Függvénytranszformációk

. fejezet Függvénytranszformációk A matematika talán legfontosabb trükkje, hogy különböző matematikai területeket, meglepő és mély módon összekapcsol. A valószínűségszámítás legfontosabb analitikus eszköze a Fourier-transzformált. Ez az a kapu, amelyen keresztül a valószínűségszámítási problémák átvezethetők a klasszikus, illetve a komplex analízis területére. A komplex analízis, a mérték- és integrálelmélet mellett, az analízis másik alapeszköze. A Fourier-transzformáció a valószínűségi változók összegének vizsgálata során természetes módon vetődik fel. Miként már korábban is láttuk, eloszlások összegének közvetlen kiszámolása, még a legegyszerűbb esetekben is, komoly analitikus feladatot jelenthet. Az ilyen típusú feladatok függvénytranszformációkkal esetleg könnyebben megoldhatóak, ugyanis független változók összegének Fourier-transzformáltja az összeadandók transzformáltjának szorzata. A transzformáció egy másik, ha lehet még fontosabb tulajdonsága, hogy az eloszlás végtelen távoli pontokban való viselkedését a nulla pontban való viselkedésre játsza át. Pontosabban a transzformáció nulla pontban való lokális tulajdonságai egyértelműen meghatározzák a farokeloszlás nagyságrendjét és fordítva. A valószínűségszámítás alapjában véve a valószínűségi változók határeloszlásairól szóló tudomány, ugyanis az elmélet mögött meghúzódó alapvető intuitív elképzelés az, hogy amit ténylegesen megfigyelünk, az nagy számú véletlen esemény eredője. A változók határeloszlásainak vizsgálata során azonban távolról sem triviális módon kiderül, hogy a határeloszlás, vagyis a ténylegesen megfigyelt jelenség, az alapul vett, de a határeloszlásban felolvadt jelenségek farokeloszlásainak nagyságrendjétől függ. A függvénytranszformációk azon tulajdonsága, hogy a farokeloszlás viselkedését átjátsszák a nulla pontba felbecsülhetetlen, ugyanis a transzformált függvény a nulla pont körül a klasszikus, gyakran az elemi, analízis eszközeivel kiválóan tárgyalható. A könyv hátralevő része lényegében erről a módszerről szól. A módszer alkalmazásai közül kiemelkedik a centrális határeloszlás-tétel és annak általánosításai, vagyis a korlátlanul osztható és a stabil eloszlások elmélete. Az esetleg szó nem véletlen. Bár a módszer meglepő módon hatékony, a sikerre most sincs garancia. 443

444. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK.. Fourier-transzformáció. Deníció. Legyen ξ valószínűségi változó. A t ϕ t Mexpitξ Mcos tξ + imsintξ függvényt a ξ karakterisztikus függvényének nevezzük. Ha a ξ eloszlásfüggvénye F, akkor ϕ t expitx df x cos txdf x + i sin txdf x. Ha µ -en értelmezett előjeles mérték, akkor a ϕ t expitx dµ x függvényt a µ Fourier-transzformáltjának mondjuk. Az egydimenziós esettel analóg módon definiálható a ξ ξ,ξ,...,ξ m vektor változó ϕ t ϕ t,t,...,t m Mexpit ξ + t ξ +... + t m ξ m Mexpit,ξ, illetve a µ előjeles mérték ϕ t expit,xdµ x. m Fourier-transzformáltja.... Fourier-transzformáció elemi tulajdonságai Foglaljuk össze a Fourier-transzformáció legfontosabb tulajdonságait! Megjegyezzük, hogy a Fourier-transzformáció leghasznosabb tulajdonsága, hogy mindig létezik, és a teljes számegyenesen értelmezett.. Világos, hogy amennyiben két változónak azonos az eloszlása, akkor a Fouriertranszformáltjaik megegyeznek.. Alapvető állítás, amelyet később egy külön pontban tárgyalunk, hogy a fordított összefüggés is érvényes, vagyis ha két változó Fourier-transzformáltja megegyezik, akkor az eloszlásaik is megegyeznek. 3. Független változók összegének karakterisztikus függvénye a karakterisztikus függvények szorzatával egyenlő, hiszen ha ξ és η függetlenek, akkor függetlenek az expitξ és expitη A valószínűségszámításban meghonosodott karakterisztikus függvény elnevezés gyakran problémát jelent, mivel összekeverhető a halmazok karakterisztikus függvényével. A valószínűségszámítási irodalomban a halmazok karakterisztikus függvényét indikátor függvénynek szokás nevezni. A karakterisztikus függvény illetve a Fourier-transzformált elnevezéseket azonosnak tekintjük.

.. FOUIE-TANSZFOMÁCIÓ 445 változók is, és ezért ϕ ξ+η t Mexpitξ + η Mexpitξ expitη 4. Ha η aξ + b, akkor Mexpitξ Mexpitη ϕ ξ t ϕ η t. ϕ η t Mexpitη Mexpitaξ + b expitb ϕ ξ at. 5. A transzformáció definíciójából nyilvánvaló, hogy ϕ ξ Mexpiξ M. 6. A karakterisztikus függvény abszolút értéke a teljes számegyenesen kisebb mint, hiszen ϕ t Mexpitξ M expitξ M. 7. Tetszőleges ξ változó karakterisztikus függvénye a teljes számegyenesen egyenletesen folytonos 3. Valóban, legyen ε > tetszőleges. Ha A n { ξ > n}, akkor A n ց, ezért lim n P A n, tehát létezik olyan N >, hogy P ξ > N < ε/3. Továbbá ϕ t + h ϕ t Mexpit + h ξ Mexpitξ Mexpit + h ξ expitξ M expitξ expihξ M expihξ expihξ M χ AN + χ A cn P A N + M expihξ χ A. cn Ha x [ N,N], akkor a cos xh, illetve a sin xh hatványsorából könnyen látható, hogy amennyiben hx <, akkor expihx cos xh + isin xh cos xh + sin xh xh + xh xh N h. Ha pedig még teljesül a h < ε/ 6N feltétel is, akkor M expihξ χ A N h < ε/3, cn ami alapján ϕ t + h ϕ t < ε. 8. Ha a ξ-nek létezik a k-dik momentuma, vagyis létezik az M ξ k várható érték, akkor a ξ ϕ karakterisztikus függvénye k-szor differenciálható, és a t pontban ϕ k i k M ξ k,. 3 A majorált konvergencia tétel miatt a folytonosság evidens.

446. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK illetve általánosabban ϕ k t ix k expitx df x.. Mivel a várható érték absztrakt integrál, ezért az állítás valójában egy integrál mögé való bederiválási tétel, hiszen például amiből például Hasonlóan és így ϕ t d dt Mexpitξ M d dt expitξ Miξ expitξ, ϕ imξ. ϕ t d dt Miξ expitξ M i ξ expitξ, ϕ i M ξ. De miért hajtható végre az integrálás és a deriválás cseréje? Ha akkor f t f t, ω expiξ ω t, t, ω expitξ ωiξ ω ξ ω. Mivel a feltételek alapján ξ integrálható, ezért használhatjuk a bederiválásról szóló.83. tételt, vagyis ϕ t expitξ ωdp ω t Ω expitξ ωdp ω expitξ ωiξ ωdp ω. Ω t Ω Indukcióval, ha M ξ n+ <, akkor a ϕ n t expitξ ωiξ ω n dp ω, Ω integrandusának t szerinti deriváltja expitξ ωiξ ω n+, és mivel expitξ ωiξ ω n+ ξ n+ ω, ezért a deriválás bevihető az integrál mögé: ϕ n+ t expitξ ωiξ ω n dp ω t Ω Ω t expitξ ωiξ ωn dp ω expitξ ωiξ ω n+ dp ω. Ω

