csúnya, de x = t kiejti a gyököt: x = t (vehető t > ). = t, így dx = t dt. Ezeket beírva: cos x dx = x cos t t t dt = cos t dt = sin t + c = sin x + c. (Az utolsó lépés értelemszerű, hisz eredményként x függvénye kell.) (ii) e x e x + dx =? Ez egyszerűbbé válik, ha x = ln t, mert akkor ex = t. Ekkor dx =, így dx = dt. Ezeket beírva: dt t t e x e x + dx = t t + t dt = t + dt = ln t+ +c = ln ex + +c = ln(e x +)+c. II. Határozott integrál.. Fogalma. Legyen f : [a, b] R + folytonos függvény. Ekkor grafikon (görbe) alatti terület.. Kiszámítása: Newton-Leibniz szabály: ha F = f, akkor b f(x) dx = F (b) F (a) =: [F ] b a. a b a f(x) dx jelentése: a Megj.: (i) Ez a kapcsolat a kétféle (határozatlan és határozott) integrál közt. (ii) F -ben nem kell a +c, mert úgyis kiesik. Példák.. x [, ] esetén mekkora az y = x parabola alatti terület? Kiszámítandó x dx. Itt F (x) = x dx = x3 (+c nem kell), 3 így. így π/4 π/4 x dx = [ x 3 3 ] := 3 3 3 3 = 3. cos x dx =? Itt F (x) = cos x dx = sin x cos x dx = [sin x]π/4 := (sin π sin ) =. (+c nem kell), 3. (a) Parciális integrálás határozott esetben: b a b f g = [fg] b a fg. a Példa: e x x dx = [e x x] e x dx = [e x x] [ex ] = (e ) (e ) =. 5
(b) Helyettesítéses integrálás határozott esetben: ha g szigorúan monoton, diff.-ható függvény, a = g(c) és b = g(d), akkor b a Példák.. ln f(x) dx = d c f(g(t)) g (t) dt. e x e x + dx =? Az előbbi x = ln t helyettesítést használjuk, amikor is ex = t. Az x = és x = ln végpontokból (t = e x miatt) t = e = és t = e ln = lesz, valamint dx =, így dx = dt. Ezeket beírva: dt t t ln. e x e x + dx = x dx =? t t + t dt = t + dt = [ ln t + ] = ln 3 ln = ln 3. Az x = sin t helyettesítést használjuk: a [, π ] intervallumon sin szig. növő függvény, és a t =, t = π végpontokat épp x = -ba és x = -be viszi. Itt dx = cos t, így dx = cos t dt. Ezeket beírva: dt π/ π/ x dx = sin t cos t dt = cos t dt = [ t + sin t] π/ = π 4, ahol közben felhasználtuk, hogy sin t = cos t = cos t = cos t, ha t [, π]. (Nehéz, de fontos példa volt: épp a negyedkör területét számítottuk ki.) Házi feladatok.. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! cos (3x) dx, (x + ) sin x dx, x ( + x) dx, e x cos(e x ) dx.. (a) Mekkora az y = x x parabola és az x tengely közti terület? (Útm.: a x értékekre lesz a görbe alatti rész.) (b) Egy l hosszú inhomogén sűrűségű vékony rúd tömege a sűrűségfügvény. Ha l = és ϱ(x) =, mekkora a rúd tömege? +x 3. Számítsuk ki az alábbi határozott integrálokat! e x dx, x e x dx, π/ x cos x dx, 4 e x x dx, x e x dx (itt az x = t helyettesítést használjuk!), x dx l ϱ(x) dx, ha ϱ : [, l] R (itt az x = sin t helyettesítést használjuk a [, π ] intervallumon)! 6
6. Egyváltozós integrál (folytatás). Többváltozós függvények deriválása/ I. Egyváltozós függvények improprius integrálja.. Alapprobléma: ha a görbe alatti tartomány nem korlátos, lehet-e véges a területe? Példák: (i) f(x) := x, x [, + ); (ii) f(x) := x, x [, ).. Improprius integrál: ha I = [a, b): b a Ha a nincs I-ben, ott (is) limeszt veszünk. A példák megoldása: (i) (Végtelen intervallum). + x dx = [ x f(x) dx := lim F F (a) =: [F ] b b a, ha ez létezik és véges. ]+ (ii) (Korlátos intervallum). dx = x = [ ]+ = ( lim x x + x ) = ( ) =. ( x) dx = [ ( x) ] = ) ( ( ) ( ) =. Megj.: a limesz = helyettesítési érték volt, tehát ugyanaz, mint az eredeti N.-L.-szabály. 3. További példák. (iii) (iv) (v) + + e x dx = [ e x] + x e x dx = [ e x] + = ( lim x + e x e ) = ( ) =. = ( lim x + e x lim e x) = ( ) =. x x dx = [ ln x ] = ln lim ln x = ( ) = +, azaz nincs véges x improprius integrál. II. Többváltozós függvények deriválása. Parciális derivált. Bevezető példa. Gáztörvény: p = c T, ahol c állandó. Mekkora a p nyomás pillanatnyi változása, ha csak T -t vagy csak V -t változtatjuk, de a másik mennyi- V ség állandó? Itt p(t, V ) = c T V kétváltozós függvény. 7
