AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS + + mootoitás lok. m lok. mi A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS mteki.hu + koveitás kokáv ileió kove A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI TÉTEL: A lokális szélsőérték létezéséek szüksées eltétele H diereciálhtó z helye és -ek lokális helye, kkor. szélsőértéke v z rövide: lok. mi/m TÉTEL: A lokális szélsőérték létezéséek elésées eltétele H kétszer diereciálhtó z helye és és kkor lokális miimum H kétszer diereciálhtó z helye és és kkor lokális mimum. lok. mi lok m
ALAPDERIVÁLTAK c cos si rcsi si cos rccos t cos rct e e ct si rcct ch sh rsh sh ch rch lo ch th rth DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK Példák. c c. c c 7 7... 6. c c 7.
A TELJES FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT MENETE.LÉPÉS: ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY D Ez tuljdoképpe kikötés: páros ez itt pártl ez itt bármi lo ez itt tört evező Most ics yök és ics loritmus, de tört v, tehát H éppe idők eedi érdemes mé kiszámoi üvéy zérushelyét is, ez z eyelet meoldás, most éppe mteki.hu.lépés: DERIVÁLÁS 8 A deriváltt kicsit redbe rkjuk, kiemelük, eyszerűsítük 8 8 6 8.LÉPÉS: A DERIVÁLT ELŐJELÉNEK VIZSGÁLATA Eyekét berjzoljuk téyezők előjelét. H etív, zt sztott volll, h pozitív, zt olytoos volll. +
.LÉPÉS: MÁSODIK DERIVÁLT A második deriváltt is kicsit redbe rkjuk, kiemelük, eyszerűsítük 6 6 6 8 96 6. LÉPÉS: A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELE 8 96 8 96 6 mteki.hu Eyekét berjzoljuk téyezők előjelét H etív, zt sztott volll, h pozitív, zt olytoos volll. + + Az első derivált előjeléből üvéy övekedésére és csökkeésére következtethetük, második derivált előjeléből pedi koveitásr. Midezt összeolljuk ey remek tábláztb. Már jö is táblázt, de előtte kizáról erős idezetűek számár érdemes mevizsái üvéy szimptotáit. Az szimptoták oly eyeesek, mikhez üvéy hozzásimul, hároméle v belőlük, vízszites szimptot, üőlees szimptot és erde szimptot. VÍZSZINTES ASZIMPTOTA FÜGGŐLEGES ASZIMPTOTA FERDE ASZIMPTOTA b olykor létezik, h olykor létezik, h olykor létezik, h lim b : lim lim lim b eyelete: y b eyelete: eyelete: y b
AZ ELSŐ ÉS A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELÉT BELERAKJUK EGY TÁBLÁZATBA,,, ; - - - + sz. - mootoitás lok.mi sz. - + + + sz. + koveitás ileio sz. y 6 6. LÉPÉS: HATÁRÉRTÉK D SZÉLEIN lim lim lim 7.LÉPÉS: RAJZ - - mteki.hu ileió lokális miimum R : y 6 Kritikus htárértékek kiszámolás? Ilyekor z erősebb* yőz: szám DÖNTETLEN? Ilyekor z erősebb* yőz: szám DÖNTETLEN *LÁSSUK, HOGY KI MENNYIRE ERŐS: k lo... e? Ilyekor z erősebb* yőz: szám DÖNTETLEN
Htározzuk me z lábbi üvéyek mootoitási szkszit, lokális szélsőérték helyeit, kove kokáv szkszit és ileiós potjit! 6.. 6.. e e 6.. 6 6.. 6.. 6.6. 6.7. 9 6.8. Htározzuk me eek remek üvéyek mootoitási szkszit, lokális szélsőérték helyeit, kove kokáv szkszit és ileiós potjit és írjuk is öl z éritő eyeletét z bszcisszájú potb! 8 6.9. Htározzuk me eek remek üvéyek mootoitási szkszit, lokális szélsőérték helyeit, kove kokáv szkszit és ileiós potjit és írjuk öl z éritő eyeletét z bszcisszájú potb! Htározzuk me z lábbi üvéyek mootoitási szkszit, lokális szélsőérték helyeit, kove kokáv szkszit és ileiós potjit! 6.. 6.6. e 6.. 6.7. e 6.. 6.. 6.. 6.. e e e e 6.8. 6.9. e 7 7 6.. 6.. 6