.. FOUIE-TANSZFOMÁCIÓ 447 9. A fordított állítás nem igaz, vagyis abból, hogy a karakterisztikus függvény deriválható, még nem következik, hogy létezik a várható érték.. Példa. Az f x { ha x c/ x ln x ha x > sűrűségfüggvénnyel megadott eloszlásnak nincs várható értéke, de a karakterisztikus függvénye a nulla pontban deriválható. Mivel az x x lnx dx /x lnx dx [lnlnx] integrál divergens, az eloszlásnak nincs várható értéke. Az eloszlás szimmetrikus, ezért a karakterisztikus függvénye ahol t. Ez alapján ϕ t c cos tx ϕ t c x lnx dx, /t cos tx x lnx dx + cos tx /t x lnx dx. Az ϕ függvény valós értékü, páros és nem negatív. Tetszőleges u valós számra 4 ami alapján ha t elég kicsi Az első integrálra ϕ t K lnt /t t t cos u min,u, ugyanis a l Hôpital-szabály alapján lim t /t / lnxdx lim / t lnt t /t lnx dx + /t x lnx dx. /t dx t lnt lnx / t lnt t dx, lnx lnt + /t lnt lim t lnt lnt +. Hasonlóan a második integrálra /t lim / x lnx dx / lntt /t lim t t/ lnt t lnt + /lnt lim lnt t lnt, 4 Az u pontban az u és az cos u függvények megegyeznek, a deriváltjaikra pedig sin u < u.

448. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK vagyis ϕ t O t/ lnt ot, tehát ϕ. Ha azonban a pontban léteznek a páros 5 deriváltak, akkor léteznek a páros momentumok is. Ennek bizonyítása szinte szó szerint megegyezik a Linnik-tétel 6 igazolásával ezért elhagyjuk.. A karakterisztikus függvényből a később külön tárgyalt úgynevezett inverziós formulával közvetlenül kifejezhetjük az eloszlásfüggvényt. Ha például a ξ változó ϕ karakterisztikus függvénye integrálható, vagyis ha ϕ t dt <, akkor a sűrűségfüggvényekre kimondott inverziós formula alapján a ϕ-hez tartozó eloszlásnak van f sűrűségfüggvénye, és f x ϕ texp itx dt. π. Sűrűségfüggvény létezése esetén a karakterisztikus függvény néhány speciális tulajdonsággal rendelkezik. Ha a ϕ-hez tartozó eloszlásnak létezik sűrűségfüggvénye, akkor lim ϕ t, ϕ t <, t. t A határérték a iemann Lebesgue-lemma 7 következménye, ugyanis mivel az f integrálható, ezért ϕ t f x expitx dx. A másik állítást indirekt módon igazoljuk. Tegyük fel, hogy van olyan t, amelyre ϕ t. Ekkor alkalmas a számra ϕ t exp iat, amiből expit x adf x cos it x a df x, amiből cos it x a df x. Ez azonban csak úgy lehetséges, ha az F mérték szerint majdnem mindenhol cos it x a m.m., vagyis az F mérték diszkrét pontokra koncentrálódik, tehát nincs sűrűségfüggvénye.. Megjegyezzük, hogy valójában többet láttunk be, mint amit állítottunk. Egy ξ változót rácsosnak mondunk, ha egyenlő távolságra eső diszkrét rácspontokra koncentrálódik. Az imént elmondottak szerint, ha valamilyen t pontban ϕ t, akkor az eloszlás rácsos, a rácspontok távolsága π/ t. A ξ változót degeneráltnak, vagy elfajulónak mondjuk, ha van olyan a pont, hogy ϕ t exp iat, vagyis ha az eloszlás egyetlen a pontra koncentrálódik. Az elmondottak alapján, ha valamilyen t és t pontokban ϕ t ϕ t, és a t / t hányados irracionális, akkor az eloszlás degenerált. Speciálisan, ha egy valódi intervallum minden t pontjára ϕ t, akkor az eloszlás degenerált. 5 A páratlan deriváltakkal kapcsolatban lásd. 6.46. állítás, 85. oldal. 6 V.ö.:.63. tétel, 53. oldal. 7 V.ö: 3.36. következmény, 37. oldal.

.. FOUIE-TANSZFOMÁCIÓ 449... Speciális eloszlások Fourier-transzformáltjai.3 Példa. A λ paraméterű Poisson eloszlás karakterisztikus függvénye Valóban ϕ t k ϕ t exp λ expit. λ k k! exp λ expitk exp λ expλ expit..4 Példa. Az N, standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye ϕ t exp t. k λ k k! expitk Tekintsük a ϕ t π π exp exp x x cos tx + isin tx dx cos txdx t szerinti deriváltját 8, majd a deriváltat parciálisan integrálva x szerint ϕ t exp x xsin txdx π [ π exp tϕ t. x sin tx ] π exp x t cos txdx Mivel a karakterisztikus függvény elemi tulajdonságai miatt ϕ, ezért a normális eloszlás karakterisztikus függvényének eleget kell tenni a dϕ dt tϕ t, ϕ.3 egyenletnek. Közvetlen behelyettesítéssel látható, hogy a ϕ t exp t / eleget tesz a.3 egyenletnek, és a kezdeti érték feladat egyértelmű megoldhatósága miatt az exp t / az egyetlen megoldása az egyenletnek 9. 8 Mivel a normális eloszlásnak van várható értéke, ezért a 8. tulajdonság miatt a ϕ deriválható, és be lehet deriválni az integrál mögé. V.ö. 445. oldal. 9 Lineáris differenciálegyenlet esetén a megoldás egyértelműsége közvetlenül, elemi módon igazolható.

45. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK.5 Példa. A Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye ϕ t exp t.. A Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvényét először az inverziós formula segítségével fogjuk meghatározni. A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye f x /π + x. A ϕ integrálható, hiszen exp t dt. Az inverziós formula alapján a karakterisztikus függvényt egyértelműen meghatározza az esetlegesen teljesülő f x π + x exp itx exp t dt π cos tx exp t dt π összefüggés, amely közvetlen számolással ellenőrizhető.. A karakterisztikus függvényt közvetlenül is kiszámolhatjuk. Legyenek ξ és η független, standard normális eloszlással rendelkező valószínűségi változók. Miként láttuk, a ξ/η hányados Cauchy-eloszlással rendelkezik. A teljes várható érték tétel alapján, a normális eloszlás karakterisztikus függvényének képletét felhasználva ϕ t M exp it ξ η π M exp it ξ y exp t π exp Legyen a, és számoljuk ki az I a dφ y t y exp exp M exp it ξ η y dφ y η exp y dy t y y dy. a y y dy Használjuk ki, hogy az exp t páros, és integráljunk kétszer parciálisan. A figyelmes olvasó észrevehette, hogy az indoklás némiképpen pontatlan, ugyanis nem világos, hogy az exp t valaminek is a Fourier-transzformáltja, vagyis alkalmazható rá az inverziós formula. A.54. állítás, 558. oldal, szerinti Pólya-kritérium alapján a ϕ karakterisztikus függvény. Ugyanakkor ez közvetlenül is látható, ugyanis az / ϕ tekinthető sűrűségfüggvénynek, amely Fourier-transzformáltja c f, amelyre alkalmazva az inverz transzformációt visszakapjuk a ϕ-t. De mivel mind a ϕ, mind az f páros, a Fourier és az inverz Fouriertranszformációk konstanstól eltekintve azonosak. V.ö.: 9. példa, 8.. oldal.

.. FOUIE-TANSZFOMÁCIÓ 45 integrált. Az a paraméter szerint az integrál alatt deriválva I a exp a a y y y dy. Az I a értékét megadó integrál páros, így ha a > u a/y helyettesítéssel I a exp u a u y u y u du exp u a a u u du I a, következésképpen I a, így I a I π, tehát ϕ t M exp it ξ exp t. η 3. Egy másik kiszámolási mód a következő: ϕ t cos tx + isin tx dx π + x cos txdx π + x cos tx. π + x Mivel ϕ t ϕ t ezért elég a t > esettel foglalkozni. Vezessük be a ϕ t, α π exp αx + x cos txdx paraméteres integrált. Ha a >, akkor deriválhatunk az integrál alatt ϕ t, α π Újra deriválva, elemi átalakításokkal ϕ t, α π π π x exp αx + x sin txdx x exp αx + x cos txdx x + exp αx + x cos txdx exp αx cos txdx + ϕ t,α. Vegyük észre, hogy az y pontban az integrál alatti kifejezés deriváltja folytonos, így az y pont körül a deriváltnak van integrálható majoránsa.

45. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK Az exponeciális eloszlás karakterisztikus függvényének képlete alapján Összefoglalva: ϕ t, α α exp αxcos txdx + ϕ t, α α π α exp αxcos txdx + ϕ t, α α π α π α + ϕ t, α. + t ϕ t,α ϕ t, α π α α + t. A differenciálegyenlet közvetlen megoldása nem tűnik egyszerűnek, ezért a két oldalt kétszer integráljuk: Az első integrál s amit újra integrálva ϕ u, αdu t s s s ϕ t, α du u π ϕ u, α du ϕ s,α ϕ,α, ϕ r, αdrds Ha α, akkor a második tagra ϕ,α π Ismételten az integrálást elvégezve: t α α + u du ϕ s,α ds ϕ,αt. α exp αx + x dx. Tehát t ϕ s,α ds ϕ t, α ϕ,α Ha α, akkor ϕ t, α ϕ,α ϕ,αt t s π α α + t drds. ϕ t, ϕ, ϕ,t + t s t s ϕ r, α drds ϕ r, drds.

.. FOUIE-TANSZFOMÁCIÓ 453 Kétszer deriválva ϕ ϕ, ami már megoldható: ϕt exp t,t. Vagyis ϕt exp t. 4. Vegyük észre, hogy a ϕ a t pontban nem deriválható, az eloszlásnak nincs is várható értéke. Mivel nincs várható érték, felmerül a kérdés, hogy mi történik egy Cauchy-eloszlásból vett minta átlagával, ha a mintában szereplő elemek számával a végtelenbe tartunk. A feladatot a karakterisztikus függvény segítségével nagyon egyszerűen megoldhatjuk. Ha ξ k n k független standard Cauchy-eloszlással rendelkező valószínűségi változók, akkor a n k ξ k változó eloszlásának karakterisztikus függvénye ϕ t Π n i exp t exp n t. Az η n k ξ k/n változó karakterisztikus függvénye ψ t ϕ t exp t, n vagyis standard Cauchy-eloszlású. Ha n, akkor a minta eloszlása nem tart semmilyen konstans értékű valószínűségi változó eloszlásához..6 Példa. Független változók szorzatának és hányadosának karakterisztikus függvénye. Ha ξ és η független változók, akkor a ξ η szorzat karakterisztikus függvénye ϕ ξη t Mexpitξη Mexpitξη η y dg y MexpitξydG y ϕ ξ tydg y ϕ η tx df x, ahol F a ξ, G az η eloszlásfüggvénye. Analóg módon, ha a ξ/η értelmes, akkor ϕ ξ/η t M exp it ξ η M exp it ξ y M exp it ξ η dg y ϕ ξ t y η y dg y. dg y

454. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK. Legyenek ξ és η független N, eloszlású változók. 3 ϕ ξη t exp tx dφ x π π t +. exp tx exp x dx exp t + x dx. Miként láttuk 4, ha τ a a w Wiener-folyamat a ponthoz tartozó elérési ideje, és w a w -től független Wiener-folyamat, akkor w τ a τ a w. Ebből, ha G a τ a eloszlásfüggvénye, akkor 5 a τ a és a w függetlensége miatt Mexpitw τ a ϕ N, tx dg x exp tx dg x M exp t τ a exp a t, amely éppen a Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye 6... Momentumgeneráló függvények A Fourier-transzformáció szoros kapcsolatban áll a Laplace-transzformációval, illetve a momentumgeneráló függvényekkel..7 Deníció. Jelölje F a ξ változó eloszlásfüggvényét.. A komplex számok részhalmazán értelmezett z Mz Mexpzξ expzxdf x 3 V.ö.: 8.3. példa, 96. oldal. 4 V.ö.: 9.4. példa, 46. oldal, 9.75 sor, 46. oldal. 5 V.ö.: 9.38. példa, 4. oldal. 6 A 9.4. példában, 46. oldal, közvetlenül, az inverz Fourier-transzformáció felhasználása nélkül, igazoltuk, hogy a w τ a Cauchy-eloszlású. Ez alapján az a paraméterű Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye exp a t.

.. MOMENTUMGENEÁLÓ FÜGGVÉNYEK 455 leképezést, ahol z tetszőleges olyan komplex szám, amelyre a várható érték létezik, a ξ, illetve az F komplex momentumgeneráló függvényének mondjuk.. A valós számokon értelmezett s M s Mexpsξ expsx df x függvényt a ξ változó, illetve az F eloszlás valós momentumgeneráló függvényének nevezzük, ahol az M értelmezési tartománya az olyan s valós számok halmaza, amelyekre az integrál véges. 3. A valószínűségszámításban szokásos momentumgeneráló függvény mellett használni fogjuk a komplex és valós Laplace-transzformáció elnevezéseket is 7. A valós Laplace-transzformációt definiáló integrál Ls Mexp sξ exp sx df x, a komplex Laplace-transzformációt megadó integrál pedig értelemszerűen Ls Mexp zξ exp zx df x, ahol az s valós a z pedig komplex paraméter. 4. A számegyenesen értelmezett tetszőleges µ előjeles mértékre definiálhatjuk a µ z Mz expzxdµx komplex momentumgeneráló függvényét, illetve z Lz exp zxdµx komplex Laplace-transzformáltját. Értelemszerűen az M és az L értelmezési tartománya az olyan z komplex számok halmaza, amelyekre az integrálok konvergensek. Világos, hogy a valós momentumgeneráló, illetve a karakterisztikus függvény a komplex momentumgeneráló függvény speciális esetei. Tetszőleges változó esetén a komplex momentumgeneráló függvény értelmezési tartománya tartalmazza az imaginárius tengelyt, vagyis a komplex momentumgeneráló függvény a Fourier-transzformáció kiterjesztése. Ha a ξ korlátos, akkor az M valós momentumgeneráló függvény értelmezési tartománya a teljes számegyenes, hiszen ha ξ K, akkor K M s expsx df x expsx df x exp s K <. K 7 Laplace-transformációról általában akkor beszélünk, ha a ξ nem negatív. Ilyenkor a Laplacetranszformáció kényelmesebb mint a momentumgeneráló függvény.

456. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK A valós momentumgeneráló függvény mindig értelmezve van az s pontban. Ha értelmezve van valamilyen s pontban és s az s és a nulla közötti intervallum egy pontja, akkor az M értelmezve van az s pontban is, ugyanis ha például < s < s, akkor 8 M s exp sxdf x exp sx df x + exp sx df x expx df x + expsx df x <. Ebből következően az M értelmezési tartománya mindig egy az origót tartalmazó intervallum. Ha ξ, akkor minden s esetén < expsξ, és ezért az M értelmes a nem pozitív számok halmazán. Mivel ha s s >, akkor a ξ esetben exps ξ expsξ >, ezért ha az M s értelmes, akkor az M definiálva van a,s ] intervallumon. Hasonló megjegyzés vonatkozik a ξ esetre. Mivel expz exp e z, és mivel az integrálhatóság és az abszolút integrálhatóság azonos fogalmak, ezért ha az M értelmezve van a valós egyenes egy s pontjában, akkor az M értelmezve van az s + it alakú egyenesen..8 Példa. A momentumgeneráló függvény esetleg csak a képzetes tengely mentén értelmezhető. Tekintsük például azt a Z egész számokra koncentrálódott ξ változót, amelyre P ξ n P ξ n C n, ahol a C konstanst úgy kell meghatározni, hogy eloszlást kapjunk. Ha s, akkor M s C k expsk /k, ezért az M s az s pontokban nem értelmezhető.... A momentumgeneráló függvény elemi tulajdonságai.9 Állítás. Ha ξ és η független változók, és z a komplex momentumgeneráló függvényeik értelmezési tartományának 9 közös pontja, akkor M ξ+η z M ξ z M η z. Bizonyítás: A feltételek alapján az expzξ és az expzη változók függetlenek és van várható értékük. A függetlenség alapján az expzξ expzη változónak is van várható értéke, amely a tényezők várható értékének szorzata. M ξ z M η z Mexpzξ Mexpzη Mexpzξ expzη Mexpz ξ + η M ξ+η z. 8 A > s > s eset tárgyalása analóg. 9 Fourier-transzformációk esetén a közös értelmezési tartomány a teljes számegyenes. Többek között az ebből származó nagyfokú egyszerűség indokolja a karakterisztikus függvények használatát.