Az f : R R eset. Ekkor f(x, y) kiszámítása általában: az változót konstansnak tekintjük. f(a, b) kiszámítása: behelyettesítjük (a, b)-t. x f(x, y) függvényt deriváljuk, az y Hasonlóan: f(x, y) esetén megfordítva, y szerint deriválunk és x állandó. (Más gyakori jelölések: f helyett x f vagy f, azaz a változóval indexeljük.) x Példák: (i) f(x, y) := x 3 sin y. f(x, y) =? Úgy készül, mintha pl. x 3 sin -ot deriválnánk x szerint: ebből 3x sin lenne, azaz sin konstans szorzó. Így f(x, y) = 3x sin y x, y. f(x, y) =? Úgy készül, mintha pl. 3 sin y-t deriválnánk y szerint: ebből 3 cos y lenne, azaz 3 konstans szorzó. Így f(x, y) = x 3 cos y x, y. Adott pontban: pl. f(, ) = 3 cos =. (ii) f(x, y) := x + y. f(x, y) =? Úgy készül, mintha pl. x + -et deriválnánk x szerint: ebből x lenne, és ugyanígy f(x, y) = x x, y. f(x, y) =? Úgy készül, mintha pl. + y -et deriválnánk y szerint: ebből y lenne, és ugyanígy f(x, y) = y x, y. (iii) A bevezető példa: p(t, V ) = c T V. Itt célszerű az indexben az adott változóval jelölni a deriválást: T p(t, V ) = c V, V p(t, V ) = c T V. További példák: (iv) f(x, y) := x 4 y + xy 3x f(x, y) = 4x 3 y + y 6x, f(x, y) = x 4 y + x. (v) f(x, y) := 3x y + 5 f(x, y) = 3, f(x, y) =. (vi) f(x, y) := x y f(x, y) = x y, f(x, y) = x y. Kompozícióderiváltak: (vii) f(x, y) := e x +y f(x, y) = x e x +y, f(x, y) = y e x +y. Ez általános szabály (gyakori eset): f(x, y) := h(x + y + k) (k állandó) f(x, y) = x h (x + y + k), (viii) f(x, y) := sin(3x y) f(x, y) = 3 cos(3x y), f(x, y) = y h (x + y + k). f(x, y) = cos(3x y). 8
Még több dimenzió. Példák: (i) f(x, y, z) := xyz f(x, y, z) = yz, f(x, y, z) = xz, 3 f(x, y, z) = xy. (ii) f(x, y, z, w) := yz + xw pl. 4 f(x, y, z, w) = xw. Második parciális derivált. Példák: (i) f(x, y) := x 3 sin y. Ekkor f(x, y) = 3x sin y, f(x, y) = x 3 cos y. Ezek újból deriválhatók: f(x, y) = 6x sin y, f(x, y) = 3x cos y, f(x, y) = 3x cos y, f(x, y) = x 3 sin y. Megj.: (a) f = f, ez mindig igaz (Young-tétel). (b) Jelölés: i f := i i f. (Vigyázat, ez ( i f)!) Ilyenkor tehát 3 derivált kell: f, f és f. (ii) f(x, y) := x 3 y 5 + x. Ekkor f(x, y) = 6xy 5 +, f(x, y) = 5x y 4, f(x, y) = x 3 y 3.. Gradiens, Jacobi-mátrix. Értelmezés: f : R n R m esetén a derivált f f... n f f f f... n f :=...... f m f m... n f m m n-es ún. Jacobi-mátrix. Spec., ha f : R n R: f ún. gradiense f = f := ( f, f,... n f ). Példák: (i) f(x, y) := x 3 sin y f(x, y) = ( 3x sin y, x 3 cos y ). (ii) f(x, y) := (x + y, xy + x) f (x, y) = Házi feladatok. + + +. x dx =? e x 3/ dx =? ( x y ) y + x x dx =? x dx =?. Számítsuk ki az alábbi függvények első parciális deriváltjait! (a) f(x, y) := e x sin y, x y 4, x y + xy, x 3 y 5 3xy 4 + 7y, e x y, e x y, x ln(x + y ), ln(x 4 + y 4 ), x + y +, (x + y 4) 3/. (b) f(u, v) := 4u + 9v, f(m, T ) := mt. y, (c) f(x, y, z) := x + y + z, f(x, y, z) := xy z. 3. Második parc. deriváltak=? f(x, y) := e x sin y, ln(x +y ), f(x, y, z) := xyz. 4. f (x, y) =? f(x, y) := ln(x + y ), f(x, y) := (x 3 5y, x 4 y 3 + x). 9
7. Többváltozós függvények deriválása/. Komplex számok I. Második derivált, Taylor-polinom... derivált. Értelmezése: f : R n R esetén, ha f C (R n, R). f := { j i f } i=,...,m j=,...,n = f f... n f f f... n f...... n f n f... nf. Neve: f Hesse-mátrixa a-ban. (Emlékeztető: i f := i i f.) Fontos tulajdonság (Young-tétel): j i f = i j f ( i, j), azaz f szimmetrikus. Példa. Legyen f : R R, f(x, y) := e x y. Ekkor f(x, y) = e x y, f(x, y) = e x y, f(x, y) = e x y, így f (x, y) =. Első- és másodfokú Taylor-polinom. Elsőfokú Taylor-polinom: ( e x y e x y e x y e x y ). ha a R n rögzített pont és h R n, h, akkor f(a + h) T (a + h) := f(a) + f (a)h. (Ez f legjobb lineáris közelítése.) Példa. Legyen f : R R, f(x, y) := e x y. Legyen a = (, ), és h = ( u ), v ahol u, v. Ekkor f(a + h) = f(u, v) = e u v lineáris közelítése T (u, v) := f(, ) + f (, )(u, v). Itt f(, ) =, ill. f (x, y) := (e x y, e x y ), így f (, ) = (, ). Ebből T (u, v) := + (, ) ( u ) = + u v, azaz e u v + u v. v Másodfokú Taylor-polinom. Fogalom: Egy n n-es A mátrix kvadratikus alakja: Ah h (h R n ). Példa: Legyen A := ( ) ( u v ( ) ( u v ) ) = ( u v. Ekkor h = ( u v u + v ) ( u v ) esetén a kvadr. alak: ) = u uv uv + v, azaz Ah h = u uv + v, ez másodfokú kétváltozós polinom.