6.. 6.. 6.. 6.9. 6.. rct 6.. rct e 6.. 6.. rct 6.6. 6.7. 6.8. e 6.. rct rct e 6.. si cos 6.6. cos si AZ ÉRINTŐ AZ ÉRINTŐ EGYENLETE EGYENLETE mteki.hu y =ordiát P ; y =éritési pot =bszcissz z éritő eyelete: y 6.7. Írjuk öl z üvéy zo éritőjéek eyeletét, mely üvéy rikoját etív bszcisszájú potb ériti, és párhuzmos z y=-7 eyeessel! 7
6.8. Írjuk öl z 7 6 üvéy zo éritőjéek eyeletét, mely üvéy rikoját pozitív bszcisszájú és ordiátájú potb ériti! 6.9. Írjuk öl z e 6 üvéy zo éritőjéek eyeletét, mely párhuzmos z y=8-6 eyeessel! 6.. Írjuk öl z e üvéy zo éritőjéek eyeletét, mely merőlees z y=+ eyeesre! 6.. Milye α prméter eseté hld át z lábbi üvéy rikojához P; potb húzott éritő Q; poto? e 6.. Milye α prméter eseté hld át z lábbi üvéy rikojához z = bszcisszájú potb húzott éritő Q;- poto? e 6.. Milye α prméter eseté hld át z lábbi üvéy rikojához z = bszcisszájú potb húzott éritő Q;e poto? e GAZDASÁGI FELADATOK Árbevétel: Költsé: Proit: R C R R C C HATÁR ey eyséyi övekedése eseté háy eysé változás R dbár q p C db jlos költsé db jlos yeresé db ár jlos költsé ELASZTICITÁS X ey %-os övekedése eseté háy %-os változás E 8
7.. Ey termék keresleti üvéye 6 hol termék eyséárát jelöli. Adj me z = eyséárhoz trtozó htárkeresletet! b Adj me = eyséárhoz trtozó elszticitást! c Adj me z optimális árbevétel eléréséhez szüksées eyséárt! 7.. Ey termék keresleti üvéye, hol termék eyséárát jelöli e 7 Adj me z = eyséárhoz trtozó htárkeresletet! b Adj me z = eyséárhoz trtozó elszticitást! c Adj me z optimális árbevételt jelető eyséárt! 7.. Ey termék árbevétel üvéye K B költsé üvéye pedi, hol z eldott meyiséet jeleti drbb medv. Adj me mimális proitot jelető keresletet! Adj me htárköltséet drb eseté! 7.. Ey termék keresletét oritos eyséár mellett z e 8 üvéy dj me drbb. Milye eyséár mellett lesz z árbevétel mimális? b Mekkor mimális árbevételhez trtozó kereslet? c H z árt oritb mimlizálják, hoy kell meválszti z eyséárt, hoy z árbevétel mimális leye? 7.. Ey árucikk eldási árát eldott drb eseté z lábbi üvéy dj me oritb Háy drb eldás eseté lesz z árbevétel mimális? Mekkor ez bevétel? 7.6. Ey 8 éyzetméter területű téllp lkú olyó prti telket szereték három oldlról kerítéssel elkerítei úy, hoy olyó előli rész szbdo mrdjo. Hoy válsszuk me telek méreteit, hoy kerülete miimális leye? Mekkor lesz ez kerület? 7.7. Ey termék keresleti üvéye 8 e hol termék eyséárát jelöli eurób. Adj me z = eyséárhoz trtozó htárkeresletet! b H termék jlos költsée euró, milye eyséárt kell lklmzi, hoy proit mimális leye? 9
7.8. Ey részvéy árolymák pi lkulását z lábbi üvéy dj me reel yolc és este yolc ór között, hol p -edik órájáb z árolym ezer oritb medv e 8 Mekkor volt yitási és zárási árolym? b A p melyik órájáb volt z árolym miimális, illetve mimális? 7.9. Vlmely termék jlos yeresée e hol z eldott meyiséet jeleti drbb. Milye eldási szám eseté optimális teljes yeresé? 7.. Ey áruház orlmák május hvi lkulását z lábbi üvéy dj me, hol hóp -edik pják orlm millió oritb medv 8 e Mekkor volt orlom hóp első és utolsó pjá? b A hóp melyik pjáb volt orlom miimális, illetve mimális? 7.. Ey termék árbevételi üvéye: R hol z eldott termék drbszámát jelöli. Milye drbszám eseté lesz mimális z árbevétel? 7.. Ey termék keresletét oritos eyséár mellett z e 7 üvéy dj me drbb. Milye eyséár mellett lesz z árbevétel mimális? b Mekkor mimális árbevételhez trtozó kereslet? c Mekkor mimális árbevételhez trtozó htárkereslet?