.. MOMENTUMGENEÁLÓ FÜGGVÉNYEK 457. Állítás. Legyen ξ tetszőleges változó, jelölje M a ξ valós, M a ξ komplex momentumgeneráló függvényét.. Ha az M értelmezve van az egy nyílt I intervallumán, akkor az M analitikus a komplex számsík e z I sávjában, és ott d k dz k M z M ξ k expzξ..4. Speciálisan az M az értelmezési tartománya belsejében végtelenszer deriválható. 3. Ha a az M értelmezési tartományának belső pontja, akkor α k M k M ξ k, és az M a pont körül az α k együtthatókkal hatványsorba fejthető, vagyis M s k α k k! sk..5 4. A.5 sor konvergenciasugara megegyezik annak a körüli maximális, szimmetrikus környezetnek a sugarával, amelyen az M véges. Bizonyítás: Az első tulajdonság valójában az M z expzx dµ x integrálba X való bederiválásról szóló tétel. Ha ε >, akkor elegendően nagy K-ra, minden x-re tehát ha z s + it, akkor x K expε x K [expεx + exp εx], xexpzx K [expεx + exp εx]exp sx K exps + εx + exps ε x. Mivel alkalmas ε-ra a valós momentumgeneráló függvény értelmezve van az s + ε, s ε pontokban, ezért az utolsó függvény integrálható, tehát az integrandus deriváltja rendelkezik integrálható majoránssal, tehát bederiválhatunk az integrál mögé. A.4 igazolása indukcióval analóg módon történik. Tegyük fel, hogy a az M értelmezési tartományának belső pontja. Mivel exp sξ expsξ + exp sξ,.6 Az állítás tetszőleges mértékre érvényes. Ilyenkor azt is szokás mondani, hogy az eloszlás karakterisztikus függvénye analitikus. Természetesen az M értelmezve lehet a konvergenciasugár által meghatározott intervallumon kívül is, de ilyenkor csak az egyik oldalon.

458. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK és mivel a jobb oldalon álló függvény a feltétel alapján minden s < s esetén integrálható, valamint mivel n sξ k k! sξ k exp sξ, k! k ezért a majorált konvergencia tétel alapján sξ k s k M s Mexpsξ M k! k! M ξ k. k k Megfordítva, tegyük fel, hogy az összes α k momentum létezik, és a k α ks k /k! sor egy pozitív sugarú körön konvergens. Mivel a hatványsorok a konvergenciasugáron belül abszolút konvergensek, ezért létezik >, hogy k k α k k k! <..7 Ha egy s értékre az Mexpsξ M sξ k /k! k kifejezésben az integrált és az összegezést fel lehet cserélni, akkor s k M s k! M ξ k s k α k k! <. k k Ha s s, akkor n s k k! ξk k s ξ k k! k exps ξ, és ezért az integrál és az összegzés felcserélhetőségének belátásához elegendő megmutatni, hogy ha < s <, akkor az exps ξ integrálható. A monoton konvergencia tétel alapján Mexps ξ M elegendő tehát megmutatni, hogy k s k k! ξ k k β k s k k! k s k k! M ξ k k β k s k k!, <..8

.. MOMENTUMGENEÁLÓ FÜGGVÉNYEK 459 Mivel < s <, ezért elég nagy N-re ha k N, akkor k s / k < s, amiből s k k /k. Felhasználva az x k + x k és az α k β k összefüggéseket s k k! β k s k s k k k! + β k k! sk k! + β k k! s k k k! + α k k!. Ez és a.7 valamint az α k α k alapján k s k k! β k k k N k s k k! β k + s k k! α k + k N k s k k! β k s k k! β k + s k k! β k + exps + k k s k k! + α k k k! <, k α k k k! ami éppen a.8.. Következmény. Ha ξ, akkor az L komplex Laplace-transzformált analitikus a e z >, és folytonos a e z félsíkon. Bizonyítás: Ha e z és ξ akkor exp zξ exp e z ξ exp, ezért a valószínűségi mérték végessége miatt a Laplace-transzformált létezik a [, intervallumon. A majorált konvergencia tétel alapján, ha z n z, akkor Lz n Lz, vagyis az L folytonos a e z félsíkon.. Következmény. Ha ξ momentumgneráló függvénye véges az [a,b] zárt intervallumon, akkor az L komplex Laplace-transzformált analitikus a a < e z < b, és folytonos a a e z b félsíkban. Bizonyítás: Elegendő megjegyezni, hogy ha z n z, akkor expz n x expe z x expax + expbx, és használhatjuk a majorált konvergencia tételt.

46. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK.3 Következmény. Ha a ξ változónak létezik az összes momentuma, és a.5 sor konvergenciasugara pozitív, akkor a momentumok egyértelműen meghatározzák az eloszlást, vagyis ha az η változó momentumai megegyeznek a ξ momentumaival, akkor a ξ és az η eloszlása azonos 3. Bizonyítás: Mivel a konvergenciasugár pozitív, ezért a ξ és az η momentumgeneráló függvénye egy az s pontot tartalmazó I nyílt szakaszon értelmes, tehát a komplex momentumgeneráló függvényeik is léteznek és analitikusak a e z I sávban. Mivel a ξ és az η momentumgeneráló függvénye a valós tengely mentén egybeesik, az analitikus függvények egyértelműsége alapján, az imaginárius tengely mentén is azonosak, így a két karakterisztikus függvény is azonos, tehát a két eloszlás megegyezik. A bizonyítás, bár a lehető legegyszerűbb, felhasználja az analitikus függvények egyértelmű kiterjeszthetőségéről szóló állítást. Ezt azonban elkerülhetjük. Egyszerű számolással belátható, hogy ha létezik az első m momentum, akkor 4 tetszőleges u esetén ϕ t m ϕ k u k t uk k! ahol ε m 3M ξ m. A. szerint ϕ k u ix k expiux df x + t um ε m t u,.9 m! x k df x β k. Ha a.5 sor konvergens, akkor a.8 is konvergens, ezért a.9 sorban alkalmas sugárra t u m ε m t u m! 3m m! β m, vagyis ha t u, akkor 5 ϕ t ϕ k u k t uk. k! Ha u, akkor a momentumok segítségével a ϕ egyértelműen definiálható ha t. Ha u /, akkor a ϕ egyértelműen definiálható az u pontban vett deriváltjaival a t u szakaszon, de a momentumok egyértelműen megadják a deriváltakat az u pontban vagyis a ϕ egyértelműen adott a t 3/ szakaszon stb. Időnként hasznos a következő észrevétel:.4 Állítás. Karakterisztikus függvények analitikus kiterjesztése Tegyük fel, hogy a ξ változó ϕ karakterisztikus függvényéből képzett f z f it ϕ t, t, 3 A konvergenciasugárra tett feltétel fontos. V.ö.: lognormális eloszlás. 4 V.ö.: 3.. lemma, 63. oldal. 5 Vagyis mivel a ϕ analitikus egy sávban, ezért tetszőleges s pont körül hatványsorba fejthető, és a konvergenciasugár minden pont körül azonos.