Másodfokú Taylor-polinom: ha h, akkor f(a + h) T (a + h) := f(a) + f (a)h + f (a)h h. (Ez f(a + h) legjobb másodfokú közelítése.) Példa: Legyen f(x, y) := e x y, a = (, ). Ekkor az előbb kapott + u v polinomot ki kell egészítenünk a másodfokú taggal. Itt ( ) f (, ) =, aminek az előbb számítottuk ki a kvadratikus alakját. Így h = ( u ) v esetén T (u, v) = + u v + (u uv + v ), azaz, ha u, v, akkor e u v + u v + (u uv + v ). II. Komplex számok. Fogalma: bevezetjük az i := új, ideális elemet, és C := {a + ib : a, b R}. A z := a + ib felírásban a és b neve: a z szám valós ill. képzetes része. Szemléltetés: komplex számsík, pl. rajzoljuk fel ( + 3i)-t.. Műveletek: + és eredménye is komplex szám, úgy számolunk, mint valósakkal, és felhasználjuk, hogy i =. Példák: ( + 3i) + ( 7i) = 3 4i, 4( i) = 4 8i, ( + i) ( 4 + i) = 4 8i + i + i = 4 7i = 6 7i. Ha a >, akkor (i a) = i a = a, azaz minden negatív számnak van négyzetgyöke. Szemléltetés: összeg és valós számszoros esetén ugyanaz, mint síkbeli vektorokra. Komplex számok szorzata esetén: később. További fogalom: ha z = a + ib, akkor z := a ib, neve z komplex konjugáltja. 3. Másodfokú egyenletek komplex megoldásai. Tekintsük az ax + bx + c = egyenletet, ahol a, b, c R. Mit mondhatunk, amikor nincs valós gyöke, azaz a diszkrimináns D := b 4ac <? Ekkor értelmezhető két komplex gyök. Ugyanis D = D = i D, így a megoldóképletből λ, = b± D = a Megj.: jelölje α := b és β := a gyök egymás komplex konjugáltja. b± i D a. D a, ekkor a gyökök: λ, := α ± iβ. Tehát a két Példák: x + x + 5 = x, = ± 4 = ± 6 = ±4i = ± i. x + 3 = x, = ± 3 = ± 3 i.
4. Polárkoordináták: mint korábban az R síkon. Ha z = a + ib, akkor r := a + b (a -tól vett távolság), és ϕ [, π) a valós tengellyel bezárt szög. Ekkor a = r cos ϕ, b = r sin ϕ, ezzel z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Komplex alak: hatványsorral értelmeztük a z e z függvényt C-n. Fő tulajdonság: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ ( ϕ R). Ezzel a polárkoordináták exponenciális alakja: z = re iϕ. Példák. (i) Írjuk fel polárkoordinátákkal, majd annak exponenciális alakjában! z = +i. Ábrázoljuk: r = és ϕ = π 4, így z = cos π 4 + i sin π 4 = ei π 4. z = + i. Ábrázoljuk: r = és ϕ = π 4, így z = (cos π 4 + i sin π 4 ) = e i π 4. (ii) Írjuk fel algebrai alakban (azaz z = a + ib)! z = e i π (azaz r = és ϕ = π ). Ekkor z = cos π + i sin π = + i = i. z = e iπ (azaz r = és ϕ = π). Ekkor z = (cos π + i sin π) = ( + i ) =. Házi feladatok.. Írjuk fel az alábbi f : R R függvények Hesse-mátrixát; első- és másodfokú Taylor-polinomját! a., f(x, y) := e x cos y. b., f(x, y) := ln( + x + y). c., f(x, y) := ( + x y) 3.. Számítsuk ki (azaz írjuk fel z = a + ib algebrai alakban): ( + i) + (3 + i), ( + i) (3 + i), ( + i) 3. Ábrázoljuk a komplex síkon: +i, 3 i, i + 6, 5e i π 3 4. Oldjuk meg! x + 4x + 3 = ; x 4x + 9 = ; x + =. 5. Írjuk fel polárkoordinátákkal, majd annak exponenciális alakjában! i, + i, i, 6. Írjuk fel algebrai (azaz a + ib) alakban! e i 3π, e i π 6, e 4iπ, e iπ 7. Legyen z = e i π 4. Ábrázoljuk a z, z, z 3,..., z 8 hatványokat! (Útmutatás: itt z n = e inϕ.)