6.. lok. mi. : ics lok. m.: = ileiós pot: = R: - ;e ] 6.. lok. mi. : ics lok. m.: = ileiós pot: =6 R: - ;,66] 6.. lok. mi. : ics lok. m.: =- ileiós pot: ics, de R: - ;-e]u; kok: - ; kov: ; 6.. lok. mi. : ics lok. m.: = ileiós pot: ics, de kokáv : ; R: - ;-] éritő: y=- 6.. lok. mi. : ics lok. m: ics ileiós pot: = R: [- ; ] 6.6. lok. mi. : =- lok. m.: ics ileiós pot: =-8 R: [-,87; 6.7 lok. mi. : =6 lok. m.: = ileiós pot: ics, de kok: - ; kov: ; R: - ; ] U; ] 6.8. lok. mi. : =,lok. m.:ics ileiós pot: ics, de kove : - ;V;- R: - ; ] éritő: y=-+8 6.9. lok. mi. : = lok. m.: ics ileiós pot: = kok: ; kov: - ; U; 6.. lok. mi. : ics lok. m.: = ileiós pot: ics, de kokáv : - ;-V-;- V; 6.. lok. mi. : = lok. m.: ics ileiós pot: ics, de kove : - ;V; 6.. lok. mi. : - lok. m.: = ileiós pot: ics, de kok: - ;V; R: - ;-]U[; éritő: y=-+7 R: - ; ] R: - ; ] R: [; ] 6.. lok. mi. : ics lok. m.: = ileiós pot: = R: - ;e - ] 6.. lok. mi. : ics lok. m.: = ileiós pot: = R: - ;e 6.. lok. mi. : ics lok. m.: = ileiós pot: =, =, R: - ;e ] 6.6. lok. mi. : lok. m.: ileiós pot: R: -,9;,9] =-,77 =,77 =-,7 =,7 6.7. lok. mi. : = lok. m.: =- ileiós pot: =-, R: - ;-,9]U[,9 6.8. lok. mi. : = lok. m.: =- R: [; 6.9. lok. mi. : = lok. m.: ics ileiós pot: ics R: - ;]U[; kokáv: - ;- kove: -; 6.. lok. mi : ics lok. m.: =- ileiós pot: =- R: - ;] 6.. lok. mi : =-7 lok. m.: ics ileiós pot: =- R: [-,; 6.. lok. mi. : =- lok. m.: = ileiós pot: =- R: [; 6.. lok. mi. : =e -/ lok. m.: ics ileiós pot: =e -/ R: -,; ] 6.. lok. mi. : =-e-lok. m.: =e - ileiós pot: ics, de kokáv : - ; kove: ; R: [-,7;,7] 6.. lok. mi.: ics lok. m.: =e - ileiós pot: ics kokáv: ; R: - ;e - ] 6.6. lok. mi.: =-,6 lok. m.: =,6 ileiós pot: =-,; =, R: -,; 6.7. lok mi : = lok m: ics Ileiós pot: =; = R: [-,; 6.8. lok mi : ics lok m: ics Ileiós pot: ics, de R: [- ; kove ;V;
kokáv- ;-V-; 6.9. lok mi : =- lok m: = Ileiós pot: =; =,6; =-,6 R: [-/; / 6. lok mi : = lok m: ics Ileiós pot: =-,79; =,79 R: ; π/ 6.. lok mi : ics lok m: ics Ileiós pot: = R: [-π/; π/ 6. lok mi : ics lok m: ics Ileiós pot: =- kove: - ;-V-; kokáv: ; R: [-π/; π/ 6. lok mi : =-π/ lok m: =π/ Ileiós pot: ics R: -π/; -π/ 6. lok mi : =-; = lok m: ics Ileiós pot: ics R: [,87; 6. lok mi : = k+π/ 6.6 lok mi : = π+k+π lok m: = kπ/ lok m: = kπ Ileiós pot: = π/8+kπ/ R: [,; ] Ileiós pot: = π/+kπ R: [-; ] 6.7. y=++ 6.8. y=9-8+ 6.9. y=8+ 6.. y=-/++e- 6.. α= 6.. α=- 6.. α=-/7 7.. eyséyi ár mellett z ár eyséyi övelése -6 eysé keresletváltozást okoz. b eyséár mellett z ár %-os övelése -,8%kereslet visszesést okoz. c eyséár 7.. eyséyi ár mellett z ár eyséyi övelése, eysé keresletváltozást okoz. b eyséár mellett z ár %-os övelése -,%kereslet visszesést okoz. c eyséár 7.. 6 drb eseté mimális proit b drb mellett ezer drbos termelés övelés,769 költséövekedést okoz. 7.. orit b 6 drb c orit 7.. drb, 76,7 7.6. m6m-es telekre v szüksé 7.7. EUR eyséár mellett ey eyséyi árövekedés -, esé kereslet változást okoz. b EUR
7.8. orit és 67 orit b miimum órkor, mimum 8 órkor 7.9. db 7.. 6,7 millió és 6, millió b május volt mimum: 8 millió és május volt miimum 6,7 millió 7.. drb 7.. eyséyi ár eseté mimális b 9 87 8 c -