.. MOMENTUMGENEÁLÓ FÜGGVÉNYEK 46 függvény analitikusan kiterjeszthető a valós számegyenesen elhelyezkedő a e z I a,b nyílt intervallumot tartalmazó valamilyen tartományra.. Ha a < < b, akkor a ξ momentumgeneráló függvénye az I intervallumon véges, és az M komplex momentumgeneráló függvény analitikus a e z I sávban.. Az állítás akkor is érvényben marad, ha a az I nyílt intervallum valamelyik végpontja. Ilyenkor az M analitikus a e z I nyílt sávban és folytonos a sávnak pontot tartalmazó oldalán. Bizonyítás: Jelölje G az I intervallumot tartalmazó tartományt A feltétel szerint létezik a G tartományon értelmezett olyan f analitikus függvény, amely értéke a G és az imaginárius tengely metszetén éppen ϕ. Jelölje továbbá M a ξ momentumgeneráló függvényét. Az állítás lényege, hogy a G-ben levő I intervallumon M s f s <... Ha G, akkor mivel az f analitikus, ezért a nulla pont körül hatványsorba fejthető. illetve általában k f k z k k! f f it f ϕ t lim lim t it t it i ϕ, f k i k ϕk ik i k α k α k. ahol α k.a ξ k-adik momentuma. Mivel a momentumokhoz rendelt hatványsor konvergenciasugara pozitív, ezért az M értelmezve van az origó egy környezetében.. Tegyük fel, hogy a. Tekintsük az M z expzx df x + M z + M z. expzx df x felbontást. Az M a e z > sávban analitikus, a e z sávban folytonos. Mivel az f analitikus a G-én, ezért a H f M, analitikus a {e z > } G, folytonos a {e z } G halmazon. Hasonlóan az M analitikus a {e z < }, folytonos a {e z } halmazon. Mivel f it expitx df x,

46. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK ezért a {e z } G halmazon Tekintsük azt a W függvényt, amely a halmazon L, a H z L z.. {e z } G {e z } G halmazon H. A Schwarz-féle tükrözési elv 6 miatt a W analitikus. Ha a W -ét a nulla pont körül sorbafejtjük, akkor a sorfejtésben szereplő együtthatóként vehetjük a L nulla pontban vett bal oldali deriváltjait, vagyis az α k dk dz k expzx df x z d k expzx df x dzk z x k df x. számokat. Megjegyezzük, hogy az integrálba való bederiválást azért lehet végrehajtani, mert a ϕ végtelenszer deriválható, így az összes momentum véges, tehát minden k- ra az α k konstanst előállító integrál konvergens. Az α k momentumokhoz tartozó hatványsor konvergenciája miatt a expzx df x integrál konvergens a e z > oldalon is, vagyis az origó körül egy tartományon analitikus, tehát it is teljesül a., következésképpen az origótól jobbra f z Mz. 3. Jelölje s az olyan s valós számok szuprémumát, amelyre a. teljesül. Ha s b, akkor az állítást beláttuk. A Fatou-lemma miatt, felhasználva, hogy az f folytonos > lim f s lim M s lim expsx df x sրs sրs sրs lim inf expsx df x M s, sրs tehát a komplex Laplace-transzformált létezik, és folytonos a < e z s sávban. Az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy b. Ha a második pont gondolatmenetét megismételjük, akkor megmutatható, hogy az M az s ponton túl is kiterjeszthető, ami ellentmondás, vagyis s b. 6 V.ö.: [38] 334. oldal. A legegyszerűbben úgy láthatjuk be az állítást, ha megmutatjuk, hogy a W integrálja minden zárt görbe mentén nulla. Ebből következően az z z Wdz integrál jól definiált, és a W folytonossága miatt analitikus.

.. MOMENTUMGENEÁLÓ FÜGGVÉNYEK 463... Kumulánsgeneráló függvények.5 Deníció. Az M momentumgeneráló függvény C lnm logaritmusát kumulánsgeneráló függvénynek mondjuk. A C s k c k s k k! sorfejtésében szereplő c k együtthatókat kumulánsoknak 7 nevezzük..6 Példa. Tegyük fel, hogy a ξ momentumgeneráló függvény értelmezve van a valamely környezetében. Számoljuk ki az első négy kumulánst 8! c C M M Mξ, c C M M M M M ξ M ξ D ξ, c 3 C M 3M M + M 3 M ξ 3 3MξM ξ + Mξ 3 M ξ Mξ 3, c 4 C iv M ξ Mξ 4 3D 4 ξ. A magasabb kumulánsok kiszámítása már nehéz feladat. A számolás során hasznos lehet a d n n dx n lnf x k n d n k kf k x dx n fk x k deriválási formula, amely indukcióval igazolható. 7 Mivel M, ezért C, vagyis a hatványsor nulladik tagja nulla. Mivel független változók momentumgeneráló függvényei összeszorzódnak, a kumulánsgeneráló függvények, és ennek megfelelően a kumulánsok, összeadódnak. Éppen ez a kumulatív tulajdonság indokolja a kumuláns elnevezést. Szokás a karakterisztikus függvény logaritmusát is kumulánsgeneráló függvénynek mondani. Ennek az az előnye, hogy nem lép fel a momentumgeneráló függvény értelmezési tartományával kapcsolatos probléma, hátrány azonban, hogy komplex logaritmussal kell dolgozni. Ilyenkor a kumulánsok azok a c k együtthatók, amelyekre C t k c k it k /k!. A c k kumulánsok értéke független a definiciótól. 8 V.ö.:.. állítás, 457. oldal.

464. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK..3. Speciális eloszlások momentumgeneráló függvényei.7 Példa. Számoljuk ki a Poisson-eloszlás Fourier-transzformáltját valamint a momentum- és a kumulánsgeneráló függvényeit! A momentumgeneráló függvény λ k M s k! exp λ expsk λ exps k exp λ k! k expλ exps, amiből C s lnm s λ exps. Mivel C s λ k sk /k!, ezért a Poisson-eloszlás összes kumulánsa 9 λ. Mivel az expλ expz a teljes komplex síkban analitikus, ezért ϕ t exp λ expit..8 Példa. Számoljuk ki az N, eloszlás momentumgeneráló függvényét, Fourier-transzformáltját, és határozzuk meg az eloszlás momentumait és kumulánsait! A momentumgeneráló függvény M s expsx exp x dx π x s s exp exp dx π s x s exp exp dx π s exp exp u s du exp. π k Mivel az exp z / a teljes komplex síkban analitikus, ezért ϕ t Mit exp t. Az s / k M s k! k k 3... k s k k! k k!! s k k! sorfejtés alapján a páratlan momentumok mindegyike nulla, a páros momentumok pedig k!!. Mivel C s lnexp s s, 9 A Poisson-eloszlás momentumainak alakulása jóval bonyolultabb összefüggést követ, ezért nem részletezzük.

.. MOMENTUMGENEÁLÓ FÜGGVÉNYEK 465 ezért c, c, a többi kumuláns pedig nulla 3..9 Példa. Számoljuk ki az exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvényét, Fourier-transzformáltját, és határozzuk meg a momentumait és a kumulánsokat! M s expsx λ exp λxdx λ A függvény értelmezve van az s < λ halmazon 3 és az λ λ s s/λ exps λx dx s k λ k k sorfejtes alapján a k-dik momentum k!/λ k. A kumulánsgeneráló függvény λ C s ln lnλ lnλ s λ s k kλ k sk, λ λ s. amiből c k k!/λ k. Az exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvénye értelmezve van a,λ környezetében, ami alapján ϕ t it/λ.. Példa. Számoljuk ki az a,λ paraméterű Γ eloszlás momentumgeneráló függvényét, Fouriertranszformáltját és határozzuk meg a momentumait és a kumulánsokat! Az a,λ paraméterű Γ eloszlás sűrűségfüggvénye Ez alapján M s λ a Γ a xa exp λx, x >. λ a Γ a expsx λ a Γ a xa exp λx dx x a exp λ s xdx. 3 Mivel szimmetrikus eloszlások harmadik kumulánsa nulla, ezért egy szimmetrikus eloszlás normálistól való eltérése jellemezhető a negyedik kumulánssal. A normális eloszlásra a negyedik kumuláns nulla, ezért a M ξ M ξ 4 /D 4 ξ képlettel definiált kurtózis a normális eloszlásra 3. 3 Az exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvénye értelmezve van a λ, λ környezetében, ami alapján ϕ t / it/λ.

466. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK Az integrál konvergens, ha λ s >, vagyis ha s < λ. A t λ s x helyettesítéssel λ a a t M s exp t Γ a λ s λ s dt a λ t a exp t dt Γ a λ s s/λ a. A λ, λ intervallumban a binomiális sor összegképlete alapján s λ a k a s k λ k k s k aa +...a + k k! λ k, amiből a k-dik momentum λ k k j a + j. A kumulánsgeneráló függvény C s ln s/λ a aln s a λ kλ k sk, amiből c k aλ k k! A s a exp alog s λ λ kifejezés az s e z,λ sávban analitikus, hiszen ekkor e z/λ >, tehát a logaritmus függvény létezik, így ϕ t exp alog it it a. λ λ. Példa. Határozzuk meg az n szabadságfokkal rendelkező χ n eloszlás Fourier-transzformáltját, momentumgeneráló függvényét, illetve az eloszlás momentumait és kumulánsait! k A χ n eloszlás azonos az n/,/ paraméterű Γ eloszlással, ezért M s és a megfelelő momentumok s n, ϕ t it n, k k i n + i k i n + i. Ez alapján például a várható érték n, a szórás pedig n n + n n. A kumulánsgeneráló függvény C s n k k s k k,

.. MOMENTUMGENEÁLÓ FÜGGVÉNYEK 467 és c k n k k!. Példa. Cauchy-eloszlás momentumgeneráló függvénye. Definíció szerint M s π expsx + x dx. Ha s, akkor az integrál divergens, ha s, akkor M s, amely azonban minden momentumgeneráló függvényre teljesül..3 Példa. Határozzuk meg a Gumbel-eloszlás momentumgeneráló függvényét és Fourier-transzformáltját! Emlékeztetünk, hogy Gumbel-eloszláson az F x exp exp x eloszlásfüggvény által meghatározott eloszlást értjük. Deriválással az eloszlás sűrűségfüggvénye így a momentumgeneráló függvénye M s f x exp exp xexp x, f x expsx dx exp exp xexp x s dx exp t t s dt Γ s, amely kifejezés az s környezetében létezik, így ϕ t Γ it..4 Példa. Számoljuk ki az f x /4 exp x sűrűségfüggvényhez tartozó eloszlás momentumait és a momentumgeneráló függvényét! A exp x dx exp x dx exp u udu 4Γ 4 exp u dx du du

468. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK összefüggés alapján világos, hogy az f sűrűségfüggvény. A függvény páros, ezért a páratlan momentumok mindegyike nulla. A páros momentumokat az alábbi számolással határozhatjuk meg: M ξ k Világos, hogy a x k exp x dx k x k exp x dx u 4k exp uudu 4Γ 4k + 4 4k +!. M ξ k s k k! k 4 4k +! s k k! sor konvergenciasugara nulla, és ennek megfelelően ha s, akkor a momentumgeneráló függvény M s exp sx x dx dx. sx x A példából látható, hogy a momentumok létezéséből még nem következik, hogy a momentumgeneráló függvény értelmezési tartománya nem csak a pontból áll..5 Példa. Határozzuk meg az 3 f x Lévy-eloszlás Laplace- és Fourier-transzformáltját! a exp a, x >,a >. πx 3 x Mivel az eloszlás a nem negatív számokra koncentrálódik, ezért az Ls exp sx f x dx, s valós Laplace-transzformáltat számoljuk ki. Megjegyezzünk, hogy a. F eloszlásfüggvényére érvényes a következő képlet: F x x f t dt a πx exp u du,.3 x 3 Vegyük észre, hogy az f definícióval függvény folytonosan kiterjeszthető. A Lévy-eloszlás fontos szerepet játszik a sztochasztikus folyamatok elméletében, mivel a Wiener-folyamat által az a pont első elérési idejének eloszlását adja meg. A példa, fontossága mellett, arra is rámutat, hogy időnként nem csekély technikai tudás szükséges valamely momentumgeneráló függvény meghatározásához. V.ö.: 8.4 sor, 79. oldal. 9.38. példa, 4. oldal.

.. MOMENTUMGENEÁLÓ FÜGGVÉNYEK 469 ugyanis az első integrálban t xa /u helyettesítést végezve a au 3 F x a 3 πx exp u xa u 3 du 3 x exp u du. πx x a Parciálisan integrálva, és felhasználva, hogy F, ha s > Ls [exp sx F x] + sexp sx F xdx s A.3 összefüggést behelyettesítve Ls s exp sx F xdx. exp sx a πx exp u dudx. x Az Ls függvényt rögzített s esetén tekinthetjük az a változó függvényének. Jelöljük ez g a-val. Megmutatjuk, hogy ha a >, akkor a g a-ra teljesül a a g a sg a.4 differenciálegyenletet. Az integrálban szereplő integrandus nem negatív, tehát Fubinitétele alapján az integrálás határai felcserélhetőek, vagyis g a s exp sx exp u dxdu. πx x A belső integrál az u paraméter folytonos függvénye, mivel az exp sxdx Γ < πx πs és ezért az / πxexp sx az integrandus integrálható majoránsa. Ezt felhasználva g a s exp sx exp a dx. πx x A második derivált kiszámolásakor bederiválhatunk az integrál jel mögé ugyanis a exp sx exp a exp sx exp a a a πx x πx x x parciális deriváltnak az exp sx c exp b πx 3 x

47. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK az a b, c intervallumon integrálható majoránsa. g a a s exp sx exp a dx sg a. πx 3 x A differenciálegyenlet karakterisztikus polinomja λ s, amiből λ, ± s, tehát az általános megoldás A exp a s + B exp a s. De mivel L A + B, L, ami alapján 33 Ls exp a s. Mivel az exp a s analitikus módon kiterjeszthető a e z > komplex számokra, ezért ha z s + it, akkor z z / exp log z exp ln z exp iarg z 4 s + t cos arctant/s + isin arctant/s. amiből, felhasználva, hogy a Laplace-transzformált folytonos 34 ϕ t M it L it lim exp a [ 4 s + t cos arctan t s + isin arctan ] t s sց exp a t cos π 4 sgnt + isin π 4 sgnt exp a t i sgnt..6 Következmény. Ha ξ és η függetlenek a, illetve a paraméterű Lévy-eloszlások, akkor a ξ +η a +a paraméterű Lévy-eloszlású változó. Bizonyítás: A függetlenség miatt a Laplace-transzformáltak összeszorzódnak, vagyis az összeg Laplace-transzformáltja exp a s exp a s exp a + a s. 33 A a s kumulánsgenerátor függvény nem fejthető sorba a nulla pont körül, ezért a kumulánsoknak nincs értelme. 34 V.ö.:.. következmény, 459. oldal. Az eredményt v.ö. a stabil eloszlások 5.39, 778. oldal. reprezentációjával. Ez alapján a Levy-eloszlás eloszlás éppen az α /, β paraméterű stabil eloszlás.

.. MOMENTUMGENEÁLÓ FÜGGVÉNYEK 47 Az eloszlást egyértelműen meghatározza a Laplace-transzformáltja 35, ezért az összeg a + a paraméterű Lévy-eloszlás..7 Példa. Ha ξ N,σ, ξ N,σ és a két változó független, akkor η ξ ξ N,σ 3, ξ + ξ ahol σ 3 σ + σ..5 Mivel /η /ξ +/ξ, ezért ha az η eloszlása normális, akkor a.5 összefüggés következik a Lévy-eloszlás definíciójából 36, illetve az előző következményből. Az /η Levy-eloszlású, amiből az η eloszlása F x P η < x P η > x x aexp a u du, π /x a πt 3 exp a t dt vagyis éppen a normális eloszlás abszolút értéke. Az η és a η eloszlása azonos, ezért az η normális eloszlású, ugyanis ha például x <, akkor P η < x P η > x a aexp a u dx, π amit x szerint deriválva kapjuk, hogy az η sűrűségfüggvénye az x < tartományban x f x a π exp a x..8 Példa. A többdimenziós standard Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye ϕ t,...,t n exp t +... + t n. 35 V.ö.:.9. tétel, 473. oldal. 36 V.ö.: 8.4 sor, 79. oldal.

47. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK Tekintsük a ξ,..., ξ n ξ ξ vektort, ahol a ξ k n k változók függetlenek és N, eloszlásúak37. A τ /ξ Lévy-eloszlású 38, így a normális eloszlás karakterisztikus függvénye, illetve a teljes várható érték tétel alapján ϕ t,...,t n M exp i ξ t k k ξ k.3. Unicitási tételek M M exp i ξ t k k ξ ξ k M exp ξ t k k [ ] M exp τ t k k exp. A függvénytranszformációk alkalmazását elsősorban az indokolja, hogy egyértelműen reprezentálják az eloszlást. Az unicitási tételek számos bizonyítása ismert. Minden bizonyítás magja valamilyen sűrűségi tétel 39, és a gondolatmenet lényege, hogy a mérhető függvények előállíthatók a transzformációban szereplő függvények, illetve a belőlük képzett polinomok határértékeként. A gondolatmenet absztrakt lényege a következő: Legyen G, + egy csoport, és µ a csoporton értelmezett mérték. Legyen P a G karaktereinek egy alkalmas halmaza, például ha a G topologikus csoport, akkor P legyen a folytonos karakterek halmaza. 4 Világos, hogy ha Λ és Λ karakter, akkor a Λ Λ is karakter, ezért a karakterek π rendszert alkotnak 4. A µ mérték esetében 37 V.ö.: 8. példa, 9 oldal. 38 V.ö.: 8.4 sor, 79. oldal. A feltételes várható érték kiszámítását lásd 9.9. példa, 339. oldal. 39 Legtöbbször a Stone Weierstrass-tétel. 4 Emlékeztetünk, hogy egy Λ akkor karaktere a csoportnak, ha Λ x + y Λ xλy, vagyis ha a csoportműveletet szorzásba viszi át. A karakterek tehát egyfajta absztrakt exponenciális függvények. Gyakran fel szokás még tételezni, hogy a Λ értékészlete a { z } komplex egységkör, de az alábbi gondolatmenet szempontjából ez túl megszorító, és a karakter kifejezést most némiképpen szabadon használjuk, mint a csoport leképezését valamilyen kanonikus csoportra, ahol a csoportműveletet szorzással jelöljük. Vegyük észre, hogy a duális lineáris térrel analóg fogalomról van szó. 4 Feltéve, hogy az egyéb megszorítások, mint például a folytonoság megőrződik. Implicite felhasználtuk, hogy a szorzás például kommutatív, illetve hogy a karakter definíciójában szereplő szorzásból valahogyan biztosítható, hogy a P valóban szorzás zárt. k t k

.3. UNICITÁSI TÉTELEK 473 értelmezhető a µλ Λdµ transzformált, amely tekinthető a µ absztrakt Fouriertranszformáltjának. Ha a P elemei korlátosak, akkor a Meyer-tétel miatt a µ ν G egyenlőségből következik, hogy a µ és a ν megegyezik a σ P σ-algebrán, amiből persze még nem következik, hogy µ ν, ugyanis nem világos, hogy a σ P milyen kapcsolatban áll az eredeti σ-algebrával..3.. Laplace-transzformáció egyértelműsége Mivel a Laplace-transzformált esetleg csak az s pontban értelmes, az unicitás kérdése általában nem vethető fel, vagyis általában a Laplace-transzformált nem határozza meg az eloszlást. Éppen ezért igen érdekes a következő állítás:.9 Tétel. Unicitási tétel Ha ξ, η, és a valós Laplace-transzformáltjaik megegyeznek, akkor az eloszlásfüggvényeik is megegyeznek. Bizonyítás: Valamivel többet igazolunk. Legyenek µ és ν a nem negatív számokra koncentrálódott véges mértékek, és tegyük fel, hogy minden s számra exp sxdµx exp sx dν x. Jelölje P az exp sx, s alakú függvényeket. A P evidens módon multiplikatív függvénycsalád. Ha L az olyan korlátos f függvények összessége, amelyekre fdµ fdν,.6 akkor az L λ rendszer, ugyanis a mértékek végessége, és az s miatt L, és az L evidens módon vektortér, és a monoton konvergencia tétel miatt ha f n ր f és f n L, akkor f L. A Meyer-tétel 4 miatt az L tartalmazza az exp sx alakú függvények nívóhalmazainak karakterisztikus függvényeit, vagyis ha x, akkor amiből az állítás evidens. µ[x, ν [x,, Érdemes felhívni a figyelmet arra, hogy tetszőleges, a nem negatív számokra koncentrálódott Borel-mérték esetén definiálható a Laplace-transzformált. Példaként gondoljunk az s exp sx dx, s > előállításra, ahol a transzformált mérték a [, Lebesgue-mértéke. Ha a mérték nem véges, akkor persze fel kell tételezni, hogy egy ilyen előállítás létezik. A tételben a valószínűségszámítási háttér csak annyiban érdekes, hogy garantálja a transzformáció 4 V.ö.:.43. állítás, 46. oldal.

474. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK létezését, és az állítás szempontjából még annak sincs jelentősége, hogy a transzformáció a teljes [, -en, vagy csak valamilyen a, részhalmazán véges, ugyanis az exp sx, s a > alakú függvények korlátos π-rendszert alkotnak, amelyekre a generált σ-algebra éppen a B [,. Megjegyezzük, hogy némiképpen azonban óvatosan kell eljárni, ugyanis az olyan korlátos f függvények, amelyekre teljesül a.6 nem feltétlenül λ-rendszer, ugyanis ha a mértékek nem végesek, akkor / L. Ha azonban L az olyan korlátos f függvények halmaza, amelyekre exp s xf x dµ x exp s x f x dν x <, ahol s a fix elem, akkor a Meyer-tétel már alkalmazható, tehát tetszőleges B B [, halmazra µb exp s x dµ x exp s x dν x ν B <, B következésképpen, µb B B exps xd µx B exps x d ν x ν B..3 Példa. Az n-dimenziós, r sugarú gömb térfogata π n/ n Γ n r n. Tekintsük a g x x leképezést, amely az n teret a [, félegyenesre képezi. Az n -en vegyük a λ n Lebesgue-mértéket, és számoljuk ki a ν A λ n g A indukált mértéket. A normális eloszlás sűrűségfüggvénye, és az absztrakt helyettesítéses integrálás formulája alapján σ n π exp σ x dλ n x n exp σ u dν u. Ebből a ν Laplace-transzformáltja az helyettesítéssel s σ Ls π n/ s n/.