8. Többváltozós integrál I. Primitív függvény több változóban (potenciál). A probléma. Legyen F : R n R számértékű függvény. Tudjuk deriválni: Fontos: itt F : R n R n. F F = ( F, F,..., n F ). Mint D-ban: most visszafelé keresünk. Azaz, adott f = (f, f,..., f n ) : R n R n függvényhez keresendő F : R n R primitív függvény, azaz, amelyre F = f. Koordinátákkal: i F = f i ( i =,.., n).. F létezésének feltétele: j f i = i f j ( i j). 3. Kiszámítás: az egyes változók szerinti integrálással. Példák. (i) f(x, y) := (x + y, x y). Létezik-e F? Ellenőrizendő: f = f. f (x, y) =, f (x, y) = igen, létezik F. Megoldandó: F (x, y) = f (x, y) F (x, y) = f (x, y), azaz F (x, y) = x + y F (x, y) = x y. Integráljuk az első egyenlőséget: F (x, y) = (x + y) dx = x + xy + c(y). Fontos: itt c = c(y)! Ezt behelyettesítjük a második egyenlőségbe: ( x + xy + c(y)) = x y, azaz x + c (y) = x y, azaz c (y) = y. Ezt megoldjuk: c(y) = ( y) dy = y + c, amiből (ii) f(x, y) := (x, y ). F (x, y) = x + xy y + c. Létezik-e F? f (x, y) =, f (x, y) = igen. Megoldandó: F (x, y) = x F (x, y) = y Ezt megoldjuk: c(y) = F (x, y) = x dx = x3 3 + c(y) ( x 3 + 3 c(y)) = y, azaz c (y) = y. ( y ) dy = y3 3 F (x, y) = x3 3 y3 3 + c. + c, amiből 3
(iii) Gyakran felbukkanó integrál: ha h(t) dt = H(t) + c, akkor x h(x + y + k) dx = H(x + y + k) + c(y). Ell.: ( H(x + y + k) + c(y) ) = H (x + y + k) (x) = x h(x + y + k), és osztunk -vel. Spec. típus: x (x + y + k) α dx = (x + y + k) α+ + c(y), ha α. α + Példa: f(x, y) := ( x, (x +y ) 3/ y (x +y ) 3/ ). Létezik-e F? f (x, y) = f (x, y) = 3xy (x +y ) 5/ igen. Megoldandó: x F (x, y) = F (x, y) = (x +y ) 3/ y. (x +y ) 3/ Integráljuk az első egyenlőséget: ez a fenti típusú, ha α = 3/, így x F (x, y) = (x + y ) dx = 3/ (x + y ) / + c(y) = x + y + c(y). Ezt behelyettesítjük a második egyenlőségbe: y ( (x + y ) / + c(y) ) =, azaz c (y) =. Így c(y) c, és (x +y ) 3/ F (x, y) = x + y + c. II. Vonalintegrál. Kiszámítási képletek. Legyen ϕ : [a, b] R n, melyre ϕ folytonos; f : R n R n folytonos. Jelölje Γ a ϕ képét (rajz). b (i) Általános képlet: f := f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Γ a (ii) Ha f-nek van F primitív függvénye: f = F (ϕ(b)) F (ϕ(a)). Γ (Ez egy N-L.-szabály.) Spec. eset: zárt görbe, azaz ha ϕ(a) = ϕ(b): f =.. Fontos görbék. (i) R sugarú körív: ϕ : [α, β] R, ϕ(t) := (R cos t, R sin t). Spec., ez [α, β] = [, π] esetén a teljes körív (zárt görbe), ún. pozitív irányítással. (Az utóbbit szemléltessük rajzon.) (ii) Szakasz: ϕ : [, ] R, ϕ(t) := (p + tu, q + tv). Ekkor Γ a (p, q) és (p + u, q + v) pontokat összekötő szakasz. Γ 4
3. Példák. (i) Legyen ϕ : [, π] R, ϕ(t) := (cos t, sin t) (egységkörív), f(x, y) := ( y, x). Ekkor: f(ϕ(t)) = ( sin t, cos t), ϕ (t) := ( sin t, cos t), f(ϕ(t)) ϕ (t) = ( sin t, cos t) ( sin t, cos t) = ( sin t) + (cos t) = t π f = dt = π. Γ Megj.: zárt görbén az integrál nem, ez azért lehet, mert f-nek nincs primitív függvénye. (ii) Legyen ϕ : [, ] R, ϕ(t) := ( + 3t, t). Ekkor Γ a (, ) és (5, ) pontokat összekötő szakasz. Legyen f(x, y) := (x + y, x y). Ekkor f(ϕ(t)) = ( + 4t, + t), ϕ (t) := (3, ), f(ϕ(t)) ϕ (t) = ( + 4t, + t) (3, ) = ( + 4t) 3 + ( + t) = 8 + 4t f = (8 + 4t) dt = [ 8t + 7t ] = 5. Γ (iii) Az előbbi példában nézzük meg, lehet-e primitív függvénnyel is: f (x, y) = f (x, y) =, így igen. Az előbb már kiszámítottuk: F (x, y) = x y + xy (most elég c nélkül). Ebből f = F (5, ) F (, ) = ( 5 + 5 ) ( 4 + ) = 5. Γ (iv) Ugyanezt a függvényt zárt görbén: legyen ϕ : [, π] R, ϕ(t) := (cos t, sin t) (egységkörív), f(x, y) := (x + y, x y). Ekkor f =. Γ Házi feladatok. Számítsuk ki az alábbi f vonalintegrálokat! Ahol lehet, használjunk primitív függvényt! (a) ϕ : [, ] R, ϕ(t) := (t +, t); (b) ϕ : [, π] R, ϕ(t) := (cos t, sin t); Γ f(x, y) := (x y, x + y). f(x, y) := (x y, x + y). (c) ϕ : [, π] R, ϕ(t) := (cos t, sin t); f(x, y) := (x 3 y, x + y 3 ). (d) ϕ : [, ] R, ϕ(t) := (t, t); f(x, y) := (x, y). (e) ϕ : [, π] R x, ϕ(t) := (cos t, sin t); f(x, y) := ( x, y +y (f) ϕ : [, ] R, ϕ(t) := (t, t); f(x, y) := ( x x +y +, x +y ). y x +y + ). (g) ϕ : [a, b] R, melynek Γ képe ellipszis; f(x, y) := ( x x +y +, y x +y + ). 5
9. Vektorszámítás. Többváltozós integrál. I. Vektorszámítás Emlékeztető: = (,,..., n ) operátor; ebből formálisan, f := (f, f,..., f n ) : R n R n vektorértékű függvényekre: f divergenciája: div f := f = f + f +... + n f n (számértékű). i j k f 3 3 f f rotációja: ha n = 3, rot f := f := 3 = ( f 3 3 f ) f f f 3 f f Példák. ha n =, rot f := f f (számértékű). (vektorértékű) f(x, y) := (x + y, xy) div f(x, y) = x + x = 3x, rot f(x, y) = y y = y. f(x, y) := (x + y, x y) div f(x, y) = =, rot f(x, y) = =. f(x, y, z) := (x, y, z) div f(x, y, z) = + + = 3, rot f(x, y, z) = (,, ) T. f(x, y, z) := (xy, yz, xz) div f(x, y, z) = y+z+x, rot f(x, y, z) = ( y, z, x) T. (A T transzponáltat jelent, azaz sor helyett a megfelelő oszlopvektort.) II. Többváltozós Riemann-integrál. (Számértékű függvényre.). Téglalapon. Kiszámítása: T f = d b először kiszámítjuk a belső tekintve); c a f(x, y) dx dy, b a aminek a jelentése: f(x, y) dx integrált x szerint (y-t konstansnak az eredmény y függvénye, ezt integráljuk y szerint c-től d-ig. Példák. (i) T := [, ] [, 3], f(x, y) := x + y T f = 3 (x + y) dx dy. A belső integrál: (x + y) dx = [ ( x + xy)] = ( + y) = + y. x= (F (x)-hez nem kellett +c, azaz +c(y), mert egy primitív függvény kell! Amúgy is kiesne.) A külső integrál: 3 (ii) T := [ π, π ] [, π], f(θ, ϕ) := θ π/ ( + y) dy = [ ( y + y )] 3 y= = ( 3 + 3 ) = 6. T f = π π/ π/ θ dθ dϕ. A belső integrál: θ dθ = [ ] θ 3 π/ = ( 3 π/ θ= π/ 3 ( π )3 ( π )3) = π3, ez a ϕ változónak konstans függvénye, mert f sem függött ϕ-től. A külső integrál: π π 3 dϕ = π π3 = π4 6. 6
. Terület és térfogat. Legyen H R n (n = vagy 3) adott tartomány (pl. körlap, gömb, sokszög, poliéder). Síkon: = A(H) (H területe); térben: = V (H) (H térfogata). H H Hasonlóan, ha c R állandó, akkor c = c A(H) vagy c V (H). (i) Elemi példák területre/térfogatra (középiskolából). H Téglalap: A = ab, háromszög: A = am, körlap: A = r π, félkör: A = r π. Gömb: V = 4r3 π, félgömb: V = r3 π, gúla: V = Am 3 3 3 (ii) Forgástestek térfogata., ahol A az alap területe. Egy r : [a, b] R + folytonos függvény grafikonját megforgatva az x tengely körül ún. forgástestet kapunk (rajz). Ennek térfogata: b V = π r (x) dx. a (Ugyanis az x pontbeli síkmetszet területe πr (x), és ezeket összegezzük.) Példa. Legyenek R, m > számok és r : [, m] R +, r(x) := R x. Ez m lineáris, és a megfelelő forgástest egy kúp. (Itt r(m) = R, így a kúp alapja R sugarú kör.) Ekkor V = π m [ ( R m x) dx = π R x 3 m 3 ] m x= = π R m m 3 3 = πr m 3 (azaz Am 3 ). II. Felszíni integrál Itt csak a konstans integrálját idézzük fel: ill. ha c R állandó, akkor c = c A(S). S = A(S) (S felszíne), S Fontos példák: gömbfelszín A = 4r π, félgömb felszíne A = r π. Házi feladatok.. Számítsuk ki div f-et és rot f-et, ha (a) f(x, y) := (x + y, x y ); (b) f(x, y) := (x 3y, 3x + y); (c) f(x, y, z) := (x + y, y + z, x + z ); (c) f(x, y, z) := (x + y + z, xyz, ).. Számítsuk ki az alábbi f Riemann-integrált! T := [ π, π ] [, π], f(θ, ϕ) := cos θ. T 7