.3. UNICITÁSI TÉTELEK 475 Ugyanakkor a gamma függvény elemi tulajdonságai alapján x n exp sx dx s n Γ n u s n exp u s du A Laplace-transzformáció egyértelműsége miatt a ν mértékhez tartozó sűrűségfüggvény g x πn/ Γ n x n. Az x x által indukált mérték h sűrűségfüggvényét a transzformált valószínűségi változók esetében látott módon számolva. h x g x x πn/ Γ n x n x πn/ Γ n x n. Ebből az n dimenziós B n r r sugarú gömb Lebesgue-mértéke λ n B n r r hdλ πn/ Γ n r x n dx πn/ n Γ n r n. Ha n, akkor a képlet értéke πr, ha n 3, akkor 4/3πr 3..3.. A valós Laplace-transzformáció inverziós formulája.3 Állítás. Inverziós formula Ha ξ, és a ξ eloszlásfüggvénye F, akkor az F minden x folytonossági pontjában F x lim sx s k s k L k s..7 k! Bizonyítás: A λ paraméterű π λ Poisson-eloszlás várható értéke és varianciája λ. A Csebisev-egyenlőtlenség alapján π λ λ P λ ε π λ Mπ λ P D π λ ε D π λ ε D 4 π λ λε, amely nullához tart ha λ, vagyis π λ /λ p, ezért ha t <, akkor πλ P λ < t πλ P λ < t π λ P λ t, ha viszont t >, akkor πλ P λ < t πλ P λ < t π λ P λ < t,

476. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK tehát ha πλ G λ x P λ < x P π λ < λx λx k exp λ λk k!, akkor 43 A.4 sor miatt { ha x < lim G λ x λ ha x >. L k s t k exp st df t. Ha az F folytonos az x pontban 44, akkor a majorált konvergencia tétel alapján lim sx s k s k sx L k st k s lim exp st df t k! s k! k x F {} + lim G st df t s t> t x F {} + lim G st df t t> s t F {} + χ,x df, χ [,x df F x..3 Példa. Ellenőrizzük a.7 összefüggést az exponenciális eloszlásra! A λ paraméterű exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvénye 45 amiből a Laplace-transzformáltja M s λ λ s, Ls λ λ + s. 43 Ez speciális esete annak, hogy a sztochasztikus konvergenciából következik a gyenge konvergencia. A gyenge konvergenciával, illetve a gyenge és a sztochasztikus konvergencia kapcsolatával később részletesen fogunk foglalkozni. 44 Erre azért van szükség, mivel alább az x t pontban a G st x/t konvergenciájáról semmit sem lehet mondani, az {x} pont F mértéke azonban nulla. 45 V.ö..9. példa, 465. oldal.

.3. UNICITÁSI TÉTELEK 477 Indukcióval könnyen igazolható, hogy L k s λ k k! λ + s k+. Ha x, akkor a.7 evidens módon nulla. Ha x >, akkor lim sx s k s k L k s lim k! s λ sx k λ lim s λ + s lim s lim s lim s s k λ + s k+ sx s λ + s k k λ s/λ + s [sx]+ λ + s s/λ + s [sx]+ s exp λx. λ + s λx λx + sx [sx]+.3.3. Fourier-transzformáció egyértelműsége A Fourier-transzformáció egyik alapvető tulajdonsága, amelyet már ezidáig is többször használtunk, hogy meghatározza az eloszlásfüggvényt, vagyis különböző mértékekhez különböző Fourier-transzformáltak tartoznak..33 Tétel. Unicitási tétel Ha µ és ν az m téren értelmezett két előjeles mérték, és a hozzájuk tartozó ϕ, illetve ψ Fourier-transzformációk megegyeznek, akkor a µ és ν mértékek is megegyeznek. Bizonyítás: Az indoklás lényegében azonos a Laplace-transzformáltra adott bizonyítással. Ha P osztály az x expit,x függvények halmaza 46, az L pedig az olyan f korlátos függvények összessége, amelyekre fdµ fdν, n n akkor evidens módon ismételten alkalmazhatjuk a Meyer-féle π-λ tételt, következésképpen az L tartalmazza a trigonometrikus polinomok által generált σ-algebrára nézve mérhető függvényeket, vagyis az összes Borel-halmazt 47. 46 A Meyer-tételben szereplő függvényeknek valós értékűnek kell lenni, így az állítás közvetlenül az expit,x függvényekre nem alkalmazható, de alkalmazható a valós és a komplex részre, illetve a trigonometrikus polinomok családjára. 47 V.ö.: 7.4. példa, 87. oldal. A bizonyítás értelemszerű módosítással átvihető az n térre. Elég például arra gondolni, hogy B n n k B.

478. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK.34 Példa. A ξ,ξ,...,ξ n változók pontosan akkor függetlenek, ha a ϕ együttes karakterisztikus függvényük megegyezik az egyes változók ϕ i karakterisztikus függvényének szorzatával, vagyis 48 n ϕ t,t,...,tn ϕ i t i. Ha a ξ k változók függetlenek, akkor n n ϕ t,...t n M exp it k ξ k M expit k ξ k k i n Mexpit k ξ k k k n ϕ k t k. Megfordítva, ha az együttes karakterisztikus függvény szorzat alakba írható, akkor a peremeloszlások segítségével képzett k G x,...,x n F x F n x n eloszlásfüggvényre a Fubini-tételt használva ϕ F t n ϕ k t k k n k expit k x k df k x k n expit x +... + t n x n dg x,...,x n ϕ G t. Az unicitási tétel alapján F G, vagyis az F is szorzat alakra bomlik, tehát a ξ k változók függetlenek..3.4. Eloszlásfüggvényekre vonatkozó inverziós formula Mivel a függvénytranszformáltak egyértelműen meghatározzák az eloszlást, felmerül a kérdés, miként számolható vissza az eloszlás a Fourier-transzformációból. Ezt tartalmazza az úgynevezett inverziós formula..35 Tétel. Inverziós formula A ϕ Fourier-transzformált és a hozzá tartozó F eloszlás között a következő összefüggések érvényesek:. Ha a és b az F eloszlásfüggvény folytonossági pontjai, akkor F b F a lim T 48 V.ö.: 7.3. állítás, 56. oldal. T π T exp ita exp itb ϕ tdt..8 it

.3. UNICITÁSI TÉTELEK 479. Az állítás akkor is érvényben marad, ha az F egy előjeles mérték eloszlásfüggvénye. 3. Ha a ϕ integrálható, akkor az F -nek létezik f folytonos, korlátos sűrűségfüggvénye, és minden x valós számra f x exp itx ϕ t dt..9 π 4. Ha az F rácsos eloszlású, vagyis olyan változó eloszlásfüggvénye, amely 49 az a + bn n Z értékeket p n valószínűséggel veszi fel, akkor p n b π/b exp it a + bnϕt dt, n Z, π π/b speciálisan, ha az F az egész számokra koncentrálódik, akkor p n π π π Bizonyítás: Az inverziós formula a nevezetes 5 exp itnϕt dt, n Z.. sin x x dx π Dirichlet-integrálra épül. Mivel az integrandus páros függvény, ezért vagyis sin x x dx π,. ahol. Tekintsük az sin x T dx lim x T S T sin x dx lim x S T π T,. T sin x x dx. I T T T T T exp ita exp itb ϕ t dt it exp ita exp itb expitx df x dt it 49 Értelemszerűen feltételezzük, hogy b >. 5 Emlékeztetünk, hogy a Dirichlet-integrál nem abszolút konverges, ezért az integrál csak improprius értelemben létezik.

48. FÜGGVÉNYTANSZFOMÁCIÓK integrált. A Fubini-tétel segítségével a két integrált fel akarjuk cserélni. Mivel az integrál végés mérték felett értelmezett, elég megmutatni, hogy az integrandus korlátos. Ez azonban teljesül hiszen exp ita exp itb it ugyanis ha u valós, akkor expitx exp itb a exp ita it b a exp itb a t b a b a, expiu cos u + sin u cos u cos u + + sin u cos u u sin tdt u tdt u. Az integrálok felcserélése után, felhasználva, hogy a koszinusz páros függvény, és ezért 5 I T T T T cos t x a cos t x b dt, t T Az u t x a helyettesítéssel sin t x a t sin t x b dtdf x. t T T sin t x a T dt t sin t x a dt t T x a sin u sgn x a u du sgn x a S T x a, ahol sgn x ha x < ha x ha x > az előjel függvény. Ezt felhasználva I T sgn x as T x a sgn x b S T x b df x. Az S T a [, halmazon folytonos, és konvergens ha T, következésképpen korlátos. Mivel az integrandus korlátos függvény, a majorált konvergencia tétel, és a lim S T x a lim S T x b π T T 5 A l Hôpital-szabállyal könnyen ellenőrizhető, hogy az integrandus határértéke a nulla pontban nulla.