3. Rajzoljuk fel az alábbi r függvények által meghatározott forgástesteket, majd számítsuk ki a térfogatukat a tanult képletből! (a) Legyenek R, m > számok és r : [, m] R +, (b) r : [, ] R +, r(x) := + x. 4. Számítsuk ki az alábbi f felszíni integrálokat! (a) S egy sugarú gömbfelület, f ; S r(x) R konstans. (b) S egy sugarú gömbfelület, melyet vízszintes felezősíkkal az S alsó és S felső félgömbre bontunk; {, ha x S, f(x) :=, ha x S (Útmutatás: f = f + f.). S S S (c) S egy oldalú kocka felülete, f mindegyik oldalon konstans értéket vesz fel, ezek a konstansok nagyságsorrendben: 3,,, -, -3,-7. 5. Ellenőrizzük az alábbi példákon a vektoranalízis ismert azonosságait! (a) rot f = f, ahol legyen D az egységkörlap és Γ annak határa (azaz az D Γ egységkörvonal) pozitív irányítással, valamint f(x, y) := ( y, x). (Útmutatás: a kérdéses vonalintegrált már kiszámoltuk, ill. rot f konstans lesz.) (b) div f = f ν, ahol legyen D az egységgömb és S annak felülete, valamint D f(x, y, z) := (x, y, z). (Útmutatás: S az előadáson láttuk, hogy f ν ; másrészt div f is konstans lesz.) 8
. Differenciálegyenletek/: szétválasztható KDE.. Példák KDE felállítására. (a) Baktériumok szaporodása. A egyedszámot (nagysága miatt) egy y folytonos függvénnyel írhatjuk le. Feltevés: nincs korlátozás, így a szaporodás sebessége egyenesen arányos az egyedszámmal. Ebből a KDE: ha x jelöli az időt, akkor y (x) = Ky(x), ahol a K > állandó az arányossági tényező. Röviden: y = Ky. (b) Cukor oldódása. g cukrot vízbe szórunk, az oldódás sebessége egyenesen arányos a még fel nem oldódott cukor mennyiségével. Mennyi a feloldódott cukor? (Jelölje y.) Ebből a KDE: ha x jelöli az időt, akkor a még fel nem oldódott cukor mennyisége y(x), így a KDE y (x) = K( y(x)), ahol a K > állandó az arányossági tényező. Röviden: y = K( y).. Szétválasztható KDE: y = h(y)g(x), ahol h, g adott folytonos függvények. Keressük az y megoldásfüggvényt. Megoldási módszer az előadáson tanult formalizmussal.. lépés. Ha h-nak c zérushelye, azaz h(c) =, akkor az y c konstansfüggvény megoldás, mert y =, és h(y) miatt a jobb oldal is.. lépés. Feltesszük, hogy h(y) egy I intervallumon. Ekkor dy dx = h(y)g(x) dy h(y) = g(x)dx dy h(y) = g(x)dx + c, ahol c R tetszőleges konstans. Integrálás után egy H(y) = G(x)+c egyenletet kapunk, amiből ki kell fejeznünk y-t x függvényeként. Fő speciális eset: y = h(y). (Ez szétválasztható, ahol g(x) :=. Ilyenek a bevezető példák.) Három fontos esetét részletezzük példákon. Az y = Ky egyenlet (K R állandó). () Baktériumok szaporodása. Például, az időt órákban mérjük és legyen K :=, 5, azaz a KDE: y =, 5y. (i) Mennyi az y létszám az x idő függvényében? (Azaz, oldjuk meg a KDE-t!). lépés: konstans megoldás y (ha nincs bakt., de ez nem érdekes).. lépés: az érdemi eset, ha y >. Ekkor: 9
dy dx =, 5 y dy y =, 5 dx integrálva: ln y =, 5 x + c, ahol c R tetsz. (most nem kell ln y, mert y > ) y = e c e,5 x = c e,5 x, azaz y(x) = c e,5 x, ahol c > tetsz. (ii) Ha a kezdeti létszám millió, mennyi lesz 4 óra múlva? Legyen x = a kezdőidőpont. A képletből x = 4 esetén y(4) = c e 6 43, 43 c, de c értéke is kellene, ezt a kezdeti feltételből határozhatjuk meg: x = esetén a feltételből y() = millió, másrészt a képletből y() = c e = c, azaz c = millió. Így y(4) = 43, 43 millió. () Egy radioaktív izotóp bomlási sebessége egyenesen arányos a meglévő tömeggel: y = λy, ahol λ > az ún. bomlási állandó. (A mínusz előjel miatt y <, így az y tömeg csökken.) Pl. a rádium bomlási állandója λ =, 44. Mennyi a rádium y tömege az x idő és az y kezdeti tömeg függvényében? Oldjuk meg a KDE-t! A modell miatt y >, ekkor: dy dx =, 44 y dy y =, 44 dx integrálva: ln y =, 44 x + c, ahol c R tetsz. y = e c e,44 x = c e,44 x, azaz y(x) = c e,44 x (c > tetsz.) Itt c most is megkapható a kezdeti értékből: y := y() = c e = c, így y(x) = y e,44 x. Az y = ay + b egyenlet (a, b R állandók). g cukrot vízbe szórunk, mekkora a feloldódott cukor y mennyisége az idő függvényében, ha az arányossági tényező, 3? (Lásd /b példa.) Az egyenlet: y =, 3 ( y). A modell miatt y < ; ekkor: dy dx =, 3 ( y) dy y =, 3 dx integrálva: ln( y) =, 3 x + c, ahol c R tetsz. y = e c e,3 x = c e,3 x, azaz y(x) = c e,3 x (c > tetsz.) Itt c megkapható a kezdeti értékből, amikor még gramm oldódott fel: = y() = c e = c, így y(x) = e,3 x = ( e,3 x ). 3
Az y = ay + by + d egyenlet (a, b, d R állandók). Mekkora a szabadon eső test sebessége, ha figyelembe vesszük a légellenállást? Mozgásegyenlet: ma = mg kv, ahol m, g, k > (rendre: a test tömege, a nehézségi gyorsulás és a légellenállási együttható). Jelölje t az időt, ekkor v = v(t) és a = v (t). A v-re kapott KDE: mv = mg kv. Osztva m-mel és átírva dt-vel: dv dt = g k m v. Most nem oszthatunk rögtön a jobb oldallal, mert nincs adott előjelfeltétel.. lépés: v(t) v konstans megoldás, ha = g k m v, hisz ekkor a KDE mindkét oldala. Ebből v = mg, mert v. (Jelentése: a légellenállás kiegyenlíti a k gravitációt, így nem gyorsul a test.). lépés: ha v(t) v. Ekkor dv dt = k ( v mg ) k = m k m (v v dv ) v v = k m dt. Integrálunk: a bal oldal nevezője v-nek másodfokú polinomja a v és v valós gyökökkel, így a tanult képlet használható, amiből v ln v v = k t + c (c R tetsz.) Ebből kell kifejeznünk v-t. v + v m v v = e vk m t+c = c e vk m t (c > tetsz.) v + v Itt v + v >, és legyen először v < v, ekkor v v v + v = c e vk m t. A nevezővel szorozva ez lineáris egyenlet, megoldása: v = v c e vk m t + c e. vk m t A másik eset (ha v > v) hasonló, akkor fönt lesz + és lent. Észrevétel: ha t +, akkor az exp. tagok -hoz tartanak, így a határsebesség v. 3
Házi feladatok.. y = Ky alakú egyenletek. (i) Egy élesztőgomba-tenyészetben az aktív fermentum mennyisége a pillanatnyi mennyiséggel arányosan növekszik. Adjuk meg az aktív fermentum y mennyiségét az x idő és az y kezdeti mennyiség függvényében, ha az arányossági tényező K =, 4! (ii) A C-4 izotóp bomlási sebessége egyenesen arányos a meglévő tömeggel, a bomlási állandó λ =, 45. Az időt években mérjük. Ha egy kőzetben az izotóp kezdeti tömege g, mekkora lesz a tömege 5568 év múlva?. y = ay + b alakú egyenletek (i) Egy szellőztető berendezés működése során a teremben lévő CO mennyisége egyenes arányban csökken azzal, amennyire a pillanatnyi CO -mennyiség eltér a bekevert friss levegőben lévőtől. Ezt az y = K(y m) egyenlet írja le, ahol K, m > állandók és y a CO mennyisége. Egy adott terem esetén K =, és m =, 45, valamint a kezdeti CO mennyisége,8 m 3. Adjuk meg a CO mennyiségét az idő függvényében! (ii) Egy test lehűlési sebessége egyenesen arányos a test és környezete hőmérsékletének különbségével, azaz T (t) = K (T k T (t)), ahol K > és T k > állandók. (Itt T (t) és T k rendre a t időpontbeli és a külső állandó hőmérséklet, az időt percekben mérjük). Ha egy kenyér kezdetben C-os, a levegő T k = 3 C-os és K =, 366, mekkora lesz a kenyér hőmérséklete 6 perc múlva? 3. y = ay + by + d alakú egyenletek (i) Ha a baktériumok szaporodását az élőhely M > eltartóképessége korlátozza, akkor a szaporodás sebessége nemcsak az egyedszámmal, hanem az M-től való eltéréssel is arányos: y = Ky(M y), ahol K > is állandó. Adjuk meg mindazon megoldásokat, amikor y M. (ii) Két vegyület kémiai reakciójának sebessége arányos a reakcióba lépő koncentrációkkal, azaz, ha a kezdeti koncentrációk a és b, akkor y = K(a y)(b y), ahol K > arányossági tényező. Legyen a = 3 és b = (százalékban), valamint K =, 5. Adjuk meg a létrejövő vegyület koncentrációját (azaz az y megoldást) a t idő függvényében, ha a kezdeti érték y() =! (Használjuk fel közben, hogy y <, hiszen a ritkább komponens kezdeti teljes koncentrációja.) 3
. Differenciálegyenletek/. I. Másodrendű lineáris KDE. ay (t) + by (t) + cy(t) =, ahol a, b, c R állandók, a.. Az általános megoldás Mindig a következő alakú: y = c y + c y (c, c R tetsz.) Az y és y a karakterisztikus egyenletből fog kijönni: (K) aλ + bλ + c = (másodfokú). 3 eset van: Ha (K)-nak két valós gyöke van, λ és λ : y(t) = c e λ t + c e λ t (c, c R tetsz.) Ha (K)-nak egy valós gyöke van, λ: y(t) = c e λt + c te λt (c, c R tetsz.) Ha (K)-nak két komplex gyöke van, α ± iβ: y(t) = c e αt cos βt + c e αt sin βt (c, c R tetsz.).. Fontos példa: harmonikus rezgőmozgás. Általános egyenlet: y (t) + ω y(t) =, ahol ω > adott állandó. Gyakori eredet (pl. rugó, inga): mozgásegyenlet, my (t) + Dy(t) =, ahol m, D > állandók, ezt m-mel osztva, ω := D m Az általános megoldás. mellett visszakapjuk az első egyenletet. (K) λ + ω =, gyökei: λ, = ± ω = ±iω = ± iω y(t) = c e t cos ωt + c e t sin ωt = c cos ωt + c sin ωt (c, c R) Megj.: behelyettesítéssel triviálisan látszik, hogy ez valóban megoldás. A megoldás más alakjai. (c, c ) R poláralakban: c = A cos ϕ, c = A sin ϕ y(t) = A cos ϕ cos ωt + A sin ϕ sin ωt = A cos(ωt ϕ ), azaz: y(t) = A cos(ωt ϕ ) (A, ϕ [, π) tetsz.) Ez periodikus rezgés, ω az ún. frekvencia. Az A amplitúdó és ϕ fáziseltolódás tetsz. lehet. (Megj.: cos helyett lehet sin is, más ϕ -lal.) 33
3. További példák. (i) y + y 6y =. (K) λ + λ 6 =, gyökei: λ = és λ = 3 (ii) y 4y + 4y =. y(t) = c e t + c e 3t (c, c R tetsz.) (K) λ 4λ + 4 =, gyöke: λ = (iii) y 6y + 3y =. y(t) = c e t + c te t (c, c R tetsz.) (K) λ 6λ + 3 =, gyökei: λ, = 3 ± 4 = 3 ± i y(t) = c e 3t cos t + c e 3t sin t (c, c R tetsz.). Más alakban: y(t) = e 3t (c cos t + c sin t) = A e 3t cos(t ϕ ) (A, ϕ [, π) tetsz.) (iv) y + 4y =. (K) λ + 4 =, gyökei: λ, = ± 4 = ±i y(t) = c cos t + c sin t (c, c R tetsz.). Más alakban: y(t) = A cos(t ϕ ) (A, ϕ [, π) tetsz.) (v) y 4y =. (K) λ 4 =, gyökei: λ, = ± y(t) = c e t + c e t (c, c R tetsz.). 4. Egyes megoldások előállítása. Kezdeti feltételből. Most a c, c konkrét értékeihez két kezdeti feltétel kell, így a kezdeti deriváltat is előírjuk: y(t ) = y, y (t ) = v. Példa. Egy harmonikus rezgés frekvenciája ω =, a kezdeti kitérés, sebesség 6 (SI-ben). Hogyan alakul a kitérés? Az egyenlet és feltételek: y + 4y =, y() =, y () = 6. Általános megoldás (előző (iv) feladat): y(t) = c cos t + c sin t. Kell a deriváltja is: y (t) = c sin t + c cos t. kezdeti feltételek: = y() = c cos + c sin = c 6 = y () = c sin + c cos = c c =, c = 3 y(t) = 3 sin t. 34
II. Elsőrendű lineáris KDE-rendszer. (i) Példa rendszerre: x = x + y y = x + 3y. Mátrixszal: x y = 3 x y =: A x y. (ii) Megoldási módszer: ha az A mátrixnak vannak λ λ valós sajátértékei, ill. u R és v R a λ ill. λ -höz tartozó sajátvektorok, akkor x(t) y(t) (iii) A példa megoldása. = c e λ t u + c e λ t v (c, c R tetsz.) Sajátértékek: det(a λi) = λ 5λ + 4 = λ = 4 és λ = u + u = 4u Sajátvektorok: λ = 4 esetén Au = 4u u + 3u = 4u, Ebből x(t) y(t) = c e 4t ( λ = esetén Av = v ) +c e t ( ) = egy megoldása v + v = v v + 3v = v, egy megoldása ( c e 4t + c e t c e 4t c e t ) ( ) ( ; ) (c, c R tetsz.). 35
Házi feladatok.. Adjuk meg az alábbi KDE-k általános megoldását! Ha ez tartalmaz sin- ill. cosfüggvényt, akkor mindkét tanult alakban (c és c, ill. A és ϕ konstansokkal is) írjuk fel! (a) y + 6y 8y =. (b) y + y 6 (c) 4y + 9y =. (d) y y + 7y =.. Rezgőkörök. RLC-áramkörökben az áramerősséget a t idő függvényében az I(t) függvény írja le. Ha nincs külső gerjesztés, akkor erre az alábbi KDE áll fenn: L I (t) + R I (t) + I(t) =, C ahol L, R, C R állandók, éspedig L > a tekercs indukciós együtthatója, C > a kondenzátor kapacitása, ill. ha a körben van ellenállás is, akkor ez R > (ha nincs, akkor R = ). Adjuk meg az általános megoldást az alábbi esetekben! Ha ez tartalmaz sin- ill. cosfüggvényt, akkor mindkét tanult alakban (c és c, ill. A és ϕ konstansokkal is) írjuk fel! (a) Ha nincs ellenállás (azaz R = ), általános L, C mellett. Mekkora itt a rezgés ω frekvenciája? (b) Ha nincs ellenállás (azaz R = ), L = C =. (c) Ha L =, R = 3 és C =, 4. (d) Ha L =, R = és C =, 8. (e) Ha L =, R = 4, 5 és C =. 3. Adjuk meg az alábbi KDE-k megoldását a megadott kezdeti feltétel mellett! (a) y + 6y =, y() = 3, y () =. (b) Az.(a) feladat egyenlete, y() =, y () =. 4. Adjuk meg az alábbi KDE-rendszerek általános megoldását! (a) x = 3x 3y y = x 4y, (b) x = x + y y = 3x + 4y. 36